position relative de deux droites

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre qui correspond à la réponse choisie.

Question 1

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $AB = 2$ ; $AC = \sqrt{3}$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{5\pi}{6}$.
Alors $\vect{AB}.\vect{AC}=$

a. $2\sqrt{3}$
b. $3$
c. $-2\sqrt{3}$
d. $-3$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=2\sqrt{3}\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
&=2\sqrt{3}\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $a$ un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}\sin(a)\\\cos(a)\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-\cos(a)\\\sin(a)\end{pmatrix}$. Alors $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à

a. $\sin^2(a)+\cos^2(a)$
b. $1$
c. $\sin^2(a)-\cos^2(a)$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\sin(a)\times \left(-\cos(a)\right)+\cos(a)\times \sin(a) \\
&=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A(2;8)$, $B\left(\dfrac{25}{3};0\right)$, $C(7;-5)$ et $D(3;0)$.
Alors, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont :

a. parallèles
b. perpendiculaires
c. sécantes
d. confondues

$\quad$

Correction Question 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}\dfrac{19}{3}\\-8\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-4;5\end{pmatrix}$

det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=\dfrac{19}{3}\times 5-(-8)\times (-4)\neq 0$ : les droites ne sont donc ni confondues, ni parallèles.

$\vect{AB}.\vect{CD}=\dfrac{19}{3}\times (-4)+(-8)\times 5\neq 0$ : les droites ne sont pas perpendiculaires.

Elles sont donc sécantes.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\dfrac{3}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans ce repère. L’équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-3x+6$
b. $y=-3x$
c. $y=3x$
d. $y=3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable pour tout $x\neq 0$.
On a alors $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=3$ et $f'(1)=-3$.
Une équation de la tangente est donc $y=-3(x-1)+3$ soit $y=-3x+6$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’équation $x^2=6x-5$ est :

a. $S=\left\{1;5\right\}$
b. $S=\left\{1\right\}$
c. $S=\emptyset$
d. $S=\left\{-5;-1\right\}$

$\quad$

Correction Question 5

$x^2=6x-5\ssi x^2-6x+5=0$
Le discriminant associé à cette équation du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=(-6)^2-4\times 1\times 5\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Les deux solutions réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{6-\sqrt{16}}{2}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{6+\sqrt{16}}{2} \\&=5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)-x$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

a. $f$ est paire
b. $f$ est impaire
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=-f(x)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $-x\in \R$ et
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-(-x)\\
&=-\sin(x)+x\\
&=-\left(\sin(x)-x\right)\\
&=-f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc impaire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions :

a. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
b. $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
c. $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$
$\begin{align*} 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\ssi x=\dfrac{\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que :
$AB=3$, $AD=4$ et $\widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{DA}.\vect{DC}$ est égal à :

a. $12$
b. $-12$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} \vect{DA}.\vect{DC}&=DA\times DC\times \cos \widehat{ADC} \\
&=3\times 4\times \left(-\dfrac{1}{2}\right)\\
&=-6\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $3x-4y+1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et
passant par le point $A(1 ; 1)$ a pour équation :

a. $4x+3y=0$
b. $4x+3y-7=0$
c. $x+3-2=0$
d. $-4x+3y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est $3x-4y+1=0$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d_2\right)$.
Une équation cartésienne de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-4x-3y+c=0$
Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-4-3+c=0 \ssi c=7$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est donc $-4x-3y+7=0$ ou également, en multipliant les deux membres par $-1$, $4x+3y-7=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$. Les droites $(d)$ et $\left(d’\right)$ d’équations respectives $2x-y+5=0$ et $-4x+2y+7=0$ sont :

a. confondues
b. sécantes
c. parallèles
d. perpendiculaires

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la droite $\left(d’\right)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
On constate donc que $\vec{v}=-2\vec{u}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont donc parallèles.
Il reste à déterminer si elles sont confondues ou non.
Le point $A(0;5)$ appartient clairement à la droite $(d)$.
Or $-4\times 0+\times 5+7\neq 0$.
Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\left(d’\right)$.
Les droites sont strictement parallèles.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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