E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in [1; 20]$. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $$C(q)=q^3-18q^2+750q+200$$

  1. a. Calculer le coût total de fabrication de $5~000$ objets.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets.
    $\quad$
  2. Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d’objets, exprimé en euros, est donné par l’expression : $$C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}$$
    a. On note $C_M’$ la fonction dérivée, sur l’intervalle $[1; 20]$, de la fonction $C_M$.
    Montrer que, pour tout $q\in [1; 20]$, $$C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $C_M’$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l’intervalle $[1; 20]$.
    $\quad$
    c. Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d’objets est-il obtenu ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} C(5)&=5^3-18\times 5^2+750\times 5+200\\
    &=3~625\end{align*}$
    Le coût total de fabrication de $5~000$ objets est de $3~625$ euris.
    $\quad$
    b. $\dfrac{C(5)}{5}=725$.
    Le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets est de $725$ euros.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C_M$ est dérivable sur l’intervalle $[1;20]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $q\in[1;20]$ on a :
    $\begin{align*} C_M'(q)&=2q-18+200\times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) \\
    &=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} &2(q-10)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&(2q-20)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&2q^3+2q^2+20q-20q^2-20q-200\\
    =~&2q^3-18q^2-200\end{align*}$
    Ainsi $C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
    $\quad$
    b. Un carré étant positif, le signe de $C_M'(q)$ ne dépend que de celui de $(q-10)\left(q^2+q+10\right)$.
    $q-10=0 \ssi q=10$ et $q-10>0 \ssi q>10$
    Le discriminant de $q^2+q+10$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 10\\
    &=-39\\
    &<10\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Le coût moyen est minimal lorsque l’entreprise fabrique $10~000$ objets et vaut alors $690$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l’entreprise est modélisé par la fonction $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$ où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu ?
    $\quad$
  2. Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. Donner une expression de $B'(x)$, où $B’$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0; 10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
    $\quad$
  5. Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $C(3)=1~575$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}R(3)&=680\times 3-C(3) \\
    &=465\end{align*}$
    Le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu est $465$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\ &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\&=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $[6;10]$, nul en $6$ et strictement positif sur $[0;6]$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédent, l’entreprise doit produit $6$ kilomètres de tissu pour obtenir un résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique un engrais biologique. Chaque jour, le volume d’engrais fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.

Le coût moyen quotidien de production de cet engrais, exprimé en centaines d’euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-15x+400}{x}$$
où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.

  1. Déterminer le coût moyen quotidien pour la production de $5$ m$^3$ d’engrais.
    $\quad$
  2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ € ($43$ centaines d’euros) ?
    $\quad$
  3. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen de production est-il minimal ? Déterminer ce coût moyen minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(5)&=\dfrac{5^2-15\times 5 +400}{5}\\
    &=70\end{align*}$
    Le coût moyen pour la fabrication de $5$ m$^3$ d’engrais est $7~000$ euros.
    $\quad$
  2. On veut déterminer sur $[5;60]$ les solutions de
    $\begin{align*} f(x)=43&\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}=43 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}-43=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400-43x}{x}=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-58x+400}{x}=0\end{align*}$
    Déterminons les racines de $x^2-58x+400$
    $\begin{align*}\Delta&=(-58)^2-4\times 1\times 400\\
    &=1~764\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{58-\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=8\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{58+\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=50\end{align*}$
    Il faut donc fabriquer $8$ ou $50$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ euros.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5;60]$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[5;60]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x-15)x-1\times \left(x^2-15x+400\right) }{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-15x-x^2+15x-400}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-400}{x^2}\end{align*}$
    Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-400$.
    Or, sur $[5;60]$,
    $\begin{align*}x^2-400>0&\ssi x^2>400\\
    &\ssi x>\sqrt{400}\\
    &\ssi x>20\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
    Il faut donc fabriquer $20$ m$^3$ d’engrais pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $f(20)=25$.
    Ce coût minimal est alors $2~500$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un industriel souhaite fabriquer une boîte sans couvercle à partir d’une plaque de métal de $18$ cm de largeur et de $24$ cm de longueur. Pour cela, il enlève des carrés dont la longueur du côté mesure $x$ cm aux quatre coins de la pièce de métal et relève ensuite verticalement pour fermer les côtés.

Le volume de la boîte ainsi obtenue est une fonction définie sur l’intervalle $[0 ; 9]$ notée $\mathcal{V}(x)$.

  1. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ; 9]$ : $\mathcal{V}(x) =4x^3-84x^2+432x$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{V}’$ la fonction dérivée de $\mathcal{V}$ sur $[0 ; 9]$. Donner l’expression de $\mathcal{V}'(x)$ en
    fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Dresser alors le tableau de variations de $\mathcal{V}$ en détaillant la démarche.
    $\quad$
  4. Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la contenance de la boîte est-elle maximale ?
    $\quad$
  5. L’industriel peut-il construire ainsi une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} \mathcal{V}&=x (24-2x)(18-2x) \\
    &=\left(24x-2x^2\right)(18-2x)\\
    &=432x-48x^2-36x^2+4x^3\\
    &=4x^3-84x^2+432x\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction $\mathcal{V}$ est dérivable sur $[0;9]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;9]$ on a
    $\begin{align*}\mathcal{V}'(x)&=4\times 3x^2-84\times 2x+432\\
    &=12x^2-168x+432\end{align*}$
    $\quad$
  3. Étudions le signe de $12x^2-168x+432$.
    $\begin{align*}\Delta&=(-168)^2-4\times 12\times 432 \\
    &=7~488\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines de ce polynôme du second degré sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{168-\sqrt{7~488}}{24} \\
    &=7-\sqrt{13}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{168+\sqrt{7~488}}{24} \\
    &=7+\sqrt{13}\end{align*}$
    $x_1\in[0;9]$ et $x_2\notin[0;9]$
    Le coefficient principal est $a=12>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    Où $\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variation la fonction $\mathcal{V}$ atteint son maximum pour $x=7-\sqrt{13}$.
    La contenance de la boîte est donc maximale pour $x=7-\sqrt{13}$.
    $\quad$
  5. $\mathcal{V}\left(7-\sqrt{13}\right)\approx 654,98>650$.
    L’industriel peut donc construire une boîte dont la contenance est supérieure ou égale à $650$ cm$^3$.
    $\quad$

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$\quad$

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Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère un cône de révolution ayant une génératrice de longueur $20$ cm et d’une hauteur $h$ en cm.

On rappelle que le volume $V$ en cm$^3$ d’un cône de révolution de base un disque d’aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$ et de hauteur $h$ en cm est : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h$.

Dans cet exercice, on cherche la valeur de la hauteur $h$ qui rend le volume du cône maximum.

  1. Exprimer le rayon de la base en fonction de $h$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le volume du cône, en fonction de sa hauteur $h$, est : $$V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$$
    $\quad$
  3. Quelle hauteur ℎ choisir pour que le volume du cône soit maximum ?
    $\quad$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On appelle $S$ le sommet du cône, $O$ le centre du cercle de base et $A$ un point du cercle.
    Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$.
    D’après le théorème de Pythagore on a :
    $SA^2=OS^2+OA^2 \ssi 20^2=h^2+OA^2$
    Ainsi $OA^2=400-h^2$
    $OA$ est un nombre positif.
    Par conséquent $OA=\sqrt{400-h^2}$.
    Le rayon de la base est donc égal à $\sqrt{400-h^2}$.
    $\quad$
  2. L’aire du disque de base est :
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\pi\left(\sqrt{400-h^2}\right)^2 \\
    &=\pi\left(400-h^2\right) \end{align*}$
    Par conséquent, le volume du cône de révolution est :
    $\begin{align*} V(h)&=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}h \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \pi\left(400-h^2\right)\times h\\
    &=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $V$ définie sur l’intervalle $]0;20[$ par $V(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400h-h^3\right)$.
    La fonction $V$ est dérivable sur l’intervalle $]0;20[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $h$ appartenant à l’intervalle $]0;20[$ on a alors :
    $$ V'(h)=\dfrac{\pi}{3}\left(400-3h^2\right)$$
    Le signe de $V'(h)$ ne dépend que de celui de $400-3h^2$
    $\begin{align*} 400-3h^2>0 &\ssi -3h^2>-400 \\
    &\ssi h^2<\dfrac{400}{3} \\
    &\ssi h\in \left]-\sqrt{\dfrac{400}{3}};\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right[\end{align*}$
    La fonction $V$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\sqrt{\dfrac{400}{3}}\right]$ et strictement croissante sur l’intervalle $\left[\sqrt{\dfrac{400}{3}};20\right[$.
    Le volume du cône est maximal quand $h=\sqrt{\dfrac{400}{3}}$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On s’intéresse à la consommation d’essence d’un véhicule en fonction de sa vitesse.

Lecture graphique.
Le graphique ci-dessous représente la consommation d’essence en litres pour $100$ km en fonction de la vitesse en km.h$^{-1}$ du véhicule

Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :

  1. Quelle est la consommation du véhicule lorsque celui-ci roule à $40$ km.h$^{-1}$ ?
    $\quad$
  2. Pour quelle(s) vitesse(s) le véhicule consomme-t-il $8$ litres pour $100$ km ?
    $\quad$
  3. Pour quelle vitesse la consommation du véhicule semble-t-elle minimale ?
    $\quad$

Modélisation.
Si on note $x$ est la vitesse du véhicule en km.h$^{-1}$, avec $30\pp x\pp 130$, la consommation d’essence en litres pour $100$ km est modélisée par la fonction $f$ d’expression : $$f(x)=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2}$$
On désigne par $f’$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[30;130]$.

  1. Montre que pour tout $x \in [30;130]$, $$f'(x)=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}$$
  2. Démontrer la conjecture de la question 3.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. À $40$ km.h$^{-1}$ la consommation semble être de $5$ litres pour $100$ km.
    $\quad$
  2. Le véhicule consomme $8$ litres pour $100$ km s’il roule environ à $33$ km.h$^{-1}$ ou $100$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  3. La consommation semble être minimale quand le véhicule roule à $50$ km.h$^{-1}$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est dérivable comme quotient de fonctions dérivables sur l’intervalle $[30;130]$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[30;130]$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=\dfrac{20x^2-1~600x+40~000}{x^2} \\
    &=20-\dfrac{1~600}{x}+\dfrac{40~000}{x^2}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1~600}{x^2}-\dfrac{2\times 40~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{1~600x-80~000}{x^3} \\
    &=\dfrac{800(2x-100)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[30;130]$ on a $800>0$ et $x^3>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-100$.
    Or $2x-100>0 \ssi 2x>100 \ssi x>50$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[30;50]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[50;130]$.
    Par conséquent la fonction $f$ atteint pour $x=50$.
    Cela démontre donc la conjecture de la question 3.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On souhaite fabriquer des boîtes de rangement sans couvercle.
Les boîtes auront la forme d’un parallélépipède rectangle de hauteur $16$ cm et de base un rectangle ayant pour dimensions $x$ et $y$ exprimées en cm. Chaque boîte a un volume de $10~000$ cm$^3$.

  1. Calculer $y$ lorsque $x = 20$ cm.
    $\quad$
    2) Pour toute valeur de $x > 0$, on note $f(x)$ l’aire du parallélépipède rectangle.
    Démontrer que : pour tout $x>0$, $$f(x)=\dfrac{20~000}{x}+32x+625$$
  2. Quelles dimensions doit-on donner à ces boîtes pour que leur surface ait une aire minimale ?
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. Le volume de la boîte est $V=16xy$ avec $V=10~000$
    Ainsi si $x=20$ alors
    $16\times 20y=10~000 \ssi y=31,25$ cm
    $\quad$
  2. $16xy=10~000 \ssi y=\dfrac{10~000}{16x}\ssi y=\dfrac{625}{x}$
    L’aire du parallélépipède rectangle est donc :
    $\begin{align*} f(x)&=2(16x+16y)+xy \quad (*)\\
    &=32x+32y+xy\\
    &=32x+32\times \dfrac{625}{x}+x\times \dfrac{625}{x} \\
    &=625+32x+\dfrac{20~000}{x}\end{align*}$
    $(*)$ la boîte n’a pas de couvercle.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{20~000}{x^2}+32 \\
    &=\dfrac{32x^2-20~000}{x^2}\end{align*}$
    Pour tout $x>0$ on a $x^2>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $32x^2-20~000$.
    Or
    $32x^2-20~000>0 \ssi 32x^2 > 20~000 \ssi x^2>625$ $\ssi x>25$ car $x>0$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]0;25]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[25;+\infty[$.
    La surface est minimale quand $x=25$.
    On a alors $y=\dfrac{625}{25}=25$.
    La boîte ayant une aire minimale a pour dimension $25$ cm$\times 25$ cm$\times 16$cm.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un propriétaire souhaite construire un enclos rectangulaire sur son terrain.

Celui-ci est représenté ci-dessous dans un repère orthonormé, d’unité le mètre. Il est délimité par l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées, la droite d’équation $x = 5$ et la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ définie sur $[0 ; 5]$ par $f(x) = 4\e^{-0,5x}$.

L’enclos est représenté par le rectangle $OABC$ où $O$ est l’origine du repère et $B$ un point de $C_f$, $A$ et $C$ étant respectivement sur l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. On note $x$ l’abscisse du point $A$ et $D$ le point de coordonnées $(5 ; 0)$. Le but de l’exercice est de déterminer la position du point $A$ sur le segment $[OD]$ permettant d’obtenir un enclos de superficie maximale.

  1. Justifier que la superficie de l’enclos, en m$^2$, est donnée en fonction de $x$ par $g(x)=4x\e^{-0,5x}$ pour $x$ dans l’intervalle $[0;5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $[0 ; 5]$. Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $[0 ; 5]$, on a $g'(x)=(4-2x)\e^{-0,5x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0 ; 5]$.
    $\quad$
  4. Où doit-on placer le point $A$ sur $[OD]$ pour obtenir une superficie d’enclos maximale ?
    Donner la superficie maximale possible en arrondissant le résultat au dm$^2$.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. La superficie de l’enclos est $OA\times OC$.
    Or $OA=x$ et $OC=f(x)$.
    Par conséquent la superficie de l’enclos est :
    $\begin{align*} g(x)&=xf(x)\\
    &=4x\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. $g(x)$ est de la forme $g(x)=u(x)\times f(x)$ avec $u(x)=4x$
    Donc $u'(x)=4$ et $f'(x)=-0,5\e^{-0,5x}$
    Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;5]$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=u'(x)\times f(x)+u(x)\times f'(x)\\
    &=4\e^{-0,5x}+4x\times \left(-0,5\e^{-0,5x}\right)\\
    &=4\e^{-0,5x}-2x\e^{-0,5x} \\
    &=(4-2x)\e^{-0,5x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de $4-2x$.
    $4-2x=0 \ssi 4=2x \ssi x=2$ et $4-2x>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations $g$ atteint son maximum pour $x=2$.
    Le point $A$ doit donc se trouver à $2$ m de $O$ pour la superficie de l’enclos soit maximale.
    On a $g(2) \approx 2,94$.
    La superficie maximale est donc environ égale à $2,94$ m$^2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise pharmaceutique fabrique un soin antipelliculaire. Elle peut produire entre $200$ et $2~000$ litres de produit par semaine. Le résultat, en dizaines de milliers d’euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines de litres est donné par la fonction $R$ définie par :

$\hspace{3cm}R(x)=(5x-30)\e^{-0,25x}$ pour tout réel $x \in[2;20]$

  1. Calculer le résultat réalisé par la fabrication et la vente de $7$ centaines de litres de produit. On l’arrondira à l’euro près.
    $\quad$
  2. Vérifier que pour la fabrication et la vente de $400$ litres de produit, l’entreprise réalise un résultat négatif (appelé déficit).
    $\quad$
  3. Résoudre l’inéquation $R(x) \pg  0$, d’inconnue $x$. Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On note $R’$ la dérivée de la fonction $R$.
    Un logiciel de calcul formel donne : $R'(x) = (-1,25𝑥+12,5)\e^{-0,25x}$.
    En déduire la quantité de produit que l’entreprise doit produire et vendre pour réaliser le résultat maximal.

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} R(7)&=(5\times 7-30)\e^{-0,25\times 7} \\
    &=5\e^{-1,75} \\
    &\approx 0,868~9\end{align*}$
    Le résultat pour la production et la vente de $7$ centaines de litres est environ égal à $^8~689$ euros.
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} R(4)&=(5\times 4-30)\e^{-0,25\times 4} \\
    &=-10\e^{-1} \\
    &<0\end{align*}$
    L’entreprise réalise un résultat négatif quand elle fabrique et vend $400$ litres de produit.
    $\quad$
  3. $R(x)\pg 0 \ssi (5x-30)\e^{-0,25x} \pg 0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Donc :
    $\begin{align*} R(x)\pg 0&\ssi 5x-30 \pg 0\\
    &\ssi 5x\pg 30 \\
    &\ssi x\pg 6\end{align*}$
    L’entreprise réalise un résultat positif si elle fabrique et elle vend au moins $600$ litres de produit.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de $R'(x)$
    $R'(x)\pg 0 \ssi (-1,25x+12,5)\e^{-0,25x} \pg 0$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Donc
    $\begin{align*} R'(x)> 0 &\ssi -1,25x+12,5> 0 \\
    &\ssi -1,25x > -12,5 \\
    &\ssi x < 10\end{align*}$
    Par conséquent $R$ est strictement croissante sur l’intervalle $[2;10]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[10;20]$.
    La fonction $R$ atteint donc son maximum en $x=10$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre $1~000$ litres de produit pour réaliser le résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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