Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 30 août 2022

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

  1. On peut utiliser l’arbre suivant :
    $\quad$
    On a alors :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,9 \\
    &=0,225\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=0,225+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
    &=0,225+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
    &=0,262~5\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(A)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,225}{0,262~5} \\
    &=\dfrac{6}{7}\\
    &\approx 0,857~1\end{align*}$
    La probabilité que le patient soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques sachant que sont test est positif est environ égale à $0,857~1$.
    $\quad$
  4. a. Les résultats erronés correspondent à :
    – le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est négatif;
    – le patient n’est pas atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est positif.
    Il s’agit donc des événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$.
    $\quad$
    b. Les événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$ sont disjoints donc
    $\begin{align*} P(E)&=P\left(\left(A\cap \conj{T}\right) \cup \left(\conj{A}\cap T\right)\right) \\
    &=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=P(A)\times P_A\left(\conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
    &=\dfrac{1}{4}\times 0,1+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
    &=0,062~5 \end{align*}$
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On réalise $50$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $P(E)=0,062~5$ de façon indépendantes.
    Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=50$ et $p=0,062~5$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P(X=7)&=\dbinom{50}{7} \times 0,0625^7 \times (1-0,062~5)^{43} \\
    &\approx 0,023~2\end{align*}$
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,062~5)^{50} \\
    &\approx 0,960~3\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné est environ égale à $0,960~3$.
    $\quad$
  2. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,062~5$.
    À l’aide de la calculatrice, on constate que pour tout entier $n$ inférieur ou égal à $247$ on a $P(X\pg 10) < 0,95$, avec en particulier $P(X\pg 10) \approx 0,948~6$ si $n=247$.
    On constate également que si $n=248$ alors $P(X\pg 10) \approx 0,950~2$.
    La valeur minimale de la taille de l’échantillon est donc $248$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$ on a $f(x)=-1,9x^2+1,9x$.
    La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1,9<0$ et les racines sont $0$ et $1$. Le sommet a donc pour abscisse $\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
    $\quad$
    b. On a $f(0)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0,475$.
    De plus $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent, pour tout réel $x \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $f(x) \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Il semblerait que la suite soit strictement croissante et converge vers un réel $\ell \approx 0,47$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    Initialisation : On a $u_0=0,1$ et $u_1=0,171$. Donc $0\pp u_0\pp u_1 \pp \dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
    La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
    Soit $0\pp f(0) \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp f\left(\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2}\right)$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $0\pp u_n\pp u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Or :
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi -1,9x^2+1,9x=x\\
    &\ssi -1,9x^2+0,9x=0\\
    &\ssi x(-1,9x+0,9)=0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont donc $0$ et $\dfrac{0,9}{1,9}=\dfrac{9}{19}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,1$. Ainsi, la seule solution possible est $\dfrac{9}{19}$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{9}{19}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ car $-1<\dfrac{1}{2}<1$.
    De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
    Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$. Donc pour tout réel $\alpha>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, on ait $0\pp u_n\pp x$.
    C’est en particulier vrai, pour $x=10^{-p}$ où $p\in \N$.
    Cela explique pourquoi la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x-2\ln(x)\times 1}{x^2} \\
    &=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}\end{align*}$.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} g(\e)&=\dfrac{2\ln(\e)}{\e} \\
    &=\dfrac{2\times 1}{\e} \\
    &=\dfrac{2}{\e}\end{align*}$.
    $\quad$
    b. $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln(x)$.
    Or $2-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-2 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    c. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
    Par produit, $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ et s’annule en $1$. Par conséquent $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;\e[$.
    La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\pg \e$ on a $g(x)>0$.
    On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    $\quad$

Partie 2

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a donc, pour tout réel $x>0$ :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\times \dfrac{1}{x} \times \left(\ln(x)\right)^{2-1} \\
    &=\dfrac{2\ln(x)}{x} \\
    &=g(x)\end{align*}$
    Ainsi $f$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. D’après la partie 1 on sait que, pour tout réel $x>0$ on a $g$ est strictement croissante sur $]0;+\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
    Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
    Ainsi, $f$ est convexe sur $]0;\e]$ et concave sur $[\e;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après la partie 1, $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.
    Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
    Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$ est $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
    Or $f'(\e)=g(\e)=\dfrac{2}{\e}$ et $f(\e)=1$.
    Ainsi, une équation de cette tangente est $y=\dfrac{2}{\e}(x-\e)+1$ soit $y=\dfrac{2}{\e}x-1$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est convexe sur $]0;\e]$. Sa courbe représentative est donc située au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle.
    Ainsi, pour tout $x\in]0;\e]$ on a $\left(\ln(x)\right)^2\pg \dfrac{2}{\e}x-1$.
    $\quad$

 

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
    $\quad$
    b. $\vect{CF}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CI}\begin{pmatrix}-1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]1\end{pmatrix}$ sont deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(CFI)$.
    De plus :
    $\vect{CF}.\vec{n}=0-2+2=0$ et $\vect{CI}.\vec{n}=-1-1+2=0$.
    Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFI)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
    Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Donc $1+2+0+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc $x+2y+2z-3=0$.
    $\quad$
  2. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
    Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Montrons que le point $K$ appartient à la fois au plan $(CFI)$ et à la droite $d$.
    $\dfrac{7}{9}+2\times \dfrac{5}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : $K$ appartient au plan $(CFI)$.
    En prenant $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\[2mm] y=\dfrac{5}{9}\\[2mm]z=\dfrac{5}{9}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à $d$.
    La droite $d$ passe par le point $G$ et est orthogonale au plan $(CFI)$.
    Par conséquent $K\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. La distance cherchée est égale à $GK$. Or $\vect{GK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}} \\
    &=\dfrac{6}{9} \\
    &=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. L’aire du triangle $CFG$ rectangle en $G$ est $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}$ u.a.
    La hauteur de la pyramide $CFGI$ relative au somme $I$ est $[IJ]$ où $J$ est le milieu de $[FG]$ et mesure donc $1$ u.
    Ainsi le volume de cette pyramide est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IJ \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\\
    &=\dfrac{1}{6} \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
    b. On appelle $\mathscr{A}’$ l’aire du triangle $CFI$.
    On a donc
    $\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}’\times GK \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{1}{2GK} \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{3}{4}$ u.a.
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1     7 points
Thème : probabilités

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les autres non.
Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d’un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

  • lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test est positif dans $90 \%$ des cas ;
  • lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test est négatif dans $95 \%$ des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies à $10{-4}$ près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.
On considère les événements suivants :

  • $A$ : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques » ;
  • $T$ : « le test est positif » ;
  • $\conj{A}$et $\conj{T}$ sont respectivement les événements contraires de $A$ et $T$.
  1. Calculer $P(A\cap T)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(T) = 0,262~5$.
    $\quad$
  3. On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.
    $\quad$
  4. a. Parmi les événements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : $A\cap T$, $\conj{A}\cap T$, $A\cap \conj{T}$, $\conj{A}\cap \conj{T}$.
    $\quad$
    b. On définit l’événement $E$ : « le test fournit un résultat erroné ».
    Démontrer que $P(E) = 0,062~5$.
    $\quad$

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de $n$ patients qui ont été testés.
On admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

  1. On suppose que $n = 50$.
    a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = 0,062~5$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(X=7)$.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné.
    $\quad$
  2. Quelle valeur minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que $P(X\pg 10)$ soit supérieure à $0,95$ ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points
Thème : suites, fonctions

Soit $k$ un nombre réel.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=ku_n\left(1-u_n\right)$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $\boldsymbol{k}$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,9u_n\left(1-u_n\right)$.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 1,9x(1-x)$.
    a. Etudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
    $\quad$
    b. En déduire que si $x\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $f(x)\in  \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  2. Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d’équation $y=x$.
    Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.
    $\quad$

    $\quad$
  3. a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
    c. Déterminer sa limite.
    $\quad$

Partie 2

Dans cette partie, $k=\dfrac{1}{2}$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n\left(1-u_n\right)$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ ∶ $0\pp u_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

  1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
    $\quad$
  2. On considère la fonction Python $\texttt{algo(p)}$ où $\texttt{p}$ désigne un entier naturel non nul :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo(p) :}\\
    \quad \text{u = 1/4}\\
    \quad \text{ n = 0}\\
    \quad \text{while u > 10**(-p):}\\
    \qquad \text{u = 1/2*u*(1-u)}\\
    \qquad \text{n = n+1} \\
    \quad \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul $\texttt{p}$, la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande $\texttt{algo(p)}$ de renvoyer une valeur.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points
Thème : fonctions

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$g(x) =
\dfrac{2\ln(x)}{x}$$

  1. On note $g’$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$g'(x)=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  2. On dispose de ce tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ :
    $\quad$

    $\quad$
    Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :
    a. la valeur $\dfrac{2}{\e}$;
    $\quad$
    b. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;
    $\quad$
    c. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
  3. En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\ln(x)\right)^2$.
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

  1. Démontrer que sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.
    $\quad$
  2. À l’aide de la partie 1, étudier :
    a. la convexité de la fonction $f$ ;
    $\quad$
    b. les variations de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
    $\quad$
    b. En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0 ; \e]$ : $$\left(\ln(x)\right)^2 \pg \dfrac{2}{\e}x-1$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle $CFI$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ et on admet que le point $I$ a pour coordonnées $\left(0 ;\dfrac{1}{2};1\right)$ dans ce repère.
$\quad$

$\quad$

  1. a. Donner sans justifier les coordonnées des points $C$, $F$ et $G$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est : $x+2y+2z-3=0$.
    $\quad$
  2. On note $d$ la droite passant par $G$ et orthogonale au plan $(CFI)$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
    $\quad$
    b. Démontrer que le point $K \left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le
    plan $(CFI)$.
    $\quad$
    c. Déduire des questions précédentes que la distance du point $G$ au plan $(CFI)$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
  3. On considère la pyramide $GCFI$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times b\times h$, $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
    a. Démontrer que le volume de la pyramide $GCFI$ est égal à $\dfrac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.
    $\quad$
    b. En déduire l’aire du triangle $CFI$, en unité d’aire.
    $\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 12 mai 2022

Centres étrangers – 12 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
    &=\dfrac{(1-x)\e^x}{\e^{2x}} \\
    &=\dfrac{1-x}{\e^x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. La fonction $f\dsec$ semble donc strictement positive sur $]-3;-1[$ et strictement négative sur $]-1;1[$.
    La fonction $f’$ semble donc croissante sur $[-3;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;1]$.
    Ainsi $f’$ admet un maximum en $x=-1$.
    Réponse D
    $\quad$
  3. On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$.
    Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$
    $\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}+\left(x^2+1\right)\times (-2x)\e^{-x^2}\right)\\
    &=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}-2x^3\e^{-x^2}-2x\e^{-x^2}\right) \\
    &=-\dfrac{1}{2}\times \left(-2x^3\right) \e^{-x^2}\\
    &=f(x)\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}{\e^x\left(1-\e^{-x}\right)} \\
    &=\dfrac{1+\e^{-x}}{1-\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}=1$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+K$
    $\begin{align*} F(0)=1&\ssi \dfrac{1}{2}\e+K=1 \\
    &\ssi K=1-\dfrac{1}{2}\e\end{align*}$
    Donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+1-\dfrac{1}{2}\e$.
    Réponse C
    $\quad$
  6. La fonction $f$ semble concave sur $[-2;1]$ et convexe sur $[1;4]$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est négatif sur $[-2;1]$ et positif sur $[1;4]$ en ne s’annulant qu’en $1$.
    Réponse A
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    $\quad$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ strictement positif,
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\ln(x)+1\end{align*}$
    $\quad$
    b. $\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
    $\ln(x)+1>0\ssi \ln(x)>-1 \ssi x>\e^{-1}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    c. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
    Donc pour tout $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) <1$.
    $f(1)=1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
    Donc pour tout $x\in \left[\e^{-1};1\right[$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) < 1$.
    Ainsi, pour tout $x\in [0;1]$ on a $0<f(x)<1$.
    $\quad$
  3. a. $f'(1)=1$ et $f(1)=1$
    Une équation de $(T)$ est donc $y=1\times (x-1)+1$ soit $y=x$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
    La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. La courbe $C_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes en particulier au-dessus de $T$.
    Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\pg x$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<1$.
    Initialisation : $u_0\in ]0;1[$ par définition. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a $0<u_n<1$ donc, d’après la question 2.c., $0<f\left(u_n\right)<1$ soit $0<u_{n+1}<1$.
    $P(n+1)$ est donc vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<1$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$
    D’après la question 3.c. on a $f\left(u_n\right)\pg u_n$ soit $u_{n+1}\pg u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(un\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle est donc convergente.
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$
    $A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
    $\begin{align*} \vect{AD}=x\vect{AB}+y\vect{AC}&\ssi \begin{cases} 3x+3y&=-3\\3x&=6\\3x-3y&=-3\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x+y&=-3\\x&=2\\x-y&=-1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=-5\\y=3\end{cases}\end{align*}$
    Les deux dernières lignes du système sont incompatibles.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont donc pas coplanaires.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=3\times 3+3\times 0+3\times (-3) \\
    &=9+0-9\\
    &=0\end{align*}$
    Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AB}&=-3\times 3+6\times 3+(-3)\times 3 \\
    &=-9+18-9 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=-3\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3) \\
    &=-9+0+9 \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{AD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils sont orthogonaux d’après la question précédente) du plan $(ABC)$.
    La droite $(AD)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{9+36+9} \\
    &=\sqrt{54}\end{align*}$
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{3^2+3^2+3^2} \\
    &=\sqrt{9+9+9} \\
    &=\sqrt{27}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} \\
    &=\sqrt{9+0+9} \\
    &=\sqrt{18}\end{align*}$
    L’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{18}}{2}\\
    &=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
    Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times AD\times \mathscr{A} \\
    &=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{54}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\\
    &=27\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$, $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{BH}=\alpha\vect{BC}+\beta\vect{BD}&\ssi \begin{cases} -6\beta&=-1 \\
    -3\alpha+3\beta&=-1\\
    -6\alpha-6\beta&=-4\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} \beta=\dfrac{1}{6}\\\alpha=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $\vect{BH}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{6}\vect{BD}$.
    $\quad$
    b. $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BC}&=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6) \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BD}&=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6) \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{AH}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
    C’est donc un vecteur normal à ce plan.
    D’après la question précédente, $H$ appartient au plan $(BCD)$.
    Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{9} \\
    &=3\end{align*}$
    La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $3$ unités de longueur.
    $\quad$
  4. On note $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $BCD$.
    $\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h&\ssi 27=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times 3\\
    &\ssi \mathscr{A}=27\end{align*}$
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On appelle :
    $\bullet ~~N_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est noir » ;
    $\bullet ~~B_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est blanc ».
    On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $ \quad$
    $\quad$
    b. La probabilité de perdre $9$ € sur une partie est égale à :
    $\begin{align*} P\left(B_1\cap B_2\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(B_2\right) \\
    &=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \\
    &=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton noir vaut $\dfrac{N}{N+3}$ et la probabilité de tirer un jeton blanc vaut $\dfrac{3}{N+3}$.
    La probabilité de tirer deux jetons blancs est égale à $\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2$.
    La probabilité de tirer deux jetons noirs est égale à $\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2$.
    Par conséquent la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est égale à :
    $\begin{align*} p&=1-\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2-\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\
    &=1-\dfrac{9}{(N+3)^2}-\dfrac{N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{(N+3)^2-9-N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{N^2+6N+9-9-N^2}{(N+3)^2} \\
    &=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{align*}$
    On obtient ainsi la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x&-9&-1&5\\
    \hline
    P(X=x)&\dfrac{9}{(N+3)^2}&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&\dfrac{6N}{(N+3)^2}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
    b. Le discriminant de $-x^2+30x-81$ est $\Delta=576>0$.
    Les racines de $-x^2+3x-81$ sont donc $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{-2}=27$ et $x_1=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{-2}=3$.
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-1<0$.
    Par conséquent l’ensemble solution de $-x^2+3x-81>0$ est $]3;27[$.
    $\quad$
    c. Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l’espérance de $X$ est strictement positive.
    $\begin{align*} E(X)>0&\ssi -9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}>0 \\
    &\ssi -81-N^2+30N>0\end{align*}$
    D’après la question précédente, le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, $N$ est un entier naturel compris entre $4$ et $26$, tous les deux inclus.
    $\quad$
    d. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}$.
    Elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^4} \\
    &=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^3} \\
    &=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}\\
    &=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}\end{align*}$
    $g'(x)$ est donc du signe de $-36x+252$ sur $[0;+\infty[$.
    Or $-36x+252>0\ssi -36x>-252 \ssi x<7$.
    Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;7]$ et strictement décroissante sur $[7;+\infty[$.
    Elle atteint donc son maximum pour $x=7$.
    Or $E(X)=g(N)$ et $7\in [4;26]$.
    Le gain moyen est donc maximal s’il y a $7$ jetons noirs.
    $\quad$
  3. $N=7$ donc $P(X=5)=0,42$.
    On répète $10$ fois de façons indépendantes la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de joueur ayant gagné $5$ euros.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0) \\
    &=1-(1-0,42)^{10} \\
    &=1-0,58^{10}\\
    &\approx 0,996\end{align*}$
    La probabilité d’avoir au moins un joueur gagnant $5$ euros est environ égale à $0,996$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question en rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$$
    On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. $f'(x)=\e^{-x}$
    b. $f'(x)=x\e^{-x}$
    c. $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$
    d. $f'(x)=(1+x)\e^{-x}$
    $\quad$
  2. Soit $f $ une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f\dsec$.
    On peut alors affirmer que :
    a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;1]$
    b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$
    c. La fonction $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[-2;0]$
    d. La fonction $f’$ admet un maximum en $x=-1$
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3\e^{-x^2}$$
    Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
    a. $F(x)=-\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\e^{-x^2}$
    b. $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\e^{-x^2}$
    c. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$
    d. $F(x)=x^2\left(3-2x^2\right)\e^{-x^2}$
    $\quad$
  4. Que vaut  $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$$
    a $-1$
    b. $1$
    c. $+\infty$
    d. N’existe pas
    $\quad$
  5. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$.
    La seule primitive de $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction :
    a. $x\mapsto 2\e^{2x+1}-2\e+1$
    b. $x\mapsto \e^{2x+1}-\e$
    c. $x\mapsto \dfrac{1}{2}\e^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\e+1$
    d. $x\mapsto \e^{x^2+x}$
    $\quad$
  6. Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$.
    Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de $f$?
    a.
    b.
    c. d. $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=x\ln(x)+1$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1+\ln(x)$$
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites.
    $\quad$
    c. Justifier que pour tout $x\in ]0;1[$, $f(x)\in ]0;1[$.
    $\quad$
  3. a. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif $$f(x)\pg x$$
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l’intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
    a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n<1$.
    $\quad$
    b. Déduire de la question 3c la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $Oijk$.

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h$$
où $\mathscr{A}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

  1. Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  2. a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
    $\quad$
  3. On considère le point $H(5;0;1)$.
    a. Montrer qu’il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{BH}=\alpha \vect{BC}+\beta\vect{BD}$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
    $\quad$
    c. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
    $\quad$
  4. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $BCD$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

  • un joueur perd $9$ euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
  • un joueur perd $1$ euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
  • un joueur gagne $5$ euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.
  1. On considère que l’urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs.
    a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.
    $\quad$
  2. On considère maintenant que l’urne contient $3$ jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.
    a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
    Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
    $\quad$
    b. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel : $$-x^2+30x-81>0$$
    $\quad$
    c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’une doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
    $\quad$
    d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal?
    $\quad$
  3. On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que $7$ jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec $3$ jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros?
    $\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 11 mai 2022

Centres étrangers – 11 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. $\quad$
    $\begin{align*} f(x)=2~022 &\ssi \ln\left(1+x^2\right)=2~022\\
    &\ssi 1+x^2=\e^{2~022} \\
    &\ssi x^2=\e^{2~022}-1 \end{align*}$
    Or $\e^{2~022}-1>0$
    Les solutions de l’équation $x^2=\e^{2~022}-1$ sont donc $\sqrt{\e^{2~022}-1}$ et $-\sqrt{\e^{2~022}-1}$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. La fonction $g$ dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-2x \\
    &=\ln(x)+1-2x\end{align*}$
    La fonction $g’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} g\dsec(x)&=\dfrac{1}{x}-2 \\
    &=\dfrac{1-2x}{x}\end{align*}$
    Sur $]0;+\infty[$, $g\dsec(x)$ ne dépend que du signe de $1-2x$.
    Or $1-2x>0\ssi -2x>-1 \ssi x<\dfrac{1}{2}$ et $1-2x=0 \ssi x=\dfrac{1}{2}$.
    Ainsi $g\dsec(x)$ s’annule en changeant de signes qu’une seule fois pour $x=\dfrac{1}{2}$.
    La courbe $C_g$ admet donc exactement un point d’inflexion sur $]0;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x\in ]-1;1[$ on a $f(x)=-\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-2x}{1-x^2}$
    On reconnaît une dérivée de la forme $\dfrac{u’}{u}$ dont une primitive est $\ln(u)$ avec $u(x)=1-x^2$.
    Une primitive de $f$ est donc la fonction $g$ définie sur $]-1;1[$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$.
    Réponse A
    $\quad$
  4. La fonction $\ln$ est définie sur $]0;+\infty[$.
    $-x^2-x+6$ a pour discriminant $\Delta = 25>0$.
    Les solutions de l’équation $-x^2-x+6=0$ sont $x_1=2$ et $x_2=-3$.
    Le coefficient principal est $a=-1<0$.
    Ainsi $-x^2-x+6>0$ sur $]-3;2[$.
    Réponse A
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $]0,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in ]0,5;+\infty[$ on a $f'(x)=-2x-4+\dfrac{6}{2x-1}$
    Par conséquent $f'(1)=4$ et $f(1)=-3$.
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est $y=4(x-1)-3$ soit $y=4x-7$.
    Réponse A
    $\quad$
    Remarque : On pouvait se contenter de calculer $f'(1)$ car tous les coefficients directeurs fournis sont différents les uns des autres. Le reste du calcul permet de vérifier que l’ordonnée à l’origine est bien égale à ce qui est proposé.
     $\quad$
  6. $x+3>0\ssi x>-3$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
    L’inégalité n’est donc définie que sur $]-1;+\infty[$.
    $\begin{align*} \ln(x+3)<2\ln(x+1)&\Rightarrow \ln(x+3) <\ln\left((x+1)^2\right) \\
    &\Rightarrow x+3<(x+1)^2 \\
    &\Rightarrow x+3<x^2+2x+1\\
    &\Rightarrow x^2+x-2>0\end{align*}$
    Le discriminant est $\Delta=9>0$.
    Les solutions de $x^2+x-2=0$ sont donc $-2$ et $1$.
    Le coefficient principal est $a=1>0$ donc $x^2+x-2>0$ sur $]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$.
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathscr{S}&=]-1;+\infty[ \cap \left(]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[\right) \\
    &=]1;+\infty[\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. Calcul d’un angle
    a.
    On a $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
    $\dfrac{-3}{-2}=1,5$ et $\dfrac{-1}{2}=-0,5$. Or $1,5\neq -0,5$.
    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2} \\
    &=\sqrt{12} \\
    &=2\sqrt{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{11}\end{align*}$
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times (-3)+2\times (-1)+(-2)\times (-1) \\
    &=6\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right) &\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{\vect{AB}.\vect{AC}}{AB\times AC} \\
    &\ssi \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{6}{2\sqrt{3}\times \sqrt{11}} \\
    &=\dfrac{3}{\sqrt{33}}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 58,5$°
    $\quad$
  2. Calcul d’une aire
    a.
    $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal au plan $P$
    Une équation de $P$ est donc de la forme $-2x+2y-2z+d=0$.
    $C(-1;-1;2)$ appartient à $P$. Donc $2-2-4+d=0 \ssi d=4$.
    Une équation cartésienne de $P$ est $-2x+2y-2z+4=0$ ou encore $-x+y-z+2=0$.
    $\quad$
    b. Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\end{cases}$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*}\begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-x+y-z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-(2-2t)+2t-(3-2t)+2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\-2+2t+2t-3+2t+2=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=2-2t\\y=2t\\z=3-2t\\6t =3\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{1}{2}\\x=1\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$
    Le point $E$ a donc pour coordonnées $(1;1;2)$.
    $\quad$
    d. L’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &=\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times \sqrt{11}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &=\sqrt{33}\times \sin\left(\widehat{ABC}\right)\\
    &=2\sqrt{6}\\
    &\approx 4,899\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : Pour calculer la valeur exacte de $\sin\left(\widehat{ABC}\right)$ on peut utiliser la propriété suivante : pour tout réel $x$, $\sin^2x+\cos^2 x=1$, connaissant la valeur de $\cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{3}{\sqrt{33}}$
    On a donc $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)+\dfrac{9}{33}=1$ soit $\sin^2\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{8}{11}$.
    Or $\sin\left(\widehat{ABC}\right)>0$ (sinon l’aire est négative!) donc $\sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$
    $\quad$
  3. Calcul d’un volume
    a.
    $\vect{AF}(-1;-1;0)$ or $\vect{AB}(-2;2;-2)$ et $\vect{AC}(-3;-1;-1)$.
    Par conséquent (après résolution d’un système éventuellement) $\vect{AF}=-\dfrac{1}{4}\vect{AB}+\dfrac{1}{2}\vect{AC}$.
    Ainsi, les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. $\vect{FD}(2;-2;-4)$.
    $\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AB}&=2\times (-2)-2\times 2-4\times (-2) \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{FD}.\vect{AC}&=2\times (-3)-2\times (-1)-4\times (-1) \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{FD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    c.
    $\begin{align*} FD&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$
    Le volume de $ABCD$ est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times FD\times \mathscr{A} \\
    &=8\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} h(x)=+\infty$
    Pour tout réel $x$, $h(x)=\e^x\left(1-\dfrac{x}{\e^x}\right)$. $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=+\infty$
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a $h'(x)=\e^x-1$.
    Or $\e^x-1=0 \ssi x=0$ et $\e^x-1>0 \ssi x>0$.
    La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;0]$ et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :$\quad$
  3. La fonction $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Donc, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $0\pp a\pp b$ on a $h(a)\pp h(b)$ c’est-à-dire $h(a)-h(b) \pp 0$.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction exponentielle.
    Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x$.
    $f(0)=1$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $T$ est donc $y=x+1$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{n\to +\infty } \dfrac{1}{n}=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \e^x=1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1-\left(\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1\right) \\
    &=\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)+\dfrac{1}{n} \\
    &=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$.
    Donc d’après la question A.3. $h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)\pp 0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. D’après le tableau de valeurs $u_n<10^{-2}$ à partir de $n=8$.
    C’est donc à partir de $n=8$ que l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A&\conj{A}&\text{Total} \\
    \hline
    B&0,05&0,15&0,2\\
    \hline
    \conj{B}&0,05&0,75&0,8 \\
    \hline
    \text{Total}&0,1&0,9&1\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer
    $\begin{align*} P(A\cup B)&=1-P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
    &=1-0,75 \\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour au moins un des deux traitements est donc égale à $0,25$.
    $\quad$
    b. On veut calculer $P(A\cap B)=0,05$.
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour les deux traitements est donc égale à $0,05$.
    $\quad$
    c. $P(A)\times P(B)=0,02$ et $P(A\cap B)=0,05$.
    Donc $P(A)P(B)\neq P(A\cap B)$
    Les événements $A$ et $B$ ne sont pas indépendants.
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(B\cap \conj{A}\right) &=0,15+0,05 \\
    &=0,2\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour un seul des deux traitements est donc égale à $0,2$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,05}{0,1} \\
    &=0,5\end{align*}$
    La probabilité qu’une paire de verres présente un défaut de traitement T2 sachant qu’elle présente un défaut de traitement T1 est égale à $0,5$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète indépendamment $50$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,1$.
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{50}{10}\times 0,1^{10} \times (1-0,1)^{50-10} \\
    &\approx 0,015\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $10$ paires de verres présentent ce défaut dans l’échantillon est environ égale à $0,015$.
    $\quad$
  3. L’espérance de $X$ est $E(X)=50\times 0,1=5$.
    Ainsi, en moyenne, on peut trouver $5$ paires de verres ayant ce défaut dans un échantillon de $50$ paires.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire d choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\ln\left(1+x^2\right)$.
    Sur $\R$, l’équation $f(x)=2~022$
    a. n’admet aucune solution.
    b. admet exactement une solution.
    c. admet exactement deux solutions.
    d. admet une infinité de solutions.
    $\quad$
  2. Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par : $$g(x) = x \ln(x)− x^2$$
    On note $\mathscr{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    a. La fonction $g$ est convexe sur $]0 ; +\infty[$.
    b. La fonction $g$ est concave sur $]0 ; +\infty[$.
    c. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement un point
    d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
    d. La courbe $\mathscr{C}_g$ admet exactement deux
    points d’inflexion sur $]0 ; +\infty[$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-1;1[$ par $$f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}$$
    Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]-1;1[$ par :
    a. $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
    b. $g(x)=\dfrac{1+x^2}{\left(1-x^2\right)^2}$
    c. $g(x)=\dfrac{x^2}{2\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)}$
    d. $g(x)=\dfrac{x^2}{2}\ln\left(1-x^2\right)$
    $\quad$
  4. La fonction $x\mapsto \ln\left(-x^2-x+6\right)$ est définie sur
    a. $]-3;2[$
    b. $]-\infty;6[$
    c. $]0;+\infty[$
    d. $]2;+\infty[$
    $\quad$
  5. On considère la fonction $f$ définie sur $]0,5;+\infty[$ par $$f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)$$
    Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $1$ est :
    a. $y=4x-7$
    b. $y=2x-4$
    c. $y=-3(x-1)+4$
    d. $y=2x-1$
    $\quad$
  6. L’ensemble $\mathscr{S}$ des solutions dans $\R$ de l’inéquation $\ln(x+3)<2\ln(x+1)$ est :
    a. $\mathscr{S}=]-\infty;-2[\cup]1;+\infty[$
    b. $\mathscr{S}=]1;+\infty[$
    c. $\mathscr{S}=\emptyset$
    d. $\mathscr{S}=]-1;1[$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace, rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2;0;3),~B(0;2;1),~C(-1;-1;2) \text{ et } D(3;-3;-1)$$

  1. Calcul d’un angle.
    a.
     Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$ et
    $\vect{AC}$ et en déduire que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
    b. Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
    $\quad$
    c. À l’aide du produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$, déterminer la valeur du cosinus de l’angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.
    $\quad$
  2. Calcul d’une aire.
    a.
    Déterminer une équation du plan $P$ passant par le point $C$ et perpendiculaire à la droite $(AB)$.
    $\quad$
    b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal $E$ du point $C$ sur la droite $(AB)$, c’est-à-dire du point d’intersection de la droite $(AB)$ et du plan $P$.
    $\quad$
    d. Calculer l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. Calcul d’un volume.
    a.
    Soit le point $F(1 ; −1 ; 3)$. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $F$ sont coplanaires.
    $\quad$
    b. Vérifier que la droite $(FD)$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Sachant que le volume d’un tétraèdre est égal au tiers de l’aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : Fonction exponentielle et suite

Partie A :

Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $$h(x)=\e^x-x$$

  1. Déterminer les limites de $h$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    $\quad$
  2. Étudier les variations de $h$ et dresser son tableau de variation.
    $\quad$
  3. En déduire que :
    si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0\pp a\pp b$ alors $h(a)-h(b)\pp 0$.
    $\quad$

Partie B :

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\e^x$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère $\Oij$.

  1. Déterminer une équation de la tangente $T$ à $C_f$ au point d’abscisse $0$.

Dans la suite de l’exercice on s’intéresse à l’écart entre $T$ et $C_f$ au voisinage de $0$. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de $T$ et $C_f$ de même abscisse.

On s’intéresse aux points d’abscisse $\dfrac{1}{n}$, avec $n$ entier naturel non nul.

On considère alors la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par : $$u_n=\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1$$

  1. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $$u_{n+1}-u_n=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)$$
    où $h$ est la fonction définie à la partie A.
    $\quad$
    b. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à $10^{-9}$ des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n &u_n \\ \hline
    1 &0,718281828\\ \hline
    2& 0,148721271\\ \hline
    3& 0,062279092 \\ \hline
    4& 0,034025417\\ \hline
    5& 0,021402758\\ \hline
    6& 0,014693746\\ \hline
    7& 0,010707852\\ \hline
    8& 0,008148453\\ \hline
    9& 0,006407958\\ \hline
    10& 0,005170918\\ \hline
    \end{array}$$
    Donner la plus petite valeur de l’entier naturel $n$ pour laquelle l’écart entre $T$ et $C_f$ semble être inférieur à $10^{-2}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d’une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production.

On désigne par $A$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».

On désigne par $B$ l’évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».

On note respectivement $\conj{A}$ et $\conj{B}$ les évènements contraires de $A$ et $B$.

Une étude a montré que :

  •  la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à $0,1$.
  • la probabilité qu’une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à $0,2$.
  • la probabilité qu’une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est $0,75$.
  1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &A&\conj{A}&\text{Total} \\
    \hline
    B&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    \conj{B}&\phantom{123}&\phantom{123}&\phantom{123}\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{123}&\phantom{123}&1\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
    $\quad$
    b. Donner la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
    $\quad$
    c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité qu’une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.
    $\quad$

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de $50$ paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
  2. Donner l’expression permettant de calculer la probabilité d’avoir, dans un tel échantillon, exactement $10$ paires de verres qui présentent ce défaut.
    Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$
  3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de $50$ paires ?
    $\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 mai 2022

Métropole – 11 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A : Étude du premier protocole

  1. a. Pour tout $t\in[0;10]$ on a
    $\begin{align*} f'(t)&=3\e^{-0,5t+1}+3t\times (-0,5)\e^{-0,5t+1} \\
    &=3(-0,5t+1)\e^{-0,5t+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(t)$ ne dépend donc que de celui de $-0,5t+1$.
    Or $-0,5t+1=0 \ssi -0,5t=-1 \ssi t=2$
    et $-0,5t+1>0 \ssi -0,5t>-1 \ssi t<2$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
    c. D’après le tableau de variations, la fonction $f$ atteint son maximum pour $t=2$ et celui-ci vaut $f(2)=6$.
    La quantité de médicament présente dans le sang est donc maximale au bout de $2$ h et elle vaut alors $6$ mg.
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[0;2]$.
    De plus, $f(0)=0<5$ et $f(2)=6>5$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=5$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0;2]$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx 1,02$.
    $\quad$
    b. $\beta-\alpha \approx 2,44$. Le médicament est donc efficace environ $2,44$ heures soit $2$ heures et $26$ minutes.
    $\quad$

Partie B : Étude du deuxième protocole

  1. La quantité de médicament baisse de $30\%$ au bout d’une heure. Il en reste donc $70\%$ soit $0,7u_0=1,4$.
    On réinjecte $1,8$ mg
    Donc $u_1=1,4+1,8=3,2$.
    Après l’injection de la première heure, il y a donc $3,2$ mg de médicament dans le sang.
    $\quad$
  2. La quantité de médicament baisse de $30\%$ en une heure. Il est donc $70\%$ soit $0,7u_n$.
    On réinjecte $1,8$ mg.
    Donc, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~u_b \pp u_{n+1} <6$.
    Initialisation : $u_0=2$ et $u_1=3,2$. Donc $u_0\pp u_1<6$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <6 &\ssi 0,7u_n \pp 0,7u_{n+1} < 4,2 \\
    &\ssi 0,7u_n+1,8 \pp 0,7u_{n+1}+1,8<6 \\
    &\ssi u_{n+1} \pp u_{n+2}<6\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1} <6$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $6$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=0,7x+1,8$.
    La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
    Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $g(x)=x$
    $\begin{align*} 0,7x+1,8=x&\ssi 0,3x=1,8 \\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    Donc $\ell=6$.
    Sur le long terme, le patient aura $6$ mg de médicament dans le sang.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=6-u_{n+1} \\
    &=6-0,7u_n-1,8 \\
    &=4,2-0,7u_n \\
    &=0,7\left(6-u_n\right)\\
    &=0,7v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0=4$.
    $\quad$
    b. On a donc, pour tout $n\in \N$, $v_n=4\times 0,7^n$.
    Par conséquent $u_n=6-v_n=6-4\times 0,7^n$.
    $\quad$
    c. $\quad$
    $\begin{align*} u_n\pg 5,5&\ssi 6-4\times 0,7^n \pg 5,5 \\
    &\ssi -4\times 0,7^n \pg 0,5 \\
    &\ssi 0,7^n \pp 0,125 \\
    &\ssi n\ln(0,7) \pp \ln(0,125) \\
    &\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)} \qquad \text{car } \ln(0,7)<0\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\approx 5,8$. Par conséquent $n\pg 6$.
    Il faudra donc réaliser $7$ injections (l’injection initiale plus les $6$ autres).
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $\vec{u}(2;-1;2)$.
    $\quad$
    b. Si $t=-1$ alors $x=-1$, $y=3$ et $z=0$ donc $B(-1;3;0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. $\vect{AB}(0;2;-3)$.
    Donc
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vec{u}&=0\times 2+2\times (-1)+2\times (-3) \\
    &=-8\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. $\vec{u}$ est donc un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
    Une équation cartésienne de ce plan est par conséquent de la forme : $2x-y+2z+d=0$.
    Or $A(-1;1;3)$ appartient à $\mathscr{P}$.
    Donc $-2-1+6+d=0\ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne de $\mathscr{P}$ est $2x-y+2z-3=0$.
    $\quad$
    b. $2\times \dfrac{7}{9}-\dfrac{19}{9}+2\times \dfrac{16}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à $\mathscr{P}$.
    $1+2t=\dfrac{7}{9}\ssi 2t=\dfrac{-2}{9}\ssi t=\dfrac{-1}{9}$.
    En prenant $t=-\dfrac{1}{9}$ dans l’équation de $\mathscr{D}$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\y=\dfrac{19}{9}\\z=\dfrac{16}{9}\end{cases}$ donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à $\mathscr{D}$.
    Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
    $\quad$
    le point de coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$
    c. $\vect{AH}\left(\dfrac{16}{9};\dfrac{10}{9};-\dfrac{11}{9}\right)$
    Donc
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(\dfrac{-11}{9}\right)^2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{477}}{9} \\
    &=\dfrac{\sqrt{53}}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $(HB)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$. Par conséquent $\vect{HB}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires.
    Il existe donc un réel $k$ tel que $\vect{HB}=k\vec{u}$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vec{u}&=\left(\vect{AH}+\vect{HB}\right).\vec{u} \\
    &= \vect{AH}.\vec{u}+ \vect{HB}.\vec{u} \\
    &=0+k\vec{u}.\vec{u} \\
    &=k\left\|\vec{u}\right\|^2\end{align*}$
    Ainsi $k=\dfrac{\vect{AB}.\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
    $\quad$
    c. On a $\left\|\vec{u}\right\|^2=2^2+(-1)^2+2^2=9$.
    Ainsi $k=-\dfrac{8}{9}$
    $\quad$
    Soit $H(x;y;z)$
    $\vect{HB}(-1-x;3-x;-z)$.
    $\begin{align*} \vect{HB}=-\dfrac{8}{9}\vec{u}&\ssi \begin{cases} 1-x=-\dfrac{8}{9}\times 2\\3-y=-\dfrac{8}{9}\times (-1)\\-z=-\dfrac{8}{9}\times 2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\y=\dfrac{19}{9}\\z=\dfrac{16}{9}\end{cases}\end{align*}$
    On retrouve donc les coordonnées du point $H$ trouvées à la question 2.b.
    $\quad$
  4. $\vect{BH}\left(\dfrac{16}{9};\dfrac{-8}{9};\dfrac{16}{9}\right)$
    Donc
    $\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{-8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2} \\
    &=\dfrac{8}{3}\end{align*}$
    On appelle $\mathscr{B}$ l’aire du triangle $ACH$.
    $\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times BH\times \mathscr{B} &\ssi \dfrac{8}{9}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{8}{3}\times \mathscr{B} \\
    &\ssi \mathscr{B}=1\end{align*}$
    L’aire du triangle $ACH$ vaut $1$ unité d’aire.
    $\quad$

 

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. D’après l’énoncé $P(S)=0,25$.
    $\quad$
    b. On obtient l’arbre suivant :
    $\quad$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} P(F\cap S)&=P(F)\times P_F(S) \\
    &=0,52\times 0,4\\
    &=0,208\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
    $\quad$
    d. On veut calculer
    $\begin{align*} P_F(S)&=\dfrac{P(S\cap F)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,208}{0,25} \\
    &=0,832\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée soit une femme sachant qu’elle a suivi le stage est égale à $0,832$.
    $\quad$
    e. $\left(F,\conj{F}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales
    $\begin{align*} P(S)=P(S\cap F)+P\left(S\cap \conj{F}\right) &\ssi P\left(S\cap \conj{F}\right)=P(S)-P(S\cap F)\\
    &\ssi P\left(S\cap \conj{F}\right)=0,042\end{align*}$
    Par conséquent
    $\begin{align*} P_F(S)&=\dfrac{P\left(S\cap \conj{F}\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
    &=\dfrac{0,042}{0,48} \\
    &=0,0875 \\
    &<0,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On répète indépendamment $20$ fois  la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de salariés ayant suivi le stage.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,25$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{10}{5}\times 0,25^5\times (1-0,25)^{10-5} \\
    &\approx 0,202\end{align*}$
    La probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage est environ égale à $0,202$.
    $\quad$
    c. Ce programme calcule $P(X\pp k)$.
    D’après la calculatrice $P(X\pp 5) \approx 0,617$.
    Le programme renvoie donc $0,617$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 6)&=1-P(X<6) \\
    &=1-P(X\pp 5) \\
    &\approx 0,383\end{align*}$
    $\quad$
  3. $1,05\times 0,25+1,02\times 0,75=1,0275$.
    Le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise est donc de $2,75\%$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. D’après la limite des termes de plus haut degré
    $\begin{align*} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x)&=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{-2x^2}{x^2} \\
    &=-2\end{align*}$
    La droite d’équation $y=-2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
    Réponse C
    $\quad$
  2. Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}+K$
    $F(0)=1 \ssi \dfrac{1}{2}+K=1 \ssi K=\dfrac{1}{2}$
    Réponse D
    $\quad$
  3. $f’$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $[4;+\infty[$.
    Donc $f$ est convexe sur $]-\infty;4]$ et concave sur $[4;+\infty[$.
    Réponse C
    $\quad$
  4. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)>0$ sur $\R$. $f$ est la dérivée de chacune de ses primitives.
    Réponse A
    $\quad$
  5. Pour tout réel $x$, $f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2}\times \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3x^2}}$.
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty}  \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{3x^2}}=1$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
    Réponse D
    $\quad$
  6. L’équation peut s’écrire $\left(\e^x\right)^2+\e^x-12=0 \ssi \begin{cases} X=\e^x\\X^2+X-12=0\end{cases}$
    $X^2+X-12=0$ a pour discriminant $\Delta=49>0$
    Ses racines sont donc $X_1=-4$ et $X_2=3$.
    Or $\e^x=-4$ n’admet pas de solution et $\e^x=3$ admet une unique solution $x=\ln(3)$.
    Réponse C
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonction exponentielle, suites

Dans le cadre d’un essai clinique, on envisage deux protocoles de traitement d’une maladie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier, pour ces deux protocoles, l’évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d’un patient en fonction du temps.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A : Étude du premier protocole

Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 10]$ par $f(t)=3t\e^{-0,5t+1}$, où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.

  1. a. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 10]$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de $[0; 10]$, on a : $f'(t)=3(-0,5t+1)\e^{-0,5t+1}$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 10]$.
    $\quad$
    c. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale ?
    $\quad$
  2. a. Montrer que l’équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0; 2]$, notée $\alpha$, dont
    on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
    On admet que l’équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l’intervalle $[2; 10]$, notée $\beta$, et qu’une
    valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est $3,46$.
    $\quad$
    b. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5$ mg.
    Déterminer, à la minute près, la durée d’efficacité du  médicament dans le cas de ce protocole.
    $\quad$

Partie B : Étude du deuxième protocole

Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqûre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.

On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu’il est ensuite progressivement éliminé.

On estime que lorsqu’une heure s’est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de $30 \%$ par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.

On modélise cette situation à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la $n$-ème heure. On a donc $u_0=2$.

  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$ de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l’injection de la première heure.
    $\quad$
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$.
    $\quad$
  3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \pp u_{n+1} <6$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=6-u_n$.
    a. Montrer que la suite $\left(v_bn\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à $5,5$ mg.
    Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d’injections réalisées en appliquant ce protocole.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$ on considère :

  • Le point $A$ de coordonnées $(-1;1;3)$;
  • La droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\end{cases} \quad ,t\in \R$.

On admet que le point $A$ n’appartient pas à la droite $\mathscr{D}$.

  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le point $B(-1; 3; 0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$.
    $\quad$
    c. Calculer le produit scalaire $\vect{AB}.\vec{u}$.
    $\quad$
  2. On note $\mathscr{P}$ le plan passant par le point $A$ et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$, et on appelle $H$ le point d’intersection du plan $\mathscr{P}$ et de la droite $\mathscr{D}$. Ainsi, $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur la droite $\mathscr{D}$.
    a. Montrer que le plan $\mathscr{P}$ admet pour équation cartésienne : $2x-y+2z-3=0$.
    $\quad$
    b. En déduire que le point $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{19}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
    $\quad$
    c. Calculer la longueur $AH$. On donnera une valeur exacte.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on se propose de retrouver les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\mathscr{D}$, par une autre méthode.On rappelle que le point $B(-1; 3; 0)$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et que le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$.
    a. Justifier qu’il existe un nombre réel $k$ tel que $\vect{HB}=k\vec{u}$.
    $\quad$
    b. Montrer que $k=\dfrac{\vect{AB}.\vec{u}}{\left\|\vec{u}\right\|^2}$.
    $\quad$
    c. Calculer la valeur du nombre réel $k$ et retrouver les coordonnées du point $H$.
    $\quad$
  4. On considère un point $C$ appartenant au plan $\mathscr{P}$ tel que le volume du tétraèdre $ABCH$ soit égal à $\dfrac{8}{9}$.
    Calculer l’aire du triangle $ACH$.
    On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : probabilités

Le directeur d’une grande entreprise a proposé à l’ensemble de ses salariés un stage de formation à l’utilisation d’un nouveau logiciel.

Ce stage a été suivi par $25 \%$ des salariés.

  1. Dans cette entreprise, $52 \%$ des salariés sont des femmes, parmi lesquelles $40 \%$ ont suivi le stage.
    On interroge au hasard un salarié de l’entreprise et on considère les événements :
    $\bullet$ $F$ : « le salarié interrogé est une femme »,
    $\bullet$ $S$ : « le salarié interrogé a suivi le stage ».
    $\conj{F}$ et $\conj{S}$ désignent les événements contraires des événements $F$ et $S$.
    a. Donner la probabilité de l’événement $S$.
    $\quad$
    b. Recopier et compléter les pointillés de l’arbre pondéré ci-dessous sur les quatre branches indiquées.$\quad$
    c. Démontrer que la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à $0,208$.
    $\quad$
    d. On sait que la personne interrogée a suivi le stage. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
    $\quad$
    e. Le directeur affirme que, parmi les hommes salariés de l’entreprise, moins de $10 \%$ ont suivi le stage.
    Justifier l’affirmation du directeur.
    $\quad$
  2. On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $20$ salariés de cette entreprise choisis au hasard associe le nombre de salariés de cet échantillon ayant suivi le stage. On suppose que l’effectif des salariés de l’entreprise est suffisamment important pour assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    a. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    b. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que $5$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
    $\quad$
    c. Le programme ci-dessous, écrit en langage Python, utilise la fonction $\texttt{binomiale(i,n,p)}$ créée pour l’occasion qui renvoie la valeur de la probabilité $P(X=i)$ dans le cas où la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
    $\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def proba}\text{(k):}\\
    \quad \text{P = 0}\\
    \quad \text{for i in range(0 , k + 1):}\\
    \qquad \text{P = P + binomiale(i,20,0.25)}\\
    \quad \textbf{return P}\\
    \hline
    \end{array}$
    Déterminer, à $10^{-3}$ près, la valeur renvoyée par ce programme lorsque l’on saisit $\texttt{proba(5)}$ dans la console Python. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    d. Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité qu’au  moins $6$ salariés dans un échantillon de $20$ aient suivi le stage.
    $\quad$
  3. Cette question est indépendante des questions 1 et 2.
    Pour inciter les salariés à suivre le stage, l’entreprise avait décidé d’augmenter les salaires des salariés ayant suivi le stage de $5\%$, contre $2\%$ d’augmentation pour les salariés n’ayant pas suivi le stage.
    Quel est le pourcentage moyen d’augmentation des salaires de cette entreprise dans ces conditions ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thème : fonctions numériques

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est  demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Les six questions sont indépendantes.

  1. La courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}$ admet pour asymptote la droite d’équation :
    a. $x=-2$;
    b. $y=-1$;
    c. $y=-2$;
    d. $y=0$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2}$.
    La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ qui vérifie $F(0)=1$ est définie par :
    a. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^{x^2}$;
    b. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}$;
    c. $F(x)=\left(1+2x^2\right)\e^{x^2}$;
    d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2}+\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathscr{C}_{f’}$ de la fonction dérivée $f’$ d’une fonction $f$ définie sur ℝ.
    On peut affirmer que la fonction $f$ est :
    a. concave sur $]0; +\infty[$ ;
    b. convexe sur $]0; +\infty[$ ;
    c. convexe sur $[0; 2]$ ;
    d. convexe sur $[2; +\infty[$.
    $\quad$
  4. Parmi les primitives de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^{-x^2}+2$:
    a. toutes sont croissantes sur $\R$ ;
    b. toutes sont décroissantes sur $\R$ ;
    c. certaines sont croissantes sur $\R$ et d’autres décroissantes sur $\R$ ;
    d. toutes sont croissantes sur $]−\infty; 0]$ et décroissantes sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. La limite en $+\infty$ de la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2\ln(x)}{3x^2+1}$ est égale à :
    a. $\dfrac{2}{3}$ ;
    b. $+\infty$ ;
    c. $-\infty$ ;
    d. $0$.
    $\quad$
  6. L’équation $\e^{2x}+\e^x-12=0$ admet dans $\R$ :
    a. trois solutions ;
    b. deux solutions ;
    c. une seule solution ;
    d. aucune solution.
    $\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 5 mai 2022

Polynésie – 5 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives

  1. Pour tout $x\in ]0;+\infty[$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $g(x)=x^2-x^2\ln(x)$
    Or $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x^2\ln(x)=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(x^2-0,9x-0,1\right)$
    $f(x)=0\ssi x=0$ ou $x^2-0,9x-0,1=0$.
    Le discriminant de $x^2-0,9x-0,1$ est $\Delta=(-0,9)^2-4\times \times 1\times (-0,1)=1,21>0$.
    L’équation $x^2-0,9x-0,1=0$ possède donc deux solutions distinctes. $0$ n’est pas solution de cette équation.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions.
    Réponse d
    $\quad$
  4. On considère la fonction $K$ définie sur $\R$ par $K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)$
    La fonction $K$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} K'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2H'(2x)\\
    &=H'(2x) \\
    &=h(2x)\\
    &=k(x)\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
    &=(1+x)\e^x\end{align*}$
    Donc $f'(1)=2\e$.
    De plus $f(1)=\e$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ est donc $y=2\e(x-1)+\e$
    Soit $y=2\e x-\e$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} (0,2)^n<0,001&\ssi n\ln(0,2)<\ln(0,001) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\qquad \text{(car $\ln(0,2)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\approx 4,29$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $5$.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     7 points

Thème : probabilités

Partie 1

  1. On a $P(C)=0,2$ et $P_C(D)=0,1$
    Donc
    $\begin{align*} P(C\cap D)&=P(C)\times P_C(D) \\
    &=0,2\times 0,1\\
    &=0,02\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(C,\conj{C}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P\left(\conj{C}\cap D\right) \\
    &=0,02+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(D) \\
    &=0,02+0,8\times 0,02 \\
    &=0,036\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P_D(C)&=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,036} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    La probabilité que le casque soit contrefait sachant qu’il a un défaut est égale à $\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On répète $35$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. $X$ est égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{35}{1}\times 0,036^1\times (1-0,036)^{35-1} \\
    &=35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,362\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés exactement un casque présentant un défaut de conception est environ égale à $0,362$.
    $\quad$
    c. 
    $\begin{align*}P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
    &=0,964^{35}+35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,639\end{align*}$
    $\quad$
  2. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,036$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,01  \\
    &\ssi 0,964^n <0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,964)<\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \qquad \text{(car $\ln(0,964)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \approx 125,6$.
    Il faut donc commander au moins $126$ casques pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3     7 points

Thème : suites, fonctions

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_1&=0,008u_1\left(200-u_1\right) \\
    &=0,008\times 40(200-40)\\
    &=51,2\end{align*}$
    Selon ce modèle il y avait environ $52$ oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=x&\ssi 0,008x(200-x)=x \\
    &\ssi 0,008x(200-x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,008(200-x)-1\right)=0 \\
    &\ssi x(1,6-0,008x-1)=0 \\
    &\ssi (0,6-0,008x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-0,008x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{0,008} \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=75 \end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont donc $0$ et $75$.
    $\quad$
  3. a. Il y a au moins deux méthodes pour répondre à la question :
    – étudier le signe de $f'(x)$;
    – utiliser les propriétés sur les variations des fonctions polynômes du second degré (ce qui va être fait ici)
    Pour tout réel $x$ on a
    $f(x)=-0,008x^2+1,6x$
    Le coefficient principal est $a=-0,008<0$.
    Ainsi $f$ admet un maximum au point d’abscisse $\dfrac{-1,6}{2\times (-0,008)} =100$.
    La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;100]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,008u_n\left(200-u_n\right)$
    Donc $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1}\pp 100$.
    Initialisation : $u_0=40$ et $u_1=51,2$. Or $0\pp 40\pp 51,2\pp 100$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;100]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(100)$
    Soit $0\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 80\pp 100$. $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $100$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est continue sur $[0;100]$.
    Donc $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution est $75$ d’après la question 2.
    Ainsi $\ell=75$.
    Cela signifie que sur le long terme la colonie comptera $75$ individus.
    $\quad$
  4. La fonction renvoie l’année où la population dépasse la valeur $p$ envoyée en paramètre.
    La suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $75$. Elle ne peut donc pas prendre de valeurs supérieures à $100$.
    Cela explique donc pourquoi $\texttt{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur.
    Remarque : On se retrouve dans une boucle infinie!
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     7 points

Thème : géométrie dans le plan et l’espace

Partie 1. Première méthode

  1. On a $A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
    $\quad$
  2. $\vect{BK}\left(-1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\vect{AI}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$ et $\vect{AG}(1;1;1)$.
    Les vecteurs $\vect{AI}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas colinéaires.
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AI}&=-1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AG}&=-1\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{BK}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AIG)$.
    Par conséquent la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. $-2\vect{BK}(2;-1;-1)$ est normal au plan $(AIG)$.
    Une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$.
    Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(BK)$ est :
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=-t\end{cases} \qquad ,\forall t\in \R$.
    Remarque : plutôt que de prendre le vecteur $\vect{BK}$ comme vecteur directeur, on peut choisir $2\vect{BK}$ dont les coordonnées sont entières.
    $\quad$
  5. $2\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ donc $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ appartient au plan $(AIG)$.
    En prenant $t=-\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(BK)$ on retrouve les coordonnées du point $L$.
    Ainsi $L$ appartient à la fois à la droite $(BK)$ et au plan $(AIG)$.
    $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $(AIG)$.
    $\quad$
  6. $\vect{BL}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
    $\begin{align*} BL&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{align*}$
    La distance du point $B$ au plan $(AIG)$ est donc égale à $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

  1. a. $ABCDEFGH$ est un cube. L’arête $[FG]$ est perpendiculaire au plan $(ABF)$ auquel appartient le point $I$.
    Donc, dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. L’aire de $AIB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AE\times AB}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    De plus $GF=1$
    Ainsi, le volume de $ABIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times GF\times \mathscr{B} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le triangle $AIG$ est donc isocèle en $I$.
    La hauteur issue de $I$ coupe donc le côté $[AG]$ en son milieu $0$.
    Ainsi $AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Dans le triangle $AOI$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*}AI^2=AO^2+OI^2 &\ssi OI^2=AI^2-AO^2 \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Donc $OI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
    L’aire du triangle $AIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{OI\times AG}{2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $h$ la longueur de la hauteur issue de $B$ dans le tétraèdre $ABIG$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times h\times \mathscr{A} &\ssi
    \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}h\\
    &\ssi h=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}} \\
    &\ssi h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    On retrouve bien la valeur trouvée à la question 6. puisque :
    $\begin{align*} \sqrt{\dfrac{2}{3}}&=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
    $$
    f(x)=x \ln (x)-x+1
    $$
    Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
    a. $\ln (x)$
    b. $\dfrac{1}{x}-1$
    c. $\ln (x)-2$
    d. $\ln (x)-1$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $g(x)=x^2\left[1-\ln (x)\right]$. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte?
    a. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=+\infty$
    b. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=-\infty$
    c. $\lim\limits_{x  \to 0} g(x)=0$
    d. La fonction $g$ n’admet pas de limite en $0$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-0,9 x^2-0,1 x$.
    Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  4. Si $H$ est une primitive d’une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
    a. $K(x)=H(2 x)$
    b. $K(x)=2 H(2 x)$
    c. $K(x)=\dfrac{1}{2} H(2x)$
    d. $K(x)=2 H(x)$
    $\quad$
  5. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=x \e^x$ est :
    a. $y=\e x+\e$
    b. $y=2 \e x-\e$
    c. $y=2 \e x+\e$
    d. $y=\e x$
    $\quad$
  6. Les nombres entiers $n$ solutions de l’inéquation $(0,2)^n<0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :
    a. $n \pp 4$
    b. $n \pp 5$
    c. $n \pg 4$
    d. $n \pg 5$
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

  • $20 \%$ des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
  • $2 \%$ des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
  • $10 \%$ des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :

  • $C:$ «le casque est contrefait »;
  • $D:$ : le casque présente un défaut de conception “;
  • $\conj{C}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie 1

  1. Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(D)=0,036$.
    $\quad$
  3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
    $\quad$

Partie 2
On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

  1. Dans cette question, $n=35$.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
    $\quad$
    c. Calculer $P(X \pp 1)$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé.
    Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$
\left\{\begin{aligned}
u_0 & =40 \\
u_{n+1} & =0,008 u_n\left(200-u_n\right)
\end{aligned}\right.
$$
où $u_n$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $(2021+n)$.

 

  1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $f(x)=0,008 x(200-x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0 ; 100]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; 100]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
    b. En remarquant que, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$
    0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100 .
    $$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(p) :}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{u = 40}\\
    \quad \text{while u < p :}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \qquad \text{u = 0.008 * u * (200 – u)}\\
    \quad \text{return (n+2021)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de $\text{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

  1. Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
    On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ et $K\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
    $\quad$
  5. En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  6. Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

  1. a. Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
    $\quad$
  2. On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
    Démontrer que l’aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d’aire.
    $\quad$
  3. En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 4 mai 2022

Polynésie – 4 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, suites

  1. $g$ est de la forme $\ln(u)$ dont la dérivée, quand elle existe, est $\dfrac{u’}{u}$.
    Ici, pour tout $x\in ]0;+\infty[$, $u(x)=x^2+x+1$ et $u'(x)=2x+1$.
    Donc $g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$
    Réponse d
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)-x$.
    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
    Pour tout $x\in ]0;+\infty[$,
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)+1-1\\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Réponde c
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*}a_n&=\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^{-n}}+1\right)}\\
    &=\left(\dfrac{3}{2}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{3^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1$
    de plus $1<\dfrac{3}{2}$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=-\infty$^.
    Réponse a
    $\quad$
  4. La fonction $f’$ est strictement décroissante sur $[-2;0]$.
    Donc $f$ est concave sur $[-2;0]$.
    Réponse d
    $\quad$
  5. On a $f'(x)>0$ sur $[0;1[$ et $f'(x)<0$ sur $]1;2]$.
    $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;2]$.
    $f$ admet donc un maximum en $1$ sur $[0;2]$.
    Réponse c
    $\quad$
  6. Le programme b ne convient pas car on ne rentre jamais dans la boucle “while”.
    Le programme c ne convient pas car on effectue $200$ fois la boucle “for” et la fonction renvoie la valeur de l’action après $200$ mois.
    Le programme d ne convient pas il ne teste que la valeur initiale de l’action. Il s’arrête aussitôt après.
    Réponse a
    $\quad$
    Remarque : Le programme a renvoie effectivement la bonne réponse mais il contient malgré tout une erreur. Il faudrait mettre un “<=” dans la boucle “while” pour exclure la situation (qui ne se produira pas au regard de la valeur initiale de “v”) où $v=200$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

 

  1. On a $P(M)=0,07$ et $P_M(T)=0,8$
    Donc
    $\begin{align*} P(M\cap T)&=P(M)\times P_M(T) \\
    &=0,07\times 0,8\\
    &=0,056\end{align*}$
    $\quad$
    $\quad$
  2. $\left(M,\conj{M}\right)$ est un système complet d’événements.
    D’après la formule des probabilités totales
    $\begin{align*} P(T)&=P(M\cap T)+P\left(\conj{M}\cap T\right) \\
    &=0,056+P\left(\conj{M}\right)\times P_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,056+0,93\times 0,01 \\
    &=0,065~3\end{align*}$
    $\quad$
  3. Il est plus pertinent de connaître $P_T(M)$ puisqu’on veut déterminer si la personne testée est malade.
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_T(M)&=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,056}{0,065~3} \\
    &\approx 0,86\end{align*}$
    La probabilité que la personne soit malade sachant que son test est positif est environ égale à $0,86$.
    $\quad$
  5. a. On répète $10$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. $X$ est égale au nombre d’individus ayant un test positif.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,065~3$.
    $\quad$
    b. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{10}{2}0,065~3^2\times (1-0,065~3)^{10-2}\\
    &=45\times 0,065~3^2\times 0,934~7^8\\
    &\approx 0,11\end{align*}$
    La probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif est environ égale à $0,11$.
    $\quad$
  6. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètres $0,065~3$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’individus ayant un test positif.
    Donc $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,065~3$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,01 \\
    &\ssi 0,934~7^n <0,01\\
    &\ssi n\ln(0,934~7) <\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)} \qquad \text{(car $\ln(0,934~7)<0$)}
    \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,934~7)}\approx 68,2$.
    Il faut donc tester au moins $69$ personnes pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elle ait un test positif soit supérieur à $99\%$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites

  1. a.
    $\begin{align*}u_1&=\dfrac{u_0}{1+u_0}\\
    &=\dfrac{1}{1+1}\\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    $\begin{align*}u_2&=\dfrac{u_1}{1+u_1}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{2}}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*}u_3&=\dfrac{u_2}{1+u_2}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{1+\dfrac{1}{3}}\\
    &=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1.&\text{def liste(k):}\\
    2.&\quad \text{L=[]}\\
    3.&\quad \text{u = 1}\\
    4.&\quad \text{for i in range(0,k+1):}\\
    5.&\qquad \text{L.append(u)}\\
    6.&\qquad \text{u = u / (1 + u)}\\
    7.&\quad \text{return(L)}\\
    \hline
    \end{array}$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\
    &=u_n\left(\dfrac{1}{1+u_n}-1\right) \end{align*}$
    $u_n>0$ donc $1+u_n>1$ et $\dfrac{1}{1+u_n}<1$
    Ainsi $u_{n+1}-u_n<0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  3. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $f$ définie sur $]-\infty;-1[\cup]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$.
    La fonction $f$ est continue sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas.
    De plus, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    $\ell$ est donc solution de l’équation
    $\begin{align*}x=\dfrac{x}{x+1} &\ssi x-\dfrac{x}{x+1}=0 \\
    &\ssi x\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)=0 \\
    &\ssi x\times \dfrac{x}{x+1}=0\\
    &\ssi x=0\end{align*}$
    Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$
  5. a. Il semblerait que pour tout entier naturel $n$ on ait $u_n=\dfrac{1}{1+n}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
    Initialisation : $u_0=1$ et $\dfrac{1}{1+0}=1$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{u_n}{1+u_n}\\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{1+\dfrac{1}{1+n}} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{1+n}}{\dfrac{1+n+1}{1+n}} \\
    &=\dfrac{1}{1+(n+1)}\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{1+n}$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

  1. a. $\vect{AB}(-1;1;-3)$ et $\vect{AC}(4;7;1)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-1\times 4+1\times 7-3\times 1\\
    &=-4+7-3 \\
    &=0\end{align*}$
    Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. $\vect{BA}(1;-1;3)$ et $\vect{BC}(5;6;4)$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=1\times 5-1\times 6+3\times 4\\
    &=5-6+12\\
    &=11\end{align*}$
    $\begin{align*} BA&=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}\\
    &=\sqrt{11}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{5^2+6^2+4^2} \\
    &=\sqrt{25+36+16}\\
    &=\sqrt{77}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}=BA\times BC\times \cos\left(\widehat{ABC}\right)&\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{77} \times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &\ssi 11=\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times \sqrt{7}\times \cos\left(\widehat{ABC}\right) \\
    &\ssi \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{7}}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ABC}\approx 68$°.
    $\quad$
  2. a. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}(2;-1;-1)$.
    Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires d’après la question 1.a.
    De plus :
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=2\times (-1)-1\times 1-1\times (-3) \\
    &=-2-1+3 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AC}&=2\times 4-1\times 7-1\times 1 \\
    &=8-7-1 \\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $ABC$.
    $\vec{n}$ est donc un vecteur normal à $(ABC)$ et $\mathscr{P}$.
    Par conséquent $\mathscr{P}$ et $(ABC)$ sont parallèles.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$
    Le point $B(1;0;-3)$ appartient au plan $(ABC)$. Ses coordonnées vérifient donc son équation
    $2\times 1-0-(-3)+d=0 \ssi d=-5$
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x-y-z-5=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\end{cases} \qquad ,t\in \R$
    $\quad$
    d. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*}\begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2x-y-z-5=0\end{cases}& \ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t\\6t-9=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} t=\dfrac{3}{2}\\x=4\\y=\dfrac{1}{2}\\z=\dfrac{5}{2}\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(4;\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. On a $AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}=\sqrt{66}$.
    Ainsi l’aire du triangle $ABC$ est
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\
    &=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
    $[HE]$ est la hauteur de la pyramide $ABCE$ associée à la base $ABC$
    $\vect{HE}\left(-3;\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}\right)$
    Par conséquent $HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}$
    Ainsi le volume de la pyramide $ABCE$  est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11\sqrt{6}}{2}\times \sqrt{\dfrac{27}{2}} \\
    &=16,5\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $g$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
    $$
    g(x)=\ln \left(x^2+x+1\right)
    $$
    Pour tout nombre réel $x$ strictement positif :
    a. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2 x+1}$
    b. $g^{\prime}(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$
    c. $g^{\prime}(x)=\ln (2 x+1)$
    d. $g^{\prime}(x)=\dfrac{2 x+1}{x^2+x+1}$.
    $\quad$
  2. La fonction $x \mapsto \ln (x)$ admet pour primitive sur $] 0; +\infty[$ la fonction :
    a. $x \mapsto \ln (x)$
    b. $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
    c. $x \mapsto x \ln (x)-x$
    d. $x \mapsto \dfrac{\ln (x)}{x}$.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(a_n\right)$ définie pour tout $n$ dans $\mathbb{N}$ par :
    $$
    a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}
    $$
    La limite de la suite $\left(a_n\right)$ est égale à :
    a. $-\infty$
    b. $-1$
    c. $1$
    d. $+\infty$.
    $\quad$
  4. On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2 ; 2]$. Le tableau de variations de la fonction $\boldsymbol{f}^{\prime}$ dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-2 ; 2]$ est donné par :
    $\quad$

    $\quad$

    La fonction $f$ est :
    a. convexe sur $[-2 ;-1]$.
    b. concave sur $[0 ; 1]$.
    c. convexe sur $[-1 ; 2]$.
    d. concave sur $[-2 ; 0]$.
    $\quad$

  5. On donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée $\boldsymbol{f}^{\prime}$ d’une fonction $f$ définie sur l’intervalle $[-2 ; 4]$.
    $\quad$

    $\quad$

    Par lecture graphique de la courbe de $f^{\prime}$, déterminer l’affirmation correcte pour $f$ :
    a. $f$ est décroissante sur $[0 ; 2]$.
    b. $f$ est décroissante sur $[-1 ; 0]$.
    c. $f$ admet un maximum en $1$ sur $[0 ; 2]$.
    d. $f$ admet un maximum en $3$ sur $[2 ; 4]$.
    $\quad$

     

  6. Une action est cotée à $57$ euros. Sa valeur augmente de $3\%$ tous les mois.
    La fonction python $\text{seuil()}$ qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse $200$ euros est :
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     7 points

Thème : probabilités

Selon les autorités sanitaires d’un pays, $7 \%$ des habitants sont infectés par une certaine maladie.
Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes :

  • pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans $20 \%$ des cas ;
  • pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans $1 \%$ des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.
On considère les événements suivants :

  • $M$ : «la personne est malade» ;
  • $T$ : le test est positif».
  1. Calculer la probabilité de l’événement $M \cap T$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de $0,065~3$.
    $\quad$
  3. Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M) ?$
    $\quad$
  4. On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
    Quelle est la probabilité qu’elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. On choisit dix personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d’assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’individus ayant un test positif parmi les dix personnes.
    a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité pour qu’exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  6. Déterminer le nombre minimum de personnes à tester dans ce pays pour que la probabilité qu’au moins l’une d’entre elles ait un test positif, soit supérieure à $99 \%$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Thème : suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ :
$$
u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}
$$

  1. a. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et $u_3$. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
    $\quad$
    b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes 3 et 6 pour que $\text{liste(k)}$ prenne en paramètre un entier naturel $k$ et renvoie la liste des premières valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ de $u_0$ à $u_k$.
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    1. &\text{def liste(k):} \\
    2. & \quad\text{L = []} \\
    3. & \quad\text{u = }\ldots  \\
    4. & \quad\text{for i in range (0, k+1):}\\
    5.& \qquad \text{L.append(u)} \\
    6. &\qquad \text{u =}\ldots \\
    7. & \quad \text{return L}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On admet que, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
    $\quad$
  4. Déterminer la valeur de sa limite.
    $\quad$
  5. a. Conjecturer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
    $\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

L’espace est rapporté à un repère orthonormé où l’on considère :

  • les points $A(2 ;-1 ; 0)$, $B(1 ; 0 ;-3)$, $C(6 ; 6 ; 1)$ et $E(1 ; 2 ; 4)$;
  • le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $2 x-y-z+4=0$.
  1. a. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
    b. Calculer le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}$ puis les longueurs $BA$ et $BC$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure en degrés de l’angle $\widehat{ABC}$, arrondie au degré.
    $\quad$
  2. a. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ orthogonale au plan $(ABC)$ et passant par le point $E$.
    $\quad$
    d. Démontrer que le projeté orthogonal $H$ du point $E$ sur le plan $(ABC)$ a pour coordonnées $\left(4 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{5}{2}\right)$.
    $\quad$
  3. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par $\mathcal{V}=\dfrac{1}{3} \mathcal{B} h$ où $\mathcal{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur de la pyramide associée à cette base.
    Calculer l’aire du triangle $ABC$ puis démontrer que le volume de la pyramide $ABCE$ est égal à $16,5$ unités de volume.
    $\quad$

$\quad$