E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un libraire dispose d’un stock de magazines. On sait que $40 \%$ des magazines proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Il constate que $91 \%$ des magazines reçus sont vendus dans la semaine.
Il constate également que $85 \%$ des magazines provenant du fournisseur A sont vendus dans la semaine.

Le responsable des achats prend au hasard un magazine dans le stock. On considère les évènements suivants :

$A$ : « le magazine provient du fournisseur A »
$B$ : « le magazine provient du fournisseur B »
$S$ : « le magazine est vendu dans la semaine »

Pour tout événement $E$, on note $\conj{E}$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $E$ et $F$ où $F$ est un événement de probabilité non nulle, la probabilité de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.

Quelle est la probabilité que le magazine provienne du fournisseur B ?
$\quad$
On note $P_B(S)=x$. Recopier et compléter sur la copie avec les trois valeurs demandées l’arbre pondéré ci-dessous traduisant la situation :

$\quad$
Calculer la probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine.
$\quad$
Démontrer que $0,34 + 0,6x = 0,91$. En déduire que $P(B\cap S) = 0,57$.
$\quad$
Le magazine choisi est vendu dans la semaine. Calculer la probabilité qu’il provienne du fournisseur B. En donner sa valeur arrondie à $10^{-3}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $P(A)=0,4$ donc $P(B)=0,6$.
La probabilité que le magazine provienne du fournisseur B est égale à $0,6$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P(A\cap S)&=P(A)\times P_A(S) \\
&=0,4\times 0,85 \\
&=0,34\end{align*}$
La probabilité que le magazine choisi au hasard provienne du fournisseur A et qu’il soit vendu dans la semaine est égale à $0,34$.
$\quad$
$A$ et $B$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} &P(S)=P(A\cap S)+P(B\cap S)\\
\ssi~&0,91=0,4\times 0,85+0,6x \\
\ssi~&0,91=0,34+0,6x\end{align*}$
$\quad$
$0,91=0,34+0,6x \ssi 0,6x=0,57 \ssi x=0,95$
$\begin{align*} P(B\cap S)&=P(B)\times P_B(S) \\
&=0,6\times 0,95 \\
&=0,57\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_S(B)&=\dfrac{P(B\cap S)}{P(S)}\\
&=\dfrac{0,57}{0,91} \\
&\approx 0,626\end{align*}$
La probabilité que le magasine choisi provienne du fournisseur B sachant qu’il est vendu dans la semaine est environ égale à $0,626$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une entreprise vend des téléviseurs. Une étude a montré que ces téléviseurs peuvent rencontrer deux types de défauts : un défaut sur la dalle, un défaut sur le condensateur.
L’étude indique que :

$3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle et que parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur.
$5\%$ des téléviseurs ont un défaut sur le condensateur.

On choisit un téléviseur au hasard et on considère les événements suivants :

$D$ : « le téléviseur a un défaut sur la dalle » ;
$C$ : « le téléviseur a un défaut sur le condensateur ».

Pour tout événement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité et $E$ l’événement contraire de $E$.
Pour tout événement $F$ de probabilité non nulle, on note $p_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.

Les résultats seront approchés si nécessaire à $\boldsymbol{10^{-4}}$ près.

Justifier que $p(D)=0,03$ puis donner $p_D(C)$.
$\quad$
Recopier l’arbre ci-dessous et compléter uniquement les pointillés par les
probabilités associées :
$\quad$
Calculer la probabilité $p(D\cap C)$ de l’événement $D\cap C$.
$\quad$
Le téléviseur choisi a un défaut sur le condensateur. Quelle est alors la probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle ?
$\quad$
Montrer que la probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$3\%$ des téléviseurs présentent un défaut sur la dalle. Donc $P(D)=0,03$.
Parmi ceux-ci, $2\%$ ont également un défaut sur le condensateur. Donc $P_D(C)=0,02$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(D\cap C)&=p(D)\times p_D(C)\\
&=0,03\times 0,02\\
&=0,000~6\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_C(D)&=\dfrac{p(C\cap D)}{p(C)}\\
&=\dfrac{0,000~6}{0,05}\\
&=0,012\end{align*}$
La probabilité qu’il ait un défaut sur la dalle sachant qu’il a un défaut sur le condensateur est égale à $0,012$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} p_C\left(\conj{D}\right)&=1-p_C(D)\\
&=0,988\end{align*}$
$\begin{align*} p\left(C\cap \conj{D}\right)&=p(C)\times p_C\left(\conj{D}\right)\\
&=0,05\times 0,988\\
&=0,049~4\end{align*}$
La probabilité que le téléviseur choisi ait un défaut sur le condensateur et n’ait pas de défaut sur la dalle est égale à $0,049~4$.
$\quad$
Autre méthode : $D$ et $\conj{D}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*}&P(C)=P(C\cap D)+P\left(C\cap \conj{D}\right) \\
\ssi &~ 0,05= 0,000~6+P\left(C\cap \conj{D}\right) \\
\ssi &~P\left(C\cap \conj{D}\right)=0,049~4\end{align*}$.

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. $\Delta$ désigne la quantité $b^2-4ac$.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la représentation graphique, ci-dessous, de cette fonction ?

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a<0$ et $\Delta<0$
c. $a>0$ et $\Delta<0$
d. $a<0$ et $\Delta>0$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ admet un minimum donc $a>0$.
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points donc $\Delta >0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Lors d’un jeu, on mise $1$ euro et on tire une carte au hasard parmi $30$ cartes numérotées de $1$ à $30$. On gagne $3$ euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique. Que vaut l’espérance $E(X)$de la variable aléatoire $X$ ?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $0$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Les nombres premiers compris entre $1$ et $30$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ $23$, $29$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=2)&=\dfrac{10}{30} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-1)&=1-\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(X)&=-1\times P(X=-1)+2P(X=2)\\
&=-\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}$?

a. $\e^{11}$
b. $\e^{9}$
c. $\e^{7}$
d. $\e^{-7}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} \dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}&=\dfrac{\e^{6+3}}{\e^2}\\
&=\dfrac{\e^9}{\e^2}\\
&=\e^{9-2}\\
&=\e^7\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1=2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

a. $u_n=2-5n$
b. $u_n=-5+2n$
c. $u_n=7-5n$
d. $u_n=2\times (-5)^n$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} u_0&=u_1-(-5) \\
&=2+5\\
&=7\end{align*}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7-5n$.

Réponse c

$\quad$

Autre méthode 1 : on évalue chacune des expressions fournies en prenant $n=1$. Seule la réponse c permet d’obtenir $u_1=2$

Autre méthode 2 :
$\begin{align*} u_n&=u_1+(n-1)\times (-5) \\
&=2-5n+5 \\
&=7-5n\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à l’une de ces droites. Quelle est l’équation de cette droite ?

a. $2x+y+5=0$
b. $x+2y+3=0$
c. $-x+0,5y+2=0$
d. $-4x+8y=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne dont $\vec{u}$ est un vecteur normal est de la forme $-x+2y+c=0$.
Donc $-4x+8y+d=0$ est également un équation cartésienne pour ce type de droite.

En prenant $d=0$ on obtient l’équation $-4x+8y=0$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une culture de pois comporte des pois de couleur « jaune » ou « vert » et de forme « lisse » ou « ridé ».
Le tableau ci-dessous est partiellement renseigné à partir des observations effectuées sur un grand nombre de pois de cette culture.

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&?&600\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&?&?&?\\
\hline
\textbf{Total}&300&?&10~000\\
\hline
\end{array}$$

Compléter le tableau donné en annexe qui est à rendre avec la copie.
On choisit au hasard un pois de la culture et on s’intéresse aux évènements suivants :
$\qquad$ $J$ : « le pois est jaune » ;
$\qquad$ $R$ : « le pois est ridé ».
L’échantillon étudié est suffisamment important pour être considéré comme représentatif de l’ensemble de la culture de pois.
$\quad$
Quelle est la probabilité que le pois soit vert et lisse ?
$\quad$
Calculer la probabilité que le pois soit vert.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’un pois soit jaune sachant qu’il est ridé, et en déduire la probabilité qu’un pois soit vert sachant qu’il est ridé.
$\quad$
Calculer $P_J(R)$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’énoncé.
$\quad$

Annexe

$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&&600\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&&&\\
\hline
\textbf{Total}&300&&10~000\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
&\textbf{Nombre de pois jaunes}&\textbf{Nombre de pois verts}&\textbf{Total}\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{ridés}\end{array}&100&500&600\\
\hline
\begin{array}{l}\textbf{Nombre de pois}\\\textbf{lisses}\end{array}&200&9~200&9~400\\
\hline
\textbf{Total}&300&9~700&10~000\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap \conj{R}\right)&=\dfrac{9~200}{10~000} \\
&=0,92\end{align*}$
La probabilité que le pois soit vert et lisse est égale à $0,92$
$\quad$
La probabilité que le pois soit vert est :
$\begin{align*} P\left(\conj{J}\right)&=\dfrac{9~700}{10~000}\\
&=0,97\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(J)&=\dfrac{100}{600}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
La probabilité qu’un pois soit jaune sachant qu’il est ridé est égale à $\dfrac{1}{6}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P_R(V)&=1-P_R(J)\\
&=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
La probabilité qu’un pois soit vert sachant qu’il est ridé est égale à $\dfrac{5}{6}$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P_J(R)&=\dfrac{100}{300}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
La probabilité qu’un pois soit ridé sachant qu’il est jaune est égale à $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un jeu, Jeanne doit trouver la bonne réponse à une question posée.
Les questions sont classées en trois catégories : sport, cinéma et musique.
Jeanne, fervente supportrice de ce jeu, est consciente qu’elle a :
$1$ chance sur $2$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en sport ;
$3$ chances sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en cinéma ;
$1$ chance sur $4$ de donner la bonne réponse sachant qu’elle est interrogée en musique.
On note :
$S$ l’événement : « Jeanne est interrogée en sport » ;
$C$ l’événement : « Jeanne est interrogée en cinéma » ;
$M$ l’événement : « Jeanne est interrogée en musique » ;
$B$ l’événement : « Jeanne donne une bonne réponse ».

Rappel de notation : la probabilité d’un événement $A$ est notée $P(A)$.

Dans chaque catégorie, il y a le même nombre de questions. On admet donc que $P(S)=P(C)=P(M)=\dfrac{1}{3}$.

Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
$\quad$
Jeanne tire au hasard une question. Montrer que $P(B)=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Pour participer à ce jeu, Jeanne doit payer $10$ € de droit d’inscription. Elle recevra :

$10$ € si elle est interrogée en sport et que sa réponse est bonne ;
$20$ € si elle est interrogée en cinéma et que sa réponse est bonne ;
$50$ € si elle est interrogée en musique et que sa réponse est bonne ;
rien si la réponse qu’elle donne est fausse.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque partie jouée par Jeanne associe son gain algébrique, c’est-à-dire la différence en euros entre ce qu’elle reçoit et les $10$ € de droit d’inscription.

Montrer que $P(X=40)=\dfrac{1}{12}$.
$\quad$
Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
Calculer l’espérance mathématique de $X$. Jeanne a-t-elle intérêt à jouer ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$S$, $C$ et $M$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(S\cap B)+P(C\cap B)+P(M\cap B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=40)&=P(M\cap B)\\
&=P(M)\times P_M(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{4}\\
&=\dfrac{1}{12}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=-10)&=P\left(\conj{B}\right)\\
&=1-\dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=0)&=P(S\cap B)\\
&=P(S)\times P_S(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=10)&=P(C\cap B)\\
&=P(C)\times P_C(B)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}\\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
$P(X=40)=\dfrac{1}{12}$
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-10P(X=-10)+0P(X=0)+10P(X=10)+40P(X=40)\\
&=-10\times \dfrac{1}{2}+10\times \dfrac{1}{4}+40\times \dfrac{1}{12} \\
&=\dfrac{5}{6}\end{align*}$
Par conséquent $E(X)>0$. Jeanne a donc intérêt à jouer.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’arbre pondéré ci-dessous représente une situation où $A$, $B$, $C$ et $D$ sont des évènements d’une expérience aléatoire :

La probabilité de l’événement $D$ est égale à :

a. $0,06$
b. $0,8$
c. $0,5$
d. $0,172$

$\quad$

Correction Question

On a
$\begin{align*} P(C)&=1-(0,12+0,24)\\
&=0,64\end{align*}$
$P_A(D)=0,5$
$\begin{align*} P_B(D)&=1-0,8\\
&=0,2\end{align*}$
$\begin{align*} P_C(D)&=1-0,9\\
&=0,1\end{align*}$
$A$, $B$ et $C$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(D)&=P(A\cap D)+P(B\cap D)+P(C \cap D)\\
&=0,12\times 0,5+0,24\times 0,2+0,64\times 0,1\\
&=0,172\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

L’ensemble des solutions réelles de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est :

a. $\left]-3;\dfrac{1}{2}\right[$
b. $]-\infty;-3[\cup\left]\dfrac{1}{2};+\infty\right[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup ]3;+\infty[$
d. $\left]-\dfrac{1}{2};3\right[$

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-5)^2-4\times (-2)\times 3 \\
&=49\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-5-\sqrt{49}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-5+\sqrt{49}}{-4}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de l’inéquation $-2x^2+5x+3<0$ est $\left[-\infty;-\dfrac{1}{2}\right[\cup\left]3;+\infty\right[$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la droite $\mathcal{D}$ d’équation $2x-8y+1=0$
Les coordonnées d’un vecteur normal à $\mathcal{D}$ sont :

a. $\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 8\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} -8\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -4\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-8\end{pmatrix}$.
Par conséquent le vecteur $\dfrac{1}{2}\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur normal à la droite $\mathcal{D}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, l’équation du cercle de centre $A(-2 ; -4)$ et de rayon $2$ est :

a. $x^2-4x+y^2-8y+16=0$
b. $x^2+4x+y^2+8y+16=0$
c. $x^2-4x+y^2-8y+18=0$
d. $x^2+4x+y^2+8y+18=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation de cercle est
$\begin{align*} &\left(x-(-2)\right)^2+\left(y-(-4)\right)^2=2^2\\
\ssi~& (x+2)^2+(y+4)^2-4=0 \\
\ssi~& x^2+4x+4+y^2+8y+16-4=0\\
\ssi~& x^2+4x+y^2+8y+16=0\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par :
$u_0=1$ et pour tout entier naturel non nul $n$, $u_{n+1}=u_n+2n-3$.

a. $u_1=0$
b. $\left(u_n\right)$ est arithmétique
c. $u_3=-2$
d. $\left(u_n\right)$ est décroissante

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} u_1&=u_0+2\times 0-3 \\
&=1-3\\
&=-2\end{align*}$

$\begin{align*} u_2&=u_1+2\times 1-3 \\
&=-2+2-3\\
&=-3\end{align*}$

$\begin{align*} u_3&=u_2+2\times 2-3 \\
&=-3+4-3\\
&=-2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans tout l’exercice, on notera $P(E)$ la probabilité d’un évènement $E$.

La répartition des $150$ adhérents d’un club de sport est donnée dans le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Âge}&15\text{ ans}&16\text{ ans}&17\text{ ans}&18\text{ ans}\\
\hline
\text{Nombre de filles}&17&39&22&10\\
\hline
\text{Nombre de garçons}&13&36&8&5\\
\hline
\text{Total}&30&75&30&15\\
\hline
\end{array}$$

On choisit un adhérent au hasard.

Quelle est la probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans ?
$\quad$
L’adhérent choisi a $18$ ans. Quelle est la probabilité que ce soit une fille ?
$\quad$

On note ? la variable aléatoire donnant l’âge de l’adhérent choisi.

Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
Calculer $P(X\pg 16)$ et interpréter le résultat.
$\quad$
Calculer l’espérance de $X$. Interpréter le résultat.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La probabilité que l’adhérent choisi ait $17$ ans est :
$\begin{align*} p&=\dfrac{30}{150} \\
&=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\quad$
L’adhérent choisi a $18$ ans. La probabilité que ce soit une fille est
$\begin{align*} p’&=\dfrac{10}{15}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
La loi de probabilité de $X$ est :
$\begin{align*} P(X=15)&=\dfrac{30}{150} \\
&=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=16)&=\dfrac{75}{150} \\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=17)&=\dfrac{30}{150} \\
&=\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=18)&=\dfrac{15}{150} \\
&=\dfrac{1}{10}\end{align*}$
On a :
$\begin{align*} P(X\pg 16)&=1-P(X=15) \\
&=1-\dfrac{1}{5}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
$\dfrac{4}{5}$ des adhérents ont au moins $16$ ans.
$\quad$
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=\small{15\times P(X=15)+16\times P(X=16)+17\times P(X=17)+18\times P(X=18)} \\
&=16,2\end{align*}$
L’âge moyen des adhérents est de $16,2$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que pourraient emporter certains voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique. On note :

$S$ l’événement « le voyageur fait sonner le portique ».
$M$ l’événement « le voyageur porte un objet métallique ».
On considère qu’un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.

On remarque que :

Lorsqu’un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$.
Lorsqu’un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.

Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous illustrant cette situation :

$\quad$
Montrer que : $P(S) = 0,021~92$.
$\quad$
On suppose qu’à chaque fois qu’un voyageur franchit le portique, la probabilité que ce portique sonne est égale à $0,021~92$, et ce de façon indépendante des éventuels déclenchements de sonnerie lors des passages des autres voyageurs.
Deux personnes passent successivement le portique de sécurité. On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où le portique sonne.
a. Justifier qu’on peut modéliser la loi de $X$ par une loi binomiale $B(n;p)$ dont on précisera les paramètres $n$ et $p$.
$\quad$
b. Reprendre et compléter le tableau donnant la loi de $X$ :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
\hline
P(X=k)&&&\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
c. Calculer et interpréter l’espérance de $X$ dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
$M$ et $\conj{M}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a /
$\begin{align*} P(S)&=P(M\cap S)+P\left(\conj{M}\cap S\right) \\
&=\dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02\\
&=0,021~92\end{align*}$
$\quad$
a. On effectue $2$ tirages aléatoires, identiques et indépendants.
À chaque tirage, il n’y a que de issues $S$ et $\conj{S}$.
De plus $P(S)=0,021~92$.
Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=2$ et $p=0,021~92$.
$\quad$
b. On obtient le tableau suivant (valeurs arrondies à $10^{-5}$ près) :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&~~0~~&~~1~~&~~2~~\\
\hline
P(X=k)&0,95664&0,04288&0,00048\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
c. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)\\
&=0,04384\end{align*}$
En moyenne le portique sonne $4~384$ fois lorsque $100~000$ “couples” passent successivement ce portique.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un jeu est organisé à partir d’un sac contenant $6$ jetons rouges et $4$ jetons noirs. Les jetons sont indiscernables au toucher.
Un joueur prend deux jetons au hasard dans le sac selon le déroulé suivant :

le joueur prend un premier jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté ;
le joueur prend un second jeton au hasard dans le sac et il met le jeton de côté.

On note :

$R_1$ l’événement « le premier jeton tiré est de couleur rouge » ;
$R_2$ l’événement « le second jeton tiré est de couleur rouge ».

Recopier sur la copie et compléter l’arbre ci-dessous :

$\quad$
On considère l’événement $A$ « le joueur obtient deux jetons de couleur rouge ».
a. Déterminer la probabilité $p(A)$.
$\quad$
b. Décrire l’événement contraire de l’événement $A$ par une phrase de la forme : « le joueur obtient … » .
$\quad$
Montrer que la probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
$\quad$
Le second jeton tiré est de couleur noire. Que peut-on alors penser de l’affirmation suivante:
« il y a plus de $50 \%$ de chance que le premier jeton tiré ait été de couleur rouge » ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} p(A)&=p\left(R_1\cap R_2\right) \\
&=p\left(R_1\right)\times p_{R_1}\left(R_2\right) \\
&=0,6\times \dfrac{5}{9}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\quad$
b. L’événement contraire de l’événement $A$ est « le joueur obtient au plus un jeton de couleur rouge ».
$\quad$
$R_1$ et $\conj{R_1}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p\left(R_2\right)&=p\left(R_1\cap R_2\right)+p\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
&=\dfrac{1}{3}+0,4\times \dfrac{2}{3}\\
&=0,6\end{align*}$
La probabilité que le second jeton tiré soit de couleur rouge est égale à $0,6$.
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*}p_{\conj{R_2}}\left(R_1\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap \conj{R_2}\right)}{p\left(\conj{R_2}\right)}\\
&=\dfrac{0,6\times \dfrac{4}{9}}{1-0,6} \\
&=\dfrac{2}{3}\\
&>0,5\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un parfumeur propose l’un de ses parfums, appelé « Fleur Rose », et cela uniquement avec deux contenances de flacons : un de 30 ml ou un de 50 ml. Pour l’achat d’un flacon « Fleur Rose », il propose une offre promotionnelle sur un autre parfum appelé « Bois d’ébène ». On dispose des données suivantes :

$58 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 30 ml et, parmi ceux-là, $24 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène » ;
$42 \%$ des clients achètent un flacon de parfum « Fleur Rose » de 50 ml et, parmi ceux-là, $13 \%$ achètent également un flacon du parfum « Bois d’ébène ».

On admet qu’un client donné n’achète qu’un seul flacon de parfum « Fleur de Rose » (soit en 30 ml soit en 50 ml), et que s’il achète un flacon du parfum « Bois d’ébène », il n’en achète
aussi qu’un seul flacon.
On choisit au hasard un client achetant un flacon du parfum « Fleur Rose ». On considère les événements suivants :

$F$ : « le client a acheté un flacon « Fleur Rose » de 30 ml » ;
$B$ : « le client a acheté un flacon « Bois d’ébène ».

Construire un arbre pondéré traduisant les données de l’exercice.
$\quad$
Calculer la probabilité $P(F\cap B)$.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène ».
$\quad$
Un flacon « Fleur Rose » de 30 ml est vendu $40$ €, un flacon « Fleur Rose » de 50 ml est vendu $60$ € et un flacon « Bois d’ébène » $25$ €. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au montant total des achats par un client du parfum « Fleur Rose ».
a. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
b. Calculer l’espérance de $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient l’arbre pondéré suivant :

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(F\cap B)&= P(F)\times P_F(B) \\
&=0,58\times 0,24\\
&=0,139~2\end{align*}$
$\quad$
$F$ et $\conj{F}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(B)&=P(F\cap B)+P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
&=0,139~2+0,42\times 0,13\\
&=0,193~8\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté un flacon « Bois d’ébène » est égale à $0,193~8$
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} P(X=40)&=P\left(F\cap \conj{B}\right) \\
&=0,58\times 0,76 \\
&=0,440~8\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=65)&=P\left(F\cap B\right) \\
&=0,139~2\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=60)&=P\left(\conj{F}\cap \conj{B}\right) \\
&=0,42\times 0,87 \\
&=0,365~4\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=85)&=P\left(\conj{F}\cap B\right) \\
&=0,42\times 0,13 \\
&=0,054~6\end{align*}$
$\quad$
b. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=\small{40\times P(X=40)+65\times P(X=65)+60\times P(X=60)+85\times P(X=85)}\\
&=53,245\end{align*}$
En moyenne, un client ayant acheté un flacon du parfum « Fleur Rose » dépense $53,245$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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