E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie

Pour contacter une compagnie d’assurance, deux possibilités sont offertes : par mail ou par téléphone. Le responsable du pôle relation client décide de réaliser une enquête afin de savoir si les clients qui contactent la compagnie sont satisfaits.
À l’issue de l’enquête, réalisée auprès de 1000 clients qui ont contacté l’agence, les résultats sont les suivants :

  • $370$ ont envoyé un mail à l’agence,
  • parmi ceux-ci, $90 \%$ se sont déclarés satisfaits du traitement de leur demande,
  • parmi les clients qui ont téléphoné, $20 \%$ ont déclaré qu’ils n’étaient pas satisfaits de l’accueil.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :

  • $M$ : Le client a contacté l’agence par mail,
  • $S$ : Le client est satisfait.

Les probabilités seront arrondies à $10^{-4}$, si nécessaire.

  1. Donner la valeur des probabilités: $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}(S)$.
    $\quad$
  2. Compléter le tableau représentant la situation donnée en annexe.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le client ait envoyé un mail et qu’il ait été satisfait.
    $\quad$
  4. Le responsable a pour objectif qu’il y ait moins de $10\%$ des clients non satisfaits par le contact qu’ils ont eu. Cet objectif est-il atteint ?
    $\quad$
  5. Sachant que le client a été satisfait, quelle est la probabilité qu’il ait contacté l’agence par mail ?
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{mail}\\
\boldsymbol{(M)}\end{array}&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{téléphone}\\
\boldsymbol{\left(\conj{M}\right)}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Satisfait }\boldsymbol{(S)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\\
\hline
\textbf{Insatisfait }\boldsymbol{\left(\conj{S}\right)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\\
\hline
\textbf{Total}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&&&\phantom{1234}\boldsymbol{1~000}\phantom{1234}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(M)=\dfrac{370}{1~000}=0,37$, $P_M(S)=0,9$ et  $P_{\conj{M}}(S)=1-0,2=0,8$.
    $\quad$
  2. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{mail}\\
    \boldsymbol{(M)}\end{array}&\begin{array}{l}\textbf{Contact par}\\\textbf{téléphone}\\
    \boldsymbol{\left(\conj{M}\right)}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Satisfait }\boldsymbol{(S)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&333&504&837\\
    \hline
    \textbf{Insatisfait }\boldsymbol{\left(\conj{S}\right)}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&37&126&163\\
    \hline
    \textbf{Total}\rule[-7pt]{0pt}{20pt}&370&630&\phantom{1234}\boldsymbol{1~000}\phantom{1234}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(M\cap S)&=\dfrac{333}{1~000} \\
    &=0,333\end{align*}$
    La probabilité que le client ait envoyé un mail et qu’il ait été satisfait est égale à $0,333$.
    $\quad$
  4. On a $P\left(\conj{S}\right)=\dfrac{163}{1~000}>0,1$.
    L’objectif n’est donc pas atteint.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{333}{837}\\
    &\approx 0,397~8\end{align*}$
    La probabilité que le client ait contacté l’agence par mail sachant qu’il a été satisfait est environ égale à $0,397~8$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Une équipe de rugby est composée de $35$ joueurs qui se répartissent en $21$ joueurs avant et $14$ joueurs arrière.
On dénombre $15$ joueurs avant qui pèsent plus de $100$ kg, alors que c’est le cas de seulement $3$ joueurs arrière.

  1. Recopier et compléter le tableau d’effectifs donné ci-dessous.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-8pt]{0pt}{20pt}&~\textbf{Joueur avant}~&~\textbf{Joueur arrière}~&\phantom{12345}\textbf{Total}\phantom{12345}\\
    \hline
    \textbf{Plus de $\boldsymbol{100}$ kg}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}&&\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Strictement moins}\\\textbf{de $\boldsymbol{100}$ kg}\end{array}&&&\\
    \hline
    \textbf{Total}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

Un joueur de cette équipe de rugby est choisi au hasard.
On appelle $A$ l’événement « le joueur est un joueur avant » et $B$ l’événement « le joueur pèse plus de $100$ kg ».
Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Déterminer la probabilité de l’événement $A$ puis de l’événement $B$.
    $\quad$
  2. Calculer $P(A \cap B)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Le joueur choisi est un joueur avant.
    Déterminer la probabilité qu’il pèse plus de $100$ kg.
    $\quad$
  4. Calculer $P_B(A)$ et interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \rule[-8pt]{0pt}{20pt}&~\textbf{Joueur avant}~&~\textbf{Joueur arrière}~&\phantom{12345}\textbf{Total}\phantom{12345}\\
    \hline
    \textbf{Plus de $\boldsymbol{100}$ kg}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}15&3&18\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Strictement moins}\\\textbf{de $\boldsymbol{100}$ kg}\end{array}&6&11&17\\
    \hline
    \textbf{Total}&\rule[-8pt]{0pt}{20pt}21&14&35\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. $P(A)=\dfrac{21}{35}=0,6$
    $P(B)=\dfrac{18}{35}\approx 0,514$
    $\quad$
  3. $P(A\cap B)=\dfrac{15}{35}=\dfrac{3}{7}\approx 0,429$
    La probabilité que le joueur soit un joueur avant de plus de $100$ kg est environ égale à $0,429$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_A(B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{15}{35}}{~~\dfrac{21}{35}~~} \\
    &=\dfrac{15}{21} \\
    &=\dfrac{5}{7} \\
    &\approx 0,714\end{align*}$
    La probabilité que le joueur pèse plus de $100$ kg sachant que c’est un joueur avant est environ égale à $0,714$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
    &=\dfrac{\dfrac{15}{35}}{~~\dfrac{18}{35}~~} \\
    &=\dfrac{15}{18}\\
    &=\dfrac{5}{6} \\
    &\approx 0,833\end{align*}$
    La probabilité que le joueur soit un joueur avant sachant qu’il pèse plus de $100$ kg est environ égale à $ 0,833$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Antoine désire partir en vacances et consulte le catalogue d’une agence de voyage.

  • Le catalogue comprend $400$ références différentes.
  • $60 \%$ comprennent un forfait « voyage + séjour », les autres ne comprenant que le séjour sur place.
  • $45 \%$ des références proposant le forfait « voyage + séjour » sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud.
  • Parmi les références incluant uniquement le séjour, $55$ sont à destination d’un pays d’Amérique du Sud, $85$ sont à destination d’un pays d’Asie.
  • Aucune référence correspondant à une destination en Asie ne propose le forfait « voyage + séjour ».
  1. Compléter le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on choisit une référence au hasard et on admet que la répartition du tableau est conservée. Si A est un évènement, on notera $p(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ ;
Les résultats seront arrondis au dix millième.

  1. Soit $V$ l’évènement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » » et $A$ l’évènement « la référence correspond à un pays d’Amérique du Sud ».
    Calculer $p(A)$ et $p(V)$.
    $\quad$
  2. Décrire à l’aide d’une phrase l’événement $V \cap A$ puis déterminer sa
    probabilité.
    $\quad$
  3. Calculer $p_A(V)$ et interpréter le résultat avec une phrase.
    $\quad$
  4. Traduire à l’aide d’une probabilité la phrase : « $45\%$ des références comprenant un forfait « voyage + séjour » correspondent à un pays d’Amérique du Sud ».
    $\quad$

Annexe

$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Amérique du Sud}&&&\\
\hline
\textbf{Asie}&&&\\
\hline
\textbf{Autres destinations}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&&&400\\
\hline
\end{array}$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &\textbf{Voyage + séjour}&\textbf{Séjour uniquement}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Amérique du Sud}&108&55&163\\
    \hline
    \textbf{Asie}&132&85&217\\
    \hline
    \textbf{Autres destinations}&0&20&20\\
    \hline
    \textbf{Total}&240&160&400\\
    \hline
    \end{array}$$\quad$

    $\quad$

  2. $p(A)=\dfrac{163}{400}=0,407~5$
    $p(V)=0,6$ d’après l’énoncé
    $\quad$
  3. $V\cap A$ est l’événement « la référence comprend un forfait « voyage+séjour » et correspond à un pays d’Amérique du Sud».
    $p(V\cap A)=\dfrac{108}{400}=0,27$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} p_A(V)&=\dfrac{p(A\cap V)}{p(A)} \\
    &=\dfrac{0,27}{0,407~5}\\
    &\approx 0,662~6\end{align*}$
    La probabilité que la référence corresponde à un forfait « voyage+séjour » sachant qu’elle correspond à un pays d’Amérique du Sud est environ égale à $ 0,662~6$.
    $\quad$
  5. On a donc $p_V(A)=0,45$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, $35 \%$ ont choisi l’activité kayak, $25 \%$ l’activité escalade et les autres l’activité équitation. Les filles représentent $30 \%$ des personnes ayant choisi l’activité kayak, $40 \%$ de l’activité escalade et $70 \%$ de l’activité équitation.

  1. À l’aide des données de l’énoncé, compléter le tableau d’effectifs ci-dessous :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&&&&\\
    \hline
    \text{Garçons}&&&&\\
    \hline
    \text{Total}&&&&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Calculer, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak.
    $\quad$
  3. On sélectionne au hasard une personne parmi les $200$ adolescents présents dans le centre.
    a. Calculer la probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation.
    $\quad$
    b. Sachant que la personne sélectionnée est une fille, calculer la probabilité qu’elle ait choisi l’équitation.
    $\quad$
  4. Le centre de vacances, qui peut actuellement accueillir jusqu’à $236$ adolescents, va procéder à un agrandissement de ses locaux afin d’augmenter sa capacité d’accueil de $7 \%$ par an sur les cinq prochaines années.
    Combien d’adolescents le centre de vacances pourra-t-il accueillir après ces cinq années ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~\text{Kayak}~~&\text{Escalade}&\text{Équitation}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Filles}&21&20&56&97\\
    \hline
    \text{Garçons}&49&30&24&103\\
    \hline
    \text{Total}&70&50&80&200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l’activité kayak est $\dfrac{21}{97}$.
    $\quad$
  3. a. La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l’activité équitation est $\dfrac{24}{200}=0,12$.
    $\quad$
    b. La probabilité que la personne sélectionnée ait choisi l’équitation sachant que c’est une fille est $\dfrac{56}{97}$.
    $\quad$
  4. $236\times \left(1+\dfrac{7}{100}\right)^5\approx 331$
    Après ces cinq années le centre de vacances pourra accueillir $331$ élèves.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Dans une administration de $320$ personnes, on distingue $3$ catégories d’employés : A, B et C.
On y dénombre exactement globalement $3/5$ de femmes. La catégorie A compte $80$ employés dont $40 \%$ de femmes. Les catégories B et C ont le même nombre d’employés.
Dans la catégorie C, il y a exactement $50$ femmes.

  1. Remplir le tableau croisé d’effectifs fourni en annexe. L’annexe est à rendre avec la copie.
    $\quad$
  2. Dans cette administration, quelle est la fréquence des hommes de catégorie C ? Quelle est celle des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C ?
    $\quad$
  3. Une loterie est réalisée en fin d’année. On y choisit au hasard la fiche d’un membre du personnel. Ce dernier gagne alors un chèque de $100$ €, tandis que tous les autres membres du personnel perçoivent un chèque de consolation de $10$ €.
    a. Quelle est la somme des montants de l’ensemble des chèques ?
    $\quad$
    b. On considère les événements suivants :
    $A$ : « Le gagnant de $100$ € est de catégorie A » ; $H$ : « Le gagnant de $100$ € est un homme »
    Calculer $P(A)$, $P(A\cap H)$ et $P_A(H)$.
    $\quad$
  4. L’administration a des frais annuels de fonctionnement de $670~000$ €.
    Elle souhaite les réduire de $5 \%$ chaque année jusqu’à passer en dessous de la barre des $500~000$ €.
    Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous de sorte qu’après exécution la variable $\text{N}$ contienne le nombre d’années à partir duquel l’objectif sera atteint.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{N}\leftarrow 0\\
    \text{S}\leftarrow 670~000\\
    \text{Tant Que } \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \ldots\\
    \hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
    \text{Fin Tant Que}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&&&&\\
\hline
\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&&&&\\
\hline
\text{Total}&&&&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories A}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de}\\ \text{catégories B}\end{array}&\begin{array}{c} \text{Nombre de}\\ \text{personnes de} \\\text{catégories C}\end{array}& \hspace{0.8cm}\text{Total}\hspace{0.8cm}\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Nombre}\\\text{d’hommes}\end{array}&48&10&70&128\\
    \hline
    \begin{array}{c} \text{Nombre de}\\\text{femmes}\end{array}&32&110&50&192\\
    \hline
    \text{Total}&80&120&120&320\rule[-8pt]{0pt}{23pt}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. La fréquence des hommes de catégorie C est $\dfrac{70}{320}=\dfrac{7}{32}$.
    La fréquence des hommes dans l’ensemble du personnel de catégorie C est $\dfrac{70}{120}=\dfrac{7}{12}$.
    $\quad$
  3. a. $319$ personnes perçoivent un chèque  de $10$ € et une personne gagne un chèque de $100$ €.
    Le montant de l’ensemble des chèque est donc $319\times 10+100=3~290$ €.
    $\quad$
    b. $P(A)=\dfrac{80}{320}=\dfrac{1}{4}=0,25$
    $P(A\cap H)=\dfrac{48}{320}=0,15$
    $P_A(H)=\dfrac{48}{80}=0,6$
    $\quad$
  4. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{N}\leftarrow 0\\
    \text{S}\leftarrow 670~000\\
    \text{Tant Que } \text{S} >500~000\\
    \hspace{1cm} \text{S}\leftarrow \text{S}\times 0,95\\
    \hspace{1cm} \text{N}\leftarrow \text{N}+1\\
    \text{Fin Tant Que}\\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Les 500 élèves de Première d’un lycée se répartissent de la façon suivante : $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Filles}&\text{Garçons}&\text{TOTAL}\\
\hline
\text{Externes}&70&110&180\\
\hline
\text{Demi-pensionnaires}&180&120&300\\
\hline
\text{Internes}&10&10&20\\
\hline
\text{TOTAL}&260&240&500\\
\hline
\end{array}$$

  1. a. Calculer le pourcentage d’internes.
    $\quad$
    b. Calculer le pourcentage de filles demi-pensionnaires.
    $\quad$
  2. On interroge un élève au hasard parmi les $500$.
    Tous les élèves ont la même probabilité d’être interrogés.
    On considère les événements suivants :
    $F$ : « l’élève interrogé est une fille » ;
    $E$ : « l’élève interrogé est externe » ;
    $D$ : « l’élève interrogé est demi-pensionnaire » ;
    $I$ : « l’élève interrogé est interne ».
    Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
    a. Traduire par une phrase l’événement $D\cap \conj{F}$.
    $\quad$
    b. Calculer les probabilités $P\left(D\cap \conj{F}\right)$, $P\left(\conj{F}\right)$ et $P(E \cap F)$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_E(F)$ et traduire le résultat par une phrase.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{20}{500}=0,04$
    Les internes représentent donc $4\%$ du nombre d’élèves de Première.
    $\quad$
    b. $\dfrac{180}{500}=0,36$
    Les filles demi-pensionnaires représentent donc $36\%$ du nombre d’élèves de Première.
    $\quad$
  2. a. $D\cap \conj{F}$ : « l’élève interrogé est un garçon demi-pensionnaire».
    $\quad$
    b. $P\left(D\cap \conj{F}\right)=\dfrac{120}{500}=\dfrac{6}{25}$
    $P\left(\conj{F}\right)=\dfrac{240}{500}=\dfrac{12}{25}$
    $P(E \cap F)=\dfrac{70}{500}=\dfrac{7}{50}$
    $\quad$
    c. $P_E(F)=\dfrac{70}{180}=\dfrac{7}{18}$
    La probabilité que l’élève interrogé soit une fille sachant qu’elle est externe est égale à $\dfrac{7}{18}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Les $150$ salariés d’une entreprise se répartissent de la façon suivante :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&~~\text{Cadres}~~&\text{Employés}&~~\text{TOTAL}~~\\
\hline
\text{Parlent anglais}&20&9&29\\
\hline
\text{Ne parlent pas anglais}&40&81&121\\
\hline
\text{TOTAL}&60&90&150\\
\hline
\end{array}$$

  1. Dans cette première question, les résultats seront arrondis à $0,1\%$.
    a. Calculer le pourcentage des employés qui parlent anglais.
    $\quad$
    b. Calculer le pourcentage des cadres qui ne parlent pas anglais.
    $\quad$
  2. On interroge un salarié au hasard parmi les $150$.
    Tous les salariés ont la même probabilité d’être interrogés.
    On considère les événements suivants :
    $C$ : « le salarié interrogé est un cadre » ;
    $E$ : « le salarié interrogé est un employé » ;
    $A$ : « le salarié interrogé parle anglais » ;
    $\conj{A}$ : « le salarié interrogé ne parle pas anglais ».
    Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductible𝑠.
    a. Traduire par une phrase l’événement $C\cap \conj{A}$.
    $\quad$
    b. Calculer les probabilités $P\left(C\cap \conj{A}\right)$, $P\left(\conj{A}\right)$ et $P(E\cap A)$.
    $\quad$
    c. Calculer $P_A(E)$ et traduire le résultat par une phrase.$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{29}{150}\approx 0,193$
    Ainsi, environ $19,3\%$ des salariés parlent anglais.
    $\quad$
    b. $\dfrac{40}{60}\approx  0,667$
    Environ $66,7\%$ des cadres ne parlent pas anglais.
    $\quad$
  2. a. $C\cap \conj{A}$ : « le salarié interrogé est un cadre qui ne parle pas anglais»
    $\quad$
    b. $P\left(C\cap \conj{A}\right)=\dfrac{40}{150}=\dfrac{4}{15}$
    $P\left(\conj{A}\right)=\dfrac{121}{150}$
    $P(E\cap A)=\dfrac{9}{150}=0,06$
    $\quad$
    c. On a :
    $P_A(E)=\dfrac{9}{29}$
    La probabilité qu’un salarié soit un employé sachant qu’il parle anglais est égale à $\dfrac{9}{29}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

On interroge un groupe de $1~200$ étudiants titulaires d’un baccalauréat STMG et ayant poursuivi leurs études.

Parmi ces étudiants :

  • $60 \%$ de ces étudiants sont des filles, les autres sont des garçons.
  • $55 \%$ ont poursuivi leurs études en BTS.
  • $264$ étudiants sont inscrits à l’université.
  • La moitié des étudiants inscrits à l’université sont des garçons.
  • $45 \%$ des étudiants en BTS sont des garçons.
  1. Compléter, sans justification, le tableau croisé d’effectifs donné en annexe à remettre avec la copie.
    $\quad$
  2. Pour chaque étudiant interrogé les informations sont portées sur une fiche individuelle. On choisit une fiche au hasard parmi les $1~200$ renseignées. Chaque fiche a la même probabilité d’être choisie.
    On définit les évènements suivants :
    $N$ : « la fiche choisie concerne un étudiant de l’université ».
    $G$ : « la fiche choisie est celle d’un garçon ».
    a. Calculer la probabilité de l’évènement $N$ et celle de l’évènement $G$.
    $\quad$
    b. Définir par une phrase l’évènement $N \cap G$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase l’évènement $N \cup G$ puis calculer sa probabilité.
    $\quad$
    d. Calculer $P_G(N)$. Interpréter le résultat obtenu par une phrase.
    $\quad$

Annexe : Tableau croisé des effectifs

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&~~~~\textbf{BTS}~~~~&\textbf{Université}&\begin{array}{c}\textbf{Autres}\\\textbf{formations}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\textbf{Filles}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&&&\\
\hline
\textbf{Garçons}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&&&\\
\hline
\textbf{Total}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&&264&&1~200\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient alors le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &~~~~\textbf{BTS}~~~~&\textbf{Université}&\begin{array}{c}\textbf{Autres}\\\textbf{formations}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \textbf{Filles}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&363&132&225&720\\
    \hline
    \textbf{Garçons}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&297&132&51&480\\
    \hline
    \textbf{Total}\rule[-6pt]{0pt}{18pt}&660&264&276&1~200\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On a $P(N)=\dfrac{264}{1~200}=0,22$
    $P(G)=1-0,6=0,4$
    $\quad$
    b. $N\cap G$ : « la fiche choisie concerne un garçon étudiant à l’université »
    $P(N\cap G)=\dfrac{132}{1200}=0,11$
    $\quad$
    C. $N\cup G$ : « la fiche choisie concerne un garçon ou un étudiant de l’université »
    $P(N\cup G)=\dfrac{480+132}{1200}=0,51$
    $\quad$
    d. On a donc  :
    $\begin{align*} P_G(N)&=\dfrac{132}{480} \\
    &=0,275\end{align*}$
    La probabilité que la fichée choisie soit celle d’un étudiant de l’université sachant que celle d’un garçon est égale à $0,275$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une entreprise pharmaceutique souhaite commercialiser un test de dépistage d’une maladie infectieuse. Elle réalise une étude portant sur un échantillon représentatif de $2~000$ personnes ayant subi le test et qui vivent dans un territoire victime d’une épidémie de cette maladie.

Les résultats de cette étude sont les suivants :

  • $15\%$ des tests sont positifs
  • $85\%$ des tests sont négatifs.

Parmi les personnes qui ont un test positif, $98\%$ développent la maladie et $2\%$ sont sains.

Parmi les personnes dont le test est négatif, $1\%$ développe la maladie et $99\%$ sont sains.

  1. Montrer que la proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{3}{1~000}$.
    $\quad$
  2. a. Vérifier qu’au total, $311$ personnes de l’échantillon ont développé la maladie.
    $\quad$
    b. En déduire la proportion des personnes qui sont effectivement malades dans cet échantillon.
    $\quad$
  3. En utilisant les questions précédentes, recopier et compléter le tableau à double entrée suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Malade (en %)}&&&15,55\\
    \hline
    \text{Sain (en %)}&&&\\
    \hline
    \text{Total(en %)}&15&85&100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. On choisit une personne au hasard parmi les individus de l’échantillon. Calculer la probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade.
    $\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. La proportion de personnes de l’échantillon dont le test est positif et qui sont sains est égale à $\dfrac{15}{100}\times \dfrac{2}{100}=\dfrac{3}{1~000}$.
    $\quad$
  2. a. Nombre de personnes ayant un test positif et malades : $2~000\times \dfrac{15}{100}\times \dfrac{98}{100}=294$
    Nombre de personnes ayant un test négatif et malades : $2~000\times \dfrac{85}{100}\times \dfrac{1}{100}=17$
    Par conséquent $294+17=311$ sont malades.
    $\quad$
    b. La proportion des personnes effectivement malades dans cet échantillon est $\dfrac{311}{2~000}=0,155~5$ soit $15,55\%$.
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Test positif (en %)}&\text{Test négatif (en %)}&~~\text{Total}~~\\
    \hline
    \text{Malade (en %)}&14,7&0,85&15,55\\
    \hline
    \text{Sain (en %)}&0,3&84,15&84,45\\
    \hline
    \text{Total(en %)}&15&85&100\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  4. $\dfrac{14,7}{15,55}=\dfrac{294}{311}$
    La probabilité que cette personne ait obtenu un test positif sachant qu’elle est effectivement malade est égale à $\dfrac{294}{311}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une enquête est effectuée dans un établissement de $1~550$ élèves afin de connaitre leur groupe sanguin ; les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\hspace{1cm}\textbf{A}\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\textbf{B}\hspace{1cm}&\hspace{1cm}\textbf{O}\hspace{1cm}\\
\hline
~~\textbf{Garçons}~~&217&47&536\\
\hline
\textbf{Filles}&295&21&434\\
\hline
\end{array}$$

  1. On choisit au hasard un des élèves parmi les $1~550$ élèves de l’établissement.
    On considère :
    $\bullet$ L’événement $F$ : « l’élève choisi est une fille ».
    $\bullet$ L’événement $M$ : « L’élève choisi est du groupe B ».
    On note $\conj{F}$ l’évènement contraire de l’évènement $F$.
    a. Montrer que $P(F)=\dfrac{15}{31}$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’événement $M$. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
    $\quad$
    c. Définir par une phrase les événements $\conj{F}\cap M$ et $F\cup M$.
    $\quad$
    d. Calculer la probabilité de l’événement $F\cup M$.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un élève du groupe B. Calculer alors la probabilité que l’élève choisi soit un garçon. Le résultat sera arrondi à $10^{-1}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.
    $\begin{align*} P(F)&=\dfrac{295+21+434}{1~550}\\
    &=\dfrac{750}{~1550}\\
    &=\dfrac{15}{31}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} P(M)&=\dfrac{47+21}{1~550}\\
    &=\dfrac{68}{1~550}\\
    &\approx 0\end{align*}$
    Remarque : $P(M)\approx 0,044$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    c. $\conj{F}\cap M$ : « l’élève choisi est un garçon du groupe B »
    $F\cup M$ : « l’élève choisi est une fille ou est du groupe B »
    $\quad$
    d.
    $\begin{align*} P(F\cup M)&=\dfrac{295+21+434+47}{1~550}\\
    &=\dfrac{797}{1~550}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M\left(\conj{F}\right)&=\dfrac{P\left(M\cap \conj{F}\right)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{47}{47+21}\\
    &\approx 0,7\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit un garçon sachant qu’il est du groupe B est environ égale à $0,7$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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