E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

La gestionnaire d’un cinéma s’intéresse à la catégorie des films vus par ses spectateurs, ainsi qu’à leur consommation au rayon « friandises ». Une étude sur plusieurs mois a montré que $40 \%$ des spectateurs sont allés voir un film d’action, $35 \%$ un dessin animé et les autres une comédie.
Parmi les spectateurs allant voir un film d’action, la moitié achètent des friandises, alors qu’ils sont $80 \%$ pour ceux allant voir un dessin animé et $70 \%$ pour ceux allant voir une comédie.
On interroge au hasard un spectateur sortant du cinéma et on note :
$\hspace{1.5cm} A$ l’événement : « le spectateur a vu un film d’action »,
$\hspace{1.5cm} D$ l’événement : « le spectateur a vu un dessin animé »,
$\hspace{1.5cm} C$ l’événement : « le spectateur a vu une comédie »,
$\hspace{1.5cm} F$ l’événement : « le spectateur a acheté des friandises ».

  1. Reproduire et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous représentant la situation.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(F) = 0,655$.
    $\quad$
  3. On interroge au hasard un spectateur ayant acheté des friandises. Quelle est la probabilité qu’il ait vu un dessin animé ? On donnera l’arrondi à $10^{-3}$.
    $\quad$
  4. Une place de cinéma coûte $10$ €. On considérera que si un spectateur achète des friandises, il dépense $18$ € pour sa place de cinéma et ses friandises.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le coût d’une sortie au cinéma pour un spectateur.
    a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    b. En déduire le coût moyen par spectateur d’une sortie dans ce cinéma.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $A$, $D$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(A\cap F)+P(D\cap F)+P(C\cap F) \\
    &=0,4\times 0,5+0,35\times 0,8+0,25\times 0,7\\
    &=0,655\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_F(D)&=\dfrac{P(D\cap F)}{P(F)} \\
    &=\dfrac{0,35\times 0,8}{0,655}\\
    &\approx 0,427\end{align*}$
    La probabilité que le spectateur ait vu un dessin animé sachant qu’il a acheté des friandises est environ égale à $0,427$.
    $\quad$
  4. a. $X$ peut prendre les valeurs $10$ et $18$.
    $\begin{align*} P(X=18)&=P(F)\\
    &=0,655\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=10)&=1-P(X=18)\\
    &=0,345\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=18\times 0,655+10\times 0,345\\
    &=15,24\end{align*}$
    En moyenne, un spectateur dépense $15,24$ € dans ce cinéma.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lors des journées classées « rouges » selon Bison Futé, l’autoroute qui relie Paris à Limoges en passant par Orléans est surchargée.
Lors de ces journées classées « rouges », on a pu observer le comportement des automobilistes faisant le trajet de Paris à Limoges en passant par Orléans.

  • Pour le trajet de Paris à Orléans, $30 \%$ d’entre eux prennent la route nationale, les autres prennent l’autoroute.
  • Pour le trajet d’Orléans à Limoges :
    • parmi les automobilistes ayant pris la route nationale entre Paris et Orléans, $40 \%$ prennent la route départementale, les autres prennent l’autoroute ;
    • parmi les automobilistes n’ayant pas pris la route nationale entre Paris et Orléans, $45 \%$ prennent la route départementale , les autres prennent l’autoroute.

On choisit un automobiliste au hasard parmi ceux effectuant, en journée classée rouge, le trajet Paris – Limoges en passant par Orléans.

On note $N$ l’événement « l’automobiliste prend la route nationale entre Paris et Orléans » et $D$ l’événement « l’automobiliste prend la route départementale entre Orléans et Limoges ».
Si $A$ est un évènement, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous.$\quad$
  2. Calculer $P\left(𝑁̅ \cap \conj{D}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’automobiliste ne choisisse pas la Route Départementale entre Orléans et Limoges est $0,565$.
    $\quad$
    Lors de ces journées classées « rouges », on donne les temps de parcours suivants :
    Paris – Orléans, par autoroute : $3$ heures ;
    Paris – Orléans, par nationale : $2$ heures ;
    Orléans – Limoges, par autoroute : $4$ heures ;
    Orléans – Limoges, par départementale : $3$ heures et demie.
    $\quad$
  4. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, qui donne pour chaque trajet, le temps en heure et la probabilité :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&&&\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&&&\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure et en donner une interprétation.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)&=P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}\left(\conj{D}\right) \\
    &=0,7\times 0,55\\
    &=0,385\end{align*}$
    La probabilité pour que l’automobiliste n’ait pris ni la route nationale ni la route départementale est égale à $0,385$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P\left(\conj{D}\right)&=P\left(N\cap \conj{D}\right)+P\left(\conj{N}\cap \conj{D}\right)\\
    &=0,3\times 0,6+0,385\\
    &=0,565\end{align*}$
    $\quad$
  4. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{Évènement}&N\cap D&N\cap \conj{D}&\conj{N}\cap D&\conj{N}\cap \conj{D}\\
    \hline
    \text{Temps en heure}&5,5&6&6,5&7\\
    \hline
    \text{Probabilité}&0,12&0,18&0,315&0,385\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet en heure.
    On a ainsi $P(X=5,5)=0,12$, $P(X=6)=0,18$, $P(X=6,5)=0,315$ et $P(X=7)=0,385$.
    Ainsi l’espérance mathématique de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=5,5\times 0,12+6\times 0,18+6,5\times 0,315+7\times 0,385\\
    &=6,482~5\end{align*}$
    En moyenne, la durée du trajet est d’environ $6,5$ heures.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une petite entreprise de textile commercialise des nappes et des lots de serviettes assorties.
Un client achète au plus une nappe et au plus un lot de serviettes.
En consultant le fichier des ventes de l’entreprise, on constate que :

  • $20\%$ des clients achètent une nappe ;
  • Parmi les clients ayant acheté une nappe, $70 \%$ ont acheté un lot de serviettes ;
  • Parmi les clients n’ayant pas acheté de nappe, $10 \%$ ont tout de même acheté un lot de serviettes.

On choisit au hasard un client de cette entreprise.
Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $P(A)$ la probabilité de l’événement $A$.
On note les événements suivants :

  • $N$ « le client achète une nappe » ;
  • $S$ « le client achète un lot de serviettes »
  1. Reproduire sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette.
    $\quad$
  5. Une nappe est vendue $45$ € et un lot de serviettes $25$ €.
    On appelle $D$ la variable aléatoire donnant la dépense effectuée par un client.
    Calculer l’espérance mathématique de $D$ et donner une interprétation de ce nombre dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(N\cap S)&=P(N)\times P_N(S)\\
    &=0,2\times 0,7\\
    &=0,14\end{align*}$
    La probabilité que le client achète une nappe et un lot de serviettes est égale à $0,14$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(S)&=P(N\cap S)+P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,14+0,8\times 0,1\\
    &=0,22\end{align*}$
    La probabilité de l’événement $S$ est égale à $0,22$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(N)&=\dfrac{P(S\cap N)}{P(S)}\\
    &=\dfrac{0,14}{0,22}\\
    &=\dfrac{7}{11}\end{align*}$
    La probabilité que le client achète une nappe sachant qu’il a acheté une serviette est égale à $\dfrac{7}{11}$.
    $\quad$
  5. $D$ prend les valeurs $0$, $25$, $45$, $70$.
    $\begin{align*} P(D=0)&=P\left(\conj{N}\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,8\times 0,9\\
    &=0,72\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=25)&=P\left(\conj{N}\cap S\right) \\
    &=0,8\times 0,1\\
    &=0,08\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=45)&=P\left(N\cap \conj{S}\right) \\
    &=0,2\times 0,3\\
    &=0,06\end{align*}$
    $\begin{align*} P(D=70)&=P\left(N\cap S\right) \\
    &=0,2\times 0,7\\
    &=0,14\end{align*}$
    L’espérance mathématique de $D$ est donc :
    $\begin{align*} E(D)&=\small{0\times P(D=0)+25\times P(D=25)+45\times P(D=45)+70\times P(D=70)}\\
    &=25\times 0,08+45\times 0,06+70\times 0,14\\
    &=14,5\end{align*}$
    En moyenne un client dépense $14,5$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Claire joue régulièrement à un jeu de simulation de tournois de judo en ligne. Les adversaires qu’elle combat sont générés automatiquement de manière aléatoire selon le niveau atteint dans le jeu.
Elle a atteint le niveau le plus élevé, celui de la ceinture noire. Les scores relevés par le jeu montrent qu’elle gagne dans $45\%$ des cas si son adversaire est ceinture noire et dans $70\%$ si son adversaire n’est pas ceinture noire.
Claire commence un tournoi et un premier adversaire est généré par le jeu. A ce niveau la probabilité d’affronter un adversaire ayant une ceinture noire est $0,6$.
On note :

  • $N$ l’événement : « l’adversaire est ceinture noire » ;
  • $G$ l’événement : « Claire gagne le combat ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant cette situation.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
    $\quad$
  4. Claire vient de perdre un combat. Quelle est la probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire ?
    $\quad$
  5. On considère dans cette question que la probabilité que Claire gagne est $0,55$. Elle fait deux combats successifs.
    On note $X$ la variable qui compte le nombre de victoires.
    Donner la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(N\cap G)&=P(N)\times P_N(G)\\
    &=0,6\times 0,45\\
    &=0,27\end{align*}$
    La probabilité que l’adversaire soit ceinture noire et que Claire gagne son tournoi est égale à $0,27$.
    $\quad$
  3. $N$ et $\conj{N}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(G)&=P(N\cap G)+P\left(\conj{N}\cap G\right) \\
    &=0,27+0,4\times 0,7\\
    &=0,55\end{align*}$
    La probabilité que Claire gagne son combat est $0,55$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{G}}(N)&=\dfrac{P\left(\conj{G}\cap N\right)}{P\left(\conj{G}\right)} \\
    &=\dfrac{0,6\times 0,55}{1-0,55}\\
    &=\dfrac{11}{15}\end{align*}$
    La probabilité que le combat ait été contre une ceinture noire sachant qu’il a été perdu est égale à $\dfrac{11}{15}$.
    $\quad$
  5. $X$ peut prendre les valeurs $0$, $1$ et $2$.
    $\begin{align*}P(X=2)&=0,55^2\\
    &=0,302~5\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,45^2\\
    &=0,202~5\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=1-\left(P(X=0)+P(X=2)\right)\\
    &=0,495\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux types de dessert : un assortiment de macarons et une part de tarte tatin. Des études statistiques montrent que :

  • l’assortiment de macarons est choisi par $50 \%$ des clients ;
  • la part de tarte tatin, est choisie par $30 \%$ des clients ;
  • $20 \%$ des clients ne prennent pas de dessert ;
  • aucun client ne prend plusieurs desserts.

Le restaurateur a remarqué que :

  • parmi les clients ayant pris un assortiment de macarons, $80 \%$ prennent un café ;
  • parmi les clients ayant pris une part de tarte tatin, $60 \%$ prennent un café ;
  • parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café.

On interroge au hasard un client de ce restaurant.
On note les événements suivants :

  • $M$ : « Le client prend un assortiment de macarons » ;
  • $T$ : « Le client prend une part de tarte tatin » ;
  • $P$ : « Le client ne prend pas de dessert » ;
  • $C$ : « Le client prend un café » et $\conj{C}$ l’événement contraire de $C$.
  1. En utilisant les données de l’énoncé, préciser la valeur de $P(T)$ probabilité de $T$ et celle de $P_T(C)$ probabilité de l’évènement $C$ sachant que $T$ est réalisé.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :
    $\quad$
  3. a. Exprimer par une phrase ce que représente l’évènement $M \cap C$ puis calculer $P(M \cap C)$.
    $\quad$
    b. Montrer que $P(C) = 0,76$.
    $\quad$
  4. Quelle est la probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café? (On donnera le résultat arrondi au centième).
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(T)=0,3$ et $P_T(C)=0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. a. $M\cap C$ est l’événement « Le client prend un assortiment de macarons et un café ».
    $\begin{align*} P(M\cap C)&=P(M)\times P_M(C)\\
    &=0,5\times 0,8\\
    &=0,4\end{align*}$
    $\quad$
    b. $M$, $T$ et $P$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(P\cap C)\\
    &=0,4+0,3\times 0,6+0,2\times 0,9\\
    &=0,76\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(M)&=\dfrac{P(C\cap M)}{P(C)}\\
    &=\dfrac{0,4}{0,76}\\
    &\approx 0,53\end{align*}$
    La probabilité que le client prenne un assortiment de macarons sachant qu’il prend un café est environ égale à $0,53$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Le dépistage d’une maladie particulière que l’on appelle M s’effectue par un test basé sur le dosage d’une hormone particulière. D’après une étude, cette maladie M touche $1,5 \%$ de la population.

Si une personne est atteinte par la maladie M, le test sera positif dans $95 \%$ des cas ;
alors que si la personne n’est pas atteinte par la maladie M, le test sera négatif dans $99 \%$ des cas.

On soumet à ce test une personne prise au hasard dans la population.

On note :

  • $A$ l’évènement « La personne est atteinte par la maladie M.» ;
  • $T$ l’évènement « Le test est positif.».
  1. Déterminer la probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité pour que le test soit positif.
    $\quad$
  3. Calculer $P_T\left(\conj{A}\right)$ (Arrondir à $10^{-3}$ près). Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $P(A)=0,015$ et $P_A(T)=0,95$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
    &=0,015\times 0,95\\
    &=0,014~25\end{align*}$
    La probabilité pour que le test soit positif et que la personne choisie ne soit pas malade est égale à $0,014~25$.
    $\quad$
  2. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
    &=0,014~25+0,985\times 0,01\\
    &=0,024~1\end{align*}$
    La probabilité pour que le test soit positif est égale à $0,024~1$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} P_T\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{A}\right)}{P(T)} \\
    &=\dfrac{0,985\times 0,01}{0,024~1}\\
    &\approx 0,409\end{align*}$
    La probabilité que la personne ne soit pas malade sachant que le test est positif est environ égale à $0,409$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise qui fabrique des aiguilles dispose de deux sites de production, le site A et le site B. Le site A produit les trois-quarts des aiguilles, le site B l’autre quart. Certaines aiguilles peuvent présenter un défaut. Une étude de contrôle de qualité a révélé que :

  • $2\%$ des aiguilles du site A sont défectueuses ;
  • $4\%$ des aiguilles du site B sont défectueuses.

Les aiguilles provenant des deux sites sont mélangées et vendues ensemble par lots.
On choisit une aiguille au hasard dans un lot et on considère les événements suivants :

  • $A$ : l’aiguille provient du site A ;
  • $B$ : l’aiguille provient du site B ;
  • $D$ : l’aiguille présente un défaut.

L’événement contraire de $D$ est noté $\conj{D}$.

  1. D’après les données de l’énoncé, donner la valeur de la probabilité de l’événement $A$ que l’on notera $P(A)$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilités ci-dessous en indiquant les probabilités sur les branches.

    $\quad$

  3. Quelle est la probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A ?
    $\quad$
  4. Montrer que $P(D) = 0,025$.
    $\quad$
  5. Après inspection, l’aiguille choisie se révèle défectueuse. Quelle est la probabilité qu’elle ait été produite sur le site A ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé, on a $P(A)=0,75$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(A\cap D)&=P(A)\times P_A(D)\\
    &=0,75\times 0,02 \\
    &=0,015\end{align*}$
    La probabilité que l’aiguille ait un défaut et provienne du site A est égale à $0,015$.
    $\quad$
  4. $A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)\\
    &=0,015+0,25\times 0,04 \\
    &=0,025\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_D(A)&=\dfrac{P(D\cap A)}{P(D)}\\
    &=\dfrac{0,015}{0,025}\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que l’aiguille choisie ait été produite sur le site A sachant qu’elle se révèle défectueuse est égale à $0,6$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $P$ d’équation $y=2x^2+4x-11$, de sommet $S$ et d’axe de symétrie la droite $\boldsymbol{D}$ . Quelle est la bonne proposition ?

a. $S(-4;5)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=5$.
b. $S(-1;-17)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
c. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
d. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=-1$.

$\quad$

Correction Question 1

L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{4}{4}\\
&=-1\end{align*}$
Son ordonnée est $y_S=f(-1)=-13$.
Une équation de l’axe de symétrie est $x=-1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Une expérience aléatoire met en jeu des événements $A$ et $B$ et leurs événements contraires $\conj{A}$ et $\conj{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :

a. $P(B)=0,5$
b. $P(A\cap B)=0,9$
c. $P_A(B)=0,18$
d. $P_B(A)=\dfrac{9}{13}$

$\quad$

Correction Question 2

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right)\\
&=0,6\times 0,3+0,4\times 0,2\\
&=0,26\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,3}{0,26}\\
&=\dfrac{9}{13}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère le nombre réel $a=\dfrac{18\pi}{5}$.
Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle trigonométrique. Lequel ?

a. $\dfrac{3\pi}{5}$
b. $\dfrac{63\pi}{5}$
c. $\dfrac{-12\pi}{5}$
d. $\dfrac{-3\pi}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

Deux nombres $a$ et $b$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, $a-b=2k\pi$ avec $k\in \Z$.

$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{3\pi}{5}=3\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{63\pi}{5}=-9\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-12\pi}{5}=6\pi \checkmark$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-3\pi}{5}=4,2\pi$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(1+x)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=2x\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de terme général $u_n$?

a. $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$
b. $u_n=u_{n-1}+2$
c. $u_n=2{u_{n-1}}^2$
d. $u_n=2u_{n-1}+10$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut obtenir une relation de la forme $u_n=qu_{n-1}$ pour tout $n\in \N^*$

Or $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2} \ssi u_n=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Lorsqu’il s’entraine au tennis, Roger utilise un lance-balle.
Cette machine lance les balles soit sur le coup droit soit sur le revers du joueur.

On la remplit de balles et on la programme de la façon suivante : deux tiers des balles seront lancées sur le coup droit du joueur, le reste sur son revers.

On s’intéresse à la réussite des frappes de Roger pendant une séance d’entraînement.
On note $D$ l’événement : « le joueur reçoit la balle sur son coup droit ».
On note $\conj{D}$ l’événement contraire de l’événement $D$.

Roger réussit $\dfrac{9}{10}$ de ses coups droits et $75 \%$ de ses revers.

On note $S$ l’événement : « La frappe de Roger est un succès ».

  1. Donner $p\left(\conj{D}\right)$.
    $\quad$
  2. Compléter l’arbre pondéré situé en annexe représentant la situation.
    $\quad$
  3. Calculer $p\left(\conj{D}\cap S\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. Montrer que la probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. Sachant que la frappe que vient de réaliser Roger est un succès, calculer la probabilité que ce soit sur un revers. Arrondir le résultat au centième.
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $p(D)=\dfrac{2}{3}$ donc $p\left(\conj{D}\right)=\dfrac{1}{3}$
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} p\left(\conj{D}\cap S\right)&=p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(S)\\
    &=\dfrac{1}{3}\times 0,75\\
    &=0,25\end{align*}$
    La probabilité que le joueur reçoive la balle sur son revers et que la frappe soit un succès est égale à $0,25$.
    $\quad$
  4. $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(S)&=p(D\cap S)+p\left(\conj{D}\cap S\right) \\
    &=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{9}{10}+0,25\\
    &=0,85\end{align*}$
    La probabilité que la frappe de Roger soit un succès est égale à $0,85$.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_S\left(\conj{D}\right)&=\dfrac{p\left(S\cap \conj{D}\right)}{p(S)} \\
    &=\dfrac{0,25}{0,85}\\
    &\approx 0,29\end{align*}$
    La probabilité que la frappe soit un revers sachant que la frappe de Roger est un succès est environ égale à $0,29$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

$150$ élèves d’un établissement sont inscrits aux activités du midi :

  • $30$ sont inscrits en musique.
  • $45$ sont inscrits en sport
  • $75$ sont inscrits en cinéma.

Chaque élève pratique une et une seule activité.
Parmi les élèves inscrits en musique, $30 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en sport, $60 \%$ sont des filles.
Parmi les élèves inscrits en cinéma, $72 \%$ sont des filles.

On choisit au hasard un élève inscrit aux activités du midi.
On note :

  • $F$ l’événement : « l’élève choisi est une fille »,
  • $M$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en musique »,
  • $S$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en sport »,
  • $C$ l’événement : « l’élève choisi est inscrit en cinéma ».
  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré représentant la situation.

    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. Les évènements $M$ et $F$ sont-ils indépendants ?
    $\quad$
  5. Sachant que l’élève choisi est un garçon, calculer la probabilité qu’il soit inscrit en cinéma.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(M\cap F)&=P(M)\times P_M(F) \\
    &=0,2\times 0,3\\
    &=0,06\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille inscrite en musique est égale à $0,06$.
    $\quad$
  3. $M$, $S$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(F)&=P(M\cap F)+P(S\cap F)+P(C\cap F)\\
    &=0,06+0,3\times 0,6+0,5\times 0,72\\
    &=0,6\end{align*}$
    La probabilité que l’élève choisi soit une fille est égale à $0,6$.
    $\quad$
  4. $P(M)\times P(F)=0,12$ et $P(M\cap F)=0,06$
    Il n’y a pas égalité. Les événements $M$ et $F$ ne sont donc pas indépendants.
    $\quad$
  5. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_{\conj{M}}(C)&=\dfrac{P\left(\conj{M}\cap C\right)}{P\left(\conj{M}\right)} \\
    &=\dfrac{0,5\times 0,28}{1-0,6} \\
    &=0,35\end{align*}$
    La probabilité que l’élève soit inscrit en cinéma sachant que c’est un garçon est égale à $0,35$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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