E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

  1. Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
    $\quad$
  3. Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
    $\quad$
  4. On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def bacteries(N) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=10000}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
    \hspace{1cm}\text{return u }\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
    \hline
    \text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  5. Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
    $\quad$
  2. voir question précédente
    $\quad$
  3. On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
    Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
    $\quad$
  4. Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
    $\quad$
  5. $\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
    Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

  1. Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
    Préciser la nature de cette suite et sa raison.
    $\quad$
  4. Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
    $\quad$
  5. Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}$\ldots$ \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
    Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
    $\quad$
  2. On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
    Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_0=12$.
    Pour tout entier naturel on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_10=12$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^n$.
    En 2020 on a $n=4$.
    Par conséquent $u_4=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
    Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= A+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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