nombre dérivé

E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A : lecture graphique

  1. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, $C_f$ est la courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble $\R$ des nombres réels.
    Dans la figure ci-dessus, on a tracé la courbe $\C_f$.
    Les points $A$ et $B$ sont les points de $C_f$ d’abscisses respectives $-2$ et $0$, et on a tracé les tangentes à $C_f$ en ces points.
    On suppose que la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses et que la tangente en $B$ passe par le point $C(1; 6)$.
    $\quad$
    On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Lire graphiquement les valeurs de $f'(-2)$ et $f'(0)$. Justifier brièvement.

    $\quad$

Partie B : Calcul algébrique

La fonction représentée sur le graphique précédent est la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\R$ des nombres réels par : $$f(x)=\e^x(2x+2)$$
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$.

  1. Montrer que pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\e^x(2x+4)$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $\R$, puis en déduire le tableau de variation de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Déterminer par le calcul, l’équation réduite de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Justifier par le calcul les deux résultats suivants admis au début de l’exercice :
    – La tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    – La tangente en $B$ passe par le point $C(1;6)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente en $A$, d’abscisse $-2$, à $C_f$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point $B$ d’abscisse $0$, c’est-à-dire celui de la droite $(BC)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{6-2}{1-0}\\
    &=4\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^x\times (2x+2)+\e^x\times 2 \\
    &=(2x+2+2)\e^x\\
    &=(2x+4)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x+4$.
    $2x+4=0 \ssi 2x=-4 \ssi x=-2$
    $2x+4>0 \ssi 2x>-4 \ssi x>-2$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f'(0)=4$ et $f(0)=2$
    Une équation de cette tangente est donc $y=4x+2$.
    $\quad$
  5. Pour tout réel $a$ $f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $a$.
    $f'(-2)=0$ donc la tangente en $A$ est parallèle à l’axe des abscisses.
    $f'(0)=4$ et le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est $4$.
    La tangente à $C_f$ en $B$ et la droite $(BC)$ ont le même coefficient directeur. Elles sont donc confondues et le point $C$ appartient à cette tangente.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1;5]$ par : $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$

  1. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Déterminer, pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout nombre réel $x$ de $[-1; 5]$, $f'(x) = 3(x-1)(x-3)$.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de signe de $f'(x)$ sur $[-1; 5]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation de la tangente $T$ à la courbe de la fonction $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  5. Déterminer l’autre point de la courbe de $f$ en lequel la tangente est parallèle à $T$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[-1;5]$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-6\times 2x+9 \\
    &=3x^2-12x+9\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;5]$ on a :
    $\begin{align*} 3(x-1)(x-3)&=(3x-3)(x-3)\\
    &=3x^2-9x-3x+9\\
    &=3x^2-12x+9\\
    &=f'(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. $f'(x)$ est donc un polynôme du second degré dont les racines sont $1$ et $3$ et dont le coefficient principal est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=1$ et $f'(0)=9$
    Ainsi, une équation de $T$ est $y=9x+1$.
    $\quad$
  5. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=9 &\ssi 3x^2-12x+9=9 \\
    &\ssi 3x^2-12x=0\\
    &\ssi 3x(x-4)=0\end{align*}$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $x=0$ ou $x-4=0 \ssi x=4$
    Ainsi la tangente à la courbe représentant la fonction $f$ au point d’abscisse $4$ est parallèle à $T$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le repère ci-dessous, on note $C_f$ la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
On a placé dans ce repère les points $A(0 ; 2)$, $B(2 ; 0)$ et $C(-2 ; 0)$.
On dispose des renseignements suivants :

  • Le point $B$ appartient à la courbe $C_f$.
  • La droite $(AC)$ est tangente en $A$ à la courbe $C_f$.
  • La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses.

  1. Déterminer la valeur de $f'(1)$.
    $\quad$
  2. Donner une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$.
    $\quad$

On admet que cette fonction $?$ est définie sur $[-10 ; 2]$ par $f(x) =(2-x)\e^x$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[-10 ; 2]$,
    $$f'(x)=(-x+1)\e^x$$
    $\quad$
  2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-10 ; 2]$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$ est une droite parallèle à l’axe des abscisses donc $f'(1)=0$
    $\quad$
  2. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$.
    $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AC)$.
    Donc
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{0-2}{-2-0}\\
    &=1\end{align*}$
    $f(0)=2$
    Ainsi une équation de cette tangente est $y=x+2$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[-10;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-10;2]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(2-x)\times \e^x\\
    &=(-1+2-x)\e^x\\
    &=(1-x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    $1-x=0 \ssi x=1$
    $1-x>0 \ssi -x>-1 \ssi x<1$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point $B$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$.
    Or $f'(2)=-\e^2$ et $f(2)=0$
    Une équation de cette tangente est $y=-\e^2(x-2)$ soit $y=-\e^2x+2\e^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit ? la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=(5-2x)\e^x$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal où les unités ont été effacées.
$A$ est le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le point d’intersection de $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses.
$D$ est le point de $\mathcal{C}$ dont l’ordonnée est le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.

  1. Calculer les coordonnées des points $A$ et $B$.
    $\quad$
  2. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. Montrer que, pour tout réel $x$, $$f'(x)=(3-2x)\e^x$$
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. En déduire que le point $D$ admet comme coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $A$, puis vérifier, à l’aide de l’équation obtenue, que le point $D$ n’appartient pas à cette tangente.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*}f(0)&=5\e^0 \\
    &=5\end{align*}$
    Le point $A$ a donc pour coordonnées $(0;5)$.
    $\quad$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} f(x)=0&\ssi (5-2x)\e^x =0\\
    &\ssi 5-2x=0\\
    &\ssi -2x=-5\\
    &\ssi x=2,5\end{align*}$
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $(2,5;0)$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-2\times \e^x+(5-2x)\times \e^x\\
    &=(-2+5-2x)\e^x\\
    &=(3-2x)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3-2x$.
    $3-2x=0\ssi -2x=-3 \ssi x=1,5$
    $3-2x>0\ssi -2x>-3 \ssi x<1,5$
    La fonction $f$ est donc :
    – croissante sur l’intervalle $]-\infty;1;5]$
    – décroissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ admet donc un maximum pour $x=1,5$.
    Or $f(1,5)=2\e^{1,5}$.
    Ainsi le point $D$ admet pour coordonnées $\left(1,5;2\e^{1,5}\right)$.
    $\quad$
  5. Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point $A$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=3$ et $f(0)=5$.
    Une équation de cette tangente est donc $y=3x+5$
    $\quad$
    $3\times 1,5+5=9,5\neq 2\e^{1,5}$ : le point $D$ n’appartient donc pas à cette droite.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM comportant 5 questions.

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

$\quad$

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

Question 1

La droite $D$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$ passant par $A(-1;2)$ a pour équation :

a. $-3x+y-5=0$
b. $x+3y-5=0$
c. $x-3y-5=0$
d. $3x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de la droite $D$ est de la forme $x+3y+c=0$
Le point $A(-1;2)$ appartient à la droite.
Donc :
$-1+3\times 2+c=0 \ssi c=-5$.
Une équation cartésienne de $D$ est $x+3y-5=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la droite $d$ d’équation $5x-8y+9=0$. Alors :

a. $A(6; 7)$ appartient à $D$.
b. $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\8\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $d$
c. $d$ coupe l’axe des ordonnées au point $B(0; 1)$
d. $d$ est parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur normal à $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}5\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent, le vecteur $\vec{u}=\dfrac{1}{2}\vec{n}$ est également normal à la droite $d$.
Les coordonnées de $\vec{u}$ sont $\begin{pmatrix}2,5\\-4\end{pmatrix}$
Toutes les droites parallèles à $d$ ont une équation de la forme $2,5x-4y+c=0$.
La droite $d$ est donc parallèle à la droite $d’$ d’équation $2,5x-4y+ 2 = 0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.

La droite ? est la tangente à $C_f$ au point $A(1; 1)$. Le point $B(0; -1)$ appartient à la droite $D$. Le nombre dérivé $f'(1)$ est égal à :

a. $1$
b. $\dfrac{1}{2}$
c. $2$
d. $-2$

$\quad$

Correction Question 3

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-1-1}{0-1}\\
&=2
\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère une fonction $f$ polynôme du second degré dont le tableau de signes est donné ci-après :

Une expression de $f(x)$ peut être :

a. $2x^2+5x-2$
b. $-x^2+1$
c. $-x^2+x+2$
d. $x^2+x-2$

$\quad$

Correction Question 4

D’après le tableau de signe, le coefficient principal de ce polynôme est négatif. On exclut donc les réponses a. et d.
De plus $f(2)=0$ : on exclut la réponse b.
Donc $f(x)=-x^2+x+2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
Alors la fonction dérivée de $f$, notée $f’$, est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=\e$
d. $f'(x)=x^2\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+\e^x \times x\\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\e^{100x}$. Alors :

a. $g$ est croissante sur $\R$.
b. $g$ est décroissante sur $\R$.
c. $g$ change de sens de variation sur $\R$.
d. $aucune des propositions a., b. et c. n’est correcte

$\quad$

Correction Question 1

$g(x)$ est de la forme $\e^{ax+b}$ avec $a=100$ et $b=0$.
Par conséquent $g$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=100\e^{100x}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $g'(x)>0$ sur $\R$ et $g$ est strictement croissante sur $\R$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=100x^2+10x+1$. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole dont l’axe de symétrie a pour équation :

a. $x=10$
b. $x=-10$
c. $x=0,05$
d. $x=-0,05$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de l’axe de symétrie est de la forme $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Donc, ici, une équation est $x=-0,05$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $a$ et $b$ les fonctions définies sur $\R$ par $a(x)=3x^2+15x+1$ et $b(x)=25x^2+5x-100$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions $a$ et $b$ ont :

a. $0$ point d’intersection
b. $1$ point d’intersection
c. $2$ points d’intersection
d. $4$ point d’intersection

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} a(x)-b(x)&=3x^2+15x+1-\left(25x^2+5x-100\right)\\
&=-22x^2+10x+101\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=10^2-4\times (-22)\times 101\\
&=8~988\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

La somme $1+5+5^2+\ldots+5^{10}$ est égale à :

a. $2~441~406$
b. $271$
c. $5^{55}$
d. $12~207~031$

$\quad$

Correction Question 4

Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+\ldots+5^{10} \\
&=\dfrac{1-5^{11}}{1-5}\\
&=12~207~031\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.
On sait de plus que la courbe $C_f$ admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse $-1$ et l’autre au point d’abscisse $3$.

Alors le réel $f(-1) \times f'(3)$ est :

a. strictement positif
b. strictement négatif
c. égal à $0$
d. égal à $f'(-3)$

$\quad$

Correction Question 5

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisse $-1$ et $3$ sont horizontales.
Par conséquent $f'(-1)=0$ et $f'(3)=0$.
Ainsi $f(-1) \times f'(3)=0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
La fonction dérivée de f est notée $f’$.
Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $C$ est la courbe représentative de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
Le point $A$ est le point de la courbe $C$ d’abscisse $-1$. La droite $T$ est la tangente à la courbe $C$ en $A$.

  1. Par lecture graphique, donner la valeur de $f'(-1)$.
    $\quad$
  2.  Résoudre, graphiquement, l’inéquation $f'(x)\pp 0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie sur $[-4 ; 2]$ par $f(x)=\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x$.

  1. Vérifier que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-4;2]$, $$f'(x)=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de la fonction $f’$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de $f$ sur l’intervalle $[-4 ; 2]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La tangente à la courbe $C_f$ au point $A$ d’abscisse $-1$ est parallèle à l’axe des abscisses. Par conséquent $f'(-1)=0$.
    $\quad$
  2. On recherche donc les intervalles sur lesquels la fonction $f$ est décroissante.
    Graphiquement, $f'(x)\pp 0$ sur $[-4;-1]\cup[1,5;2]$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $[-4;2]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[-4;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(-2x+2,5)\e^x+\left(-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-2x+2,5-x^2+2,5x-1\right)\e^x\\
    &=\left(-x^2+0,5x+1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2+0,5x+1,5$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est donc :
    $\begin{align*} \Delta&=0,5^2-4\times (-1)\times 1,5\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Ce polynôme possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-0,5-\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=1,5\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-0,5+\sqrt{6,25}}{-2} \\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme est $a=-1<0$.
    Par conséquent :
    – $f'(x)<0$ sur $[-4;-1[\cup]1,5;2]$
    – $f'(x)>0$ sur $]-1;1,5[$
    – $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\quad$
  5. Cela signifie donc que la fonction $f$ est strictement décroissante sur les intervalles $[-4;-1]$ et $[1,5;2]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[-1;1,5]$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions indépendantes.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Sur la figure ci-dessous, nous avons tracé dans un repère orthonormé la courbe représentative $\mathcal{C}$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$ et la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $4$.
Cette tangente est représentée par la droite $\mathcal{D}$ . On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Le réel $f'(4)$ est égal à :

a. $-1$
b. $-2$
c. $7$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 1

Le réel $f'(4)$ est le coefficient directeur de la droite $\mathcal{D}$. Cette droite passe par les points $A(4;-1)$ et $B(3;1)$
Donc :
$\begin{align*} f'(4)&=\dfrac{1-(-1)}{3-4} \\
&=-2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-2x^2+1$. On admet que $f$ est une fonction dérivable sur $\R$. Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-1$
b. $y=-x$
c. $y=-x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2-2\times 2x \\
&=3x^2-4x\end{align*}$
Ainsi $f(1)=0$ et $f'(1)=-1$
Une équation de la tangente est donc $y=-(x-1)$ soit $y=-x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{-x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^{-3x}$
d. $\e^x$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x\times \e^{-3x}}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{x-3x}}{\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^{-2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{-2x-(-x)}\\
&=\e^{-2x+x}\\
&=\e^{-x}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Pour tout réel $x$, une expression de $f(x)$ est :

a. $f(x)=x^2+x-2$
b. $f(x)=-x^2-4$
c. $f(x)=2x^2+2x-4$
d. $f(x)=-3x^2-3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction est donc d’abord décroissante. Son coefficient principal est donc positif. On élimine donc les propositions b. et d. .
On lit que $f(0)=-4$
Par conséquent $f(x)=2x^2+2x-4$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation d’inconnue $x\in \R$ : $-x^2-2x+8>0$ est :

a. $S=[-4;2]$
b. $S=]-4;2[$
c. $S=]-\infty;-4[\cup]2;+\infty[$
d. $\lbrace -4;2\rbrace $

$\quad$

Correction Question 5

Les racines du polynômes $-x^2-2x+8$ sont $-4$ et $2$.
Le coefficient principal de ce polynôme du second degré est $a=-1<0$.
L’ensemble $S$ des solutions de l’inéquation $-x^2-2x+8>0$ est donc $]-4;2[$.

Réponse b

$\quad$
Autre méthode pour répondre à la question sans faire de calcul :
– L’inégalité est stricte donc cela exclut la réponse a.
– Il s’agit d’une inéquation du second degré. La réponse sera donc un intervalle ou une réunion d’intervalles. Cela exclut alors la réponse d.
– Le coefficient principal est $a=-1<0$ et on cherche l’ensemble sur lequel le polynôme sera strictement positif. Ce sera donc l’intervalle constitué des réels compris entre les racines du polynômes.
L’unique possibilité est alors la réponse b.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=6$, $AC=3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$.

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=9$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=18$
c. $\vect{AB}.\vect{AC}=9\sqrt{3}$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$

$\quad$

Correction Question 1

On a :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=6\times 3 \times \cos \dfrac{\pi}{3} \\
&=18\times \dfrac{1}{2} \\
&=9\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $f$ une fonction telle que, pour tout nombre réel $h$ non nul, $$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=h^2+3h-1$$
Alors $f'(1)$ est égal à :

a. $h^2+3h-1$
b. $-1$
c. $3$
d. les données sont insuffisantes pour calculer $f'(1)$

$\quad$

Correction Question 2

$f'(1)$ est égale à, si elle existe, $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$.
Or
$\begin{align*} \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}&=\lim\limits_{h\to 0} h^2+3h-1\\&=-1\end{align*}$

Donc $f'(1)=-1$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^x$.
Alors, la fonction $f’$ dérivée de $f$ est donnée sur $\R$ par :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(x+3)\e^x$
c. $f'(x)=(-x-1)\e^x$
d. $f'(x)=\dfrac{(-x-1)\e^x}{\e^{2x}}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+2)\times \e^x \\
&=(1+x+2)\e^x\\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $f$ une fonction telle que $f(2)=5$ et $f'(2)=-1$
Dans un repère, la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=-x-3$
b. $y=-x+3$
c. $y=-x+7$
d. $y=5x-11$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
soit $y=-(x-2)+5$ ou encore $y=-x+7$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $C_f$ dans un repère est la courbe ci-dessous.

La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(1;\dfrac{4}{3}\right)$ passe par le point $B\left(0;-\dfrac{5}{3}\right)$.
Alors :

a. $f'(1)=\dfrac{1}{3}$
b. $f'(1)=\dfrac{4}{3}$
c. $f'(1)=-\dfrac{5}{3}$
d. $f'(1)=3$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point $A$.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(1)&=\dfrac{-\dfrac{5}{3}-\dfrac{4}{3}}{0-1} \\
&=\dfrac{-3}{-1} \\
&=3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend cinq questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre
réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans
réponse n’apporte, ni ne retire aucun point.

Question 1

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2+6x-8$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f(x)=2(x-4)(x+1)$
b. $f(x)=(2x+8)(2x-2)$
c. $f(x)=2(x+4)(x-1)$
d. $f(x)=2(x+3)(x-2)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $f(x)=2\left(x^2+3x-4\right)$.
La somme des racines du polynômes du second degré vaut $-3$ et leur produit vaut $-4$.
On peut donc exclure les propositions a. et d.
Or :
$\begin{align*} 2(x+4)(x-1)&=2\left(x^2-x+4x-4\right)\\
&=2\left(x^2+3x-4\right) \\
&=f(x)\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}$ est égal à :

a. $\e^{x^2+x}$
b. $\e^{3x}$
c. $\e^2$
d. $\e^{-2}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{\left(\e^x\right)^2}{\e^{-x}}&=\dfrac{\e^{2x}}{\e^{-x}} \\
&=\e^{2x-(-x)}\\
&=\e^{3x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère, soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$. L’équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$ est :

a. $y=-x-1$
b. $y=-x+1$
c. $y=x+1$
d. $y=x$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $g'(x)=\e^x$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(0)(x-0)+g(0)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=1$
Ainsi une équation de la tangente est $y=x+1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)\e^x$
On note $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste ?

a. $f'(x)=-x\e^x$
b. $f'(x)=(x-2)\e^x$
c. $f'(x)=(-x+2)\e^x$
d. $f'(x)=x\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-1\times \e^x+(-x+1)\times \e^x \\
&=(-1-x+1)\e^x\\
&=-x\e^x
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on considère la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle n’est pas juste ?

a. $f'(-2)=0$
b. $f'(3)=-2$
c. $f(0)=3$
d. $f'(0)=-2$

$\quad$

Correction Question 5

La tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est parallèle à l’axe des abscisses. Donc $f'(-2)=0$.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $-2$ donc $f'(0)=-2$.
On lit sur la courbe que $f(0)=3$.
Donc, par élimination, $f'(3)\neq -2$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence