E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le principe d’un Escape Game est le suivant : une équipe de participants est enfermée à l’intérieur d’une salle à thème et doit réussir à en sortir en moins d’une heure (on parle alors de partie réussie). Au-delà d’une heure, les participants sont libérés et la partie est perdue.

Un exploitant d’Escape Game propose à ses participants de faire deux parties à la suite : la première partie se déroule dans la salle à thème « Espion », la seconde partie dans la salle à thème « Musée ». Il dispose des données suivantes :

  • lorsqu’une équipe joue dans la salle à thème « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Espion » est égale à $0,5$ ;
  • lorsqu’une équipe a réussi la partie « Espion», la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,6$ ;
  • lorsqu’une équipe n’a pas réussi la partie « Espion », la probabilité qu’elle réussisse sa partie « Musée » est égale à $0,45$.

Une équipe est choisie au hasard. On note les événements suivants :

  • $E$ : « l’équipe réussit la partie « Espion » ;
  • $M$ : « l’équipe réussit la partie « Musée ».
  1. Sur la copie, recopier et compléter l’arbre de probabilités suivant :$\quad$
  2. Déterminer la probabilité que l’équipe réussisse les deux parties.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité qu’une équipe échoue à la partie « Espion » sachant qu’elle a réussi la partie « Musée » ? On donnera la réponse arrondie à $10^{-2}$.
    $\quad$
  5. Pour chacune des deux parties qui sont gagnées, une équipe reçoit $2$ € de réduction pour une prochaine visite. Elle peut donc recevoir $0$, $2$ ou $4$ € de réduction.
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, quel est le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties ? Expliquer la démarche.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer
    $\begin{align*} p(E\cap M)&=p(E)\times p_E(M)\\
    &=0,5\times 0,6\\
    &=0,3\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse les deux parties est égale à $0,3$.
    $\quad$
  3. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(M)&=p(E\cap M)+p\left(\conj{E}\cap M\right)\\
    &=0,5\times 0,6+0,5\times 0,45\\
    &=0,525\end{align*}$
    La probabilité que l’équipe réussisse la partie « Musée » est égale à $0,525$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_M\left(\conj{E}\right)&=\dfrac{p\left(M\cap \conj{E}\right)}{p(M)}\\
    &=\dfrac{0,5\times 0,45}{0,525}\\
    &\approx 0,43\end{align*}$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le montant de la réduction obtenue.
    $X$ suit donc la loi de probabilité suivante :
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&~~0~~&~~2~~&~~4~~\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,275&0,425&0,3\\
    \hline
    \end{array}$
    En effet :
    $P(X=4)=p(E\cap M)$
    $\begin{align*} P(X=0)&=p\left(\conj{E}\cap \conj{M}\right) \\
    &=0,5\times 0,55\\
    &=0,275\end{align*}$
    $P(X=2)=1-P(X=0)+P(X=4)$
    Ainsi :
    $\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+2\times P(X=2)+4\times P(X=4)\\
    &=2\times 0,425+4\times 0,3\\
    &=2,05\end{align*}$
    Si un très grand nombre d’équipes jouent les deux parties, le montant moyen de la réduction obtenue à la fin des deux parties est égal à $2,05$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Laura reçoit chaque jour beaucoup de courriels. Pour se protéger des courriels indésirables, elle achète un logiciel anti-spam. Chaque jour, $35 \%$ des courriels reçus par Laura sont indésirables ; $95 \%$ des courriels indésirables sont automatiquement bloqués par le logiciel anti-spam. Parmi les courriels qui ne sont pas indésirables, le logiciel anti-spam en bloque $2 \%$.
On choisit au hasard un courriel reçu par Laura. Chaque courriel a la même probabilité d’être choisi. On considère les événements suivants :

  • $I$ : « le courriel choisi est indésirable »,
  • $S$ : « le logiciel anti-spam bloque le courriel choisi ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de l’événement $A$.
Pour tout événement $A$ et $B$ avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.

  1. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité traduisant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam.
    $\quad$
  3. Montrer que $p(S) = 0,345~5$.
    $\quad$
  4. Le logiciel anti-spam a bloqué un courriel reçu par Laura. Calculer la probabilité que ce courriel soit indésirable. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  5. Le fournisseur du logiciel anti-spam affirme que son logiciel se trompe dans moins de $2 \%$ des cas. Est-ce vrai ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$.

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap S\right)&=p\left(\conj{I}\right)\times p_{\conj{I}}(S)\\
    &=0,65\times 0,02\\
    &=0,013\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura ne soit pas indésirable et soit bloqué par le logiciel anti-spam est égale à $0,013$.
    $\quad$
  3. $I$ et $\conj{I}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=P(I\cap S)+p\left(\conj{I}\cap S\right) \\
    &=0,35\times 0,95+0,65\times 0,02\\
    &=0,345~5\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S(I)&=\dfrac{p(S\cap I)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,95}{0,345~5} \\
    &\approx 0,962\end{align*}$
    La probabilité que le courriel reçu par Laura soit indésirable sachant que le logiciel anti-spam l’a bloqué est environ égale à $0,962$.
    $\quad$
  5. Les événements $I\cap \conj{S}$ et $\conj{I}\cap S$ sont incompatibles.
    La probabilité que le logiciel se trompe est donc égale à :
    $\begin{align*} p\left(I\cap \conj{S}\right)+p\left(\conj{I}\cap S\right) &=0,35\times 0,05+0,65\times 0,02\\
    &=0,030~5\\
    &>0,02\end{align*}$
    L’affirmation du fournisseur du logiciel anti-spam est donc fausse.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, pour tout évènement $A$, on note $\conj{A}$ son évènement contraire, $P(A)$ sa probabilité et, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$.

Une entreprise a fabriqué en un mois $1~500$ chaudières, dont $900$ chaudières à cheminée et $600$ chaudières à ventouse.
On a constaté, dans ce lot, que :

  • $1 \%$ des chaudières à cheminées ont un défaut
  • $6 \%$ des chaudières à ventouses ont un défaut.

On prélève au hasard le numéro de série d’une chaudière de la production de ce
mois.
On considère les évènements suivants :

  • $C$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à cheminée »
  • $V$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière à ventouse »
  • $D$ : « Le numéro de série est celui d’une chaudière défectueuse »
  1. Recopier et compléter sur la copie le tableau à double entrée suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse.
    $\quad$
  4. Déterminer $P_D(V)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. Les évènements $D$ et $V$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|l|l|l|}
    \hline
    &\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{cheminée}\end{array}&\begin{array}{l}\text{nombre de}\\\text{chaudières à}\\\text{ventouse}\end{array}&\text{Total}\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{défectueuses}\end{array}&9&36&45\\
    \hline
    \begin{array}{l}\text{nombre de chaudières}\\\text{non défectueuses}\end{array}&891&564&1~455\\
    \hline
    \text{Total}&900&600&1~500\\
    \hline\end{array}$$
    En effet $\dfrac{1}{100}\times 900=9$ et $\dfrac{6}{100}\times 600=36$
    Les autres valeurs s’obtiennent par différence.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P(V\cap D) \\
    &=0,6\times 0,01+0,4\times 0,06\\
    &=0,03\end{align*}$
    La probabilité que le numéro de série soit celui d’une chaudière défectueuse est égale à $0,03$.
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} P_D(V)&=\dfrac{P(D\cap V)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,06}{0,03}\\
    &=0,8\end{align*}$
    La probabilité que la chaudière soit à ventouse sachant qu’elle est défectueuse est égale à $0,8$.
    $\quad$
  5. On a P(V)=0,4$ et P_D(V)=0,8$.
    Ces probabilités étant différentes, les événements $V$ et $D$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Une enquête a été menée auprès de lycéens pour estimer la proportion de ceux qui ont déjà consommé du cannabis. Pour encourager les réponses sincères, on met en place le protocole
suivant :
Chaque adolescent lance d’abord un dé équilibré à 6 faces et l’enquêteur qui va l’interroger ne connaît pas le résultat du lancer. À la question « Avez-vous déjà consommé du cannabis ? », l’adolescent doit répondre :

  • « non » si le résultat du lancer est 5, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » si le résultat du lancer est 6, qu’il ait ou non déjà consommé du cannabis ;
  • « oui » ou « non » dans les autres cas, mais de façon sincère.

On note :

  • $N$ : l’évènement l’adolescent a répondu « non » ;
  • $O$ : l’évènement l’adolescent a répondu « oui » ;
  • $C$ : l’évènement l’adolescent a déjà consommé effectivement du cannabis ;
  • $\conj{C}$ : l’évènement l’adolescent n’a jamais consommé du cannabis.

Sur les lycéens qui ont participé à cette enquête on constate que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » est de $\dfrac{3}{5}$, soit $p(O) =\dfrac{3}{5}$.
On veut déterminer la probabilité, notée $p$, qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis.
On a donc $p(C) = p$ .

  1. Justifier que la probabilité qu’un adolescent ait répondu « oui » sachant qu’il n’a jamais consommé de cannabis est $\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On a représenté en annexe l’arbre de probabilités représentant la situation. Compléter l’arbre sur l’annexe à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la probabilité 𝑝 qu’un adolescent ait déjà consommé du cannabis vérifie l’équation : $$\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{5}$$
    $\quad$
    b. En déduire la valeur de $p$.
    $\quad$
  4. Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, quelle est la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On considère donc un adolescent qui n’a jamais consommé de cannabis.
    Il ne répond « oui » que s’il obtient 6 lors du lancer de dé.
    Donc $p_{\conj{C}}(O)=\dfrac{1}{6}$.
    $\quad$
  2. On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  3. a. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(O)=p(C\cap O)+p\left(\conj{C}\cap O\right) \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=p\times \dfrac{5}{6}+(1-p)\times \dfrac{1}{6} \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{5}{6}p+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}p \\
    \ssi~&\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} \dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{3}p+\dfrac{1}{6}&\ssi \dfrac{2}{3}p=\dfrac{13}{30} \\
    &\ssi p=0,65\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} p_N\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{p\left(N\cap \conj{C}\right)}{p(N)}\\
    &=\dfrac{(1-0,65)\times \dfrac{5}{6}}{1-\dfrac{3}{5}} \\
    &=\dfrac{35}{48}\end{align*}$
    Sachant qu’un adolescent a répondu « non » pendant l’enquête, la probabilité qu’il n’ait jamais consommé de cannabis est égale à $\dfrac{35}{48}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise de $1~000$ employés est organisée en 3 services « A », « B » et « C » d’effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés. Une enquête effectuée auprès de tous les employés sur leur temps de parcours quotidien entre leur domicile et l’entreprise a montré que :

  • $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $20 \% des employés du service « B » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise ;
  • $80 \%$ des employés du service « C » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les événements suivants :

  • $A$ : l’employé fait partie du service « A » ;
  • $B$ : l’employé fait partie du service « B » ;
  • $C$ : l’employé fait partie du service « C » ;
  • $T$ : l’employé réside à moins de 30 minutes de l’entreprise.

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux événements, la probabilité d’un événement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

  1. Justifier que $P(A) = 0,45$ puis donner $P_A(T)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré donné en annexe qui sera à rendre avec la copie.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail.
    $\quad$
  4. Montrer que $P(T) = 0,482$.
    $\quad$
  5. Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu’il fasse partie du service « C ». Arrondir à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=\dfrac{450}{1~000}\\
    &=0,45\end{align*}$
    D’après l’énoncé, $40 \%$ des employés du service « A » résident à moins de 30 minutes de l’entreprise.
    Donc $P_A(T)=0,4$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T)\\
    &=0,45\times 0,4\\
    &=0,18\end{align*}$
    La probabilité que l’employé choisi soit du service « A » et qu’il réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail est égale à $0,18$.
    $\quad$
  4. $A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P(B\cap T)+P(C \cap T)\\
    &=0,18+0,23\times 0,2+0,32\times 0,8\\
    &=0,482\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_T(C)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,32\times 0,8}{0,482}\\
    &\approx 0,531\end{align*}$
    Sachant qu’un employé de l’entreprise réside à moins de 30 minutes de son lieu de travail, la probabilité qu’il fasse partie du service « C » est environ égale à $0,531$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Pierre joue à un jeu dont une partie est constituée d’un lancer d’une fléchette sur une cible suivi d’un tirage au sort dans deux urnes contenant des tickets marqués « gagnant » ou « perdant » indiscernables.

  •  S’il tire un ticket marqué « gagnant », il pourra recommencer une partie.
  • S’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant
    exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ».
  • S’il n’atteint pas le centre de la cible (donc même s’il n’atteint pas la cible), Pierre tire un ticket dans l’urne $U_2$ contenant exactement quatre tickets marqués « gagnant » et six tickets marqués « perdant ».

Pierre atteint le centre de la cible avec une probabilité de $0,3$.

On note les événements suivants :
$\hspace{1cm} C$ : « Pierre atteint le centre de la cible » ;
$\hspace{1cm} G$ : « Pierre tire un ticket lui offrant une autre partie ».

  1. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et justifier la valeur $0,9$.

    $\quad$
  2. Compléter sur la copie l’arbre pondéré en traduisant les données de l’exercice.
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité de l’événement $C\cap G$.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, quelle est la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible ? Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré :

    On sait que s’il atteint le centre de la cible, Pierre tire un ticket dans l’urne $U_1$ contenant exactement neufs tickets marqués « gagnant » et un ticket marqué « perdant ». La probabilité qu’il tire un ticket gagnant sachant qu’il a atteint le centre est $\dfrac{9}{9+1}=0,9$.
    $\quad$
  2. voir arbre de la question précédente.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{C}\cap G\right)&=P_{\conj{C}}(G)\times P\left(\conj{C}\right) \\
    &=0,7\times 0,4\\
    &=0,28\end{align*}$
    $\quad$
  4. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(C\cap G)+P\left(\conj{C}\cap G\right) \\
    &=0,3\times 0,9+0,28\\
    &=0,55\end{align*}$
    La probabilité qu’à l’issue d’une partie Pierre en gagne une nouvelle est égale à $0,55$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_G(C)&=\dfrac{P(G\cap C)}{P(G)}\\
    &=\dfrac{0,3\times 0,9}{0,55} \\
    &=\dfrac{27}{55}\\
    &\approx 0,491\end{align*}$
    Sachant que Pierre a gagné une nouvelle partie, la probabilité qu’il ait atteint le centre de la cible est environ égale à $0,491$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

  • la formule « pension complète » dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
  • la formule « demi-pension » dans laquelle sont fournis uniquement le petit
    déjeuner et le dîner.

Pour l’année 2018, $65 \%$ des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule « demi-pension ».
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, $30 \%$ ont réservé l’option « ménage » en fin de semaine. De plus, $70 \%$ des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option ménage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :
$C$ : le client a choisi la formule « pension complète » ;
$M$: le client a choisi l’option « ménage ».

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer $P(C\cap M)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage.
    $\quad$
  5. Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{Une semaine de pension complète}&800\text{€}\\
    \text{Une semaine de demi-pension}&650\text{€}\\
    \text{Option ménage}&50\text{€}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.
    Calculer $P(X=850)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap M)&=P(C)\times P_C(M)\\
    &=0,65\times 0,7\\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(C\cap M)+P\left(\conj{C}\cap M\right) \\
    &=0,455+0,35\times 0,3\\
    &=0,56\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(C)&=\dfrac{P(M\cap C)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,455}{0,56}\\
    &=0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage est égale à $0,812~5$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(X=850)&=P(C\cap M) \\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au millième.

Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.

  • $45 \%$ des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé ;
  • parmi les smartphones ayant un écran cassé, $30 \%$ ont également une batterie
    défectueuse ;
  • par contre, seulement $20 \%$ des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
  1. Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
    $\bullet$ $E$ l’événement : « Le smartphone choisi a un écran cassé. »
    $\bullet$ $B$ l’événement : « Le smartphone choisi a une batterie défectueuse. »
    a. Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu’il ait un écran cassé ?
    $\quad$
  2. L’entreprise dépense $20$ € pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu’elle récupère. Si l’écran est cassé, elle dépense $30$ € supplémentaires, et si la batterie est défectueuse, elle dépense $40$ € supplémentaires.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d’un smartphone choisi au hasard dans le stock.
    a. Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&\ldots&\ldots\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’entreprise doit réparer et reconditionner $500$ smartphones. Combien doit-elle s’attendre à dépenser ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
    &=0,45\times 0,3+0,55\times 0,2\\
    &=0,245\end{align*}$
    La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(E)&=\dfrac{P(B\cap E)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,45\times 0,3}{0,245}\\
    &=\dfrac{27}{49}\end{align*}$
    Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu’il ait un écran cassé est égale à $\dfrac{27}{49}$.
    $\quad$
  2. a. $X$ prend les valeurs $20$, $50$, $60$ et $90$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&60&90\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&0,315&0,11&0,135\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(E\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,45\times 0,7\\
    &=0,315\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(B\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,55\times 0,2\\
    &=0,11\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=90)&=P(E\cap B) \\
    &=0,45\times 0,3\\
    &=0,135\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{20\times 0,44+50\times 0,315+60\times 0,11+90\times 0,135}\\
    &=43,3\end{align*}$
    En moyenne le reconditionnement d’un smartphone coûte $43,3$ €.
    Cela coûtera $500\times 43,3=21~650$ € de réparer et reconditionner $500$ smartphones.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans $30\%$ des cas, et gagne contre le monstre B dans $25\%$ des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les événements :

  • $A$ :« Le joueur affronte le monstre A. »
  • $B$ :« Le joueur affronte le monstre B. »
  • $V$ :« Le joueur est victorieux. »
  1. Déterminer $P_B\left(\conj{V}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(B\cap V)=\dfrac{1}{20}$.
    $\quad$
  3. Calculer $P(V)$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est
    victorieux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé on a $P_B(V)=0,25$ donc $P_B\left(\conj{V}\right)=0,75$.
    La probabilité que le joueur perde contre le monstre B est égale à 0,75$.
    $\quad$
  2. On a $P(B)=\dfrac{1}{5}$ et $P_B(V)=0,25$
    $\begin{align*} P(B\cap V)&=P(B)\times P_B(V)\\
    &=\dfrac{1}{5}\times 0,25 \\
    &=\dfrac{1}{20}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V)\\
    &=\dfrac{4}{5}\times 0,3+\dfrac{1}{20} \\
    &=0,29\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{1}{20}~}{0,29} \\
    &=\dfrac{5}{29}\end{align*}$
    La probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux est égale à $\dfrac{5}{29}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :

  • le premier dessert est un assortiment de macarons, et est choisi par $40 \%$ des clients,
  • le second dessert est une part de tarte, et est choisie par $30 \%$ des clients.

Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que parmi les clients ayant pris comme dessert un assortiment de macarons, $70 \%$ prennent un café, que parmi les clients ayant pris comme dessert une part de tarte, $40 \%$ prennent un café et que parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant.

On note :

  • $M$ l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons. »
  • $T$ l’évènement : « Le client prend une part de tarte. »
  • $N$ l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert. »
  • $C$ l’évènement : « Le client prend un café. »
  1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Définir par une phrase les probabilités $P(T\cap C)$ et $P_C(M)$ (on ne demande pas de les calculer).
    $\quad$
  3. Calculer $P(T\cap C)$ puis $P(C)$.
    $\quad$
  4. On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu’il ait pris une part de tarte ? On donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $P(T\cap C)$ est la probabilité que le client prenne à la fois une part de tarte et un café.
    $P_C(M)$ est la probabilité que le client prenne un macaron sachant qu’il a pris un café.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}P(T\cap C)&=P(T)\times P_T(C)\\
    &=0,3\times 0,4\\
    &=0,12\end{align*}$
    $\quad$
    $M$, $T$ et $N$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(N\cap C)\\
    &=0,4\times 0,7+0,12+0,3\times 0,9\\
    &=0,67\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(T)&=\dfrac{P(T\cap C)}{P(C)}\\
    &=\dfrac{0,12}{0,67}\\
    &=\dfrac{12}{67}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

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