Bac – Polynésie – jour 1 – juin 2024

Polynésie – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{OC}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
$\vec{n}.\vect{OA}=2+0-2=0$
$\vec{n}.\vect{OC}=5+0-6=-1\neq 0$
Donc $\vec{n}$ n’est pas orthogonal à $\vect{OC}$.
Par conséquent $\vec{n}$ n’est pas normal au plan $(OAC)$.
Affirmation 1 fausse.
$\quad$
Si on prend $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient $\begin{cases} x=5\\y=0\\z=-3\end{cases}$. Le point $C$ appartient donc à $\mathcal{D}$.
$\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AC}=-\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$C$ appartient à la droite $(AB)$.
Il ne reste plus qu’à vérifier que la droite $(AB)$ n’est pas confondue avec la droite $\mathcal{D}$.
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$. Or $\dfrac{-3}{-1}\neq \dfrac{1}{1}$. Ainsi $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ ne sont pas colinéaires.
Les deux droites sont bien sécantes au point $C$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}.\vec{n}=-1+5-4=0$ : $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
Par conséquent $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$
On a $\vect{BC}\begin{pmatrix}6\\-2\\-4\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$ est $\vec{q}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
On a donc $\vect{BC}=2\vec{q}$.
Ainsi $\vect{BC}$ est normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Le milieu de $[BC]$ est $M(2;1;-1)$.
Or $3\times 2-1-2\times (-1)-7=6-1+2-7=0$: donc $M$ appartient au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Affirmation 4 vraie.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

$(E)$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,02$ et $b=m$.
Les fonctions solution de cette équation différentielle sont es fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(t)=k\e^{at}-\dfrac{b}{a}$.
Or $-\dfrac{b}{a}=50m$.
Ainsi l’ensemble des fonctions solution de $(E)$ est $\acco{t\in \R\mapsto k\e^{-0,02t}+50m,~\forall k\in \R}$.
$\quad$
$\lim\limits_{t\to +\infty} -0,02t=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc, pour tout réel $k\in \R$, $\lim\limits_{t\to +\infty} k\e^{-0,02t}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=50m.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=30$.
Par conséquent $50m=30 \ssi m=0,6$.
$\quad$
Pour tout réel $t$ on a donc $f(t)=k\e^{-0,02t}+30$ et $f(0)=210$.
Ainsi $k\e^0+30=210\ssi k+30=210\ssi k=180$.
Pour tout réel $t$ on a alors $f(t)=180\e^{-0,02t}+30$.
$\quad$

Partie B

a. Graphiquement, il semblerait que $f(t)<50\ssi $t>110$.
Par conséquent $T\approx 110$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} f(t)<50&\ssi 180\e^{-0,02t}+30<50 \\
&\ssi 180\e^{-0,02t}<20 \\
&\ssi \e^{-0,02t}<\dfrac{1}{9} \\
&\ssi -0,02t<\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \qquad \text{croissance de la fonction exp} \\
&\ssi -0,02t<-\ln(9) \\
&\ssi t>50\ln(9) \qquad \text{division par un nombre négatif}\end{align*}$.
Ainsi $T=50\ln(9)$.
$\quad$
La valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} f(t)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} \left(180\e^{-0,02t}+30\right)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\times \left[\dfrac{180}{-0,02}\e^{-0,02t}+30t\right]_0^{100} \\
&=\dfrac{1}{100}\left(-9~000\e^{-2}+3~000+9~000\right) \\
&=120-90\e^{-2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On répète $3$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Pour tout $k\in \acco{0;1;2;3}$ on a $P(X=k)=\dbinom{3}{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\dbinom{3}{k}\times\dfrac{1}{8}$.
On obtient ainsi :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&0,125&0,375&0,375&0,125\\
\hline
\end{array}$

Partie B

$A_1$ est vérifié. On relance donc $2$ pièces.
Il y a $4$ tirages possibles : Pile–Pile ; Pile–Face ; Face–Pile et Face–Face. La probabilité que ces deux pièces fournissent Face est égale à $\dfrac{1}{4}$.
Par conséquent $P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p&=P(G)\\
&=P\left(A_0\cap G\right)+P\left(A_1\cap G\right)+P\left(A_2\cap G\right)+P\left(A_3\cap G\right) \\
&=P\left(A_0\right)\times P_{A_0}(G)+P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)+P\left(A_2\right)\times P_{A_2}(G)+P\left(A_3\right)\times P_{A_3}(G) \\
&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\times 1 \\
&=\dfrac{27}{64}\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_G\left(A_1\right)&=\dfrac{P\left(G\cap A_1\right)}{P(G)}\\ &=\dfrac{P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{27}{64}} \\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
La probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative sachant que la partie a été gagnée est égale à $\dfrac{2}{9}$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{27}{64}$ et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la partie est gagnée. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,95 &\ssi 1-P(Y=0)>0,95 \\
&\ssi P(Y=0)<0,05 \\
&\ssi \left(1-\dfrac{27}{64}\right)^n<0,05 \\
&\ssi n\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)<\ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction ln} \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \approx 5,5$.
Il faut donc jouer au moins $6$ fois à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On a :

Python

def suite(n): u = 3 for i in range(n): u = 4 / (5 - u) return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = 3
   for i in range(n):
      u = 4 / (5 - u)
   return u

$\quad$
$\text{suite(2)}$ renvoie une valeur approchée de $u_2$.
On a :
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{4}{5-3} \\
&=\dfrac{4}{2} \\
&=2\end{align*}$
et
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{4}{5-2}\\
&=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
Or $\dfrac{4}{3}\approx 1,333~333~333~333~333~3$.
$\quad$
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $1$.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;5[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x<5$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-(-1)\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&=\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;5[$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$.
Initialisation : $u_0=3$ et $u_1=2$. Donc $1\pp u_1\pp u_0 \pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$
La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;5[$. Ainsi :
$f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(4)$.
Par conséquent $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 4$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$.
$\quad$
a. Soit $x<5$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4}{5-x}=x \\
&\ssi \dfrac{4}{5-x}-x=0 \\
&\ssi \dfrac{4-(5-x)x}{5-x}=0 \\
&\ssi \dfrac{4-5x+x^2}{5-x}=0 \\
&\ssi 4-5x+x^2=0 \qquad \text{ car }5-x\neq 0\end{align*}$
$\quad$
b. $x^2-5x+4=0$ est une équation du second degré.
Son discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 4=9>0$.
Ses racines sont $\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$.
Or $1\in ]-\infty;5[$ et $4\in ]-\infty;5[$.
Par conséquent les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont $1$ et $4$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est, d’après la question B.2, décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
$f$ est continue (car dérivable) sur $]-\infty;5[$ et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question précédente $\ell=1$ ou $\ell=4$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=3<4$. Par conséquent $\ell=1$.
$\quad$
Si $u_0=4$ alors $u_1=4$.
Un rapide raisonnement par récurrence nous permettrait de montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=4$.
La suite $\left(u_n\right)$ serait donc constante égale à $4$.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 1) \text{ et } C(5 ; 0 ;-3)$$
On note $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne : $$x+5y-2z+3=0$$
On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-t+3\\y=t+2\\z=2t+1\end{cases} \qquad t\in \R$$

Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$.

$\quad$
Affirmation 2 :
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C$.

$\quad$
Affirmation 3 :
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

$\quad$
Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment $[BC]$, noté $Q$, a pour équation cartésienne : $$3x-y-2z-7 = 0$$
On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

$\quad$

Exercice 2 5 points

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$ °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l’on cherche à déterminer : $$(E)~ :~ y’+0,02y = m$$

Partie A

Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel :
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Entrée :}&\text{RésoudreEquationDifférentielle (y′ +0,02y = m)}\\
\hline
\text{Sortie :}& \boxed{\to}~ y = k *\exp(−0.02∗t)+50*m\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La température de l’atelier est de $30$ °C. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30$ °C lorsque $t$ tend vers l’infini.
Démontrer que $m = 0,6$.
$\quad$
Déterminer l’expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale f$ (0) = 210$.
$\quad$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous : $$f(t)=180\e^{-0,02t}+30$$

. L’objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50$°C.
a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l’objet.
$\quad$
b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
$\quad$
À l’aide d’une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

Voici les règles d’un jeu où le but est d’obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

$G$ : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, les évènements :
$A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p =\dfrac{27}{64}$
$\quad$
La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
$\quad$
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 6 points

L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n\in \$N : $$u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}$$

Partie A

Recopier et compléter la fonction Python suivante $\text{suite(n)}$ qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.

Python

def suite(n): u = ... for i in range(n) : ... return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = ...
   for i in range(n) :
      ...
   return u

$\quad$
L’exécution de $\text{suite(2)}$ renvoie $1.3333333333333333$.
Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
$\quad$
À l’aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
» \text{ suite}(2)\\
1.3333333333333333\\
» suite(5)\\
1.0058479532163742\\
» \text{ suite}(10)\\
1.0000057220349845\\
» \text{ suite}(20)\\
1.000000000005457\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$ par : $$f(x) =\dfrac{4}{5-x}$$
Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f \left(u_n\right)$.

Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$$
$\quad$
a. Soit x un réel de l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
Prouver l’équivalence suivante : $$f (x) = x \ssi x^2-5x +4 = 0$$
$\quad$
b. Résoudre $f(x) = x$ dans l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Déterminer sa limite.
$\quad$
Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Liban – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(J\cap C)&=P(J)\times P_J(C)\\
&=0,2\times 0,06 \\
&=0,012\end{align*}$
$\quad$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(C)&=P(J\cap C)+P\left(\conj{J}\cap C\right) \\
&=0,012+P\left(\conj{J}\right)P_{\conj{J}}(C)\\
&=0,012+0,8\times 0,125 \\
&=0,112\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_C\left(\conj{J}\right)&=\dfrac{P\left(C\cap \conj{J}\right)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,8\times 0,125}{0,112} \\
&\approx 0,893\end{align*}$
La probabilité que le skieur ait un forfait SÉNIOR sachant qu’il a choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,893$.
$\quad$
Un skieur ayant choisi l’option coupe-file a moins de vingt-cinq ans ou plus de vingt-cinq ans.
Ainsi :
$\begin{align*} P_C(J)&=1-P_C\left(\conj{J}\right) \\
&\approx 0,107\\
&<0,15\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Partie B

$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,112$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,112)^{30} \\
&=1-0,888^{30} \\
&\approx 0,972\end{align*}$
La probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,972$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
&=0,888^{30}+\dbinom{30}{1}0,112^1\times 0,888^{29} \\
&\approx 0,136\end{align*}$
La probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file est environ égale à $0,136$.
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=30\times 0,112 \\
&=3,36\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On appelle $v_n$ le volume d’eau, en litres, contenu dans la bouteille au bout de $n$ heures.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=(1-0,15)v_n$ soit $v_{n+1}=0,85 v_n$.
$\left(v_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $1$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=0,85^n$.
$\begin{align*} u_n \pp 0,25&\ssi 0,85^n \pp 0,25 \\
&\ssi n\ln(0,85)\pp \ln(0,25) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)} \qquad \text{car } \ln(0,85)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,85)}\approx 8,53$.
C’est donc au bout de $9$ heures que le volume d’eau devient inférieur à un quart de litre.
Réponse c
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n=6$.
Initialisation : $u_0=6$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{2} u_n+3 \\
&=\dfrac{1}{2}\times 6+3 \\
&=6\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc, pour tout entier naturel $n,~ u_n=6$.
Réponse d
$\quad$
Soit $x\in ]0;+\infty[$
$\begin{align*} f(2x)&=4\ln(3\times 2x) \\
&=4\left(\ln(2)+\ln(3x)\right) \\
&=4\ln(2)+4\ln(3x)\\
&=\ln\left(2^4\right)+f(x)\\
&=\ln(16)+f(x)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
Pour tout réel $x>1$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
D’après la limite du quotient des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$ : $C_g$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=0$.
$\quad$
$C_g$ ne peut avoir d’asymptote verticale qu’en $1$.
Pour tout réel $x\in ]1;+\infty[$ on a $g(x)=\dfrac{\ln(x)-\ln(1)}{x-1}$.
Ainsi $g(x)$ est le taux d’accroissement de la fonction $\ln$ entre $1$ et $x$.
Donc $\lim\limits_{x\to 1^+} g(x)=\ln'(1)=\dfrac{1}{1}$.
$C_g$ n’a pas d’asymptote verticale.
Réponse c
$\quad$
$h$ est définie sur $]0;2]$. Par conséquent :
$\begin{align*} h(x)=0&\ssi 1+2\ln(x)=0 \\
&\ssi 2\ln(x)=-1 \\
&\ssi \ln(x)=-0,5 \\
&\ssi x=\e^{-0,5}\end{align*}$
Or $\e^{-0,5}\in \left[\dfrac{1}{\e};2\right]$.
Réponse b
$\quad$
D’une part
$\begin{align*} h\left(\sqrt{\e}\right)&=\left(\sqrt{\e}\right)^2\left(1+2\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
&=\e\left(1+2\times \dfrac{1}{2}\ln(\e)\right) \\
&=2\e\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} h’\left(\sqrt{\e}\right)&=4\left(\sqrt{\e}\right)\left(1+\ln\left(\sqrt{\e}\right)\right) \\
&=4\sqrt{e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\\
&=6\sqrt{\e}\end{align*}$
Une équation de la tangente à $C_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est donc $y=6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e$
Or
$\begin{align*} 6\sqrt{\e}\left(x-\sqrt{\e}\right)+2\e&=6\sqrt{\e}x-6\e+2\e \\
&=6\sqrt{\e}x-4\e \\
&=\left(6\e^{1/2}\right).x-4\e\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
Pour tout réel $x\in ]0;2]$ on a
$\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(1+\ln(x)\right)+4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=4+4\ln(x)+4 \\
&=8+4\ln(x)\end{align*}$
$\begin{align*} h\dsec(x)>0&\ssi 8+4\ln(x)>0 \\
&\ssi 4\ln(x)>-8 \\
&\ssi \ln(x)>-2 \\
&\ssi x>\e^{-2}\end{align*}$.
On a, de même, $h\dsec(x)=0 \ssi x=\e^{-2}$.
$\e^{-2}\in ]0;2]$.
La courbe $C_h$ possède donc un unique point d’inflexion sur $]0;2]$.
Réponse b
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

a. $\lim\limits_{x\to -\infty} 0,5x-2=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{0,5x-2}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ non nul on a
$\begin{align*} 1+0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right) &=1+x-\e^{-0,5x}\times \e^{-2} \\
&=f(x)\end{align*}$
$\lim\limits_{x\to +\infty} 0,5x=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to +\infty} \dfrac{\e^X}{X}=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}=+\infty$.
Par produit des limites, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=1-0,5\e^{0,5x-2}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} f'(x)<0&\ssi 1-0,5\e^{0,5x-2}<0 \\
&\ssi -0,5\e^{0,5x-2}<-1 \\
&\ssi \e^{0,5x-2}>2 \\
&\ssi 0,5x-2>\ln(2) \\
&\ssi 0,5x>2+\ln(2) \\
&\ssi x>4+2\ln(2)\end{align*}$
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est bien $\left]4+2\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
En raisonnant de la même façon on obtient $f'(x)=0 \ssi x=4+2\ln(2)$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\begin{align*} f\left(4+2\ln(2)\right)&=1+4+2\ln(2)-\e^{2+\ln(2)-2} \\
&=5+2\ln(2)-2\\
&=3+2\ln(2)\end{align*}$
$\quad$
$4+2\ln(2)>0$.
La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;0]$.
$f(-1)=-\e^{-2,5}<0$ et $f(0)=1-\e^{-2}>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet donc une unique solution sur l’intervalle $[-1;0]$.
$\quad$

Partie B

a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} \pp 4$
Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=1-\e^{-2}\approx 0,86$
Donc $u_0\pp u_1\pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty;4+2\ln(2)\right]$ donc sur $[0;4]$.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} \pp 4&\Rightarrow f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4) \\
&\Rightarrow u_{n+1}\pp u_{n+2}\pp 5-1\end{align*}$
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 4$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $4$; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. $\ell$ est solution de l’équation $x=f(x)$
$\begin{align*} x=f(x)&\ssi 1+x-\e^{0,5x-2}=x \\
&\ssi 1-\e^{0,5x-2}=0 \\
&\ssi \e^{0,5x-2}=1 \\
&\ssi 0,5x-2=0 \\
&\ssi 0,5x=2 \\
&\ssi x=4\end{align*}$
Ainsi $\ell =4$.
$\quad$
b. La fonction $\texttt{valeur}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>a$.
Cela signifie donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>3,99$ est $12$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a $R(3;2;-1)$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} -4\\4\\0\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Une équation du plan $\mathscr{P}_1$ est donc de la forme $-4x+4y+d=0$.
$R(3;2;-1)$ appartient au plan $\mathscr{P}_1$ donc $-12+8+d=0 \ssi d=4$.
Une équation de $\mathscr{P}_1$ est donc $-4x+4y+4=0$ soit $x-y-1=0$.
$\quad$
c. $10-9-1=0$ donc $E(10;9;8)$ appartient à $\mathscr{P}_1$.
$\vect{EA}\begin{pmatrix} -5\\-9\\-9\end{pmatrix}$ et $\vect{EB}\begin{pmatrix} -9\\-5\\-9\end{pmatrix}$
$\begin{align*} EA&=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2+(-9)^2}\\
&=\sqrt{25+81+81} \\
&=\sqrt{187}\end{align*}$
$\begin{align*} EB&=\sqrt{(-9)^2+(-5)^2+(-9)^2}\\
&=\sqrt{187}\end{align*}$
On a donc $EA=EB$.
$\quad$
a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}_2$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
$\vect{AB}$ et $\vec{n}$ ne sont pas colinéaires.
Les plans $\mathscr{P}_1$ et $\mathscr{P}_2$ sont par conséquent sécants.
$\quad$
b. Soit $t\in \R$.
$\begin{align*} (2+t)-(1+t)-1&=2+t-1-t-1 \\
&=0\end{align*}$
La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_1$.
$\begin{align*} (2+t)-t-2&=2+t-t-2 \\
&=0\end{align*}$
La droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$ est incluses dans le plan $\mathscr{P}_2$.
L’intersection de deux plans est une droite.
Ainsi une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases},~(t\in \R)$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\y+z-3=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\1+t+t-3=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\\t=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=2\\z=1\end{cases}\end{align*}$
La droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathscr{P}_3$ en $\Omega(3;2;1)$.
$\quad$
a. $\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AB]$ donc $\Omega A=\Omega B$.
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AC]$ donc $\Omega A=\Omega C$.
$\Omega$ appartient au plan médiateur de $[AD]$ donc $\Omega A=\Omega D$.
Ainsi $\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D$.
$\quad$
b. Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent donc à la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega A$.
Or
$\begin{align*} \Omega A&=\sqrt{(5-3)^2+(0-2)^2+(-1-1)^2} \\
&=\sqrt{4+4+4} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l’âge du skieur :

un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
un forfait SÉNIOR pour les autres.

Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge,
l’option coupe-file qui permet d’écourter le temps d’attente aux remontées
mécaniques.

On admet que :

$20\%$ des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
$80\%$ des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, $6\%$ choisissent l’option coupe-file ;
parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, $12,5\%$ choisissent l’option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :

$J$ : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
$C$ : « le skieur choisit l’option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité $P(J\cap C)$.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l’option coupe-file
est égale à $0,112$.
$\quad$
Le skieur a choisi l’option coupe-file. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de $15\%$ des skieurs ayant choisi l’option coupe-file ? Expliquer.
$\quad$

Partie B
On rappelle que la probabilité qu’un skieur choisisse l’option coupe-file est
égale à $0,112$.

On considère un échantillon de $30$ skieurs choisis au hasard.

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l’échantillon ayant choisi l’option coupe-file.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au plus un des $30$ skieurs ait choisi l’option coupe-file.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : suites, fonctions, fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Un récipient contenant initialement $1$ litre d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de $15\%$.
Au bout de quel nombre entier d’heures le volume d’eau devient-il inférieur à un quart de litre ?
a. $2$ heures
b. $8$ heures
c. $9$ heures
d. $13$ heures
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+3$ et $u_0=6$. On peut affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.
b. la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
c. la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas monotone.
d. la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=4\ln(3x)$
Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ , on a :
a. $f(2x)=f(x)+\ln(24)$
b. $f(2x)=f(x)+\ln(16)$
c. $f(2x)=\ln(2)+f(x)$
d. $f(2x)=2f(x)$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]1;+\infty[$ par :
$$g(x)\dfrac{\ln(x)}{x-1}$$
On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal.
La courbe $\mathcal{C}_g$ admet :
a. une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
b. une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
c. aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
d. aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on considère la fonction $h$ définie sur l’intervalle $]0 ; 2]$ par : $$h(x) = x^2\left(1 + 2 \ln(x)\right)$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère du plan.
On admet que $h$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; 2]$.
On note $h’$ sa dérivée et $h\dsec$ sa dérivée seconde.

On admet que, pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; 2]$, on a :$$h'(x)=4x\left(1+\ln(x)\right)$$

Sur l’intervalle $\left[\dfrac{1}{\e};2\right]$, la fonction $h$ s’annule :
a. exactement $0$ fois.
b. exactement $1$ fois.
c. exactement $2$ fois.
d. exactement $3$ fois.
$\quad$
Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$ est :
a. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x$
b. $y=\left(6\sqrt{\e}\right).x+2\e$
c. $y=6\e^{\frac{x}{2}}$
d. $y=\left(6\e^{\frac{1}{2}}\right).x-4\e$
$\quad$
Sur l’intervalle $]0 ; 2]$, le nombre de points d’inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$ est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : suites, fonctions, fonction exponentielle

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $$f(x)=1+x-\e^{0,5x-2}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa dérivée.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul, $f(x) = 1 + 0,5x\left(2-\dfrac{\e^{0,5x}}{0,5x}\times \e^{-2}\right)$.
En déduire la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
$\quad$
b. Démontrer que l’ensemble des solutions de l’inéquation $f'(x)<0$ est
l’intervalle $]4 + 2\ln(2) ; +\infty[$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
On fera figurer la valeur exacte de l’image de $4 + 2\ln(2)$ par $f$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[-1; 0]$.
$\quad$

Partie B

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$ ,
$$u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ où } f \text{ est la fonction définie à la }\textbf{ partie A.}$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , on a : $$u_n\pp u_{n+1}\pp 4$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. On notera $\ell$ la limite.
$\quad$
a. On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell=f(\ell)$.
Démontrer que $\ell = 4$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\texttt{valeur}$ écrite ci-dessous dans le langage Python :
$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def valeur(a):}\\
\quad\text{u=0}\\
\quad\text{n=0}\\
\quad\text{while u<=a:}\\
\qquad\text{u=1+u-exp(0.5*u-2)}\\
\qquad\text{n=n+1}\\
\quad\text{return n}\\
\hline
\end{array}$
L’instruction $\texttt{valeur(3.99)}$ renvoie la valeur $12$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(5 ; 0 ; -1)$, $B(1 ; 4 ; -1)$, $C(1 ; 0 ; 3)$, $D(5 ; 4 ; 3)$ et $E(10 ; 9 ; 8)$

a. Soit $R$ le milieu du segment $[AB]$.
Calculer les coordonnées du point $R$ ainsi que les coordonnées du vecteur $\vect{AB}$.
$\quad$
b. Soit $\mathcal{P}_1$ le plan passant par le point $R$ et dont $\vect{AB}$ est un vecteur normal.
Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_1$ est :
$$x-y-1=0$$
$\quad$
c. Démontrer que le point $E$ appartient au plan $\mathcal{P}_1$ et que $EA = EB$.
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation cartésienne $x-z-2=0$.
a. Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants.
$\quad$
b. On note $\Delta$ la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ .
Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :$$\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=t\end{cases} \quad (t\in \R)$$
$\quad$
On considère le plan $\mathcal{P}_3$ d’équation cartésienne $y+z-3=0$.
Justifier que la droite $\Delta$ est sécante au plan $\mathcal{P}_3$ en un point $\Omega$ dont on déterminera les coordonnées.

Si $S$ et $T$ sont deux points distincts de l’espace, on rappelle que l’ensemble des points $M$ de l’espace tels que $MS = MT$ est un plan, appelé plan médiateur du segment $[ST]$.
On admet que les plans $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}_2$ et $\mathcal{P}_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments $[AB]$, $[AC]$ et $[AD]$.

a. Justifier que $\Omega A = \Omega B = \Omega C = \Omega D$.
$\quad$
b. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.
$\quad$

$\quad$