E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
A. $-2,5$
B. $1,5$
C. $-1,25$
D. $\dfrac{5}{4}$
$\quad$

Correction Question 1

$2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
A. $50 \%$
B. $100 \%$
C. $150 \%$
D. $200 \%$
$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
&\ssi x=100\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
A. $1,055$
B. $1,10$
C. $1,102~5$
D. $2,10$
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
&=1,102~5\end{align*}$
Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
A. $70$
B. $75$
C. $90$
D. $60$
$\quad$

Correction Question 4

On a le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Prix}&40&30\\
\hline
\text{indice}&80&x\\
\hline
\end{array}$$
$x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
A. $2,25 \%$
B. $78 \%$
C. $39 \%$
D. $25 \%$
$\quad$

Correction Question 5

$\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
A. $t=\sqrt{CM-1}$
B. $t=\sqrt{CM}-1$
C. $t=\sqrt{1-CM}$
D. $t=1-\sqrt{CM}$
$\quad$

Correction Question 6

On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
A. $1-4x+2x^2$
B. $4x^2-4x+1$
C. $1-4x^2$
D. $1-2x^2$
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
&=1-4x+4x^2\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
A. $[3;+\infty[$
B. $]-\infty;3]$
C. $[-3;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]$
$\quad$

Correction Question 8

$-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

L’équation $f(x) = 0$ admet :
A. une solution négative ;
B. deux solutions positives ;
C. deux solutions négatives ;
D. une solution positive et une solution négative.
$\quad$

Correction Question 9

La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

Indiquer la seule proposition vraie :
A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
$\quad$

Correction Question 10

Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
Quel était le prix de départ?
$\quad$

Correction Question 3

On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
&\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
&\ssi P=40\end{align*}$
Le prix de départ était de $40$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
&\ssi -10=5x\\
&\ssi x=-2\end{align*}$
La solution de l’équation est $-2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
&\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
&\ssi 5x\pp 10 \\
&\ssi x\pp 2\end{align*}$
L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

$\quad$

Correction Question 7

L’ordonnée à l’origine est $2$.
La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
&=-3\end{align*}$
Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Question 8

$10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
$-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 10

$10+14+8=32$.
$32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
$\quad$
a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
&=0,879\times 333~029\\
&=292~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
&=0,879\times 392~732,491\\
&=257~311,859~6\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
&=0,879\times u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
$\quad$
a. On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
n\leftarrow 0\\
u\leftarrow 333~029\\
\text{Tant que }u> 250~000\\
\hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
\hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a :
$u_0=333~029$, $u_1 \approx 292~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
$\quad$
Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
$\quad$
On considère la fonction suivante définie en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def bacteries(N) :}\\
\hspace{1cm}\text{u=10000}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
\hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
\hspace{1cm}\text{return u }\\
\hline
\end{array}$$
On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
\hline
\text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
\hline
\end{array}$$
Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
$\quad$
voir question précédente
$\quad$
On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
$\quad$
Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
$\quad$
$\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$ (si on considère que les bactéries ne se sont pas reproduites durant cette période d’une heure).
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
$\quad$
Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
$\quad$
On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
Préciser la nature de cette suite et sa raison.
$\quad$
Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
$\quad$
Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
$\quad$
On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
$\quad$
On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_1=12$.
Pour tout entier naturel on a :
$\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_1=12$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^{n-1}$.
En 2020 on a $n=5$.
Par conséquent $u_5=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
5& \hspace{1cm}\text{A= A*}\textcolor{Emerald}{1.15}\\
6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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