E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une résidence de vacances propose uniquement deux formules :

  • la formule « pension complète » dans laquelle 3 repas par jour sont fournis ;
  • la formule « demi-pension » dans laquelle sont fournis uniquement le petit
    déjeuner et le dîner.

Pour l’année 2018, $65 \%$ des clients ont choisi la pension complète ; les autres ont choisi la formule « demi-pension ».
Parmi les clients qui ont choisi la demi-pension, $30 \%$ ont réservé l’option « ménage » en fin de semaine. De plus, $70 \%$ des clients qui ont choisi la pension complète ont réservé l’option ménage.
On choisit un client au hasard parmi ceux de l’année 2018 et l’on considère les évènements suivants :
$C$ : le client a choisi la formule « pension complète » ;
$M$: le client a choisi l’option « ménage ».

  1. Recopier sur la copie et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
    $\quad$
  2. Calculer $P(C\cap M)$.
    $\quad$
  3. Montrer que la probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage.
    $\quad$
  5. Voici la grille de tarifs de la résidence de vacances pour l’année 2018:
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \text{Une semaine de pension complète}&800\text{€}\\
    \text{Une semaine de demi-pension}&650\text{€}\\
    \text{Option ménage}&50\text{€}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On note $X$ la variable aléatoire égale au montant payé par un client de 2018.
    Calculer $P(X=850)$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
  2. On a :
    $\begin{align*} P(C\cap M)&=P(C)\times P_C(M)\\
    &=0,65\times 0,7\\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$
  3. $C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(M)&=P(C\cap M)+P\left(\conj{C}\cap M\right) \\
    &=0,455+0,35\times 0,3\\
    &=0,56\end{align*}$
    La probabilité que le client ait réservé l’option ménage est égale à $0,56$.
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_M(C)&=\dfrac{P(M\cap C)}{P(M)}\\
    &=\dfrac{0,455}{0,56}\\
    &=0,812~5\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi la formule « pension complète » sachant qu’il a réservé l’option ménage est égale à $0,812~5$.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*} P(X=850)&=P(C\cap M) \\
    &=0,455\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice toutes les probabilités seront données sous forme décimale, arrondie au millième.

Une entreprise récupère des smartphones endommagés, les répare et les reconditionne afin de les revendre à prix réduit.

  • $45 \%$ des smartphones qu’elle récupère ont un écran cassé ;
  • parmi les smartphones ayant un écran cassé, $30 \%$ ont également une batterie
    défectueuse ;
  • par contre, seulement $20 \%$ des smartphones ayant un écran non cassé ont une batterie défectueuse.
  1. Un technicien chargé de réparer et reconditionner les smartphones de l’entreprise prend un smartphone au hasard dans le stock. On note :
    $\bullet$ $E$ l’événement : « Le smartphone choisi a un écran cassé. »
    $\bullet$ $B$ l’événement : « Le smartphone choisi a une batterie défectueuse. »
    a. Représenter la situation décrite ci-dessus par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Démontrer que la probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, quelle est la probabilité qu’il ait un écran cassé ?
    $\quad$
  2. L’entreprise dépense $20$ € pour réparer et reconditionner chaque smartphone qu’elle récupère. Si l’écran est cassé, elle dépense $30$ € supplémentaires, et si la batterie est défectueuse, elle dépense $40$ € supplémentaires.
    On note $X$ la variable aléatoire égale au coût total de réparation et reconditionnement d’un smartphone choisi au hasard dans le stock.
    a. Recopier et compléter sur la copie (aucune justification n’est attendue) le tableau suivant pour donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&\ldots&\ldots\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&\ldots&\ldots&\ldots\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. L’entreprise doit réparer et reconditionner $500$ smartphones. Combien doit-elle s’attendre à dépenser ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
    b. $E$ et $\conj{E}$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
    &=0,45\times 0,3+0,55\times 0,2\\
    &=0,245\end{align*}$
    La probabilité que le smartphone choisi ait une batterie défectueuse est égale à $0,245$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_B(E)&=\dfrac{P(B\cap E)}{p(B)} \\
    &=\dfrac{0,45\times 0,3}{0,245}\\
    &=\dfrac{27}{49}\end{align*}$
    Sachant que le smartphone choisi a une batterie défectueuse, la probabilité qu’il ait un écran cassé est égale à $\dfrac{27}{49}$.
    $\quad$
  2. a. $X$ prend les valeurs $20$, $50$, $60$ et $90$.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    x_i&20&50&60&90\\
    \hline
    P\left(X=x_i\right)&0,44&0,315&0,11&0,135\\
    \hline
    \end{array}$$
    On a
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(E\cap \conj{B}\right) \\
    &=0,45\times 0,7\\
    &=0,315\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=60)&=P\left(B\cap \conj{E}\right) \\
    &=0,55\times 0,2\\
    &=0,11\end{align*}$
    $\begin{align*} P(X=90)&=P(E\cap B) \\
    &=0,45\times 0,3\\
    &=0,135\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{20\times 0,44+50\times 0,315+60\times 0,11+90\times 0,135}\\
    &=43,3\end{align*}$
    En moyenne le reconditionnement d’un smartphone coûte $43,3$ €.
    Cela coûtera $500\times 43,3=21~650$ € de réparer et reconditionner $500$ smartphones.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu consiste à combattre en duel soit un monstre A, soit un monstre B.
On a une probabilité de $\dfrac{4}{5}$ d’affronter le monstre A.
Le joueur gagne contre le monstre A dans $30\%$ des cas, et gagne contre le monstre B dans $25\%$ des cas.

Le joueur lance une partie. On considère les événements :

  • $A$ :« Le joueur affronte le monstre A. »
  • $B$ :« Le joueur affronte le monstre B. »
  • $V$ :« Le joueur est victorieux. »
  1. Déterminer $P_B\left(\conj{V}\right)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  2. Montrer que $P(B\cap V)=\dfrac{1}{20}$.
    $\quad$
  3. Calculer $P(V)$.
    $\quad$
  4. Calculer la probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est
    victorieux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. D’après l’énoncé on a $P_B(V)=0,25$ donc $P_B\left(\conj{V}\right)=0,75$.
    La probabilité que le joueur perde contre le monstre B est égale à 0,75$.
    $\quad$
  2. On a $P(B)=\dfrac{1}{5}$ et $P_B(V)=0,25$
    $\begin{align*} P(B\cap V)&=P(B)\times P_B(V)\\
    &=\dfrac{1}{5}\times 0,25 \\
    &=\dfrac{1}{20}\end{align*}$
    $\quad$
  3. $A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(V)&=P(A\cap V)+P(B\cap V)\\
    &=\dfrac{4}{5}\times 0,3+\dfrac{1}{20} \\
    &=0,29\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{1}{20}~}{0,29} \\
    &=\dfrac{5}{29}\end{align*}$
    La probabilité d’avoir combattu le monstre B sachant que le joueur est victorieux est égale à $\dfrac{5}{29}$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une chaîne de salons de coiffure propose à ses $5~000$ clients qui viennent pour une
coupe deux prestations supplémentaires cumulables :

  • une coloration naturelle à base de plantes appelée « couleur-soin »,
  • des mèches blondes pour donner du relief à la chevelure, appelées « effet coup de soleil ».

Il apparaît que $2~000$ clients demandent une « couleur-soin ». Parmi ceux qui ne veulent pas de « couleur soin », $900$ demandent un « effet coup de soleil ». Par ailleurs, $650$ clients demandent une « couleur soin » et un « effet coup de soleil ».
On notera $C$ l’évènement « le client souhaite une « couleur-soin ».
On notera $E$ l’évènement « le client souhaite un « effet coup de soleil ».

  1. Recopier sur votre copie et compléter le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&&900&\\
    \hline
    \conj{E}&&&\\
    \hline
    \text{Total}&\phantom{\text{Total}}&\phantom{\text{Total}}&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. On interroge un client au hasard parmi les $5~000$ clients.
    a. Quelle est la probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » ?
    $\quad$
    b. Calculer $P_E\left(\conj{C}\right)$.
    $\quad$
  3. On a des prix différents suivant la prestation fournie. On appelle $X$ le prix payé en euros par chaque client.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&&&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après avoir recopié et complété le tableau, calculer l’espérance de $X$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    &C&\conj{C}&\text{Total}\\
    \hline
    E&650&900&1~550\\
    \hline
    \conj{E}&1~350&2~100&3~450\\
    \hline
    \text{Total}&2~000&3~000&5~000\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(C\cap E)&=\dfrac{650}{5000}~\\
    &=0,13\end{align*}$
    La probabilité qu’il ait choisi les deux prestations : « couleur soin » et « effet coup de soleil » est $0,13$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} P_E\left(\conj{C}\right)&=\dfrac{900}{1~550}\\
    &=\dfrac{18}{31}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
  4. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
    \hline
    &\text{Coupe seule}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}&\begin{array}{c}\text{Coupe avec}\\\text{« couleur soin »}\\\text{et « effet coup de}\\\text{soleil »}\end{array}\\
    \hline
    \text{Valeurs de $k$ en €}&20&50&65&80\\
    \hline
    P(X=k)&0,42&0.27&0,18&0,13\\
    \hline
    \end{array}$$
    En effet :
    $\begin{align*} P(X=20)&=P\left(\conj{C}\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{2~100}{5~000}\\
    &=0,42\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} P(X=50)&=P\left(C\cap \conj{E}\right) \\
    &=\dfrac{1~350}{5~000}\\
    &=0,27\end{align*}$
    $\quad$
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=20\times 0,42+50\times 0,27+65\times 0,18+80\times 0,13\\
    &=44\end{align*}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un restaurant propose à sa carte deux desserts différents :

  • le premier dessert est un assortiment de macarons, et est choisi par $40 \%$ des clients,
  • le second dessert est une part de tarte, et est choisie par $30 \%$ des clients.

Les autres clients ne prennent pas de dessert. Aucun client ne prend plusieurs desserts.
Le restaurateur a remarqué que parmi les clients ayant pris comme dessert un assortiment de macarons, $70 \%$ prennent un café, que parmi les clients ayant pris comme dessert une part de tarte, $40 \%$ prennent un café et que parmi les clients n’ayant pas pris de dessert, $90 \%$ prennent un café. On interroge au hasard un client de ce restaurant.

On note :

  • $M$ l’évènement : « Le client prend un assortiment de macarons. »
  • $T$ l’évènement : « Le client prend une part de tarte. »
  • $N$ l’évènement : « Le client ne prend pas de dessert. »
  • $C$ l’évènement : « Le client prend un café. »
  1. Construire un arbre de probabilités décrivant la situation.
    $\quad$
  2. Définir par une phrase les probabilités $P(T\cap C)$ et $P_C(M)$ (on ne demande pas de les calculer).
    $\quad$
  3. Calculer $P(T\cap C)$ puis $P(C)$.
    $\quad$
  4. On rencontre un client ayant pris un café. Quelle est la probabilité qu’il ait pris une part de tarte ? On donnera le résultat sous forme d’une fraction irréductible.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  2. $P(T\cap C)$ est la probabilité que le client prenne à la fois une part de tarte et un café.
    $P_C(M)$ est la probabilité que le client prenne un macaron sachant qu’il a pris un café.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*}P(T\cap C)&=P(T)\times P_T(C)\\
    &=0,3\times 0,4\\
    &=0,12\end{align*}$
    $\quad$
    $M$, $T$ et $N$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P(M\cap C)+P(T\cap C)+P(N\cap C)\\
    &=0,4\times 0,7+0,12+0,3\times 0,9\\
    &=0,67\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_C(T)&=\dfrac{P(T\cap C)}{P(C)}\\
    &=\dfrac{0,12}{0,67}\\
    &=\dfrac{12}{67}\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $x^2+x+2>0$ :

a. n’a pas de solution
b. a une seule solution
c. a pour ensemble de solution l’intervalle $[1 ; 2]$
d. a pour solution l’ensemble des nombres réels

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent, tous les réels sont solution de l’inéquation $x^2+x+2>0$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\norme{u}=3$, $\norme{v}=2$ et $\vec{u}.\vec{v}=-1$ alors $\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2$ est égal à :

a. $11$
b. $13$
c. $15$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\norme{u}^2-\norme{v}^2\right)\\
\ssi~& -1=\dfrac{1}{2} \left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-9-4\right)\\
\ssi~&-2=\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-13\\
\ssi~&\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2=15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.
Alors la probabilité $P(A\cap B)$ est égale à :

a. $0,4$
b. $0,1$
c. $0,25$
d. $0,7$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}&\ssi 0,2=\dfrac{P(A\cap B)}{0,5} \\
&\ssi P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0=2$ et de raison $3$.
La somme $S$ définie par $S=u_0+u_1+\ldots+u_{12}$ est égale à :

a. $45$
b. $222$
c. $260$
d. $301$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2+3n$

On a :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{12} \\
&=(2+3\times 0)+(2+3\times 1)+\ldots +(2+3\times 12) \\
&=2\times 13+3(1+2+\ldots+12)\\
&=26+3\times \dfrac{12\times 13}{2} \\
&=260\end{align*}$

Réponse C

Remarque : Si en cours tu as vu la formule donnant la somme des termes d’une suite arithmétique, tu peux l’utiliser ici:
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+ \ldots+u_{12}\\
&=13\times \dfrac{u_0+u_{12}}{2}\\
&=13\times \dfrac{2+38}{2}\\
&=260\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=(2x-5)^3$.
Une expression de la dérivée de $f$ est :

a. $3(2x-5)^2$
b. $6(2x-5)^2$
c. $2(2x-5)^2$
d. $2^3$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f(x)=g(2x-5)$ et $g'(x)=3x^2$.
Donc $f$ est également dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2g'(2x-5)\\
&=2\times 3(2x-5)^2\\
&=6(2x-5)^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un cafetier propose à ses clients des cookies au chocolat ou aux noisettes en s’approvisionnant dans trois boulangeries. Un client prend un cookie au hasard.

On note :

$C$ l’événement « le cookie est au chocolat »,
$N$ l’événement « le cookie est aux noisettes »,
$B_1$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 »,
$B_2$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 2 »
$B_3$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 3 ».

On suppose que :

  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 1 est de $0,49$ ;
  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 2 est de $0,36$ ;
  • $P_{B_2}(C)$ est la probabilité conditionnelle de $C$ sachant $B_2$ ;
  • La probabilité que le cookie soit aux noisettes sachant qu’il provient de la troisième boulangerie est de $0,3$.
    $\quad$

L’arbre pondéré ci-dessous correspond à la situation et donne une information supplémentaire : le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.

  1. Exprimer par une phrase l’information donnée par le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessus.
    $\quad$
  3. Définir par une phrase l’événement $B_1\cap C$ et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  4. Montrer la probabilité $P(C)$ d’avoir un cookie au chocolat est égale à $0,543$.
    $\quad$
  5. Calculer la probabilité d’avoir un cookie provenant de la boulangerie 2 sachant qu’il est au chocolat. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que le cookie soit au chocolat sachant qu’il provient de la boulangerie est égale à $0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $B_1\cap C$ est l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 et est au chocolat».
    $\begin{align*} P\left(B_1\cap C\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}(C)\\
    &=0,49\times 0,6\\
    &=0,294\end{align*}$
    $\quad$
  4. Les événements $B_1$, $B_2$ et $B_3$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P\left(B_1\cap C\right)+P\left(B_2\cap C\right)+P\left(B_3\cap C\right) \\
    &=0,294+0,36\times 0,4+0,15\times 0,7\\
    &=0,543\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_C\left(B_2\right)&=\dfrac{P\left(B_2\cap C\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,36\times 0,4}{0,543}\\
    &\approx 0,265\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

  • $M$ : « Karim marque un but » ;
  • $R$ : « Karim rate le tir au but ».

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

  1. On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l’issue de cette série de tirs par Karim.
    a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
    $\quad$
    b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
    $\quad$
    c. Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
  2. On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise $15$ € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$ €, et chaque but manqué par Karim ne
    lui rapporte rien.
    On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
    a. Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant

    $\quad$
    b.
    La variable aléatoire $X$ ne peut prendre que les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.
    $\begin{align*}P(X=0)&=0,3^3 \\
    &=0,027\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=1)&=3\times 0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,189\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=2)&=3\times 0,7^2\times 0,3 \\
    &=0,441\end{align*}$
    $\begin{align*}P(X=3)&=0,7^3 \\
    &=0,343\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On dit que la variable aléatoire $X$ suit uneloi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,7$.
    $\quad$
    c. L’espérance est :
    $\begin{align*} E(X)&=\small{0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)}\\
    &=1\times 0,189+2\times 0,441+3\times 0,343\\
    &=2,1\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a donc $Y=6X-15$
    $\quad$
    b. On sait que $E(aX+b)=aE(X)+b$.
    Donc, ici :
    $\begin{align*} E(Y)&=6E(X)-15\\
    &=6\times 2,1-15\\
    &=-2,4\end{align*}$
    À chaque partie, le joueur perd donc en moyenne $2,4$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Une urne contient $150$ jetons rouges et $50$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. $20 \%$ des jetons rouges sont gagnants et $40 \%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.

Question 1

La probabilité que le jeton soit rouge et gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,45$
c. $0,15$
d. $0,95$

$\quad$

Correction Question 1

On note les événements :

  • $R$ : le jeton est rouge;
  • $G$ : le jeton est gagnant.

On a ainsi
$\begin{align*} P(R)&=\dfrac{150}{250}\\
&=0,75\end{align*}$
et $P_R(G)=0,2$
Par conséquent :
$\begin{align*} P(R\cap G)&=P(R)\times P_R(G)\\
&=0,75\times 0,2\\
&=0,15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

La probabilité que le jeton soit gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,6$
c. $0,25$
d. $0,4$

$\quad$

Correction Question 2

On utilise les notations de la correction de la question 1.
$R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(R\cap G)+P\left(\conj{R}\cap G\right) \\
&=0,15+\dfrac{50}{200}\times 0,4\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Un joueur tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. La probabilité qu’il tire deux jetons rouges est :

a. $0,562~5$
b. $0,75$
c. $0,30$
d. $0,15$

$\quad$

Correction Question 3

La probabilité de tirer deux jetons rouges est :
$\begin{align*} p&=0,75^2 \\
&=0,562~5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros d’un joueur. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs $a$ prises par $X$}&-5&0&10\\
\hline
P(X=a)&0,6&0,15&0,25\\
\hline
\end{array}$$

Question 4

La probabilité $P(X > 0)$ est égale à :

a. $0,15$
b. $0,6$
c. $10$
d. $0,25$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} P(X>0)&=P(X=10)\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le gain algébrique moyen en euros que peut espérer un joueur est égale à :

a. $0$
b. $-0,5$
c. $\dfrac{5}{3}$
d. $5$

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+0\times P(X=0)+10\times P(X=10)\\
&=-5\times 0,6+10\times 0,25\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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