E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un artisan produit des vases en terre cuite. Sa capacité de production est limitée à $60$ vases.
Le coût de production, en euros, dépend du nombre de vases produits.
Ce coût de production peut être modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $$C(x)=x^2-10x+500$$

Un vase est vendu $50$ €. Les recettes, qui dépendent du nombre de vases produits et vendus, sont modélisées par une fonction $R$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$.

  1. Calculer le coût et la recette réalisés lorsque l’artisan produit et vend $50$ vases.
    $\quad$
  2. Exprimer $R(𝑥)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  3. Le résultat, en euro, réalisé par l’artisan est modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0 ; 60]$ par $B(x) = R(x)-C(x)$.
    a. Vérifier que $B(𝑥) = -(𝑥-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. Déterminer le nombre de vases à produire et à vendre pour que l’artisan réalise des bénéfices (c’est-à-dire pour que le résultat $B(x)$ soit positif).
    $\quad$
  4. On note $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$.
    a. Déterminer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$ et en déduire le nombre de vases à vendre pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} C(50)&=50^2-10\times 50+500 \\
    &=2~500\end{align*}$
    et $R(50)=50\times 50=2~500$.
    Le coût de fabrication de $50$ vases est de $2~500$ € et la recette réalisée est également de $2~500$ €.
    $\quad$
  2. Pour tout $x\in [0;60]$ on a $R(x)=50x$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $x\in [0;60]$ on a d’une part :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x) \\
    &=50x-x^2+10x-500 \\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    D’autre part :
    $\begin{align*} -(x-10)(x-50)&=-\left(x^2-50x-10x+500\right)\\
    &=-\left(x^2-60x+500\right)\\
    &=-x^2+60x-500\end{align*}$
    Par conséquent $B(x)=-(x-10)(x-50)$.
    $\quad$
    b. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $10$ et $50$ et le coefficient principal $a=-1$.
    Par conséquent $B(x)\pg 0$ sur l’intervalle $[10;50]$.
    Il faut donc produire entre $10$ et $50$ vases pour réaliser des bénéfices.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $x\in [0;50]$ on a $B(x)=-x^2+60x-500$
    Donc : $B'(x)=-2x+60$.
    $\quad$
    b. $B'(x)=0 \ssi -2x+60=0 \ssi -2x=-60 \ssi x=30$
    $B'(x)>0 \ssi -2x+60>0\ssi -2x>-60 \ssi x<30$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    On en déduit donc qu’il faut vendre $30$ vases pour réaliser un bénéfice maximum.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d’une plaque carrée de $3$ mètres de côté À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[0 ; 1,5]$. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m$^3$.

  1. a. Montrer que l’aire du carré $ABCD$ représenté sur la figure ci-dessus peut s’écrire sous la forme $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Montrer que le volume $V(x)$ de la cuve, exprimé en m$^3$, peut s’écrire sous la forme $V(x)=4x^3-12x^2+9x$.
    $\quad$
  2. On note $V’$ la fonction dérivée de $V$.
    a. Calculer $V'(x)$ puis vérifier que $V'(0,5) = 0$ et $V'(1,5)= 0$.
    $\quad$
    b. En déduire les variations de $V$ sur l’intervalle $[0 ; 1,5]$.
    $\quad$
    c. Pour quelle valeur de $x$ le volume de la cuve est-il maximal ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $AB=(3-x-x)=(3-2x)$.
    Par conséquent l’aire du carré $ABCD$ est égale à $(3-2x)^2$.
    $\quad$
    b. Le volume de la cuve est :
    $\begin{align*} V(x)=x\times (3-2x)^2 \\
    &=x\left(9-2\times 3\times 2x+(2x)^2\right)\\
    &=x\left(9-12x+4x^2\right)\\
    &=4x^3-12x^2+9x\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} V'(x)&=4\times 3x^2-12\times 2x+9 \\
    &=12x^2-24x+9\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} V'(0,5)&=12\times 0,5^2-24\times 0,5+9\\
    &=3-12+9\\
    &=0\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} V'(1,5)&=12\times 1,5^2-24\times 1,5+9\\
    &=27-36+9\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    b. $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=12>0$ et dont les racines sont $0,5$ et $1,5$.
    Ainsi $V'(x)<0$ sur $]0,5;1,5[$ et $V'(x)>0$ sur $[0;0,5[$
    La fonction $V$ est donc croissante sur l’intervalle $[0;0,5]$ et décroissante sur l’intervalle $[0,5;1,5]$.
    Elle atteint ainsi son maximum en $0,5$.
    Le volume de la cuve est donc maximal quand $x=0,5$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une société d’autoroute s’intéresse à l’affluence quotidienne de véhicules au niveau d’un péage.
Des observations menées entre $14$h et $23$h aboutissent au nuage de points ci-dessous représentant le nombre de véhicules présents au péage selon l’heure d’observation.

  1. Pourquoi semble-t-il pertinent de modéliser l’affluence au péage en fonction du temps par une fonction polynôme du second degré ?

Pour la suite, on décide de modéliser le nombre de véhicules présents au péage en fonction de l’heure de la journée $t$, par la fonction définie sur l’intervalle $[14 ; 23]$ par : $$f(t) = -2t^2+74t-600$$

  1. Selon ce modèle, combien de voitures seront présentes au péage à $20$h$00$ ?
    $\quad$
  2. Toujours selon ce modèle, à quelle heure de la demi-journée l’affluence au péage sera–t-elle maximale ? Quel sera alors le nombre de voitures présentes au péage ?

Pour l’affluence du début de journée (entre $t = 0$ et $t = 12$), le modèle choisi est la fonction $g$ définie sur $[0 ; 12]$ par $g(t) = -0,3t^3+5,2t^2-17,3t+18,6$ dont la courbe est fournie en annexe.
Le responsable du péage sait que lorsque l’affluence dépasse $40$ véhicules, il lui est nécessaire pour fluidifier le trafic, d’ouvrir toutes les voies de paiement.

  1. À quelle heure, à $10$ minutes près, l’affluence est-elle maximale en début de journée ? Combien de véhicules sont présents au péage à cet instant ?
    $\quad$
  2. Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la tranche horaire durant laquelle toutes les voies doivent être ouvertes.
    $\quad$

Annexe

Le graphique original ne correspondait à la fonction donnée. 

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Les points du graphique semblent être placés sur une parabole. Il semble donc judicieux de modéliser l’affluence au péage par une fonction polynôme du second degré.
    $\quad$
  2. $f(20)=80$
    Selon ce modèle, $80$ voitures seront présentes au péage à $20$h$00$.
    $\quad$
  3. Le coefficient principal de la fonction $f$ est $a=-2<0$.
    La fonction $f$ admet donc un maximum atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=18,5$.
    $f(18,5)=84,5$
    Selon ce modèle, l’affluence au péage sera maximale à $18$h$30$. Environ $85$ voitures seront alors présentes au péage.
    $\quad$
  4. D’après le graphique, l’affluence semble être maximale à environ $9$h$30$.
    Il y a alors environ $66$ voitures au péage à cet instant.
    $\quad$
  5. D’après le graphique, il faut ouvrir toutes les voies entre $6$h$15$ et $12$h.
    $\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Une entreprise fabrique et commercialise des trottinettes. La capacité maximale de production de l’entreprise est de $21$ trottinettes.
Le coût total de fabrication (en euros) de $x$ trottinettes est modélisé par la fonction $C$ définie par : $$C(x) = 2x^3-50x^2+452x$$
Le prix de vente est de $200$ € par trottinette.

  1. Calculer, pour $12$ objets fabriqués et vendus, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice.
    $\quad$
  2. On note $R(x)$ et $B(x)$ la recette et le bénéfice pour $x$ trottinettes vendues.
    a. Exprimer $R(x)$.
    $\quad$
    b. Montrer que le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est : $$B(x)=-2x^3+50x^2-252x$$
    $\quad$
  3. a. Montrer que $B(x)=-2x(x-7)(x-18)$.
    $\quad$
    b. Étudier le signe de $B(x)$ sur l’intervalle $[0 ; 21]$ et interpréter le signe de $B(x)$ dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le coût de fabrication est $C(12)=1~680$ €.
    La recette est $200\times 12 = 2~400$ €.
    Le bénéfice est $2~400-1~680=720$ €
    $\quad$
  2. a. On a $R(x)=200x$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice réalisé pour $x$ trottinettes vendues est :
    $\begin{align*} B(x)&=R(x)-C(x)\\
    &=200x-\left(2x^3-50x^2+452x\right) \\
    &=200x-2x^3+50x^2-452x\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -2x(x-7)(x-18)&=-2x\left(x^2-18x-7x+126\right) \\
    &=-2x\left(x^2-25x+126\right)\\
    &=-2x^3+50x^2-252x\\
    &=B(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $2x=0 \ssi x=0$ et $2x>0 \ssi x>0$
    $x-7=0\ssi x=7$ et $x-7>0\ssi x>7$
    $x-18=0\ssi x=18$ et $x-18>0 \ssi x>18$
    On obtient alors le tableau de signes suivant :L’entreprise réalise donc un bénéfice si elle produit et vend entre $7$ et $18$ trottinettes.
    $\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Une entreprise reconditionne des téléphones portables. Cette entreprise reconditionne entre $1~000$ et $6~000$ téléphones portables par mois. On note $x$ le nombre de téléphones sur un mois. Le bénéfice $B$ en euro réalisé par la vente de $x$ téléphones reconditionnés est donné par la fonction $B$ représentée ci-après.

On admet que $B(x) = -0,003x^2+30x-48~000$.

  1. . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.

    a. Pourquoi peut-on dire que cette courbe est portée par une parabole ? Justifier.
    $\quad$
    b. Déterminer graphiquement une valeur approchée du bénéfice maximal.
    $\quad$
  2. a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.
    $\quad$
    c. Recopier sur votre copie la fonction donnée ci-dessous et compléter la ligne $10$ de cette fonction afin qu’elle retourne la valeur exprimée en euros du bénéfice maximal.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def beneficemax():}\\
\hline
2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $B$ est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est donc portée par une parabole.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le bénéfice maximal est environ égal à $27~000$€.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-0,003\times 2x+30 \\
    &=-0,006x+30\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-0,006x+30=0 \ssi -0,006x=-30 \ssi x=5~000$
    $-0,006x+30>0  \ssi -0,006x>-30 \ssi x<5~000$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. On obtient le code programme suivant :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def beneficemax():}\\
    \hline
    2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Soit $f$ la fonction définie sur $[0;60~000]$ par $f(x)=-0,01(x-5~000)(x-50~000)$.
Sa représentation graphique est donnée ci-dessous.

  1. a. Développe et réduire $f(x)$.
    $\quad$
    b. En quelle valeur de $x$ le maximum de$f$𝑓 est-il atteint?
    $\quad$
  2. En 2022, une entreprise de l’agroalimentaire bio prévoit de produire $60~ 000$ tonnes d’un nouveau produit et de le vendre $800$ € la tonne. On estime que toute la production sera vendue et que le coût total de production, en euros, de $x$ tonnes de produit est $C(x)=0,01x^2+250x+2~500~000$.
    a. Exprimer la recette en euros pour 𝑥 tonnes de produit vendues.
    $\quad$
    b. En déduire que le bénéfice en euros pour $x$ tonnes de produit fabriquées et vendues est $B(x) = -0,01x^2+550x-2~500~000$, pour tout $x$ de $[0 ; 60~000]$.
    Remarque : Il y avait une coquille dans l’expression de $B(x)$ dans l’énoncé original.
    $\quad$
    c. Quelle quantité de produit l’entreprise doit-elle produire et vendre pour réaliser un bénéfice maximal ? Combien vaut ce bénéfice ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a.
    $\begin{align*} f(x)&=-0,01(x-5~000)(x-50~000)\\
    &=-0,01\left(x^2-50~000x-5~000x+250~000~000\right)\\
    &=-0,01\left(x^2-55~000x+250~000~000\right)\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le maximum d’une fonction polynôme du second degré est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}$ soit ici pour $x=\dfrac{550}{0,02}=27~500$.
    $\quad$
  2. a. Pour $x$ tonnes de produit vendues la recette est égale à $800x$.
    $\quad$
    b. Le bénéfice est alors :
    $\begin{align*} B(x)&=800x-C(x)\\
    &=800x-0,01x^2-250x-2~500~000\\
    &=-0,01x^2+550x-2~500~000\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a ainsi $B(x)=f(x)$.
    L’entreprise doit donc produire et vendre $27~500$ tonnes de produit pour réaliser un bénéfice maximal.
    De plus $B(27~000)=5~062~500$
    Le bénéfice maximal est alors égale à $5~062~500$ €.
    $\quad$

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$\quad$

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Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. a. Développer $f(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire $f'(x)$.
    $\quad$
    c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$.
    d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
    $\quad$
  2. Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
    &=144x^2-15x^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
    &=288x-45x^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
    $15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
    $\quad$
  2. On peut écrire
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

  1. a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
    On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
    $\quad$
  2. On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
    Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
    $\quad$
  3. On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
    Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    \hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
    \hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
    &=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
    &=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
    &=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
    $g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$
    c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
    $g(1)=-2$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique suivant

    on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
    $\quad$
  3. Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
    $\quad$

[collapse]

 

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Au moment du lancer, le lanceur tient le javelot de telle manière que la pointe se trouve à la hauteur du sommet de son crâne. Pendant sa course, on considère que les frottements qui s’exercent sur la pointe du javelot sont négligeables, et que le javelot n’est soumis qu’à son poids. La trajectoire de la pointe du javelot est donc modélisée par une parabole.

  1. Lors du premier essai de l’athlète, la trajectoire de la pointe du javelot est donnée par la fonction $f$ telle que $f(x)=-0,01x^2+0,57x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $f(x)$ l’altitude, en mètres, de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
    a. Calculer $f(0)$. Quelle est la taille de l’athlète ?
    $\quad$
    b. Vérifier que $f(x)=-0,01(x+3)(x-60)$.
    $\quad$
    c. Quelle est la distance au sol totale parcourue par le javelot ?
    $\quad$
    d. Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$. La hauteur maximale atteinte par le javelot dépasse-t-elle $10$ m? Justifier.
    $\quad$
  2. Lors du deuxième essai, la pointe du javelot réalise une trajectoire décrite par la fonction $h$ telle que $h(x) = -0,01x^2+0,6x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $h(x)$ l’altitude en mètres de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur.
    On a écrit le script suivant en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{x=60}\\
    \text{for i in range(1,6):}\\
    \hspace{1cm} \text{print(” x= “,x , “h(x)=”,-0.01*x**2+0.6*x+1.8)}\\
    \hspace{1cm} \text{x=60+i}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Lorsqu’on l’exécute, on obtient l’affichage suivant :
    $\qquad \text{x= 60 h(x)= 1.8}$
    $\qquad \text{x= 61 h(x)= 1.1900000000000006}$
    $\qquad \text{x= 62 h(x)= 0.559999999999998}$
    $\qquad \text{x= 63 h(x)= -0.09000000000000052}$
    $\qquad \text{x= 64 h(x)= -0.7600000000000022}$
    L’athlète a-t-il amélioré sa performance par rapport à son premier lancer ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(0)=-0,01\times 0^2+0,57\times 0+1,8=1,8$
    L’athlète mesure donc $1,8$ m.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -0,01(x+3)(x-60)&=-0,01\left(x^2-60x+3x-180\right)\\
    &=-0,01\left(x^2-57x-180\right)\\
    &=-0,01x^2+0,57x+1,8\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. $f(x)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-60=0$ $\ssi x=-3$ ou $x=60$.
    Le javelot touche donc le sol après avoir parcouru $60$ mètres.
    $\quad$
    d. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Son maximum est atteint en $-\dfrac{b}{2a}=28,5$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    La hauteur maximale est donc $9,922~5$ m. Elle ne dépasse donc pas $10$ m.
    $\quad$
  2. D’après le script $h$ s’annule pour $x\in ]62;63[$.
    La distance parcourue par le javelot est donc supérieure à $60$ m.
    L’athlète a donc amélioré sa performance par rapport à son premier lancer.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un skateur se lance sur une rampe d’un skate park. On assimile le skateur à un point et on note $\left(x;h(x)\right)$ les coordonnées du skateur sur la rampe dans le repère ci-dessous :

La fonction $h$ est définie sur l’intervalle $[0;7]$ par $h(x)=0,5x^2-4,5x+7$, où $h(x)$ sont exprimés en mètres.

  1. À quelle hauteur le skateur se lance-t-il sur la rampe ?
    $\quad$
  2. a. Sans justification, donner la valeur de $h(2)$.
    $\quad$
    b. Calculer $h(7)$. En déduire la forme factorisée de $h(x)$.
    $\quad$
  3. Déterminer l’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles le skateur est en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$
  4. Déterminer le minimum de $h$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $h(0)=7$.
    Le skateur se lance sur la rampe à une hauteur de $7$ mètres.
    $\quad$
  2. a. $h(2)=0$ (on peut le lire sur le graphique ou le calculer avec l’expression de $h(x)$).
    $\quad$
    b. $h(7)=0,5\times 7^2-4,5\times 7+7=0$
    Ainsi $2$ et $7$ sont les racines du polynôme du second degré $h(x)$ dont le coefficient principal est $0,5$.
    Par conséquent $h(x)=0,5(x-2)(x-7)$.
    $\quad$
  3. On veut donc résoudre $h(x)<0$.
    $0,5>0$ par conséquent $h(x)<0$ sur $]2;7[$.
    $\quad$
  4. Le minimum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}=4,5$.
    $h(4,5)=-3,125$.
    Le minimum de $h$ est donc $-3,125$.
    La position la plus basse du skateur est donc $3,125$ mètres en dessous de son point d’arrivée.
    $\quad$

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$\quad$

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