E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un artisan fabrique de la confiture qu’il vend à un grossiste. Le coût, en euros, de fabrication de $x$ kilos de confiture est :
$\hspace{3cm}C(x)=0,1x^2+0,7x+100$, pour $x\in [0; 160]$.

  1. Chaque kilo est vendu $14$ €. Exprimer la recette $R$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. Soit $B$ la fonction représentant le bénéfice de l’artisan, définie sur $[0; 160]$.
    $B$ a pour expression $B(x)=-0,1x^2+13,3x-100$.
    Étudier le signe de $B(x)$. En déduire l’intervalle dans lequel doit se trouver le nombre de kilos de confiture à vendre pour que l’artisan réalise un bénéfice positif.
    $\quad$
  3. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variation de $B$ sur l’intervalle $[0; 160]$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de kilos à vendre pour que le bénéfice soit maximal ainsi que son montant.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;160]$ on a $R(x)=14x$.
    $\quad$
  2. $B(x)$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=13,3^2-4\times (-0,1)\times (-100)\\
    &=136,89\\
    &>0\end{align*}$
    Ses deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-13,3-\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=125\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-13,3+\sqrt{136,89}}{-0,2}\\
    &=8\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-0,1<0$.
    Ainsi le bénéfice est positif si l’artisan vend entre $8$ et $120$ kilogrammes de confiture.
    $\quad$
  3. a. La fonction $B$ est dérivable sur l’intervalle $[0;160]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x \in[0;160]$ on a $B'(x)=-0,2x+13,3$.
    $\quad$
    b. $-0,2x+13,3=0 \ssi -0,2x=-13,3\ssi x=66,5$
    $-0,2x+13,3>0 \ssi -0,2x>-13,3 \ssi x<66,5$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations, le bénéfice est maximal quand l’artisan vend $65,5$ kilogrammes de confiture. Ce bénéfice est alors égale à $342,225$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit la fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x)=-x^3+3x^2+9x+5$.

Partie A :

  1. Quelle est l’image de $5$ par $p$ ?
    $\quad$
  2. Montrer que pour tout réel $x$, $p(x)=(5-x)\left(x^2+2x+1\right)$.
    $\quad$
  3. En déduire le signe de $p(x)$ sur $\R$.
    $\quad$

Partie B :

  1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction $p$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la fonction $p$ admet un maximum sur l’intervalle $[0,5]$ dont on précisera la valeur.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} p(5)&=-5^3+3\times 5^2+9\times 5+5 \\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} &(5-x)\left(x^2+2x+1\right) \\
    =~& 5x^2+10x+5-x^3-2x^2-x\\
    =~& -x^3+3x^2+9x+5\\
    =~& p(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Par conséquent $p(x)=(5-x)(x+1)^2$
    Un carré est toujours positif.
    Ainsi $p(x)$ est du signe de $5-x$
    Or $5-x>0 \ssi x<5$
    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $p(x)=0 \ssi 5-x=0$ ou $x+1=0$
    Ainsi $p(x)=0 \ssi x=5$ ou $x=-1$.
    Pour résumé :
    – $p(x)<0$ si $x\in[5;+\infty[$
    – $p(-1)=p(5)=0$
    – $p(x)>0$ si $x\in]-\infty;-1[\cup]-1;5[$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $p$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} p'(x)&=-3x^2+3\times 2x+9 \\
    &=-3x^2+6x+9\end{align*}$
    $\quad$
  2. On étudie le signe de $p'(x)$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta &=6^2-4\times (-3)\times 9\\
    &=144\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{144}}{-6}\\
    &=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{144}}{-6}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-3<0$.
    Par conséquent : $p'(x)>0$ sur $[0;3[$ et $p'(x)<0$ sur $]3;5]$.
    La fonction $p$ admet donc un maximum atteint pour $x=3$ et sa valeur est $p(3)=32$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Partie A

Étudier sur $\R$ le signe de $P(x)=-10x^2-40x+120$.
$\quad$

Partie B

On se place dans un repère orthonormé. La courbe $H$ représentée sur le graphique ci -dessous est l’ensemble des points de l’hyperbole d’équation : $$y=\dfrac{10x+4}{x+2}$$
avec $x$ appartenant à l’intervalle $[0;8]$.

Pour toute abscisse 𝑥 dans l’intervalle $[0; 8]$, on construit le rectangle $ABDE$ comme indiqué sur la figure. On donne les informations suivantes :

  • $A$ et $B$ sont sur l’axe des abscisses ;
  • $A$ est d’abscisse $x$ ;
  • $B$ et $D$ ont pour abscisse $8$ ;
  • $E$ appartient à la courbe $H$ ;
  • $D$ et $E$ ont la même ordonnée.

L’objectif de ce problème est de déterminer la ou les valeurs éventuelles $x$ de l’intervalle $[0; 8]$ correspondant à un rectangle $ABDE$ d’aire maximale.

  1. Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 0$.
    $\quad$
  2. Déterminer l’aire du rectangle $ABDE$ lorsque $x = 4$.
    $\quad$

On définit la fonction $f$ qui à tout réel $x$ de $[0; 8]$, associe l’aire du rectangle $ABDE$.
On admet que : $$f(x)=\dfrac{-10x^2+76x+32}{x+2}$$

  1. Répondre au problème posé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

$P(x)$ est un polynôme du second degré.
Son discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-40)^2-4\times (-10)\times 120\\
&=6~400\\
&>0\end{align*}$
Il possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{40-\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{40+\sqrt{6~400}}{-20} \\
&=-6\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-10<0$.
Par conséquent :

  • $P(2)=P(-6)=0$;
  • $P(x)<0$ sur $]-\infty;-6[\cup]2;+\infty[$;
  • $P(x)>0$ sur $]-6;2[$.
    $\quad$

Partie B

  1. Si $x=0$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{4}{2}=2$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $8\times 2=16$.
    $\quad$
  2. Si $x=4$ alors l’ordonnée du point $E$ est $\dfrac{10\times 4+4}{4+2}=\dfrac{22}{3}$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc égale à $(8-4)\times \dfrac{22}{3}=\dfrac{88}{3}$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;8]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;8]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;8]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(-10\times 2x+76)(x+2)-\left(-10x^2+76x+32\right)\times 1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{-20x^2-40x+76x+152+10x^2-76x-32}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{-10x^2-40x+120}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    Par conséquent, la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;2]$ et décroissante sur l’intervalle $[2;8]$.
    L’aire du rectangle $ABDE$ est donc maximale quand $x=2$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1.  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=4x^3-48x^2+144x$.
    a. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x)=12\left(x^2-8x+12\right)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. Dans une plaque de carton carrée de $12$ cm de côté, on découpe, aux quatre coins, des carrés identiques afin de construire une boîte sans couvercle, comme indiqué sur les figures ci-dessous.
    On note $x$ la longueur (en cm) du côté de chacun des carrés découpés.
    On admet que $x\in]0;6[$.

    L’objectif est de déterminer la longueur $x$ permettant d’obtenir une boîte de volume maximal.
    a. Montrer que le volume de la boîte est égal à $100$ cm$^3$ pour $x=1$. Détailler le calcul.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour $x\in]0;6[$, le volume de la boîte est égal à $f(x)$, $f$ étant la fonction étudiée à la question 1.
    $\quad$
    c. Quelle est la valeur de 𝑥 permettant d’obtenir une boîte de volume maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=4\times 3x^2-48\times 2x+144\\
    &=12x^2-96x+144\\
    &=12\left(x^2-8x+12\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-8x+12$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-8)^2-4\times 1\times 12\\
    &=16\\
    &>0\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{8-\sqrt{16}}{2}\\
    &=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{8+\sqrt{16}}{2}\\
    &=6\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  2. a. Si $x=1$ alors le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} V(1)&=1\times (12-2)^2 \\
    &=100\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ appartenant à $]0;6[$ le volume de la boîte est :
    $\begin{align*} V(x)&=x\times (12-2x)^2 \\
    &=x\left(144-48x+4x^2\right) \\
    &=4x^3-48x^2+144x\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après le tableau de variations de la fonction $f$, le volume est maximal quand $x=2$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
    Etudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2 ; 0)$.
    a. Soit $M(x ; y)$ un point de $C$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. En déduire que $AM^2=x^2-3x+4$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point de $C$ le plus proche de $A$.
    Ce point est noté $B$ pour la suite.
    $\quad$
    d. Un élève affirme que la tangente en $B$ à $C$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
    $\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
    &=-\dfrac{-3}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout point $M(x;y)$ de $C$ on a $y=\sqrt{x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} AM^2&=(x-2)^2+(y-0)^2 \\
    &=x^2-4x+4+y^2 \\
    &=x^2-4x+4+x\\
    &=x^2-3x+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. $AM$ est minimal quand $AM^2$ est minimal, c’est-à-dire quand $f(x)$ est minimal.
    Ainsi $AM$ est minimal quand $x=1,5$.
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $\left(1,5;\sqrt{1,5}\right)$.
    $\quad$
    d. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ le nombre dérivée associé est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
    Ainsi, un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\end{pmatrix}$.
    De plus $\vect{AB}\begin{pmatrix}-0,5\\\sqrt{1,5}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vec{u}.\vect{AB}&=-0,5\times 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\times \sqrt{1,5}\\
    &=-0,5+\dfrac{1}{2}\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 2]$ par $f(x)=8x-2x^3$.
    a. Montrer que pour tout réel $x$ de $[0; 2]$, $f'(x)$ a le même signe que $4-3x^2$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0 ; 2]$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormal, on considère la parabole $p$ d’équation $y=x^2$ et la droite $\mathscr{D}$ d’équation $y=4$.
    On considère le rectangle $MSFE$ tel que :

    • $M$ un point de $p$ dont l’abscisse $x$ est un réel de $]0 ; 2[$.
    • $S$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe des ordonnées.
    • $E$ et $F$ sont respectivement les projetés orthogonaux de $M$ et $S$ sur la droite $\mathscr{D}$.
      $\quad$
      a. Lorsque l’abscisse $x$ du point $M$ varie dans $]0 ; 2[$, l’aire du rectangle $MSFE$ est-elle constante ?
      $\quad$
      b. Montrer que l’aire du rectangle $MSFE$ en fonction de l’abscisse $x$ de $M$ est $8x-2x^3$.
      $\quad$
      c. Montrer que l’aire maximale du rectangle $MSFE$ est $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
      $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0;2]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;2]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=8-2\times 3x^2 \\
    &=8-6x^2\\
    &=2\left(4-3x^2\right)\end{align*}$
    Donc $f'(x)$ est du signe de $4-3x^2$.
    $\quad$
    b. $4-3x^2=0 \ssi 3x^2=4$ $\ssi x^2=\dfrac{4}{3}$ $\ssi x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ou $x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
    $\begin{align*}4-3x^2>0 &\ssi -3x^2>-4\\
    &\ssi x^2<\dfrac{4}{3} \\
    &\ssi -\dfrac{2}{\sqrt{3}}<x<\dfrac{2}{\sqrt{3}}\end{align*}$
    Par conséquent :
    – $f'(x)>0$ sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right[$
    – $f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=0$
    – $f(x)<0$ sur $\left]\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$
    Ainsi $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right]$ et décroissante sur $\left[\dfrac{2}{\sqrt{3}};2\right[$.
    $\quad$
  2. a. On a $MS=2x$ et $ME=4-x^2$
    L’aire du rectangle $MSFE$ est donc :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=MS\times ME \\
    &=2x\left(4-x^2\right) \\
    &=8x-2x^3\\
    &=f(x)\end{align*}$
    L’aire du rectangle $MSFE$ n’est donc pas constante.
    $\quad$
    b. voir question précédente
    $\quad$
    c. D’après la question 1.b. la fonction $f$ atteint son maximum pour $x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.
    $\begin{align*} f\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)&=8\times \dfrac{2}{\sqrt{3}}-2\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^3\\
    &=\dfrac{16}{\sqrt{3}}-\dfrac{16}{3\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{32}{3\sqrt{3}}\end{align*}$
    L’aire maximale du rectangle $MSFE$ est donc $\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La concentration d’un médicament dans le sang en mg.L$^{-1}$ au cours du temps $t$, exprimé en heure, est modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $f(t)=t\e^{-0,5t}$ dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. Calculer la valeur exacte de $f(4)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    Montrer que pour tout $t\in[0;+\infty[$, $f'(t) = (1-0,5t)\e^{-0,5t}$
    $\quad$
  3. Étudier le signe de $f'(t)$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Déduire de la question précédente le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(4)&=4\e^{-0,5\times 4} \\
    &=4\e^{-2}\end{align*}$
    La concentration du médicament dans le sang au bout de $4$ heures est égale à $4\e^{-2}$ mg.L$^{-1}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $t\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1\times \e^{-0,5t}+t\times (-0,5)\e^{-0,5t} \\
    &=(1-0,5t)\e^{-0,5t}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $1-0,5t$.
    Or $1-0,5t=0 \ssi -0,5t=-1 \ssi t=2$
    $1-0,5t>0 \ssi -0,5t>-1 \ssi t<2$
    Ainsi :
    – $f'(t)>0$ sur $[0;2[$
    – $f(2)=0$
    – $f'(t)<0$ sur $]2;+\infty[$
    $\quad$
  4. On obtient par conséquent le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. La concentration maximale est atteinte au bout de $2$ heures et vaut $2\e^{-1} \approx 0,74$ mg.L$^{-1}$.
    $\quad$

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$\quad$

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Fonctions

E3C2 – 1ère

On procède, chez un sportif, à l’injection intramusculaire d’un produit. Celui-ci se diffuse progressivement dans le sang. On admet que la concentration de ce produit dans le sang (exprimée en mg/L = milligramme par litre) peut être modélisée par la fonction 𝑓, définie sur
l’intervalle $[0; 10]$ par :
$\hspace{2cm}f(x)= \dfrac{6x}{\e^x}$ où $x$ est le temps exprimé en heure.

Sa courbe représentative $C$ est donnée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan.

  1. Montrer que pour tout $x\in[0;10]$, la fonction dérivée de $f$, note $f’$, a pour expression : $$f'(x)=\dfrac{6-6x}{\e^x}$$
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f’$ sur $[0; 10]$ puis en déduire le tableau de variations de $f$ sur $[0; 10]$.
    $\quad$
  3. Quelle est la concentration maximale du médicament dans le sang ? (on donnera la valeur exacte et une valeur approchée à $10^{-1}$ près). Au bout de combien de temps est-elle atteinte ?
    $\quad$
  4. Ce produit fait l’objet d’une réglementation par la fédération sportive : un sportif est en infraction si, au moment du contrôle, la concentration dans son sang du produit est supérieure à $2$ mg/L.
    Le sportif peut-il être contrôlé à tout moment après son injection ? Expliquer votre raisonnement en vous basant sur l’étude de la fonction et/ou une lecture graphique sur la courbe $C$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6\times \e^x-\e^x\times 6x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{(6-6x)\e^x}{\e^{2x}}\\
    &=\dfrac{6-6x}{\e^x}\end{align*}$
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $6-6x$.
    Or $6-6x=0 \ssi x=1$ et $6-6x>0 \ssi -6x>-6 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  3. La concentration maximale du médicament dans le sang est $\dfrac{6}{\e} \approx 2,2$ mg/L. Elle est atteinte au bout d’une heure.
    $\quad$
  4. On a $f(1)>2$. Le sportif peut donc être en infraction.
    Graphiquement, on constate que $f(x)>2$ sur l’intervalle $[0,6;1,5]$ (valeurs approchées).
    Le sportif ne peut donc pas être contrôle à tout moment.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique $q$ milliers d’objets, $q\in [1; 20]$. Le coût total de fabrication, exprimé en euros en fonction de $q$, est donné par l’expression : $$C(q)=q^3-18q^2+750q+200$$

  1. a. Calculer le coût total de fabrication de $5~000$ objets.
    $\quad$
    b. Déterminer le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets.
    $\quad$
  2. Le coût moyen $C_M(q)$ de fabrication de $q$ milliers d’objets, exprimé en euros, est donné par l’expression : $$C_M(q)=\dfrac{C(q)}{q}=q^2-18q+750+\dfrac{200}{q}$$
    a. On note $C_M’$ la fonction dérivée, sur l’intervalle $[1; 20]$, de la fonction $C_M$.
    Montrer que, pour tout $q\in [1; 20]$, $$C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$$
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $C_M’$ et dresser le tableau de variation de la fonction $C_M$ sur l’intervalle $[1; 20]$.
    $\quad$
    c. Quel est le coût moyen minimal et pour quelle quantité d’objets est-il obtenu ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} C(5)&=5^3-18\times 5^2+750\times 5+200\\
    &=3~625\end{align*}$
    Le coût total de fabrication de $5~000$ objets est de $3~625$ euris.
    $\quad$
    b. $\dfrac{C(5)}{5}=725$.
    Le coût moyen de fabrication d’un millier d’objets lorsqu’on fabrique $5~000$ objets est de $725$ euros.
    $\quad$
  2. a. La fonction $C_M$ est dérivable sur l’intervalle $[1;20]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $q\in[1;20]$ on a :
    $\begin{align*} C_M'(q)&=2q-18+200\times \left(-\dfrac{1}{q^2}\right) \\
    &=\dfrac{2q^3-18q^2-200}{q^2}\end{align*}$
    Or :
    $\begin{align*} &2(q-10)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&(2q-20)\left(q^2+q+10\right)\\
    =~&2q^3+2q^2+20q-20q^2-20q-200\\
    =~&2q^3-18q^2-200\end{align*}$
    Ainsi $C_M'(q)=\dfrac{2(q-10)\left(q^2+q+10\right)}{q^2}$.
    $\quad$
    b. Un carré étant positif, le signe de $C_M'(q)$ ne dépend que de celui de $(q-10)\left(q^2+q+10\right)$.
    $q-10=0 \ssi q=10$ et $q-10>0 \ssi q>10$
    Sur $[1;20]$ on a $q^2+q+10>0$, par conséquent, $C_M'(q)$ est du signe de $q-10$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. Le coût moyen est minimal lorsque l’entreprise fabrique $10~000$ objets et vaut alors $690$ euros.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise produit du tissu.

Le coût total de production (en €) de l’entreprise est modélisé par la fonction $C(x)=15x^3-120x^2+500x+750$ où $x$ est la longueur de tissu fabriqué exprimée en kilomètre, $x$ étant compris entre $0$ et $10$.

Chaque kilomètre de tissu est vendu $680$ €.

On note $B(x)$ le résultat de l’entreprise, c’est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, pour la vente de $x$ kilomètres de tissu.

  1. Quel est le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu ?
    $\quad$
  2. Montrer que : $B(x)=-15x^3+120x^2+180x-750$.
    $\quad$
  3. Donner une expression de $B'(x)$, où $B’$ est la fonction dérivée de la fonction $B$.
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de signes de $B'(x)$ sur $[0; 10]$ puis le tableau de variations de la fonction $B$.
    $\quad$
  5. Combien de kilomètres de tissu l’entreprise doit-elle produire afin d’obtenir un résultat maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $C(3)=1~575$.
    Par conséquent
    $\begin{align*}R(3)&=680\times 3-C(3) \\
    &=465\end{align*}$
    Le résultat de l’entreprise pour la vente de $3$ kilomètres de tissu est $465$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B(x)&=680x-\left(15x^3-120x^2+500x+750\right) \\ &=-15x^3+120x^2+180x-750\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction $B$ est dérivable sur $[0;10]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $[0;10]$.
    Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;10]$ on a :
    $\begin{align*} B'(x)&=-15\times 3x^2+120\times 2x+180 \\&=-45x^2+240x+180\end{align*}$
    $\quad$
  4. On considère le trinôme $-45x^2+240x+180$ où $a=-45$, $b=240$ et $c=180$.
    Le discriminant est $\Delta = 240^2-4\times (-45)\times 180=90~000>0$
    Les racines sont donc :
    $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=6$ et $x_2=\dfrac{-240-\sqrt{90~000}}{-90}=-\dfrac{2}{3}$.
    $a=-45<0$
    Cela signifie donc que le trinôme est strictement négatif sur $[6;10]$, nul en $6$ et strictement positif sur $[0;6]$.
    On obtient le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  5. D’après le tableau de variations précédent, l’entreprise doit produit $6$ kilomètres de tissu pour obtenir un résultat maximal.
    $\quad$

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$\quad$

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