Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – mars 2021

Asie – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (5 points)

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    f'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(2x-2+x^2-2x-1\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3\right)\e^x\end{align*}$
    L’affirmation A est donc fausse.
    $f'(2)>0$ et $f(0)<0$ : l’affirmation B est donc fausse
    Réponse C
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\dfrac{3}{5}$
    La droite d’équation $y=\dfrac{3}{5}$ est donc asymptote à la courbe représentant la fonction $f$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe à trois reprise.
    La courbe représentant la fonction $f$ possède donc trois points d’inflexion.
    Réponse B
    $\quad$
  4. $\left(u_n\right)$ est une suite définie de manière explicite par un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction du second degré associée possède un minimum, d’abscisse $\dfrac{17}{2}$.
    $\left(u_n\right)$ est donc minorée.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Cette fonction renvoie le plus entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 45$.
    Réponse ARemarque :dans les faits cette fonction ne renvoie aucun résultat car la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $20$. Il est donc impossible que $u_n\pg 45$ !
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. On a $A(0;0;0)$, $C(1;1;0)$ et $D(0;1;0)$
    Par conséquent $K\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$
    Donc $\vect{AK}\left(\dfrac{1}{2};1;0\right)$ et $\vect{AL}\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. a. On a $\vec{n}.\vect{AK}=3-3+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AL}=0-3+3=0$.
    $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AKL)$.
    C’est par conséquent un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est donc de la forme $6x-3y+2z+d=0$.
    Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Une équation cartésienne du plan $(AKL)$ est alors $6x-3y+2z=0$.
    $\quad$
    c. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Ainsi une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est $$\begin{cases} x=6t\\y=1-3t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in \R$$
    $\quad$
    d. En prenant $t=\dfrac{3}{49}$, on constate que le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
    De plus
    $\begin{align*} 6\times \dfrac{18}{49}-3\dfrac{40}{49}+2\dfrac{6}{49}&=\dfrac{108}{49}-\dfrac{120}{49}+\dfrac{12}{49} \\
    &=0\end{align*}$
    Le point de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ appartient donc également au plan $(AKL)$.
    Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$.
    $\quad$
  3. a. L’aire de la base $ADK$ est
    $\begin{align*} \mathcal{A}&=\dfrac{AD\times DK}{2} \\
    &=\dfrac{1\times \dfrac{1}{2}}{2} \\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathcal{V}&=\dfrac{\mathcal{A}\times DL}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{4}\times \dfrac{3}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{8}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La distance du point $D$ au plan $(AKL)$ est
    $\begin{align*} DN&=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{40}{49}-1\right)^2+\left(\dfrac{6}{49}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{9}{49}} \\
    &=\dfrac{3}{7}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \mathcal{V}=\dfrac{1}{8}&\ssi \dfrac{\mathcal{A}_{AKL}\times DN}{3}=\dfrac{1}{8} \\
    &\ssi \dfrac{3}{7}\mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{3}{8} \\
    &\ssi \mathcal{A}_{AKL}=\dfrac{7}{8}\end{align*}$
    L’aire du triangle $AKL$ est donc $\dfrac{7}{8}$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3 (5 points)

  1. Il y a $\dbinom{9}{3}=84$ façons différentes de positionner les trois cœurs.
    $\quad$
  2. Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une ligne pour gagner.
    Il y a $3$ façons de placer les cœurs sur une colonne pour gagner.
    Il y a $2$ façons de placer les cœurs sur une diagonale pour gagner.
    La probabilité qu’un ticket soit gagnant est donc $\dfrac{3+3+2}{84}=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. On appelle $G$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joeur.
    $G$ ne prend donc que $2$ valeurs $4$ et $-1$.
    $p(G=4)=\dfrac{2}{21}$ et $p(G=-1)=\dfrac{19}{21}$.
    L’espérance de $G$ est :
    $\begin{align*} E(G)&=4\times \dfrac{2}{21}+(-1)\times \dfrac{19}{21} \\
    &=-\dfrac{11}{21}\\
    &<0\end{align*}$
    Le jeu est donc défavorable au joueur.
    $\quad$
  4. a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : le joueur gagne ou le joueur perd.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
    b. $p(X=5)=\dbinom{20}{5}\left(\dfrac{2}{21}\right)^5\left(\dfrac{19}{21}\right)^{15} \approx 0,027$.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{19}{21}\right)^{20} \\
    & \approx 0,865\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait au moins un gagnant est environ égale à $0,865$.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A (5 points)

Partie I : modèle discret

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=u_0+0,05\left(20-u_0\right) \\
    &=1+0,05\times 19\\
    &=1,95\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}&=u_n+0,05\left(20-u_n\right) \\
    &=u_n+1-0,05u_n \\
    &=0,95u_n+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=20-u_n$ soit $u_n=20-v_n$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=20-u_{n+1} \\
    &=20-0,95u_n-1 \\
    &=19-0,95u_n \\
    &=19-0,95\left(20-v_n\right) \\
    &=19-19+0,95v_n\\
    &=0,95v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $v_0=20-1=19$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=19\times 0,95^n$.
    Par conséquent $u_n=20-19\times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. $-1<0,95<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,95^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=20$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

  1. La fonction $L$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $t\pg 0$ on a d’une part :
    $\begin{align*} L'(t)&=-19\times (-0,05)\e^{-0,05t}\\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} 0,05\left(20-L(t)\right)&=0,05\left(20-20+19\e^{-0,05t}\right) \\
    &=0,05 \times 19\e^{-0,05t} \\
    &=0,95\e^{-0,05t}\end{align*}$
    Ainsi $L$ est solution de $(E)$.
    De plus $L(0)=20-19=1$.
    $\quad$
  2. a. On a $L'(0)=0,95$ et $L'(5)=0,95\e^{-0,25} \approx 0,74$.
    Ainsi $L'(0)>L'(5)$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{t\to +\infty} -0,05t=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} L'(t)=0$.
    Ce résultat est cohérent avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice : le bambou croît de moins en moins rapidement et atteint finalement une taille de $20$ mètres. Au début de l’observation il mesure bien $1$ mètre.
    $\quad$

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. On a pu saisir la formule $=B2-\ln(B2-1)$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $2$.
    $\quad$

Partie II

  1. $\lim\limits_{x\to 1} x-1=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(X)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 1} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est dérivable sur $]1;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x>1$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-1-1}{x-1} \\
    &=\dfrac{x-2}{x-1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-2$.
    Or $x-2=0 \ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    On obtient donc le tableau de signes suivant :
    $\quad$$\quad$
    c. D’après la question précédente, la fonction $f$ admet $2$ pour minimum atteint pour $x=2$.
    Ainsi, pour tout réel $x\pg 2, ~f(x)\pg 2$.
    $\quad$

Partie III

  1. Initialisation : Si $n=0$ alors $u_0=10\pg 2$. La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n\in \N$.
    Donc $u_n\pg 2$.
    D’après la question précédente $u_{n+1}=f\left(u_n\right) \pg 2$.
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pg 2$.
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&= u_n-\ln\left(u_n-1\right)-u_n \\
    &=-\ln\left(u_n-1\right)\end{align*}$
    Or $u_n\pg 2$ donc $u_n-1\pg 1$ et $\ln\left(u_n-1\right)\pg 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n \pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$. Elle converge donc.
    $\quad$
  4. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    Or
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln(x-1)=x\\
    &\ssi -\ln(x-1)=0\\
    &\ssi x-1=1 \\
    &\ssi x=2\end{align*}$
    Par conséquent $\ell=2$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)

Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
AUCUNE JUSTIFICATION n’est demandée. Une réponse fausse ou l’absence de réponse n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = \left(x^2-2x-1\right)\e^x$$
    A. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x-2)\e^x$.
    B. La fonction $f$ est décroissante sur l’intervalle $]-\infty;2]$.
    C. $\ds\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5 + \e^x}$.
    Sa courbe représentative dans un repère admet :
    A. une seule asymptote horizontale;
    B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
    C. deux asymptotes horizontales.
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f”}$ représentant la fonction dérivée seconde $f”$ d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3,5;6]$.A. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-3;3]$.B. La fonction $f$ admet trois points d’inflexion.
    C. La fonction dérivée $f’$ de $f$ est décroissante sur l’intervalle $[0;2]$.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2-17n+20$.
    A. La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
    B. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    C. L’un des termes de la suite $\left(u_n\right)$ est égal à $2~021$.
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
    On considère la fonction « seuil » suivante écrite en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() }:\\
    \quad \text{u} = 2\\
    \quad \text{n} = 0\\
    \quad \text{while u} < 45 :\\
    \qquad \text{u} = 0.75*u + 5\\
    \qquad \text{n} = \text{n} + 1\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Cette fonction renvoie :
    A. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$ ;
    B. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$ ;
    C. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \pg 45$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère un pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = AD = 1$ et $AE = 2$, représenté ci- dessous.
Le point $I$ est le milieu du segment $[AE]$. Le point $K$ est le milieu du segment $[DC]$.
Le point $L$ est défini par: $\vect{DL} = \dfrac{3}{2}\vect{AI}$. $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.

 

 

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AI}\right)$.
On admet que le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{3}{2}\right)$.

  1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{AK}$ et $\vect{AL}$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(6;-3;2)$ est un vecteur normal au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    d. En déduire que le point $N$ de coordonnées $\left(\dfrac{18}{49};\dfrac{40}{49};\dfrac{6}{49}\right)$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AKL)$.
    $\quad$

On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$\mathcal{V} = \dfrac{1}{3}\times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$$

  1. a. Calculer le volume du tétraèdre $ADKL$ en utilisant le triangle $ADK$ comme base.
    $\quad$
    b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(AKL)$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $AKL$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Une société de jeu en ligne propose une nouvelle application pour smartphone nommée « Tickets coeurs! ».
Chaque participant génère sur son smartphone un ticket comportant une grille de taille $3 \times 3$ sur laquelle sont placés trois cœurs répartis au hasard, comme par exemple ci-dessous.

 

 

Le ticket est gagnant si les trois cœurs sont positionnés côte à côte sur une même ligne, sur une même colonne ou sur une même diagonale.

  1. Justifier qu’il y a exactement $84$ façons différentes de positionner les trois cœurs sur une grille.
    $\quad$
  2. Montrer que la probabilité qu’un ticket soit gagnant est égale à $\dfrac{2}{21}$.
    $\quad$
  3. Lorsqu’un joueur génère un ticket, la société prélève $1$ € sur son compte en banque. Si le ticket est gagnant, la société verse alors au joueur $5$ €. Le jeu est-il favorable au joueur?
    $\quad$
  4. Un joueur décide de générer $20$ tickets sur cette application. On suppose que les générations des tickets sont indépendantes entre elles.
    a. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de tickets gagnants parmi les $20$ tickets générés.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X = 5)$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, de l’évènement $(X \pg 1)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)

Le candidat doit traiter UN SEUL des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Suites
  • Équations différentielles

Dans cet exercice, on s’intéresse à la croissance du bambou Moso de taille maximale $20$ mètres.
Le modèle de croissance de Ludwig von Bertalanffy suppose que la vitesse de croissance pour un tel bambou est proportionnelle à l’écart entre sa taille et la taille maximale.

Partie I : modèle discret

Dans cette partie, on observe un bambou de taille initiale $1$ mètre.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la taille, en mètre, du bambou $n$ jours après le début de l’observation. On a ainsi $u_0 = 1$.
Le modèle de von Bertalanffy pour la croissance du bambou entre deux jours consécutifs se traduit par l’égalité : $$u_{n+1} = u_n + 0,05\left(20-u_n\right)~~ \text{pour tout entier naturel } n$$

  1. Vérifier que $u_1 = 1,95$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,95u_n + 1$.
    $\quad$
    b. On pose pour tout entier naturel $n$, $v_n = 20-u_n$.
    Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le terme initial $v_0$ et la raison.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20-19 \times 0,95^n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II : modèle continu

Dans cette partie, on souhaite modéliser la taille du même bambou Moso par une fonction donnant sa taille, en mètre, en fonction du temps $t$ exprimé en jour.
D’après le modèle de von Bertalanffy, cette fonction est solution de l’équation différentielle $$(E) \qquad y’ = 0,05(20-y)$$ où $y$ désigne une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $y’$ désigne sa fonction dérivée.
Soit la fonction $L$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$L(t) = 20-19\e^{-0,05t}$$

  1. Vérifier que la fonction $L$ est une solution de $(E)$ et qu’on a également $L(0) = 1$.
    $\quad$
  2. On prend cette fonction $L$ comme modèle et on admet que, si on note $L’$ sa fonction dérivée, $L'(t)$ représente la vitesse de croissance du bambou à l’instant $t$.
    a. Comparer $L'(0)$ et $L'(5)$.
    $\quad$
    b. Calculer la limite de la fonction dérivée $L’$ en $+\infty$.
    Ce résultat est-il en cohérence avec la description du modèle de croissance exposé au début de l’exercice ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Suites, étude de fonction
  • Fonction logarithme

Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ de terme initial $u_0 = 10$ et telle que $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ pour tout entier naturel $n$.

Partie I :

La feuille de calcul ci-dessous a permis d’obtenir des valeurs approchées des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
&\phantom{12345}A\phantom{12345} &B\\
\hline
1 &n&u_n\\
\hline
2 &0&10\\
\hline
3& 1&7,802~775~42\\
\hline
4& 2&5,885~444~74\\
\hline
5& 3&4,299~184~42\\
\hline
6& 4&3,105~509~13\\
\hline
7& 5&2,360~951~82\\
\hline
8& 6&2,052~767~5\\
\hline
9& 7&2,001~345~09\\
\hline
10& 8&2,000~000~9\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle formule a été saisie dans la cellule B3 pour permettre le calcul des valeurs approchées de $\left(u_n\right)$ par recopie vers le bas ?
    $\quad$
  2. À l’aide de ces valeurs, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

Partie II :

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]1; +\infty[$ par $$f(x) = x-\ln (x-1)$$

  1. Calculer $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$. On admettra que $\lim\limits_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$.
    $\quad$
  2. a. Soit $f’$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que pour tout $x \in ]1; +\infty[$, $f'(x) = \dfrac{x-2}{x-1}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur l’intervalle $]1;+\infty[$, complété par les limites.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\pg 2$, $f(x) \pg 2$.
    $\quad$

Partie III :

  1. En utilisant les résultats de la partie II, démontrer par récurrence que $u_n \pg 2$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
  2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    $\quad$
  4. On admet que $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$. Donner la valeur de $\ell$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – mars 2021

Centres étrangers – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x}+x\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=(1-2x)\e^{-2x}\end{align*}$
    La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-2\e^{-2x}+(1-2x)\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=\left(-2-2(1-2x)\right)\e^{-2x} \\
    &=(-4+4x)\e^{-2x} \\
    &=4(x-1)\e^{-2x}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le nombre de combinaisons possibles est :
    $\begin{align*} N&=\dbinom{12}{3} \\
    &=220\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)>0$ sur $[2;5]$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On appelle $A$ l’événement « La puce possède le défaut A » et $B$ l’événement « La puce possède le défaut B ».
    Ainsi $p(A)=0,028$, $p(B)=0,022$ et $p\left(\conj{A\cup B}\right)=0,954$.
    Par conséquent $p(A\cup B)=1-0,954=0,046$.
    Or
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=0,028+0,022-0,046\\
    &=0,004\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ donc $f’$ est positive sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$

  2. On a
    $\begin{align*} P(R\cap J)&=P(R)\times P_R(J) \\
    &=0,17\times 0,32\\
    &=0,0544\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} &P(J)=P(R)\times P_R(J)+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,11=0,0544+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,0556=P\left(\conj{R}\cap J\right) \end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Ainsi :
    $\begin{align*} P_{\conj{R}}(J)&=\dfrac{P\left(\conj{R}\cap J\right) }{P\left(\conj{R}\right)} \\
    &\approx \dfrac{0,056}{1-0,17} \\
    &\approx 0,067\end{align*}$
    La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est environ égale à $0,067$.
    $\quad$

Partie B

  1. On réalise $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues $R$ et $\conj{R}$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,17$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{50}{5}\times 0,17^5 \times 0,83^{45} \\
    &\approx 0,069\end{align*}$
    La probabilité d’avoir $5$ personnes utilisant les transports en commun parmi les $50$ interrogées est environ égale à $0,069$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $P(X\pp 13)\approx 0,964>0,95$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=np=8,5$.
    Il y a donc en moyenne $8,5$ personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 5~000+450 \\
    &=4~700\end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$.
    Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer. Cela représente donc $0,85a_n$.
    Chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,85a_n+450$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-3~000 \ssi a_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-3~000\\
    &=0,85a_n+450-3~000\\
    &=0,85a_n-2~550\\
    &=0,85\left(v_n+3~000\right)-2~550 \\
    &=0,85v_n+2~550-2~550\\
    &=0,85v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=200-3~000=-2~800$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, $v_n=-2~800\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a
    \begin{align*} a_n&=v_n+3~000 \\
    &=-2~800\times 0,85^n+3~000\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n>2~500 &\ssi -2~800\times 0,85^n+3~000>2~500 \\
    &\ssi -2~800 \times 0,85^n >-500 \\
    &\ssi 0,85^n <\dfrac{5}{28} \\
    &\ssi n\ln(0,85)<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \approx 10,6$
    C’est donc au bout du $11$ème mois que le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{5(x+2)-(5x+4)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{6}{(x+2)^2} \\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=3$
    Ainsi $0\pp u_0 \pp u_1 \pp 4$ et la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 4$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4)$
    Soit $0\pp 2 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 4$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp _{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. Elle converge.
    $\quad$
  3. $-1< \dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} 4-u_n=0$ soit $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
    Sur le long terme, $4~000$ collaborateurs seront satisfaits par cette mesure.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\0\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=-2+0+2=0$.
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=2+0-2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-4+5-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est par conséquent normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $A$ appartient au plan $(ABC)$
    Par conséquent $4-1+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x+y-z-3=0$.
    $\quad$
    c. $2\times 0+1-4-3=-6\neq 0$.
    Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont, par conséquent, pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases} x=2t\\y=1+t\\z=4-t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $2\times 2\times 2+2-3-3=0$ : le point de coordonnées $(2;2;3)$ appartient au plan $(ABC)$
    En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on retrouve le point de coordonnées $(2;2;3)$. Il appartient ainsi à la droite $(d)$.
    Les coordonnées du point $H$ sont donc $(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. Aire de la base :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{1^2+0^2+2^2}\times \sqrt{(-2)^2+5^2+1^2}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{30}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{150}}{2}\end{align*}$
    Hauteur :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{2^2+(2-1)^2+(3-4)$2} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{150}}{2}\times \sqrt{6}}{3}\\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $SA\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} SA&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $SB\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}$
    D’une part $\vect{SA}.\vect{SB}=6+4+8=18$;
    D’autre part $\vect{SA}.\vect{SB}=SA\times SB\times \cos\widehat{ASB}$

    Donc $\sqrt{24}\times \sqrt{17} \cos\widehat{ASB}=18$
    D’où $ \cos\widehat{ASB}=\dfrac{18}{\sqrt{408}}$
    Donc $ \widehat{ASB} \approx 27,0$°
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2\times \left(-\dfrac{1}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}\right)+\dfrac{2}{3} \\
    &=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $g'(x)=\dfrac{2}{3}\left(1-\e^{\frac{-1}{3}x}\right)$
    Ainsi $g'(x)=0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}=0 \ssi \dfrac{-1}{3}x=0 \ssi x=0$
    $g'(x)>0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}>0 \ssi \e^{\frac{-1}{3}x}<1 \ssi x<0$
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Or $g(0)=2-2=0$.
    Ainsi $g(x)<0$ pour tout réel $x$ non nul et $g(0)=0$.
    $\quad$

Partie B

  1. $3y’+y=0 \ssi y’=-\dfrac{1}{3}y$
    Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=K\e^{\frac{-1}{3}x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$
  2. On veut que $f(0)=2$ soit $K=2$.
    Par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    Ainsi $f'(0)=-\dfrac{2}{3}$ et $f(0)=2$.
    Une équation de $\left(\Delta_0\right)$ est donc $y=-\dfrac{2}{3}x+2$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)-\left(-\dfrac{2}{3}x+2\right) &=g(x) \\
    &\pp 0\end{align*}$
    La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc toujours située sous la droite $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de $\left(\Delta_a\right)$ est $y=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-a}{3}}(x-a)+2\e^{\frac{-a}{3}}$
    Soit $y=2\e^{\frac{-a}{3}}\left(-\dfrac{1}{3}(x-a)+1\right)$.
    L’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses vérifie donc
    $-\dfrac{1}{3}(x-a)+1=0\ssi x-a=3 \ssi x=a+3$.
    La tangente $\left(\Delta_a\right)$ coupe l’axe des abscisses au point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisse $1$.
    Ainsi la droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ passe par le point $B$ et le point de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une
seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse
ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-2x}$. On note $f\dsec$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
    Quel que soit le réel $x$, $f\dsec(x)$ est égal à :
    a. $(1-2x)\e^{-2x}$
    b. $4(x-1)\e^{-2x}$
    c. $4\e^{-2x}$
    d. $(x+2)\e^{-2x}$
    $\quad$
  2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
    Le nombre de combinaisons possibles est :
    a. $1~728$
    b. $1~320$
    c. $220$
    d. $33$
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f’$ fonction dérivée d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; 7]$.


    Le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est :


    $\quad$

  4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
    Une étude statistique montre que $2,8 \%$ des puces ont le défaut A, $2,2 \%$ des puces ont le défaut B et, heureusement, $95,4 \%$ des puces n’ont aucun des deux défauts.
    La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
    a. $0,05$
    b. $0,004$
    c. $0,046$
    d. On ne peut pas le savoir
    $\quad$
  5. On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :

    D’après ce tableau de variation :
    a. $f’$ est positive sur $\R$
    b. $f’$ est positive sur $]-\infty;-1[$
    c. $f’$ est négative sur $\R$
    d. $f’$ est positive sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent $17 \%$ de la population française. Parmi ces utilisateurs réguliers, $32 \%$ sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans.

(Source : TNS-Sofres)

Partie A

On interroge une personne au hasard et on note :

  • $R$ l’événement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
  • $J$ l’événement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».
  1. Représentez la situation à l’aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l’énoncé.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité $P(R\cap J)$.
    $\quad$
  3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent $11 \%$ de la
    population française.
    Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.
    $\quad$

Partie B :

Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard $50$ personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.
La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.

  1. Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X=5)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Le recenseur indique qu’il y a plus de $95 \%$ de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.
    Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses $5~000$ collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.
En mai 2020, seuls $200$ d’entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0=200$.

Partie A :

  1. Calculer $a_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}=0,85a_n+450$$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n=a_n-3~000$$
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$a_n=-2~800\times 0,85^n+3~0000$$
    $\quad$
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B :

Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$$
où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de 푛 mois après le mois de mai 2020.

  1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x\in [0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 4$$
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $$0\pp 4-u_n\pp 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Géométrie dans l’espace

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants : $$A(2;-1;0) ; B(3;-1;2) ; C(0;4;1) \text{ et } S(0;1;4)$$

  1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur$\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $S$. Elle coupe le plan
    $(ABC)$ en $H$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $H(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est $V =  \dfrac{\text{Aire de la base $\times$ hauteur}}{3}$.
    Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.
    $\quad$
  5. a. Calculer la longueur $SA$.
    $\quad$
    b. On indique que $SB=\sqrt{17}$.
    En déduire une mesure de l’angle $\widehat{ASB}$ approchée au dixième de degré.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Équations différentielles

Partie A :

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x-2$$

  1. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ :$$g'(x)=\dfrac{-2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}$$
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère l’équation différentielle $$(E): \quad 3y’+y=0$$
    Résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point $M(0;2)$.
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2\e^{-\dfrac{1}{3}x}$$
    et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
    a. Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M(0;2)$ admet une équation de la forme : $$y=-\dfrac{2}{3}x+2$$
    $\quad$
    b. Étudier, sur $\R$, la position de cette courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie C :

  1. Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$, $a$ réel quelconque.
    Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $a$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. Expliquer la construction de la tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d’abscisse $-2$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $f$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ puisque $f\dsec$ existe.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}\times x-\e^{2x}}{x^2} \\
    &=\dfrac{(2x-1)\e^{2x}}{x^2}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x-1$.
    Or $2x-1>0 \ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Par conséquent $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{1}{2};+\infty\right[$.
    Elle admet donc un minimum en $\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait répondre à cette question en traçant la courbe représentant la fonction sur la calculatrice.
    $\quad$
    Réponse c
    $\quad$
  3. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}}{x}=+\infty$
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $2x^2-2x+1$.
    Son discriminant est :
    $\Delta=(-2)^2-2\times 4\times 1=-4<0$.
    Le coefficient principal est $a=2>0$.
    Par conséquent $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$ et $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE I

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T)\\
    &=0,05\times 0,98\\
    &=0,049\end{align*}$
    La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la
    chaîne soit défectueuse et présente un test positif est égale à $0,049$.
    $\quad$
    b. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(D)\times p_D(T)+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,05\times 0,98+0,95\times 0,03\\
    &=0,077~5\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(T\cap D)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,049}{0,077~5}\\
    &\approx 0,63\end{align*}$
    La valeur prédictive positive de ce test est environ égale à $0,63<0,95$.
    Ce test n’est donc pas efficace.
    $\quad$

PARTIE II

  1. On effectue $20$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $D$ et $\conj{D}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,05$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-0,95^{20} \\
    &\approx 0,64\end{align*}$
    La probabilité pour que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse est environ égale à $0,64$.
    $\quad$
  3. L’espérance est $E(X)=20 \times 0,05=1$.
    Cela signifie qu’en moyenne il y a une pièce défectueuse par échantillon de $20$ pièces.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

I – Premier modèle

$1,3-(-19)=20,3$. Cela signifie qu’à chaque minute la température augmente de $2,03$ °C.
Au bout de $25$ minutes, selon ce modèle, la température des gâteaux serait donc de $-19+25\times 2,03=31,75$ °C.
La température ambiante est de $25$ °C. Les gâteaux ne peuvent pas avoir une température supérieure à la température ambiante.
Ce modèle n’est donc pas pertinent.
$\quad$

II – Second modèle 

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} T_{n+1}&=T_n-0,06\left(T_n-25\right) \\
    &=T_n-0,06T_n+1,5\\
    &=0,94T_n+1,5\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a donc $T_1=0,94\times (-19)+1,5\approx -16,4$
    $T_2=0,94 \times T_1+1,5 \approx -13,9$
    $\quad$
  3. Initialisation : Si $n=0$ alors $T_0=-19 \pp 25$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} T_{n+1}&=0,94T_n+1,5\\
    &\pp 0,94 \times 25+1,5 \\
    &\pp 25\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, on a $T_n\pp 25$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n=-0,06\times \left(T_n-25\right)$
    Or $T_n-25 \pp 0$. Donc $T_{n+1}-T_n\pg 0$.
    La suite $\left(T_n\right)$ est par conséquent croissante.
    $\quad$
  5. La suite $\left(T_n\right)$ est croissante et majorée par $25$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
  6. a. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} U_{n+1}&=T_{n+1}-25 \\
    &=0,94T_n+1,5-25 \\
    &=0,94T_n-23,5 \\
    &=0,94\left(U_n+25\right)-23,5 \\
    &=0,94U_n+23,5-23,5\\
    &=0,94U_n\end{align*}$
    La suite $\left(U_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,94$ et de premier terme $U_0=T_0-25=-44$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $U_n=-44 \times 0,94^n$.
    Donc $T_n=U_n+25=-44\times 0,94^n+25$.
    $\quad$
    c. $-1<0,94<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,94^n =0$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=25$.
    $\quad$
  7. a. On a $T_{30}\approx 18$.
    La température des gâteaux est donc environ égale à $18$ °C au bout d’une demi-heure.
    $\quad$
    b. À l’aide de la calculatrice on trouve que $T_{17} \approx 9,6$ et $T_{18} \approx 10,6$. De plus la suite $\left(T_n\right)$ est croissante.
    Cécile doit donc attendre entre $17$ et $18$ minutes pour déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = -19} \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T < 10} : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = 0.94 * T + 1.5}  \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

  1. La droite $d$ a pour vecteur directeur le vecteur $\vec{u}$ et passe par le point $0$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $\begin{cases} x=t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} AM^2&=(t-1)^2+(t-3)^2+2^2 \\
    &=t^2-2t+1+t^2-6t+9+4\\
    &=2t^2-8t+14\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient principal de l’expression du second degré $2t^2-8t+14$ est $2>0$.
    Elle admet donc un minimum atteint pour $t=\dfrac{8}{2\times 2}=2$.
    Ainsi le point $M_0(2;2;0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel $AM^2$ est minimal et donc pour lequel la distance $AM$ est minimale.
    $\quad$
  3. $\vect{AM_0}\begin{pmatrix} 1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Donc $\vect{AM_0}.\vec{u}=1-1+0=0$
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal au plan d’équation $z=0$. Les points $A’$ et $M_0$ appartiennent à ce plan. Par conséquent $\vec{u}.\vect{A’M_0}=0$.
    Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal aux vecteurs (non colinéaires) $\vect{A’M_0}$ et $\vect{AM_0}$.
    La droite $d$ est par conséquent orthogonale au plan $\left(AA’M_0\right)$.
    $M_0$ appartient à la droite $d$, droite qui passe par le point $O$..
    Le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$.
    $\quad$
  5. On a $AA’=2$ et $M_0A’=\sqrt{(2-1)^2+(2-3)^2+0^2}=\sqrt{2}$.
    De plus $OM_0=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}$
    Ainsi le volume de la pyramide $OM_0A’A$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2\times \sqrt{2}}{2}\times \sqrt{8} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} u'(x)&=2x\e^x+x^2\times \e^x \\
    &=2x\e^x+u(x)\end{align*}$
    Par conséquent $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. a. Si $f $est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$ et
    $\begin{align*} g'(x)&=f'(x)-u'(x) \\
    &=f(x)+2x\e^x-\left(u(x)+2x\e^x\right) \\
    &=f(x)+2x\e^x-u(x)-2x\e^x\\
    &=f(x)-u(x)\\
    &=g(x) \end{align*}$
    $g$ est donc solution de l’équation différentielle $y’=y$.
    $\quad$
    b. Une solution de l’équation $y’=y$ est la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=\e^x$.
    Ainsi, pour tout réel $x$,
    $\begin{align*} f(x)&=g(x)+u(x) \\
    &=\e^x+x^2\e^x\end{align*}$
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. et b. Pour tout réel $x$, on a d’après les calculs faits à la question 1.,  $u'(x)=(2+x)x\e^x$.
    Or $2+x=0 \ssi x=-2$ et $2+x>0 \ssi x>-2$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    On obtient donc le tableau de signes et de variations suivant :
    $\quad$
    c. $u’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $u'(x)=2x\e^x+x^2\e^x$ donc
    $\begin{align*} u\dsec(x)&=2\e^x+2x\e^x+2x\e^x +x^2\e^x \\
    &=\left(2+4x+x^2\right)\e^x \end{align*}$
    Le signe de $u\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+4x+2$.
    Son discriminant est $\Delta=4^2-2\times 4=8>0$.
    Ses racines sont donc $x_1=\dfrac{-4-\sqrt{8}}{2}=-2-\sqrt{2}$ et $x_2=-2+\sqrt{2}$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Par conséquent $u\dsec(x)<0$ sur $\left]-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right[$.
    Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave est $\left[-2-\sqrt{2};-2+\sqrt{2}\right]$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par:
$$f(x)=\dfrac{\e^{2 x}}{x}$$
On donne l’expression de la dérivée seconde $f\dsec$ de $f$, définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par:
$$f\dsec(x)=\dfrac{2 \e^{2 x}\left(2 x^{2}-2 x+1\right)}{x^{3}}$$

  1. La fonction $f’$, dérivée de $f$, est définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par ;
    a. $f'(x)=2 e^{2 x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(x-1)}{x^{2}}$
    c. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(2 x-1)}{x^{2}}$
    d. $f'(x)=\dfrac{\e^{2 x}(1+2 x)}{x^{2}}$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ :
    a. est décroissante sur $] 0 ;+\infty[$
    b. est monotone sur $] 0 ;+\infty[$
    c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$
    d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
    a. $+\infty$
    b. $0$
    c. $1$
    d. $\e^{2 x}$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ :
    a. est concave sur $] 0$; $+\infty[$
    b. est convexe sur $] 0 ;+\infty[$
    c. est concave sur $\left] 0 ; \dfrac{1}{2}\right]$
    d. est représentée par une courbe admettant un point d’inflexion
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Une chaîne de fabrication produit des pièces mécaniques. On estime que $5\%$ des pièces produites par cette chaîne sont défectueuses.

Un ingénieur a mis au point un test à appliquer aux pièces. Ce test a deux résultats possibles: « positif » ou bien « négatif ».

On applique ce test à une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne.

On note $p(E)$ la probabilité d’un événement $E$.

On considère les événements suivants:

  •  $D$ : « la pièce est défectueuse »;
  •  $T$ : « la pièce présente un test positif »;
  •  $\conj{D}$ et $\conj{T}$ désignent respectivement les évènements contraires de $D$ et $T$.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

  • La probabilité qu’une pièce présente un test positif sachant qu’elle défectueuse est égale à $0,98$ ;
  • La probabilité qu’une pièce présente un test négatif sachant qu’elle n’est pas défectueuse est égale à $0,97$ .

Les parties I et II peuvent être traitées de façon indépendante.

PARTIE I

  1. Traduire la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. a. Déterminer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la chaîne soit défectueuse et présente un test positif.
    $\quad$
    b. Démontrer que : $p(T)=0,077~5$.
    $\quad$
  3. On appelle valeur prédictive positive du test la probabilité qu’une pièce soit défectueuse sachant que le test est positif. On considère que pour être efficace, un test doit avoir une valeur prédictive positive supérieure à $0,95$ . Calculer la valeur prédictive positive de ce test et préciser s’il est efficace.
    $\quad$

PARTIE II

On choisit un échantillon de $20$ pièces dans la production de la chaîne, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de pièces défectueuses dans cet échantillon. On rappelle que: $p(D)=0,05$.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que cet échantillon contienne au moins une pièce défectueuse. On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  3. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat obtenu.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 6     6 points

Cécile a invite des amis à déjeuner sur sa terrasse. Elle a prévu en dessert un assortiment de gâteaux individuels qu’elle a achetés surgelés.

Elle sort les gâteaux du congélateur à $-19$ °C et les apporte sur la terrasse ou la température ambiante est de $25$ °C.

Au bout de $10$ minutes la température des gâteaux est de $1,3$ °C.

I – Premier modèle

On suppose que la vitesse de décongélation est constante, c’est-à-dire que l’augmentation de la température des gâteaux est la même minute après minute.

Selon ce modèle, déterminer quelle serait la température des gâteaux $25$ minutes après leur sortie du congélateur.

Ce modèle semble-t-il pertinent?
$\quad$

II – Second modèle

On note $T_{n}$ la température des gâteaux, en degré Celsius, au bout de $n$ minutes après leur sortie du congélateur; ainsi $T_{0}=-19$.

On admet que pour modéliser L’évolution de la température, an doit avoir la relation suivante:
pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_{n}=-0,06 \times\left(T_{n}-25\right)$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a: $T_{n+1}=0,94 T_{n}+1,5$.
    $\quad$
  2. Calculer $T_{1}$ et $T_{2}$. On donnera des valeurs arrondies au dixième.
    $\quad$
  3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_{n} \pp 25$. En revenant a la situation étudiée, ce résultat était-il prévisible?
    $\quad$
  4. Etudier le sens de variation de la suite $\left(T_{n}\right)$.
    $\quad$
  5. Démontrer que la suite $\left(T_{n}\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. On pose, pour tout entier naturel $n, U_{n}=T_{n}-25$.
    a. Montrer que la suite $\left(U_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $U_{0}$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout entier naturel $n, T_{n}=-44 \times 0,94^{n}+25$.
    $\quad$
    c. En déduire la limite de la suite $\left(T_{n}\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de la situation étudiée.
    $\quad$
  7. a. Le fabricant conseille de consommer les gâteaux au bout d’une demi-heure a température ambiante après leur sortie du congélateur. Quelle est alors la température atteinte par les gâteaux? On donnera une valeur arrondie à l’entier le plus proche.
    $\quad$
    b. Cécile est une habituée de ces gâteaux, qu’elle aime déguster lorsqu’ils sont encore frais, a la température de $10$ °C. Donner un encadrement entre deux entiers consécutifs du temps en minutes après lequel Cécile doit déguster son gâteau.
    $\quad$
    c. Le programme suivant, écrit en langage Python, doit renvoyer après son exécution la plus petite valeur de l’entier $n$ pour laquelle $T_{n} \pg  10$.$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace{1cm} \textbf{def seuil}(): \\
    \hspace{1.5cm} \text{n = 0} \\
    \hspace{1.5cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{1.5cm} \textbf{while } \text{T }\ldots\ldots : \hspace{1cm} \\
    \hspace{2cm} \text{T = } \ldots\ldots \\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1.5cm} \textbf{return } n \\
    \hline
    \end{array}$$Recopier ce programme sur la copie et compléter les lignes incomplètes afin que le programme renvoie la valeur attendue.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au chois du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
II indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer le choix, les principaux domaines abordés sont indiqués en début de chaque exercice.

Exercice A

Principaux domaines abordés:

  • Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé;
  • orthogonalité dans l’espace.

Dans un repère $Oikj$ on considère :

  • le point $A$ de coordonnées $(1 ; 3 ; 2)$,
  • le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$,
  • la droite $d$ passant par l’origine $O$ du repère et admettant pour vecteur directeur $\vec{u}$.

 

Le but de cet exercice est de déterminer le point de $d$ le plus proche du point $A$ et d’étudier quelques propriétés de ce point.

On pourra s’appuyer sur la figure ci-contre pour raisonner au fur et à mesure des questions.

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
  2. Soit $t$ un nombre réel quelconque, et $M$ un point de la droite $d$, le point $M$ ayant pour coordonnées $(t ; t ; 0)$.
    a. On note $AM$ la distance entre les points $A$ et $M$. Démontrer que :$$AM^2=2 t^{2}-8 t+14$$
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $M_0$ de coordonnées $(2 ; 2 ; 0)$ est le point de la droite $d$ pour lequel la distance $AM$ est minimale. On admettra que la distance $AM$ est minimale lorsque son carré $AM^2$ est minimal.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $\left(AM_0\right)$ et $d$ sont orthogonales.
    $\quad$
  4. On appelle $A’$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan d’équation cartésienne $z=0$. Le point $A’$ admet donc pour coordonnées $(1 ; 3 ; 0)$.
    Démontrer que le point $M_0$ est le point du plan $\left(AA’M_0\right)$ le plus proche du point $O$, origine du repère.
    $\quad$
  5. Calculer le volume de la pyramide $OM_0A’A$.
    On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par: $V=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$, où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ est la hauteur de la pyramide correspondant à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés:

  • Équations différentielles;
  • fonction exponentielle.

On considère l’équation différentielle $(E): y’=y+2 x \e^{x}$.

On cherche l’ensemble des fonctions définies et dérivables sur l’ensemble $\R$ des nombres réels qui sont solutions de cette équation.

  1. Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par $u(x)=x^{2} \e^{x}$. On admet que $u$ est dérivable et on note $u’$ sa fonction dérivée. Démontrer que $u$ est une solution particulière de $(E)$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On note $g$ la fonction définie sur $\R$ par :$$g(x)=f(x)-u(x)$$
    a. Démontrer que si la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ alors la fonction $g$ est solution de l’équation différentielle : $y’=y$. On admet que la réciproque de cette propriété est également vraie.
    $\quad$
    b. À l’aide de la résolution de l’équation différentielle $y’=y$, résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  3. Étude de la fonction $\boldsymbol{u}$
    a. Étudier le signe de $u'(x)$ pour $x$ variant dans $\R$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $u$ sur $\R$ (les limites ne sont pas demandées).
    $\quad$
    c. Déterminer le plus grand intervalle sur lequel la fonction $u$ est concave.
    $\quad$

$\quad$