Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 12 mai 2022

Centres étrangers – 12 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{(1-x)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=\dfrac{1-x}{\e^x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble donc strictement positive sur $]-3;-1[$ et strictement négative sur $]-1;1[$.
    La fonction $f’$ semble donc croissante sur $[-3;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;1]$.
    Ainsi $f’$ admet un maximum en $x=-1$.
    Réponse D
    $\quad$
  3. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$.
    Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}+\left(x^2+1\right)\times (-2x)\e^{-x^2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}-2x^3\e^{-x^2}-2x\e^{-x^2}\right) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\times \left(-2x^3\right) \e^{-x^2}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}{\e^x\left(1-\e^{-x}\right)} \\
    &=\dfrac{1+\e^{-x}}{1-\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}=1$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+K$
    $\begin{align*} F(0)=1&\ssi \dfrac{1}{2}\e+K=1 \\
    &\ssi K=1-\dfrac{1}{2}\e\end{align*}$
    Donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+1-\dfrac{1}{2}\e$.
    Réponse C
    $\quad$
  6. La fonction $f$ semble concave sur $[-2;1]$ et convexe sur $[1;4]$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est négatif sur $[-2;1]$ et positif sur $[1;4]$ en ne s’annulant qu’en $1$.
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif,
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    $\ln(x)+1>0\ssi \ln(x)>-1 \ssi x>\e^{-1}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
    Donc pour tout $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) <1$.
    $f(1)=1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
    Donc pour tout $x\in \left[\e^{-1};1\right[$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) < 1$.
    Ainsi, pour tout $x\in [0;1]$ on a $0<f(x)<1$.
    $\quad$
  3. a. $f'(1)=1$ et $f(1)=1$
    Une équation de $(T)$ est donc $y=1\times (x-1)+1$ soit $y=x$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La courbe $C_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes en particulier au-dessus de $T$.
    Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\pg x$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<1$.
    Initialisation : $u_0\in ]0;1[$ par définition. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a $0<u_n<1$ donc, d’après la question 2.c., $0<f\left(u_n\right)<1$ soit $0<u_{n+1}<1$.
    $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<1$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    D’après la question 3.c. on a $f\left(u_n\right)\pg u_n$ soit $u_{n+1}\pg u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(un\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$
    $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
    $\begin{align*} \vect{AD}=x\vect{AB}+y\vect{AC}&\ssi \begin{cases} 3x+3y&=-3\\3x&=6\\3x-3y&=-3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x+y&=-3\\x&=2\\x-y&=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=-5\\y=3\end{cases}\end{align*}$
    Les deux dernières lignes du système sont incompatibles.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont donc pas coplanaires.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=3\times 3+3\times 0+3\times (-3) \\
    &=9+0-9\\
    &=0\end{align*}$
    Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AB}&=-3\times 3+6\times 3+(-3)\times 3 \\
    &=-9+18-9 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=-3\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3) \\
    &=-9+0+9 \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{AD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils sont orthogonaux d’après la question précédente) du plan $(ABC)$.
    La droite $(AD)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{9+36+9} \\
    &=\sqrt{54}\end{align*}$
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{3^2+3^2+3^2} \\
    &=\sqrt{9+9+9} \\
    &=\sqrt{27}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{9+0+9} \\
    &=\sqrt{18}\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{18}}{2}\\
    &=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
    Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times AD\times \mathscr{A} \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{54}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\\
    &=27\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$, $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{BH}=\alpha\vect{BC}+\beta\vect{BD}&\ssi \begin{cases} -6\beta&=-1 \\
    -3\alpha+3\beta&=-1\\
    -6\alpha-6\beta&=-4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=\dfrac{1}{6}\\\alpha=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $\vect{BH}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{6}\vect{BD}$.
    $\quad$
    b. $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BC}&=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6) \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BD}&=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6) \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{AH}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
    C’est donc un vecteur normal à ce plan.
    D’après la question précédente, $H$ appartient au plan $(BCD)$.
    Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{9} \\
    &=3\end{align*}$
    La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $3$ unités de longueur.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On appelle :
    $\bullet ~~N_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est noir » ;
    $\bullet ~~B_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est blanc ».
    On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $ \quad$
    $\quad$
    b. La probabilité de perdre $9$ € sur une partie est égale à :
    $\begin{align*} P\left(B_1\cap B_2\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(B_2\right) \\
    &=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \\
    &=\dfrac{9}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton noir vaut $\dfrac{3}{N+3}$ et la probabilité de tirer un jeton blanc vaut $\dfrac{N}{N+3}$.
    La probabilité de tirer deux jetons blancs est égale à $\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2$.
    La probabilité de tirer deux jetons noirs est égale à $\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2$.
    Par conséquent la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est égale à :
    $\begin{align*} p&=1-\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2-\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\
    &=1-\dfrac{9}{(N+3)^2}-\dfrac{N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{(N+3)^2-9-N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{N^2+6N+9-9-N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{align*}$
    On obtient ainsi la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-9&-1&5\\
    \hline
    P(X=x)&\dfrac{9}{(N+3)^2}&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&\dfrac{6N}{(N+3)^2}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $-x^2+30x-81$ est $\Delta=576>0$.
    Les racines de $-x^2+3x-81$ sont donc $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{-2}=27$ et $x_1=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{-2}=3$.
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-1<0$.
    Par conséquent l’ensemble solution de $-x^2+3x-81>0$ est $]3;27[$.
    $\quad$
    c. Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l’espérance de $X$ est strictement positive.
    $\begin{align*} E(X)>0&\ssi -9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}>0 \\
    &\ssi -81-N^2+30N>0\end{align*}$
    D’après la question précédente, le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, $N$ est un entier naturel compris entre $4$ et $26$, tous les deux inclus.
    $\quad$
    d. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}$.
    Elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^4} \\
    &=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^3} \\
    &=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}\\
    &=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}\end{align*}$
    $g'(x)$ est donc du signe de $-36x+252$ sur $[0;+\infty[$.
    Or $-36x+252>0\ssi -36x>-252 \ssi x<7$.
    Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;7]$ et strictement décroissante sur $[7;+\infty[$.
    Elle atteint donc son maximum pour $x=7$.
    Or $E(X)=g(N)$ et $7\in [4;26]$.
    Le gain moyen est donc maximal s’il y a $7$ jetons noirs.
    $\quad$
  3. $N=7$ donc $P(X=5)=0,42$.
    On répète $10$ fois de façons indépendantes la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de joueur ayant gagné $5$ euros.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0) \\
    &=1-(1-0,42)^{10} \\
    &=1-0,58^{10}\\
    &\approx 0,996\end{align*}$
    La probabilité d’avoir au moins un joueur gagnant $5$ euros est environ égale à $0,996$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question en rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$$
    On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. $f'(x)=\e^{-x}$
    b. $f'(x)=x\e^{-x}$
    c. $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$
    d. $f'(x)=(1+x)\e^{-x}$
    $\quad$
  2. Soit $f $ une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f\dsec$.
    On peut alors affirmer que :
    a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;1]$
    b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$
    c. La fonction $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[-2;0]$
    d. La fonction $f’$ admet un maximum en $x=-1$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
    Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
    a. $F(x)=-\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\e^{-x^2}$
    b. $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\e^{-x^2}$
    c. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$
    d. $F(x)=x^2\left(3-2x^2\right)\e^{-x^2}$
    $\quad$
  4. Que vaut  $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$$
    a $-1$
    b. $1$
    c. $+\infty$
    d. N’existe pas
    $\quad$
  5. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$.
    La seule primitive de $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction :
    a. $x\mapsto 2\e^{2x+1}-2\e+1$
    b. $x\mapsto \e^{2x+1}-\e$
    c. $x\mapsto \dfrac{1}{2}\e^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\e+1$
    d. $x\mapsto \e^{x^2+x}$
    $\quad$
  6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$.
    a.
    b.
    c.

    d.

    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=x\ln(x)+1$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1+\ln(x)$$
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\in ]0;1[$, $f(x)\in ]0;1[$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif $$f(x)\pg x$$
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l’intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
    a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n<1$.
    $\quad$
    b. Déduire de la question 3c la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $Oijk$.

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h$$
où $\mathscr{A}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

  1. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
    $\quad$
  3. On considère le point $H(5;0;1)$.
    a. Montrer qu’il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{BH}=\alpha \vect{BC}+\beta\vect{BD}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
    $\quad$
    c. En déduire ma distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
    $\quad$
  4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $BCD$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Un partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

  • un joueur perd $9$ euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
  • un joueur perd $1$ euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
  • un joueur gagne $5$ euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
  1. On considère que l’urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs.
    a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.
    $\quad$
  2. On considère maintenant que l’urne contient $2$ jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.
    a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
    Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
    $\quad$
    b. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel : $$-x^2+30x-81>0$$
    $\quad$
    c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’une doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
    $\quad$
    d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal?
    $\quad$
  3. On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que $7$ jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec $3$ jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros?
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 11 mai 2022

Centres étrangers – 11 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=2~022 &\ssi \ln\left(1+x^2\right)=2~022\\
    &\ssi 1+x^2=\e^{2~022} \\
    &\ssi x^2=\e^{2~022}-1 \end{align*}$
    Or $\e^{2~022}-1>0$
    Les solutions de l’équation $x^2=\e^{2~022}-1$ sont donc $\sqrt{\e^{2~022}-1}$ et $-\sqrt{\e^{2~022}-1}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La fonction $g$ dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-2x \\
    &=\ln(x)+1-2x\end{align*}$
    La fonction $g’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g\dsec(x)&=\dfrac{1}{x}-2 \\
    &=\dfrac{1-2x}{x}\end{align*}$
    Sur $]0;+\infty[$, $g\dsec(x)$ ne dépend que du signe de $1-2x$.
    Or $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$ et $1-2x=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g\dsec(x)$ s’annule en changeant de signes qu’une seule fois pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    La courbe $C_g$ admet donc exactement un point d’inflexion sur $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in ]-1;1[$ on a $f(x)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2x}{1-x^2}$
    On reconnaît une dérivée de la forme $\dfrac{u’}{u}$ dont une primitive est $\ln(u)$ avec $u(x)=1-x^2$.
    Une primitive de $f$ est donc la fonction $g$ définie sur $]-1;1[$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $-x^2-x+6$ a pour discriminant $\Delta = 25>0$.
    Les solutions de l’équation $-x^2-x+6=0$ sont $x_1=2$ et $x_2=-3$.
    Le coefficient principal est $a=-1<0$.
    Ainsi $-x^2-x+6>0$ sur $]-3;2[$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $]0,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0,5;+\infty[$ on a $f'(x)=-2x-4+\dfrac{6}{2x-1}$
    Par conséquent $f'(1)=4$ et $f(1)=-3$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est $y=4(x-1)-3$ soit $y=4x-7$.
    Réponse A
    $\quad$
  6. $x+3>0\ssi x>-3$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
    L’inégalité n’est donc définie que sur $]-1;+\infty[$.
    $\begin{align*} \ln(x+3)<2\ln(x+1)&\Rightarrow \ln(x+3) <\ln\left((x+1)^2\right) \\
    &\Rightarrow x+3<(x+1)^2 \\
    &\Rightarrow w+3<x^2+2x+1\\
    &\Rightarrow x^2+x-2>0\end{align*}$
    Le discriminant est $\Delta=9>0$.
    Les solutions de $x^2+x-2=0$ sont donc $-2$ et $1$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$ donc $x^2+x-2>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$.
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathscr{S}&=]-1;+\infty[ \cap \left(]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[\right) \\
    &=]1;+\infty[\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Calcul d’un angle
    a.
    On a $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
    $\dfrac{-3}{-2}=1,5$ et $\dfrac{-1}{2}=-0,5$. Or $1,5\neq -0,5$.
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{12} \\
    &=2\sqrt{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{11}\end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times (-3)+2\times (-1)+(-2)\times (-1) \\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right) &\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{\vect{AB}.\vect{AC}}{AB\times AC} \\
    &\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{6}{2\sqrt{3}\times \sqrt{11}} \\
    &=\dfrac{3}{\sqrt{33}}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 58,5$°
    $\quad$
  2. Calcul d’une aire
    a.
    $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal au plan $P$
    Une équation de $P$ est donc de la forme $-2x+2y-2z+d=0$.
    $C(-1;-1;2)$ appartient à $P$. Donc $2-2-4+d=0 \ssi d=4$.
    Une équation cartésienne de $P$ est $-2x+2y-2z+4=0$ ou encore $-x+y-z+2=0$.
    $\quad$
    b. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\end{cases}$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*}\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-x+y-z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-(2-2t)+2t-(3-2t)+2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-2+2t+2t-3+2t+2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\6t =3\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\x=1\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$
    Le point $E$ a donc pour coordonnées $(1;1;2)$.
    $\quad$
    d. L’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{11}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &=\sqrt{33}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right)\\
    &=2\sqrt{6}\\
    &\approx 4,899\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : Pour calculer la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{ABC}\right)$ on peut utiliser la propriété suivante : pour tout réel $x$, $\sin^2x+\cos^2 x=1$, connaissant la valeur de $\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{3}{\sqrt{33}}$
    On a donc $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)+\dfrac{9}{33}=1$ soit $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{8}{11}$.
    Or $\sin\left(\widehat{ABC}\right)>0$ (sinon l’aire est négative!) donc $\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$
    $\quad$
  3. Calcul d’un volume
    a.
    $\vect{AF}(-1;-1;0)$ or $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
    Par conséquent (après résolution d’un système éventuellement) $\vect{AF}=-\dfrac{1}{4}\vect{AB}+\dfrac{1}{2}\vect{AC}$.
    Ainsi, les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. $\vect{FD}(2;-2;-4)$.
    $\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AB}&=2\times (-2)-2\times 2-4\times (-2) \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AC}&=2\times (-3)-2\times (-1)-4\times (-1) \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{FD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    c.
    $\begin{align*} FD&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$
    Le volume de $ABCD$ est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times FD\times \mathscr{A} \\
    &=8\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=+\infty$
    Pour tout réel $x$, $h(x)=\e^x\left(1-\dfrac{x}{\e^x}\right)$. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=\e^x-1$.
    Or $\e^x-1=0 \ssi x=0$ et $\e^x-1>0 \ssi x>0$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :$\quad$
  3. La fonction $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Donc, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0\pp a\pp b$ on a $h(a)\pp h(b)$ c’est-à-dire $h(a)-h(b) \pp 0$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction exponentielle.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x$.
    $f(0)=1$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+1$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1-\left(\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1\right) \\
    &=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n} \\
    &=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$.
    Donc d’après la question A.3. $h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\pp 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de valeurs $u_n<10^{-2}$ à partir de $n=8$.
    C’est donc à partir de $n=8$ que l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A&\conj{A}&\text{Total} \\
    \hline
    B&0,05&0,15&0,2\\
    \hline
    \conj{B}&0,05&0,75&0,8 \\
    \hline
    \text{Total}&0,1&0,9&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cup B)&=1-P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=1-0,75 \\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements est donc égale à $0,25$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(A\cap B)=0,05$.
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements est donc égale à $0,05$.
    $\quad$
    c. $P(A)\times P(B)=0,02$ et $P(A\cap B)=0,05$.
    Donc $P(A)P(B)\neq P(A\cap B)$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(B\cap \conj{A}\right) &=0,15+0,05 \\
    &=0,2\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements est donc égale à $0,2$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,05}{0,1} \\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut de traitement T2 sachant qu’elle présente un défaut de traitement T1 est égale à $0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète indépendamment $50$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,1$.
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{50}{10}\times 0,1^{10} \times (1-0,1)^{50-10} \\
    &\approx 0,015\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $10$ paires de verres présentent ce défaut dans l’échantillon est environ égale à $0,015$.
    $\quad$
  3. L’espérance de $X$ est $E(X)=50\times 0,1=5$.
    Ainsi, en moyenne, on peut trouver $5$ paires de verres ayant ce défaut dans un échantillon de $50$ paires.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire d choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par f$f(x)=\ln\left(1+x^2\right)$.
    Sur $\R$, l’équation $f(x)=2~022$
    a. n’admet aucune solution.
    b. admet exactement une solution.
    c. admet exactement deux solutions.
    d. admet une infinité de solutions.
    $\quad$
  2. Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $$g(x) = x \ln(x)− x^2$$
    On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    a. La fonction $g$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$.
    b. La fonction $g$ est concave sur $]0 ; +\infty[$.
    c. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement un point
    d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
    d. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement deux
    points d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;1[$ par $$f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}$$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]-1;1[$ par :
    a. $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
    b. $g(x)=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}$
    c. $g(x)=\dfrac{x^2}{2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)}$
    d. $g(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
    $\quad$
  4. La fonction $x\mapsto \ln\left(-x^2-x+6\right)$ est définie sur
    a. $]-3;2[$
    b. $]-\infty;6[$
    c. $]0;+\infty[$
    d. $]2;+\infty[$
    $\quad$
  5. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5;+\infty[$ par $$f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)$$
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=4x-7$
    b. $y=2x-4$
    c. $y=-3(x-1)+4$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  6. L’ensemble $\mathscr{S}$ des solutions dans $\R$ de l’inéquation $\ln(x+3)<2\ln(x+1)$ est :
    a. $\mathscr{S}=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
    b. $\mathscr{S}=]1;+\infty[$
    c. $\mathscr{S}=\emptyset$
    d. $\mathscr{S}=]-1;1[$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2;0;3),~B(0;2;1),~C(-1;-1;2) \text{ et } D(3;-3;-1)$$

  1. Calcul d’un angle.
    a.
     Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et
    $\vect{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
    $\quad$
    c. À l’aide du produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l’angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.
    $\quad$
  2. Calcul d’une aire.
    a.
    Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c’est-à-dire du point d’intersection de la droite $(AB)$ et du plan $P$.
    $\quad$
    d. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. Calcul d’un volume.
    a.
    Soit le point $F(1 ; −1 ; 3)$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Fonction exponentielle et suite

Partie A :

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $$h(x)=\e^x-x$$

  1. Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  3. En déduire que :
    si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0\pp a\pp b$ alors $h(a)-h(b)\pp 0$.
    $\quad$

Partie B :

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\e^x$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $\Oij$.

  1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $0$.

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre $T$ et $C_f$ au voisinage de $0$. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_f$ de même abscisse.

On s’intéresse aux points d’abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.

On considère alors la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $$u_n=\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1$$

  1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $$u_{n+1}-u_n=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
    où $h$ est la fonction définie à la partie A.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u_n \\ \hline
    1 &0,718281828\\ \hline
    2& 0,148721271\\ \hline
    3& 0,062279092 \\ \hline
    4& 0,034025417\\ \hline
    5& 0,021402758\\ \hline
    6& 0,014693746\\ \hline
    7& 0,010707852\\ \hline
    8& 0,008148453\\ \hline
    9& 0,006407958\\ \hline
    10& 0,005170918\\ \hline
    \end{array}$$
    Donner la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ pour laquelle l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

On désigne par $A$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».

On désigne par $B$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».

On note respectivement $\conj{A}$ et $\conj{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.

Une étude a montré que :

  •  la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à $0,1$.
  • la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à $0,2$.
  • la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est $0,75$.
  1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A&\conj{A}&\text{Total} \\
    \hline
    B&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    \conj{B}&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{123}&\phantom{123}&1\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
    $\quad$
    b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
    $\quad$
    c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.
    $\quad$

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de $50$ paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut.
    Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ?
    $\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – septembre 2021

Métropole – septembre 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (4 points)

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(S\cap I)&=p(S)\times p_S(I) \\
    &=0,08\times 0,9\\
    &=0,072\end{align*}$
    La probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu’il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
    $\quad$
    b. $\left(S,\conj{S}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(I)&=p(S)p_S(I)+p\left(\conj{S}\right)p_{\conj{S}}(I) \\
    &=0,08\times 0,9+0,92\times 0,01 \\
    &=0,0812\end{align*}$
    La probabilité que le message soit classé indésirable est $0,0812$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_I(S)&=\dfrac{p(S)\times p_S(I)}{p(I)} \\
    &=\dfrac{0,08\times 0,9}{0,0812} \\
    &\approx 0,89\end{align*}$
    La probabilité que le message soit du spam sachant qu’il est classé comme indésirable est environ égale à $0,89$.
    $\quad$
  3. a. On effectue $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $S$ et $\conj{S}$.
    Ainsi $Z$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,08$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} p(Z\pg 2)&=1-p(Z=0)-p(Z=1) \\
    &=1-0,92^{50}-\dbinom{50}{1}0,08\times 0,92^{49} \\
    &=1-0,92^{50}-50\times 0,08\times 0,92^{49} \\
    &\approx 0,92\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins deux courriels choisis soient du spam est environ égale à $0,92$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. Si $t=-2$ on obtient alors $\begin{cases} x=-3\\y=-4\\z=6\end{cases}$
    Le point $N(-3;-4;6)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Réponse B
    $\quad$
  2. $\vect{AB}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2-1\\1-0\\0-2\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$
    Réponse C
    $\quad$
  3. La droite $(AB)$ passe par le point $B(2;1;0)$ et a pour vecteur directeur $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$ mais également le vecteur $-\vect{AB}\begin{pmatrix} -1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Ainsi, une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-t\\y=1-t\\z=2t\end{cases}\quad, t\in \R$.
    Réponse B
    $\quad$
  4. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$
    Ainsi une équation cartésienne de ce plan est de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $C(0;1;2)$ appartient à ce plan.
    Donc $0+1-2+d=0 \ssi d=1$.
    Une équation cartésienne du plan est $2x+y-z+1=0$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. On a
    $\begin{align*} \vect{AD}&=\vect{AO}+\vect{OD} \\
    &=\vect{AO}+3\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC} \\
    &=2\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC} \\
    &=\vect{BO}+\vect{OA}+\vect{CO}+\vect{OA} \\
    &=\vect{BA}+\vect{CA}\end{align*}$
    Ainsi les vecteurs $\vect{AD}$, $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
    Réponse A
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3 (6 points)

Partie 1

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} -2x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} -\e^{-2x}=-\infty$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -2x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} -\e^{-2x}=0$
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1-(-2)\e^{-2x} \\
    &=1+2\e^{-2x}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
    On obtient le tableau de variation suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  3. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
    De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,43$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ et s’annule en $\alpha$.
    Donc :
    – $f(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $f(\alpha)=0$;
    – $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II

  1. a. La fonction $t\mapsto t^2+\e^{-2t}$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$. Cette fonction est de plus positive en tant que somme de fonctions positives.
    La fonction $h$ est donc dérivable sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} h'(t)&=\dfrac{2t-2\e^{-2t}}{2\sqrt{t^2+\e^{-2t}}} \\
    &=\dfrac{t-\e^{-t}}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}} \\
    &=\dfrac{h(t)}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $h'(x)$ a donc le même signe que $f(x)$ pour tout réel $x$.
    D’après la question I.4. on a donc :
    – $h'(x)<0$ sur $]-\infty;\alpha[$;
    – $h'(\alpha)=0$;
    – $h(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    Ainsi $h$ admet un minimum en $\alpha$.
    Le point $A\left(\alpha,g(\alpha)\right)$, c’est-à-dire $A\left(\alpha,\e^{-\alpha}\right)$, est le point de la courbe $\mathscr{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
    $\quad$
  2. a. Le coefficient directeur de la tangente $T$ est $g'(\alpha)=-\e^{-\alpha}$.
    $\quad$
    b. Le produit des deux coefficients directeurs est :
    $\begin{align*} -\e^{-\alpha}\times \dfrac{\e^{-\alpha}}{\alpha}&=-\dfrac{\e^{-2\alpha}}{\alpha} \\
    &=-\dfrac{\alpha}{\alpha} \quad \text{car }f(\alpha)=0 \ssi \e^{-2\alpha}=\alpha  \\
    &=-1\end{align*}$
    Les droites $(OA)$ et $T$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$

Ex A

Exercice A (5 points)

  1. On a $u_1=\dfrac{3\times 16+2\times 5}{5}=11,6$.
    et $v_1=\dfrac{16+5}{2}=10,5$
    $\quad$
  2. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} w_{n+1}&=u_{n+1}-v_{n+1} \\
    &=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}-\dfrac{u_n+v_n}{2} \\
    &=\dfrac{6u_n+4v_n-5u_n-5v_n}{10} \\
    &=\dfrac{u_n-v_n}{10} \\
    &=0,1 w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,1$ et de premier terme $w_0=u_0-v_0=11$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $w_n=11\times 0,1^n$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $w_n\pg 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
    De plus $-1<0,1<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$. On a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}-u_n \\
    &=\dfrac{3u_n+2v_n-5u_n}{5} \\
    &=\dfrac{-2u_n+2v_n}{5} \\
    &=-\dfrac{2}{5} \times \left(u_n-v_n\right) \\
    &=-0,4w_n\end{align*}$
    $\quad$
    b. $w_n\pg 0$ et $u_{n+1}-u_n=-0,4w_n$ pour tout $n\in \N$.
    Ainsi $u_{n+1}-u_n \pp 0$ pour tout $n\in \N$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et on sait que $v_0=5$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n\pg v_0$ soit $v_n\pg 5$.
    $\quad$
    c. Initialisation : On a $u_0=16$ donc $u_0\pg 5$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{3u_n+2v_n}{5} \\
    &\pg \dfrac{3\times 5+2\times 5}{5} \\
    &\pg 5\end{align*}$
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n \pg 5$.
    $\quad$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $5$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on a $w_n=u_n-v_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} w_n=0$.
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n-v_n=\ell-\ell’$
    Ainsi $\ell-\ell’=0 \ssi \ell=\ell’$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} c_{n+1}&=5u_{n+1}+4v_{n+1} \\
    &=3u_n+2v_n+2\left(u_n+v_n\right) \\
    &=3u_n+2v_n+2u_n+2v_n\\
    &=5u_n+4v_n\\
    &=w_n\end{align*}$
    La suite $\left(c_n\right)$ est donc constante.
    Or $c_0=5u_0+4v_0=100$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $c_n=100$.
    $\quad$
    c. Or $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=5\ell+4\ell’$ soit $\lim\limits_{n\to +\infty} c_n=9\ell$ puisque $\ell=\ell’$.
    Par conséquent $9\ell=100 \ssi \ell=\dfrac{100}{9}$.
    $\quad$

Remarque : On dit que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont adjacentes.

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie 1

  1. $f(x)=0\ssi 2\ln(x)-1=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2}\ssi x=\e^{1/2}$.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha=\e^{1/2}\approx 1,65$.
    $\quad$
  2. Graphiquement :
    – $f(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    – $f(\alpha)=0$;
    – $f(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$
    $\quad$

Partie II

  1. a. Pour tout $x>0$ on a $g(x)=\ln(x)\left(\ln(x)-1\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to 0^-} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^-} \ln(x)-1=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)-1=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
    $\quad$
  2. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2\dfrac{1}{x}\times \ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)-1}{x} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
  3. On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    On a en effet $\alpha=\e^{1/2}$ donc $g(\alpha)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]0;\alpha[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=+\infty$ et $f(\alpha)=-0,25<m$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=m$ possède une unique solution sur $]0;\alpha[$.
    $\quad$
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]\alpha;+\infty[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $f(\alpha)=-0,25<m$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=m$ possède une unique solution sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
    De plus $g(\alpha)\neq m$.
    L’équation $g(x)=m$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$ pour tout $m>-0,25$.
    $\quad$
  5. $g(x)=0 \ssi \ln(x)\left(\ln(x)-1\right)=0 \ssi \ln(x)=0$ ou $\ln(x)=1$
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x=1$ ou $x=\e$
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $1$ et $\e$.
    $\quad$

 

 

 

 

Énoncé

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1     4 points

Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).
Parmi ces courriels, $8 \%$ sont du « spam », c’est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu’il est souhaitable de ne pas ouvrir.
On choisit au hasard un courriel reçu par l’entreprise.
Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l’entreprise permettent d’affirmer que :

  • La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que c’est un spam est égale à $0,9$.
    • La probabilité que le courriel choisi soit classé comme « indésirable » sachant que ce n’est pas un spam est égale à $0,01$.

On note :

  • $S$ l’évènement « le courriel choisi est un spam »;
  • $I$ l’évènement « le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie ».
  • $\conj{S}$ et $\conj{I}$ les évènements contraires de $S$ et $I$ respectivement.
  1. Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu’il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.
    $\quad$
    c. Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$
  3. On choisit au hasard $50$ courriels parmi ceux reçus par l’entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de $50$ courriels parmi l’ensemble des courriels reçus par l’entreprise.
    On appelle $Z$ la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les $50$ choisis.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$, et quels sont ses paramètres ?
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité que, parmi les $50$ courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(1; 0; 2)$, $B(2; 1; 0)$, $C(0; 1; 2)$ et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-t\end{cases} \quad,t\in \R$.

  1. Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$?
    Réponse A : $M(2 ; 1 ; -1)$;
    Réponse B : $N(-3 ; -4 ; 6)$;
    Réponse C : $P(-3 ; -4 ; 2)$;
    Réponse D : $Q(-5 ; -5 ; 1)$.
    $\quad$
  2. Le vecteur $\vect{AB}$ admet pour coordonnées :
    Réponse A : $\begin{pmatrix} 1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$
    Réponse B : $\begin{pmatrix} -1\\-1\\2\end{pmatrix}$
    Réponse C : $\begin{pmatrix} 1\\1\\-2\end{pmatrix}$
    Réponse D : $\begin{pmatrix} 3\\1\\2\end{pmatrix}$
    $\quad$
  3. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
    Réponse A : $\begin{cases} x=1+2t\\y=t\\z=2\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse B : $\begin{cases} x=2-t\\y=1-t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse C : $\begin{cases} x=2+t\\y=1+t\\z=2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    Réponse D : $\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2-2t\end{cases} \quad,t\in\R$
    $\quad$
  4. Une équation cartésienne du plan passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $\Delta$ est :
    Réponse A : $x-2y +4z -6 = 0$;
    Réponse B : $2x + y – z +1 = 0$;
    Réponse C : $2x + y – z -1 = 0$;
    Réponse D : $y +2z -5 = 0$.
    $\quad$
  5. On considère le point $D$ défini par la relation vectorielle $\vect{OD}=3\vect{OA}-\vect{OB}-\vect{OC}$.
    Réponse A : $\vect{AD}$, $\vect{AB}$, $\vect{AC}$ sont coplanaires;
    Réponse B : $\vect{AD} =\vect{BC}$;
    Réponse C : $D$ a pour coordonnées $(3 ; -1 ; -1)$;
    Réponse D : les points $A$, $B$, $C$ et $D$ sont alignés.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     6 points

Partie I

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f (x) = x -\e^{-2x}$$
On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.

  1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  4. Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
    $\quad$

 

Partie II

Dans le repère orthonormé $\Oij$, on appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \e^{-x}$$
La courbe $\mathscr{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.
Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathscr{C}$ le plus proche de l’origine $O$ du repère et d’étudier la tangente à $\mathscr{C}$ en ce point.

  1. Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t,\e^{-t}\right)$ de la courbe $\mathscr{C}$.
    On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance $OM$.
    On a donc : $h(t) = OM$, c’est-à-dire : $$h(t) =\sqrt{t^2+\e^{-2t}}$$
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $t$, $$h'(t) =\dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2+\e^{-2t}}}$$
    où $f$ désigne la fonction étudiée dans la Partie I.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\alpha ; \e^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathscr{C}$ pour lequel la longueur $OM$ est minimale.
    Placer ce point sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. On appelle $T$ la tangente en $A$ à la courbe $\mathscr{C}$.
    a. Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.
    On rappelle que le coefficient directeur de la droite $(OA)$ est égal à $\dfrac{\e^{-\alpha}}{\alpha}$.
    On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration :
    Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D’$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m’$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm’$ est égal à $-1$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la droite $(OA)$ et la tangente $T$ sont perpendiculaires.
    Tracer ces droites sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
    $\quad$

ANNNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Suites numériques; raisonnement par récurrence.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(u_n\right)$ définies par : $$u_0 = 16 ; v_0 = 5 ;$$
et pour tout entier naturel $n$ : $$\begin{cases} u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2v_n}{5}\\v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}{2}\end{cases}$$

  1. Calculer $u_1$ et $v_1$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n-v_n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,1$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $w_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$ et la limite de cette suite.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n = -0,4w_n$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce
    résultat, et on remarque qu’on a alors : pour tout entier naturel $n$, $vn \pg v_0 = 5$.
    $\quad$
    c. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \pg 5$.
    En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce
    résultat, et on appelle $\ell’$ la limite de $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que $\ell=\ell’$.
    $\quad$
    b. On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n +4v_n$.
    Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c’est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n$ , $c_n = 100$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur commune des limites $\ell$ et $\ell’$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme, limites, dérivation.

Partie 1

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$f (x) =\dfrac{2\ln(x)-1}{x}$$

 

  1. Déterminer par le calcul l’unique solution $\alpha$ de l’équation $f(x) = 0$.
    On donnera la valeur exacte de $\alpha$ ainsi que la valeur arrondie au centième.
    $\quad$
  2. Préciser, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

Partie II

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$g(x) = \left[\ln(x)\right]^2-\ln(x)$$

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. On note $g’$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $g'(x)=f(x)$, où $f$ désigne la fonction définie dans la partie I.
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$, ainsi que la valeur du minimum de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer que, pour tout nombre réel $m > -0,25$, l’équation $g(x) = m$ admet exactement deux solutions.
    $\quad$
  5. Déterminer par le calcul les deux solutions de l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – septembre 2021

Métropole – septembre 2021

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1 (4 points)

  1. $f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ tangente à $\mathscr{C}_f$ en $A$.
    Ainsi,
    $\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{20-5}{1-0} \\
    &=15\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  2. $A(0;5)$ appartient à $\mathscr{C}_f$. Donc $f(0)=5 \ssi b=5$.
    Donc $f(x)=(ax+5)\e^x$.
    Le point de coordonnées $(-0,5;0)$ appartient à $\mathscr{C}_f$.
    Donc $f(-0,5)=0 \ssi (-0,5a+5)\e^{-0,5}=0 \ssi -0,5a+5=0 \ssi a=10$
    (La fonction exponentielle est, en effet, strictement positive.)
    Réponse a
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est, en effet, strictement positive. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $10x+25$.
    Or $10x+25>0 \ssi 10x>-25 \ssi x>-2,5$
    Et $10x+25=0 \ssi 10x=-25\ssi x=-2,5$
    Ainsi $f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant en $-2,5$.
    Le point $C$ est l’unique point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
    Réponse c
    $\quad$
  4. Si on prend $U_n=-n$ et $V_n=2$ pour tout $n\in \N$ alors, pour tout $n\in \N$ on a bien $U_n \pp V_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$. Mais $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=-\infty$. La réponse a est donc fausse.
    Si on prend $V_n=2+\dfrac{1}{n}$ et $U_n=V_n-1$ pour tout $n\in \N$. alors, pour tout $n\in \N$ on a bien $U_n \pp V_n$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$ mais $V_n >2$ pour tout $n\in \N$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} U_n=1$. Les reponses b et c sont fausses.
    Réponse d
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également montrer que la réponse c était la bonne directement de la façon suivante :
    $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$. Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout $n\pg n_0$, $\abs{V_n-2}<1$ (On peut remplacer $1$ par n’importe quel réel strictement positif).
    Ainsi, pour tout $n\pg n_0$ on a $-1< V_n-2<1$ soit $1<V_n<3$.
    Or, pour tout $n\in N$, on a $U_n\pp V_n$ donc, pour tout $n\pg n_0$, $U_n<3$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, $U_n \pp \max\left(U_0,U_1,\ldots, U_{n_0},3\right)$ et la suite $\left(U_n\right)$ est majorée (mais on ne connaît pas le majorant).
    $\quad$

 

 

 

Ex 2

Exercice 2 (5 points)

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=f\left(u_0\right) \\
    &=f\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
    &=\dfrac{2}{1+\dfrac{3}{2}} \\
    &=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Initialisation : On a $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{4}{5}$ donc $\dfrac{1}{2} \pp u_0 \pp u_1 \pp 2$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que la propriété est vraie au rang $n$, c’est-à-dire $\dfrac{1}{2} \pp u_n\pp u_{n+1} \pp 2$.
    La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    Ainsi $f\left(\dfrac{1}{2}\right) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$
    Soit $\dfrac{4}{5} \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \dfrac{8}{7}$
    Donc $\dfrac{1}{2} \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
    La propriété est, par conséquent, vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Donc, pour tout $n\in \N$, on a $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $2$. Elle est donc convergente.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue sur $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$ comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation, définie sur $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$ :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4x}{1+3x}=x \\
    &\ssi 4x=x+3x^2\\
    &\ssi 3x^2-3x=0\\
    &\ssi 3x(x-1)=0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont $0$ et $1$.
    $1$ est la seule valeur appartenant à $\left[\dfrac{1}{2};2\right]$.
    Par conséquent $\ell=1$.
    $\quad
  3. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(E):} \\
    \quad \text{u = 0.5} \\
    \quad \text{n = 0} \\
    \quad \text{while 1 – u >= E :} \\
    \qquad \text{u = 4 * u / (1 + 3 * u)} \\
    \qquad \text{n = n + 1} \\
    \quad \text{return n} \\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Si $E = 10^{-4}$
    Voici les premières valeurs (approchées pour certaines) de $u_n$ et de $1-u_n$
    $\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    n& u_n &1-u_n \\ \hline
    0& 0,5& 0,5\\ \hline
    1& 0,8& 0,2\\ \hline
    2& 0,9411764706& 0,05882352941\\ \hline
    3& 0,9846153846& 0,01538461538\\ \hline
    4& 0,9961089494& 0,003891050584\\ \hline
    5& 0,9990243902& 0,0009756097561\\ \hline
    6& 0,999755919& 0,0002440810349\\ \hline
    7& 0,9999389686& 0,00006103143119\\ \hline
    \end{array}$
    Le programme renvoie donc $7$.
    $\quad$
  4. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}}{1-u_{n+1}} \\
    &=\dfrac{\dfrac{4u_n}{1+3u_n}}{1-\dfrac{4u_n}{1+3u_n}} \\
    &=\dfrac{4u_n}{1+3u_n-4u_n} \\
    &=\dfrac{4u_n}{1-u_n} \\
    &=4v_n\end{align*}$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $4$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0}{1-u_0}=1$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=4^n$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    \begin{align*} v_n=\dfrac{u_n}{1-u_n} &\ssi v_n\left(1-u_n\right)=u_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n-u_nv_n=u_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n=u_n+u_nv_n \text{  et } u_n\neq 1\\
    &\ssi v_n=u_n\left(1+v_n\right) \text{  et } u_n\neq 1\end{align*}$
    Ainsi $u_n=\dfrac{v_n}{1+v_n}$.
    $\quad$
    c. Soit $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_n&=\dfrac{v_n}{1+v_n} \\
    &=\dfrac{4^n}{1+4^n} \\
    &=\dfrac{4^n}{4^n\left(0,25^n+1\right)} \\
    &=\dfrac{1}{1+0,25^n}\end{align*}$
    On a $-1<0,25<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,25^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.

 

 

Ex 3

Exercice 3 (6 points)

Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce

  1. On a $f(0)=440$.
    Il y avait donc $440$ crapauds dans le lac lors de l’introduction des truites.
    $\quad$
  2. Pour tout $t\in [0;120]$ on a
    $\begin{align*} f'(t)&=(0,08t-8)\e^{\frac{t}{50}}+\left(0,04t^2-8t+400\right)\times \dfrac{1}{50}\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=\left(0,08t-8+0,0008t^2-0,16t+8\right)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=\left(0,0008t^2-0,08t\right)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=0,0008t(t-100)\e^{\frac{t}{50}} \\
    &=8\times 10^{-4}t(t-100)\e^{\frac{t}{50}} \end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Sur $[0;120]$ on a $t\pg 0$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $t-100$.
    Or $t-100=0 \ssi t=100$ et $t-100>0 \ssi t>100$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. a. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son minimum pour $t=100$.
    Ainsi, le nombre de crapauds atteint son minimum au bout de $100$ jours. Il y a alors $40$ crapauds dans le lac.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[100;120]$ et $f(120)\approx 216,37 > 140$.
    Ainsi, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus après avoir atteint son minimum.
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice, $f(t)=140$ pour $t\approx 115,72$.
    C’est donc à partir du $116$ ième jour que le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
    $\quad$

 

Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards

  1. On obtient l’arbre de probabilité suivant :
    $\quad$$\quad$
  2. $\left(L,\conj{L}\right)$ est un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(L)\times P_L(T)+P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(T) \\
    &=0,25 \times 0,74+0\\
    &=0,185\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{T}}(L)&=\dfrac{P(L)\times P_L\left(\conj{T}\right)}{1-P(T)} \\
    &=\dfrac{0,25 \times 0,26}{1-0,185} \\
    &\approx 0,080\end{align*}$
    La probabilité que le lac soit infecté sachant que le tétard n’est pas contaminé est environ égale à $0,08$.
    $\quad$

 

Ex A

Exercice A (5 points)

  1. On a $I\left(\dfrac{1}{4};0;1\right)$, $J\left(0;\dfrac{1}{4};1\right)$ et $K\left(1;0;\dfrac{1}{4}\right)$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{4}\\[2mm] \dfrac{1}{4}\\[2mm]\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{IK}\begin{pmatrix} \dfrac{3}{4} \\[2mm]0\\-\dfrac{3}{4}\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{AG}.\vect{IJ}=-\dfrac{1}{4}+0+\dfrac{1}{4}=0$ et $\vect{AG}.\vect{IK}=\dfrac{3}{4}+0-\dfrac{3}{4}=0$
    Le vecteur $\vect{AG}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IJK)$. Il est par conséquent normal à celui-ci.
    $\quad$
  3. Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc de la forme $x+y+z+d=0$.
    Le point $I\left(\dfrac{1}{4};0;1\right)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $\dfrac{1}{4}+0+1+d=0 \ssi d=-\dfrac{5}{4}$
    Une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est donc $x+y+z-\dfrac{5}{4}=0$ soit $4x+4y+4z-5=0$.
    $\quad$
  4. On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de $(BC)$ est donc $\begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\end{cases} \quad, t\in \R$.
    $\quad$
  5. On résout le système
    $\begin{align*} \begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\\4x+4y+4z-5=0 \end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1\\y=t\\z=0\\4+4t-5=0 \end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=1\\y=t\\z=0\\t=\dfrac{1}{4}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(1;\dfrac{1}{4};0\right)$.
    $\quad$
  6. On obtient la figure suivante :
    $\quad$

    $\quad$
  7. On a $\vect{LM}\begin{pmatrix} -\dfrac{3}{4} \\[2mm]\dfrac{3}{4}\\[2mm]0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vect{LM}=3\vect{IJ}$
    Les vecteurs $\vect{LM}$ et $\vect{IJ}$ sont colinéaires. Les points $I,J,L$ et $M$ sont donc coplanaires.
    $\quad$

 

 

 

Ex B

Exercice B (5 points)

Partie I

  1. On a $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=1$.
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi, pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)\times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  4. Le signe de $h'(x)$ ne dépend que de celui de $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=1 \ssi x=\e$ et $1-\ln(x)>0 \ssi -\ln(x)>-1 \ssi \ln(x)<1 \ssi x< \e$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  5. Sur l’intervalle $[\e;+\infty[$ on a $h(x)>1$. L’équation $h(x)=0$ ne possède donc pas de solution sur cet intervalle.
    Sur l’intervalle $]0;\e[$, la fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante.
    De plus, $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$ et $h(\e)=\dfrac{1+\e}{\e}>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\e[$.
    Ainsi, l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    De plus $h(0,5) \approx -0,39<0$ et $h(0,6)\approx 0,15>0$
    La fonction $h$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ donc $0,5<\alpha<0,6$.
    $\quad$

Partie II

  1. Le coefficient directeur de $D_a$ au point d’abscisse $a$ est $g'(a)=\dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=x\times \dfrac{1}{x}+1\times \ln(x)-1 \\
    &=1+\ln(x)-1\\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Ainsi, le coefficient directeur de $T_a$ est $f'(a)=\ln(a)$.
    $\quad$
  3. $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires
    $\ssi \dfrac{1}{a}\ln(a)=-1 $
    $\ssi 1+\dfrac{\ln(a)}{a}=0$
    $\ssi h(a)=0$
    $\ssi a=\alpha$
    Il existe donc une unique valeur de $a$ pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires. Il s’agit de $a=\alpha$.
    $\quad$

 

 

 

Énoncé

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique $\mathscr{C}_f$ dans un repère orthogonal d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
On notera $f’$ la fonction dérivée de $f$ .
On donne les points $A$ de coordonnées $(0; 5)$ et $B$ de coordonnées $(1; 20)$. Le point $C$ est le point de la courbe $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse $-2,5$. La droite $(AB)$ est la
tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.
Les questions 1 à 3 se rapportent à cette même fonction $f$.

  1. On peut affirmer que :
    a. $f'(-0,5)=0$
    b. si $x\in]-\infty ; -0,5[$, alors $f'(x)< 0$
    c. $f'(0) = 15$
    d. la fonction dérivée $f’$ ne change pas de signe sur $\R$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur $\R$ par $f(x) = (ax +b)\e^x$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels et que sa courbe coupe l’axe des abscisses en son point de coordonnées $(-0,5 ; 0)$.
    On peut affirmer que :
    a. $a = 10$ et $b = 5$
    b. $a = 2,5$ et $b = -0,5$
    c. $a = -1,5$ et $b = 5$
    d. $a=0$ et $b=5$
    $\quad$
  3. . On admet que la dérivée seconde de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $f\dsec(x)= (10x +25)\e^x$.
    On peut affirmer que :
    a. La fonction $f$ est convexe sur $\R$
    b. La fonction $f$ est concave sur $\R$
    c. Le point $C$ est l’unique point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$
    d. $\mathscr{C}_f$ n’admet pas de point d’inflexion
    $\quad$
  4. On considère deux suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$ définies sur $\N$ telles que :
    $\bullet$ pour tout entier naturel $n$, $U_n \pp V_n$ ;
    $\bullet$  $\lim\limits_{n\to +\infty} V_n=2$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(U_n\right)$ converge
    b. pour tout entier naturel $n$, $V_n \pp 2$
    c. la suite $\left(U_n\right)$ diverge
    d. la suite $\left(U_n\right)$ est majorée
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$ par $$f(x)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction f est croissante sur l’intervalle ¸$\left]-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$.
    a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $\dfrac{1}{2} \pp u_n \pp u_{n+1}\pp 2$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
    $\quad$
  3. a. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif $E$, détermine la plus petite valeur $P$ tel que : $1-u_P < E$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(E) :}\\
    \quad \text{u = 0.5}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}\\
    \qquad \text{u = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où $E = 10^{-4}$.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $$v_n =\dfrac{u_n}{1-u_n}$$
    a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $4$.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n = \dfrac{v_n}{v_n+1}$.
    $\quad$
    c. Montrer alors que, pour tout entier naturel $n$ , on a :
    $$u_n =\dfrac{1}{1+0,25^n}$$
    Retrouver par le calcul la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans le parc national des Pyrénées, un chercheur travaille sur le déclin d’une espèce protégée dans les lacs de haute-montagne : le «crapaud accoucheur».
Les parties I et II peuvent être abordées de façon indépendante.

Partie I : Effet de l’introduction d’une nouvelle espèce.

Dans certains lacs des Pyrénées, des truites ont été introduites par l’homme afin de permettre des activités de pêche en montagne. Le chercheur a étudié l’impact de cette introduction sur la population de crapauds accoucheurs d’un lac.
Ses études précédentes l’amènent à modéliser l’évolution de cette population en fonction du temps par la fonction f suivante : $$f(t)=\left(0,04t^2-8t+400\right)\e^{\frac{t}{50}}+40 \text{ pour } t\in [0;120]$$

La variable $t$ représente le temps écoulé, en jour, à partir de l’introduction à l’instant $t = 0$ des truites dans le lac, et $f(t)$ modélise le nombre de crapauds à l’instant $t$.

  1. Déterminer le nombre de crapauds présents dans le lac lors de l’introduction des truites.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 120]$ et on note $f′$ sa fonction dérivée.
    Montrer, en faisant apparaitre les étapes du calcul, que pour tout nombre réel $t$ appartenant à l’intervalle $[0; 120]$ on a : $$f'(t)=t(t-100)\e^{\frac{t}{50}}\times 8\times 10^{-4}$$
    $\quad$
  3. Étudier les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 120]$, puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle (on donnera des valeurs approchées au centième).
    $\quad$
  4. Selon cette modélisation :
    a. Déterminer le nombre de jours $J$ nécessaires afin que le nombre de crapauds atteigne son minimum. Quel est ce nombre minimum ?
    $\quad$
    b. Justifier que, après avoir atteint son minimum, le nombre de crapauds dépassera un jour $140$ individus.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, déterminer la durée en jour à partir de laquelle le nombre de crapauds dépassera $140$ individus.
    $\quad$

Partie II : Effet de la Chytridiomycose sur une population de têtards

Une des principales causes du déclin de cette espèce de crapaud en haute montagne est une maladie, la « Chytridiomycose », provoquée par un champignon.
Le chercheur considère que :

  • Les trois quarts des lacs de montagne des Pyrénées ne sont pas infectés par le champignon, c’est-à-dire qu’ils ne contiennent aucun têtard (larve du crapaud) contaminé.
  • Dans les lacs restants, la probabilité qu’un têtard soit contaminé est de $0,74$.

Le chercheur choisit au hasard un lac des Pyrénées, et y procède à des prélèvements.
Pour la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième lorsque cela est nécessaire.
Le chercheur prélève au hasard un têtard du lac choisi afin d’effectuer un test avant de le relâcher.
On notera $T$ l’évènement « Le têtard est contaminé par la maladie » et $L$ l’évènement « Le lac est infecté par le champignon ».
On notera $\conj{L}$ l’évènement contraire de $L$ et $\conj{T}$ l’évènement contraire de $T$.

  1. Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant en utilisant les données de l’énoncé :$\quad$
  2. Montrer que la probabilité $P(T )$ que le têtard prélevé soit contaminé est de $0,185$.
    $\quad$
  3. Le têtard n’est pas contaminé. Quelle est la probabilité que le lac soit infecté ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués.

Exercice A

Principaux domaines abordés : Géométrie de l’espace rapporté à un repère orthonormé.

On considère le cube $ABCDEFGH$ donné en annexe.
On donne trois points $I$, $J$ et $K$ vérifiant : $$\vect{EI}=\dfrac{1}{4}\vect{EH}, \quad \vect{EJ}=\dfrac{1}{4}\vect{EF},\quad \vect{BK}=\dfrac{1}{4}\vect{BF}$$
Les points $I$, $J$ et $K$ sont représentés sur la figure donnée en annexe, à compléter et à rendre avec la copie.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

  1. Donner sans justification les coordonnées des points $I$, $J$ et $K$.
    $\quad$
  2. Démontrer que le vecteur $\vect{AG}$ est normal au plan $(IJK)$.
    $\quad$
  3. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(IJK)$ est $4x +4y +4z -5 = 0$.
    $\quad$
  4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(BC)$.
    $\quad$
  5. En déduire les coordonnées du point $L$, point d’intersection de la droite $(BC)$ avec le plan $(IJK)$.
    $\quad$
  6. Sur la figure en annexe, placer le point $L$ et construire  l’intersection du plan $(IJK)$ avec la face $(BCGF)$.
    $\quad$
  7. Soit $M\left(\dfrac{1}{4};1;0\right)$. Montrer que les points $I$, $J$, $L$ et $M$ sont coplanaires.
    $\quad$

ANNEXE

$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés : Fonction logarithme.

Partie I

On considère la fonction h définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par : $$h(x) = 1+\dfrac{\ln(x)}{x}$$

  1. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $0$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $h$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. On note $h’$ la fonction dérivée de $h$. Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$h'(x) =\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  4. Dresser le tableau de variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  5. Démontrer que l’équation $h(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0 ; +\infty[$.
    Justifier que l’on a : $0,5 < \alpha < 0,6$.$\quad$

Partie II

Dans cette partie, on considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $]0 ; +\infty[$ par : $$f (x) = x \ln(x)− x;\quad g(x) = \ln(x)$$
On note $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C_g}$ les courbes représentant respectivement les fonctions $f$ et $g$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
Pout tout nombre réel $a$ strictement positif, on appelle :

  • $T_a$ la tangente à $\mathscr{C}_f$ en son point d’abscisse $a$ ;
  • $D_a$ la tangente à $\mathscr{C}_g$ en son point d’abscisse $a$.

Les courbes $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}g$ ainsi que deux tangentes $T_a$ et $D_a$ sont représentées ci-dessous.

On recherche d’éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
Soit $a$ un nombre réel appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

  1. Justifier que la droite $D_a$ a pour coefficient directeur $\dfrac{1}{a}$.
    $\quad$
  2. Justifier que la droite $T_a$ a pour coefficient directeur $\ln(a)$.

On rappelle que dans un repère orthonormé, deux droites de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m’$ sont perpendiculaires si et seulement si $mm’ = -1$.

  1. Démontrer qu’il existe une unique valeur de $a$, que l’on identifiera, pour laquelle les droites $T_a$ et $D_a$ sont perpendiculaires.
    $\quad$

$\quad$