Bac – Polynésie – jour 1 – septembre 2024

Polynésie – 5 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On veut calculer
$\begin{align*} P(E\cap B)&=P(E)\times P_E(B) \\
&=0,6\times 0,75 \\
&=0,45\end{align*}$
La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est égale à $0,45$.
$\quad$
$^\left(E,\conj{E}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
&=0,45+P\left(\conj{E}\right)P_{\conj{E}}(B) \\
&=0,45+0,4\times 0,52 \\
&=0,45+0.208 \\
&=0,658\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_B(E)&=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{0,45}{0,658} \\
&\approx 0,684\end{align*}$
La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique sachant qu’il a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est environ égale à $0,684$.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,658$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} P(X=8)&=\dbinom{20}{8}0,658^8\times (1-0,658)^{12} \\
&\approx 0,011\end{align*}$
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X<10) \\
&=1-P(X=9) \\
&\approx 0,955\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10$ acheteurs puissent installer une borne de recharge est environ égale à $0,955$.
$\quad$
d. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=20\times 0,658 \\
&=13,16\end{align*}$
$\quad$
e. En moyenne, elle doit prévoir d’engager $1~200\times 13,16=15~795$ €.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+1>0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
L’affirmation A est vraie.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ donc $-2\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution.
L’affirmation B est fausse.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=\dfrac{\ln(x)}{3x^2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3x^2}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
L’affirmation C est vraie.
$\quad$
La fonction $k$ est continue sur $\R$ par hypothèse. Elle admet donc une primitive sur $\R$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Donc, pour tout réel $x$ on a $k(x)>0$.
Toutes les primitives de $k$ sont donc strictement croissante sur $\R$.
L’affirmation D est fausse.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a donc, $g'(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-x/3}$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} -3g'(x)+g(x)&=-4\e^{-x/3}+1+4\e^{-x/3} \\
&=1\end{align*}$
Donc $g$ est solution de l’équation $(E)$.
De plus $g(0)=4+1=5$.
L’affirmation E est vraie.
$\quad$
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ (sur $[0;1]$ suffit en fait ici) définies par $$\begin{array}{lll} u(x)=x&\phantom{1234}&u'(x)=1 \\v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x} \end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*}\int_0^1 x\e^{-x}\dx &=\Big[-x\e^{-x}\Big]0^1-\int_0^1 \left(-\e^{-x}\right)\dx \\
&=-\e^{-1}+\int_0^1 \e^{-x}\dx \\
&=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
&=-\e^{-1}-\e^{-1}+1 \\
&=1-2\e^{-1}\end{align*}$
L’affirmation F est vraie.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Le premier étage contient $1$ boule.
Le deuxième étage contient $2^2=4$ boules.
Le troisième étage contient $3^2=9$ boules.
Le quatrième étage contient $4^2=16$ boules.
Une pyramide de $4$ étages contient donc $1+4+9+16=30$ boules.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} S_5&=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5\\
&=1+4+9+16+25 \\
&=55\end{align*}$
Une pyramide de $5$ étages contient donc $55$ boules.
$\quad$
b. On peut écrire :

Python

def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = S + i**2 return S

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def pyramide(n):
     S = 0
     for i in range(1,n+1):
          S = S + i**2
     return S

c. Soit $n$ un entier naturel.
D’une part :
$\begin{align*} \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(n(2n+1)+6(n+1)\right)\\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+n+6n+6\right)\\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} \dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \\
&=\dfrac{n+1}{6}(n+2)(2n+3) \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+3n+4n+6\right) \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
Ainsi $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$.
$\quad$
d. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $P(n):~S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Initialisation : $S_1=1$ et $\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} S_{n+1}&=u_1+u_2+\ldots+u_n+u_{n+1} \\
&=S_n+(n+1)^2 \\
&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\
&=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul, on a $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\quad$
On veut détermine le plus grand entier naturel $n$ tel que $S_n \pp 200$.
Or $S_7=140$ et $S_8=204$.
Il pourra donc construire une pyramide à base carrée de $7$ étages contenant $140$ oranges.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Dans ce repère $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$ et $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
$\quad$
a. Vérifions dans un premier temps les coordonnées du vecteur $\vect{DB}$
On a $\vect{DB}\begin{pmatrix}1-0\\0-1\\0-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.
De plus $\vect{GE}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{GA}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car $\dfrac{-1}{-1}\neq \dfrac{0}{-1}$
De plus $\vect{DB}.\vect{GE}=-1+1+0=0$ et $\vect{DB}$
Et $\vect{DB}.\vect{GA}=-1+1+0=0$.
$\vect{DB}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GEA)$. Il est donc normal au plan $(GEA)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc de la forme $x-y-d=0$.
Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc $x-y=0$.
$\quad$
a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix} m-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{LE}\begin{pmatrix} 1-m\\-1\\0\end{pmatrix}$
Ainsi $\vect{CK}=\vect{LE}$ et $CKEL$ est un parallélogramme.
$\quad$
b. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{pmatrix}\vect{KC}.\vect{KE}&=-m(1-m)+0+0 \\
&=m(m-1)\end{pmatrix}$
$\quad$
c. $CKEL$ est un parallélogramme si, et seulement si, $(KC)$ et $(KL)$ sont perpendiculaires ;
si, et seulement si, $\vect{KC}.\vect{KE}=0$ ;
si, et seulement si, $m(m-1)=0$ ;
si, et seulement si, $m=0$ ou $m=1$.
$\quad$
a. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[3mm]0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[3mm]1\\0\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} KE&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
et :
$\begin{align*} KC&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
Ainsi $CKEL$ est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. C’est un losange.
$\quad$
b. D’après la question 3.b on sait que $\vect{KC}.\vect{KE}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$.
On sait également que $\vect{KC}.\vect{KE}=KC\times KE\times \cos \left(\widehat{CKE}\right)$.
Ainsi
$\begin{align*} \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)=\dfrac{1}{4}&\ssi \dfrac{5}{4}\cos\left(\widehat{CKE}\right)=\dfrac{1}{4} \\
&\ssi \cos\left(\widehat{CKE}\right)=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
Ainsi $\widehat{CKE}\approx 78$ °.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (5 points)

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

$60 \%$ sont des véhicules tout-électrique ;
$40 \%$ sont des véhicules hybrides rechargeables.

$75 \%$ des acheteurs de véhicules tout-électrique et $52 \%$ des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.
On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants :

$E$ : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
$B$ : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile »

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.
On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que $P(B) = 0,658$.
$\quad$
Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un véhicule tout-électrique ?
$\quad$
On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de $20$ acheteurs.
a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer $P(X = 8)$.
$\quad$
c. Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
$\quad$
d. Calculer l’espérance de $X$.
$\quad$
e. La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte $1~200$ €.
En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de $20$ véhicules ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$.
Affirmation A : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Affirmation B : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$.
$\quad$
Affirmation C : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par
$k(x)=1+2\e^{-x^2+1}$.
Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.
$\quad$
On considère l’équation différentielle $(E):~3y’+y=1$.
Affirmation E : La fonction $g$ définie sur $\R$ par
$g(x)=4\e^{-\frac{1}{3}x}+1$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ avec $g(0)=5$.
$\quad$
Affirmation F : Une intégration par parties permet d’obtenir : $$\int_0^1 x\e^{-x}\dx=1-2\e^{-1}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

le $1^{\text{er}}$ étage, situé au niveau le plus haut, est
composé de $1$ boule ;
le $2^{\text{e}}$ étage, niveau juste en dessous, est composé
de $4$ boules ;
le $3^{\text{e}}$ étage possède $9$ boules ;
$\ldots$
le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.

Pour tout entier $n \pg 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n=n^2$.

Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de $4$ étages.
$\quad$
On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier $n\pg 1$ par $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$.
a. Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
$\quad$
b. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $\text{n}$, l’instruction $\text{pyramide(n) }$ renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.

Python

def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = ... return ...

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def pyramide(n):
     S = 0
     for i in range(1,n+1):
          S = ...
     return ...

$\quad$
c. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ :
$$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$$
$\quad$

d. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\pg 1$ : $$S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$\quad$
Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$ oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\vec{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
Pour tout réel $m$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 1]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : $$K(m ; 0 ; 0) \text{ et } L(1-m ; 1 ; 1)$$

Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
$\quad$
Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L(1 ; 1 ; 1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0 ; 0 ; 0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
a. Justifier que le vecteur $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
$\quad$

On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.

Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $[0; 1]$.
a. Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
$\quad$
b. Justifier que $\vect{KC}.\vect{KE}= m(m-1)$.
$\quad$
c. Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m =0$ ou $m=1$.
$\quad$
Dans cette question, $m=\dfrac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)$ et $K$ a pour
coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)$.
a. Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
$\quad$
b. À l’aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet de secours – 7 juin 2024

Centres étrangers – 7 juin 2024

Spécialité maths – Sujet de secours – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=2\e^{2x}-6$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)-2f(x)&=2\e^{2x}-6-2\left(\e^{2x}-6x+1\right) \\
&=-6+12x-2 \\
&=12x-8\\
&\neq -6x+1\end{align*}$
Affirmation 1 fausse
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*}u_n&=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\ldots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \\
&=\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^k \\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}} \\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{4}} \\
&=4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)\end{align*}$
Or $-1<\dfrac{3}{4}<1$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
L’instruction $\text{suite(50)}$ renvoie la valeur de $u_{49}$ puisque la boucle $\text{for}$ de la ligne 3 permet à $\text{i}$ de prendre les valeurs de $0$ à $k-1$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}-2$.
La tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisse si, et seulement si, $f'(1)=0$.
$\begin{align*} f'(1)=0&\ssi a-2=0 \\
&\ssi a=2\end{align*}$
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(R_1,\conj{R_1}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
&=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right)+P_{\conj{R_1}}\left(R_2\right) \\
&=0,85\times 0,6+0,15\times 0,4 \\
&=0,57\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P_{R_2}\left(\conj{R_1}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)}{P\left(R_2\right)} \\
&=\dfrac{0,15\times 0,4}{0,57} \\
&=\dfrac{2}{19}\end{align*}$
La probabilité que le joueur ait raté le premier service sachant qu’il a réussi le deuxième est égale à $\dfrac{2}{19}$.
$\quad$
a. $Z(\Omega)=\acco{0;1;2}$.
$\begin{align*} P(Z=0)&=P\left(\conj{R_1}\cap \conj{R_2}\right) \\
&=P\left(\conj{R_1}\right)P_{\conj{R_1}}\left(\conj{R_2}\right) \\
&=0,15\times 0,6 \\
&=0,09\end{align*} $
$\begin{align*} P(Z=2)&=P\left(R_1\cap R_2\right) \\
&=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right) \\
&=0,85\times 0,6 \\
&=0,51\end{align*} $
$\left((Z=0),(Z=1),(Z=2)\right)$ forme un système complet d’événements fini. Par conséquent :
$\begin{align*}P(Z=1)&=1-P(Z=0)-P(Z=2) \\
&=1-0,09-0,51 \\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. On a donc :
$\begin{align*}E(Z)&=0\times P(Z=0)+1\times P(Z=1)+2\times P(Z=2) \\
&=0,4+2\times 0,51 \\
&=1,42\end{align*}$
En moyenne, lorsque le joueur réalise $100$ doubles services, il réussit $142$ services.
$\quad$

Partie B

a. D’après l’énoncé $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=0,6$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)=0,6$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} x_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
&=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
&=P\left(R_n\right)P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\right)P_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
&=0,6x_n+0,4\left(1-x_n\right) \\
&=0,6x_n+0,4-0,4x_n \\
&=0,2x_n+0,4\end{align*}$
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. On a
$\begin{align*} u_{n+1}&=x_{n+1}-0,5 \\
&=0,2x_n+0,4-0,5 \\
&=0,2x_n-0,1 \\
&=0,2\left(x_n-0,5\right) \\
&=0,2u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_0=0,85-0,5=0,35$.
$\quad$
b. D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,35\times 0,2^n$.
Or $x_n=u_n+0,5$ donc $x_n=0,5+0,35\times 0,2^n$.
$\quad$
$-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=0,5$.
$\quad$
c. Sur le long terme le joueur réussit un service sur deux.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : appareil de la marque A

Il semblerait que la température maximale soit atteinte au bout de $200$ minutes.
$\quad$
Il semblerait que la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes.
$\quad$
$f$ semble être une fonction continue et positive sur $[0;600]$. Par conséquent $\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;600]$.
Il y a environ $121$ carrés (en assemblant les carrés incomplets entre eux) compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=600$.
Chaque carré à une aire égale à $25\times 50=1~250$ °C.min.
Par conséquent
$\begin{align*}\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt&\approx \dfrac{121\times 1250}{600}\\
&\approx 252\end{align*}$
Durant les $600$ premières minutes, la température moyenne du foyer était environ égale à $252$ °C.
$\quad$

Partie 2 : étude d’une fonction

Par croissances comparées $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-0,01t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=20$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} g'(t)&=10\e^{-0,01t}-0,01\times 10t\e^{-0,01t} \\
&=(10-0,1t)\e^{-0,01t}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$, $g'(t)$ est du signe de $-0,1t+10$.
$\begin{align*} -0,1t+10>0&\ssi -0,1t>-10 \\
&\ssi t<100\end{align*}$
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;100]$ et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

où $g(100)=1~000\e^{-1}+20$
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;100]$.
De plus $g(0)=20$ et $g(100)\approx 388$.
Ainsi $300\in [g(0);g(100)]$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[0;100]$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
De plus $g(100)\approx 388$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=20$.
Ainsi $300\in ]20;g(100)]$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[100;+\infty[$.
$\quad$
Par conséquent l’équation $g(x)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0;+\infty[$.
D’après la calculatrice ces solutions sont environ égales à $43$ et $193$.
$\quad$
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ définies sur $[0;600]$ par :
$$\begin{array}{lll} u(t)=t&\phantom{123}&u'(t)=1\\v(t)=-100\e^{-0,01t}&&v'(t)=\e^{-0,01t}\end{array}$$
$\begin{align*}\int_0^{600} g(t)\dt&=10\int_0^{600}t\e^{-0,01t}\dt+\int_0^{600} 20\dt \\
&=10\left(\left[-100t\e^{-0,01t}\right]_0^{600}-\int_0^{600} \left(-100\e^{-0,01t}\right)\dt\right)+20\times 600 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}+100\int_0^{600}\e^{-0,01t}\dt\right)+12~000 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}+100\left[-100\e^{-0,01t}\right]_0^{600}\right)+12~000 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}-10~000\e^{-6}+10~000\right)+12~000 \\
&=112~000-700~000\e^{-6}\end{align*}$
$\quad$

Partie 3 : évaluation

Appareil A
La température maximale semble environ égale à $350$ °C.
La température maximale est atteinte en $200$ minutes, donc en plus de $2$ heures.
La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à $252$°C.
La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes, c’est-à-dire $4$ heures.
$\quad$
L’appareil A obtient donc trois étoiles.
Appareil B

La température maximale semble environ égale à $388$ °C.
La température maximale est atteinte en $100$ minutes, donc en moins de $2$ heures.
La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à :
$\begin{align*} \dfrac{1}{600}\int_0^{600} g(t)\dt&=\dfrac{112~000-700~000\e^{-6}}{600} \\
&\approx 183 \text{°C}\end{align*}$
La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $193-43=150$ minutes, c’est-à-dire $2$ heures et demi.
$\quad$
L’appareil B obtient donc trois étoiles.

Ex 4

Exercice 4

On a $OA=200$
L’avion n°1 parcourt $200$ m pour relier le point $0$ au point $A$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(87+33)^2+(75-75)^2+(-116-44)^2}\\
&=\sqrt{40~000} \\
&=200\end{align*}$
L’avion n°2 parcourt également $200$ m pour relier le point $B$ au point $C$.
$\quad$
Ils volent tous les deux à la même vitesse et parcourent la même distance.
L’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
$quad$
On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}0\\200\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}120\\0\\-160\end{pmatrix}$.
Ainsi une représentation paramétrique de $(OA)$ est $\begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$ et une représentation paramétrique de $(BC)$ est $\begin{cases} x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases} \quad k\in \R$.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\-33+120k=0\\75=200t\\44-160k=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\120k=33\\t=\dfrac{75}{200}\\[2mm]160k=44\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}x=0\\y=75\\z=0\\k=0,275\\t=0,375\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont sécantes au point de coordonnées $(0;75;0)$.
Les trajectoires des deux avions se coupent.
$\quad$
Les deux avions atteignent le point d’intersection des deux trajectoires à des temps différents $0,375$ seconde pour l’avion n°1 et $0,275$ seconde pour l’avion B.
Mathématiquement les deux avions ne se percutent pas lors de ce passage.
Cependant, l’écart de $0,1$ seconde entre les deux temps est relativement court et ne laisse pas une marge importante de sécurité (chaque avion parcourt $20$ m durant en $0,1$ seconde).
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Soit $(E)$ l’équation différentielle : $y’-2y=-6x+1$
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}-6x+1$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.

$\quad$

Affirmation 2 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par

$$u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$$

La suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$.

$\quad$

Affirmation 3 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie dans l’affirmation 2.
L’instruction $\text{suite(50)}$ ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

def suite(k):
    S = 0
    for i in range(k):
        S = S + (3 / 4)**k
    return S

def suite(k):

S = 0

for i in range(k):

S = S + (3 / 4)**k

return S

$\quad$

Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $$ f(x)=a \ln (x)-2 x$$

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\Oij$.
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ;
si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\conj{R_n}$ l’évènement contraire.

Partie A :

On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$.
$\quad$
Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier.
$\quad$
Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1).
$\quad$
b. Calculer l’espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B :
On s’intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$.

a. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2 x_n+0,4$.
$\quad$
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=x_n-0,5$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(x_n\right)$.
$\quad$
c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer.

Par lecture graphique :

Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer.
$\quad$
Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$ °C.
$\quad$
On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$. Interpréter le résultat.
$\quad$

Partie 2: étude d’une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left[0 ;+\infty\right[$ par $g(t)=10 t \e^{-0,01 t}+20$

Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
$\quad$
a. Montrer que pour tout $t \in\left[0 ;+\infty\right[$ , $g'(t)=(-0,1 t+10) \e^{-0,01 t}$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0 ;+\infty[$ et construire son tableau de variations.
$\quad$
Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0 ;+\infty[$. En donner des valeurs approchées à l’unité.
$\quad$
À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\ds \int_0^{600} g(t) \dt$.
$\quad$

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $[0 ; 600]$ par la fonction $g$.

L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320$ °C.
Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de $2$ heures.
Critère 3 : la température moyenne durant les $10$ premières heures après l’allumage dépasse $250$ °C.
Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ °C pendant plus de $5$ heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

$\quad$

Exercice 4 (7 points)

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$, une unité représentant un mètre ;
l’avion n°1 doit relier le point $O$ au point $A(0 ; 200 ; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200$ m/s;
l’avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33 ; 75 ; 44)$ au point $C(87 ; 75 ;-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200$ m/s;
au même instant, l’avion n°1 est au point $O$ et l’avion n°2 est au point $B$.

Justifier que l’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
$\quad$
Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
$\quad$
Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?
$\quad$

$\quad$

Bac – Polynésie – jour 1 – juin 2024

Polynésie – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{OC}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
$\vec{n}.\vect{OA}=2+0-2=0$
$\vec{n}.\vect{OC}=5+0-6=-1\neq 0$
Donc $\vec{n}$ n’est pas orthogonal à $\vect{OC}$.
Par conséquent $\vec{n}$ n’est pas normal au plan $(OAC)$.
Affirmation 1 fausse.
$\quad$
Si on prend $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient $\begin{cases} x=5\\y=0\\z=-3\end{cases}$. Le point $C$ appartient donc à $\mathcal{D}$.
$\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AC}=-\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$C$ appartient à la droite $(AB)$.
Il ne reste plus qu’à vérifier que la droite $(AB)$ n’est pas confondue avec la droite $\mathcal{D}$.
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$. Or $\dfrac{-3}{-1}\neq \dfrac{1}{1}$. Ainsi $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ ne sont pas colinéaires.
Les deux droites sont bien sécantes au point $C$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}.\vec{n}=-1+5-4=0$ : $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
Par conséquent $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$
On a $\vect{BC}\begin{pmatrix}6\\-2\\-4\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$ est $\vec{q}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
On a donc $\vect{BC}=2\vec{q}$.
Ainsi $\vect{BC}$ est normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Le milieu de $[BC]$ est $M(2;1;-1)$.
Or $3\times 2-1-2\times (-1)-7=6-1+2-7=0$: donc $M$ appartient au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Affirmation 4 vraie.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

$(E)$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,02$ et $b=m$.
Les fonctions solution de cette équation différentielle sont es fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(t)=k\e^{at}-\dfrac{b}{a}$.
Or $-\dfrac{b}{a}=50m$.
Ainsi l’ensemble des fonctions solution de $(E)$ est $\acco{t\in \R\mapsto k\e^{-0,02t}+50m,~\forall k\in \R}$.
$\quad$
$\lim\limits_{t\to +\infty} -0,02t=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc, pour tout réel $k\in \R$, $\lim\limits_{t\to +\infty} k\e^{-0,02t}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=50m.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=30$.
Par conséquent $50m=30 \ssi m=0,6$.
$\quad$
Pour tout réel $t$ on a donc $f(t)=k\e^{-0,02t}+30$ et $f(0)=210$.
Ainsi $k\e^0+30=210\ssi k+30=210\ssi k=180$.
Pour tout réel $t$ on a alors $f(t)=180\e^{-0,02t}+30$.
$\quad$

Partie B

a. Graphiquement, il semblerait que $f(t)<50\ssi $t>110$.
Par conséquent $T\approx 110$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} f(t)<50&\ssi 180\e^{-0,02t}+30<50 \\
&\ssi 180\e^{-0,02t}<20 \\
&\ssi \e^{-0,02t}<\dfrac{1}{9} \\
&\ssi -0,02t<\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \qquad \text{croissance de la fonction exp} \\
&\ssi -0,02t<-\ln(9) \\
&\ssi t>50\ln(9) \qquad \text{division par un nombre négatif}\end{align*}$.
Ainsi $T=50\ln(9)$.
$\quad$
La valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} f(t)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} \left(180\e^{-0,02t}+30\right)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\times \left[\dfrac{180}{-0,02}\e^{-0,02t}+30t\right]_0^{100} \\
&=\dfrac{1}{100}\left(-9~000\e^{-2}+3~000+9~000\right) \\
&=120-90\e^{-2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On répète $3$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Pour tout $k\in \acco{0;1;2;3}$ on a $P(X=k)=\dbinom{3}{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\dbinom{3}{k}\times\dfrac{1}{8}$.
On obtient ainsi :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&0,125&0,375&0,375&0,125\\
\hline
\end{array}$

Partie B

$A_1$ est vérifié. On relance donc $2$ pièces.
Il y a $4$ tirages possibles : Pile–Pile ; Pile–Face ; Face–Pile et Face–Face. La probabilité que ces deux pièces fournissent Face est égale à $\dfrac{1}{4}$.
Par conséquent $P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p&=P(G)\\
&=P\left(A_0\cap G\right)+P\left(A_1\cap G\right)+P\left(A_2\cap G\right)+P\left(A_3\cap G\right) \\
&=P\left(A_0\right)\times P_{A_0}(G)+P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)+P\left(A_2\right)\times P_{A_2}(G)+P\left(A_3\right)\times P_{A_3}(G) \\
&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\times 1 \\
&=\dfrac{27}{64}\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_G\left(A_1\right)&=\dfrac{P\left(G\cap A_1\right)}{P(G)}\\ &=\dfrac{P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{27}{64}} \\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
La probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative sachant que la partie a été gagnée est égale à $\dfrac{2}{9}$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{27}{64}$ et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la partie est gagnée. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,95 &\ssi 1-P(Y=0)>0,95 \\
&\ssi P(Y=0)<0,05 \\
&\ssi \left(1-\dfrac{27}{64}\right)^n<0,05 \\
&\ssi n\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)<\ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction ln} \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \approx 5,5$.
Il faut donc jouer au moins $6$ fois à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On a :

Python

def suite(n): u = 3 for i in range(n): u = 4 / (5 - u) return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = 3
   for i in range(n):
      u = 4 / (5 - u)
   return u

$\quad$
$\text{suite(2)}$ renvoie une valeur approchée de $u_2$.
On a :
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{4}{5-3} \\
&=\dfrac{4}{2} \\
&=2\end{align*}$
et
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{4}{5-2}\\
&=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
Or $\dfrac{4}{3}\approx 1,333~333~333~333~333~3$.
$\quad$
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $1$.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;5[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x<5$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-(-1)\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&=\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;5[$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$.
Initialisation : $u_0=3$ et $u_1=2$. Donc $1\pp u_1\pp u_0 \pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$
La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;5[$. Ainsi :
$f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(4)$.
Par conséquent $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 4$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$.
$\quad$
a. Soit $x<5$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4}{5-x}=x \\
&\ssi \dfrac{4}{5-x}-x=0 \\
&\ssi \dfrac{4-(5-x)x}{5-x}=0 \\
&\ssi \dfrac{4-5x+x^2}{5-x}=0 \\
&\ssi 4-5x+x^2=0 \qquad \text{ car }5-x\neq 0\end{align*}$
$\quad$
b. $x^2-5x+4=0$ est une équation du second degré.
Son discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 4=9>0$.
Ses racines sont $\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$.
Or $1\in ]-\infty;5[$ et $4\in ]-\infty;5[$.
Par conséquent les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont $1$ et $4$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est, d’après la question B.2, décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
$f$ est continue (car dérivable) sur $]-\infty;5[$ et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question précédente $\ell=1$ ou $\ell=4$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=3<4$. Par conséquent $\ell=1$.
$\quad$
Si $u_0=4$ alors $u_1=4$.
Un rapide raisonnement par récurrence nous permettrait de montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=4$.
La suite $\left(u_n\right)$ serait donc constante égale à $4$.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 1) \text{ et } C(5 ; 0 ;-3)$$
On note $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne : $$x+5y-2z+3=0$$
On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-t+3\\y=t+2\\z=2t+1\end{cases} \qquad t\in \R$$

Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$.

$\quad$
Affirmation 2 :
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C$.

$\quad$
Affirmation 3 :
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

$\quad$
Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment $[BC]$, noté $Q$, a pour équation cartésienne : $$3x-y-2z-7 = 0$$
On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

$\quad$

Exercice 2 5 points

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$ °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l’on cherche à déterminer : $$(E)~ :~ y’+0,02y = m$$

Partie A

Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel :
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Entrée :}&\text{RésoudreEquationDifférentielle (y′ +0,02y = m)}\\
\hline
\text{Sortie :}& \boxed{\to}~ y = k *\exp(−0.02∗t)+50*m\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La température de l’atelier est de $30$ °C. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30$ °C lorsque $t$ tend vers l’infini.
Démontrer que $m = 0,6$.
$\quad$
Déterminer l’expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale f$ (0) = 210$.
$\quad$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous : $$f(t)=180\e^{-0,02t}+30$$

. L’objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50$°C.
a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l’objet.
$\quad$
b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
$\quad$
À l’aide d’une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

Voici les règles d’un jeu où le but est d’obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

$G$ : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, les évènements :
$A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p =\dfrac{27}{64}$
$\quad$
La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
$\quad$
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 6 points

L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n\in \$N : $$u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}$$

Partie A

Recopier et compléter la fonction Python suivante $\text{suite(n)}$ qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.

Python

def suite(n): u = ... for i in range(n) : ... return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = ...
   for i in range(n) :
      ...
   return u

$\quad$
L’exécution de $\text{suite(2)}$ renvoie $1.3333333333333333$.
Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
$\quad$
À l’aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
» \text{ suite}(2)\\
1.3333333333333333\\
» suite(5)\\
1.0058479532163742\\
» \text{ suite}(10)\\
1.0000057220349845\\
» \text{ suite}(20)\\
1.000000000005457\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$ par : $$f(x) =\dfrac{4}{5-x}$$
Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f \left(u_n\right)$.

Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$$
$\quad$
a. Soit x un réel de l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
Prouver l’équivalence suivante : $$f (x) = x \ssi x^2-5x +4 = 0$$
$\quad$
b. Résoudre $f(x) = x$ dans l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Déterminer sa limite.
$\quad$
Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
$\quad$

Bac – Métropole – jour 2 (non utilisé) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (non utilisé) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(R\cap F)&=P(R)\times P_R(F)\\
&=0,6_times 0,47 \\
&=0,282\end{align*}$
La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité est égale à $0,282$.
$\quad$
c. $\left(R,\conj{R}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(F)=P(R\cap F)+P\left(\conj{R}\cap F\right) &\ssi 0,38=0,282+P\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi 0,098=0,4\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi P_{\conj{R}}(F)=0,245\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier est égale à $0,245$.
$\quad$
d. On a :
$\begin{align*} P_F(R)&=\dfrac{P(R\cap F)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,282}{0,38} \\
&\approx 0,742 \\
&<0,8\end{align*}$
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,38$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 5)&=1-P(X<5) \\
&=1-P(X\pp 4) \\
&\approx 0,927\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidémité dans un échantillon de $20$ est environ égale à $0,927$.
$\quad$

Partie B

$X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$. Donc :
$\begin{align*} E\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47 \\
&=470\end{align*}$
En moyenne $470$ clients sur les $1~000$ interrogés ont acheté la carte de fidélité.
$\quad$
$Z$ modélise la somme moyenne, en euros, offerte aux $1~000$ clients interrogés.
On a, par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*}E(Z)=\dfrac{1}{1~000} E(Y) \\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(E\left(Y_1\right)+E\left(Y_2\right)\right)\\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(30~000+50E\left(X_2\right)\right) \\
&=\dfrac{1}{1~000}(30~000+23~500) \\
&=\dfrac{53~500}{1~000} \\
&=53,5\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} V\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47\times 0,53 \\
&=249,1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V\left(Y_2\right)&=50^2V\left(X_2\right) \\
&=2~500\times 249,1 \\
&=622~750\end{align*}$
$Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(Z)&=\dfrac{1}{1~000^2}V(Y)\\
&=\dfrac{1}{1~000~000}\left(V\left(Y_1\right)+V\left(Y_2\right)\right) \\
&=\dfrac{722~750}{1~000~000}\\
&=0,72~275\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(51,7<Z<55,3)&=P\left(-1,8<Z-E(Z)<1,8\right) \\
&=P\left(\abs{Z-E(Z)}<1,8\right) \\
&=1-P\left(\abs{E-E(Z)}\pg 1,8\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \end{align*}$
Or $1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2}\approx 0,777>0,75$.
La probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=12-6-6=0$.
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$.
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Affirmation 1 vraie.
$\quad$
Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(0;4;1)$ c’est-à-dire le point $A$.
Si on prend $t=2$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(6;1;5)$ c’est-à-dire le point $B$.
Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $2x+2y-z-9=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{6}{2}=3\neq \dfrac{-3}{2}$.
Ainsi $\vect{AB}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires.
Affirmation 3 fausse.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{a}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $\mathcal{D}’$ est $\vec{b}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{-1}{1}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les deux droites de ne sont pas parallèles.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\3+t=2t’\\1+t=4-t’\\2+t=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\1+2t’-3=4-t’\\2+2t’-3=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\3t’=6\\-1=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=4\\y=2\\z=3\\t=1\\t’=2\end{cases} \end{align*}$
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont sécantes au point de coordonnées $(4;2;3)$.
Affirmation 4 fausse
$\quad$

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} u_{n+1}-2&={u_n}^2-2u_n+2-2 \\
&=u_n\left(u_n-2\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
D’une part :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&={u_n}^2-2u_n+2-u_n \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} \left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right) &={u_n}^2-2u_n-u_n+2 \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
Donc $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n<2$.
Initialisation : $u_0=a<2$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Or $u_n<2 \ssi u_n-2<0$.
Par hypothèse, $u_n>1>0$ donc $u_n\left(u_n-2\right)<0$ c’est-à-dire $u_{n+1}-2<0$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<2$.
$\quad$
b. On a $u_n>1\ssi u_n-1>0$ et $u_n<2\ssi u_n-2<0$ donc $\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)<0\ssi u_{n+1}-u_n<0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell$ appartenant à $[0;1]$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x+2$. Cette fonction est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-2x+2=x \\
&\ssi x^2-3x+2=0 \\
&\ssi (x-1)(x-2)=0\end{align*}$
Ainsi $\ell$ vaut $1$ ou $2$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=a<2$.
Ainsi $\ell=1$.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas particulier $\boldsymbol{a=2}$.

$\text{u(2,1)}$ renvoie la valeur de $u_1$ et $\text{u(2,2)}$ renvoie la valeur de $u_2$.
Or $2^2-2\times 2+2=2$.
Ainsi les deux appels vont renvoyer la même valeur $2$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que si $a=2$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante égale à $2$.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}-1\right) \\
&=\ln\left({u_n}^2-2u_n+1\right) \\
&=\ln\left(\left(u_n-1\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(u_n-1\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln(a-1)$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\ln(a-1)\times 2^n$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
Par conséquent $u_n-1=\e^{v_n} \ssi u_n=1+\e^{v_n}$.
Ainsi $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
$2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$.
$\bullet$ Si $a\in ]1;2[$ alors, d’après la partie A, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
$\bullet$ Si $a=2[$ alors, d’après la partie B, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$.
$\bullet$ Si $a>2$ alors $a-1>1$ et $\ln(a-1)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n \times \ln(a-1)=+\infty$. Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude graphique

a. Graphiquement $f(0)=2$
$\quad$
b. $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite $T$, droite passant par $M(0;2)$ et $P(2;0)$.
Ainsi $f'(0)=\dfrac{2-0}{0-2}=-1$.
$\quad$
Graphiquement, l’équation $f(x)=0$ semble n’avoir qu’une seule solution $-2$.
$\quad$
La courbe $C_f$ semble posséder un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $0$.
La fonction $f$ n’est donc pas convexe sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ semble être négative sur $]-\infty;-2]$ et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ses primitives sont donc décroissantes sur $]-\infty;-2]$ et croissantes sur $[-2;+\infty[$.
Seule la courbe $2$ semble vérifier ces variations.
La courbe $2$ peut donc représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique

$f(0)=2\ssi b\e^0=2 \ssi b=2$.
$\quad$
$f(-2)=0\ssi (-2a+b)\e^{-2\lambda}=0 \ssi -2a+b=0$ car $\e^t>0$ pour tout $t\in \R$.
Or $b=2$ ainsi $-2a+2=0\ssi 2(1-a)=0 \ssi a=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=(x+2)\e^{\lambda x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{\lambda x}+\lambda(x+2)\e^{\lambda x} \\
&=(1+\lambda x+2\lambda)\e^{\lambda x} \end{align*}$
Or $f'(0)=-1$ d’après la partie A.
Donc $(1+2\lambda)\e^0=-1 \ssi 2\lambda+1=-1 \ssi 2\lambda =-2 \ssi \lambda =-1$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.
$\quad$

Partie C : étude algébrique

$\lim\limits_{x\to -\infty} x+2=-\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\e^{-x}+2\e^{-x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$. Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
&=(-1+x+1)\e^{-x} \\
&=x\e^{-x}\end{align*}$
La fonction exponentielle étant strictement positiver sur $\R$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
Ainsi :
$\bullet$ pour tout $x<0$ on a $f\dsec(x)<0$ ;
$\bullet$ pour tout $x>0$ on a $f\dsec(x)>0$ ;
$\bullet$ $f\dsec(0)=0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la réponse précédente, la courbe $C_g$ possède un unique point d’inflexion de coordonnées $(0;2)$.
$\quad$
a. On réalise une intégration par parties à l’aides des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-2;t]$ définies par :
$$\begin{array}{lll} u(x)=x+2&\phantom{123}&u'(x)=1 \\
v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
Par conséquent :
$\begin {align*}I(t)&=\int_{-2}^t f(x)\dx \\
&=\Big[-(x+2)\e^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\e^{-x}\dx \\
&=-(t+2)\e^{-t}-\Big[\e^{-x}\Big]_{-2}^t \\
&=(-t-2)\e^{-t}-\left(\e^{-t}-\e^2\right) \\
&=(-t-2-1)\e^{-t}+\e^2 \\
&=(-t-3)\e^{-t}+\e^2\end{align*}$
$\quad$
b. On a donc, pour tout $t\pg 0$, $I(t)=-t\e^{-t}-3\e^{-t}+\e^2$.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} 3\e^{-t}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-t}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} I(t)=\e^2$.
La fonction $f$ est continue sur $\R$ (car dérivable) et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ainsi $I(t)$ est l’aire de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=-2$ et $x=t$.
Par conséquent la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et à droite de la droite d’équation $x=-2$ est non limitée et son aire est finie (elle vaut $\e^2$.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme «régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que $60\%$ de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, $47\%$ ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l’ensemble de tous les clients de la société, $38\%$ ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants :

$R$ : « le client est un client régulier » ;
$F$ « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $\conj{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

a. Reproduire l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés.
$\quad$

$\quad$
b. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier.
$\quad$
d. Le directeur du service des ventes affirme, que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de $80\%$ sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte ?
$\quad$
On choisit un échantillon de $20$ clients de la société sélectionnés de manières indépendante.
On suppose que ce choix s’assimile à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F)=0,38$.
les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
$\quad$

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L’institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d’un nombre valable de questions.
On choisit au hasard un échantillon de $1~000$ clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces $1~000$ clients répondent.

Pour les remercier, la société offre un bon d’achat à chacun des clients de l’échantillon. Le montant de ce bon d’achat, dépend du nombre de questions posées au client.
La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l’échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d’achat, offre à chacun d’eux une prime d’un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d’achat des $1~000$ clients. On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à $30~000$ et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à $100~000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients, associe le total en euros des montants de la prime de fidélité versée.
On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$ et que $Y_2=50X_2$.

Calculer l’espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

On note $Y=Y_1+Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d’achat et prime de fidélité) aux $1~000$ clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=\dfrac{Y}{1~000}$.

Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l’exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0,722~75$.
$\quad$
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse ne rapporte aucun point.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonomé $\Oijk$, on considère les points $A(0;4;-1)$, $B(6;1;5)$ et $C(6;2;-1)$. On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$

Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases} ~~$ où $t\in \R$.
$\quad$

Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est $2x+2y+z+9=0$.
$\quad$

On considère les droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique $$\mathcal{D}:~\begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}~~\text{où } t\in \R\qquad \mathcal{D}’:~\begin{cases} x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}~~ \text{où } t’\in \R$$
Affirmation 4 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}={u_n}^2-2u_n+2$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-2=u_n\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
a. En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n<2$$
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas $\boldsymbol{a=2}$.

On donne ci-dessous la fonction $\text{u}$ écrite en langage Python.

Python

def u(a,n) : u = a for k in range(n): u = u**2 - 2 * u + 2 return u

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def u(a,n) :
   u = a
   for k in range(n):
      u = u**2 - 2 * u + 2
   return u

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l’on saisit $\text{u(2,1)}$ et $\text{u(2,2)}$ dans la console Python.
$\quad$
Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\left(u_n\right)$ dans le cas où $a=2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à $1$, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ ;
la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0;2)$ ;
le point $M(-2;0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2;0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.

Partie A : étude graphique.

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

a. Donner $f(0)$.
$\quad$
b. Déterminer $f'(0)$.
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier.
$\quad$
Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de $f$ sur $\R$. Justifier.
$\quad$

$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique.

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\e^{\lambda x}$ où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

Justifier que $b=2$.
$\quad$
Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$.
$\quad$
Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
$\quad$

Partie C : étude algébrique.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
$\quad$
On admet que $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
$\quad$
a. Étudier la convexité de $f$.
$\quad$
b. Préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe $C_f$.
$\quad$
pour tout nombre réel $t\pg 0$, on pose : $$I(t)=\int_{-2}^t f(x)\dx$$
a. En utilisant une intégration par parties, monter que $I(t)=(-t-3)\e^{-t}+\e^2$.
$\quad$
b. En déduire un exemple de surface non limitée dont l’aire est finie.
$\quad$

$\quad$

Bac – Polynésie – jour 2 – juin 2024

Polynésie – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $P(J)=0,6$ et $P_J(S)= \dfrac{8}{9}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} P(J\cap S)&=P(J)\times P_J(S)\\
&=0,6\times \dfrac{8}{9} \\
&=\dfrac{8}{15}\end{align*}$
La probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
$\quad$
a. On a $P(S)=\dfrac{2}{3}$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)=P(J\cap S)+P\left(\conj{J}\cap S\right) &\ssi \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{15}+P\left(\conj{J}\cap S\right) \\
&\ssi P\left(\conj{J}\cap S\right)=\dfrac{2}{15}\end{align*}$.
La probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est égale à $\dfrac{2}{15}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap S\right)=P\left(\conj{J}\right)\times P_{\conj{J}}(S)&\ssi \dfrac{2}{15}=0,4\times P_{\conj{J}}(S) \\
&\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{0,4} \\
&\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
$\quad$
a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{2}{3}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b. On a ainsi :
$\begin{align*} P(X=16)&=\dbinom{30}{16}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{14} \\
&\approx 0,046\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive est environ égale à $0,046$.
$\quad$
c. $\dfrac{10~000}{380} \approx 26,3$.
Le budget prévu ne permet d’offrir que $26$ places.
Or, d’après la calculatrice,
$\begin{align*} P(X>26)&=1-P(X\pp 26)\\
&\approx 0,003\end{align*}$.
La probabilité que ce budget soit insuffisant est environ égale à $0,003$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Nous avons une équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
Donc, ici, $f(x)=C\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$.
On veut que $f(0)=1\ssi C+\dfrac{7}{3}=1\ssi C=-\dfrac{4}{3}$.
Ainsi, $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
Réponse B
$\quad$
La fonction $f$ semble continue et positive sur $[1;5]$. $I$ est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$.
$5$ carreaux sont contenus dans ce domaine et ce domaine est contenu dans un ensemble de $10$ carreaux.
Donc $5\pp I\pp 10$.
Réponse C
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \int_0^2 g'(x)\dx&=\Big[g(x)\Big]_0^2 \\
&=g(2)-g(0)\\
&=4\ln(8)-0\\
&\approx 8,3\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
Il existe $\dfrac{31}{5}$ groupes différents de $5$ élèves dans une classe de $31$ élèves.
Réponse D
$\quad$
Il y a $\dbinom{20}{3}$ groupes différents de $3$ élèves ayant choisi la spécialité SES.
Il y a $\dbinom{31-20}{5-3}=\dbinom{11}{2}$ façons différentes de choisir les $2$ autres élèves parmi les élèves n’ayant pas choisi la spécialité SES.
Il y a donc $\dbinom{20}{3}\dbinom{11}{2}$ groupes possibles.
Réponse A
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$
$u_2=8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right) \approx 6,70$.
$\quad$
b. Cet appel renvoie une valeur approchée de la somme $\ds \sum_{k=0}^{9} u_k=u_0+\ldots+u_{9}$.
$\quad$
c. On peut écrire :

Python

def mystere(k): u = 8 S = 0 for i in range(k): S = S + u u = u - log(u / 4) return(S / k)

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def mystere(k):
   u = 8
   S = 0
   for i in range(k):
      S = S + u
      u = u - log(u / 4)
   return(S / k)

Remarque : On suppose que $k$ est un entier naturel non nul.
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{x}{4}} \\
&=1-\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$ car $x>0$.
or $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$\begin{align*}f(1)&=1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \\
&=1+\ln(4)\end{align*}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
Remarque : Si on veut calculer les limites (ce qui n’est pas demandé) :
$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x}{4}=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x-\ln(x)+\ln(4) \\
&=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln(4)}{x}\right) \end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(4)}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
Initialisation : $u_0=8$ et $u_1\approx 7,31$ donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ donc :
$f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
Soit $1<1+\ln(4)\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell \in[1;+\infty[$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x \\
&\ssi -\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0 \\
&\ssi \dfrac{x}{4}=1 \qquad (\text{stricte croissance de la fonction } \ln )\\
&\ssi x=4\end{align*}$
L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ est $4$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction continue (car dérivable) sur $]0;+\infty[$.
D’après la question 3.b. cette suite converge vers un réel $\ell$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question précédente $\ell=4$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-1}{-2}$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=10+3-13=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=4+6-10=0$
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-3y+z+d=0$.
Or $A(-1;-1;17)$ appartient à ce plan.
Ainsi $-2+3+17+d=0\ssi d=-18$.
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18=0$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. Les coordonnées du point $E$ sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} 2x-3y+z-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 7t-28=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=4\\x=14\\y=9\\z=17\end{cases}\end{align*}$
Le point $E$ a donc pour coordonnées $(14;9;17)$.
$\quad$
On a $\vect{FD}\begin{pmatrix}-4\\6\\-2\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} FD&=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{16+36+4} \\
&=\sqrt{56} \\
&=\sqrt{4\times 14} \\
&=2\sqrt{14}\end{align*}$
La distance entre point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
$\quad$
La plus petite distance entre le point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ est $FD$.
Le drone mettra donc $\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6} \approx 40,2$ s pour parcourir cette distance.
Le nouveau drone ne pourra pas arriver à temps.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (4 points)

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

$60 \%$ des plus de 15 ans ont l’intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision;
parmi ceux qui ont l’intention de regarder les JOP, $8$ personnes sur $9$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

$J$ : « la personne a l’intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »;
$S$ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $\conj{J}$ et $\conj{S}$ leurs évènements contraires.
Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible

Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
$\quad$
b. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\conj{J}$ notée $P_{\conj{J}}(S)$.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Dans le cadre d’une opération de promotion, $30$ personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
On assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
$\quad$
c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.
Le prix d’une place s’élève à $380$ € et on dispose d’un budget de $10~000$ euros pour cette opération.
Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les
cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève
aucun point.

La solution f de l’équation différentielle $y’ =-3y +7$ telle que $f (0) = 1$ est la fonction
définie sur $\R$ par :
A. $f(x)=\e^{-3x}$
B. $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
C. $f(x)=\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
D. $f(x)=-\dfrac{10}{3}\e^{-3x}-\dfrac{7}{3}$
$\quad$
La courbe d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ est donnée ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
Un encadrement de l’intégrale $I=\ds \int_1^5 f(x)\dx$ est :
A. $0\pp I\pp 4$
B. $1\pp I \pp 5$
C. $5\pp I\pp 10$
D. $10\pp I\pp 15$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2\ln\left(x^2+4\right)$.
Alors $\ds \int_0^2 g'(x)\dx$ vaut, à $10^{-1}$ près :
A. $4,9$
B. $8,3$
C. $1,7$
D. $7,5$
$\quad$
Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves
de terminale.
Elle veut former un groupe de $5$ élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de $5$ élèves ?
A. $31^5$
B. $31\times 30\times 29\times 28\times 27$
C. $31+30+29+28+17$
D. $\dbinom{31}{5}$
$\quad$
La professeure s’intéresse maintenant à l’autre spécialité des $31$ élèves de son groupe :
$\bullet$ $10$ élèves ont choisi la spécialité physique-chimie;
$\bullet$ $20$ élèves ont choisi la spécialité SES;
$\bullet$ $1$ élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
Elle veut former un groupe de $5$ élèves comportant exactement $3$ élèves ayant choisi
la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
A. $\dbinom{20}{3}\times \dbinom{11}{2}$
B. $\dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2}$
C. $\dbinom{20}{3}$
D. $20^3\times 11^2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (6 points)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0 = 8 \text{ et pour tout entier naturel } n,~ u_{n+1}= u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right).$$

a. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\text{mystere}$ définie ci-dessous en Python. On admet que,
pour tout réel strictement positif $\text{a}$, $\text{log(a)}$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $\text{a}$.

Python

def mystere(k) : u = 8 S = 0 for i in range(k) : S = S + u u = u − log( u / 4 ) return S

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def mystere(k) :
   u = 8
   S = 0
   for i in range(k) :
      S = S + u
      u = u − log( u / 4 )
   return S

L’exécution de $\text{mystere(10)}$ renvoie $\text{58.44045206721732}$. Que représente ce résultat ?
$\quad$
c. Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie la moyenne des $k$ premiers
termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)$$
On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.
$\quad$

$\quad$
Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0 ; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1\pp u_{n+1} \pp u_n$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.
On note $\ell$ la valeur de cette limite.
$\quad$
c. Résoudre l’équation $f(x) = x$.
$\quad$
d. En déduire la valeur de $\ell$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d’artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d’un point de départ $D$ de coordonnées $(2 ; 5 ; 1)$.

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.

Trois drones sont positionnés aux points $A(-1;-1; 17)$, $B(4 ;-2 ; 4)$ et $C(1 ;-3 ; 7)$.

Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$

Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$ et on considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

a. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18 = 0$.
$\quad$
Le pilote des drones décide d’envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite d dont une représentation paramétrique est donnée par : $$f~:~\begin{cases} x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}~~, \text{avec } t\in \R$$
a. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
$\quad$
b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Le pilote des drones décide d’envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui
passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point $F(6 ;-1 ; 3)$ correspond à cet emplacement.
Démontrer que la distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
$\quad$
L’organisatrice du spectacle demande au pilote d’envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $D$.
Sachant qu’il reste $40$ secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6$ m.s$^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
$\quad$

$\quad$

Bac – Métropole – jour 2 (secours) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

D’après l’énoncé on a $P(Q)=0,917$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)=0,65$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(Q)=P(Q\cap R)+P\left(Q\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,917=P(R)P_R(Q)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35(1-x) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35-0,35x \\
&\ssi 0,567=0,63x \\
&\ssi x=0,9\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_Q(R)&=\dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(Q)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{0,98\times 0,9}{0,917}\\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité pour que l’étudiant ait réussi l’examen sachant qu’il a répondu “oui” est environ égale à $0,962$.
$\quad$
On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que : $ P(N\pg n)\pg 0,65$.
D’après la calculatrice $P(N\pg 11) \approx 0,797$ et $P(N\pg 12)\approx 0,649$
Elle doit récompenser les étudiants ayant obtenus $11$ ou plus.
$\quad$
Remarque : Je pense que la réponse $12$ ou plus devrait être acceptée puisque $P(N \pg 12) \approx 0,65$ (mais est légèrement inférieure)
Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*} E(S)&=E\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=E\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10E(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \\
&=123\end{align*}$
$\quad$
Les variables aléatoires $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(S)&=V\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=V\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10V(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \times (1-0,615)\\
&=47,355\end{align*}$
$\quad$
a. $M$ correspond à la moyenne des notes des $10$ candidats.
Remarque : On l’appelle la moyenne empirique.
$\quad$
b. Par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*} E(M)&=\dfrac{1}{10}E(S) \\
&=\dfrac{123}{10} \\
&=12,3\end{align*}$.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} V(M)&=\dfrac{1}{10^2}V(S) \\
&=\dfrac{47,355}{100}\\
&=0,473~55\end{align*}$
$\quad$
c. $M$ possède une variance. On peut donc lui appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
$\begin{align*} P(10,3<M<14,3)&=P\left(-2<M-E(M)<2\right) \\
&=P\left(\abs{M-E(M)}<2\right) \\
&=1-P\left(\abs{M-E(M)}\pg 2\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(M)}{2^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
&\pg 0,882\end{align*}$
La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80\%$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un modèle discret

$\dfrac{15~000}{50~000}=0,3$ mg.$^{-1}$.
Cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg.$L^{-1}$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
Initialisation : $v_0=0,7$ et $v_1=0,92\times 0,7+0,3=0,944$.
On a bien $v_0\pp v_1\pp 4$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} \pp 4&\ssi 0,92v_n\pp 0,92 v_{n+1} \pp 3,68 \\
&\ssi 0,92v_n+0,3 \pp 0,92v_{n+1}+0,3 \pp 3,98 \\
&\ssi v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 3,98\end{align*}$
Ainsi $v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 4$ et $P'(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp v_{n+1} \pp 4$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell \in [0,7;4]$.
La fonction $f:~x\mapsto 0,92x+0,3$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,92x+0,3=x \\
&\ssi 0,3=0,08x \\
&\ssi x=3,75\end{align*}$
$\left(v_n\right)$ converge donc vers $3,75$.
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et converge vers $3,75$.
Il existe donc un rang à partir duquel $v_n>3$.
À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def alerte_chlore(S): n = 0 v = 0.7 while v <= s: n = n + 1 v = 0.92 * v + 0.3 return(n)

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def alerte_chlore(S):
   n = 0
   v = 0.7
   while v <= s:
      n = n + 1
      v = 0.92 * v + 0.3
   return(n)

$\quad$
D’après la calculatrice $v_{16} \approx 2,95$ et $v_{17} \approx 3,01$
Cet appel renverra donc la valeur $17$.
C’est donc à partir du $17$-ième jour que le taux de chlore ne sera pas conforme.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

L’équation différentielle est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque.
Or $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{4}$.
Ainsi, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
Autre méthode (beaucoup plus longue) Soit $C$ un réel. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-0,08\times x\e^{-0,08x} \\
&=-0,08x\e^{-0,08x}-0,08\times \dfrac{q}{4}+0,08\times \dfrac{q}{4} \\
&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}\end{align*}$
Ainsi $g$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
Soit $h$ un autre fonction solution de $(E)$.
On a alors, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} g'(x)-h'(x)&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}+0,08h(x)-\dfrac{q}{50} \\
&=-0,08\left(g(x)-h(x)\right)\end{align*}$
$g-h$ est donc solution de l’équation différentielle $(H):~y’=-0,08y$ dont l’ensemble solution est $\acco{x\in \R\mapsto K\e^{-0,08x},~\forall K\in \R}$.
Ainsi toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $x\mapsto C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
C’est en particulier le cas pour $f$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,08x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
b. On souhaite donc que $\dfrac{q}{4}=2 \ssi q=8$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+2$.
On veut également que $f(0)=0,7 \ssi C+2=0,7 \ssi C=-1,3$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : exploitation du graphique

Graphiquement $f(-1)=-2$ et $f'(-1)=1$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$).
$\quad$
Il semblerait que le point d’abscisse $-1,2$ soit un point d’inflexion de $C_f$. La fonction $C_f$ n’est donc pas convexe sur son ensemble de définition.
$\quad$
Il semblerait que l’équation $f(x)=0$ admette une unique solution dont une valeur approchée est $0,1$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

$\lim\limits_{x\to -2^+} x-2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to -2} x^2+2x-1=-1$
Ainsi $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=-2$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x+2+\dfrac{1}{x+2} \\
&=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\end{align*}$
$\quad$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+6x+5$ car $x+2>0$ sur $]-2;+\infty[$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=6^2-4\times 2\times 5=-4<0$
Le coefficient principal de ce polynôme est $2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $x^2+2x-1>0$.
Donc, pour tout réel $x>-2$ on a $f'(x)>0$ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2;+\infty[$.
D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,12$.
$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition et s’annule en $\alpha$.
Par conséquent :
$\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)>0$ sur $]-\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$f’$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{(4x+6)(x+2)-\left(2x^2+6x+5\right)\times 1}{(x+2)^2 } \\
&=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2} \end{align*}$
le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+8x+7$ qui est un polynôme du second degré dont le dénominateur est $\Delta=8>0$.
Il possède donc deux racines qui sont $\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}<-2$ et $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}>-2$.
$f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant qu’une seule fois en $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$C_f$ admet donc qu’un seul point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$

Partie C

On a $J(0;1)$ et $M\left(x;g(x)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} h(x)&=(x-0)^2+\left(g(x)-1\right)^2 \\
&=x^2+\left(\ln(x+2)-1\right)^2 \end{align*}$
$\quad$
a. D’après la question B.5. on obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
b. D’après le tableau de variations précédent $h$ admet un minimum en $\alpha$.
$JM^2$ est donc minimale en $\alpha$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $JM$ est minimale en $\alpha$^.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\
&\ssi \ln(\alpha+2)=1-\alpha^2-2\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}$ et celui de la tangente est $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} g'(\alpha)\times \dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}&=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha} \\
&=\dfrac{-(\alpha+2)}{\alpha+2} \\
&=-1\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Autre méthode : Un vecteur directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\vect{JM_{\alpha}}\begin{pmatrix} \alpha\\\ln(\alpha+2)-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ est $\vect{u_{\alpha}}\begin{pmatrix}1\\g'(\alpha)\end{pmatrix}$.
Or $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{JM_{\alpha}}.\vect{u_{\alpha}}&=\alpha+\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha+2} \\
&=\alpha+\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha+2} \\
&=\dfrac{\alpha^2+2\alpha-2\alpha-\alpha^2}{\alpha+2} \\
&=0\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Les points $A$, $C$ et $D$ définissent bien un plan.
De plus :
$\bullet ~8\times 2+0+0-16=16-16=0$
$\bullet ~ 32-20+4-16=36-36=0$
$\bullet ~0-0+16-16=0$
Les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l’équation cartésienne fournie.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$0-20+12-16=12-36=-24\neq 0$
Les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ fournie à la question précédente.
Donc $B$ n’appartient pas à $(ACD)$.
Les quatre points ne sont pas coplanaires.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}$
Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{2}{-1}\neq \dfrac{4}{-3}$.
Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
Une représentation paramétrique de $(AC)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}~~ $ où $t\in \R$.
Une représentation paramétrique de $(BH)$ est $\begin{cases} x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}~~ $ où $k\in \R$.
On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2t=-k\\4t=4-3k\\t=3-k\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2(3-k)=-k\\4(3-k)=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\12-4k=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\k=8\\t=-5\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
$-1-1+4-2=4-4=0$ : $H$ appartient au plan $(ABC)$.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{align*}1\\-1\\2\end{align*}$.
De plus $\vect{DH}\begin{align*}-1\\1\\-2\end{align*}$.
Ainsi $\vect{DH}=-\vec{n}$ et $\vect{DH}$ est normal au plan $(ABC)$.
Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (5 points)

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 \%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :

$65 \%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
$98 \%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire.

Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\boldsymbol{10^{-3}}$ près.

Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)$.
$\quad$
On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
b. Montrer que $x = 0,9$.
$\quad$
L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
$\quad$
La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
$\quad$
On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\ldots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$.
Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\ldots+N_{10}$.
Calculer l’espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
b. Justifier que $E(M)= 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
$\quad$
c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^3$ d’eau. On rappelle que $1$m$^3 = 1~000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L$^{-1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg. L$^{-1}$.

Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01$ mg. L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

Partie A : étude d’un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg. L$^{-1}$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
$\quad$
À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
$\quad$
Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en
langage Python pour que la fonction $\text{alerte_chlore}$ renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.

Python

def alerte_chlore(s) : n = 0 v = 0.7 while ………………… : n = ………… v = ………… return n

1
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6
7

def alerte_chlore(s) :
   n = 0
   v = 0.7
   while ………………… :
      n = …………
      v = …………
   return n

$\quad$
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction $\text{alerte_chlore(3)}$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)~:~ y’=-0,08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
$\quad$
a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7$ mg. L$^{-1}$.
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg. L$^{-1}$. Déterminer
les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ; +\infty[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f’$ sa dérivée et $d\sec$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ; -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
$\quad$
Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
$\quad$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$
En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que $C_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
$\quad$

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-dessous.

Soit $M$ un point de $C_g$ d’abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction ℎ définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

Justifier que pour tout $x>-2$, on a : $h(x)=x^2+\Big[\ln(x+2)-1\Big]^2$.
$\quad$
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ; +\infty[$.
Les limites ne sont pas demandées.
$\quad$
b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
$\quad$
On notera $M_{\alpha}$ le point de $C_g$ d’abscisse $\alpha$.
a. Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1-2\alpha-\alpha^2$.
$\quad$
b. En déduire que la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $$A(2; 0; 0), B(0; 4; 3), C(4; 4; 1), D(0; 0; 4 ) \text{ et } H(-1; 1; 2)$$

Affirmation 1 : les points $A,~C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x-5y+4z-16=0$.
$\quad$

Affirmation 2 : les points $A,~B,~C$ et $D$ sont coplanaires.
$\quad$

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
$\quad$

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.
Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Métropole – jour 1 – juin 2024

Métropole – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

$\bullet$ D’après les limites composées $\lim\limits_{x\to +\infty}x\e^{-x}=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=0$.
Par conséquent, l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbre $C_f$.
Affirmation 1 vraie.
$\quad$
$\bullet$ La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*}f'(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x} \\
&=5(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)+f(x)&=5\e^{-x}-5x\e^{-x}+5x\e^{-x} \\
&=5\e^{-x}\end{align*}$
La fonction $f$ est bien solution de l’équation différentielle $(E)$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
$\bullet$ Si on considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout $n\in\N$ par $u_n=-1$, $w_n=1$ et $v_n=(-1)^n$.
On a bien $u_n\pp v_n \pp w_n$ ainsi que $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Or $\left(v_n\right)$ n’admet pas de limite.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
Remarque : Les deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ sont constantes. Il n’était pas précisé dans l’énoncé que les suites devaient être strictement monotones.
On peut cependant le faire en considérant, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-1-\dfrac{1}{n}$ et $w_n=1+\dfrac{1}{n}$.
$\quad$
$\bullet$ La suite $\left(u_n\right)$ est croissante donc, pour entier naturel $n$, on a $u_0 \pp u_n$.
La suite $\left(w_n\right)$ est décroissante donc, pour tout entier naturel $n$, on a $w_n\pp w_0$.
Or $u_n \pp v_n\pp w_n$ donc $u_0\pp u_n \pp v_n \pp w_n \pp w_0$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P(S\cap I)&=P(I)P_I(S) \\
&=0,6\times 0,75 \\
&=0,45\end{align*}$
La probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle est égale à $0,45$.
$\quad$
$(I,M,G)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(S)&=P(S\cap I)+P(S\cap M)+P(S\cap G) \\
&=P(I)P_I(S)+P(M)P_M(S)+P(G)P_G(S) \\
&=0,6\times 0,75+0,3\times 0,9+0,1\times 0,8 \\
&=0,8\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(I)&=\dfrac{P(S\cap I)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,75}{0,8} \\
&\approx 0,563\end{align*}$
La probabilité que le client ait effectué son achat sur internet sachant qu’il est satisfait du service clientèle est environ égale à $0,563$.
$\quad$
a. On réalise de façon indépendante $30$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,8$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 25)&=1-P(X\pp 24) \\
&\approx 0,428\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $25$ clients soient satisfaits est environ égale à $0,428$.
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients satisfaits.
Pour les mêmes raisons qu’à la question précédente, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,8$.
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} P(Y\pp n-1) \pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=n)\pg 0,99 \\
&\ssi P(Y=n)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,8^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,8) \pp \ln(0,01) \qquad \text{croissance de la fonction }\ln \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)} \qquad \text {car }\ln(0,8)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,64$.
Il faut donc avoir un échantillon d’au moins $21$ personnes.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} E(T)&=E\left(T_1+T_2\right) \\
&=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right) \qquad \text{(linéarité de l’espérance)} \\
&=7\end{align*}$
$\begin{align*} V(T)&=V\left(T_1+T_2\right) \\
&=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right) \qquad \text{(indépendance)} \\
&=3\end{align*}$
$\quad$
b. $T$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sur cette variable.
On veut calculer :
$\begin{align*} P(5\pp T\pp 9)&= P(4< T<10) \qquad (T \text{ est à valeur entière})\\
&=P\left(-3 <T-E(T)< 3\right) \\
&=P\left(\abs{T-E(T)} < 3\right) \\
&\pg 1-P\left(\abs{T-E(T)} \pg 3\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(T)}{3^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
&\pg 1-\dfrac{3}{9} \\
&\pg \dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{AC}\begin{pmatrix} -5\\-5\\10\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix} 0\\0\\-25/2\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
D’une part $\vect{n_1}.\vect{AC}=-5+5+0=0$
D’autre part $\vect{n_1}.\vect{CD}=0+0+0=0$
Ainsi $\vect{n_1}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CAD)$.
Il est donc normal au plan $(CAD)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc de la forme $x-y+d=0$
Or $C(0;0;10)$ appartient à ce plan. Donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(CAD)$ est donc $x-y=0$.
$\quad$
a. Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
De plus $\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{2}=0$ : Le point précédent appartient également au plan $(CAD)$.
Par conséquent $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}=\dfrac{5}{2}\vect{n_1}$.
Donc $\vect{BH}$ est normal au plan $(CAD)$.
Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
$\quad$
a. $(BH)$ est orthogonal au plan $(CAD)$. Elle est donc en particulier orthogonale à la droite $(AH)$. $H$ appartient à ces deux droites. Elles sont donc perpendiculaires.
Ainsi $ABH$ est rectangle en $H$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} BH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{4}+\dfrac{25}{4}} \\
&=\sqrt{\dfrac{50}{4}} \\
&=\sqrt{\dfrac{25}{2}}\end{align*}$
De plus $\vect{AH}\begin{pmatrix}-5/2\\-5/2\\0\end{pmatrix}$
On a donc également $AH=\sqrt{\dfrac{25}{2}}$.
Ainsi, l’aire du triangle $ABH$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{BH\times AH}{2} \\
&=\dfrac{~\dfrac{25}{2}~}{2} \\[3mm]
&=\dfrac{25}{4}\end{align*}$
$\quad$
a. On a $\vect{OC}\begin{pmatrix} 0\\0\\10\end{pmatrix}$
D’une part $\vect{OC}.\vect{BH}=0+0+0=0$
D’autre part $\vect{OC}.\vect{AH}=0+0+0=0$
Les vecteurs $\vect{AH}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{\dfrac{5}{2}} \neq \dfrac{~-\dfrac{5}{2}~}{-\dfrac{5}{2}}$
Ainsi $\vect{OC}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BAH)$.
On a $\vect{OH}=\dfrac{1}{2}\vect{OA}$ donc $O$ appartient au plan $(BAH)$.
Par conséquent $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
$\quad$
b. Le volume de ce tétraèdre est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times OC \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{25}{4}\times 10 \\
&=\dfrac{125}{6}\end{align*}$
$\quad$
On a $AB=5$ et $\vect{BC}\begin{align*} 0\\-5\\10\end{align*}$
Donc :
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(-5)^2+10^2} \\
&=\sqrt{125} \\
&=5\sqrt{5}\end{align*}$
Par conséquent, l’aire du triangle $ABC$ rectangle en $B$ est :
$\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{AB\times BC}{2} \\
&=\dfrac{25\sqrt{5}}{2}\end{align*}$
Ainsi, en appelant $d$ la distance cherchée :
$\begin{align*} V=\dfrac{125}{6}&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times d =\dfrac{125}{6} \\
&\ssi d=\dfrac{125}{6}\times \dfrac{3}{25\sqrt{5}} \\
&\ssi d=\sqrt{5}\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}

a. $\lim\limits_{x\to 0} x-2=-2$ et $\lim\limits_{x\to 0^+}\ln(x)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x-2=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\quad$
b. La fonction $f$ est dérivable par hypothèse sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1+\dfrac{1}{2x} \\
&=\dfrac{2x+1}{2x}\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout réel $x>0$ on a $2x+1>0$ et $2x>0$ donc $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
d. $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*}f\dsec(x)&=-\dfrac{1}{2x^2} \\
&<0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f(1)=1-2=-1<0$ et $f(2)=\dfrac{1}{2}\ln(2)>0$.
Ainsi $f(1) \pp f(\alpha) \pp f(2)$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $1\pp \alpha \pp 2$.
Ainsi $\alpha \in [1;2]$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et $f(\alpha)=0$.
Ainsi :
$\bullet$ sur $]0;+\alpha[$ on a $f(x)<0$ ;
$\bullet$ $f(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ sur $]\alpha;+\infty[$ on a $f(x)>0$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha-2+\dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=0 \\
&\ssi \dfrac{1}{2}\ln(\alpha)=2-\alpha \\
&\ssi \ln(\alpha)=2(2-\alpha)\end{align*}$
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ par hypothèse.
Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x}\right) \\
&=-\dfrac{7}{4}x+1-\dfrac{1}{4}\left(2x\ln(x)+x\right) \\
&=-\dfrac{7}{4}x+1+\dfrac{1}{2}x\ln(x)-\dfrac{1}{4}x \\
&=-2x+1-\dfrac{1}{2}x\ln(x) \\
&=x\left(\dfrac{1}{x}+2-\dfrac{1}{2}\ln(x) \right) \\
&=x\left(\dfrac{1}{x}+2+\dfrac{1}{2}\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) \right) \\
&=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)\end{align*}$
$\quad$
a. Si $0<x<\dfrac{1}{\alpha}$ alors $\dfrac{1}{x}>\alpha$ et donc, d’après la question A.2.b., $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
Autre méthode : pour tout $x\in \left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$ on a $0<\alpha<\dfrac{1}{x}$.
Or, d’après la question A.2.a, la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
Par conséquent $f( \alpha)<f\left(\dfrac{1}{x}\right)$, c’est-à-dire $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $x>0$ donc $g'(x)$ est du signe de $f\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie C : un calcul d’aire

a. Pour tout réel $x\in ]0;1]$ on a :
$\begin{align*} g(x)-\left(-\dfrac{7}{8}x^2+x\right)&=-\dfrac{1}{4}x^2 \ln(x) \\
&\pg 0 \quad \text{car } x\in ]0;1]\end{align*}$
La courbe $C_g$ est donc au-dessus de la parabole $\mathcal{P}$ sur $]0;1]$.
$\quad$
b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\left]\dfrac{1}{\alpha};1\right]$ définie par : $$\begin{array}{lll} u(x)=\ln(x)&\phantom{123}&u'(x)=\dfrac{1}{x} \\[3mm]
v(x)=\dfrac{1}{3}x^3&&v'(x)=x^2\end{array}$$
$\begin{align*} \int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx&=\left[\dfrac{1}{3}x^3\ln(x)\right]_{1/\alpha}^1-\dfrac{1}{3} \int_{1/\alpha}^1 x^3\times \dfrac{1}{x} \dx \\
&=-\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln\left(\dfrac{1}{\alpha}\right)-\dfrac{1}{3}\int_{1/\alpha}^1 x^2\dx \\
&=\dfrac{1}{3\alpha^3}\ln(\alpha)-\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_{1/\alpha}^1 \\
&=\dfrac{1}{3\alpha^3}\times 2(2-\alpha)-\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{\alpha^3}\right) \\
&=\dfrac{4}{3\alpha^3}-\dfrac{2}{3\alpha^2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9\alpha^3} \\
&=\dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$
$\quad$
On a donc
$\begin{align*} \mathcal{A}&=-\dfrac{1}{4}\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x) \dx \\
&=-\dfrac{1}{4}\times \dfrac{13-6\alpha-\alpha^3}{9\alpha^3}\end{align*}$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=5x\e^{-x}$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.
Affirmation 1 :
L’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe $C_f$.
$\quad$
Affirmation 2 : La fonction $f$ est solution sur $\R$ de l’équation différentielle $(E)~:~y’+y=5\e^{-x}$.
$\quad$
On considère les suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$, telles que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n\pp v_n\pp w_n$.
De plus, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-1$ et la suite $\left(w_n\right)$ converge vers $1$.
Affirmation 3 : La suite $\left(v_n\right)$ converge vers un nombre réel $\ell$ appartenant à l’intervalle $[-1; 1]$.
$\quad$
On suppose de plus que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante et que la suite $\left(w_n\right)$ est décroissante.
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n$, on a alors : $u_0\pp v_n\pp w_0$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Une agence de marketing a étudié la satisfaction des clients concernant le service clientèle à l’occasion de l’achat d’un téléviseur. Ces achats ont été réalisés soit sur internet, soit dans une chaîne de magasins d’électroménager, soit dans une enseigne de grandes surfaces.

Les achats sur internet représentent $60 \%$ des ventes, les achats en magasin
d’électroménager $30 \%$ des ventes et ceux en grandes surfaces $10 \%$ des ventes.

Une enquête montre que la proportion des clients satisfaits du service clientèle
est de :

$75 \%$ pour les clients sur internet ;
$90 \%$ pour les clients en magasin d’électroménager ;
$80 \%$ pour les clients en grande surface.

On choisit au hasard un client ayant acheté le modèle de téléviseur concerné.

On définit les événements suivants :

$I$ : « le client a effectué son achat sur internet » ;
$M$ : « le client a effectué son achat en magasin d’électroménager » ;
$G$ : « le client a effectué son achat en grande surface » ;
$S$ : « le client est satisfait du service clientèle ».

Si $A$ est un événement quelconque, on notera $\conj{A}$ son événement contraire et $P(A)$ sa probabilité.

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait réalisé son achat sur internet et soit satisfait du service clientèle.
$\quad$
Démontrer que $P(S) = 0,8$.
$\quad$
Un client est satisfait du service clientèle. Quelle est la probabilité qu’il ait effectué son achat sur internet ?
On donnera un résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Pour réaliser l’étude, l’agence doit contacter chaque jour $30$ clients parmi les acheteurs du téléviseur. On suppose que le nombre de clients est suffisamment important pour assimiler le choix des $30$ clients à un tirage avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $30$ clients, associe le nombre de clients satisfaits du service clientèle.
a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu’au moins $25$ clients soient satisfaits dans un échantillon de $30$ clients contactés sur une même journée.
$\quad$
En résolvant une inéquation, déterminer la taille minimale de l’échantillon de clients à contacter pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux ne soit pas satisfait soit supérieure à $0,99$.
$\quad$
Dans les deux questions a. et b. qui suivent, on ne s’intéresse qu’aux seuls
achats sur internet.
Lorsqu’une commande de téléviseur est passée par un client, on considère que le temps de livraison du téléviseur est modélisé par une variable aléatoire $T$ égale à la somme de deux variables aléatoires $T_1$ et $T_2$.
La variable aléatoire $T_1$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis un entrepôt de stockage vers une plateforme de distribution.
La variable aléatoire $T_2$ modélise le nombre entier de jours pour l’acheminement du téléviseur depuis cette plateforme jusqu’au domicile du client.
On admet que les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ sont indépendantes, et on donne :
$\bullet$ L’espérance $E\left(T_1\right)= 4$ et la variance $V\left(T_1\right) = 2$ ;
$\bullet$ L’espérance $E\left(T_2\right)= 3$ et la variance $V\left(T_2\right) = 1$ ;
a. Déterminer l’espérance $E(T)$ et la variance $V(T)$ de la variable aléatoire $T$.
$\quad$
b. Un client passe une commande de téléviseur sur internet. Justifier que la probabilité qu’il reçoive son téléviseur entre $5$ et $9$ jours après sa commande est supérieure ou égale à $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(5;5;0)$, $B(0;5;0)$, $C(0;0;10)$ et $D\left(0;0;-\dfrac{5}{2}\right)$.

a. Montrer que $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(CAD)$.
$\quad$
b. En déduire que le plan $(CAD)$ a pour équation cartésienne : $x-y=0$.
$\quad$
On considère la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=\dfrac{5}{2}t\\[3mm] y=5-\dfrac{5}{2}t\\[3mm] z=0\end{cases} \quad$ où $t\in \R$.
a. On admet que la droite $\mathcal{D}$ et le plan $(CAD)$ sont sécants en un point $H$. Justifier que les coordonnées de $H$ sont $\left(\dfrac{5}{2};\dfrac{5}{2};0\right)$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $H$ est le projeté orthogonal de $B$ sur le plan $(CAD)$.
$\quad$
a. Démontrer que le triangle $ABH$ est rectangle en $H$.
$\quad$
b. En déduire que l’aire du triangle $ABH$ est égale à $\dfrac{25}{4}$.
$\quad$
a. Démontrer que $(CO)$ est la hauteur du tétraèdre $ABCH$ issue de $C$.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $ABCH$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
$\quad$
On admet que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Déduire des questions précédentes la distance du point $H$ au plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (6 points)

Partie A : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=x-2+\dfrac{1}{2}\ln(x)$ , où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0 ; +\infty[$, on note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
$\quad$
b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à $]0 ; +\infty[$, on a : $f'(x)=\dfrac{2x+1}{2x}$.
$\quad$
c. Étudier le sens de variation de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
d. Étudier la convexité de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet dans $]0; +\infty[$ une solution unique qu’on notera $\alpha$ et justifier que $\alpha$ appartient à l’intervalle $[1 ; 2]$.
$\quad$
b. Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x\in ]0 ; +\infty[$.
$\quad$
c. Montrer que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{g}$

La fonction $g$ est définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-\dfrac{7}{8}x^2+x-\dfrac{1}{4}x^2\ln(x)$.

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

Calculer $g'(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g'(x)=xf\left(\dfrac{1}{x}\right)$.
$\quad$
a. Justifier que pour $x$ appartenant à l’intervalle $\left]0;\dfrac{1}{\alpha}\right[$, on a $f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0$.
$\quad$
b. On admet le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$
En déduire le tableau de variations de $g$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.
Les images et les limites ne sont pas demandées.
$\quad$

Partie C : un calcul d’aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

La courbe $C_g$ de la fonction $g$ ;
La parabole $\mathcal{P}$ d’équation $y=-\dfrac{7}{8}x^2+x$ sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On souhaite calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré compris entre les courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$, et les droites d’équations $x=\dfrac{1}{\alpha}$ et $x=1$.
On rappelle que $\ln(\alpha)=2(2-\alpha)$.

a. Justifier la position relative des courbes $C_g$ et $\mathcal{P}$ sur l’intervalle $]0;1]$.
$\quad$
b. Démontrer l’égalité : $$\int_{1/\alpha}^1 x^2\ln(x)\dx=\dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}$$
$\quad$
En déduire l’expression en fonction de $\alpha$ de l’aire $\mathcal{A}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Centres étrangers 1 – 5 juin 2024

Centres étrangers – 5 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
&=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On pouvait simplifier l’expression initiale de $f(x)$ en $f(x)=\dfrac{0,32x}{0,31x+0,01}$.
$\quad$
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut déterminer :
$\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
&=0,96x\end{align*}$
$\quad$
$\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
&=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
&=0,96x+0,03(1-x) \\
&=0,93x+0,03\end{align*}$
La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
&=f(x)\end{align*}$
Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
$\quad$
a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
On veut donc résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
&\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
&\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
&\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
&\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
$\quad$
b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
&\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
&\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
&\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
$\quad$
b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
&=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
$\quad$
b. On peut écrire :

Python

from math import * def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u > 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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from math import *
def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u > 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
$\quad$

c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
Ainsi $0=y$.
L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
$\quad$
L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a
$h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
Or :
$\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
&=\cos(x)-2\sin(x) \\
&=h'(x)\end{align*}$
$h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Soit $f$ une solution de $(E)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
&=f(x)-h(x) \\
&=(f-h)(x)\end{align*}$
Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
$\quad$
Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
&=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
Donc $f$ est solution de $(E)$.
$\quad$
Il y a bien équivalence entre “$f$ est solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
$\quad$
D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
$\quad$
Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
&=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
$f$ est bien solution de $E$.
$\quad$
L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
$g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
&=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
$\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
$\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
b. Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
$\quad$
a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
La distance cherchée est donc :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
&=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
&\approx 1,18\end{align*}$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
$\quad$
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
$\quad$

On note :

$D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
$T$ l’évènement : « le test est positif ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
$\quad$
On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
$\quad$
c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp 1$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
$\quad$
a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
$\quad$
b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u ... 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u ... 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

$\quad$
c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
$\quad$
Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
$\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
$\quad$
En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
$\quad$
Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in \R$.
la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
$\quad$
a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 22 mai 2024

Amérique du Nord – 22 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R) \\
&=0,2286\times 0,0808 \\
&\approx 0,0185\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à $0,0185$.
$\quad$
$\left(N,\conj{N}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(R)&=P(N\cap R)+P\left(\conj{N}\cap R\right) \\
&=P(N)\times P_N(R)+P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}(R)\\
&=0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127 \\
&\approx 0,0283\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à $0,0283$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&\approx \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,0283} \\
&\approx 0,6527\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable est environ égale à $0,6527$.
$\quad$

Partie B

On effectue $500$ tirages aléatoires. Le probabilité que le véhicule soit neuf est environ égale à $0,65$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=325)&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325} \\
&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times 0,35^{175} \\
&\approx 0,0374\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs est environ égale à $0,0374$.
$\quad$
On a, d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X\pg 325)&=1-P(X\pp 324) \\
&\approx 0,5206\end{align*}$
La probabilité pour qu’au moins $325$ véhicules soient neuf parmi les $500$ véhicules hybrides rechargeables est environ égale à $0,5206$.
$\quad$

Partie C

On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules choisis.
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,65$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$.
Donc :
$\begin{align*} p_n&=P(Y=0)\\
&=(1-0,65)^n \\
&=0,35^n\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} q_n\pg 0,9999 &\ssi P(Y\pg 1)\pg 0,9999 \\
&\ssi 1-p_n\pg 0,9999 \\
&\ssi p_n \pp 0,0001 \\
&\ssi 0,35^n \pp 0,0001 \\
&\ssi n\ln(0,35) \pp \ln(0,0001) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi n \pp \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} \qquad \ln(0,35)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$.
La plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\pg 0,9999$ est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $F(3;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $M(1,5;1;0)$
$\quad$
a. On a $\vect{FH}\begin{pmatrix} -3\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FM}\begin{pmatrix}-1,5\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent :
$\vec{n}.\vect{FH}=-6+6+0=0$
$\vec{n}.\vect{FM}=-3+6-3=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$.
$\vec{n}$ est ainsi un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc de la forme $2x+6y+3z+d=0$.
$F(3;0;1)$ appartient à ce plan.
Donc $6+0+3+d=0 \ssi d=-9$.
Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc $2x+6y+3z-9=0$.
$\quad$
c. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-3}{3}$.
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont donc pas colinéaires et les plans $\mathcal{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
On a $D(0;1;0)$ et $G(3;1;1)$ donc $\vect{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DG)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
On recherche l’ensemble solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\2x+6y+3z-9=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\6t+6+3t-9=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\9t=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\\[3mm]t=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}2\times 3+6\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{2}-9&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\
&=0
\end{align*}$
Le point $R$ appartient à $(HMF)$.
$\quad$
$\vect{GR}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{3}{4}\\[3mm]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ or $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{6}$
$\vec{n}$ et $\vect{GR}$ ne sont pas colinéaires.
$\vect{GR}$ n’est donc pas orthogonal au plan $(HMF)$.
$R$ n’est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g'(x)=2-2x$.
Or $2-2x=0\ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi 2>2x\ssi 1>x$.
$g$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
$g(0)=0$ et $g(1)=1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_1&=g\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=g\left(\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{15}{16}\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<u_{n+1}<1$.
Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{3}{4}$.
Or $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}<1$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $0<u_n<u_{n+1}<1$.
La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ donc $g(0)<g\left(u_n\right)<g\left(u_{n+1}\right)<g(1)$.
Ainsi $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge.
$\quad$
La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} x=g(x)&\ssi x=2x-x^2 \\
&\ssi x-x^2=0 \\
&\ssi x(x-1)=0\end{align*}$
Cette équation possède exactement deux solutions $0$ et $1$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0>0$. Par conséquent $\ell =1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*}v_{n+1}&=\ln\left(1-u_{n+1}\right) \\
&=\ln\left(1-2u_n+u_n^2\right) \\
&=\ln\left(\left(1-u_n\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(1-u_n\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$.
$\quad$
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=-\ln(2)\times 2^n$.
$\quad$
Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} -\ln(2)\times 2^n=\ln\left(1-u_n\right) &\ssi 1-u_n=\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \\
&\ssi u_n=1-\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \end{align*}$
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ car $2>1$.
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}-\ln(2)\times 2^n=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95 : n = n + 1 u = 2 * u - u**2 return n

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.5
   while u < 0.95 :
      n = n + 1
      u = 2 * u - u**2
   return n

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi a\ln(x)=0 \\
&\ssi \ln(x)=0 \qquad \text{car } a>0\\
&\ssi x=1\end{align*}$
Le point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses a donc pour coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=a\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right )\\
&=a\left(\ln(x)+1-1\right) \\
&=a\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f$ est une fonction continue et positive sur $[1;+\infty[$. De plus $x_0\pg 1$.
Par conséquent l’aire du domaine grisé est :
$\begin{align*} \int_1^{x_0}f(x)\dx&=\Big[F(x)\Big]_1^{x_0} \\
&=F\left(x_0\right)-F(1) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0\right)-a\left(-1\right) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0+1\right)\end{align*}$
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par une constante.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}$
Une équation de $T$ est $y=f’\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.
$f’\left(x_0\right)=\dfrac{a}{x_0}$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)$.
Son ordonnée à l’origine est donc $\dfrac{a}{x_0}\times \left(-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)=-a+a\ln\left(x_0\right)$.
Ainsi $A$ a pour coordonnées $\left(0;-a+a\ln\left(x_0\right)\right)$.
$B$ a pour coordonnées $\left(0;f\left(x_0\right)\right)$ soit $\left(0;a\ln\left(x_0\right)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} AB&=a\ln\left(x_0\right)-\left(-a+a\ln\left(x_0\right)\right) \\
&=a\end{align*}$
$AB$ est donc constante et vaut $a$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Les données publiées le 1$^\text{er}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86 \%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
$8,08 \%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
$1,27 \%$ des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

$N$ l’événement « le véhicule est neuf » ;
$R$ l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
$\conj{N}$ et $\conj{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
$\quad$
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
$\quad$
Déterminer la probabilité $p(X\pg 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d’occasion.
$\quad$
2. On note $q_n$ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \pg 0,9999$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vect {AB}=3\vect{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect {AI};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
$$2x+6y+3z-9=0$$
$\quad$
c. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x-15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
$\quad$
On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$.
$\quad$
Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2}\\[3mm] u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln\left(1-u_n\right)$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
$\quad$
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
$\quad$
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = ... u = ... return n

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def seuil():
  n = 0
  u = 0.5
  while u < 0.95:
     n = ...
     u = ...
  return n

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=a\ln(x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses.
$\quad$
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.
$\quad$

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d’abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la tangente $T$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l’on déterminera. Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 21 mai 2024

Amérique du Nord – 21 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\begin{align*} P(R\cap E)&=P(R)P_R(E) \\
&=0,07\times 0,8 \\
&=0,056\end{align*}$
$\quad$
$\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(E)&=P(R\cap E)+P\left(\conj{R}\cap E\right) \\
&=P(R)P_R(E)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(E) \\
&=0,056+0,93\times 0,4 \\
&=0,428\end{align*}$
La probabilité de tirer une épée est égale à $0,428$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_E(R)&=\dfrac{P(R\cap E)}{P(E)} \\
&=\dfrac{0,056}{0,428} \\
&\approx 0,131\end{align*}$
La probabilité que l’objet soir rare sachant qu’il a tiré une épée est environ égale à $0,131$.
$\quad$

Partie B

On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,07$.
$X$ suit donc la lo binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,07$.
Son espérance est $E(X)=np=2,1$.
$\quad$
On a d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X<6)&=P(X\pp 5) \\
&\approx 0,984\end{align*}$
$\quad$
$\left(P(X\pg k)\right)$ est une suite décroissante.
Or $P(X\pg 2) \approx 0,631\pg 0,5$ et $P(X\pg 3)\approx 0,351<0,5$.
Par conséquent le plus grand entier $k$ tel que $P(X\pg k) \pg 0,5$ est $2$.
La probabilité d’obtenir au moins $2$ objets rares est supérieure à ou égale $0,5$.
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’objets rares obtenus lorsqu’un joueur tire $N$ objets.
Pour la même raison qu’à la question B.1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,07$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,95 &\ssi 1-P(X=0)\pg 0,95 \\
&\ssi P(X=0) \pp 0,05 \\
&\ssi 0,93^N \pp 0,05 \\
&\ssi N\ln(0,93) \pp \ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)} \qquad \text{car } \ln(0,93)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,93)}\approx 41,28$.
Il faut donc tirer au moins $42$ objets afin que la probabilité de tirer au moins un objet rare soit supérieure ou égale à $0,95$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi, en utilisant le point $A(1;0;3)$, une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases} \quad t\in \R$.
Réponse c
$\quad$
On constate qu’il faut choisir $t=1$ pour avoir $y=6$ dans la représentation paramétrique de $(d)$.
Or avec cette valeur de $t$ on obtient aucune des trois premières propositions. La bonne réponse doit donc être la dernière.
Vérifions cela.
$6t=-9 \ssi t=-\dfrac{3}{2}$.
Avec cette valeur on obtient alors $x=-3$, $y=-9$ et $z=7$.
Réponse d
$\quad$
Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\-2\\1\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{-2}{1}\neq \dfrac{6}{-2}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ ne sont ni parallèles, ni confondues.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\3+4t=-2+3k\\6t=-1-2k\\4-2t=1+k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\4t-3k=-5\\6t+2k=-1\\3-2t=k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\4t+9t-6=-5\\6t-6t+4=-1\\k=3-2t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\\13t=1\\4=-1 \qquad \text{impossible}\\k=3-2t\end{cases}\end{align*}$
Le système n’admet donc pas de solution. Les droites ne sont pas sécantes non plus. Elles sont donc non coplanaires.
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plant $(P)$ est donc $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\6\\-2\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne du plan $(P)$ est alors de la forme $4x+6y-2z+d=0$.
Le point $I(2;1;0)$ appartient à ce plan.
Ainsi $8+6+d=0 \ssi d=-14$.
Une équation cartésienne de $(P)$ est alors $4x+6y-2z-14=0$ soit, en divisant les deux membres par $2$, $2x+3y-z-7=0$.
Réponse a
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : lectures graphiques

Graphiquement $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(T)$. Ainsi il semble que $f'(1)= 3$.
Une équation réduite de $(T)$ semble être $y=3x-4$.
$\quad$
La courbe $\left(C_f\right)$ semble être en-dessous de ses tangentes sur $]0;1]$ et au-dessus sur $[1;+\infty[$.
Donc $f$ semble être concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
$A$ serait donc un point d’inflexion pour $\left(C_f\right)$.
$\quad$

Partie B : étude analytique

$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} \ln(t)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2\right)=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln\left(x^2\right)=+\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x\ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x} \\
&=x\times 2\ln(x)-\dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln(x)-\dfrac{1}{x}\end{align*}$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
Or $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a, en utilisant la dernière expression de $f(x)$
$\begin{align*} f'(x)&=2\ln(x)+2x\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2} \\
&=2\ln(x)+2+\dfrac{1}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2}{x^3} \\
&=\dfrac{2x^2-2}{x^3} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-1\right)}{x^3} \\
&=\dfrac{2(x-1)(x+1)}{x^3}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{2(x+1)}{x^3}>0$.
Ainsi, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$.
Or $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
$f$ est donc concave sur $]0;1]$ et convexe sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$f’$ atteint donc son minimum en $1$. Or $f'(1)=3>0$.
Donc, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
$f$ est ainsi strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,33$.
On a :
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right)-\dfrac{1}{\alpha}=0 \\
&\ssi \alpha\ln\left(\alpha^2\right) =\dfrac{1}{\alpha} \\
&\ssi \ln\left(\alpha^2\right)=\dfrac{1}{\alpha^2} \qquad \text{car } \alpha \neq 0 \\
&\ssi \alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \qquad \text{croissance de la fonction } \exp\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a :
$\begin{align*} I_0&=\int_0^{\pi} \sin(x)\dx \\
&=\big[-\cos(x)\big]_0^{\pi} \\
&=-(-1)-1 \\
&=2\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $n$ on a $\e^{-nx}>0$.
Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x)\pg 0$.
Ainsi, pour tout réel $x\in [0;\pi]$ et tout entier naturel $n$, on a $\e^{-nx}\sin(x)\pg 0$.
Par positivité de l’intégrale, $I_n\pg 0$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} I_{n+1}-I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx -\int_0^{\pi} \e^{-n)x}\sin(x)\dx \\
&=\int_0^{\pi} \left(\e^{-(n+1)x}-\e^{-nx}\right) \sin(x)\dx \\
&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\dx\end{align*}$
Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\e^{-nx}>0$, $\e^{-x}\pp 1$ et $\sin(x)\pg 0$.
Ainsi $\e^{-nx}\left(\e^{-x}-1\right)\sin(x)\pp 0$.
Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_{n+1}-I_n\pp 0$.
$\quad$
c. La suite $\left(I_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge donc.
$\quad$
a. Pour tout réel $x\in [0;\pi]$ on a $\sin(x) \pp 1$.
Pour tout entier naturel $n$ on a ainsi $\e^{-nx}\sin(x) \pp \e^{-nx}$.
Par croissance de l’intégrale (on intègre sur un intervalle croissant) $I_n\pp \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel non nul
$\begin{align*} \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx&=\left[-\dfrac{\e^{-nx}}{n}\right]_0^{\pi} \\
&=-\dfrac{\e^{-n\pi}-1}{n} \\
&=\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}\end{align*}$
$\quad$
c. D’après les questions précédentes on a $0\pp I_n \pp \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^{-n\pi}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} I_n=0$.
$\quad$
a. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=\e^{-nx}&\phantom{1234}&u'(x)=-n\e^{-nx} \\
v(x)=-\cos(x)&&v'(x)=\sin(x)\end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
&=\Big[-\e^{-nx}\cos(x)\Big]_0^{pi}-n\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \\
&=1+\e^{-n\pi}-nJ_n\end{align*}$
$\quad$
On réalise une autre intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[0;\pi]$ définies par : $$\begin{array}{lll}u(x)=sin(x)&\phantom{1234}&u'(x)=\cos(x) \\
v(x)=-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}&&v'(x)=\e^{-nx}\end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*} I_n&=\int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx \\
&= \left[-\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x)\right]_0^{\pi}+\dfrac{1}{n}\int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
&=\dfrac{1}{n}J_n\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} 1+\e^{-n\pi}-nJ_n=\dfrac{1}{n}J_n&\ssi \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n=1+\e^{-n\pi} \\
&\ssi \dfrac{1+n^2}{n}J_n=1+\e^{-n\pi} \\
&\ssi J_n=\dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi}\right)\end{align*}$
Or
$\begin{align*} I_n&=\dfrac{1}{n}J_n \\
&=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{n}{n^2+1}\left(1+\e^{-n\pi} \right)\\
&=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :

Python

from math import * def seuil(): n = 0 I = 2 while I >= 0.1 : n = n + 1 I = (1 + exp(-n * pi) / (n * n + 1) return n

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from math import *
def seuil():
   n = 0
   I = 2
   while I >= 0.1 :
      n = n + 1
      I = (1 + exp(-n * pi) / (n * n + 1)
   return n

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L’objet tiré peut être « commun » ou « rare ». Deux types d’objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

la probabilité de tirer un objet rare est de $7 \%$ ;
si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de $80 \%$ ;
si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de $40 \%$.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet.
On note :

$R$ l’événement « le joueur tire un objet rare » ;
$E$ l’événement « le joueur tire une épée » ;
$\conj{R}$ et $\conj{E}$ les événements contraires des événements $R$ et $E$.

Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer $P(R\cap E)$.
$\quad$
Calculer la probabilité de tirer une épée.
$\quad$
Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$

Partie B

Un joueur remporte $30$ défis.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre d’objets rares que le joueur obtient après avoir remporté $30$ défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$.
Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.
$\quad$
Déterminer $P(X < 6)$. Arrondir le résultat au millième.
$\quad$
Déterminer la plus grande valeur de $k$ telle que $P(X\pg k) \pg 0,5$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d’acheter un « ticket d’or » qui permet de tirer $N$ objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de $7 \%$.
Les développeurs aimeraient qu’en achetant un ticket d’or, la probabilité qu’un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces $N$ tirages soit supérieure ou égale à $0,95$.
Déterminer le nombre minimum d’objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en œuvre.
$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

Les cinq questions sont indépendantes.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les points $A(1; 0; 3)$ et $B(4; 1; 0)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est :
a. $\begin{cases} x=3+t\\y=1\\z=-3+3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
b. $\begin{cases} x=1+4t\\y=t\\z=3\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
c. $\begin{cases} x=1+3t\\y=t\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
d. $\begin{cases} x=4+t\\y=1\\z=3-3t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$
$\quad$

On considère la droite $(d)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=3+4t\\y=6t\\z=4-2t\end{cases}~~$ avec $t\in \R$.

Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $(d)$ ?
a. $M(7; 6; 6)$
b. $N(3; 6; 4)$
c. $P(4; 6; -2)$
d. $R(-3; -9; 7)$
$\quad$
On considère la droite $(d’)$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=-2+3k\\y=-1-2k\\z=1+k\end{cases}~~$ avec $k\in \R$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont :
a. sécantes
b. non coplanaires
c. parallèles
d. confondues
$\quad$
On considère le plan $(P)$ passant par le point $I(2; 1; 0)$ et perpendiculaire à la droite $(d)$. Une équation du plan $(P)$ est :
a. $2x+3y-z-7=0$
b. $-x+y-4z+1=0$
c. $4x+6y-2z+9=0$
d. $2x+y+1=0$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=x \ln\left(x^2\right)-\dfrac{1}{x}$$

Partie A : lectures graphiques

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $\left(C_f\right)$ de la fonction $f$, ainsi que la droite $(T)$, tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A$ de coordonnées $(1; -1)$. Cette tangente passe également par le point $B(0; -4)$.

Lire graphiquement $f'(1)$ et donner l’équation réduite de la tangente $(T)$.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
Que semble représenter le point $A$ pour la courbe $\left(C_f\right)$ ?
$\quad$

Partie B : étude analytique

Déterminer, en justifiant, la limite de $f$ en $+\infty$, puis sa limite en $0$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
a. Déterminer $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
b. Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f \dsec(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x^3}$
$\quad$
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $f’$, puis le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
b. Donner la valeur arrondie au centième de $\alpha$ et montrer que $\alpha$ vérifie : $$\alpha^2=\exp\left(\dfrac{1}{\alpha^2}\right)$$

$\quad$

Exercice 4 (6 points)

Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :

$$\begin{array}{l} I_n= \ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\sin(x)\dx\\J_n=\ds \int_0^{\pi} \e^{-nx}\cos(x)\dx \end{array}$$

Calculer $I_0$.
$\quad$
a. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_n \pg 0$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $I_ {n+1}-I_n \pp 0$.
$\quad$
c. Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $$I_n \pp \int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx$$
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a : $$\int_0^{\pi} \e^{-nx}\dx =\dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}$$
$\quad$
c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
$\quad$
a. En intégrant par parties l’intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n\pg 1$ :
$$I_n=1+\e^{-n\pi}-nJ_n \qquad \text{et} \qquad I_n=\dfrac{1}{n}J_n$$
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, on a $I_n=\dfrac{1+\e^{-n\pi}}{n^2+1}$.
$\quad$
On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ dévient inférieur à $0,1$.
Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

Python

from math import * def seuil(): n = 0 I = 2 . . . n = n+1 I = (1 + exp(-n * pi)) / (n * n + 1) return n

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from math import *
def seuil():
  n = 0
  I = 2
  . . .
    n = n+1
    I = (1 + exp(-n * pi)) / (n * n + 1)
  return n