E3C – Séries technologiques – Probabilités – Janvier 2020

E3C – Probabilités

Séries technologiques

L’annexe est à rendre avec la copie.

Le tableau incomplet, en annexe, donne le nombre de salariés en France, en milliers, selon la catégorie et le type de contrôle de l’entreprise en 2015.

On peut traiter les questions 1. et 2. de façon indépendante.

  1. a. En 2015, $66,8 \%$ des salariés des ETI (entreprises de taille intermédiaire) font partie d’un groupe français.
    Calculer le nombre de salariés des ETI de groupes français.
    $\quad$
    b. Compléter le tableau donné en annexe en arrondissant les résultats au millier près.
    $\quad$
  2. On choisit au hasard un salarié en 2015. On considère les événements suivants :
    $F$ : « le salarié fait partie d’un groupe français » ;
    $M$ : « le salarié fait partie d’une PME ».
    Dans cette question, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-2}$.
    a. Calculer $P(F)$ et $P(M)$.
    $\quad$
    b. Calculer $P(F\cap M)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$
    c. Calculer $P_M(F)$ et interpréter, dans le contexte de l’exercice, cette probabilité.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&&&4~235\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&&&3~657\\
\hline
\begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
\hline
\begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
\hline
\end{array}\\
\textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$

$\quad$


$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $\dfrac{66,8}{100}\times 3~657=2~442,876$
    $2~442~876$ salariés des ETRI font partie d’un groupe français.
    $\quad$
    b. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{r}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\begin{array}{c}\textbf{Unités}\\\textbf{légales hors}\\\textbf{groupes}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Groupes}\\\textbf{français}\end{array}&\begin{array}{c}\textbf{Sous}\\\textbf{contrôle}\\\textbf{d’un groupe}\\\textbf{étranger}\end{array}&\textbf{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Grandes entreprise}\\\textbf{(GE)}\end{array}&0&3~602&633&4~235\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Entreprises de taille}\\\textbf{intermédiaire (ETI)}\end{array}&154&2~443&1~060&3~657\\
    \hline
    \begin{array}{c}\textbf{Petites et moyennes}\\\textbf{entreprises (PME)}\\\textbf{hors mircroentreprises}\end{array}&1~669&2~255&335&4~259\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Microentreprises (MIC)}\\\end{array}&2~549&177&20&2~745\\
    \hline
    \begin{array}{c}\\\textbf{Total}\\\end{array}&4~373&8~477&2~047&14~897\\
    \hline
    \end{array}\\
    \textit{Source : INSEE 2015}\end{array}$$
    Remarque : du fait des arrondis plusieurs lignes et colonnes ne fournissent exactement pas le total annoncé.
    $\quad$
  2. a. $P(F)=\dfrac{8~477}{14~897}\approx 0,57$
    $P(M)=\dfrac{4~259}{14~897}\approx 0,29$
    $\quad$
    b. $P(F\cap M)=\dfrac{2~255}{14~897}\approx 0,15$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’une PME française est environ égale à $15\%$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} P_M(F)&=\dfrac{P(F\cap M)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{2~255}{4~259} \\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité qu’un salarié fasse partie d’un groupe français sachant qu’il fait partie d’une PME est environ égale à $0,53$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Probabilités

Séries technologiques

Une agence a lancé une campagne de publicité afin de faire connaître un nouveau produit. Elle a réalisé un sondage dans une zone géographique déterminée afin de connaître l’impact de cette campagne.

  • $28\%$ des personnes interrogées ont plus de 60 ans. Parmi elles, $40\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • $42 \%$ des personnes interrogées ont entre 25 et 60 ans. Parmi elles, $55\%$ ont déclaré connaitre le produit.
  • Parmi les personnes de moins de 25 ans, $75\%$ ont déclaré connaitre le produit.

On choisit au hasard une personne interrogée par l’agence de publicité et on considère les événements suivants :

  • $S$ : « la personne interrogée a plus de 60 ans » ;
  • $M$ ∶ « la personne interrogée a entre 25 et 60 ans » ;
  • $J$ ∶ « la personne interrogée a moins de 25 ans » ;
  • $C$ ∶ « la personne interrogée déclare connaitre le produit ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit.
    $\quad$
  3. a. Calculer la probabilité de l’événement $S\cap C$
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité de l’évènement $C$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit. Arrondir le résultat au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(S\cap \conj{C}\right)&=P(S)\times P_S\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,28\times 0,6\\
    &=0,168\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait entre 25 et 60 ans et déclare ne pas connaître le produit est égale à $0,168$.
    $\quad$
  3. a. On a
    $\begin{align*} P(S\cap C)&=P(S)\times P_S(C)\\
    &=0,28\times 0,4\\
    &=0,112\end{align*}$
    $\quad$
    b. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(S\cap C)+P(M\cap C)+P(J\cap C)\\
    &=0,112+0,42\times 0,55+0,3\times 0,75\\
    &=0,568\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $C$ est égale à $0,568$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(S)&=\dfrac{P(C\cap S)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,112}{0,568}\\
    &\approx 0,197\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait plus de 60 ans, sachant qu’elle déclare connaitre le produit est environ égale à $0,197$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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