E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un fromager fait l’inventaire des produits qu’il a en cave.
Le graphique ci-dessous indique la répartition de ses $3$ types de fromages : au lait de chèvre, au lait de vache ou au lait de brebis.

Chacun de ses $3$ types de fromages se partage en deux catégories : frais ou affiné.
Le tableau suivant donne la répartition des fromages de chaque catégorie suivant leur affinage :

$$\begin{array}{|l|c|c|}
\hline
&\text{frais}& \text{affiné}\\
\hline
\text{Lait de vache}& 20 \%& 80 \%\\
\hline
\text{Lait de chèvre}& 40 \%& 60 \%\\
\hline
\text{Lait de brebis}& 70 \% &30 \%\\
\hline
\end{array}$$

Le fromager prend un fromage au hasard. On note les événements suivants :

$V$ : « le fromage est fait avec du lait de vache » ;
$C$ : « le fromage est fait avec du lait de chèvre » ;
$B$ : « le fromage est fait avec du lait de brebis » ;
$F$ : « le fromage est frais » ;
$A$ : « le fromage est affiné ».

Donner les probabilités $P_C(A)$ et $P(B)$.
$\quad$
Démontrer que $P(A) = 0,675$.
$\quad$
Le fromager prend au hasard un fromage affiné. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’un fromage au lait de vache ? On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P_C(A)=0,6$ et $P(B)=0,15$
$\quad$
$V$, $C$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(A)&=P(A\cap V)+P(A\cap C)+P(A\cap B)\\
&=0,6\times 0,8+0,25\times 0,6+0,15\times 0,3\\
&=0,675\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_A(V)&=\dfrac{P(A\cap V)}{P(A)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,8}{0,675} \\
&\approx 0,711\end{align*}$
La probabilité que le fromage pris au hasard soit au lait de vache sachant qu’il est affiné est environ égale à $0,711$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Au sein d’un lycée, parmi les élèves de première ayant choisi la spécialité
mathématique, il y a $110$ filles dont $5$ ne poursuivent pas la spécialité en terminale et $90$ garçons dont $8$ ne poursuivent pas la spécialité.

On interroge au hasard un élève et on définit les événements suivants :

$F$ l’événement : « L’élève interrogé est une fille »,
$G$ l’événement : « L’élève interrogé est un garçon »,
$S$ l’événement : « L’élève interrogé poursuit la spécialité ».

On donnera les valeurs exactes pour chacune des questions.

Calculer $p(G)$,$p\left(G\cap \conj{S}\right)$ et $p\left(\conj{S}\right)$.
$\quad$
L’élève interrogé ne poursuit pas la spécialité. Calculer la probabilité que ce soit un garçon.
$\quad$
Les événements $G$ et $S$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} p(G)&=\dfrac{90}{110+90}\\
&=0,45\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(G\cap \conj{S}\right)&=\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,04\end{align*}$
$F$ et $G$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(\conj{S}\right)&=p\left(F\cap \conj{S}\right)+p\left(G\cap \conj{S}\right) \\
&=\dfrac{5}{90+110}+\dfrac{8}{90+110}\\
&=0,065\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_{\conj{S}}(G)&=\dfrac{p\left(G\cap \conj{S}\right) }{p\left(\conj{S}\right)} \\
&=\dfrac{0,04}{0,065}\\
&=\dfrac{8}{13}\end{align*}$
La probabilité que l’élève interrogé soit un garçon sachant qu’il ne poursuit pas la spécialité est $\dfrac{8}{13}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(S)&=1-p\left(\conj{S}\right) \\
&=1-0,065\\
&=0,935\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} p(G)\times p(S)&=0,45\times 0,935\\
&=0,420~75\end{align*}$
Or $\begin{align*} p(G\cap S)&=\dfrac{90-8}{90+110}\\
&=0,41\end{align*}$
Ces deux probabilités sont différentes. Les événements $G$ et $S$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause méridienne et sur les rythmes scolaires.

L’enquête révèle que $55 \%$ des élèves sont favorables à une pause méridienne plus longue.

Parmi ceux qui sont favorables à une pause méridienne plus longue, $95 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

Parmi ceux qui ne sont pas favorables à une pause méridienne plus longue, seulement $10 \%$ souhaitent une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.

On tire au hasard le nom d’un élève du lycée.
On considère les événements suivants :

$L$ : « L’élève concerné est favorable à une pause méridienne plus longue. »
$C$ : « L’élève concerné souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire. ».

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
$\quad$
Montrer que $P(C)=0,567~5$
$\quad$
Calculer la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
En donner une valeur arrondie à $10^{-4}$.
$\quad$
Les événements $L$ et $C$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(L\cap C)&=P(L)\times P_L(C)\\
&=0,55\times 0,95\\
&=0,522~5\end{align*}$
La probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue et souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est égale à $0,522~5$.
$\quad$
$L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(C)&=P(L\cap C)+P\left(\conj{L}\cap C\right) \\
&=0,522~5+0,45\times 0,1\\
&=0,567~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_C(L)&=\dfrac{P(L\cap C)}{P(C)}\\
&=\dfrac{0,522~5}{0,567~5}\\
&\approx 0,920~7\end{align*}$
la probabilité que l’élève concerné soit favorable à une pause méridienne plus longue sachant qu’il souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire est environ égale à $0,920~7$.
$\quad$
On a $P(L)=0,55$ et $P(C)=0,567~5$
Par conséquent $P(L)\times P(C)=0,312~125$ or $P(C\cap L)=0,522~5$
Ces deux valeurs sont différentes. Les événements $L$ et $C$ ne sont donc pas indépendants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\cos(25\pi+x)$ est égal à :

a. $\cos(x)$
b. $-\cos(x)$
c. $\cos(-x)$
a. $-1$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :

$\begin{align*} \cos(25\pi+x)&=\cos(2\times 12\pi+\pi+x) \\
&=\cos(x+\pi)\\
&=-\cos(x)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-10 ; 10]$.
On donne ci-dessous le tableau de variation de la fonction $f$ :

On note $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d’un repère $\Oij$
La tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ a pour coefficient directeur :

a. $0$
b. $3$
c. $4$
d. $10$

$\quad$

Correction Question 2

D’après le tableau de variations on a $f'(3)=0$.
Ainsi le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C$ au point d’abscisse $3$ est $0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$E$ et $F$ sont deux événements indépendants d’un même univers.
On sait que $p(E) = 0,4$ et $p(F) = 0,3$ alors :

a. $p(E\cup F)=0,7$
b. $p(E\cap F)=1,2$
c. $p(E\cap F)=0$
d. $p(E\cap F)=0,12$

$\quad$

Correction Question 3

$E$ et $F$ sont indépendants.
Par conséquent :
$\begin{align*} p(E\cap F)&=p(E)\times p(F)\\
&=0,4\times 0,3\\
&=0,12\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

L’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+1\pp -3$ est :

a. $\left\{-\dfrac{1}{3};4\right\}$
b. $\left[-\dfrac{1}{3};4\right]$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$
d. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right[\cup]4;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$-3x^2+11x+1\pp -3 \ssi -3x^2+11x+4\pp 0$
Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=11^2-4\times (-3)\times 4\\
&=169\end{align*}$
Les deux racines réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-11-\sqrt{169}}{-6} \\
&=4\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-11+\sqrt{169}}{-6} \\
&=-\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=-3<0$.
Ainsi l’ensemble des solutions de l’inéquation $-3x^2+11x+4\pp 0$ est $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[4;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On pouvait également chercher à exclure les mauvaises réponses.

$a<0$ : on exclut donc les réponses a et b
L’inéquation n’est pas stricte : on exclut donc la réponse d

Il ne reste plus que la réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La loi de probabilité d’une variable aléatoire $X$ est donnée par ce tableau :$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_i&-3&2&5&10\\
\hline
P\left(X=x_i\right)&0,3&0,21&0,13&0,36\\
\hline
\end{array}$$
On peut en déduire que :

a. $P(X>2)=0,49$
b. $P(X>2)=0,51$
c. $P(X\pg 2)=0,49$
d. $P(X \pg 2)=0,51$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} P(X>2)&=P(X=5)+P(X=10)\\
&=0,13+0,36\\
&=0,49\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une enquête réalisée dans un camping a donné les résultats suivants :

$60 \%$ des campeurs viennent en famille, les autres viennent entre amis ;
parmi ceux venant en famille, $35 \%$ profitent des activités du camping ;
parmi ceux venant entre amis, $70 \%$ ne profitent pas des activités du camping.

On choisit au hasard un client de ce camping et on considère les événements suivants :
$F$ : « le campeur choisi est venu en famille »,
$A$ : « le campeur choisi profite des activités du camping ».

. Recopier et compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :$\quad$
a. Calculer $p\left(F\cap \conj{A}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Montrer que $p(A)=0,33$.
$\quad$
Sachant que le campeur choisi a profité des activités du camping, calculer la probabilité qu’il soit venu en famille. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} p\left(F\cap \conj{A}\right)&=p(F)\times p_F\left(\conj{A}\right) \\
&=0,6\times 0,65\\
&=0,39\end{align*}$
$\quad$
b. Cela signifie donc que $39\%$ des clients sont venus en famille et ne profitent pas des activités du camping.
$\quad$
$F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(A)&=p(F\cap A)+p\left(\conj{F}\cap A\right) \\
&=0,6\times 0,35+0,4\times 0,3 \\
&=0,33\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_A(F)&=\dfrac{p(A\cap F)}{p(A)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,35}{0,33}\\
&\approx 0,64\end{align*}$
La probabilité que le campeur soit venu en famille sachant qu’il a profité des activités du camping est environ égale à $0,64$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un snack propose deux types de plats : des sandwichs et des pizzas.
Le snack propose également plusieurs desserts.
La gérante constate que 80% des clients qui achètent un plat choisissent un sandwich et que parmi ceux-ci seulement $30\%$ prennent également un dessert.
Elle constate aussi que $45 \%$ des clients qui ont choisi une pizza comme plat ne prennent pas de dessert.

On choisit au hasard un client ayant acheté un plat dans ce snack.
On considère les évènements suivants :

$S$ : « Le client interrogé a choisi un sandwich ».
$T$ : « Le client interrogé a choisi un dessert ».

Sans justifier, recopier puis compléter l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert.
$\quad$
Démontrer que $P(T)=0,35$.
$\quad$
Sachant que le client a acheté un dessert, quelle est la probabilité, arrondie à $0, 01$ près, qu’il ait acheté une pizza ?
$\quad$
Les événements $S$ et $T$ sont-ils indépendants ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(S\cap T)&=P(S)\times P_S(T)\\
&=0,8\times 0,3\\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un sandwich et un dessert est égale à $0,24$.
$\quad$
$S$ et $\conj{S}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(S\cap T)+P\left(\conj{S}\cap T\right) \\
&=0,24+0,2\times 0,55\\
&=0,35\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{T}\left(\conj{S}\right)&=\dfrac{P\left(T\cap \conj{S}\right)}{P(T)}\\
&=\dfrac{0,2\times 0,55}{0,35}\\
&\approx 0,31\end{align*}$
$\quad$
On a $P(T)=0,35$ et $P_S(T)=0,3$.
Ces deux valeurs sont différentes. Par conséquent les événements $S$ et $T$ sont indépendants.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Afin d’établir les liens entre le surpoids et l’alimentation, on interroge les enfants des écoles primaires d’une ville.

L’enquête révèle que $60 \%$ des enfants boivent 1 boisson sucrée ou plus par jour.
Parmi les enfants buvant 1 boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids, contre seulement $8 \%$ pour les enfants buvant moins d’une boisson sucrée par jour.

On choisit un enfant au hasard parmi les enfants des écoles primaires de la ville et on considère les événements suivants :

$B$ : « l’enfant boit 1 boisson sucrée ou plus par jour »,
$S$ : « l’enfant est en surpoids ».

Les événements contraires de $B$ et de $S$ sont notés respectivement $\conj{B}$ et $\conj{S}$.
Pour tout événement $A$ et $B$, avec $B$ un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$.

Justifier que $P_B(S)=0,125$.
$\quad$
Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer $P(B\cap S)$.
$\quad$
Déterminer la probabilité que l’enfant soit en surpoids.
$\quad$
On a choisi un enfant en surpoids. Quelle est la probabilité qu’il boive 1 boisson sucrée ou plus par jour ? On arrondira le résultat au millième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On sait que parmi les enfants buvant 1 boisson sucrée ou plus par jour, un enfant sur 8 est en surpoids.
Donc $P_B(S)=0,125$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P_B(S)\times P(B)\\
&=0,6\times 0,125\\
&=0,075\end{align*}$
$\quad$
$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)&=P(B\cap S)+P\left(\conj{B}\cap S\right) \\
&=0,075+0,4\times 0,08\\
&=0,107\end{align*}$
La probabilité que l’enfant soit en surpoids est égale à $0,107$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(B)&=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\\
&=\dfrac{0,075}{0,107} \\
&\approx 0,701\end{align*}$
La probabilité que l’enfant boive 1 boisson sucrée ou plus par jour sachant qu’il est en surpoids est environ égale à $0,701$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.

Question 1

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère la droite $D$ d’équation cartésienne $4x+5y-7=0$.
Un vecteur normal à $D$ a pour coordonnées :

a. $(5 ; 4)$
b. $(-5 ; 4)$
c. $(4 ; 5)$
d. $(4 ; -5)$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la droite $D$ d’équation $4x+5y-7=0$ est $\vec{u}(4;5)$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, l’ensemble $E$ des points $M$ de coordonnées $(x;y)$ vérifiant : $x^2-2x+y^2=3$ est un cercle :

a. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $2$.
b. de centre $A(1 ; 0)$ et de rayon $4$.
c. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $2$.
d. de centre $A(-1 ; 0)$ et de rayon $4$.

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} x^2-2x+y^2=3&\ssi x^2-2x+1-1+y^2=3 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=4 \\
&\ssi (x-1)^2+(y-0)^2=2^2 \end{align*}$
Il s’agit donc du cercle de centre $A(1;0)$ et de rayon $2$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La somme $15 + 16 + 17 + \ldots + 243$ est égale à :

a. $29~403$
b. $29~412$
c. $29~541$
d. $29~646$

$\quad$

Correction Question 3

On note $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=15$ et de raison $1$.
On a ainsi $u_n=15+n$ pour tout entier naturel $n$.
$15+n=243 \ssi n=228$
Ainsi :
$\begin{align*} S&=15 + 16 + 17 + \ldots + 243\\
&=15+(15+1)+(15+2)+\ldots+(15+228)\\
&=15\times 229+(1+2+\ldots+228)\\
&=3~435+\dfrac{228\times 229}{2}\\
&=29~541\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ dérivable définie sur $\R$ par $f(x)=(x+1)\e^x$.
La fonction dérivée $f’$ de $f$ est définie sur $\R$ par :

a. $f'(x)=(x+2)\e^x$
b. $f'(x)=(x+1)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^x+(x+1)\times \e^x\\
&=(1+x+1)\e^x\\
&=(x+2)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

En utilisant l’arbre de probabilité pondéré ci-dessous, on obtient :

a. $P(B)=\dfrac{1}{4}$
b. $P(B)=\dfrac{2}{5}$
c. $P(B)=\dfrac{13}{20}$
d. $P(B)=\dfrac{3}{10}$

$\quad$

Correction Question 5

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un organisme de vacances propose des séjours en France et à l’étranger pour des jeunes.
Ces derniers sont répartis en deux catégories suivant leur âge : adolescents ou jeunes enfants. $40 \%$ des participants sont des adolescents et parmi eux, $70 \%$ choisissent un séjour à l’étranger. Parmi les jeunes enfants, $90 \%$ choisissent un séjour en France.
On interroge au hasard un participant à un séjour de cet organisme.
On note $A$ l’événement “le participant est un adolescent”, et $F$ l’événement “le participant choisit un séjour en France”.

Recopier et compléter sur la copie les branches de l’arbre de probabilité ci-dessous pour qu’il représente la situation.
$\quad$
Calculer la probabilité que le participant soit un adolescent et qu’il choisisse un séjour à l’étranger.
$\quad$
Montrer que la probabilité qu’un participant choisisse un séjour à l’étranger est $0,34$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu’il part à l’étranger. Donner la valeur arrondie au centième de cette probabilité.
$\quad$
On interroge au hasard, et de manière indépendante, deux participants à des séjours de cet organisme pour connaitre s’ils ont choisi un séjour en France ou non. L’organisation de ce sondage est telle qu’une même personne peut être interrogée deux fois.
Calculer la probabilité qu’au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France.
Donner cette probabilité arrondie au centième.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice 2

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(A\cap \conj{F}\right)&=P(A)\times P_A\left(\conj{F}\right) \\
&=0,4\times 0,7\\
&=0,28\end{align*}$
$\quad$
$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(\conj{F}\right)&=P\left(A\cap \conj{F}\right)+P\left(\conj{A}\cap \conj{F}\right) \\
&=0,4\times 0,7+0,6\times 0,1\\
&=0,34\end{align*}$
La probabilité qu’un participant choisisse un séjour à l’étranger est 0,34.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{F}}\left(\conj{A}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{A}\cap \conj{F}\right)}{P\left(\conj{F}\right)} \\
&=\dfrac{0,6\times 0,1}{0,34}\\
&\approx 0,18\end{align*}$
La probabilité que le participant ne soit pas un adolescent, sachant qu’il part à l’étranger est environ égale à $0,18$.
$\quad$
La probabilité qu’aucun participant ait choisi un séjour en France est égale à $0,34^2$.
Par conséquent, la probabilité qu’au moins un des deux participants ait choisi un séjour en France est égale à $1-0,34^2 \approx 0,88$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également utiliser le fait que la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de participants ayant choisi un séjour en France suit (à justifier proprement) la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,66$.
On veut alors calculer $P(X\pg 1)=1-P(X=0)=1-0,34^2$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un pépiniériste stocke un grand nombre d’arbustes de la famille des viburnum en vue de les vendre. Ceux-ci sont de deux espèces différentes : les viburnum tinus (nom commun : laurier tin) et les viburnum opulus (nom commun : boule de neige). Il constate que :

$80 \%$ de ses arbustes sont des lauriers tins, les autres sont des boules de neige.
Parmi les lauriers tins, $41 \%$ mesurent 1m10 ou plus.
Parmi les boules de neige, $32 \%$ mesurent 1m10 ou plus.

Est-il vrai que moins de $15\%$ des viburnum de ce pépiniériste sont des boules de neige de moins de 1m10 ?
$\quad$

On choisit au hasard un viburnum chez ce pépiniériste et on considère les événements suivants :
$L$ : « le viburnum choisi est un laurier tin »
$T$ : « le viburnum mesure plus de 1m10 ».

Décrire par une phrase la probabilité $P_L\left(\conj{T}\right)$. Décrire également par une phrase l’événement $\conj{L}\cap T$.
$\quad$
Recopier et compléter sur la copie l’arbre de probabilité ci-dessous traduisant les données de l’énoncé.
$\quad$
Montrer que la probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
$\quad$
Le viburnum choisi a une taille inférieure à 1m10. Quelle est la probabilité que ce soit un boule de neige ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$20%$ des viburnum sont des boules de neige. et $68\%$ d’entre-eux mesurent moins 1m10.
$0,2\times 0,68=0,136<0,15$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$
$P_L\left(\conj{T}\right)$ est la probabilité que le viburnum mesure moins de 1m10 sachant que c’est un laurier tin.
$\quad$
L’événement $\conj{L}\cap T$ est « le viburnum choisi est un laurier boules de neige qui mesure plus de 1m10 »
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$L$ et $\conj{L}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(T)&=P(T\cap L)+P\left(T\cap\conj{L}\right) \\
&=0,8\times 0,41+0,2\times 0,32\\
&=0,392\end{align*}$
La probabilité que le viburnum mesure 1m10 ou plus est égale à $0,392$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{\conj{T}}\left(\conj{L}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{T}\cap \conj{L}\right)}{P\left(\conj{T}\right)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,68}{1-0,392} \\
&\approx 0,224\end{align*}$
La probabilité que le viburnum choisi soit un boule de neige sachant qu’il a une taille inférieure à 1m10 est environ égale à $0,224$.
$\quad$

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$\quad$

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