E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point

Question 1

La courbe ci-contre $C_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement :
$d : y = 2x-2$ et $d’ : y = -x+ 2$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f'(1)=0$
b. $f'(2)=2$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(1)=-2$

$\quad$

Correction Question 1

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$ et $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $d’$.
Ainsi $f(1)=2$ et $f'(2)=-1$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $x=\dfrac{\pi}{6}$
c. $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $x=-\dfrac{7\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

$x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ ce qui exclut les propositions b. et d.
Cela implique également que $\cos x<0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\vect{OA}.\vect{OB}=20$
b. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
c. $\cos\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$
d. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

$\widehat{AOB}=\widehat{AOH}$

Dans le triangle $AOH$, rectangle en $H$ on a :
$\begin{align*} \sin \widehat{AOB}&=\dfrac{AH}{OA}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$

Réponse D

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y-10 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est :

a. $3x+2y-7=0$
b. $2x+3y-8=0$
c. $2x-3y+4=0$
d. $3x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d’$. Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $-2+6+c=0 \ssi c=-4$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y-4=0$ ou encore $2x-3y+4=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1 ; 2)$ et $(5 ;-2)$.
Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est :

a. $x^2+y^2-8x-2y+7=0$
b. $(x-1)^2+(y-2)^2=32$
c. $x^2+y^2-4x+2y-5=0$
d. $x^2+y^2-6x+1=0$

$\quad$

Correction Question 5

Le diamètre du cercle $C$ est :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(5-1)^2+(-2-2)^2}\\
&=\sqrt{16+16}\\
&=\sqrt{32}\end{align*}$

Le rayon du cercle $C$ est :
$\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$

Le centre du cercle $C$ est le milieu $M$ du segment $[AB]$.
$M$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)$ soit $(3;0)$.

Une équation cartésienne du cercle $C$ est par conséquent :
$\begin{align*} &(x-3)^2+(y-0)^2=8 \\
\ssi~& x^2-6x+9+y^2-8=0\\
\ssi~&x^2-6x+y^2+1=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

a. $\e^{6x}$
b. $\e^{2x}\left(1+\e^2\right)$
c. $\e^{3x}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$
d. $\e^{8x^2}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} e^{2x}+\e^{4x}&=\e^{2x}\times 1+\e^{2x}\times \e^{2x}\\
&=\e^{2x}\left(1+\e^{2x}\right)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(-5;2)$ et $\vec{v}(4;10)$ et la droite $(d)$ d’équation : $5x+2y+3=0$.

a. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
b. $\vec{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d)$
c. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
d. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-5\times 4+2\times 10\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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Question 3

La dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$ est :

a. $2x\e^{-x}$
b. $-2x\e^{-x}$
c. $(-2x+3)\e^{-x}$
d. $2\e^{-x}+(2x-1)\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+(2x-1)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(2-2x+1)\e^{-x}\\
&=(3-2x)\e^{-x}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

a. $-\sin(x)$
b. $\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
La tangente à la courbe au point $A$ est la droite $T$.

a. $f'(0)=3$
b. $f'(0)=\dfrac{1}{5}$
c. $f'(0)=5$
d. $f'(0)=-5$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;3)$ et $(1;-2)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{-2-3}{1-0}\\
&=-5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2+3x-63$.
On appelle $\boldsymbol{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

Déterminer $f'(x)$.
$\quad$
Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
$\quad$
Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Justifier que la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\boldsymbol{D}$ d’équation $y=-64$.
$\quad$
Déterminer en quels points de la courbe $\boldsymbol{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation $y=3x-100$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction $f$ est dérivables sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+3\\
&=3x^2+6x+3\end{align*}$
$\quad$
$f'(x)=3x^2+6x+3$ est un polynôme du second degré.
On peut calculer son discriminant.
Mais on peut aussi remarquer que :
$\begin{align*} f'(x)&=3\left(x^2+2x+1\right)\\
&=3(x+1)^2\end{align*}$
Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur $\R$ et $f'(x)=0 \ssi x=-1$
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
Une équation de la droite $\boldsymbol{D}$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
Or $f'(-1)=0$ et $f(1)=-64$.
Ainsi une équation de $\boldsymbol{D}$ est $y=-64$.
$\quad$
Le coefficient directeur de la droite d’équation $y=3x-100$ est $3$.
On veut donc résoudre l’équation :
$\begin{align*} f'(x)=3&\ssi 3(x+1)^2=3 \\
&\ssi (x+1)^2=1\\
&\ssi x+1=1 \text{ ou } x+1=-1\\
&\ssi x=0\text{ ou } x=-2\end{align*}$
Seules les tangentes à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$ et $-2$ sont donc parallèles à la droite d’équation $y=3x-100$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

a. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement positif, alors ce polynôme admet $2$ racines positives.
b. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement négatif, alors ce polynôme admet $2$ racines négatives.
c. Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.
d. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, alors ce polynôme admet le nombre $0$ pour racine.

$\quad$

Correction Question 1

Si le discriminant est strictement positif alors le polynôme possède $2$ racines (mais pas nécessairement positives).
Si le discriminant est strictement négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Si le discriminant est nul alors le polynôme ne possède qu’une seule racine (qui n’est pas nécessairement $0$).

Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

a. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
b. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
c. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
d. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\quad$

Correction Question 2

Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x\pg 0$.
Sur l’intervalle $[0;\pi[$ on a $\sin x\pg 0$

$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient à l’intervalle $[0;\pi[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points $A$
et $B$ d’abscisses respectives $2$ et $4$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f(0)=1$
b. $f'(2)=1$
c. $f'(2)=-2$
d. $f'(4)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f(0) \approx -3$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$. Donc $f'(2)=1$ (graphiquement).
$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B$. Donc $f'(4)<0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)=x^3-0,0012x+1$

a. $g$ est strictement croissante sur $\R$.
b. $g$ est croissante sur $\R$.
c. $g$ est constante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-0,0012$.
$g'(x)\pp 0 \ssi 3x^2-0,0012\pp 0 \ssi x^2\pp 0,0004 \ssi x\in[-0,02;0,02]$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

a. L’équation $\left(\e^x\right)^2=1$ admet deux solutions dans $\R$.
b. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $]0;+\infty[$.
c. La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
d. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\R$.

$\quad$

Correction Question 5

La fonction exponentielle est définie sur $\R$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Si $\sin x=\dfrac{1}{3}$ alors

a. $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$
b. $\sin(x-\pi)=\dfrac{1}{3}$
c. $\cos(x)=\dfrac{2}{3}$
d. $\sin(x+15\pi)=\dfrac{1}{3}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin(x)$
Donc $\sin(x+\pi)=-\dfrac{1}{3}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Parmi les paraboles ci-dessous laquelle représente une fonction qui n’admet aucune racine ?

$\quad$

Correction Question 2

Seule la courbe d. ne touche ou ne traverse l’axe des abscisses.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=2x-\dfrac{1}{x}$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $1$
b. $3$
c. $-1$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$, on a $f'(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$.
Par conséquent $f'(1)=3$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, l’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2-2x+y^2+6y+2=0$ est :

a. une parabole
b. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(-1; 3)$ et de
rayon $8$.
c. le cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.
d. une droite

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+6y+2=0 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+6y+9-9+2=0\\
\ssi~& (x-1)^2+(y+3)^2=8\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=\left(2\sqrt{2}\right)^2\end{align*}$

Il s’agit du cercle de centre $\Omega$ de coordonnées $(1; -3)$ et
de rayon $2\sqrt{2}$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ donnant le gain en euros, d’un joueur, à un jeu, est donnée par le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-10&6&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&~~\dfrac{1}{4}~~&~~\dfrac{3}{8}~~&~~\dfrac{3}{8}~~\\
\hline
\end{array}$$
Sur un grand nombre de parties, le gain moyen que peut espérer le joueur est :

a. $3,5$ euros
b. $4$ euros
c. $2$ euros
d. $6$ euros

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématiques de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10\times \dfrac{1}{4}+6\times \dfrac{3}{8}+10\times \dfrac{3}{8}\\
&=3,5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Des pucerons envahissent une roseraie.
On introduit alors des coccinelles, prédatrices des pucerons, à l’instant $t=0$, et on s’intéresse à l’évolution du nombre de pucerons à partir de cet instant et sur une période de $20$ jours.

Partie A :

Dans le repère ci-dessous, on a tracé :

La courbe $\mathcal{C}$ représentant le nombre de milliers de pucerons en fonction du nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles.
La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ passe par les points $A(0 ; 2,1)$ et $B(2 ; 4,3)$.

Déterminer par lecture graphique le nombre de pucerons à l’instant où l’on introduit les coccinelles puis le nombre maximal de pucerons sur la période de $20$ jours.
$\quad$
On assimile la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t$ au nombre dérivé $f'(t)$.
Déterminer graphiquement la vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$.
$\quad$

Partie B :

On modélise l’évolution du nombre de pucerons par la fonction $f$ définie, pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$, par : $$f(t)=0,003t^3-0,12t^2+1,1t+2,1$$
où $t$ représente le nombre de jours écoulés depuis l’introduction des coccinelles et $f(t)$ le nombre de pucerons en milliers.

Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 20]$ où $f’$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
$\quad$
Dresser le tableau de signes de $f'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$.
$\quad$
En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 20]$. Préciser les images des valeurs de $t$ apparaissant dans le tableau.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

À l’instant où l’on introduit les coccinelles il y a $2~100$ pucerons puisque le point $A(0 ; 2,1)$ appartient à la courbe.
Au maximum, il y avait environ $5~000$ pucerons sur cette période de $20$ jours.
$\quad$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{2,1-4,3}{0-2} \\
&=1,1\end{align*}$
La vitesse de prolifération des pucerons à l’instant $t=0$ était de $1~100$ pucerons par jour.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;20]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;20]$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=0,003 \times 3t^2-0,12\times 2t+1,1 \\
&=0,009t^2-0,24t+1,1\end{align*}$
$\quad$
$f'(t)$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-0,24)^2-4\times 0,009\times 1,1\\
&=0,018\\
&>0\end{align*}$
Ses racines sont :
$\begin{align*} t_1&=\dfrac{0,24-\sqrt{0,018}}{0,018}\\
&=\dfrac{40-10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} t_2&=\dfrac{0,24+\sqrt{0,018}}{0,018}\\
&=\dfrac{40+10\sqrt{5}}{3}\end{align*}$
On a $t_1\in[0;20]$ et $t_2\notin [0;20]$
Le coefficient principal est $a=0,009>0$.
On obtient le tableau de signes et de variations suivant :

avec $f\left(t_1\right) \approx 5,03$
$\quad$
voir tableau précédent$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On définit la fonction $f$ sur $]2,5 ; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{3x+1}{-2x+5}$$
Alors pour tout $x\in ]2,5;+\infty[$, $f'(x)$ est donné par l’expression :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{17}{(-2x+5)^2}$
c. $\dfrac{13}{(-2x+5)^2}$
d. $-\dfrac{13}{(-2x+5)^2}$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ est dérivable sur $]2,5;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]2,5;+\infty[$.

Pour tout réel $x>2,5$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3(-2x+5)-(-2)(3x+1)}{(-2x+5)^2} \\
&=\dfrac{-6x+15+6x+2}{(-2x+5)^2} \\
&=\dfrac{17}{(-2x+5)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ polynôme de degré $2$ dont une représentation graphique est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé.

Par lecture graphique, on peut affirmer qu’une forme factorisée de $f$ est :

a. $-2(x+1)(x+3)$
b. $-2(x-1)(x-3)$
c. $2(x-1)(x-3)$
d. $2(x+1)(x+3)$

$\quad$

Correction Question 2

La fonction polynôme du second degré est croissante puis décroissante. Son coefficient principal est donc négatif.
Graphiquement ses racines sont $1$ et $3$.
Ainsi $f(x)=-2(x-1)(x-3)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthogonal. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ ainsi que sa tangente au point $A$.

On a alors :

a. $f'(0)=0$
b. $f'(0)=2$
c. $f'(0)=1$
d. $f'(0)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$.
Graphiquement, cette droite passe par les points $A(0;2)$ et $B(1;3)$
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{3-2}{0-1} \\
&=1\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $G(1 ; -2)$ et $H(6 ; 4)$.
La droite $(GH)$ passe par le point :

a. $A(-3 ; 2)$
b. $B(2,5 ; 0)$
c. $C(10 ; 12)$
d. $D(-14 ; -20)$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vect{GH}\begin{pmatrix}5\\6\end{pmatrix}$
$\vect{GA}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GB}\begin{pmatrix}1,5\\2\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GC}\begin{pmatrix}9\\14\end{pmatrix}$ n’est clairement pas colinéaire à $\vect{GH}$
$\vect{GD}\begin{pmatrix}-15\\-18\end{pmatrix}$. $\vect{GD}=-3\vect{GH}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires.
Donc $(GH)$ passe par le point $D$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère un nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Alors $\sin(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
c. $-\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{1}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$x\in \left[\pi;\dfrac{3\pi}{2}\right]$ donc $\sin(x)<0$.

$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1\\
\ssi~& \dfrac{3}{4}+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~& \sin^2(x)=\dfrac{1}{4} \\
\ssi~& \sin(x)=\dfrac{1}{2} \text{ ou } \sin(x)=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Ainsi $\sin(x)=-\dfrac{1}{2}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\cos(-x)$
a. $-1$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :

$\begin{align*} \cos(25\pi+x)&=\cos(2\times 12\pi+\pi+x) \\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ :

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère $\Oij$
La tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ a pour coefficient directeur :

a. $0$
b. $3$
c. $4$
d. $10$

$\quad$

Correction Question 2

D’après le tableau de variations on a $f'(3)=0$.
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ est $0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

$E$ et $F$ sont deux événements indépendants d’un même univers.
On sait que $p(E) = 0,4$ et $p(F) = 0,3$ alors :

a. $p(E\cup F)=0,7$
b. $p(E\cap F)=1,2$
c. $p(E\cap F)=0$
d. $p(E\cap F)=0,12$

$\quad$

Correction Question 3

$E$ et $F$ sont indépendants.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(E\cap F)&=p(E)\times p(F)\\
&=0,4\times 0,3\\
&=0,12\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1\pp -3$ est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};4\right\}$
b. $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]4;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$-3x^2+11x+1\pp -3 \ssi -3x^2+11x+4\pp 0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=11^2-4\times (-3)\times 4\\
&=169\end{align*}$
Les deux racines réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{169}}{-6} \\
&=4\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{169}}{-6} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+4\pp 0$ est $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les mauvaises réponses.

$a<0$ : on exclut donc les réponses a et b
l’inéquation est stricte : on exclut donc la réponse d

Il ne reste plus que la réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-3&2&5&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,3&0,21&0,13&0,36\\
\hline
\end{array}$$
On peut en déduire que :

a. $P(X>2)=0,49$
b. $P(X>2)=0,51$
c. $P(X\pg 2)=0,49$
d. $P(X \pg 2)=0,51$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} P(X>2)&=P(X=5)+P(X=10)\\
&=0,13+0,36\\
&=0,49\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
Etudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2 ; 0)$.
a. Soit $M(x ; y)$ un point de $C$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
$\quad$
b. En déduire que $AM^2=x^2-3x+4$.
$\quad$
c. Déterminer les coordonnées du point de $C$ le plus proche de $A$.
Ce point est noté $B$ pour la suite.
$\quad$
d. Un élève affirme que la tangente en $B$ à $C$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
A-t-il raison ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2}\\
&=1,5\end{align*}$
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$.
$\quad$
a. Pour tout point $M(x;y)$ de $C$ on a $y=\sqrt{x}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} AM^2&=(x-2)^2+(y-0)^2 \\
&=x^2-4x+4+y^2 \\
&=x^2-4x+4+x\\
&=x^2-3x+4\end{align*}$
$\quad$
c. $AM$ est minimal quand $AM^2$ est minimal, c’est-à-dire quand $f(x)$ est minimal.
Ainsi $AM$ est minimal quand $x=1,5$.
Le point $B$ a donc pour coordonnées $\left(1,5;\sqrt{1,5}\right)$.
$\quad$
d. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ le nombre dérivée associé est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
Ainsi, un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\end{pmatrix}$.
De plus $\vect{AB}\begin{pmatrix}-0,5\\\sqrt{1,5}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{AB}&=-0,5\times 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\times \sqrt{1,5}\\
&=-0,5+\dfrac{1}{2}\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
L’élève a donc raison.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions :

a. $[-1;2]$
b. $]-\infty;-1[\cup[2;+\infty[$
c. $]-1;2[$
d. $]-\infty;-1[\cup]2;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 1

On a $-3(x-2)(x+1)=-3x^2+3x+6$
Les racines de ce polynôme du second degré sont $2$ et $-1$ et le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’inéquation $-3(x-2)(x + 1) > 0$ admet pour ensemble des solutions est $]-1;2[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les propositions fausses :

$a<0$ : on exclut donc les réponses b et d
l’inéquation est stricte : on exclut la réponse a

il ne reste plus que la réponse c.

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x$ un nombre réel. Le réel $\cos(x+ 3\pi)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\sin(x)$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+3\pi) &=\cos(x+2\pi+\pi)\\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé, on considère la droite ? passant par le point $A(1; 2)$ et dont un vecteur normal est le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $d$ est :

a. $2x+3y-8=0$
b. $x+2y+4=0$
c. $2x-3y-4=0$
d. $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation de la droite $d$ est de la forme $2x-3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la drite $d$.
Donc $2-6+c=0\ssi c=4$
Ainsi une équation de la droite $d$ est $2x-3y+4=0$, soit $3y=2x+4$ ou encore $y=\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^2}{x+1}$.
On note $C$ sa courbe représentative sur $[0; +\infty[$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $\dfrac{1}{2}\phantom{\dfrac{1}{2_2}}$
b. $\dfrac{3}{4}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
c. $\dfrac{3}{2}\phantom{\dfrac{1^1}{2_2}}$
d. $2$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x\times (x+1)-x^2\times 1}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}\\
&=\dfrac{x^2+2x}{(x+1)^2}\end{align*}$
Ainsi $f'(1)=\dfrac{3}{4}$
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est $\dfrac{3}{4}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des points $M(x; y)$ dont les coordonnées vérifient l’équation $x^2-2x+y^2+4y=4$ est :

a. une droite
b. le cercle de centre $A(1;-2)$ et de rayon $3$
c. le cercle de centre $B(-1;2)$ et de rayon $9$
d. l’ensemble vide

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+y^2+4y=4 \\
\ssi~& x^2-2x+1-1+y^2+2\times 2y+4-4=4 \\
\ssi~& (x-1)^2+(y+2)^2=9\\
\ssi~& (x-1)^2+\left(y-(-2)\right)^2=3^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence