E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
    A. $-2,5$
    B. $1,5$
    C. $-1,25$
    D. $\dfrac{5}{4}$
    $\quad$
    Correction Question 1

    $2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
    A. $50 \%$
    B. $100 \%$
    C. $150 \%$
    D. $200 \%$
    $\quad$
    Correction Question 2

    On veut résoudre l’équation :
    $\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
    &\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
    &\ssi x=100\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
    A. $1,055$
    B. $1,10$
    C. $1,102~5$
    D. $2,10$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
    &=1,102~5\end{align*}$
    Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
    A. $70$
    B. $75$
    C. $90$
    D. $60$
    $\quad$
    Correction Question 4

    On a le tableau de proportionnalité suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    \text{Prix}&40&30\\
    \hline
    \text{indice}&80&x\\
    \hline
    \end{array}$$
    $x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  5. Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
    En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
    A. $2,25 \%$
    B. $78 \%$
    C. $39 \%$
    D. $25 \%$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
    A. $t=\sqrt{CM-1}$
    B. $t=\sqrt{CM}-1$
    C. $t=\sqrt{1-CM}$
    D. $t=1-\sqrt{CM}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
    A. $1-4x+2x^2$
    B. $4x^2-4x+1$
    C. $1-4x^2$
    D. $1-2x^2$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
    &=1-4x+4x^2\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
    A. $[3;+\infty[$
    B. $]-\infty;3]$
    C. $[-3;+\infty[$
    D. $]-\infty;-3]$
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
    L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
    Réponse A
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

    L’équation $f(x) = 0$ admet :
    A. une solution négative ;
    B. deux solutions positives ;
    C. deux solutions négatives ;
    D. une solution positive et une solution négative.
    $\quad$

    Correction Question 9

    La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

    Indiquer la seule proposition vraie :
    A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
    B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
    C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
    D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
    $\quad$
    Correction Question 10

    Réponse D
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

 

E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
    Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
    Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
    Quel était le prix de départ?
    $\quad$
    Correction Question 3

    On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
    &\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
    &\ssi P=40\end{align*}$
    Le prix de départ était de $40$ euros.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
    &\ssi -10=5x\\
    &\ssi x=-2\end{align*}$
    La solution de l’équation est $-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
    &\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
    Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
    &\ssi 5x\pp 10 \\
    &\ssi x\pp 2\end{align*}$
    L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

    $\quad$
    Correction Question 7

    L’ordonnée à l’origine est $2$.
    La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
    Le coefficient directeur est donc :
    $\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
    &=-3\end{align*}$
    Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
    $-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

  1. Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
    $\quad$
    Correction Question 10

    $10+14+8=32$.
    $32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

  1. Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
    $\quad$
  3. a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
    La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
    &=0,879\times 333~029\\
    &=392~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
    &=0,879\times 392~732,491\\
    &=257~311,859~6\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
    &=0,879\times u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }u> 250~000\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a :
    $u_0=333~029$, $u_1 \approx 392~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
    C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence 

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

  1. Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
    $\quad$
  4. On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def bacteries(N) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=10000}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
    \hspace{1cm}\text{return u }\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
    \hline
    \text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  5. Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
    $\quad$
  2. voir question précédente
    $\quad$
  3. On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
    Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
    $\quad$
  4. Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
    Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

  1. Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
    Préciser la nature de cette suite et sa raison.
    $\quad$
  4. Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
    $\quad$
  5. Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
    Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
    $\quad$
  2. On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
    Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_0=12$.
    Pour tout entier naturel on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_10=12$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^n$.
    En 2020 on a $n=4$.
    Par conséquent $u_4=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
    Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= A+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence