E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit entre $1$ millier et $5$ milliers de pièces par jour. Le coût moyen de production d’une pièce, en milliers d’euros, pour $x$ milliers de pièces produites, est donné
par la fonction $f$ définie pour tout réel $x\in[1 ; 5]$ par : $$f(x)=\dfrac{0,5x^3-3x^2+x+16}{x}$$

Calculer le coût moyen de production d’une pièce lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièces.
$\quad$
On admet que de $f$ est dérivable sur $[1 ; 5]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel $x\in [1; 5]$, $$f'(x)=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}$$
$\quad$
Vérifier que, pour tout réel $x$, $$x^3-3x^2-16=(x-4)\left(x^2+x+4\right)$$
$\quad$
En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[1 ; 5]$.
$\quad$
Déterminer le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de production d’une pièce soit minimal, ainsi que la valeur de ce coût minimal.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f(2)&=\dfrac{0,5\times 2^3-3\times 2^2+2+1}{2}\\
&=5\end{align*}$
Lorsque l’entreprise produit $2$ milliers de pièce le coût moyen de production d’une pièce est de $5~000$ euros.
$\quad$
Pour tout réel $x \in [1;5]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\left(0,5\times 3x^2-6x+1\right)x-\left(0,5x^3-3x^2+x+16\right)\times 1}{x^2}\\
&=\dfrac{1,5x^3-6x^2+x-0,5x^3+3x^2-x-16}{x^2}\\
&=\dfrac{x^3-3x^2-16}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}&(x-4)\left(x^2+x+4\right)\\
=~&x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16\\
=~&x^3-3x^2-16\end{align*}$
$\quad$
Ainsi pour tout réel $x\in[1;5]$ on a $f'(x)=\dfrac{(x-4)\left(x^2+x+4\right)}{x^2}$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $(x-4)\left(x^2+x+4\right)$
$x-4=0\ssi x=4$ et $x-4>0 \ssi x>4$
Le discriminant de $x^2+x+4$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 4\\
&=-15\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $x^2+x+4>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
D’après le tableau de variations la fonction $f$ atteint son minimum pour $x=4$ et $f(4)=1$
Le coût de production d’une pièce est minimal quand elle fabrique $4~000$ pièces. Ce coût est alors de $1~000$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $P$ définie sur l’intervalle $[0 ; 5]$ par $P(t)=100t\e^{-t}$.

Calculer $P(0)$ et $P(5)$ (on arrondira à l’unité).
$\quad$
À l’aide d’un logiciel de calcul formel, on a obtenu une expression de la dérivée de la fonction $P$ : pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, $P'(t)=100(1-t)\e^{-t}$.
a. Utiliser cette expression pour étudier le signe de $P'(t)$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $P$ sur l’intervalle $[0 ; 5]$.
$\quad$
c. Pour quelle valeur de $t$ la fonction $P$ admet-elle un maximum ? Quelle est la valeur de ce maximum ? (on arrondira à l’unité).
$\quad$
Une station pompe l’eau d’une rivière pour la transformer ensuite en eau potable. Lors d’un épisode de pollution, il faut interrompre le pompage en attendant que la vague de pollution soit évacuée par le courant. On étudie ici un épisode de pollution ayant duré $5$ heures environ.
La concentration en polluant, exprimée en milligrammes par litre (mg/L) est modélisée par la fonction $P$ définie précédemment, où $t$ est le temps écoulé depuis le début de l’alerte, exprimé en heures.
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $P$ dans le plan muni d’un repère orthogonal.

Les normes en vigueur indiquent que ce polluant devient dangereux pour la santé si sa concentration dépasse $5$ mg/L.
Lors d’un épisode déclaré de pollution dans la rivière et après arrêt du pompage, à partir de combien d’heures peut-on considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(0)=0$ et $P(5)=500\e^{-5}\approx 3$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $P'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
$1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0 \ssi t<1$.
Ainsi :
$\bullet$ $P'(t)>0$ sur $[0;1[$;
$\bullet$ $P'(1)=0$;
$\bullet$ $P'(t)<0$ sur $]1;5]$.
$\quad$
b. On obtient le tableaux de variations suivant :

$\quad$
c. D’après le tableau de variations, la fonction $P$ atteint son maximum en $1$. Ce maximum vaut $100\e^{-1}\approx 37$.
$\quad$
On constate graphiquement que $P(x)<5$ à partir d’environ $4,5$.
On peut donc considérer que la pollution ne représente plus de danger pour la santé au bout de $4$h $30$ min.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des smartphones d’un seul modèle « haut de gamme ».
Le service marketing modélise le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par trimestre en fonction du prix de vente $x$ par la fonction $N$ définie par $N(x)=100\e^{-2x}$ où :

$x$ est le prix de vente en milliers d’euros d’un smartphone modèle « haut de gamme ». Le prix du smartphone modèle « haut de gamme » est compris entre $400$€ et $2~000$€ ; on a donc $x\in [0,4 ; 2]$.
$N(x)$ est le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus trimestriellement en millions d’unités.

Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, quel sera le nombre de smartphones vendus trimestriellement ?
On arrondira le résultat à mille unités.
$\quad$

La recette trimestrielle $R(x)$ est obtenue en multipliant le nombre de smartphones modèle « haut de gamme » vendus par le prix de vente. On obtient $R(x) = x \times N(x)$ en milliards d’euros.
Le coût de production en milliards d’euros en fonction du nombre de smartphones modèle « haut de gamme » fabriqués est modélisé par la fonction $C$ définie par $C(x)= 0,4 \times N(x)$ où $x$ est le prix de vente en milliers d’euros.
Le bénéfice est obtenu en calculant la différence entre la recette et le coût de production.

Vérifier que le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
$\quad$
Montrer que le bénéfice trimestriel s’exprime en milliards d’euros en fonction du prix de vente $x$ en milliers d’euros par : $B(x)=(100x-40)\e^{-2x}$.
$\quad$
On admet que pour tout réel $x\in [0,4 ; 2]$, $B'(x)=(180-200x)\e^{-2x}$.
Étudier les variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0,4 ; 2]$.
$\quad$
À quel prix faut-il vendre ces smartphones pour assurer un bénéfice maximal ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $N(1)=100\e^{-2} \approx 13,534$
Si le service commercial fixe le prix de vente de ce smartphone modèle « haut de gamme » à $1~000$ €, l’entreprise vendra environ $13,534$ millions de smartphone par trimestre.
$\quad$
On a $R(x)=1\times N(1)$ et $C(1)=0,4\times N(1)$
Le bénéfice est alors
$\begin{align*} B&=R(1)-C(1) \\
&=N(1)-0,4N(1)\\
&=0,6N(1) \\
&\approx 8,120\end{align*}$
Le bénéfice trimestriel peut être estimé à 8,120 milliards d’euros pour un prix de vente $1~000$ €.
$\quad$
Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0,4;2]$ on a :
$\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
&=100x\e^{-2x}-40\e^{-2x}\\
&=(100x-40)\e^{-2x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $B'(x)$ ne dépend donc que de celui de $180-200x$.
Or $180-200x=0 \ssi 200x=180 \ssi x=0,9$
et $180-200x>0 \ssi -200x>-180 \ssi x<0,9$
Par conséquent :
$\bullet$ $B'(x)>0$ sur $[0,4;0,9[$
$\bullet$ $B(0,9)=0$
$\bullet$ $B'(x)<0$ sur $]0,9;2]$
La fonction $B$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0,4;0,9]$ et strictement décroissante sur l’intervalle $[0,9;2]$.
$\quad$
La fonction $B$ atteint son maximum pour $x=0,9$.
Le bénéfice est donc maximal quand les smartphones sont vendus $900$€.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On modélise la diffusion dans le sang d’un médicament de $1$ gramme par intraveineuse (fonction $f_1$, courbe représentative $\mathcal{C}_1$) ou par voie orale (fonction $f_2$, courbe représentative $\mathcal{C}_2$) pendant une durée de $10$ heures.
Plus précisément :

$f_1(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après injection par intraveineuse ;
$f_2(t)$ modélise la proportion du médicament dans le sang à l’instant $t$, où $t$ est le temps en heure après administration par voie orale.

Pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0 ; 10]$, on admet que $f_1(t)=\e^{-0,57t}$ et $f_2(t)=1,75t\e^{-t}$.
Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ de $f_1$ et $f_2$ sont représentées ci-dessous.

Injection par voie intraveineuse
a. Déterminer le sens de variation de la fonction $f_1$.
$\quad$
b. Résoudre graphiquement $f_1(t) < 0,1$. Interpréter la réponse dans le contexte.
$\quad$
Administration par voie orale
On note $f_2’$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
a. Montrer que, pour tout $t$ de $[0 ; 10]$, $f_2′(t)=1,75(1-t)\e^{-t}$
$\quad$
b. Construire le tableau de variations de la fonction $f_2$.
$\quad$
c. À quel instant ? la proportion de médicament dans le sang est-elle la plus élevée ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La fonction $f_1$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que composée de la fonction exponentielle et d’une fonction affine.
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;10]$ on a : $f_1′(t)=-0,57\e^{-0,57t}$
Ainsi $f'(t)<0$ sur $[0;10]$.
La fonction $f_1$ est donc strictement décroissante sur $[0;10]$.
$\quad$
b. Graphiquement $f_1(t)<0,1$ si $t$ appartient à l’intervalle $]4;10]$ (valeur approchée pour $4$).
La proportion de médicament est inférieure à $0,1$ à partir de $4$ heures.
$\quad$
a. La fonction $f_2$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel de l’intervalle $[0;10]$ on a :
$\begin{align*} f_2′(t)&=1,75\e^{-t}+1,75t\times \left(-\e^{-t}\right)\\
&=1,75(1-t)\e^{-t}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f_2′(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-t$.
$1-t=0\ssi t=1$ et $1-t>0\ssi t<1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
c. La proportion de médicament dans le sang est la plus élevée au bout d’une heure.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un fermier souhaite réaliser un enclos rectangulaire pour des poules et des poussins, adossé à un mur de sa ferme afin d’économiser du grillage. Ainsi, il ne grillagera que $3$ côtés de son enclos.
Il possède $28$ mètres de grillage. Il souhaite construire un enclos d’aire maximale.
On appelle $x$ la longueur du côté de l’enclos perpendiculaire au mur.

On appelle $A$ la fonction qui à un nombre $x$ associe $A(x)$ l’aire de l’enclos. La fonction $A$ est ainsi définie sur l’intervalle $[0 ; 14]$.

a. Vérifier que l’aire $A(x)=-2x^2+28x$.
$\quad$
b. Montrer que la forme canonique de $A(x)$ est $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Quatre courbes ont été tracées sur le graphique ci-dessous. Identifier celle qui représente la fonction $A$

$\quad$
Dresser le tableau de variation de la fonction $A$.
$\quad$
Pour quelle valeur de $x$ l’aire de l’enclos est-elle maximale ? Donner la valeur de cette aire.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’enclos est un rectangle dont les côtés mesurent $x$ mètres et $28-2x$ mètres.
Ainsi :
$\begin{align*}A(x)&=(28-2x)x\\
&=28x-2x^2\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} -2(x-7)^2+98&=-2\left(x^2-14x+49\right)+98\\
&=-2x^2+28x-98+98\\
&=-2x^2+28x\\
&=A(x)\end{align*}$
La forme canonique de $A(x)$ est donc $-2(x-7)^2+98$.
$\quad$
Le coefficient principal de $A(x)$ est $a=-2<0$. La fonction est donc d’abord croissante puis décroissante.
Le maximum est $S(7;98)$.
La courbe $\mathcal{C}_2$ représente donc la fonction $A$.
$\quad$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
L’aire est donc maximale quand $x$ prend la valeur $7$ et vaut $98$ m$^2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $f$ définie sur $[0;3]$ par $f(x)=4x\e^{-x}$.

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé d’origine $0$.

Conjecturer une valeur approchée du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $[0 ; 3]$.
Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0; 3]$, $f'(x)=4(1-x)\e^{-x}$.
$\quad$
En déduire le tableau de signes de $f'(x)$ sur $[0 ; 3]$.
$\quad$
En déduire le tableau des variations de $f$ sur $[0 ; 3]$ puis la valeur exacte du maximum de $f$ sur $[0 ; 3]$.
$\quad$
Soit $A$ le point d’abscisse $1$ de $C_f$ et soit $t$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $0,5$.
Qui, de la droite $(AO)$ ou de la droite $t$, a le plus grand coefficient directeur ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Il semblerait, graphiquement, que le maximum de $f$ soit environ égal à $1,45$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0;3]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=4\e^{-x}+4x\times (-x)\e^{-x}\\
&=(4-4x)\e^{-x} \\
&=4(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
$1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :

$\quad$
Voir tableau précédent
Le maximum est $4\e^{-1}$.
$\quad$
Le coefficient directeur de la $(AO)$ est :
$\begin{align*} a&=\dfrac{4\e^{-1}-0}{1-0}\\
&=4\e^{-1}\\
&\approx 1,47\end{align*}$
Le coefficient directeur de $t$ est :
$\begin{align*} f'(0,5)&=2\e^{-0,5}\\
&\approx 1,21\end{align*}$
La droite $(AO)$ a donc le plus grand coefficient directeur.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = 3x\e^{-0,4x}$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$.
On admet que la fonction $f’$ a pour expression $f'(x)=(-1,2x+3)\e^{-0,4x}$.

Déterminer le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
$\quad$
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
$\quad$
Un sportif a pris un produit dopant. La fonction $f$ modélise la quantité, en mg/L, de ce produit dopant présent dans le sang du sportif $x$ heures après la prise.
a. Pourquoi peut-on affirmer que ce produit dopant n’est pas naturellement présent dans l’organisme du sportif ?
$\quad$
b. Combien de temps après son absorption, ce produit dopant sera-t-il présent en quantité maximale dans le sang du sportif ?
$\quad$
c. Le sportif absorbe ce produit dopant au début d’une séance d’entraînement.
Le même jour, $6$ heures après le début de cette séance d’entraînement, il est soumis à un contrôle anti-dopage. Celui-ci se révèlera positif si la quantité de produit dopant présent dans l’organisme de ce sportif dépasse $1,4$ mg/L.
Ce contrôle anti-dopage sera-t-il positif ? Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-1,2x+3$.
$-1,2x+3=0 \ssi -1,2x=-3 \ssi x=2,5$
$-1,2x+3>0 \ssi -1,2x>-3 \ssi x<2,5$
Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $[0;2,5[$
$\bullet$ $f'(2,5)=0$
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]2,5;+\infty[$
$\quad$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
a. À l’instant $t=0$, la concentration du produit dopant dans le sang est nulle. Il n’est donc pas naturellement présent dans l’organisme du sportif.
$\quad$
b. D’après le tableau de variations, la quantité maximale dans le sang est atteinte $2,5$ heures après sont absorption.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} f(6)&=18\e^{-2,4} \\
&\approx 1,63 \\
&>1,4\end{align*}$
Ce contrôle anti-dopage sera donc positif.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les distances sont exprimées en mètres.
On considère un rectangle $ABCD$ d’aire $49$ m$^2$ tel que $DC=x$ et $BC=y$.
On admet que les nombres $x$ et $y$ sont strictement positifs.

On souhaite déterminer les dimensions $x$ et $y$ pour que le périmètre de ce rectangle soit minimal.

a. Montrer que le périmètre, en mètres, du rectangle $ABCD$ est égal à $2x+\dfrac{98}{x}$.
$\quad$
b. Calculer ce périmètre pour $x = 10$.

Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=2x+\dfrac{98}{x}$.
On admet que $?$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout $x>0$, $$f'(x)=\dfrac{2x^2-98}{x^2}$$
$\quad$
Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
En déduire les dimensions du rectangle d’aire $49$ m² dont le périmètre est minimal.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. L’aire du rectangle est égale d’une part à $xy$ et d’autre part à $49$ m$^2$.
Par conséquent $xy=49 \ssi y=\dfrac{49}{x}$.
Le périmètre du rectangle est :
$\begin{align*} P&=2(x+y)\\
&=2x+2y\\
&=2x+\dfrac{98}{x}\end{align*}$.
$\quad$
b. Si $x=10$ alors le périmètre vaut $2\times 10+\dfrac{98}{10}=29,8$ m.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2-\dfrac{98}{x^2} \\
&=\dfrac{2x^2-98}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
$x^2>0$ sur $]0;+\infty[$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-98$.
Or :
$\begin{align*} 2x^2-98&=2\left(x^2-49\right)\\
&=2(x-7)(x+7)\end{align*}$
Sur $]0;+\infty[$ on a $2(x+7)>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-7$.
$x-7=0 \ssi x=7$ et $x-7>0 \ssi x>7$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

$\quad$
Le périmètre du rectangle d’aire $49$ m$^2$ est minimal quand $x=7$. Il s’agit alors d’un carré de côté $7$ m.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=(ax+b)\e^{-0,1x}$ où $a$ et $b$ sont des réels fixés.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous, dans un repère orthogonal.

On a également représenté la tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point $A(0 ; 5)$.
On admet que cette tangente $T$ passe par le point $B(4 ; 19)$.

En exprimant $f(0)$, déterminer la valeur de $b$.
$\quad$
a. À l’aide des coordonnées des points $A$ et $B$, déterminer une équation de la droite $T$.
$\quad$
b. Exprimer, pour tout réel $x$, $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$ et en déduire que pour tout réel $x$, $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$
$\quad$
On souhaite déterminer le maximum de la fonction $f$ sur $\R$.
a. Montrer que pour tout $x\in\R$, $f'(x)=(-0,4x+3,5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
b. Déterminer les variations de $f$ sur $\R$ et en déduire le maximum de $f$ sur $\R$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*}f(0)=b\e^0 \\
&=b\end{align*}$
Le point $A(0;5)$ appartient à $\mathcal{C}_f$.
Donc $f(0)=5$. Par conséquent $b=5$.
$\quad$
a. Les points $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse. Une équation de de la droite $T$ est donc de la forme $y=mx+p$.
On a :
$\begin{align*} m&=\dfrac{19-5}{4-0}\\
&=3,5\end{align*}$
Elle passe par le point $A(0;5)$ donc $p=5$.
Une équation de $T$ est donc $y=3,5x+5$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=a\e^{-0,1x}+(ax+b)\times \left(-0,1\e^{-0,1x}\right) \\
&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$f'(0)$ est le coefficient directeur de $T$ donc $f'(0)=3,5$.
Mais $f'(0)=a-0,1b$.
D’après la question 1. on a $b=5$.
Par conséquent $a-0,5=3,5 \ssi a=4$.
On en déduit donc que, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(4x+5)\e^{-0,1x}$.
$\quad$
a. D’après la question 2.b. on a donc :
$\begin{align*} f'(x)&=(a-0,1ax-0,1b)\e^{-0,1x} \\
&=(4-0,4x-0,5)\e^{-0,1x} \\
&=(3,5-0,4x)\e^{-0,1x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $3,5-0,4x$.
$3,5-0,4x=0 \ssi -0,4x=-3,5 \ssi x=8,75$
$3,5-0,4x>0\ssi -0,4x>-3,5 \ssi x<8,75$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;8,75]$ et strictement décroissante sur $[8,75;+\infty[$.
Elle admet un maximum qui est $f(8,75)=40\e^{-0,875}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique chaque jour ?tonnes d’un produit. Le coût total mensuel, en milliers d’euros, pour produire chaque jour $x$ tonnes de ce produit est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C(x)=(5x-2)\e^{-0,2x}+2$$
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_C$ de la fonction $C$ dans un repère.

Par lecture graphique, donner une estimation de la quantité journalière de produit pour laquelle le coût total mensuel est maximal.
$\quad$
Le coût marginal $C_m$, qui correspond au supplément de coût total pour la production d’une unité de valeur supplémentaire, est assimilé à la dérivée de la fonction coût total.
a. Démontrer que le coût marginal $C_m$ est défini sur l’intervalle $[0;10]$ par : $$C_m(x)=(-x+5,4)\e^{-0,2x}$$
$\quad$
b. Pour quelle quantité de produit fabriqué par jour le coût marginal est-il négatif ?
$\quad$
c. Donner le tableau de variations de la fonction $C$ sur l’intervalle $[0;10]$.
$\quad$
d. Déterminer le coût total mensuel maximal sur l’intervalle considéré. On donnera la valeur arrondie à l’euro près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Graphiquement le le coût total mensuel est maximal quand l’entreprise fabrique environ $5,5$ tonnes du produit.
$\quad$
a. La fonction $C$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
$\begin{align*} C_m(x)&=C'(x) \\
&=5\e^{-0,2x}+(5x-2)\times \left(-0,2\e^{-0,2x}\right) \\
&=(5-0,2\times 5x+2\times 0,2)\e^{-0,2x}\\
&=(-x+5,4)\e^{-0,2x}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $C_m(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x+5,4$.
$-x+5,4=0 \ssi x=5,4$
$-x+5,4<0 \ssi x>5,4$
Le coût marginal est négatif quand l’entreprise fabrique entre $5,4$ et $10$ tonnes de produit.
$\quad$
c. On obtient le tableau de variations suivant :

Avec $C(5,4)=25\e^{-1,08}+2\approx 10,490$
$C(10)=48\e^{-2}+2\approx 8,496$
$\quad$
d. Le coût total mensuel maximal est atteint quand l’entreprise fabrique $5,4$ tonnes de produit et vaut environ $10~490$ euros.
$\quad$

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