Bac – Métropole – jour 2 (secours) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

D’après l’énoncé on a $P(Q)=0,917$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)=0,65$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(Q)=P(Q\cap R)+P\left(Q\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,917=P(R)P_R(Q)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35(1-x) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35-0,35x \\
&\ssi 0,567=0,63x \\
&\ssi x=0,9\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_Q(R)&=\dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(Q)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{0,98\times 0,9}{0,917}\\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité pour que l’étudiant ait réussi l’examen sachant qu’il a répondu “oui” est environ égale à $0,962$.
$\quad$
On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que : $ P(N\pg n)\pg 0,65$.
D’après la calculatrice $P(N\pg 11) \approx 0,797$ et $P(N\pg 12)\approx 0,649$
Elle doit récompenser les étudiants ayant obtenus $11$ ou plus.
$\quad$
Remarque : Je pense que la réponse $12$ ou plus devrait être acceptée puisque $P(N \pg 12) \approx 0,65$ (mais est légèrement inférieure)
Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*} E(S)&=E\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=E\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10E(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \\
&=123\end{align*}$
$\quad$
Les variables aléatoires $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(S)&=V\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=V\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10V(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \times (1-0,615)\\
&=47,355\end{align*}$
$\quad$
a. $M$ correspond à la moyenne des notes des $10$ candidats.
Remarque : On l’appelle la moyenne empirique.
$\quad$
b. Par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*} E(M)&=\dfrac{1}{10}E(S) \\
&=\dfrac{123}{10} \\
&=12,3\end{align*}$.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} V(M)&=\dfrac{1}{10^2}V(S) \\
&=\dfrac{47,355}{100}\\
&=0,473~55\end{align*}$
$\quad$
c. $M$ possède une variance. On peut donc lui appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
$\begin{align*} P(10,3<M<14,3)&=P\left(-2<M-E(M)<2\right) \\
&=P\left(\abs{M-E(M)}<2\right) \\
&=1-P\left(\abs{M-E(M)}\pg 2\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(M)}{2^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
&\pg 0,882\end{align*}$
La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80\%$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un modèle discret

$\dfrac{15~000}{50~000}=0,3$ mg.$^{-1}$.
Cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg.$L^{-1}$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
Initialisation : $v_0=0,7$ et $v_1=0,92\times 0,7+0,3=0,944$.
On a bien $v_0\pp v_1\pp 4$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} \pp 4&\ssi 0,92v_n\pp 0,92 v_{n+1} \pp 3,68 \\
&\ssi 0,92v_n+0,3 \pp 0,92v_{n+1}+0,3 \pp 3,98 \\
&\ssi v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 3,98\end{align*}$
Ainsi $v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 4$ et $P'(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp v_{n+1} \pp 4$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell \in [0,7;4]$.
La fonction $f:~x\mapsto 0,92x+0,3$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,92x+0,3=x \\
&\ssi 0,3=0,08x \\
&\ssi x=3,75\end{align*}$
$\left(v_n\right)$ converge donc vers $3,75$.
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et converge vers $3,75$.
Il existe donc un rang à partir duquel $v_n>3$.
À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def alerte_chlore(S): n = 0 v = 0.7 while v <= s: n = n + 1 v = 0.92 * v + 0.3 return(n)

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def alerte_chlore(S):
   n = 0
   v = 0.7
   while v <= s:
      n = n + 1
      v = 0.92 * v + 0.3
   return(n)

$\quad$
D’après la calculatrice $v_{16} \approx 2,95$ et $v_{17} \approx 3,01$
Cet appel renverra donc la valeur $17$.
C’est donc à partir du $17$-ième jour que le taux de chlore ne sera pas conforme.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

L’équation différentielle est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque.
Or $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{4}$.
Ainsi, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
Autre méthode (beaucoup plus longue) Soit $C$ un réel. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-0,08\times x\e^{-0,08x} \\
&=-0,08x\e^{-0,08x}-0,08\times \dfrac{q}{4}+0,08\times \dfrac{q}{4} \\
&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}\end{align*}$
Ainsi $g$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
Soit $h$ un autre fonction solution de $(E)$.
On a alors, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} g'(x)-h'(x)&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}+0,08h(x)-\dfrac{q}{50} \\
&=-0,08\left(g(x)-h(x)\right)\end{align*}$
$g-h$ est donc solution de l’équation différentielle $(H):~y’=-0,08y$ dont l’ensemble solution est $\acco{x\in \R\mapsto K\e^{-0,08x},~\forall K\in \R}$.
Ainsi toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $x\mapsto C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
C’est en particulier le cas pour $f$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,08x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
b. On souhaite donc que $\dfrac{q}{4}=2 \ssi q=8$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+2$.
On veut également que $f(0)=0,7 \ssi C+2=0,7 \ssi C=-1,3$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : exploitation du graphique

Graphiquement $f(-1)=-2$ et $f'(-1)=1$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$).
$\quad$
Il semblerait que le point d’abscisse $-1,2$ soit un point d’inflexion de $C_f$. La fonction $C_f$ n’est donc pas convexe sur son ensemble de définition.
$\quad$
Il semblerait que l’équation $f(x)=0$ admette une unique solution dont une valeur approchée est $0,1$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

$\lim\limits_{x\to -2^+} x-2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to -2} x^2+2x-1=-1$
Ainsi $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=-2$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x+2+\dfrac{1}{x+2} \\
&=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\end{align*}$
$\quad$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+6x+5$ car $x+2>0$ sur $]-2;+\infty[$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=6^2-4\times 2\times 5=-4<0$
Le coefficient principal de ce polynôme est $2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $x^2+2x-1>0$.
Donc, pour tout réel $x>-2$ on a $f'(x)>0$ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2;+\infty[$.
D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,12$.
$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition et s’annule en $\alpha$.
Par conséquent :
$\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)>0$ sur $]-\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$f’$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{(4x+6)(x+2)-\left(2x^2+6x+5\right)\times 1}{(x+2)^2 } \\
&=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2} \end{align*}$
le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+8x+7$ qui est un polynôme du second degré dont le dénominateur est $\Delta=8>0$.
Il possède donc deux racines qui sont $\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}<-2$ et $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}>-2$.
$f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant qu’une seule fois en $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$C_f$ admet donc qu’un seul point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$

Partie C

On a $J(0;1)$ et $M\left(x;g(x)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} h(x)&=(x-0)^2+\left(g(x)-1\right)^2 \\
&=x^2+\left(\ln(x+2)-1\right)^2 \end{align*}$
$\quad$
a. D’après la question B.5. on obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
b. D’après le tableau de variations précédent $h$ admet un minimum en $\alpha$.
$JM^2$ est donc minimale en $\alpha$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $JM$ est minimale en $\alpha$^.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\
&\ssi \ln(\alpha+2)=1-\alpha^2-2\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}$ et celui de la tangente est $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} g'(\alpha)\times \dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}&=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha} \\
&=\dfrac{-(\alpha+2)}{\alpha+2} \\
&=-1\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Autre méthode : Un vecteur directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\vect{JM_{\alpha}}\begin{pmatrix} \alpha\\\ln(\alpha+2)-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ est $\vect{u_{\alpha}}\begin{pmatrix}1\\g'(\alpha)\end{pmatrix}$.
Or $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{JM_{\alpha}}.\vect{u_{\alpha}}&=\alpha+\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha+2} \\
&=\alpha+\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha+2} \\
&=\dfrac{\alpha^2+2\alpha-2\alpha-\alpha^2}{\alpha+2} \\
&=0\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Les points $A$, $C$ et $D$ définissent bien un plan.
De plus :
$\bullet ~8\times 2+0+0-16=16-16=0$
$\bullet ~ 32-20+4-16=36-36=0$
$\bullet ~0-0+16-16=0$
Les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l’équation cartésienne fournie.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$0-20+12-16=12-36=-24\neq 0$
Les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ fournie à la question précédente.
Donc $B$ n’appartient pas à $(ACD)$.
Les quatre points ne sont pas coplanaires.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}$
Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{2}{-1}\neq \dfrac{4}{-3}$.
Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
Une représentation paramétrique de $(AC)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}~~ $ où $t\in \R$.
Une représentation paramétrique de $(BH)$ est $\begin{cases} x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}~~ $ où $k\in \R$.
On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2t=-k\\4t=4-3k\\t=3-k\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2(3-k)=-k\\4(3-k)=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\12-4k=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\k=8\\t=-5\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
$-1-1+4-2=4-4=0$ : $H$ appartient au plan $(ABC)$.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{align*}1\\-1\\2\end{align*}$.
De plus $\vect{DH}\begin{align*}-1\\1\\-2\end{align*}$.
Ainsi $\vect{DH}=-\vec{n}$ et $\vect{DH}$ est normal au plan $(ABC)$.
Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1 (5 points)

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 \%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :

$65 \%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
$98 \%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire.

Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\boldsymbol{10^{-3}}$ près.

Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)$.
$\quad$
On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
b. Montrer que $x = 0,9$.
$\quad$
L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
$\quad$
La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
$\quad$
On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\ldots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$.
Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\ldots+N_{10}$.
Calculer l’espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
b. Justifier que $E(M)= 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
$\quad$
c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^3$ d’eau. On rappelle que $1$m$^3 = 1~000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L$^{-1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg. L$^{-1}$.

Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01$ mg. L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

Partie A : étude d’un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg. L$^{-1}$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
$\quad$
À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
$\quad$
Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en
langage Python pour que la fonction $\text{alerte_chlore}$ renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.

Python

def alerte_chlore(s) : n = 0 v = 0.7 while ………………… : n = ………… v = ………… return n

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def alerte_chlore(s) :
   n = 0
   v = 0.7
   while ………………… :
      n = …………
      v = …………
   return n

$\quad$
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction $\text{alerte_chlore(3)}$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)~:~ y’=-0,08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
$\quad$
a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7$ mg. L$^{-1}$.
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg. L$^{-1}$. Déterminer
les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ; +\infty[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f’$ sa dérivée et $d\sec$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ; -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
$\quad$
Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
$\quad$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$
En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que $C_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
$\quad$

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-dessous.

Soit $M$ un point de $C_g$ d’abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction ℎ définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

Justifier que pour tout $x>-2$, on a : $h(x)=x^2+\Big[\ln(x+2)-1\Big]^2$.
$\quad$
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ; +\infty[$.
Les limites ne sont pas demandées.
$\quad$
b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
$\quad$
On notera $M_{\alpha}$ le point de $C_g$ d’abscisse $\alpha$.
a. Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1-2\alpha-\alpha^2$.
$\quad$
b. En déduire que la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $$A(2; 0; 0), B(0; 4; 3), C(4; 4; 1), D(0; 0; 4 ) \text{ et } H(-1; 1; 2)$$

Affirmation 1 : les points $A,~C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x-5y+4z-16=0$.
$\quad$

Affirmation 2 : les points $A,~B,~C$ et $D$ sont coplanaires.
$\quad$

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
$\quad$

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.
Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Métropole – jour 1 – juin 2024

Métropole – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

$\bullet$ D’après les limites composées $\lim\limits_{x\to +\infty}x\e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
Par conséquent, l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbre $C_f$.
Affirmation 1 vraie.
$\quad$
$\bullet$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x} \\
&=5(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)+f(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x}+5x\e^{-x} \\
&=5\e^{-x}\end{align*}$
La fonction $f$ est bien solution de l’équation différentielle $(E)$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
$\bullet$ Si on considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n\in\N$ par $u_n=-1$, $w_n=1$ et $v_n=(-1)^n$.
On a bien $u_n\pp v_n \pp w_n$ ainsi que $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Or $\left(v_n\right)$ n’admet pas de limite.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
Remarque : Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont constantes. Il n’était pas précisé dans l’énoncé que les suites devaient être strictement monotones.
On peut cependant le faire en considérant, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.
$\quad$
$\bullet$ La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc, pour entier naturel $n$, on a $u_0 \pp u_n$.
La suite $\left(w_n\right)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n\pp w_0$.
Or $u_n \pp v_n\pp w_n$ donc $u_0\pp u_n \pp v_n \pp w_n \pp w_0$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P(S\cap I)&=P(I)P_I(S) \\
&=0,6\times 0,75 \\
&=0,45\end{align*}$
La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est égale à $0,45$.
$\quad$
$(I,M,G)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(S)&=P(S\cap I)+P(S\cap M)+P(S\cap G) \\
&=P(I)P_I(S)+P(M)P_M(S)+P(G)P_G(S) \\
&=0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8 \\
&=0,8\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(I)&=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,75}{0,8} \\
&\approx 0,563\end{align*}$
La probabilité que le client ait effectué son achat sur internet sachant qu’il est satisfait du service clientèle est environ égale à $0,563$.
$\quad$
a. On réalise de façon indépendante $30$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,8$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 25)&=1-P(X\pp 24) \\
&\approx 0,428\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $25$ clients soient satisfaits est environ égale à $0,428$.
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients satisfaits.
Pour les mêmes raisons qu’à la question précédente, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} P(Y\pp n-1) \pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=n)\pg 0,99 \\
&\ssi P(Y=n)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,8^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,8) \pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction }\ln \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \qquad \text {car }\ln(0,8)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,64$.
Il faut donc avoir un échantillon d’au moins $21$ personnes.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} E(T)&=E\left(T_1+T_2\right) \\
&=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right) \qquad \text{(linéarité de l’espérance)} \\
&=7\end{align*}$
$\begin{align*} V(T)&=V\left(T_1+T_2\right) \\
&=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right) \qquad \text{(indépendance)} \\
&=3\end{align*}$
$\quad$
b. $T$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur cette variable.
On veut calculer :
$\begin{align*} P(5\pp T\pp 9)&= P(4< T<10) \qquad (T \text{ est à valeur entière})\\
&=P\left(-3 <T-E(T)< 3\right) \\
&=P\left(\abs{T-E(T)} < 3\right) \\
&\pg 1-P\left(\abs{T-E(T)} \pg 3\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(T)}{3^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
&\pg 1-\dfrac{3}{9} \\
&\pg \dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{AC}\begin{pmatrix} -5\\-5\\10\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix} 0\\0\\-25/2\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
D’une part $\vect{n_1}.\vect{AC}=-5+5+0=0$
D’autre part $\vect{n_1}.\vect{CD}=0+0+0=0$
Ainsi $\vect{n_1}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$.
Il est donc normal au plan $(CAD)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc de la forme $x-y+d=0$
Or $C(0;0;10)$ appartient à ce plan. Donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc $x-y=0$.
$\quad$
a. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
De plus $\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=0$ : Le point précédent appartient également au plan $(CAD)$.
Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}=\dfrac{5}{2}\vect{n_1}$.
Donc $\vect{BH}$ est normal au plan $(CAD)$.
Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
$\quad$
a. $(BH)$ est orthogonal au plan $(CAD)$. Elle est donc en particulier orthogonale à la droite $(AH)$. $H$ appartient à ces deux droites. Elles sont donc perpendiculaires.
Ainsi $ABH$ est rectangle en $H$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}} \\
&=\sqrt{\dfrac{50}{4}} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{2}}\end{align*}$
De plus $\vect{AH}\begin{pmatrix}-5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}$
On a donc également $AH=\sqrt{\dfrac{25}{2}}$.
Ainsi, l’aire du triangle $ABH$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BH\times AH}{2} \\
&=\dfrac{~\dfrac{25}{2}~}{2} \\[3mm]
&=\dfrac{25}{4}\end{align*}$
$\quad$
a. On a $\vect{OC}\begin{pmatrix} 0\\0\\10\end{pmatrix}$
D’une part $\vect{OC}.\vect{BH}=0+0+0=0$
D’autre part $\vect{OC}.\vect{AH}=0+0+0=0$
Les vecteurs $\vect{AH}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{\dfrac{5}{2}} \neq \dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{-\dfrac{5}{2}}$
Ainsi $\vect{OC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BAH)$.
On a $\vect{OH}=\dfrac{1}{2}\vect{OA}$ donc $O$ appartient au plan $(BAH)$.
Par conséquent $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
$\quad$
b. Le volume de ce tétraèdre est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times OC \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{4}\times 10 \\
&=\dfrac{125}{6}\end{align*}$
$\quad$
On a $AB=5$ et $\vect{BC}\begin{align*} 0\\-5\\10\end{align*}$
Donc :
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(-5)^2+10^2} \\
&=\sqrt{125} \\
&=5\sqrt{5}\end{align*}$
Par conséquent, l’aire du triangle $ABC$ rectangle en $B$ est :
$\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{AB\times BC}{2} \\
&=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}\end{align*}$
Ainsi, en appelant $d$ la distance cherchée :
$\begin{align*} V=\dfrac{125}{6}&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times d =\dfrac{125}{6} \\
&\ssi d=\dfrac{125}{6}\times \dfrac{3}{25\sqrt{5}} \\
&\ssi d=\sqrt{5}\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}

a. $\lim\limits_{x\to 0} x-2=-2$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\quad$
b. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1+\dfrac{1}{2x} \\
&=\dfrac{2x+1}{2x}\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout réel $x>0$ on a $2x+1>0$ et $2x>0$ donc $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
d. $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*}f\dsec(x)&=-\dfrac{1}{2x^2} \\
&<0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f(1)=1-2=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{1}{2}\ln(2)>0$.
Ainsi $f(1) \pp f(\alpha) \pp f(2)$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $1\pp \alpha \pp 2$.
Ainsi $\alpha \in [1;2]$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$.
Ainsi :
$\bullet$ sur $]0;+\alpha[$ on a $f(x)<0$ ;
$\bullet$ $f(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ sur $]\alpha;+\infty[$ on a $f(x)>0$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=0 \\
&\ssi \dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=2-\alpha \\
&\ssi \ln(\alpha)=2(2-\alpha)\end{align*}$
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ par hypothèse.
Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x\right) \\
&=-\dfrac{7}{4}x+1+\dfrac{1}{2}x\ln(x)-\dfrac{1}{4}x \\
&=-2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x) \\
&=x\left(\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{1}{2}\ln(x) \right) \\
&=x\left(\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \right) \\
&=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\end{align*}$
$\quad$
a. Si $0<x<\dfrac{1}{\alpha}$ alors $\dfrac{1}{x}>\alpha$ et donc, d’après la question A.2.b., $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
Autre méthode : pour tout $x\in \left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$ on a $0<\alpha<\dfrac{1}{x}$.
Or, d’après la question A.2.a, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent $f( \alpha)<f\left(\dfrac{1}{x}\right)$, c’est-à-dire $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie C : un calcul d’aire

a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
$\begin{align*} g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)&=-\dfrac{1}{4}x^2 \ln(x) \\
&\pg 0 \quad \text{car } x\in ]0;1]\end{align*}$
La courbe $C_g$ est donc au-dessus de la parabole $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
$\quad$
b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\left]\dfrac{1}{\alpha};1\right]$ définie par : $$\begin{array}{lll} u(x)=\ln(x)&\phantom{123}&u'(x)=\dfrac{1}{x} \\[3mm]
v(x)=\dfrac{1}{3}x^3&&v'(x)=x^2\end{array}$$
$\begin{align*} \int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx&=\left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{1/\alpha}^1-\dfrac{1}{3} \int_{1/\alpha}^1 x^3\times \dfrac{1}{x} \dx \\
&=-\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)-\dfrac{1}{3}\int_{1/\alpha}^1 x^2\dx \\
&=\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln(\alpha)-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1/\alpha}^1 \\
&=\dfrac{1}{3\alpha^3}\times 2(2-\alpha)-\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{\alpha^3}\right) \\
&=\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9\alpha^3} \\
&=\dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$
$\quad$
On a donc
$\begin{align*} \mathcal{A}&=-\dfrac{1}{4}\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x) \dx \\
&=-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5x\e^{-x}$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
$\quad$
Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)~:~y’+y=5\e^{-x}$.
$\quad$
On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\pp v_n\pp w_n$.
De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Affirmation 3 : La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l’intervalle $[-1; 1]$.
$\quad$
On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0\pp v_n\pp w_0$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin
d’électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :

$75 \%$ pour les clients sur internet ;
$90 \%$ pour les clients en magasin d’électroménager ;
$80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

$I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
$M$ : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
$G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
$S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\conj{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
$\quad$
Démontrer que $P(S) = 0,8$.
$\quad$
Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ?
On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour $30$ clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des $30$ clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $30$ clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au moins $25$ clients soient satisfaits dans un échantillon de $30$ clients contactés sur une même journée.
$\quad$
En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
$\quad$
Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls
achats sur internet.
Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.
La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :
$\bullet$ L’espérance $E\left(T_1\right)= 4$ et la variance $V\left(T_1\right) = 2$ ;
$\bullet$ L’espérance $E\left(T_2\right)= 3$ et la variance $V\left(T_2\right) = 1$ ;
a. Déterminer l’espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
$\quad$
b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\dfrac{5}{2}\right)$.

a. Montrer que $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
$\quad$
b. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$.
$\quad$
On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=\dfrac{5}{2}t\\[3mm] y=5-\dfrac{5}{2}t\\[3mm] z=0\end{cases} \quad$ où $t\in \R$.
a. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
$\quad$
a. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
$\quad$
b. En déduire que l’aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
$\quad$
a. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
$\quad$
On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (6 points)

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln(x)$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
$\quad$
b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.
$\quad$
c. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
d. Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet dans $]0; +\infty[$ une solution unique qu’on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l’intervalle $[1 ; 2]$.
$\quad$
b. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in ]0 ; +\infty[$.
$\quad$
c. Montrer que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

Calculer $g'(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
$\quad$
a. Justifier que pour $x$ appartenant à l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
b. On admet le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$
En déduire le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.
Les images et les limites ne sont pas demandées.
$\quad$

Partie C : un calcul d’aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

La courbe $C_g$ de la fonction $g$ ;
La parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y=-\dfrac{7}{8}x^2+x$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On souhaite calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d’équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.

a. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l’intervalle $]0;1]$.
$\quad$
b. Démontrer l’égalité : $$\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$$
$\quad$
En déduire l’expression en fonction de $\alpha$ de l’aire $\mathcal{A}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Centres étrangers 2 – 6 juin 2024

Centres étrangers – 6 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On effectue $3$ tirages avec remise dans un ensemble à $8$ éléments. Il s’agit donc de déterminer le nombre de $3$-listes possibles constitués d’éléments de cet ensemble.
Il existe ainsi $8^3=512$ tirages possibles.
$\quad$
a. Il s’agit de compter le nombre d’arrangements possibles de $3$ éléments dans un ensemble à $8$ éléments.
Il y a donc $8\times 7\times 6=336$ tirages sans répétition de numéro.
$\quad$
b. Il y a donc $512-336=176$ tirages contenant au moins une répétition de numéro.
$\quad$
Nous sommes dans une situation d’équiprobabilité. Donc, pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $8$, tous les deux inclus, $P\left(X_1=k\right)=\dfrac{1}{8}$.
Remarque : On dit que $X_1$ suit la loi uniforme sur l’ensemble des entiers de $1$ à $8$.
$\quad$
L’espérance de $X_1$ est donc :
$\begin{align*}E\left(X_1\right)&=\dfrac{1}{8}\times 1+\dfrac{1}{8}\times 2+\ldots+\dfrac{1}{8}\times 8 \\
&=\dfrac{1}{8}\left(1+2+\ldots+8\right) \\
&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{8\times 9}{2} \\
&=\dfrac{9}{2}\end{align*}$
$\quad$
$X_1$, $X_2$ et $X_3$ suivent la même loi. Elles ont donc la même probabilité.
D’après la linéarité de l’espérance :
$\begin{align*} E(S)&=E\left(X_1+X_2+X_3\right) \\
&=E\left(X_1\right)+E\left(X_2\right)+E\left(X_3\right) \\
&=3E\left(X_1\right) \\
&=\dfrac{27}{2}\end{align*}$
$\quad$
L’unique façon pour que $S=24$ est d’obtenir le numéro $8$ au trois tirages.
Par conséquent $P(S=24)=\dfrac{1}{512}$.
$\quad$
a. Si le joueur obtient au plus trois $7$ alors la somme des numéros vaut au plus $3\times 7=21$. De même s’il obtient au plus deux $8$ et un $5$ la somme des numéros vaut $8+8+5=21$.
Les seuls tirages permettant d’avoir une somme supérieure ou égale à $22$ sont donc :
$7-7-8$ ; $7-8-7$ ; $8-7-7$ ; $7-8-8$ ; $8-7-8$ ; $8-8-7$ ; $8-8-8$ ; $8-8-6$ ; $8-6-8$ et $6-8-8$.
Il existe donc exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
$\quad$
b. La probabilité de gagner un lot vaut donc $\dfrac{10}{512}=\dfrac{5}{256}$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $\lim\limits_{x\to 1^-} \e^x=\e>0$ et $\lim\limits_{x\to 1^-} x-1=0^-$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
$\quad$
b. La droite d’équation $x=1$ est donc une asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x-1=-\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
a. Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $]-\infty;1[$.
Pour tout réel $x<1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x(x-1)-\e^x}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{\e^x(x-1-1)}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{\e^x(x-2)}{(x-1)^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x\pp 1$ on a :
$\bullet~x-2<0$
$\bullet~\e^x>0$
$\bullet~(x-1)^2>0$
Ainsi, $f'(x)<0$ pour tout réel $x<1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout réel $x<1$ on a $\e^x>0$ et $(x-1)^3<0$.
On étudie le signe du polynôme du second degré $x^2-4x+5$.
Son discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times 5\times 1=-4<0$.
Le signe de ce polynôme ne dépend donc que de celui de son terme principal. Ainsi, $x^2-4x+5>0$ sur $]-\infty;1[$.
Donc $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;1[$.
La fonction $f$ est par conséquent concave sur $]-\infty;1[$.
$\quad$
b. On a $f(0)=-1$ et $f'(0)=-2$.
Une équation de $T$ est donc $y=-2x-1$.
$\quad$
c. $f$ est concave sur $]-\infty;1[$. Sa courbe représentative est donc au-dessous de ses tangentes sur cet intervalle.
Ainsi :
$\begin{align*} f(x)\pp -2x-1 &\ssi \dfrac{\e^x}{x-1} \pp -2x-1 \\
&\ssi \e^x\pg (-2x-1)(x-1) \qquad \text{car } x-1<0\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;1[$.
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$ et De plus $\lim\limits_{x\to 1^-} f(x)=-\infty$.
Or $-2\in ]-\infty;0[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
$\quad$
b. On a $f(0,31) \approx -1,976>-2$ et $f(0,32) \approx -2,025<-2$.
Ainsi $f(0,31)>f(\alpha)>f(0,32)$
Par conséquent $0,31<\alpha<0,32$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$I$ a pour coordonnées $(0,5;0;0)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;1;0,5)$.
$\quad$
$H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$.
Ainsi $\vect{EJ}\begin{pmatrix}1\\1\\-0,5\end{pmatrix}$, $\vect{FH}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FI}\begin{pmatrix}-0,5\\0\\-1\end{pmatrix}$.
$\vect{FH}$ et $\vect{FI}$ n’ont pas la même composante nulle. Ils ne sont donc pas colinéaires.
D’une part : $\vect{EJ}.\vect{FH}=-1+1+0=0$
D’autre part : $\vect{EJ}.\vect{FI}=-0,5+0+0,5=0$
$\vect{EJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(FHI)$. Il est normal à ce plan.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est donc $x+y-0,5z+d=0$.
Or $F(1;0;1)$ appartient à ce plan. Donc $1+0-0,5+d=0 \ssi d=-0,5$.
Une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est par conséquent $x+y-0,5z-0,5=0$.
En multipliant cette équation par $-2$ on obtient alors $-2x-2z+z+1=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$ est : $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.
$\quad$
a. Les coordonnées du point $K$ sont donc les solutions du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-2x-2y+z+1=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\ -2t-2t+1-0,5t+1=0 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\-4,5t=-2 \end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=t\\z=1-0,5t\\t=\dfrac{4}{9} \end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=\dfrac{4}{9}\\[3mm] y=\dfrac{4}{9}\\[3mm] z=\dfrac{7}{9}\\t=\dfrac{4}{9} \end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{7}{9}\right)$.
$\quad$
b. Le triangle $EFI$ est isocèle en $I$.
Son aire est
$\begin{align*}\mathscr{A}&=\dfrac{EF\times IL}{2} \\
&=\dfrac{EF\times AE}{2} \\
&=\dfrac{1\times 1}{2} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$.
On appelle $L$ le milieu de $[FB]$. $L$ est également le projeté orthogonal du point $J$ sur le plan $(EFB)$.
Le volume de la pyramide $EFHI$ est donc :
$\begin{align*}V&=\dfrac{\mathscr{A}\times JL}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times 1}{3} \\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
Le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
$\quad$
c. On a $\vect{EK}\begin{pmatrix}\dfrac{4}{9}\\[3mm] \dfrac{4}{9}\\[3mm]-\dfrac{2}{9}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} EK&=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\[3mm]
&=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81} }\\[3mm]
&=\sqrt{\dfrac{36}{81}} \\[3mm]
&=\dfrac{6}{9} \\[3mm]
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent, en appelant $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $FHI$ on a :
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{\mathscr{B}\times EK}{3}=\dfrac{1}{6} \\[3mm]
&\ssi \mathscr{B}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2} \\[3mm]
&\ssi \mathscr{B}=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $FHI$ est $\dfrac{3}{4}$ cm$^2$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Par hypothèse, $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}} \\
&>0\end{align*}$
$f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Autre méthode : La fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x+1$.
Le coefficient directeur de cette fonction affine est $1>0$. Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
De plus, pour tout réel $x$ positif on a $g(x)\pg 0$.
Or, la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
Ainsi, par composition, $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f(x)-x&=\sqrt{x+1}-x\\
&=\left(\sqrt{x+1}-x\right)\times \dfrac{\sqrt{x+1}+x}{\sqrt{x+1}+x} \\
&=\dfrac{x+1-x^2}{\sqrt{x+1}+x} \\
&=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} \end{align*}$
$\quad$
D’après la question précédente, sur $[0;+\infty[$ :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
&\ssi \dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x} =0 \\
&\ssi -x^2+x+1=0 \qquad \text{car } \sqrt{x+1}+x>0\end{align*}$
Le discriminant de cette équation du second degré est $\Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5>0$.
Elle possède donc deux solutions $x_1=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}>0$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{-2}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}<0$.
L’équation $f(x)=x$ admet donc une unique solution sur $[0;+\infty[$ qui est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Remarque : Il s’agit du nombre d’or !
$\quad$

Partie B

Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
Initialisation : $u_1=\sqrt{6}$. Or $1<\sqrt{6}<5$.
Donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
La fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[$.
Par conséquent $f(1)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right)$
Soit $\sqrt{2}\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$. Or $1\pp \sqrt{2}$.
Donc $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone; elle converge.
$\quad$
$\left(u_n\right)$ converge et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f$ continue (car dérivable) sur $[0;+\infty[$.
De plus, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg 1>0$.
Par conséquent la limite $L$ de cette suite est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution sur $[0;+\infty[$ est $\ell$.
$\left(u_n\right)$ converge donc vers $\ell$.
$\quad$
a. D’après la calculatrice $\text{seuil(2)}$ renvoie $5$.
$\quad$
b. Cela signifie que $u_9$ est une approximation de $\ell$ à au moins $10^{-4}$ près.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de $1$ à $8$, indiscernables au toucher.
À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.
Dans ce contexte, on appelle « tirage » la liste ordonnée des trois numéros obtenus.
Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro $4$, puis le jeton numéro $5$, puis le jeton numéro $1$, alors le tirage correspondant est $(4 ; 5 ; 1)$.

Déterminer le nombre de tirages possibles.
$\quad$
a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.
$\quad$
b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.$\quad$

On note $X_1$ la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, $X_2$ celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et $X_3$ celle égale au numéro du troisième jeton pioché.
Puisqu’il s’agit d’un tirage avec remise, les variables aléatoires $X_1$, $X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire $X_1$.
$\quad$
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X_1$.
$\quad$

On note $S=X_1+X_2+X_3$ la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $S$.
$\quad$
Déterminer $P(S=24)$.
$\quad$
Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à $22$, alors il gagne un lot.
a. Justifier qu’il existe exactement $10$ tirages permettant de gagner un lot.
$\quad$
b. En déduire la probabilité de gagner un lot.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-\infty;1[$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{x-1}$.
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-\infty;1[$.
On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $1$.
$\quad$
b. En déduire une interprétation graphique.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
a. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty; 1[$ , on a $f'(x)=\dfrac{(x-2)\e^x}{(x-1)^2}$.
$\quad$
b. Dresser, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$ .
$\quad$
On admet que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]-\infty;1[$ , on a $f\dsec(x)=\dfrac{\left(x^2-4x+5\right)\e^x}{(x-1)^3}$.
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
$\quad$
b. Déterminer l’équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $\infty;1[$ , on a : $\e^x\pg (-2x-1)(x-1)$.
$\quad$
a. Justifier que l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty; 1[$.
$\quad$
b. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Le cube $ABCDEFGH$ a pour arête $1$ cm.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ et le point $J$ est le milieu du segment $[CG]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{EJ}$ est normal au plan $(FHI)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(FHI)$ est $-2x-2y+z+1=0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EJ)$.
$\quad$
a. On note $K$ le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(FHI)$.
Calculer ses coordonnées.
$\quad$
b. Montrer que le volume de la pyramide $EFHI$ est $\dfrac{1}{6}$ cm$^3$.
On pourra utiliser le point $L$, milieu du segment $[EF]$. On admet que ce point est le projeté orthogonal du point $I$ sur le plan $(EFH)$.
$\quad$
c. Déduire des deux questions précédentes l’aire du triangle $FHI$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (4 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x+1}$.
On admet que cette fonction est dérivable sur ce même intervalle.

Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; +\infty[$ :
$$f(x)-x=\dfrac{-x^2+x+1}{\sqrt{x+1}+x}$$
$\quad$
En déduire que sur l’intervalle $[0; +\infty[$ l’équation $f(x)=x$ admet pour unique solution : $$\ell =\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$$
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=5$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie pour tout entier naturel $n$.

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
On considère le script Python ci-dessous :

Python

from math import * def seuil(n): u = 5 i = 0 L = (1 + sqrt(5)) / 2 while abs(u - L) >= 10**(-n): u = sqrt(u + 1) i = i + 1 return(i)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

from math import *
def seuil(n):
  u = 5
  i = 0
  L = (1 + sqrt(5)) / 2
  while abs(u - L) >= 10**(-n):
    u = sqrt(u + 1)
    i = i + 1
  return(i)

On rappelle que la commande $\text{abs(x)}$ renvoie la valeur absolue de $\text{x}$.

a. Donner la valeur renvoyée par $\text{seuil(2)}$.
$\quad$
b. La valeur renvoyée par $\text{seuil(4)}$ est $9$.
Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Bac – Centres étrangers 1 – 5 juin 2024

Centres étrangers – 5 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
&=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On pouvait simplifier l’expression initiale de $f(x)$ en $f(x)=\dfrac{0,32x}{0,31x+0,01}$.
$\quad$
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut déterminer :
$\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
&=0,96x\end{align*}$
$\quad$
$\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
&=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
&=0,96x+0,03(1-x) \\
&=0,93x+0,03\end{align*}$
La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
&=f(x)\end{align*}$
Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
$\quad$
a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
On veut donc résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
&\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
&\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
&\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
&\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
$\quad$
b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
&\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
&\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
&\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
$\quad$
b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
&=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
$\quad$
b. On peut écrire :

Python

from math import * def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u > 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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from math import *
def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u > 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
$\quad$

c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
Ainsi $0=y$.
L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
$\quad$
L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a
$h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
Or :
$\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
&=\cos(x)-2\sin(x) \\
&=h'(x)\end{align*}$
$h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Soit $f$ une solution de $(E)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
&=f(x)-h(x) \\
&=(f-h)(x)\end{align*}$
Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
$\quad$
Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
&=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
Donc $f$ est solution de $(E)$.
$\quad$
Il y a bien équivalence entre “$f$ est solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
$\quad$
D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
$\quad$
Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
&=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
$f$ est bien solution de $E$.
$\quad$
L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
$g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
&=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
$\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
$\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
b. Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
$\quad$
a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
La distance cherchée est donc :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
&=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
&\approx 1,18\end{align*}$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
$\quad$
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
$\quad$

On note :

$D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
$T$ l’évènement : « le test est positif ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
$\quad$
On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
$\quad$
c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp 1$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
$\quad$
a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
$\quad$
b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u ... 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u ... 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

$\quad$
c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
$\quad$
Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
$\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
$\quad$
En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
$\quad$
Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in \R$.
la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
$\quad$
a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 22 mai 2024

Amérique du Nord – 22 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R) \\
&=0,2286\times 0,0808 \\
&\approx 0,0185\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à $0,0185$.
$\quad$
$\left(N,\conj{N}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(R)&=P(N\cap R)+P\left(\conj{N}\cap R\right) \\
&=P(N)\times P_N(R)+P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}(R)\\
&=0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127 \\
&\approx 0,0283\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à $0,0283$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&\approx \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,0283} \\
&\approx 0,6527\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable est environ égale à $0,6527$.
$\quad$

Partie B

On effectue $500$ tirages aléatoires. Le probabilité que le véhicule soit neuf est environ égale à $0,65$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=325)&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325} \\
&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times 0,35^{175} \\
&\approx 0,0374\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs est environ égale à $0,0374$.
$\quad$
On a, d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X\pg 325)&=1-P(X\pp 324) \\
&\approx 0,5206\end{align*}$
La probabilité pour qu’au moins $325$ véhicules soient neuf parmi les $500$ véhicules hybrides rechargeables est environ égale à $0,5206$.
$\quad$

Partie C

On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules choisis.
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,65$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$.
Donc :
$\begin{align*} p_n&=P(Y=0)\\
&=(1-0,65)^n \\
&=0,35^n\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} q_n\pg 0,9999 &\ssi P(Y\pg 1)\pg 0,9999 \\
&\ssi 1-p_n\pg 0,9999 \\
&\ssi p_n \pp 0,0001 \\
&\ssi 0,35^n \pp 0,0001 \\
&\ssi n\ln(0,35) \pp \ln(0,0001) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi n \pp \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} \qquad \ln(0,35)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$.
La plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\pg 0,9999$ est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $F(3;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $M(1,5;1;0)$
$\quad$
a. On a $\vect{FH}\begin{pmatrix} -3\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FM}\begin{pmatrix}-1,5\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent :
$\vec{n}.\vect{FH}=-6+6+0=0$
$\vec{n}.\vect{FM}=-3+6-3=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$.
$\vec{n}$ est ainsi un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc de la forme $2x+6y+3z+d=0$.
$F(3;0;1)$ appartient à ce plan.
Donc $6+0+3+d=0 \ssi d=-9$.
Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc $2x+6y+3z-9=0$.
$\quad$
c. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-3}{3}$.
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont donc pas colinéaires et les plans $\mathcal{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
On a $D(0;1;0)$ et $G(3;1;1)$ donc $\vect{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DG)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
On recherche l’ensemble solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\2x+6y+3z-9=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\6t+6+3t-9=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\9t=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\\[3mm]t=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}2\times 3+6\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{2}-9&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\
&=0
\end{align*}$
Le point $R$ appartient à $(HMF)$.
$\quad$
$\vect{GR}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{3}{4}\\[3mm]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ or $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{6}$
$\vec{n}$ et $\vect{GR}$ ne sont pas colinéaires.
$\vect{GR}$ n’est donc pas orthogonal au plan $(HMF)$.
$R$ n’est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g'(x)=2-2x$.
Or $2-2x=0\ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi 2>2x\ssi 1>x$.
$g$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
$g(0)=0$ et $g(1)=1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_1&=g\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=g\left(\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{15}{16}\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<u_{n+1}<1$.
Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{3}{4}$.
Or $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}<1$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $0<u_n<u_{n+1}<1$.
La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ donc $g(0)<g\left(u_n\right)<g\left(u_{n+1}\right)<g(1)$.
Ainsi $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge.
$\quad$
La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} x=g(x)&\ssi x=2x-x^2 \\
&\ssi x-x^2=0 \\
&\ssi x(x-1)=0\end{align*}$
Cette équation possède exactement deux solutions $0$ et $1$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0>0$. Par conséquent $\ell =1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*}v_{n+1}&=\ln\left(1-u_{n+1}\right) \\
&=\ln\left(1-2u_n+u_n^2\right) \\
&=\ln\left(\left(1-u_n\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(1-u_n\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$.
$\quad$
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=-\ln(2)\times 2^n$.
$\quad$
Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} -\ln(2)\times 2^n=\ln\left(1-u_n\right) &\ssi 1-u_n=\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \\
&\ssi u_n=1-\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \end{align*}$
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ car $2>1$.
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}-\ln(2)\times 2^n=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95 : n = n + 1 u = 2 * u - u**2 return n

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.5
   while u < 0.95 :
      n = n + 1
      u = 2 * u - u**2
   return n

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi a\ln(x)=0 \\
&\ssi \ln(x)=0 \qquad \text{car } a>0\\
&\ssi x=1\end{align*}$
Le point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses a donc pour coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=a\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right )\\
&=a\left(\ln(x)+1-1\right) \\
&=a\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f$ est une fonction continue et positive sur $[1;+\infty[$. De plus $x_0\pg 1$.
Par conséquent l’aire du domaine grisé est :
$\begin{align*} \int_1^{x_0}f(x)\dx&=\Big[F(x)\Big]_1^{x_0} \\
&=F\left(x_0\right)-F(1) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0\right)-a\left(-1\right) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0+1\right)\end{align*}$
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par une constante.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}$
Une équation de $T$ est $y=f’\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.
$f’\left(x_0\right)=\dfrac{a}{x_0}$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)$.
Son ordonnée à l’origine est donc $\dfrac{a}{x_0}\times \left(-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)=-a+a\ln\left(x_0\right)$.
Ainsi $A$ a pour coordonnées $\left(0;-a+a\ln\left(x_0\right)\right)$.
$B$ a pour coordonnées $\left(0;f\left(x_0\right)\right)$ soit $\left(0;a\ln\left(x_0\right)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} AB&=a\ln\left(x_0\right)-\left(-a+a\ln\left(x_0\right)\right) \\
&=a\end{align*}$
$AB$ est donc constante et vaut $a$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Les données publiées le 1$^\text{er}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86 \%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
$8,08 \%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
$1,27 \%$ des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

$N$ l’événement « le véhicule est neuf » ;
$R$ l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
$\conj{N}$ et $\conj{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
$\quad$
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
$\quad$
Déterminer la probabilité $p(X\pg 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d’occasion.
$\quad$
2. On note $q_n$ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \pg 0,9999$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vect {AB}=3\vect{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect {AI};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
$$2x+6y+3z-9=0$$
$\quad$
c. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x-15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
$\quad$
On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$.
$\quad$
Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2}\\[3mm] u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln\left(1-u_n\right)$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
$\quad$
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
$\quad$
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = ... u = ... return n

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def seuil():
  n = 0
  u = 0.5
  while u < 0.95:
     n = ...
     u = ...
  return n

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=a\ln(x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses.
$\quad$
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.
$\quad$

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d’abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la tangente $T$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l’on déterminera. Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 21 mai 2024

Amérique du Nord – 21 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\begin{align*} P(R\cap E)&=P(R)P_R(E) \\
&=0,07\times 0,8 \\
&=0,056\end{align*}$
$\quad$
$\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(E)&=P(R\cap E)+P\left(\conj{R}\cap E\right) \\
&=P(R)P_R(E)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(E) \\
&=0,056+0,93\times 0,4 \\
&=0,428\end{align*}$
La probabilité de tirer une épée est égale à $0,428$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_E(R)&=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)} \\
&=\dfrac{0,056}{0,428} \\
&\approx 0,131\end{align*}$
La probabilité que l’objet soir rare sachant qu’il a tiré une épée est environ égale à $0,131$.
$\quad$

Partie B

On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,07$.
$X$ suit donc la lo binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,07$.
Son espérance est $E(X)=np=2,1$.
$\quad$
On a d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X<6)&=P(X\pp 5) \\
&\approx 0,984\end{align*}$
$\quad$
$\left(P(X\pg k)\right)$ est une suite décroissante.
Or $P(X\pg 2) \approx 0,631\pg 0,5$ et $P(X\pg 3)\approx 0,351<0,5$.
Par conséquent le plus grand entier $k$ tel que $P(X\pg k) \pg 0,5$ est $2$.
La probabilité d’obtenir au moins $2$ objets rares est supérieure à ou égale $0,5$.
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’objets rares obtenus lorsqu’un joueur tire $N$ objets.
Pour la même raison qu’à la question B.1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,07$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,95 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,95 \\
&\ssi P(X=0) \pp 0,05 \\
&\ssi 0,93^N \pp 0,05 \\
&\ssi N\ln(0,93) \pp \ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)} \qquad \text{car } \ln(0,93)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)}\approx 41,28$.
Il faut donc tirer au moins $42$ objets afin que la probabilité de tirer au moins un objet rare soit supérieure ou égale à $0,95$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi, en utilisant le point $A(1;0;3)$, une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases} \quad t\in \R$.
Réponse c
$\quad$
On constate qu’il faut choisir $t=1$ pour avoir $y=6$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
Or avec cette valeur de $t$ on obtient aucune des trois premières propositions. La bonne réponse doit donc être la dernière.
Vérifions cela.
$6t=-9 \ssi t=-\dfrac{3}{2}$.
Avec cette valeur on obtient alors $x=-3$, $y=-9$ et $z=7$.
Réponse d
$\quad$
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{-2}{1}\neq \dfrac{6}{-2}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ ne sont ni parallèles, ni confondues.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\4-2t=1+k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\4t-3k=-5\\6t+2k=-1\\3-2t=k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\4t+9t-6=-5\\6t-6t+4=-1\\k=3-2t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\13t=1\\4=-1 \qquad \text{impossible}\\k=3-2t\end{cases}\end{align*}$
Le système n’admet donc pas de solution. Les droites ne sont pas sécantes non plus. Elles sont donc non coplanaires.
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plant $(P)$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne du plan $(P)$ est alors de la forme $4x+6y-2z+d=0$.
Le point $I(2;1;0)$ appartient à ce plan.
Ainsi $8+6+d=0 \ssi d=-14$.
Une équation cartésienne de $(P)$ est alors $4x+6y-2z-14=0$ soit, en divisant les deux membres par $2$, $2x+3y-z-7=0$.
Réponse a
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

Graphiquement $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(T)$. Ainsi il semble que $f'(1)= 3$.
Une équation réduite de $(T)$ semble être $y=3x-4$.
$\quad$
La courbe $\left(C_f\right)$ semble être en-dessous de ses tangentes sur $]0;1]$ et au-dessus sur $[1;+\infty[$.
Donc $f$ semble être concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
$A$ serait donc un point d’inflexion pour $\left(C_f\right)$.
$\quad$

Partie B : étude analytique

$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \ln(t)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln\left(x^2\right)=+\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
&=x\times 2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln(x)-\dfrac{1}{x}\end{align*}$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant la dernière expression de $f(x)$
$\begin{align*} f'(x)&=2\ln(x)+2x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\
&=2\ln(x)+2+\dfrac{1}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3} \\
&=\dfrac{2x^2-2}{x^3} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x^3} \\
&=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x^3}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2(x+1)}{x^3}>0$.
Ainsi, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
$f$ est donc concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$f’$ atteint donc son minimum en $1$. Or $f'(1)=3>0$.
Donc, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
$f$ est ainsi strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,33$.
On a :
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right)-\dfrac{1}{\alpha}=0 \\
&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right) =\dfrac{1}{\alpha} \\
&\ssi \ln\left(\alpha^2\right)=\dfrac{1}{\alpha^2} \qquad \text{car } \alpha \neq 0 \\
&\ssi \alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \qquad \text{croissance de la fonction } \exp\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a :
$\begin{align*} I_0&=\int_0^{\pi} \sin(x)\dx \\
&=\big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} \\
&=-(-1)-1 \\
&=2\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ on a $\e^{-nx}>0$.
Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x)\pg 0$.
Ainsi, pour tout réel $x\in [0;\pi]$ et tout entier naturel $n$, on a $\e^{-nx}\sin(x)\pg 0$.
Par positivité de l’intégrale, $I_n\pg 0$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} I_{n+1}-I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx -\int_0^{\pi} \e^{-n)x}\sin(x)\dx \\
&=\int_0^{\pi} \left(\e^{-(n+1)x}-\e^{-nx}\right) \sin(x)\dx \\
&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\dx\end{align*}$
Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\e^{-nx}>0$, $\e^{-x}\pp 1$ et $\sin(x)\pg 0$.
Ainsi $\e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\pp 0$.
Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_{n+1}-I_n\pp 0$.
$\quad$
c. La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge donc.
$\quad$
a. Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x) \pp 1$.
Pour tout entier naturel $n$ on a ainsi $\e^{-nx}\sin(x) \pp \e^{-nx}$.
Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_n\pp \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel non nul
$\begin{align*} \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx&=\left[-\dfrac{\e^{-nx}}{n}\right]_0^{\pi} \\
&=-\dfrac{\e^{-n\pi}-1}{n} \\
&=\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}\end{align*}$
$\quad$
c. D’après les questions précédentes on a $0\pp I_n \pp \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-n\pi}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
$\quad$
a. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=\e^{-nx}&\phantom{1234}&u'(x)=-n\e^{-nx} \\
v(x)=-\cos(x)&&v'(x)=\sin(x)\end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
&=\Big[-\e^{-nx}\cos(x)\Big]_0^{pi}-n\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \\
&=1+\e^{-n\pi}-nJ_n\end{align*}$
$\quad$
On réalise une autre intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=sin(x)&\phantom{1234}&u'(x)=\cos(x) \\
v(x)=-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}&&v'(x)=\e^{-nx}\end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
&= \left[-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x)\right]_0^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
&=\dfrac{1}{n}J_n\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} 1+\e^{-n\pi}-nJ_n=\dfrac{1}{n}J_n&\ssi \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n=1+\e^{-n\pi} \\
&\ssi \dfrac{1+n^2}{n}J_n=1+\e^{-n\pi} \\
&\ssi J_n=\dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi}\right)\end{align*}$
Or
$\begin{align*} I_n&=\dfrac{1}{n}J_n \\
&=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi} \right)\\
&=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :

Python

from math import * def seuil(): n = 0 I = 2 while I >= 0.1 : n = n + 1 I = (1 + exp(-n * pi) / (n * n + 1) return n

1
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from math import *
def seuil():
   n = 0
   I = 2
   while I >= 0.1 :
      n = n + 1
      I = (1 + exp(-n * pi) / (n * n + 1)
   return n

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d’objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

la probabilité de tirer un objet rare est de $7 \%$ ;
si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de $80 \%$ ;
si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de $40 \%$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.
On note :

$R$ l’événement « le joueur tire un objet rare » ;
$E$ l’événement « le joueur tire une épée » ;
$\conj{R}$ et $\conj{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$.

Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R\cap E)$.
$\quad$
Calculer la probabilité de tirer une épée.
$\quad$
Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
$\quad$
Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$
Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\pg k) \pg 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de $7 \%$.
Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(1; 0; 3)$ et $B(4; 1; 0)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
a. $\begin{cases} x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
b. $\begin{cases} x=1+4t\\y=t\\z=3\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
c. $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
d. $\begin{cases} x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
$\quad$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.

Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
a. $M(7; 6; 6)$
b. $N(3; 6; 4)$
c. $P(4; 6; -2)$
d. $R(-3; -9; 7)$
$\quad$
On considère la droite $(d’)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases}~~$ avec $k\in \R$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont :
a. sécantes
b. non coplanaires
c. parallèles
d. confondues
$\quad$
On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2; 1; 0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est :
a. $2x+3y-z-7=0$
b. $-x+y-4z+1=0$
c. $4x+6y-2z+9=0$
d. $2x+y+1=0$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=x \ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $(1; -1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0; -4)$.

Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\left(C_f\right)$ ?
$\quad$

Partie B : étude analytique

Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f \dsec(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$
$\quad$
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $f’$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : $$\alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$

$\quad$

Exercice 4 (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :

$$\begin{array}{l} I_n= \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx\\J_n=\ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \end{array}$$

Calculer $I_0$.
$\quad$
a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \pg 0$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_ {n+1}-I_n \pp 0$.
$\quad$
c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $$I_n \pp \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$$
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx =\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$$
$\quad$
c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
$\quad$
a. En intégrant par parties l’intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n\pg 1$ :
$$I_n=1+\e^{-n\pi}-nJ_n \qquad \text{et} \qquad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $I_n=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}$.
$\quad$
On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ dévient inférieur à $0,1$.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Python

from math import * def seuil(): n = 0 I = 2 . . . n = n+1 I = (1 + exp(-n * pi)) / (n * n + 1) return n

1
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from math import *
def seuil():
  n = 0
  I = 2
  . . .
    n = n+1
    I = (1 + exp(-n * pi)) / (n * n + 1)
  return n

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 7 septembre 2023

Polynésie – 7 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(E\cap C)&=P(E)\times P_E(C) \\&=0,2\times 0,5 \\
&=0,1\end{align*}$
La probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique est égale à $0,1$.
$\quad$
b. $(E,T)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(C)&=P(E\cap C)+P(T\cap C) \\
&=0,1+P(T)\times P_T(C) \\
&=0,1+0,8\times 0,375 \\
&=0,1+0,3\\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,1}{0,4} \\
&=0,25\end{align*}$
La probabilité qu’un client ayant consulté la plate-forme numérique souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est égale à $0,25$.
$\quad$
a. On répète $17$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,2$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=17$ et $p=0,2$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P(X\pg 3)&=1-P(X\pp 2) \\
&=1-\left(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right) \\
&=1-\left(0,8^{17}+\dbinom{17}{1}\times 0,2\times 0,8^{16}+\dbinom{17}{2}\times 0,2^2\times 0,8^{15}\right) \\
&\approx 0,69\end{align*}$
La probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée est environ égale à $0,69$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x \\
&=\e^{-x}\left(x+\dfrac{1}{2}+x\e^x\right)\end{align*}$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\infty$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^{x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
$f(x)=x\e^{-x}+\dfrac{1}{2}\e^{-x}+x$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(1-x- \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x}+1\end{align*}$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}- \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x} \\
&=\left(-1-\dfrac{1}{2}+x\right)\e^{-x} \\
&=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-\dfrac{3}{2}$.
Or $x-\dfrac{3}{2}>0\ssi x>\dfrac{3}{2}$.
La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
c. $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{3}{2}$.
Or $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\e{-3/2}+1>0$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&\pg f’\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. D’après la calculatrice une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution est $0,285$.
$\quad$

Partie B

Graphiquement, il semblerait que la courbe représentative de la fonction $h$ possède un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $1.5$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $h\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$
D’après la partie A, $h\dsec(x)>0$ si, et seulement si, $x>\dfrac{3}{2}$.
De plus, la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $h(x)=0$ si, et seulement si, $x-\dfrac{3}{2}=0$ c’est-à-dire si $x=\dfrac{3}{2}$.
$h\dsec$ s’annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac{3}{2}$.
La courbe représentative de la fonction $h$ possède donc bien un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{-2,5-3,5}{-2-2} \\
&=\dfrac{3}{2} \end{align*}$
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{3}{2}x+p$.
$A$ appartient à cette droite donc
$-2,5=-2\times \dfrac{3}{2}+p\ssi -2,5=-3+b\ssi p=0,5$.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$.Remarque : On pense à vérifier de tête, au brouillon ou à l’aide de la calculatrice que les coordonnées du point $B$ vérifient bien cette équation.
$\quad$
$h$ est dérivable sur $\R$ d’après l’énoncé.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=a\e^{-x}-(ax+b)\e^{-x}+1 \\
&=(a-ax-b)\e^{-x}+1\end{align*}$
Ainsi $h'(0)=a-b+1$ et $h(0)=b$
La droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$.
Donc $h'(0)=\dfrac{3}{2}$ et $h(0)=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent $b=\dfrac{1}{2}$ et $a-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\ssi a=1$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On peut étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ pour en déduire les variations de $f$ sur $\R$.
Mais on peut également remarquer que $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $\dfrac{3}{4}>0$.
De plus $\dfrac{-(-2)}{2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}$.
$f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};+\infty\right[$.
D’après la limite des termes de plus haut degré :
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\pg \dfrac{4}{3}$
$f(2)=2\pp 2$
Donc, pour tout $x\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$ on a $f(x)\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 \\
&=\dfrac{3}{4}\left(x^2-4x+4\right) \\
&=\dfrac{3}{4}(x-2)^2\\
&\pg 0\end{align*}$
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)\pg x$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
Initialisation : $u_1=f\left(u_0\right)$
Donc, d’après la question 3 on a $u_1\pg u_0$.
D’près la question 2 on a $u_1 \in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp 2$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$u_n\pp u_{n+1}\pp 2$.
La fonction $f$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$ c’est-à-dire $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Elle est par conséquent convergente.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
&\ssi \dfrac{3}{4}(x-2)^2=0 \\
&\ssi x-2=0 \\
&\ssi x=2\end{align*}$
Or $2\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $2$.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while u < 100 :} \\
\qquad \text{u = 3/4 * u**2 – 2 * u + 3} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Supposons que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
D’après l’étude faite à la question 4.c on a donc $\ell =2$.
Pour tout $n\in \N$ on a : $u_n\pp f\left(u_n\right)$ c’est-à-dire $u_n \pp u_{n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg u_0 > 2$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$. Ce qui est absurde.
La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}$
Tous les vecteurs directeurs de $(d)$ sont orthogonaux à ces deux vecteurs.
Or :
$\vec{u_4}.\vect{AB}=-12+12+0=0$ et $\vec{u_4}.\vect{BC}=4-4+0=0$
Réponse d

$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ ou encore $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$.
La seule représentation paramétrique qui permet d’extraire un vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est celle de la réponse c. (Les deuxièmes composantes sont nulles dans les cas a et b, et les deux premières composantes sont de même signe dans le cas d).
Réponse c

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}$.
Or $\vect{v_3}=-\vec{v}$.
Réponse c

$\quad$

Question 4

Prenons $t=-7$ dans la représentation paramétrique de $(d’)$.
On obtient alors : $\begin{cases} x=-6+56 \\y=-28\\z=6-35\end{cases}$ c’est-à-dire les coordonnées du point $M_1$.
Réponse a

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal au plan d’équation $x=1$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.
Réponse a

$\quad$

Énoncé

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.
Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plateforme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

$20 \%$ des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et $80 \%$ préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.

On considère les événements suivants :

$C$ : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
$E$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
$T$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.
On pourra utiliser un arbre pondéré.
$\quad$
b. Démontrer que $P(C) = 0,4$.
$\quad$
c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.
Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.
$\quad$
La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x$$

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
$\quad$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
a. Démontrer que , pour tout $x\in \R$, $$f\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$$
$\quad$
b. En déduire les variations et le minimum de la fonction $f’$ sur $\R$.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\in \R$, $f'(x)>0$.
$\quad$
d. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
$\quad$

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $R$, ayant une expression de la forme $h(x) = (ax+b )\e^{-x}+x$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

la courbe représentative de la fonction $h$ ;
les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-2 ; -2,5)$ et $(2 ; 3,5)$.

Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.
$\quad$
Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d’expression
$$h\dsec(x)=-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+x\e^{-x}$$
valider ou non la conjecture précédente.
$\quad$
Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
$\quad$
Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d’abscisse $0$, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+3$$

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$, $f(x)$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Démontrer que pour tout $x$ réel, $x\pp f(x)$.
Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ : $$f(x)-x=\dfrac{3}{4}(x-2)^2$$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}{u_n}^2-2u_n+3$.

Étude du cas : $\dfrac{4}{3} \pp u_0 \pp 2$.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
$$ u_n\pp u_{n+1} \pp 2$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
c. Prouver que la limite de la suite est égale à $2$.
$\quad$
Étude du cas particulier : $u_0=3$.
On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.
Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $100$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while … } \hspace{2cm} \\
\qquad \text{u = …} \\
\qquad \text{n = …} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Étude du cas : $u_0>2$.
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dans lequel on considère :

les points $A(6 ; -6 ; 6)$, $B(-6 ; 0 ; 6)$ et $C(-2 ; -2 ; 11)$ ;
la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes $(AB)$ et $(BC)$ et passant par le point $A$ ;
la droite $(d’)$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-6-8t \\y=4t\\z=6+5t\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$$

$\quad$

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?

a. $\vect{u_1}\begin{pmatrix} -6\\3\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_2}\begin{pmatrix} 1\\2\\6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_3}\begin{pmatrix} 1\\2\\0,2\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_4}\begin{pmatrix} 1\\2\\0\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ ?

a. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=t+6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
b. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=-t-6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
c. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=-t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
d. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est :

a. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} -6\\0\\6\end{pmatrix}$
b. $\vect{v_2}\begin{pmatrix} -14\\4\\11\end{pmatrix}$
c. $\vect{v_3}\begin{pmatrix} 8\\-4\\-5\end{pmatrix}$
d. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} 8\\-4\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $(d’)$ ?

a. $M_1(50;-28;-29)$
b. $M_2(-14;-4;1)$
c. $M_3(2;-4;-1)$
d. $M_4(-3;0;3)$

$\quad$

Question 5

Le plan d’équation $x=1$ a pour vecteur normal :

a. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{n_2}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$
c. $\vect{n_3}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
d. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2023

Amérique du Sud – 27 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
&\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
&=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
&=0,401~5
\end{align*}$
La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
$\begin{array}{|c||c||c||c|}
\hline
X=x_i&0&1&2&3\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
&=0,425+0,803+0,2205\\
&=1,448~5\end{align*}$
$\quad$
c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
$\quad$

Partie B

a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
&\approx 0,003\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
$\quad$
On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
&\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
&\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
&\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
$A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
$\quad$
Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
$\quad$
$H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
$\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{12} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$.
$K$ appartient à $S$.
Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
On a alors :
$\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
&=28\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :
$$\begin{array}{l} \\
\text{def suite_u(n) :} \\
\quad \text{u = 0}\\
\quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
\quad \text{return(u)}\end{array}$$
Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
&\pg 5\times 2n-8n+6 \\
&\pg 10n-8n+6 \\
&\pg 2n+6 \\
&\pg 2(n+3) \\
&\pg 2(n+1)\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
&=4u_n+8n+6 \\
&\pg 4\times 2n+8n+6 \\
&\pg 6\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
&=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
&=5u_n-10n+5\\
&=5\left(u_n-2n+1\right) \\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
&=5^n+2n+1\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
&=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
$\quad$

Partie B

a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
$\quad$
b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
$N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
$\vect{QN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

$A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
$A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
$A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
\hline
\end{array}$$
b. Calculer $E(X)$.
$\quad$
c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

Dans cette question, $N = 15$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
$\quad$
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
$\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$K\in \mathcal{P}\cap S$
$(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return u}\end{array}$$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_v(n):}\\
\quad \text{L = [ ]}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
\quad \text{return L}\end{array}$$
$\quad$
La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> suite_v(5)}\\
\text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Démontrer cette conjecture.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
$\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
$\quad$
b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
$\quad$
b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x-4x\ln(x)-2x \\
&=-4x\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
$\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
$f(\e)=1-\e^2<0$
Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
$\quad$
L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
$f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
$\quad$
Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
L’intervalle obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
Il ne reste donc que la proposition B.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
$g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
D’après la partie A :
$\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
$\quad$
On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
&\approx 1,6\%\end{align*}$$
$\quad$
b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
&\approx 0,027\% \\
&<0,1\%\end{align*}$$
$\quad$
a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
$\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
&\approx 0,236\end{align*}$
La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
$\quad$
b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
&=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
&=0,315~07\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
&=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
&\approx 0,467\end{align*}$
La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
$\quad$
b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
$\quad$
a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
$\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
$\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
On note $H(2,4;-3,2;0)$.
On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
$\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
&=\sqrt{102,4} \\
&=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
&=\sqrt{416}\\
&=4\sqrt{26}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
&=\sqrt{260}\\
&=2\sqrt{65}\end{align*}$
$\quad$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=52\sqrt{10} \end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre est alors égal à :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
&=\dfrac{1~664}{3} \\
&\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
$f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
$u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
&\ssi x-2x^2=0 \\
&\ssi x(1-2x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Partie B

a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
$\quad$
b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
$\quad$
a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
$\begin{align*}
v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
&=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
&=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
&=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
$$\begin{array}{l}
\text{from lycee import *}\\
\\
\text{def f(x) :}\\
\quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
\\
\text{def dichotomie(p) :} \\
\quad \text{a = 1}\\
\quad \text{b = 2.7}\\
\quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
\qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
\quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
\qquad \text{else :} \\
\quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
\quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
$\text{>>> dichotomie(1)}$
$\quad$
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
$\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
$\quad$
b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
$\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
$\quad$
b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
$\quad$
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
$\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
$\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
$\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
$\quad$
On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
$\quad$
c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
$\quad$
b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
$\quad$
Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
$$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

Dans cette question $b=0$.
a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. Déterminer la limite de $P_n$.
$\quad$
Dans cette question $b = 0,2$.
a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
$\quad$
b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 12 septembre 2023

Métropole – 12 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré :
$\quad$

$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap \conj{T}\right)&=p\left(\conj{I}\right) p_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right) \\
&=0,996\times 0,984 \\
&\approx 0,980\end{align*}$
La probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif est environ égale à $0,980$.
$\quad$
b. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(T)&=p(I)p_I(T)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}[T) \\
&=0,004\times 0,992+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,020\end{align*}$
La probabilité que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} p_T(I)&=\dfrac{p(I\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(I)p_I(T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,004\times 0,992}{0,020} \\
&\approx 0,198\end{align*}$
La « valeur prédictive positive du test » est environ égale à $0,198$.
$\quad$
d. On a
$\begin{align*} p\left(\left(I\cap \conj{T}\right)\cup\left(\conj{I}\cap T\right)\right)&=p\left(I\cap \conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\cap T\right)\qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=p(I)p_I\left(\conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}(T) \\
&=0,004\times 0,008+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,016\end{align*}$
La probabilité que le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache est environ égale à $0,016$.
$\quad$

Partie B

a. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,02$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} p(X=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
&\approx 0,182\end{align*}$
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $ 0,182$.
$\quad$
c. On a, d’après la calculatrice $p(X\pp 3) \approx 0,859$.
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $0,859$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de vaches présentant un test positif.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi p(Y=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,98^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,98) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\approx 227,9$.
L’échantillon doit donc comporter au moins $228$ vaches pour que la probabilité qu’il y ait au moins un vache testée positive soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Le point de coordonnées $(1;2)$ semble appartenir à la courbe $C’$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ a point d’abscisse $1$ est donc environ égal à $2$.
$\quad$
b. $f$ est convexe si $f’$ est croissante.
Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe semble être $[7,4;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} 2-\ln(x)=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C$.
$\quad$
On a :
$$f(x)=0\ssi \begin{cases} \ln(x)=0\\2-\ln(x)=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1\\x=\e^2\end{cases}$$
La courbe $C$ coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points de coordonnées $(1;0)$ et $\left(\e^2;0\right)$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x}\ln(x)+\left(2-\ln(x)\right)\times \dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+2-\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)$ est du signe de $1-\ln(x)$.
Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$
et $1-\ln(x)>0\ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f\dsec(x)$ est du signe de $\ln(x)-2$.
Or $\ln(x)-2>0\ssi \ln(x)>2\ssi x>\e^2$.
$\ln(x)-2=0 \ssi \ln(x)=2 \ssi x=\e^2$.
$f\left(\e^2\right)=0$
$f$ est donc concave sur $\left]0;\e^2\right]$ et convexe sur $\left[\e^2;+\infty\right[$.
$C$ admet un point d’inflexion de coordonnées $\left(\e^2;0\right)$.

Ex 3

Exercice 3

On a
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\times \dfrac{1}{\e} \\
&=\dfrac{2}{\e^2}\end{align*}$
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{2}{\e^2} \\
&=\dfrac{3}{\e^3}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire à la ligne $L_1 :$ $\text{u = 1 / math.e}$
et à la ligne $L_3:$ $\text{u = 1 / math.e * (1 + 1 / i) * u}$
$\quad$
a. On a $n\in \N^*$ donc $n\pg 1$.
Ainsi $\dfrac{1}{n} \pp 1$ et $1+\dfrac{1}{n}\pp 2<\e$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N^*$ on a donc
$\begin{align*} u_{n+1} &=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&\pp \dfrac{1}{\e}\times \e \times u_n \\
&\pp u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$ (tous les termes sont strictement positifs).
La suite est donc convergente.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{n}{\e^n}$
Initialisation : $u_1=\dfrac{1}{\e}=\dfrac{1}{\e^1}$ donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)\times \dfrac{n}{\e^n} \\
&=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n}{\e^{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{\e^{n+1}}\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. Par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers $0$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$3\times 1+2\times 0+1-4=0$ donc $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Réponse c
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
De plus $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$ et $AC=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3$. Le triangle $ABC$ n’est pas isocèle.
Réponse d
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vec{u}.\vec{n}=-3+0+3$.
La droite $\Delta$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Le point $D(1;2;-4)$ appartient à la droite $\Delta$.
$3\times 1+2\times 2+(-4)-4=-1\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
La droite $\Delta$ est strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Réponse d
$\quad$
On a $BA=\sqrt{20}$ d’après la question 2.
$\vect{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\-5\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{29}$
Or
$\begin{align*}\vect{BA}.\vect{BC}=20&\ssi BA\times BC\times \cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \sqrt{20}\times \sqrt{29}\cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \cos\widehat{ABC}=\dfrac{20}{\sqrt{580}}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{ABC} \approx 33,9$°
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{Q}$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\\-2\end{pmatrix}$.
Par conséquen $\vec{v}=-2\vec{n}$.
Les deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles.
Le point $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$
$-6\times 1+0-2\times 1+7=-1$ : $T$ n’appartient pas au plan $\mathscr{Q}$
Les plans sont strictement parallèles.
Réponse b
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.
On réalise une étude dans une région dont $0,4\%$ de la population de vaches est infectée.
Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.
Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ;
Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de $0,984$.

On désigne par :

$I$ l’événement « la vache est atteinte par l’infection » ;
$T$ l’événement « la vache présente un test positif ».

On note $\conj{I}$ l’événement contraire de $I$ et $\conj{T}$ l’événement contraire de $T$.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$
a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020.$.
$\quad$
c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test.
On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.
Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

Partie B

Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de $100$ vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à $0,02$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $100$ vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$près.
$\quad$
c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\left(2-\ln(x)\right)\times \ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C’$ la courbe représentative de la fonction $f’$, fonction dérivée de la fonction $f$.
La courbe $\boldsymbol{C’}$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :
a. le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$
a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Calculer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
Montrer que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
$\quad$
a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}$.
$\quad$
b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
On note $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f\dsec(x) =
\dfrac{2\left(\ln(x)-2\right)}{x^2}$.
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe $C$.
$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{\e}\\ \text{pour tout entier }n\pg 1,~u_{n+1} =\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n\end{cases}$

Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs.
$\quad$
On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes $L_2$ et $L_4$ de ce programme.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
L_1&\text{def suite(n) :}\\
L_2& \quad \text{……………….}\\
L_3&\quad \text{for i in range(1,n) :}\hspace{2cm}\\
L_4&\qquad \text{u = ……………….}\\
L_5&\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.
a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n}\pp \e$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse
à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-1;-2;3)$ , $B(1;-2; 7)$ et $C(1; 0; 2)$ ;
la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x=1-t\\y=2\\z=-4+3t\end{cases} \quad$ où $t\in \R$;
le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $3x+ 2y + z-4 = 0$ ;
le plan $\mathcal{Q}$ d’équation cartésienne : $-6x-4y-2z + 7 = 0$.

Question 1 : Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ?
a. $R(1;-3; 1)$
b. $S(1; 2;-1)$
c. $T(1; 0; 1)$
d. $U(2;-1; 1)$
$\quad$

Question 2 : Le triangle $ABC$:
a. équilatéral
b. rectangle isocèle
c. isocèle non rectangle
d. rectangle non isocèle.
$\quad$

Question 3 : La droite $\Delta$ est :
a. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
b. sécante au plan $\mathcal{P}$
c. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
d. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

Question 4 : On donne le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}= 20$.
Une mesure au degré près de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
a. $34$°
b. $120$°
c. $90$°
d. $0$°.
$\quad$

Question 5 : L’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est :
a. un plan
b. l’ensemble vide
c. une droite
d. réduite à un point.
$\quad$

$\quad$