E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des jeux en bois. Avant sa commercialisation, chaque jeu est soumis à deux contrôles : un contrôle de peinture et un contrôle de solidité.

Après un très grand nombre de vérifications, on constate que :

$8 \%$ des jeux ont un défaut de peinture,
parmi les jeux qui n’ont pas de défaut de peinture, $5 \%$ ont un défaut de solidité,
$2 \%$ des jeux présentent les deux défauts.

On choisit au hasard un jeu parmi ceux fabriqués par l’entreprise. On note :

$T$ l’événement : « le jeu a un défaut de peinture. »
$S$ l’événement : « le jeu a un défaut de solidité. »

Démontrer que $P_T(S) = 0,25$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.

$\quad$
Démontrer que la probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale à $0,934$.
$\quad$
Les jeux qui présentent un défaut de solidité sont détruits. Dans cette question, on leur attribuera un prix de vente de $0$ €.
Les jeux ne présentant aucun défaut sont vendus $14$ € chacun.
Les autres jeux sont vendus $9$ € chacun.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix de vente, en euros, d’un jeu.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&9&14\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&\phantom{1234}&\phantom{1234}&\phantom{1234}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Quel est le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise ?
On arrondira le résultat au centime d’euro.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} P(T\cap S)=P(T)\times P_T(S)&\ssi 0,02=0,08P_T(S)\\
&\ssi P_T(S)=0,25\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré :
$\quad$
$T$ et $\conj{T}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{S}\right)&=P\left(T\cap \conj{S}\right)+P\left(\conj{T}\cap \conj{S}\right) \\
&=0,08\times 0,75+0,92\times 0,95\\
&=0,934\end{align*}$
La probabilité que le jeu choisi au hasard n’ait pas de défaut de solidité est égale à $0,934$.
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x_i&0&9&14\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,066&0,06&0,874\\
\hline
\end{array}$$
$P(X=0)=1-0,934=0,066$
$P(X=14)=0,92\times 0,95=0,874$
$P(X=9)=1-(0,066+0,874)=0,06$
$\quad$
Remarque : On peut calculer $P(X=9)$ directement.
$\begin{align*} P(X=9)&=P\left(T\cap \conj{S}\right) \\
&=P(T)-P(T\cap S) \\
&=0,08-0,02\\
&=0,06\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=0\times 0,066+9\times 0,06+14\times 0,874 \\
&=12,776\end{align*}$
Le prix de vente moyen d’un jeu fabriqué par cette entreprise est d’environ $12,78$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une fleuriste met en vente quatre sortes de bouquets dont les tarifs et la composition sont indiqués dans le tableau ci-dessous : $$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Bouquet de tulipes orange : }10,50 \text{ €}&\text{Bouquet de roses orange : }23,50 \text{ €}\\
\hline
\text{Bouquet de tulipes blanches : }11,60 \text{ €}&\text{Bouquet de roses blanches :} 25,50 \text{ €}\\
\hline
\end{array}$$

$72 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses.
Les autres bouquets mis en vente ne contiennent que des tulipes.
$20 \%$ des bouquets de tulipe mis en vente ne contiennent que des tulipes orange.
$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.

Un client achète au hasard un bouquet parmi ceux mis en vente par la fleuriste. On note :

$R$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de roses. »
$B$ l’événement : « Le bouquet acheté par ce client est composé de fleurs blanches. »

Les événements contraires des événements $R$ et $B$ sont notés respectivement $\conj{R}$ et $\conj{B}$.

a. Donner, sans justifier, la probabilité $P(R\cap B)$.
$\quad$
b. Recopier et compléter le plus possible l’arbre de probabilité ci-dessous en traduisant uniquement les données de l’énoncé.

$\quad$
c. Montrer que $P(B) = 0,584$.
$\quad$
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’un bouquet acheté par un client.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant, pour chaque valeur $x_i$ de $X$, la probabilité de l’événement $\left\{X=x_i\right\}$. Justifier.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&&&&\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$. On arrondira le résultat au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a.$36 \%$ des bouquets mis en vente ne contiennent que des roses blanches.
Donc $P(R\cap B)=0,36$
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
c. $R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(R\cap B)+P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,36+0,28\times 0,8\\
&=0,584\end{align*}$
$\quad$
a. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&10,5&11,6&23,5&25,5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,056&0,224&0,36&0,36\\
\hline
\end{array}$$
En effet :
$\begin{align*} P(X=25,5)&=P(R\cap B)\\
&=0,36\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10,5)&=P\left(\conj{R}\cap \conj{B}\right)\\
&=0,28\times 0,2 \\
&=0,056\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=11,6)&=P\left(\conj{R}\cap B\right)\\
&=0,28\times 0,8 \\
&=0,224\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=23,5)&=1-\left(0,056+0,224+0,36\right)\\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On peut également calculer $P(X=23,5)$ directement.
$\begin{align*} P(R\cap B)=P(R)\times P_R(B)& \ssi 0,36 = 0,72 P_R(B) \\
&\ssi P_R(B)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Par conséquent $P_R\left(\conj{B}\right)=\dfrac{1}{2}$
Ainsi
$\begin{align*} P(X=23,5)&=P\left(R\cap \conj{B}\right) \\
&=P(R)\times P_R\left(\conj{B}\right) \\
&=0,72 \times \dfrac{1}{2} \\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$b. L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=10,5\times 0,056+11,6\times 0,224+23,5\times 0,36+25,5\times 0,36 \\
&\approx 20,83\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

On considère deux élevages de chatons sacrés de Birmanie :

Dans le premier élevage $75 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $25 \%$ deviennent couleur Blue.
Dans le second élevage $30 \%$ des chatons deviennent couleur Chocolat et $70 \%$ deviennent couleur Blue.

Une animalerie se fournit dans ces deux élevages. Elle achète $40 \%$ de ses chatons au premier élevage et $60 \%$ au deuxième.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie.
On note $A$ l’événement « Le chaton provient du premier élevage » et $B$ l’événement « Le chaton est de couleur Blue ».
On note $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$ et $\conj{B}$ l’événement contraire de $B$.

a. Recopier sur la copie et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :

$\quad$
b. Calculer $P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)$ et interpréter ce résultat.
$\quad$
c. Montrer que la probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
$\quad$
d. Sachant que Jules a choisi un chaton couleur Blue dans cette animalerie, quelle est la probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage ? On donnera le résultat à $10^{-2}$ près.
$\quad$
Le responsable du rayon fixe à $100$ € le prix de vente d’un chaton couleur Blue et à $75$€ le prix d’un chaton couleur Chocolat.
On choisit au hasard un chaton de l’animalerie et on désigne par $X$ la variable aléatoire égale au prix en euros du chaton acheté. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right)&=P\left(\conj{A}\right) \times P_{\conj{A}}\left(\conj{B}\right) \\
&=0,6\times 0,3\\
&=0,18\end{align*}$
La probabilité que le chaton choisi provienne du second élevage et devienne couleur Chocolat est égale à $0,18$.
$\quad$
c. $A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a:
$\begin{align*} P\left(\conj{B}\right)&=P\left(A\cap \conj{B}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{B}\right) \\
&=0,4\times 0,75+0,18\\
&=0,48\end{align*}$
La probabilité que le chaton soit de couleur Chocolat est $0,48$.
$\quad$
d. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{B}\left(\conj{A}\right) &=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap B\right)}{P(B)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,7}{1-0,48}\\
&\approx 0,81\end{align*}$
La probabilité que le chaton provienne du deuxième élevage sachant que c’est un chaton couleur Blue est environ égale à $0,81$.
$\quad$
$X$ ne peut prendre que les valeurs $100$ et $75$.
$\begin{align*} P(X=100)&=P(B)\\
&=1-0,48\\
&=0,52\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=75)&=P\left(\conj{B}\right)\\
&=0,48\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un constructeur de véhicules fabrique deux types d’automobiles : « Citadine » ou « Routière ».
Pour ces véhicules, ce constructeur propose deux finitions :

« Sport » au tarif de $2~500$ euros par véhicule,
« Luxe » au tarif de $4~000$ euros par véhicule.

En consultant le carnet de commandes de ce constructeur, on recueille les indications suivantes :

$80\%$ des clients ont commandé une automobile « Citadine ». Les autres clients ont commandé une automobile « Routière ».
Parmi les clients possédant une automobile « Citadine », $70\%$ ont pris la finition « Sport ».
Parmi les clients possédant une automobile « Routière », $60\%$ ont pris la finition « Luxe ».

On choisit un client au hasard et on considère les évènements suivants :

$C$ : « Le client a commandé une automobile « Citadine » »,
$L$ : « Le client a choisi la finition « Luxe » ».

D’une manière générale, on note $\conj{A}$ l’évènement contraire d’un évènement $A$.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant en euros de la finition choisie par un client.

Construire l’arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l’exercice.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe », c’est-à-dire calculer $P(C\cap L)$.
$\quad$
Justifier que $P(L) = 0,36$.
$\quad$
La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$.
a. Déterminer les probabilités $P(X = a)$ et $P(X = b)$.
$\quad$
b. Déterminer l’espérance de $X$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(C\cap L)&=P(C)\times P_C(L)\\
&=0,8\times 0,3\\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité que le client ait commandé une automobile « Citadine » et ait choisi la finition « Luxe » est égale à $0,24$.
$\quad$
$C$ et $\conj{C}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)&=P(C\cap L)+P\left(\conj{C}\cap L\right) \\
&=0,24+0,2\times 0,6\\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
a. On a donc
$\begin{align*} P(X=2~500)&=P\left(\conj{L}\right) \\
&=1-0,36\\
&=0,64\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} P(X=4~000)&=P(L) \\
&=0,36\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=2~500P(X=2~500)+4~000P(X=4~000)\\
&=2~500\times 0,64+4~000\times 0,36\\
&=3~040\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au centième.

Un gérant d’un salon de thé achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs.
Il achète $80 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Au thé de qualité » et $20 \%$ de ses boîtes chez le fournisseur « Bon thé ».
Des contrôles de qualité montrent que $10 \%$ des boîtes provenant du fournisseur « Au thé de qualité » présentent des traces de pesticides et que $20 \%$ de celles provenant du fournisseur « Bon thé » présentent aussi des traces de pesticides.
On prélève au hasard une boîte du stock du gérant et on considère les événements suivants :
$A$ : « la boîte provient du fournisseur « Au thé de qualité » » ;
$B$ : « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » » ;
$T$ : « la boîte présente des traces de pesticides ».

Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
Quelle est la probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide ?
$\quad$
Que représente l’événement $B\cap \conj{T}$ ? Quelle est la probabilité de cet événement ?
$\quad$
Justifier que la probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur « Bon thé » ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
&=0,8\times 0,1\\
&=0,08\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur A et contienne des traces de pesticide est égale à $0,08$.
$\quad$
L’événement $B\cap \conj{T}$ est « la boîte provient du fournisseur « Bon thé » et ne contient pas de pesticide. »
$\begin{align*} P\left(B\cap \conj{T}\right) &=P(B)\times P_B\left(\conj{T}\right) \\
&=0,2\times 0,8 \\
&=0,16\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{T}\right)&=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(B\cap \conj{T}\right) \\
&=0,8\times 0,9+0,16 \\
&=0,88\end{align*}$
La probabilité que la boîte ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(B)&=\dfrac{P(B\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,2}{1-0,88}\\
&=\dfrac{1}{3}\\
&\approx 0,33\end{align*}$
La probabilité que la boîte prélevée provienne du fournisseur « Bon thé » sachant qu’elle présente des traces de pesticides est environ égale à $0,33$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

On note:

$S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique »;
$M$ l’événement «le voyageur porte un objet métallique».

On note $\conj{S}$ et $\conj{M}$ les événements contraires des événements $S$ et $M$.

On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On admet que :

Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,95$.
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est de $0,96$.

À l’aide des données de l’énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_M(S)$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous, modélisant cette situation :

$\quad$
Montrer que $P(S)=0,041~82$.
$\quad$
En déduire la probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant. On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Les événements $M$ et $S$ sont-ils indépendants?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(M)=\dfrac{1}{500}$, $P_M(S)=0,95$ et $P_{\conj{M}}\left(\conj{S}\right)=0,96$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
&=\dfrac{1}{500}\times 0,95+\dfrac{499}{500}\times 0,04\\
&=0,041~82\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{500}\times 0,95}{0,041~82} \\
&\approx 0,045\end{align*}$
La probabilité qu’un voyageur porte un objet métallique sachant qu’il a fait sonner le portique en passant est environ égale à $0,045$.
$\quad$
On a $P(S)=0,041~82$ et $P_M(S)=0,95$.
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $M$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Maxime participe à un jeu qui se déroule en deux parties :

La probabilité qu’il gagne la première partie est de $0,2$.
S’il gagne la première partie, il gagne la deuxième avec une probabilité de $0,9$.
S’il perd la première partie, il perd la suivante avec une probabilité de $0,6$.

On note :

$G_1$ l’événement « Maxime gagne la première partie »
$G_2$ l’événement « Maxime gagne la seconde partie »

Partie A

Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu.
$\quad$
Montrer que la probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
$\quad$

Partie B

On sait de plus que :

à chaque partie gagnée, le joueur gagne $1,5$ €.
à chaque partie perdue, il perd $1$ €.

On note $X$ la variable aléatoire qui correspond au gain algébrique en euros de Maxime à l’issue des deux parties.

Recopier sur la copie et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs de $X$}&&&3&\text{Total}\\
\hline
\text{Probabilité}&\phantom{0,18}&\phantom{0,18}&0,18&\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
Déterminer si ce jeu est équitable. Justifier.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
La probabilité que Maxime gagne les deux parties du jeu est :
$\begin{align*} P\left(G_1\cap G_2\right)&=P\left(G_1\right)\times P_{G_1}\left(G_2\right) \\
&=0,2\times 0,9\\
&=0,18\end{align*}$
$\quad$
$G_1$ et $\conj{G_1}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(G_2\right)&=P\left(G_1\cap G_2\right)+P\left(\conj{G_1}\cap G_2\right) \\
&=0,18+0,8\times 0,4\\
&=0,5\end{align*}$
La probabilité que Maxime gagne la deuxième partie du jeu est $0,5$.
$\quad$

Partie B

On obtient :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs de $X$}&-2&0,5&3&\text{Total}\\
\hline
\text{Probabilité}&0,48&0,34&0,18&1\\
\hline
\end{array}$
En effet :
– $P(X=-2)=0,8\times 0,6=0,48$
– $P(X=0,5)=1-(0,48+0,18)=0,34$
$\quad$
L’espérance de la variable $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,48+0,5\times 0,34+3\times 0,18 \\
&=-0,25\end{align*}$
Par conséquent $E(X)\neq 0$. Le jeu n’est donc pas équitable.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une urne contient deux boules rouges et trois boules noires toutes indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule en notant sa couleur puis on la remet dans l’urne.
On tire ensuite toujours au hasard une deuxième boule en notant sa couleur.
On note $R$ l’évènement « tirer une boule rouge » et $N$ l’évènement « tirer une boule noire ».

Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessous associé à cette expérience.

$\quad$
Quelle est la probabilité de tirer deux boules rouges ?
$\quad$
Si un joueur tire une boule rouge, il gagne 20 euros. S’il tire une boule noire, il perd $10$ euros.
On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur, en euros, à l’issue des deux tirages successifs.
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le joueur gagne de l’argent.
$\quad$
Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré :

$\quad$
La probabilité de tirer deux boules rouges est :
$\begin{align*} P(R\cap R)&=P(R)\times P_R(R)\\
&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{2}{5} \\
&=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
$\quad$
La variable aléatoire $X$ peut prendre les valeurs $-20$, $10$ et $40$.
$\begin{align*} P(X=-20)&=P(N\cap N)\\
&=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}\\
&=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=40)&=P(R\cap R)\\
&=\dfrac{4}{25}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=10)&=1-\left(P(X=-20)+P(X=40)\right)\\
&=1-\dfrac{13}{25}\\
&=\dfrac{12}{25}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : Les 2 tirages sont aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que 2 issues : $R$, de probabilité $\dfrac{2}{5}$ et $\conj{R}$.
La variable aléatoire $Y$ comptant le nombre de succès suit donc la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=\dfrac{2}{5}$.
On a alors $P(X=-20) = P(Y=0)$, $P(X=10) =P(Y=1)$ et $P(X=40)=P(Y=2)$.
Avec $P(Y=k)=\dbinom{2}{k} \left(\dfrac{2}{5}\right)^k\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2-k}$ pour tout $k\in \{0,~1,~2\}$.
$\quad$
La probabilité qu’il gagne de l’argent est égale à $P(X=10)+P(X=40)=\dfrac{16}{25}$.
$\quad$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-20 P(X=-20)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
&=-20\times \dfrac{9}{25}+10\times \dfrac{12}{25}+40\times \dfrac{4}{25} \\
&=4\end{align*}$
Cela signifie qu’en moyenne, sur un grand nombre de parties, un joueur va gagner $4$ € par partie.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au cours de l’hiver, on observe dans une population, $12 \%$ de personnes malades.
Parmi les personnes malades, $36 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Parmi les personnes non malades, $54 \%$ d’entre elles pratiquent une activité sportive régulièrement.
Une personne est choisie au hasard dans la population.
On note $M$ l’événement « la personne est malade » et $S$ l’événement « la personne a une activité sportive régulière ».
Dans cet exercice, les résultats approchés seront donnés à $10 ^{-3}$ près.

Recopier et compléter l’arbre pondéré.

$\quad$
a. Quelle est la probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement ?
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
$\quad$
La personne choisie n’a pas d’activité sportive régulière. Quelle est la probabilité pour qu’elle soit malade ?
$\quad$
Un journaliste annonce qu’une pratique régulière d’une activité sportive diminue par deux le risque de tomber malade. Que peut-on conclure sur la pertinence de cette annonce ? Justifier.

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} P(S\cap M)&=P(M)\times P_M(S) \\
&=0,12\times 0,36\\
&=0,043~2\end{align*}$
La probabilité que la personne soit malade et qu’elle pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,043~2$.
$\quad$
b. $M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right)\\
&=0,12\times 0,36+0,88\times 0,54\\
&=0,518~4\end{align*}$
La probabilité que la personne pratique une activité sportive régulièrement est égale à $0,518~4$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{S}}(M)&=\dfrac{P\left(\conj{S}\cap M\right)}{P\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,12\times 0,64}{1-0,518~4} \\
&\approx 0,159\end{align*}$
$\quad$
On calcule :
$\begin{align*} P_S(M)&=\dfrac{P(S\cap M)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,12 \times 0,36}{0,518~4} \\
&\approx 0,083\end{align*}$
Or $\dfrac{0,159}{2} \neq 0,083$.
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parent d’élèves propose un jeu pour la fête de l’école.

Une urne opaque contient 100 billes indiscernables au toucher : $10$ billes rouges, $30$ billes blanches et $60$ billes vertes.

Pour une partie, chaque joueur doit miser $2$ jetons. Ensuite, le joueur prélève une bille au hasard dans l’urne.

Si la bille prélevée est rouge, le joueur récupère $8$ jetons.
Si la bille est blanche, le joueur récupère $4$ jetons.
Si la bille est verte, le joueur ne gagne rien.

On note $X$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur en nombre de jetons, c’est-à-dire, le nombre de jetons gagnés diminué de la mise.

a. Établir que la loi de probabilité de $X$ est donnée par :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs $a$ prise par $X$}&-2&2&6\\
\hline
P(X=a)&0,6&0,3&0,1\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Démontrer que le jeu est équitable, c’est-à-dire que l’espérance de $X$ est nulle.
$\quad$
c. Calculer la variance puis l’écart-type de $X$. On arrondira au centième.
$\quad$
Pour financer les différentes actions de l’école, les organisateurs de la fête veulent modifier le jeu pour qu’il leur devienne favorable. Ils décident alors d’ajouter des billes vertes dans l’urne.
Combien de billes vertes doit-on ajouter dans l’urne pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La loi de probabilité de $X$ est :
$P(X=-2)=\dfrac{60}{100}=0,6$
$P(X=2)=\dfrac{30}{100}=0,3$
$P(X=6)=\dfrac{10}{100}=0,1$
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-2\times 0,6+2\times 0,3+6\times 0,1\\
&=0\end{align*}$
Le jeu est donc équitable.
$\quad$
c. La variance de $X$ est :
$\begin{align*} V(X)&=0,6(-2-0)^2+0,3(2-0)^2+0,1(6-0)^2
&=7,2\end{align*}$
L’écart-type de $X$ est :
$\begin{align*} \sigma(X)&=\sqrt{7,2} \\
&\approx 2,68\end{align*}$
$\quad$
On appelle $n$ le nombre de billes vertes ajoutées.
La loi de probabilité de $X$ devient alors :
$P(X=-2)=\dfrac{60+n}{100+n}$
$P(X=2)=\dfrac{30}{100+n}$
$P(X=6)=\dfrac{10}{100+n}$
$\begin{align*} E(X)=-1&\ssi \dfrac{-2(60+n)}{100+n}+ \dfrac{2\times 30}{100+n}+\dfrac{6\times 10}{100+n} =-1\\
&\ssi -2(60+n)+60+60=-100-n\\
&\ssi -120-2n+120=-100-n\\
&\ssi n=100\end{align*}$
Il faut donc ajouter $100$ billes vertes pour que l’espérance du jeu soit égale à $-1$.
$\quad$

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$\quad$

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