E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Mettre sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}$.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*}\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}&=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20} \\
&=-\dfrac{13}{20}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner l’écriture scientifique de $0,045~6$.
$\quad$

Correction Question 2

$0,045~6=4,56\times 10^{-2}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Compléter l’égalité $10^{-5}\times \ldots\ldots =10^8$.
$\quad$

Correction Question 3

$10^{-5}\times 10^{13}=10^{8}$ car $-5+13=8$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer l’expression $7x^2(4x-6)$.
$\quad$

Correction Question 4

$7x^2(4x-6)=28x^3-42x$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression $(5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} (5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)&=(5x-3)\left[(3x+1)+4x\right] \\
&=(5x-3)(7x+1)\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x-5)(-x+7) = 0$.
$\quad$

Correction Question 6

Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
Donc $2x-5=0\ssi 2x=5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ ou $-x+7=0\ssi x=7$.
Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{5}{2}$ et $7$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $d=$
$\quad$

Correction Question 7

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \ssi ad=bc \ssi d=\dfrac{bc}{a}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Calculer $40\%$ de $70$ €.
$\quad$

Correction Question 8

$\dfrac{40}{100}\times 70=\dfrac{2~800}{100}=28$.
$40\%$ de $70$ € représente donc $28$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un article est passé de $40$ € à $50$ €.
Quel est le taux d’évolution en pourcentage de cet article ?
$\quad$

Correction Question 9

On a $\dfrac{50-40}{40}=\dfrac{10}{40}=0,25$
Le taux d’évolution est donc égal à $25\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On a représenté une droite D dans le repère ci-dessous.

Compléter par lecture graphique.
L’équation réduite de la droite $D$ est : ………………………………….
$\quad$

Correction Question 10

L’ordonnée à l’origine est $-3$.
Pour chaque déplacement de $1$ unité vers la droite on descend de $3$ unités : le coefficient directeur est donc $-3$.
L’équation réduite de $D$ est donc $y=-3x-3$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On s’intéresse aux immatriculations de voitures particulières neuves durant l’année 2018 en fonction de leur provenance géographique et de leur type de motorisation.
Les résultats sont partiellement reportés dans le tableau donné en annexe (source Service de la Donnée et des Etudes Statistiques) où l’unité est la centaine de voitures arrondie à l’unité. Ainsi le total global de $21~384$ correspond à environ $2~138~400$ nouvelles immatriculations en France métropolitaine.

L’INSEE précise qu’en 2018 on comptait $38,56 \%$ de voitures Diesel parmi les immatriculations de voitures neuves. A l’aide de cette information, compléter le tableau fourni en annexe. On conservera comme unité la centaine de voitures et les résultats seront arrondis à l’unité.
$\quad$
Un journaliste spécialisé affirme qu’en 2018 un peu moins d’un quart des voitures particulières neuves hybrides ou électriques ont été immatriculées en Île-de-France.
Cette déclaration vous semble-t-elle correcte ? Justifier votre réponse.
$\quad$
Parmi les $137~200$ voitures hybrides ou électriques immatriculées en 2018, on comptait environ $30~900$ purement électriques. On illustre cette situation par un diagramme circulaire donné dans l’annexe 5.
Quelle est, au degré près, la valeur de l’angle au centre associé à la zone concernant les voitures électriques ?
$\quad$
Ces chiffres de 2018 permettent aux spécialistes de constater une augmentation de $2,83 \%$ du nombre d’immatriculations de voitures neuves en France métropolitaine par rapport à 2017. Quel était, à la centaine près, le nombre de ces immatriculations en 2017 ?
$\quad$
Les chiffres de mars 2019 montrent un pourcentage de $6,5 \%$ d’immatriculations de voitures neuves hybrides ou électriques.
On peut observer que $34 \%$ d’entre elles concernent des voitures purement électriques.
Quel pourcentage du nombre total des immatriculations de voitures neuves représentent les voitures purement électriques ?
$\quad$

Annexes

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&&&1~037&17~606\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&&&1~372&21~384\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}&\hspace{0.5cm}\text{Diesel}\hspace{0.5cm}&\hspace{0.35cm}\text{Essence}\hspace{0.35cm}&\begin{array}{c} \text{Hybride ou}\\\text{électrique}\end{array}&\hspace{0.6cm}\text{Total}\hspace{0.6cm}\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Île-de-France}&1~588&1~855&335&3~778\\
\hline
\begin{array}{c}\text{Autres régions}\\\text{de France}\\\text{métropolitaine}\end{array}&6~658&9~911&1~037&17~606\\
\hline
\rule[-0.7cm]{0pt}{1.6cm}\text{Total}&8~246&11~766&1~372&21~384\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
$\dfrac{335}{1~372}\approx 0,24$.
L’affirmation du journaliste semble donc correcte.
$\quad$
$\dfrac{30~900}{137~200}\times 360\approx 81$.
L’angle au centre associée à la zone concernant les voitures électriques a une mesure environ égale à $81$ °.
$\quad$
On appelle $x$ le nombre de nouvelles immatriculations en 2017.
On a donc $x\times \left(1+\dfrac{2,83}{100}\right)=2~138~400$
Par conséquent $1,0283x=2~138~400$
Donc $x=\dfrac{2~138~400}{1,0283}$
Ainsi $x\approx 2~079~500$
Il y avait donc eu environ $2~079~500$ nouvelles immatriculations en 2017.
$\quad$
$0,34\times 0,065=0,022~1=2,21\%$.
Les voitures purement électriques représentent donc $2,21\%$ du total des immatriculations de voitures neuves en mars 2019.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

$0,5\%$ de $12~641$ €
$\quad$

Correction Question 1

$1\%$ de $12~641$ est égale à $126,41$€
Donc $0,5\%$ de $12~641$ est égale à $63,205$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(2x+3)^2$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
$\quad$

Correction Question 3

On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
$\ssi x=-3$ ou $x=1$
Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
$\quad$

Correction Question 5

$f(-2)=4a$
Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
Donner le pourcentage de garçons internes.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La population d’une ville de $1~520$ habitants baisse chaque année de $10\ %$.
Donner l’arrondi à l’unité du nombre d’habitants au bout de $3$ ans.
$\quad$

Correction Question 7

Au bout d’un an la population a baissé de $152$ habitants. Il reste donc $1~368$ habitants.
La deuxième année la population a baissé d’environ $137$ habitants. Il reste donc $1231$ habitants
La troisième année la population a baisse d’environ $123$ habitants. Il reste donc $1~108$ habitants
$\quad$

[collapse]

$\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 8 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

$f(-5)$ est égal à :
$\quad$

Correction Question 8

D’après le graphique $f(-5)=1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
$\quad$

Correction Question 9

La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
$f$ est décroissante sur les intervalles :
$\quad$

Correction Question 10

D’après le graphique, $f$ est décroissante sur les intervalles $[-5;-2]$ et $[5;9]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Exprimer en kilogrammes $\dfrac{5}{6}$ de $360$ kg.
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{5}{6}\times 360=5\times 60=300$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer $(2x+3)^2$.
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} (2x+3)^2&=(2x)^2+2\times 2x\times 3+3^2\\
&=4x^2+12x+9\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Remarque : Dans l’énoncé original il n’y avait pas le $^2$.
$\quad$
Donner un antécédent de $0$ par $f:x\mapsto (x+3)(x-1)$.
$\quad$

Correction Question 3

On veut donc résoudre l’équation $(x+3)(x-1)=0$.
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l’un de ses facteurs au moins est nul.
Ainsi $(x+3)(x-1)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-1=0$.
$\ssi x=-3$ ou $x=1$
Les antécédents de $0$ par la fonction $f$ sont donc $-3$ et $1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’inéquation : $3-2x\pg 0$
$\quad$

Correction Exercice 4

$3-2x\pg 0\ssi -2x\pg -3 \ssi x\pp \dfrac{3}{2}$
L’ensemble solution est donc $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f(x)=ax^2$ où $a$ est un nombre réel.
Donner la valeur de $a$ sachant que $f(-2)=10$.
$\quad$

Correction Question 5

$f(-2)=4a$
Ainsi $f(-2)=10 \ssi 4a=10 \ssi a=\dfrac{5}{2}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Dans une classe de première, $42 \%$ des élèves sont des garçons et parmi eux, $4 \%$ sont internes.
Donner le pourcentage de garçons internes.
$\quad$

Correction Question 6

$\dfrac{42}{100}\times \dfrac{4}{100}=\dfrac{168}{10~000}=1,68\%$
Le pourcentage de garçons internes est donc égale à $1,68\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-6 ; 9]$. Cette fonction est celle qui est considérée dans les questions 7 à 10.
La droite passant par les points $A(0 ; -2)$ et $B(5 ; 0)$ est la représentation graphique d’une fonction affine $g$ définie sur $\R$.
Remarque : l’ordonnée du point $B$ a été modifiée pour correspondre à ce qui est donné sur le graphique.

$f(-5)$ est égal à :
$\quad$

Correction Question 7

D’après le graphique $f(-5)=1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=-2$ est :
$\quad$

Correction Question 8

La droite d’équation $y=-2$ coupe la courbe représentant la fonction $f$ en trois points.
L’équation $f(x)=-2$ possède donc $3$ solutions.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’intervalle des valeurs de $f(x)$ est :
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $f(x)\in[-6;1]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\quad$

Correction Question 10

$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{0-(-2)}{5-0} \\
&=\dfrac{2}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
A. $-2,5$
B. $1,5$
C. $-1,25$
D. $\dfrac{5}{4}$
$\quad$

Correction Question 1

$2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
A. $50 \%$
B. $100 \%$
C. $150 \%$
D. $200 \%$
$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
&\ssi x=100\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
A. $1,055$
B. $1,10$
C. $1,102~5$
D. $2,10$
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
&=1,102~5\end{align*}$
Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
A. $70$
B. $75$
C. $90$
D. $60$
$\quad$

Correction Question 4

On a le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Prix}&40&30\\
\hline
\text{indice}&80&x\\
\hline
\end{array}$$
$x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
A. $2,25 \%$
B. $78 \%$
C. $39 \%$
D. $25 \%$
$\quad$

Correction Question 5

$\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
A. $t=\sqrt{CM-1}$
B. $t=\sqrt{CM}-1$
C. $t=\sqrt{1-CM}$
D. $t=1-\sqrt{CM}$
$\quad$

Correction Question 6

On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
A. $1-4x+2x^2$
B. $4x^2-4x+1$
C. $1-4x^2$
D. $1-2x^2$
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
&=1-4x+4x^2\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
A. $[3;+\infty[$
B. $]-\infty;3]$
C. $[-3;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]$
$\quad$

Correction Question 8

$-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

L’équation $f(x) = 0$ admet :
A. une solution négative ;
B. deux solutions positives ;
C. deux solutions négatives ;
D. une solution positive et une solution négative.
$\quad$

Correction Question 9

La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

Indiquer la seule proposition vraie :
A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
$\quad$

Correction Question 10

Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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