E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble $\R$ des nombre réels par $f(x)=3x^3-5x^2+2$.
On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  1. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Donner l’expression de $f'(x)$, pour tout nombre réel $x$.
    $\quad$
  2. On note $T$ la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-1$.
    Donner l’équation réduite de la tangente $T$.
    $\quad$
  3. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=3x^3-4x+1$.
    On note $C_g$ sa courbe représentative dans le même repère que la courbe $C_f$.
    a. Montrer que pour tout nombre réel $x$,$f(x)-g(x)=-5x^2+4x+1$.
    $\quad$
    b. Étudier sur $\R$ le signe de $f(x)-g(x)$.
    $\quad$
    c. En déduire pour quelles valeurs de $x$ la courbe $C_f$ est au-dessus de la courbe $C_g$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin {align*} f'(x)&=3\times 3x^2-5\times 2x\\
    &=9x^2-10x\end{align*}$
    $\quad$
  2. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(-1)$
    Or $f(-1)=-6$ et $f'(-1)=19$
    Une équation de $T$ est donc $y=19(x+1)-6$ soit $y=19x+13$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)-g(x)&=3x^3-5x^2+2-\left(3x^3-4x+1\right) \\
    &=3x^3-5x^2+2-3x^3+4x-1\\
    &=-5x^2+4x+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-5x^2+4x+1$ est un polynôme du second degré.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-5)\times 1\\
    &=36\\
    &>0\end{align*}$
    Ses deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{36}}{-10}\\
    &=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{36}}{-10}\\
    &=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=-5<0$.
    Par conséquent :
    – $f(x)-g(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$
    – $f(x)-g(x)<0$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$
    – $f(x)-g(x)=0$ si $x\in \left\{-\dfrac{1}{5};1\right\}$
    $\quad$
    c. Par conséquent $C_G$ est au-dessus de $C_f$ sur $\left]-\infty;-\dfrac{1}{5}\right[\cup]1;+\infty[$ et au-dessous sur $\left]-\dfrac{1}{5};1\right[$. Les abscisses des points d’intersection des deux courbes sont $-\dfrac{1}{2}$ et $1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans le plan muni d’un repère, on a tracé la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ la dérivée de $f$. On sait que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet exactement deux tangentes horizontales :

  • l’axe des abscisses comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $A(-1 ; 0)$ ;
  • la droite $T_B$ comme tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B\left(\dfrac{1}{3};-\dfrac{32}{27}\right)$.

  1. Par lecture graphique, donner les solutions de l’équation $f(x) = 0$.
    La fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x^2-x-1$. On note $f’$ la dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de variations de $f$.
    $\quad$
  4. En utilisant ce qui précède, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^3+x^2$ et de la droite $D$ d’équation $y=x+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement, il semblerait que les solutions de $f(x)=0$ soient $-1$ et $1$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2+2x-1$.
    $\quad$
  3. Le discriminant de $f'(x)$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 3\times (-1) \\
    &=16\\
    &>0\end{align*}$
    $f'(x)$ possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{16}}{6} \\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{16}}{6} \\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=3>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} g(x)>x+1 &\ssi x^3+x^2-x-1>0 \\
    &\ssi f(x)>0\end{align*}$
    Sur l’intervalle $]-\infty;1]$ $\mathcal{C}_g$ est en-dessous de la droite $D$ et sur l’intervalle $[1;+\infty[$ la courbe $\mathcal{C}_g$ est au-dessus  de la droite $D$. Ces deux courbes ont deux points d’intersection d’abscisse $-1$ et $1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La fonction f est définie sur $]-1; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2+1}{x+1}$$
On se place dans un repère orthonormé du plan.

  1. Démontrer que pour tout 𝑥 appartenant à l’intervalle $]-1; +\infty[$: $$f'(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}$$
    $\quad$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-1; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$
  4. Etudier la position relative de la courbe représentative de $f$ et de la droite d’équation $y=x$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ en tant que que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]-1;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>-1$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2x(x+1)-\left(x^2+1\right)\times 1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+2x-x^2-1}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2+2x-1$.
    Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
    $\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times (-1) \\
    &=8\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2} \\
    &=-1+\sqrt{2}\end{align*}$
    Son coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi $x^2+2x-1$ est :
    – positif sur $\left]-\infty;-1-\sqrt{2}\right[\cup\left]-1+\sqrt{2};+\infty\right[$;
    – nul si $x\in \lbrace -1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\rbrace$
    – négatif sur $\left]-1-\sqrt{2};-1+\sqrt{2}\right[$
    Or $-1-\sqrt{2}<-1$.
    Ainsi $f$ est strictement décroissante sur $\left]-1;-1+\sqrt{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[-1+\sqrt{2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  3. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f'(0)=-1$ et $f(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-x+1$.
    $\quad$
  4. On doit étudier le signe de
    $\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{x^2+1}{x+1}-x\\
    &=\dfrac{x^2+1-\left(x^2+x\right)}{x+1}\\
    &=\dfrac{1-x}{x+1}\end{align*}$
    Sur $]-1;+\infty[$ on a $x+1>0$
    Donc $f(x)-x$ est du signe de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0 \ssi x<1$
    Ainsi la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=x$ sur l’intervalle $]-1;1[$ et au-dessous sur l’intervalle $]1;+\infty[$.
    Si $x=1$ alors la courbe et la droite sont confondues.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Un médicament contre la douleur est administré par voie orale. La concentration du produit actif dans le sang, en milligramme par litre de sang, est modélisé par la fonction $f$ qui, au temps écoulé $x$ en heure, $x$ étant compris entre $0$ et $6$, associe : $$f(x)=x^3-12x^2+36x \text{  où }x\in [0;6]$$
Le produit actif est efficace si sa concentration dans le sang est supérieure ou égale à $5$ mg/L.

  1. En exécutant le script Python ci-dessous, on obtient la liste $[0, 1, 1, 1, 1, 1, 0]$.
    $$\begin{array}{ll}\\
    1&\text{liste=}[\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{0}]\\
    2&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{x }\textcolor{blue}{\text{in range }}(\textcolor{Green}{0},\textcolor{Green}{7}):\\
    3&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}-\textcolor{Green}{12}*x**\textcolor{Green}{2}+\textcolor{Green}{36}*x>=\textcolor{Green}{5}:\\
    4&\hspace{1cm}\text{liste[x]=}\textcolor{Green}{1}\\
    5&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(liste)}\end{array}$$À l’aide de ce résultat, indiquer l’intervalle de temps en unité d’heures sur lequel le médicament est efficace.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0 ; 6]$, calculer sa fonction dérivée.
    $\quad$
  3. Justifier que la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $4$ admet pour équation réduite $y=-12x+64$.
    $\quad$
  4. Démontrer que $f(x)-(-12x+64) = (x-4)^3$.
    $\quad$
  5. En déduire la position relative de la courbe représentative de la fonction $f$ par rapport à la tangente $T$ au point $A$.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le médicament est efficace sur l’intervalle $[1;5]$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2-12\times 2x+36\\
    &=3x^2-24x+36\end{align*}$
    $\quad$
  3. Une équation de $T$ est de la forme $y=f'(4)(x-4)+f(4)$
    Or $f(4)=16$ et $f'(4)=-12$.
    Une équation de $T$ est donc $y=-12(x-4)+16$ soit $y=-12x+64$.
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;6]$,
    D’une part on a :
    $\begin{align*} f(x)-(-12x+64)&=x^3-12x^2+36x+12x-64\\
    &=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
    D’autre part on a :
    $\begin{align*} (x-4)^3&=(x-4)^2(x-4) \\
    &=\left(x^2-8x+16\right)(x-4) \\
    &=x^3-4x^2-8x^2+32x+16x-64\\
    &=x^3-12x^2+48x-64\end{align*}$
    Par conséquent $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$.
    $\quad$
  5. Pour tout réel $x$ on a $f(x)-(-12x+64)=(x-4)^3$
    Donc $f(x)-(-12x+64)$ est du signe de $x-4$.
    Or $x-4>0 \ssi x>4$ et $x-4=0 \ssi x=4$.
    Donc :
    – Sur $]-\infty;4]$, la droite $T$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $f$.
    – Sur $[4;+\infty[$, la droite $T$ est au-dessous de la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$

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$\quad$

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