E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$EFG$ est un triangle tel que $EF = 8$, $FG = 5$ et $\widehat{EFG}=\dfrac{3\pi}{4}$. Alors $\vect{FE}.\vect{FG}$ est égal à :

a. $20\sqrt{2}$
b. $-20\sqrt{2}$
c. $20\sqrt{3}$
d. $20\sqrt{3}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{FE}.\vect{FG}&=FE\times FG\times \cos \widehat{EFG}\\
&=8\times 5\times \cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&=-20\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ et
sa tangente au point $A$ d’abscisse $0$.

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. On a :

a. $f'(0)=2$
b. $f'(0)=-1$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(-2)=0$

$\quad$

Correction Question 2

Graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ est $-1$.
Donc $f'(0)=-1$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthonormé. Une équation du cercle de centre $B( 2 ; 3)$
et de rayon $4$ est :

a. $(x+2)^2+(y+3)^2=4$
b. $(x-2)^2+(y-3)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y-3)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y+3)^2=16$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation cartésienne de ce cercle est $(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y-3)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$.

L’équation $f(x) = -3$ a pour solution(s) :

a. $3$
b. $0$
c. $-3$
d. $0$ et $-1$

$\quad$

Correction Question 4

Graphiquement la droite d’équation $y=-3$ semble couper la courbe en deux points d’abscisse $0$ et $1$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne -3x-2y+5=0$ est :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal a une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+x=0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Donc ici, un vecteur normal à cette droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$.
$-\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ est par conséquent un vecteur normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Les points $G (-2 ; 5)$ et $H (0 ; 1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.

  1. Déterminer $f(0)$, $f(-2)$, $f'(0)$ et $f'(-2)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout réel $x$, $f(x)$ peut s’écrire sous la forme :
    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres réels.
    a. Donner une expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
    $\quad$
    c. Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.
    $\quad$
    d. En déduire que $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le point $H(0;1)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(0)=1$.
    Le point $G(-2;5)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(-2)=5$.
    Les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.
    Donc $f'(0)=0$ et $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a  $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
    $\quad$
    b. On sait que $f'(0)=0$
    Or $f'(0)=c$ donc $c=0$
    $\quad$
    On sait que $f(0)=1$
    Or $f(0)=d$ donc $d=1$.
    Ainsi $f(x)=ax^3+bx^2+1$ et $f'(x)=3ax^2+2bx$.
    $\quad$
    c. $f(-2)=5$ et $f(-2)=-8a+4b+1$
    Donc $-8a+4b+1=5 \ssi -8a+4b=4 \ssi -2a+b=1$
    $f'(-2)=0$ et $f'(-2)=12a-4b$
    Donc $12a-4b=0\ssi 3a-b=0$
    Les réels $a$ et $b$ vérifient donc les équations
    $\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}$
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*}\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} b=3a\\-2a+3a=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=3\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent, $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Déterminer l’abscisse du point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$.
    $\quad$
  2. On note $x_0$ l’unique solution de l’équation $f(x)=0$. On admet que $x_0 \in [1 ; 2]$.
    On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{zero_de_f(n):}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{a=}\textcolor{Green}{1}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{b=}\textcolor{Green}{2}\\
    4&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(n):}\\
    5&\hspace{1cm}\text{x=(a+b)/}\textcolor{Green}{2}\\
    6&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}\text{-x**}\textcolor{Green}{2}\text{-x}\textcolor{Green}{-1}\text{<}\textcolor{Green}{0}\text{:}\\
    7&\hspace{1.5cm}\text{a=x}\\
    8&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{else}}\text{:}\\
    9&\hspace{1.5cm}\text{b=x}\\
    10&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return } }\text{a,b}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. On applique cette fonction pour $n=3$. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&&&&&\\
    \hline
    k=2&&&&&\\
    \hline\end{array}$$
    b. En déduire un encadrement de $x_0$, d’amplitude $0,125$, par deux nombres décimaux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f'(x)=3x^2-2x-1$
    De plus
    $\begin{align*} 3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)&=(3x+1)(x-1) \\
    &=3x^2-3x+x-1\\
    &=3x^2-2x-1\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=7&\ssi 3x^2-2x-1=7\\
    &\ssi 3x^2-2x-8=0\end{align*}$
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 3\times (-8)\\
    &=100\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{100}}{6} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{100}}{6} \\
    &=2\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{3}<0$.
    Par conséquent le point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$ a pour abscisse $2$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&1,75&OUI&1,75&2&0,25\\
    \hline
    k=2&1,875&NON&1,75&1,875&0,125\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a donc $f(1,75)<0$ et $f(1,875)>0$.
    Un encadrement de $x_0$ d’amplitude $0,125$ est donc $0,175<x_0<1,875$.
    $\quad$
    Remarque : Il s’agit de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre propositions est correcte.

Les questions sont indépendantes. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte aucun point.

$\quad$

Question 1

On lance deux fois une pièce équilibrée, de manières identiques et indépendantes.

Si le joueur obtient $2$ Faces, il perd $5$ €, s’il obtient exactement une Face, il gagne $2$ €, s’il obtient $2$ Piles il gagne $4$€. On note $G$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur, en euros.

a. $E(G)=0,75$
b. $E(G)=\dfrac{1}{3}$
c. $E(G)=1$
d. $E(G)=\dfrac{1}{4}$

$\quad$

Correction Question 1

Voici la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $G$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
g&-5&2&4\\
\hline
P(G=g)&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\
\hline
\end{array}$$
Il y a en effet $4$ tirages équiprobables possibles : $FF$, $PF$, $FP$ et $PP$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(G)&=-5\times \dfrac{1}{4}+2\times \dfrac{1}{2}+4\times \dfrac{1}{4} \\
&=-\dfrac{5}{4}+1+1 \\
&=0,75\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$A$ et $B$ sont deux événements, et on donne $P(A)=\dfrac{3}{7}$, $P(B)=\dfrac{3}{20}$, $P(A\cup B)=\dfrac{4}{7}$.

a. $A$ et $B$ sont indépendants
b. $P_A(B)=\dfrac{3}{980}$
c. $P(A\cap B)=\dfrac{1}{140}$
d. $P_A(B)=\dfrac{1}{60}$

$\quad$

Correction Question 2

On a $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\ssi P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$
Par conséquent
$\begin{align*} P(A\cap B)&=\dfrac{3}{7}+\dfrac{3}{20}-\dfrac{4}{7} \\
&=\dfrac{3}{20}-\dfrac{1}{7} \\
&=\dfrac{21-20}{140}\\
&=\dfrac{1}{140}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On donne l’arbre de probabilités ci-dessous, ainsi que la probabilité $P(C) = 0,48$.

a. $x=0,6$
b. $x=0,36$
c. $x=0,45$
d. $x=\dfrac{0,48}{0,12}$

$\quad$

Correction Question 3

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(C)=P(C\cap A)+P\left(C\cap \conj{A}\right) \\
\ssi~&0,48=0,2\times 0,6+0,8x \\
\ssi~&0,48=0,12+0,8x \\
\ssi~&0,36=0,8x \\
\ssi~&x=\dfrac{0,36}{0,8}\\
\ssi~&x=0,45\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On a tracé la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$ dans un repère orthonormé, ainsi que deux de ses tangentes, au point $E$ d’abscisse $2$ et au point $G$ d’abscisse $4$.

Les coordonnées des points $E$, $F$, $G$, $H$ placés dans le repère ci-dessous peuvent être lues graphiquement, ce sont des entiers.

La tangente à $C_f$ au point $E$ est la droite $(EF)$.
La tangente à $C_f$ au point $G$ est la droite $(GH)$.
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f'(2)=4$
b. $f'(4)=3$
c. $f'(4)=3$
d. $f'(4)=-3$

$\quad$

Correction Question 4

$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $E$ et $f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $G$

Par conséquent :
$\begin{align*}f'(2)&=\dfrac{y_E-y_F}{x_E-x_F}\\
&=\dfrac{3-(-1)}{2-0} \\
&=2\end{align*}$

et

$\begin{align*}f'(4)&=\dfrac{y_G-y_H}{x_G-x_H}\\
&=\dfrac{3-0}{4-5} \\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python suivante :

$$\begin{array}{l}
\text{def }{evolu}(k) :\\
\hspace{1cm} i = 200\\
\hspace{1cm} n = 0\\
\hspace{1cm} \text{while } i<k:\\
\hspace{2cm} i = 1.2 * i + 10\\
\hspace{2cm} n = n + 1\\
\hspace{1cm} \text{return } n\end{array}$$

a. ${evolu}(500)=4$
b. ${evolu}(600)=4$
c. ${evolu}(300)=3$
d. ${evolu}(400)=4$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les premières valeurs prises par $i$ et $n$ pour $k=600$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
i&200&250&310&382&468,4&472,08&696,496\\
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\end{array}$
Par conséquent :
${evolu}(500)=5$
${evolu}(600)=6$
${evolu}(300)=2$
${evolu}(400)=4$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$ABC$ est un triangle tel que $AB=5$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{4}$. Alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $15\sqrt{2}$
b. $15\sqrt{3}$
c. $\dfrac{15}{2}$
d. $15$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}\\
&=5\times 6\times \cos \dfrac{\pi}{4} \\
&=30\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
&=15\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse a
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$ABCD$ est un carré de centre $O$ tel que $AB=1$. Alors $\vect{AB}.\vect{OD}$ est égal à :

a. $1$
b. $0$
c. $-0,5$
d. $-1$

Correction Question 2

Dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD}\right)$ on a $A(0;0)$, $B(1;0)$, $D(0;1)$ et $O(0,5;0,5)$
Ainsi $\vect{AB}(1;0)$ et $\vect{OD}(-0,5;0,5)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{OD}&=1\times (-0,5)+0\times 0,5\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse c

Remarque : On pouvait aussi calculer la longueur $OD$ et déterminer la mesure de l’angle $\left(\vect{AB},\vect{OD}\right)$  et calculer le produit scalaire comme à la question précédente ou encore utiliser les projetés orthogonaux des points $O$ et $D$ sur la droite $(AB)$

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux tels que $\norme{\vec{u}}=2$ et $\norme{\vec{v}}=1$.
$\left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)$ est égal à :

a. $6$
b. $9$
c. $13$
d. $7$

Correction Question 3

$\begin{align*} \left(\vec{u}+\vec{v}\right).\left(2\vec{u}-\vec{v}\right)&=2\vec{u}.\vec{u}-\vec{u}.\vec{v}+2\vec{v}.\vec{u}-\vec{v}.\vec{v} \\
&=2\norme{\vec{u}}^2-0+0-\norme{v}^2 \\
&=8-1\\
&=7\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

On se place dans un repère orthonormé du plan.
Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe représentative notée $C$ d’une fonction $f$ définie sur $\R$.
La droite $D$ est tangente à la courbe $C$ au point $A(5; 0)$.

Question 4

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. Alors $f'(5)$ est égal à :

a. $3$
b. $-3$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $-\dfrac{1}{3}$

Correction Question 4

$f'(5)$ est le coefficient directeur de la droite $D$.
Cette droite passe par le point $A(5;0)$ et $B(2;1)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(5)&=\dfrac{1-0}{2-5} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;0[$ on a :

a. $f'(x)\pp 0$
b. $f'(x)\pg 0$
c. $f(x)\pg 0$
d. $f(x)\pp 0$

Correction Question 5

La fonction $f$ change de sens de variation sur l’intervalle $]-\infty;0]$. Par conséquent $f'(x)$ change de signe sur cet intervalle. Cela exclut les réponses a. et b. .
Sur l’intervalle $]-\infty;0]$ la courbe $C$ est au-dessus de l’axe des abscisses. Donc $f'(x)\pg 0$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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