Bac – Métropole – jour 2 (non utilisé) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (non utilisé) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(R\cap F)&=P(R)\times P_R(F)\\
&=0,6_times 0,47 \\
&=0,282\end{align*}$
La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité est égale à $0,282$.
$\quad$
c. $\left(R,\conj{R}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(F)=P(R\cap F)+P\left(\conj{R}\cap F\right) &\ssi 0,38=0,282+P\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi 0,098=0,4\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi P_{\conj{R}}(F)=0,245\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier est égale à $0,245$.
$\quad$
d. On a :
$\begin{align*} P_F(R)&=\dfrac{P(R\cap F)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,282}{0,38} \\
&\approx 0,742 \\
&<0,8\end{align*}$
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,38$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 5)&=1-P(X<5) \\
&=1-P(X\pp 4) \\
&\approx 0,927\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidémité dans un échantillon de $20$ est environ égale à $0,927$.
$\quad$

Partie B

$X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$. Donc :
$\begin{align*} E\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47 \\
&=470\end{align*}$
En moyenne $470$ clients sur les $1~000$ interrogés ont acheté la carte de fidélité.
$\quad$
$Z$ modélise la somme moyenne, en euros, offerte aux $1~000$ clients interrogés.
On a, par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*}E(Z)=\dfrac{1}{1~000} E(Y) \\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(E\left(Y_1\right)+E\left(Y_2\right)\right)\\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(30~000+50E\left(X_2\right)\right) \\
&=\dfrac{1}{1~000}(30~000+23~500) \\
&=\dfrac{53~500}{1~000} \\
&=53,5\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} V\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47\times 0,53 \\
&=249,1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V\left(Y_2\right)&=50^2V\left(X_2\right) \\
&=2~500\times 249,1 \\
&=622~750\end{align*}$
$Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(Z)&=\dfrac{1}{1~000^2}V(Y)\\
&=\dfrac{1}{1~000~000}\left(V\left(Y_1\right)+V\left(Y_2\right)\right) \\
&=\dfrac{722~750}{1~000~000}\\
&=0,72~275\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(51,7<Z<55,3)&=P\left(-1,8<Z-E(Z)<1,8\right) \\
&=P\left(\abs{Z-E(Z)}<1,8\right) \\
&=1-P\left(\abs{E-E(Z)}\pg 1,8\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \end{align*}$
Or $1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2}\approx 0,777>0,75$.
La probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=12-6-6=0$.
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$.
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Affirmation 1 vraie.
$\quad$
Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(0;4;1)$ c’est-à-dire le point $A$.
Si on prend $t=2$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(6;1;5)$ c’est-à-dire le point $B$.
Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $2x+2y-z-9=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{6}{2}=3\neq \dfrac{-3}{2}$.
Ainsi $\vect{AB}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires.
Affirmation 3 fausse.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{a}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $\mathcal{D}’$ est $\vec{b}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{-1}{1}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les deux droites de ne sont pas parallèles.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\3+t=2t’\\1+t=4-t’\\2+t=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\1+2t’-3=4-t’\\2+2t’-3=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\3t’=6\\-1=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=4\\y=2\\z=3\\t=1\\t’=2\end{cases} \end{align*}$
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont sécantes au point de coordonnées $(4;2;3)$.
Affirmation 4 fausse
$\quad$

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} u_{n+1}-2&={u_n}^2-2u_n+2-2 \\
&=u_n\left(u_n-2\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
D’une part :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&={u_n}^2-2u_n+2-u_n \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} \left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right) &={u_n}^2-2u_n-u_n+2 \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
Donc $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n<2$.
Initialisation : $u_0=a<2$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Or $u_n<2 \ssi u_n-2<0$.
Par hypothèse, $u_n>1>0$ donc $u_n\left(u_n-2\right)<0$ c’est-à-dire $u_{n+1}-2<0$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<2$.
$\quad$
b. On a $u_n>1\ssi u_n-1>0$ et $u_n<2\ssi u_n-2<0$ donc $\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)<0\ssi u_{n+1}-u_n<0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell$ appartenant à $[0;1]$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x+2$. Cette fonction est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-2x+2=x \\
&\ssi x^2-3x+2=0 \\
&\ssi (x-1)(x-2)=0\end{align*}$
Ainsi $\ell$ vaut $1$ ou $2$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=a<2$.
Ainsi $\ell=1$.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas particulier $\boldsymbol{a=2}$.

$\text{u(2,1)}$ renvoie la valeur de $u_1$ et $\text{u(2,2)}$ renvoie la valeur de $u_2$.
Or $2^2-2\times 2+2=2$.
Ainsi les deux appels vont renvoyer la même valeur $2$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que si $a=2$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante égale à $2$.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}-1\right) \\
&=\ln\left({u_n}^2-2u_n+1\right) \\
&=\ln\left(\left(u_n-1\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(u_n-1\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln(a-1)$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\ln(a-1)\times 2^n$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
Par conséquent $u_n-1=\e^{v_n} \ssi u_n=1+\e^{v_n}$.
Ainsi $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
$2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$.
$\bullet$ Si $a\in ]1;2[$ alors, d’après la partie A, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
$\bullet$ Si $a=2[$ alors, d’après la partie B, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$.
$\bullet$ Si $a>2$ alors $a-1>1$ et $\ln(a-1)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n \times \ln(a-1)=+\infty$. Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude graphique

a. Graphiquement $f(0)=2$
$\quad$
b. $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite $T$, droite passant par $M(0;2)$ et $P(2;0)$.
Ainsi $f'(0)=\dfrac{2-0}{0-2}=-1$.
$\quad$
Graphiquement, l’équation $f(x)=0$ semble n’avoir qu’une seule solution $-2$.
$\quad$
La courbe $C_f$ semble posséder un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $0$.
La fonction $f$ n’est donc pas convexe sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ semble être négative sur $]-\infty;-2]$ et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ses primitives sont donc décroissantes sur $]-\infty;-2]$ et croissantes sur $[-2;+\infty[$.
Seule la courbe $2$ semble vérifier ces variations.
La courbe $2$ peut donc représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique

$f(0)=2\ssi b\e^0=2 \ssi b=2$.
$\quad$
$f(-2)=0\ssi (-2a+b)\e^{-2\lambda}=0 \ssi -2a+b=0$ car $\e^t>0$ pour tout $t\in \R$.
Or $b=2$ ainsi $-2a+2=0\ssi 2(1-a)=0 \ssi a=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=(x+2)\e^{\lambda x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{\lambda x}+\lambda(x+2)\e^{\lambda x} \\
&=(1+\lambda x+2\lambda)\e^{\lambda x} \end{align*}$
Or $f'(0)=-1$ d’après la partie A.
Donc $(1+2\lambda)\e^0=-1 \ssi 2\lambda+1=-1 \ssi 2\lambda =-2 \ssi \lambda =-1$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.
$\quad$

Partie C : étude algébrique

$\lim\limits_{x\to -\infty} x+2=-\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\e^{-x}+2\e^{-x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$. Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
&=(-1+x+1)\e^{-x} \\
&=x\e^{-x}\end{align*}$
La fonction exponentielle étant strictement positiver sur $\R$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
Ainsi :
$\bullet$ pour tout $x<0$ on a $f\dsec(x)<0$ ;
$\bullet$ pour tout $x>0$ on a $f\dsec(x)>0$ ;
$\bullet$ $f\dsec(0)=0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la réponse précédente, la courbe $C_g$ possède un unique point d’inflexion de coordonnées $(0;2)$.
$\quad$
a. On réalise une intégration par parties à l’aides des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-2;t]$ définies par :
$$\begin{array}{lll} u(x)=x+2&\phantom{123}&u'(x)=1 \\
v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
Par conséquent :
$\begin {align*}I(t)&=\int_{-2}^t f(x)\dx \\
&=\Big[-(x+2)\e^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\e^{-x}\dx \\
&=-(t+2)\e^{-t}-\Big[\e^{-x}\Big]_{-2}^t \\
&=(-t-2)\e^{-t}-\left(\e^{-t}-\e^2\right) \\
&=(-t-2-1)\e^{-t}+\e^2 \\
&=(-t-3)\e^{-t}+\e^2\end{align*}$
$\quad$
b. On a donc, pour tout $t\pg 0$, $I(t)=-t\e^{-t}-3\e^{-t}+\e^2$.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} 3\e^{-t}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-t}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} I(t)=\e^2$.
La fonction $f$ est continue sur $\R$ (car dérivable) et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ainsi $I(t)$ est l’aire de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=-2$ et $x=t$.
Par conséquent la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et à droite de la droite d’équation $x=-2$ est non limitée et son aire est finie (elle vaut $\e^2$.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme «régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que $60\%$ de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, $47\%$ ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l’ensemble de tous les clients de la société, $38\%$ ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants :

$R$ : « le client est un client régulier » ;
$F$ « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $\conj{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

a. Reproduire l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés.
$\quad$

$\quad$
b. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier.
$\quad$
d. Le directeur du service des ventes affirme, que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de $80\%$ sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte ?
$\quad$
On choisit un échantillon de $20$ clients de la société sélectionnés de manières indépendante.
On suppose que ce choix s’assimile à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F)=0,38$.
les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
$\quad$

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L’institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d’un nombre valable de questions.
On choisit au hasard un échantillon de $1~000$ clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces $1~000$ clients répondent.

Pour les remercier, la société offre un bon d’achat à chacun des clients de l’échantillon. Le montant de ce bon d’achat, dépend du nombre de questions posées au client.
La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l’échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d’achat, offre à chacun d’eux une prime d’un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d’achat des $1~000$ clients. On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à $30~000$ et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à $100~000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients, associe le total en euros des montants de la prime de fidélité versée.
On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$ et que $Y_2=50X_2$.

Calculer l’espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

On note $Y=Y_1+Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d’achat et prime de fidélité) aux $1~000$ clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=\dfrac{Y}{1~000}$.

Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l’exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0,722~75$.
$\quad$
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse ne rapporte aucun point.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonomé $\Oijk$, on considère les points $A(0;4;-1)$, $B(6;1;5)$ et $C(6;2;-1)$. On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$

Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases} ~~$ où $t\in \R$.
$\quad$

Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est $2x+2y+z+9=0$.
$\quad$

On considère les droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique $$\mathcal{D}:~\begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}~~\text{où } t\in \R\qquad \mathcal{D}’:~\begin{cases} x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}~~ \text{où } t’\in \R$$
Affirmation 4 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}={u_n}^2-2u_n+2$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-2=u_n\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
a. En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n<2$$
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas $\boldsymbol{a=2}$.

On donne ci-dessous la fonction $\text{u}$ écrite en langage Python.

Python

def u(a,n) : u = a for k in range(n): u = u**2 - 2 * u + 2 return u

1
2
3
4
5

def u(a,n) :
   u = a
   for k in range(n):
      u = u**2 - 2 * u + 2
   return u

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l’on saisit $\text{u(2,1)}$ et $\text{u(2,2)}$ dans la console Python.
$\quad$
Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\left(u_n\right)$ dans le cas où $a=2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à $1$, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ ;
la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0;2)$ ;
le point $M(-2;0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2;0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.

Partie A : étude graphique.

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

a. Donner $f(0)$.
$\quad$
b. Déterminer $f'(0)$.
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier.
$\quad$
Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de $f$ sur $\R$. Justifier.
$\quad$

$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique.

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\e^{\lambda x}$ où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

Justifier que $b=2$.
$\quad$
Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$.
$\quad$
Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
$\quad$

Partie C : étude algébrique.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
$\quad$
On admet que $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
$\quad$
a. Étudier la convexité de $f$.
$\quad$
b. Préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe $C_f$.
$\quad$
pour tout nombre réel $t\pg 0$, on pose : $$I(t)=\int_{-2}^t f(x)\dx$$
a. En utilisant une intégration par parties, monter que $I(t)=(-t-3)\e^{-t}+\e^2$.
$\quad$
b. En déduire un exemple de surface non limitée dont l’aire est finie.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 septembre 2023

Métropole – 11 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x\e^{x^2-3} \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2-3} \end{align*}$
Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2-3$.
Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
Réponse d
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{2(n+1)+1} \\
&=\e^{2n+2+1} \\
&=\e^2\e^{2n+1} \\
&=\e^2u_n\end{align*}$
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\e^2$.
Réponse c
$\quad$
On doit écrire $\text{u <= 10000}$.
Réponse a
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+60 \\
&=1,2u_n+12+60 \\
&=1,2u_n+72 \\
&=1,2\left(u_n+60\right) \\
&=1,2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,2$.
Réponse b
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vect{CD}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$
D’une part $\vect{CD}.\vect{AB}=4-1-3=0$.
D’autre part $\vect{CD}.\vect{AC}=2-2+0=0$.
$\vect{CD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc orthogonal à ce plan.
La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
$C$ est donc le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
Le point $A$ appartient à ce plan. Ainsi $2+0-(-1)+d=0 \ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} CD&=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$
$\quad$
b. $C$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$ c’est donc l’unique point de ce plan situé à la distance $\sqrt{6}$ de $D$.
Il n’existe donc pas de point $M$ du plan $\mathscr{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\begin{align*}2\times 0+(2+t)-(-1+t)+3&=2+t+1-t+3 \\
&=0\end{align*}$
Ainsi, le point $M(0:2+t;-1+t)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ pour tout $t\in \R$.
La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. On appelle $N$ le point de $\Delta$ associé à la valeur $-2$. Ainsi $N(0;0;-3)$.
$\vect{ND}\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vect{ND}=0-1+1=0$.
La droite $(ND)$ est donc perpendiculaire à la droite $\Delta$ en $N$.
$N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
$H$ est donc bien le point de $\Delta$ associé à la valeur $t=-2$.
$\quad$
c. Ainsi :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2} \\
&=\sqrt{18}\\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(A)p_A(T)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(T)\\
&=0,97x+0,043(1-x) \\
&=0,043+0,927x\end{align*}$
$\quad$
b. On sait que $p(T)=0,2$.
Par conséquent :
$\begin{align*} 0,2=0,043+0,927x&\ssi 0,157=0,927x \\
&\ssi x=\dfrac{157}{927}\end{align*}$.
La probabilité que l’individu choisi soit allergique est donc environ égale à $0,169$.
$\quad$
On calcule :
$\begin{align*} p_T(A)&=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(A)p_A(T)}{p(T)} \\
&\approx \dfrac{0,169\times 0,97}{0,2}\\
&\approx 0,820\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Partie B

On répète $150$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,08$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,08$.
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{150}{20}0,08^{20}\times 0,92^{130} \\
&\approx 0,008\end{align*}$
La probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,008$.
$\quad$
D’après la calculatrice :
$\begin{align*} p(X\pg 15)&=1-p(X\pp 14) \\
&\approx 0,220\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10 \%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,220$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}\end{align*}$
Or $x^3>0$ sur $]0;+\infty[$.
Ainsi $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$.
$\quad$
Le discriminant de $x^2-2x+2$ est $\Delta=-4<0$.
Le signe de ce trinôme est celui de son coefficient principal qui est $1>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x^2-2x+2>0$.
Donc $g'(x)>0$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$g(0,5)=\ln(0,5)= -\ln(2)<0$ et $g(1)=1>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5;1]$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
Ainsi, pour tout $x\in ]0;\alpha[$ on a $g(x)<g(\alpha)$ soit $g(x)<0$ et, pour tout $x>\alpha$ on a $g(x)>g(\alpha)$ doit $g(x)>0$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)+\e^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
a. On a ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x)=g(x)\e^x$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. $f\dsec(x)$ est donc du signe de $g(x)$.
On obtient alors le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$
b. La fonction $f\dsec$ ne s’annule qu’une fois en changeant de signe en $\alpha$.
$\mathscr{C}_f$ possède donc une unique point d’inflexion $A$ d’abscisse $\alpha$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\alpha]$ et convexe sur $[\alpha;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to v}f(x)=+\infty$
$\quad$
b.
$g(\alpha)=0\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}$
Ainsi :
$\begin{align*} f'(\alpha)&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\ln(\alpha)\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(-\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \\
&=\dfrac{\alpha}{\alpha^2}(-\alpha+1)\end{align*}$
c. On a $0,5<\alpha<1$ donc $1-\alpha>0$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et $\alpha^2>0$.
Ainsi $f'(\alpha)>0$.
La fonction $f’$ admet un minimum en $\alpha$ et $f'(\alpha)>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
$\quad$
d. On en déduit donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2-3}$.
Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x)=2x\e^{x^2-3}$ ;
b. $F(x)=\left(2x^2+1\right)\e^{x^2-3}$ ;
c. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2-3}$ ;
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\e^{2n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est :
a. arithmétique de raison $2$ ;
b. géométrique de raison $\e$ ;
c. géométrique de raison $\e^2$ ;
d. convergente vers $\e$.
$\quad$

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
$\hspace{1cm} u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,2u_n + 12$.

La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que $u_n > 10~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :}\\
\quad \text{n=0}\\
\quad \text{u=15}\\
\quad \text{while …}\\
\qquad \text{n=n+1}\\
\qquad \text{u=1.2*u+12}\\
\qquad \text{return(n}\\
\hline
\end{array}$$
À la ligne 4, on complète par :
a. $\text{u <=10 000}$ ;
b. $\text{u = 10 000}$ ;
c. $\text{u > 10 000}$ ;
d. $\text{n <= 10 000}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+60$. La suite $\left(v_n\right)$ est :
a. une suite décroissante ;
b. une suite géométrique de raison $1,2$ ;
c. une suite arithmétique de raison $60$ ;
d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1 ; 0 ;-1)$, $B(3 ;-1 ; 2)$, $C(2 ;-2 ;-1)$ et $D(4 ;-1 ;-2)$.
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{cases}$, avec $t\in \R$.

a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
$\quad$
c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a. Calculer la distance $CD$.
$\quad$
b. Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
a. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
b. Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t =-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
$\quad$
c. En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 4 points

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans $97 \%$ des cas ;
Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7\%$ des cas.

Par ailleurs, $20 \%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

$A$ l’événement « l’individu est allergique » ;
$T$ l’événement « l’individu présente un test positif ».

On notera $\conj{A}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’événement $A$ : $x = p(A)$.

$\quad$

Partie A

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
$\quad$

$\quad$
a. Démontrer l’égalité : $p(T)=0,927x+0,043$.
$\quad$
b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
$\quad$
Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
« Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
$\quad$

Partie B :

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

PARTIE A

On définit sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la fonction $g$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

Montrer que pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2-2x+2\right)$.
$\quad$
En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5 ; 1]$, que l’on notera $\alpha$.
$\quad$
On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$ :
$\quad$

$\quad$
Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
$\quad$

PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=\e^x\ln(x)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ , on note $f’$ sa fonction dérivée, $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
pour tout nombre réel $x > 0,~f'(x)=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)$
Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f\dsec(x)=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
$\quad$
On pourra remarquer que pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x) = \e^x\times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
a. Dresser le tableau de signes de la fonction $f\dsec(x)$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
b. Justifier que la courbe $C_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
$\quad$
c. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
b. Montrer que $f'(x)(\alpha) =\dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(\alpha) = 0$.
$\quad$
c. Démontrer que $f'(\alpha)> 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.
$\quad$
d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 1 – 28 août 2023

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient, une fois l’arbre totalement complété :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
&=0,6\times 0,8\\
&=0,48\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
$\quad$
$\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
On a ainsi :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,3}{0,4}\\
&=0,75\end{align*}$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
&=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
&=\dfrac{2}{7} \\
&\approx 0,29\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
$\quad$

Partie B

On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,005$.
Ainsi, d’une part,
$\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
&=0,42\times 0,005\\
&=0,0021\end{align*}$
et d’autre part,
$\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
&=0,58\times 0,12\\
&=0,069~6\end{align*}$
$\quad$
$\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a alors :
$\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
&=0,0021+0,069~6\\
&=0,071~7\end{align*}$
Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,071~7=71,7\approx 72$ avaries.
$\quad$

Partie C

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
&\approx 0,768\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
&=15-3\\
&=12\end{align*}$
$\quad$
b. On a également :
$\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
&=60-4-3\\
&=53\end{align*}$
$\quad$
c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
&\pg 5(n+1)-4n-3\\
&\pg 5n+5-4n-3\\
&\pg n+2\\
&\pg (n+1)+1\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
&=5u_n-4n-3-n-2\\
&=5u_n-5n-5\\
&=5\left(u_n-n-1\right)\\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
$\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
&=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
$\quad$
d. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
&=2\times 5^n(5-1)+1 \\
&=8\times 5^n+1\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
a. On peut écrire :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 10**7:}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
Réponse a
$\quad$
On résout le système
$\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
$\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
Réponse c
$\quad$
$\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
&=3\end{align*}$
$\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
&=5\end{align*}$
D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG} \approx 71$ °
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
&=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=8-4\ln(x)-4 \\
&=4-4\ln(x)\\
&=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
$f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
b. Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
&\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
&\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
&=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
&=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

$60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
$42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

$V$ : « le client un bateau à voile » ;
$L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
$\quad$
Un client a pris l’option PILOTE.
Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
$\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
$\quad$
L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
$\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner sans justification ses paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

a. Démontrer que $u_1 = 12$.
$\quad$
b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
$\quad$
c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \pg n+1$$
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
$\quad$
d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
\qquad \text{u = ………}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
b. $F(x) = (1+x) \e^x$
c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
$\quad$
$$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
$$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
a. sécantes.
b. strictement parallèles.
c. confondues.
d. non coplanaires.
$\quad$
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
La droite $(\Delta)$ est :
a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
b. incluse dans le plan $(P)$.
c. strictement parallèle au plan $(P)$.
d. orthogonale au plan $(P)$.
$\quad$
On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
a. sécants et perpendiculaires.
b. confondus.
c. sécants et non perpendiculaires.
d. strictement parallèles.
$\quad$
On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
a. $\alpha = 90$°
b. $\alpha >90$°
c. $\alpha=0$°
d. $\alpha\approx 71$°
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
$$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
$\quad$
b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
$\quad$
c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
(On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
$\quad$
b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
&=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
&=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
&=0,204\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
&=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
&=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
&=\dfrac{10}{17} \\
&\approx 0,588\end{align*}$
La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
&\approx 0,179\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
$\quad$
c. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
&=6,12\end{align*}$
Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes $6,12$ achètent le produit.
$\quad$
On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
&\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
&\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
$\quad$
Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-2\ln(x)-2 \\
&=1-2\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
$1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
&=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
&=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
$\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
L’affirmation est fausse.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
$\quad$
b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
$\quad$
c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
$\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
&\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
&\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

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Bac – Spécialité mathématiques – Europe – sujet 1 – 21 mars 2023

Centres étrangers (Europe) – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln\left(x^2\right)=-\infty$
De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2x}{x^2}+1 \\
&=\dfrac{2}{x}+1 \end{align*}$
Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2}{x}>0$ et donc $g'(x)>0$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty [$.
D’après le théorème de la bijection (ou le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,370~2$. Par conséquent $1,37<\alpha<1,38$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
On en déduit le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie B

a. $\lim\limits_{x\to 0^+} x-2=-2$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x-2}{x}=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. La courbe $\mathscr{C}_f$ possède donc une asymptote verticale d’équation $x=0$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\ln(x)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\dfrac{2}{x}=1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant l’expression de $f(x)$ obtenue à la question précédente :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2}{x^2}\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)\times \dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{2\ln(x)+\left(1-\dfrac{2}{x}\right)x}{x^2} \\
&=\dfrac{\ln\left(x^2\right)+x-2}{x^2} \\
&=\dfrac{g(x)}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
D’après la question A.4. $f'(x)>0 \ssi x>\alpha$ et $f'(\alpha)=0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha;+\infty[$.
$\quad$

Partie C

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)-\ln(x)&=\dfrac{(x-2)}{x}\ln(x)-\ln(x) \\
&=\dfrac{(x-2)\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{x\ln(x)-2\ln(x)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{-2\ln(x)}{x}\end{align*}$
Or $\ln(x)>0 \ssi x>1$.

La courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur $]0;1]$ et en dessous sur $[1;+\infty[$.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(T_2,V_2\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_3&=p\left(T_3\right) \\
&=p\left(T_2\cap T_3\right)+p\left(V_2\cap T_3\right) \\
&=p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(T_3\right)+p\left(V_2\right)p_{V_2}\left(T_3\right) \\
&=0,8\times 0,8+0,2\times 0,6 \\
&=0,76\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{V_3}\left(T_2\right)&=\dfrac{p\left(V_3\cap T_2\right)}{p\left(V_3\right) } \\
&=\dfrac{p\left(T_2\right)p_{T_2}\left(V_3\right)}{1-p\left(T_3\right)} \\
&=\dfrac{0,8\times 0,2}{0,24} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
Pour tout $n\in \N$, $\left(T_n,V_n\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(T_{n+1}\right) \\
&=p\left(T_n\cap T_{n+1}\right)+p\left(V_n\cap T_{n+1}\right) \\
&=p\left(T_n\right)p_{T_n}\left(T_{n+1}\right)+p\left(V_n\right)p_{V_n}\left(T_{n+1}\right) \\
&=0,8\times p_n+0,6\times \left(1-p_n\right) \\
&=0,8p_n+0,6-0,6p_n \\
&=0,2p_n+0,6\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $n\in \N^*$, on pose $R(n):~p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$
Initialisation : $p_1=1$ et $0,7+0,25\times 0,2^0=0,75+0,25=1$.
Donc $R(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
$\begin{align*} p_{n+1}&=0,2p_n+0,6 \\
&=0,2\left(0,75+0,25\times 0,2^{n-1}\right) +0,6 \\
&=0,15+0,25\times 0,2^n+0,6 \\
&=0,75+0,25\times 0,2p^n\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N^*$, on a $p_n=0,75+0,25\times 0,2^{n-1}$.
$\quad$
$-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
Sur le long terme, la probabilité que M Durand utilise les transports en commun est égale à $0,75$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+(x-1)\e^x \\
&=(1+x-1)\e^x \\
&=x\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.
Réponse b
$\quad$
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
$2x+4=0\ssi 2x=-4\ssi x=-2$ et $2x+4>0\ssi 2x>-4\ssi x>-2$.
(À cette étape-là on peut faire un tableau de signes au brouillon)
Par conséquent $\dfrac{x-1}{2x+4}>0 \ssi x\in ]-\infty;-2[\cup ]1;+\infty[$.
La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
Réponse c
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} h'(x)&=\e^x+(x+1)\e^x \\
&= (1+x+1)\e^x \\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$
$\quad$
La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x+(x+2)\e^x \\
&= (1+x+2)\e^x \\
&=(x+3)\e^x\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$
$h\dsec(x)=0\ssi x+3=0 \ssi x=-3$ et $h\dsec(x)>0\ssi x+3>0 \ssi x>-3$
La fonction $h$ est donc concave sur $] -\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$.
Réponse d
$\quad$
Pour tout $n$ on a donc $u_n\pg 3$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n =\ell$.
Par conséquent $\ell \pg 3$.
Réponse b
$\quad$
On constate à l’aide de la calculatrice que la suite $\left(w_n\right)$ semble converger vers $0$.
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\vect{AB}\begin{pmatrix} 4\\1\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\5\\-6\end{pmatrix}$.
$\dfrac{4}{2}=2$ et $\dfrac{1}{5}=0,2$.
Par conséquent $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AB}=52+16+36=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=26-80+54=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
$\vec{n}$ est par conséquent normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $13x-16y-9z+d=0$.
$A(-1;-3;2)$ appartient à ce plan.
Par conséquent $-13+48-18+d=0\ssi d=-17$.
Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est donc $13x-16y-9z-17=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $$\begin{cases} x=15+13t\\y=-16-16t\\z=-8-9t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
On considère le point $E’$ de coordonnées $(2;0;1)$.
Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient $x=2$, $y=0$ et $z=1$. Donc $E’$ appartient à $\mathscr{D}$.
$13\times 2+0-9\times 1-17=26-26=0$ : $E’$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
$13\times 15-16\times (-16)-9\times (-8)-17=506\neq 0$ : le point $F$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
La droite $\mathscr{D}$ n’est, par conséquent, pas incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
Ainsi les coordonnées du point $E$ sont bien $(2;0;1)$.
$\quad$
On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}$La distance du point $E$ au plan $\mathscr{P}$ est :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{(-13)^2+16^2+9^2}\\
&=\sqrt{169+256+81} \\
&=\sqrt{506}\end{align*}$
$\quad$
On veut déterminer les points $M(15+13t,-16-16t,-8-9t)$ de $\mathscr{D}$ tels que $EM=\dfrac{EF}{2}$
$\vect{EM}\begin{pmatrix} 13+13t\\-16-16t\\-9-9t\end{pmatrix}$. Ainsi $\vect{EM}\begin{pmatrix}13(1+t)\\-16(1+t)\\-9(1+t)\end{pmatrix}$
On en déduit donc que :
$\begin{align*} EM&=\sqrt{169(1+t)^2+256(1+t)^2+81(1+t)^2} \\
&=\sqrt{506(1+t)^2}\end{align*}$
$\begin{align*} EM=\dfrac{EF}{2}&\ssi \sqrt{506(1+t)^2}=\dfrac{\sqrt{506}}{2} \\
&\ssi 506(1+t)^2=\dfrac{506}{4} \\
&\ssi (1+t)^2=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi 1+t=\dfrac{1}{2} \text{ ou } 1+t=-\dfrac{1}{2} \\
&\ssi t=-\dfrac{1}{2} \text{ ou } t=-\dfrac{3}{2}\end{align*}$
Les coordonnées des points de la droite $\mathscr{D}$ dont la distance au plan $\mathscr{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathscr{P}$ sont donc $\left(\dfrac{17}{2};-8;-\dfrac{7}{2}\right)$ et $\left(-\dfrac{9}{2};8;\dfrac{11}{2}\right)$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également déterminer les coordonnées du milieu $M$ du segment $[EF]$ puis celle du symétrique de $M$ par rapport à $E$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par

$$g(x) = \ln\left(x^2\right)+x−2$$

Déterminer les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
Étudier les variations de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer qu’il existe un unique réel strictement positif $\alpha$ tel que $g(\alpha) = 0$.
$\quad$
b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
En déduire le tableau de signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par :

$$f(x) =\dfrac{(x−2)}{x}\ln(x)$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
$\quad$
b. Interpréter graphiquement le résultat.
$\quad$
Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif, on a $f'(x) =\dfrac{g(x)}{x^2}$.
$\quad$
En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie C

Étudier la position relative de la courbe $C_f$ et de la courbe représentative de la fonction $\ln$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un souci de préservation de l’environnement, Monsieur Durand décide de se rendre chaque matin au travail en utilisant son vélo ou les transports en commun.
S’il choisit de prendre les transports en commun un matin, il reprend les transports en commun le lendemain avec une probabilité égale à $0,8$.
S’il utilise son vélo un matin, il reprend son vélo le lendemain avec une probabilité égale à $0,4$.

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note :

$T_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise les transports en commun le $n$-ième jour » ;
$V_n$ l’événement « Monsieur Durand utilise son vélo le $n$-ième jour » ;
On note $p_n$ la probabilité de l’événement $T_n$.

Le premier matin, il décide d’utiliser les transports en commun. Ainsi, la probabilité de l’événement $T_1$ est $p_1 = 1$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $2\ieme$ et $3\ieme$ jours.
$\quad$$\quad$
Calculer $p_3$.
$\quad$
Le $3\ieme$ jour, M. Durand utilise son vélo.
Calculer la probabilité qu’il ait pris les transports en commun la veille.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous représentant la situation pour les $n$-ième et $(n+1)$-ième jours.
$\quad$
$\quad$
Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,2p_n + 0,6$.
$\quad$
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $p_n = 0,75 + 0,25 × 0,2^{n-1}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(p_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

Dans tout l’exercice, $\R$ désigne l’ensemble des nombres réels.

Une primitive de la fonction $f$, définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$, est la fonction $F$, définie sur $\R$ par :
a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
b. $F(x)=(x-1)\e^x$
c. $F(x)=(x+1)\e^x$
d. $F(x)=x^2\e^{x^2}$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=\ln\left(\dfrac{x-1}{2x+4}\right)$.
La fonction $g$ est définie sur :
a. $\R$
b. $]-2;+\infty[$
c. $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
d. $]-2;1[$
$\quad$
La fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(x+1)\e^x$ est :
a. concave sur $\R$
b. convexe sur $\R$
c. convexe sur $]-\infty;-3]$ et concave sur $[-3;+\infty[$
d. concave sur $]-\infty;-3]$ et convexe sur $[-3;+\infty[$
$\quad$
Une suite $\left(u_n\right)$ est minorée par $3$ et converge vers un réel $\ell$.
On peut affirmer que :
a. $\ell=3$
b. $\ell\pg 3$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
d. La suite $\left(u_n\right)$ est constante à partir d’un certain rang.
$\quad$
La suite $\left(w_n\right)$ définie par $w_1=2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $w_{n+1}=\dfrac{1}{n}w_n$.
a. La suite $\left(w_n\right)$ est géométrique.
b. La suite $\left(w_n\right)$ n’admet pas de limite.
c. $w_5=\dfrac{1}{15}$
d. La suite $\left(w_n\right)$ converge vers $0$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les
points $A(-1; -3; 2)$, $B(3;-2; 6)$ et $C(1; 2;-4)$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $13x-16y-9z-17 = 0$.

On note $\mathcal{D}$ la droite passant par le point $F(15;-16;-8)$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Donner une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$.
$\quad$
On appelle $E$ le point d’intersection de la droite $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$.
Démontrer que le point $E$ a pour coordonnées $(2; 0; 1)$.
$\quad$
Déterminer la valeur exacte de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du ou des point(s) de la droite $\mathcal{D}$ dont la distance au plan $\mathcal{P}$ est égale à la moitié de la distance du point $F$ au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

$\quad$

Métropole Antilles/Guyane – 9 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$$\quad$
a. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(E)&=p(R)\times p_R(E)+p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
&=0,4\alpha+0,7(1-\alpha) \\
&=0,7-0,3\alpha\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} p(E)=0,58&\ssi 0,7-0,3\alpha=0,58 \\
&\ssi -0,12=-0,3\alpha\\
&\ssi \alpha=0,4\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*}
p_E\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(E\cap \conj{R}\right)}{p(E)} \\
&=\dfrac{p\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(E)}{p(E)} \\
&=\dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58} \\
&=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,58} \\
&=\dfrac{21}{29}\\
&\approx 0,72
\end{align*}$
La probabilité que le client ayant loué un vélo électrique ait loué un vélo tout terrain est environ égale à $0,72$.
$\quad$
On a
$\begin{align*} p\left(\conj{R}\cap E\right)&=p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
&=0,7(1-\alpha)\\
&=0,7\times 0,6\\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est égale à $0,42$.
$\quad$
a. $X(\Omega)=\acco{25,~35,~40,~50}$
$\begin{align*} p(X=25)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,4\times 0,4\\
&=0,24\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=35)&=p\left(\conj{R}\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,6\times 0,3\\
&=0,18\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=40)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,4\times 0,4\\
&=0,16\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=50)&=p\left(\conj{R}\cap E\right) \\
&= 0,6\times 0,7\\
&=0,42\end{align*}$
On obtient ainsi le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&25&35&40&50\\
\hline
p(X=x)&0,24&0,18&0,16&0,42\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=25\times 0,24+35\times 0,18+40\times 0,16+50\times 0,42 \\
&=39,7\end{align*}$
En moyenne, une location de vélo coûte $39,70$ euros.
$\quad$
a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,58$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{30}{20} 0,58^{20}\times 0,42^{10} \\
&\approx 0,095\end{align*}$
La probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui
louent un vélo électrique est environ égale à $0,095$.
$\quad$
c. On veut calculer $P(X\pg 15) \approx 0,858$.
La probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est environ égale à $0,858$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Soit $n\in \N$
$\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-2 \\
&=0,5a_n+1-2 \\
&=0,5a_n-1 \\
&=0,5\left(a_n-2\right) \\
&=0,5b_n\end{align*}$
La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
Réponse b
$\quad$
On a donc $u_1=5$, $v_1=3$, $u_2=14$ et $v_2=8$.
Donc $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$
Réponse c
$\quad$
La boucle du programme calcule tous les termes $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$.
Le programme renvoie donc $u_{10}$ et $v_{10}$.
Réponse d
$\quad$
La fonction $f’$ semble croissante sur l’intervalle $[-4;0]$.
Par conséquent la fonction $f$ semble convexe sur cet intervalle.
Réponse b
$\quad$
Le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est
$\begin{align*} f\dsec(1)&=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\
&=5\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$.
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x+3\right)\e^x \\
&=\left(2x-2+x^2-2x+3\right)\e^x \\
&=\left(x^2+1\right)\e^x\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
De plus $F(0)=3-2=1$.
Réponse b
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\ln(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln(x)=-\infty$ ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=1-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
&=1-\ln(x)+1\\
&=-\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)=0\ssi -\ln(x)=0 \ssi x=1$
$f'(x)>0 \ssi -\ln(x)>0 \ssi x\in ]0;1[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f(x)=x\ssi x-x\ln(x)=x \ssi -x\ln(x)=0 \ssi x=1$ (la valeur $0$ n’est pas solution puisque $f$ n’est pas définie en $0$).
$\quad$

Partie B

Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
Initialisation : $u_0=0,5$ et $u_1\approx 0,85$.
Par conséquent $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$0,5\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$.
Par conséquent $f(0,5) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp p(1)$ c’est-à-dire $u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$.
Or $u_1\approx 0,85$.
La propriété $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question A.4. l’unique solution de cette équation est $1$.
Ainsi $\ell=1$.
$\quad$

Partie C

La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f_k'(x)&=k-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
&=-\ln(x)+k-1\end{align*}$
$f_k'(x)>0 \ssi -\ln(x)+k-1>0 \ssi \ln(x)<k-1 \ssi x<\e^{k-1}$
La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{k-1}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\e^{k-1};+\infty\right[$.
La fonction $f_k$ admet par conséquent un maximum en $x_k=\e^{k-1}$.
$\quad$
Soit $k\in \R$.
$\begin{align*} y_k=f_k\left(x_k\right)\\
&=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln\left(\e^{k-1}\right) \\
&=k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1} \\
&=\e^{k-1}\left(k-(k-1)\right) \\
&=\e^{k-1}\\
&=x_k\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Les coordonnées du vecteur $\vec{u}’$ sont $\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}’$ ne sont pas colinéaires (ils n’ont pas les mêmes coordonnées nulles). Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont donc pas parallèles.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=2+k\\y=4+2k\\z=0\end{cases}$.
$\quad$
$\vec{v}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{v}.\vec{u}’=0-1+1=0$.
$\vec{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, $\vec{u}$ et $\vec{u}’$.
$\vec{v}$ est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la fois à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.
Ainsi $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{n}.\vec{v}= 4+1-5=0$.
Ainsi $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-5z+d=0$.
Le point $A(2;4;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Par conséquent $4-4-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-5z=0$.
$\quad$
c. $M’$ est un point de $Delta$. Il appartient donc également au plan $\mathscr{P}$ qui contient cette droite.
$M’$ est un point de $\mathscr{D}’$.
$M’$ est donc le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ avec le plan $\mathscr{P}$.
$2\times 3-1-5=0$ : le point de coordonnées $(3;1;1)$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}’$ on obtient le point de coordonnées $(3;1;1)$.
Ainsi ce point est le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ et $\mathscr{P}$.
Ainsi $M’$ a pour coordonnées $(3;1;1)$.
$\quad$
a. $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $M’$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x= 3+2k’\\y=1-k’\\z=1+k’\end{cases} \qquad k’\in \R$.
$\quad$
b. En prenant $k’=-1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
En prenant $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
$M$ est le point d’intersection de ces deux droites. Donc $M$ a pour coordonnées $(1;2;0)$.
$\quad$
c. Les coordonnées de $\vect{MM’}$ sont $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Par conséquent
$\begin{align*} MM’&=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\\
&=\sqrt{4+1+1} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{r}\begin{pmatrix} 5\\5\\1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{r}=10-5-5=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
Ainsi $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $M$.
Le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et le point $M’$ appartient à la droite $\Delta$.
Le triangle $AMM’$ est rectangle en $M$.
Les coordonnées de $\vect{AM}$ sont $\begin{pmatrix} -1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Par conséquent
$\begin{align*} AM&=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi l’aire du triangle $AMM’$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AM\times MM’}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\end{align*}$.
Le volume du tétraèdre $ANMM’$ est donc $V=\dfrac{\sqrt{30}}{3}\ell$.
$\quad$
c. La droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. La distance d’un point de la droite $d$ à ce plan est donc toujours la même. Ainsi $\ell$ ne dépend pas du point $N$ choisi.
Par conséquent $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$ ;
Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$ ;
La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0\pp \alpha\pp 1$.

On considère les événements suivants :

$R$ : « le client loue un vélo de route » ;
$E$ : « le client loue un vélo électrique » ;
$\conj{R}$ et $\conj{E}$ , événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
$\quad$
a. Montrer que $p(E)=0,7-0,3\alpha$.
$\quad$
b. En déduire que : $\alpha = 0,4$.
$\quad$
On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
$\quad$
Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
$\quad$
Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.
On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.
a. Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
$\quad$
b. Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
$\quad$
Lorsqu’on choisit $30$ clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
On rappelle que la probabilité de l’événement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,5a_n+1$ et $b_n=a_n-2$.
On peut affirmer que :
a. $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;
b. $\left(b_n\right)$ est géométrique ;
c. $\left(a_n\right)$ est géométrique ;
d. $\left(b_n\right)$ est arithmétique.
$\quad$

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies par :$$u_0=2,~v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel }n :\begin{cases} u_{n+1}=u_n+3v_n\\v_{n+1}=u_n+v_n\end{cases}$$

On peut affirmer que :
a. $\begin{cases} u_2=5\\v_2=3\end{cases}$;
b. $u_2^2-3v_2^2=-2^2$;
c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$;
d. $5u_1=3v_1$.
$\quad$
On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def valeurs() :}\\
\quad \text{u = 2}\\
\quad \text{v = 1}\\
\quad \text{for k in range(1,11) :}\\
\qquad \text{c = u}\\
\qquad \text{u = u+3*v}\\
\qquad \text{v = c+v}\\
\quad \text{return (u,v)}\\
\hline
\end{array}$$
Ce programme renvoie :
a. $u_{11}$ et $v_{11}$;
b. $u_{10}$ et $v_{11}$;
c. les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$;
d. $u_{10}$ et $v_{10}$.
$\quad$

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}’$ de la fonction dérivée $f’$ dans un repère du plan. On donne de plus les points $A(-2; 0)$, $B(1; 0)$ et $C(0; 5)$.

La fonction $f$ est :
a. concave sur $[-2; 1]$;
b. convexe sur $[-4; 0]$;
c. convexe sur $[-2; 1]$;
d. convexe sur $[0; 2]$.
$\quad$
On admet que la droite $(BC)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}’$ au point $B$.
On a :
a. $f'(1) < 0$;
b. $f'(1)= 5$;
c. $f\dsec(1) > 0$;
d. $f\dsec(1) = -5$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^x$.
La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ est définie par :
a. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x$;
b. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$;
c. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x+1$;
d. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x$;
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x-x\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
$\quad$
Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=-\ln(x)$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=0,5\\\text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=u_n-u_n\ln\left(u_n\right)\end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5; 1]$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
$\quad$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
b. On note $l$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $l$.
$\quad$

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$f_k(x)=kx-x\ln(x)$$

Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k=\e^{k-1}$.
$\quad$
Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k=y_k$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;
la droite $\mathscr{D}’$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases} \quad, t\in \R$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u’}$ de la droite $\mathscr{D}’$.
$\quad$
b. Montrer que les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. On appellera $M$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}$, et $M’$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}’$.

On se propose de déterminer la distance $MM’$ appelée « distance entre les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ».

Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
$\quad$
On note $\mathscr{P}$ le plan contenant les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$, c’est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation du plan $\mathscr{P}$ est : $2x-y-5z=0$.
$\quad$
c. On rappelle que $M’$ est le point d’intersection des droites $\Delta$ et $\mathscr{D}’$. Justifier que $M’$ est également le point d’intersection de $\mathscr{D}’$ et du plan $\mathscr{P}$.
En déduire que les coordonnées du point $M’$ sont $(3; 1; 1)$.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
b. Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.
$\quad$
c. Calculer la distance $MM’$.
$\quad$
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases} \quad$ avec $t\in \R$.
a. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. On note $\ell$ la distance d’un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathscr{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM’$ en fonction de $\ell$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
$\quad$
c. Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
$\quad$

$\quad$

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (non utilisé) – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Exercice 2 (4 points)

Exercice 3 (5 points)

Exercice 4 (5 points)

Métropole – 11 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 4 points

Exercice 2 5 points

Exercice 3 4 points

Exercice 4 7 points

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 5 points

Exercice 2 5 points

Exercice 3 5 points

Exercice 4 5 points

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Centres étrangers (Europe) – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 5 points

Exercice 2 5 points

Exercice 3 5 points

Exercice 4 5 points

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 4 points

Exercice 2 5 points

Exercice 3 5 points

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Exercice 2 7 points
Thèmes : suites, fonctions