Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 13 mars 2023

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On veut calculer:
$\begin{align*} p(J\cap T)&=p(J)p_J(T) \\
&=0,21\times (1-0,68)\\
&=0,067~2\end{align*}$
La probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est égale à $0,067~2$.
$\quad$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(T)&=p(J\cap T)+p\left(\conj{J}\cap T\right) \\
&=0,067~2+p\left(\conj{J}\right)p_{\conj{J}}(T) \\
&=0,067~2+(1-0,21)\times 0,2 \\
&=0,225~2\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(J)&=\dfrac{p(T\cap J)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,067~2}{0,225~2} \\
&\approx 0,298\end{align*}$
La probabilité que l’habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels ait moins de $35$ ans est environ égale à $0,30$.
$\quad$

Partie B

On répète de façon indépendante $120$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,3$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,3$.
$\quad$
On veut calculer $p(X\pg 50) 1- p(X\pp 49) \approx 0,004$.
La probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans est environ égale à $0,004$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car aucune des composantes de $\vec{u}$ n’est nulle alors que la troisième de $\vec{v}$ l’est.
Par conséquent $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $d_1$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
Résolvons le système :
$\begin{align*} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\2+t=2k-3\\3-t=k\\t=5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\7=2k-3\\k=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\k=5\\k=-2\end{cases} \end{align*}$
Les deux dernières lignes du système ne sont pas compatibles.
Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont donc pas sécantes.
$\quad$
d. Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont ni sécantes, ni parallèles. Elles sont par conséquent non coplanaires.
$\quad$
a. D’une part $\vec{w}.\vec{u}=-1-2+3=0$
D’autre part $\vec{w}.\vec{v}=-2+2+0=0$
Le vecteur $\vec{w}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
$\quad$
b. Soit $M'(3;3;5)$.
$5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$. $M’$ appartient au plan $P$.
Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
On obtient $x=6-3=3$, $y=3$ et $z=5$. $M’$ appartient à $d_2$.
Les droite $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires. Par conséquent la droite $d_2$ n’est pas incluse dans le plan $P$.
Ainsi l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$ est le point $M(3;3;5)$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$.
D’après la question 2.a., les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonales.
Montrons qu’elles sont sécantes.
$\begin{align*} \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\-r+3=2+t\\2r+3=3-t\\3r+5=t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-r+3=2+3r+5\\2r+3=3-3r-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-4r=4\\5r=-5\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\r=-1\\t=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} r=-1\\t=2\\x=4\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$.
Les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en $L(4;1;2)$.
$\quad$
b. La droite $\Delta$ est orthogonale à la droite $d_2$ d’après la question 2.a.
Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
On obtient $x=3$, $y=3$ et $z=5$. Le point de coordonnées $(3;3;5)$ appartient donc à la fois à la droite $d_2$ et, par construction, à la droite $\Delta$.
Ainsi $\Delta$ et $d_2$ sont perpendiculaires au point de coordonnées $(3;3;5)$.
$\quad$
La droite $\Delta$ est donc perpendiculaires au deux droites $d_1$ et $d_2$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$f'(x)=\e^x-1$ et $f\dsec(x)=\e^x>0$.
La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
$\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0 \ssi 2\e^x-6=0$ ou $\e^x+2=0$.
$2\e^x-6=0 \ssi 2\e^x=6\ssi \e^x=3\ssi x=\ln(3)$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>2>0$.
Ainsi l’équation $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0$ possède une unique solution dans $\R$ qui est $\ln(3)$.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}&=\dfrac{\e^{2x}\left(1-\e^{-2x}\right)}{\e^x\left(1-x\e^{-x}\right)} \\
&=\e^x\times \dfrac{1-\e^{-2x}}{1-x\e^{-x}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=+\infty$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=2\e^{3x}+3(2x+1)\e^{3x} \\
&=(2+6x+3)\e^{3x} \\
&=(6x+5)\e^{3x} \\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
$F(0)=1+4=5.
Affirmation 4 vraie
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie la moyenne des valeurs contenues dans la liste.
La moyenne ici est égale à :
$\dfrac{1+9+9+5+0+3+6+12+0+5}{10}=5$.
Affirmation 5 fausse
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Pour tout $n\in \N$ on note $P(n):~u_n=2\times 0,9^n-3$.
Initialisation : $u_0=-1$ et $2\times 0,9^0-3=-1$.
Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n-0,3\\
&=0,9\left(2\times 0,9^n-3\right)-0,3 \\
&=2\times 0,9^{n+1}-2,7-0,3\\
&=2\times 0,9^{n+1}-0,3\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=2\times 0,9^n-3$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n=-3+2\times 0,9^n>-3$ (on ajoute un nombre positif à $-3$).
$\begin{align*}u_n+1&=2\times 0,9^n-2 \\
&=2\left(0,9^n-1\right) \\
&<0\end{align*}
Donc $-3<u_n\pp -1$.$\quad$
c. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 0,9^{n+1}-3-2\times 0,9^n+3\\
&=2\times 0,9^n(0,9-1) \\
&<0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
d. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-3$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-3$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est dérivable sur $]-3;-1]$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout $x\in ]-3;-1]$
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{0,5}{0,5x+1,5}-1 \\
&=\dfrac{0,5-0,5x-1,5}{0,5x+1,5} \\
&=\dfrac{-0,5x-1}{0,5x+1,5} \\
&=-\dfrac{0,5x+1}{0,5x+1,5}\end{align*}$
Sur $]-3;-1]$ on a $0,5x+1,5>0$.
$0,5x+1=0 \ssi 0,5x=-1 \ssi x=-2$
$-(0,5x+1)>0 \ssi 0,5x+1<0 \ssi x<-2$
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-3;-2]$ et strictement décroissante sur $[-2;-1]$.
$g(-1)=0-(-1)=1$.
$\lim\limits_{x\to -3^+} 0,5x+1,5=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to -3^+} \ln(0,5x+1,5)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
$\quad$
b. $g(-2)=\ln(0,5)+2 \approx 1,3$.
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-3;-2]$.
$g(-2)>0$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-2]$.
Pour tout $x\in ]-2;-1]$ on a $g(x)\pg -1$ car la fonction $g$ est décroissante sur cette intervalle et $g(-1)=1$.
L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
Finalement l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-1]$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx -2,8887$. Par conséquent $-2,889<\alpha <-2,888$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\ln\left(0,5u_{n+1}+1,5\right) -\ln\left(0,5u_{n}+1,5\right)\\
&=\ln\left(0,9^{n+1}-1,5+1,5\right)-\ln\left(0,9^{n}-1,5+1,5\right) \\
&=\ln\left(0,9^{n+1}\right)-\ln\left(0,9^{n}\right)\\
&=(n+1)\ln(0,9)-n\ln(0,9)\\
&=\ln(0,9)\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} u_n=v_n&\ssi u_n=\ln\left(0,5u_n+1,5\right) \\
&\ssi \ln\left(0,5u_n+1,5\right) -u_n=0 \\
&\ssi g\left(u_n\right)=0\end{align*}$
$\quad$
c. $v$ est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $\ln(0,9)$.
Donc pour tout $n\in \N$, $v_n=n\ln(0,9)$.
$u_n=v_n\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi g\left(v_n\right)=0 \ssi v_n=\alpha$.
Par conséquent $n\ln(0,9)=\alpha \ssi n=\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}$
Or $-2,889<\alpha <-2,888$ donc $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<n<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$
Mais $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)} \approx 27,42$ et $\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)} \approx 27,41$.
Il n’existe aucun entier naturel entre ces deux nombres.
Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k=\alpha$.
$\quad$
d. Or $u_n=\alpha\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi u_n=v_n$.
Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k=u_k$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

$21 \%$ des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, $68 \%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
parmi les 35 ans ou plus, seuls $20 \%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l’exercice on considère les événements suivants :

$J$ : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
$T$ : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
$\conj{J}$ et $\conj{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie A

Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
$\quad$
On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que $30 \%$ d’entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

$X$ représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

$d_1$ la droite passant par le point $H(2; 3; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}$;
$d_2$ la droite de représentation paramétrique :$$\begin{cases} x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \qquad \text{où $k$ décrit $\R$}$$

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

a. Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
$\quad$
b. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
$\quad$
d. Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
$\quad$
a. Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
$\quad$
b. On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :
$$5x+4y-z-22 = 0.$$
Démontrer que l’intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3; 3; 5)$.
$\quad$
Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
$$\begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{cases} \qquad \text{où $r$ décrit $\R$}$$
a. Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
$\quad$
b. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est convexe.
$\quad$
Affirmation : L’équation $\left(2e^x-6\right)\left(\e^x + 2\right) = 0$ admet $\ln(3)$ comme unique solution dans $\R$.
$\quad$
Affirmation : $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=0$$
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(6x+5)\e^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par : $F(x) = (2x + 1)\e^{3x}+4$.
Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur $5$ quand $x = 0$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre.
On rappelle que $\texttt{len(L)}$ représente la longueur de la liste $\texttt{L}$.
$$\begin{array}{|lll|}
\hline
\\
\phantom{1234}&\texttt{def mystere(L) :}&\phantom{1234} \\
&\hspace{0.8cm} \texttt{S = 0}& \\
&\hspace{0.8cm} \texttt{for i in range(len(L)) :}&\\
&\hspace{1.6cm} \texttt{S = S + L[i]}&\\
&\hspace{0.8cm} \texttt{return S / len(L)}&\\
\\
\hline
\end{array}$$
Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) }$ renvoie $\texttt{50}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 6 points

Thème : suites, fonctions

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,9u_n-0,3$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N, u_n = 2 \times 0,9 n-3$.
$\quad$
b. En déduire que pour tout $n\in \N, $-3 < u_n \pp -1$.
$\quad$
c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
$\quad$
d. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
$\quad$
On se propose d’étudier la fonction $g$ définie sur $]-3 ; -1]$ par :
$$g(x) = \ln(0,5x + 1,5)-x$$.
a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
$\quad$

$\quad$
b. En déduire que l’équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l’on
notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^-3$.
$\quad$
Dans la suite de l’exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n\in\N$, par : $$v_n = \ln\left(0,5u_n + 1,5\right).$$
a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
Démontrer que $u_n=v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right)=0$.
$\quad$
c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
$\quad$
d. En déduire qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 14 mars 2023

Centre étrangers – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=(x-1)\e^x$.
Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=1\times \e^x+(x-1)\e^x \\
&=(1+x-1)\e^x \\
&=x\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
$f$ est convexe sur $[5;+\infty[$ donc $f\dsec(x)\pg 0$ sur cet intervalle.
Il semblerait que $f(x)\pg 0$ sur cet intervalle également.
Réponse D
$\quad$
$g(0)=2\ssi \dfrac{a}{b+1}=2$
$\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=\dfrac{a}{b}$. Par conséquent $\dfrac{a}{b}=3$.
On résout donc le système :
$\begin{align*}\begin{cases} \dfrac{a}{b+1}=2\\[2mm] \dfrac{a}{b}=3 \end{cases} &\ssi \begin{cases} a=2b+2\\a=3b\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} a=3b\\3b=2b+2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} b=2\\a=6\end{cases}\end{align*}$
Réponse D
$\quad$
On appelle $A$ l’événement “choisir l’urne A”, $B$ l’événement “choisir l’urne B” et $V$ l’événement “obtenir une boule verte”
$(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(V)&=p(A\cap V)+p(B\cap V) \\
&=p(A)p_A(V)+p(B)p_B(V) \\
&=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{5}{8}\end{align*}$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_V(B)&=\dfrac{p(V\cap B)}{p(V)} \\
&=\dfrac{p(B)p_B(V)}{p(V)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{4}}{\dfrac{5}{8}} \\
&=\dfrac{3}{5}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
Dans le script A, on calcule tous les termes de la somme mais on ne les ajoute pas.
Dans le script C, la boucle while s’arrête si la somme est supérieure à $100$ ce qui ne correspond pas à ce qu’on veut calculer.
Dans le script D, la boucle while est infinie puisque $k$ ne change pas de valeur.
Réponse B
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -1,5^+} 2x+3=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)=-\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -1,5^+} f(x)-x=-\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to -1,5^+} g(x)=-\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $]-1,5;+\infty[$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
Pour tout $x>-1,5$
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{2}{2x+3}-1 \\
&=\dfrac{2-2x-3}{2x+3} \\
&=\dfrac{-2x-1}{2x+3}\\
&=-\dfrac{2x+1}{2x+3}\end{align*}$.
Sur $]-1,5;+\infty[$ on a $2x+3>0$.
$g'(x)$ est donc du signe de $-(2x+1)$.
Or $2x+1=0 \ssi 2x=-1 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$ et $2x+1>0\ssi 2x>-1\ssi x>-\dfrac{1}{2}$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-1,5;-0,5]$ et strictement décroissante sur $[-0,5;+\infty[$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-0,5;+\infty[$.
$g(-0,5)=\ln(2)-0,5\approx 0,19>0$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-0,5;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,256$ donc $0,25\pp \alpha \pp 0,26$.
$\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

$g(\alpha)=0 \ssi f(\alpha)-\alpha=0\ssi f(\alpha)=\alpha$.
$f(-1)=-1$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
Or $[-1;\alpha] \subset ]-1,5;+\infty[$.
Donc, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in \left[f(-1);f(\alpha)\right]$ soit $f(x)\in [-1;\alpha]$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
Initialisation : $u_0=0$, $u_1=f(0)=\ln(3)-1\approx 0,1$.
Par conséquent $0 \pp u_0 \pp u_1 \pp \alpha$ puisque $\alpha \approx 0,256$.
La propriété est vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5;+\infty[$.
Donc $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
De plus d’après la question B.1, pour tout $x\in [-1;\alpha]$, $f(x)\in [-1;\alpha]$.
Par conséquent, pour tout $u_{n+1}$ et $u_{n+2}$ appartiennent à $[-1;\alpha]$.
Ainsi $-1 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \alpha$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Donc, pour tout entier naturel $n$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp \alpha$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\alpha$. Elle converge donc.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $H(0;2;2)$, $M(3,0,1)$ et $N(3,1,1)$.
$\quad$
b. $\vect{HM}\begin{pmatrix} 3\\-2\\-1\end{pmatrix}$
Une représentation paramétrique de la droite $(HM)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
$\quad$
Les abscisses des points $B$, $C$ et $F$ sont toutes égales à $2$.
Une équation du plan $(BCF)$ est donc $x=2$.
On appelle $P’$ le point de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
L’abscisse de $P’$ est $2$ donc $P’$ appartient donc à $(BCF)$.
Prenons $t=\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $(HM)$.
On obtient $x=2$, $y=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$ et $z=2-\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{3}$. Donc $P’$ appartient à $(HM)$.
La droite $(HM)$ n’est pas incluse dans le plan $(BCF)$ puisque $H$ n’appartient pas à $(BCF)$.
Ainsi le point d’intersection de $(HM)$ et de $(BCF)$ est $P’$ de coordonnées $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{PM}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac{2}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{PN}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{3}\\[2mm]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
Par conséquent
$\begin{align*} \vect{PM}.\vect{PN}&=1-\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9} \\
&=\dfrac{8}{9}\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} PM&=\sqrt{1^2+\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{1+\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
&=\sqrt{\dfrac{14}{9}}\\
&=\dfrac{\sqrt{14}}{3}\end{align*}$
$\quad$
c. D’une part $ \vect{PM}.\vect{PN}=\dfrac{8}{9}$
D’autre part $ \vect{PM}.\vect{PN}=PM\times PN\times \cos\left(\widehat{MPN}\right)$.
Par conséquent
$\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{PM\times PN}$
soit $\cos\left(\widehat{MPN}\right)=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{\sqrt{14}}{3}\times \dfrac{\sqrt{11}}{3}}$
Ainsi $\widehat{MPN} \approx 49,86$°$<55$°.
Le toît pourra être construit.
$\quad$
$E(0;0;2)$ donc $\vect{EN}\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(EN)$ est $\begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\end{cases} \forall k\in \R$.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\x=3t\\y=2-2t\\z=2-t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=k\\2-t=2-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\2-2t=t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3k\\y=k\\z=2-k\\k=t\\3t=2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=k=\dfrac{2}{3}\\x=2\\y=\dfrac{2}{3}\\z=\dfrac{4}{3}\end{cases}\end{align*}$.
Les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont donc sécantes en $P$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de candidats se qualifiant lors de la première phase.
On répète de manière indépendante $4$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=4$ et $p=0,6$.
$\begin{align*}
P(X\pg 2)&=1-P(X\pp 1) \\
&=1-P(X=0)-P(X=1) \\
&=1-0,4^4-\dbinom{4}{1}0,6^1\times 0,4^3\\
&\approx 0,821\end{align*}$.
Par conséquent $P(X\pg 2) \pg 0,8$ : la première condition est vérifiée.

La durée moyenne est égale à
$\begin{align*} d_m&=5P(X=2)+9P(X=3)+11P(X=4)
&\approx 6,3\\
&>6\end{align*}$
La condition 2 n’est pas vérifiée.

Le jeu ne pourra pas être retenu.

$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question1:
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$. Une primitive $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ est définie par :
A. $F(x)=\dfrac{x^2}{2}\e^x$
B. $F(x)=(x-1)\e^x$
C. $F(x)=(x+1)\e^x$
D. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2}$
$\quad$
La courbe $C$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
On sait que :
$\bullet$ le maximum de la fonction $f$ est atteint au point d’abscisse $3$ ;
$\bullet$ le point $P$ d’abscisse $5$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C$.
$\quad$

$\quad$
A. pour tout $x\in ]0;5[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
B. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f(x)$ et $f'(x)$ sont de même signe ;
C. pour tout $x\in ]0;5[$, $f'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe ;
D. pour tout $x\in ]5;+\infty[$, $f'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de même signe .
$\quad$
Question 3 :
On considère la fonction $g$ définie sur $[0; +\infty[$ par $g(t)=\dfrac{a}{b+\e^{-t}}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
On sait que $g(0) = 2$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=3$. Les valeurs de $a$ et $b$ sont :
A. $a=2$ et $b=3$
B. $a=4$ et $b=\dfrac{1}{3}$
C. $a=4$ et $b=1$
D. $a=6$ et $b=2$
$\quad$
Question 4 :
Alice dispose de deux urnes A et B contenant chacune quatre boules indiscernables au toucher. L’urne A contient deux boules vertes et deux boules rouges. L’urne B contient trois boules vertes et une boule rouge.
Alice choisit au hasard une urne puis une boule dans cette urne. Elle obtient une boule verte. La probabilité qu’elle ait choisi l’urne B est :
A. $\dfrac{3}{8}$
B. $\dfrac{1}{2}$
C. $\dfrac{3}{5}$
D. $\dfrac{5}{8}$
$\quad$
Question 5 :
On pose $S = 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\ldots+\dfrac{1}{100}$.
Parmi les scripts Python ci-dessous, celui qui permet de calculer la somme $S$ est :
$$\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\textbf{a.}\\
\texttt{def somme_a() :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{S=1/(k+1)}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
&\phantom{1234}
&\begin{array}{l}
\textbf{b.}\\
\texttt{def somme_b() :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{S = 0}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{for k in range(100) :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\\\
\begin{array}{l}
\textbf{c.}\\
\texttt{def somme_c() :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{while S < 100}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{S=S + 1/(k+1)}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array}
&\phantom{1234}
&\begin{array}{l}
\textbf{d.}\\
\texttt{def somme_d() :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{k = 0}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{while k < 100}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{S = S + 1/(k + 1)}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return S}\end{array} \\
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

On considère la fonction $f$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $f(x)=\ln(2x+3)-1$.

Le but de cet exercice est d’étudier la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $$u_0=0 \text{ et } u_{n+1}=f\left(u_n\right) \text{ pour tout entier naturel $n$.}$$

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonction $g$ définie sur $]-1,5;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-x$.

Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-1,5$.
$\quad$

On admet que la limite de la fonction $g$ en $+\infty$ est $-\infty$.

Étudier les variations de la fonction $g$ sur $]-1,5 ; +∞[$.
$\quad$
a. Démontrer que, dans l’intervalle $]-0,5 ; +\infty[$, l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$.
$\quad$
b. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$

Partie B : Étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$

On admet que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-1,5 ; +\infty[$.

Soit $x$ un nombre réel. Montrer que si $x\in [-1; \alpha]$ alors $f(x)\in [-1;\alpha]$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
$$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \alpha$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

La figure ci-dessous correspond à la maquette d’un projet architectural.
Il s’agit d’une maison de forme cubique $(ABCDEFGH)$ accolée à un garage de forme cubique $(BIJKLMNO)$ où $L$ est le milieu du segment $[BF]$ et $K$ est le milieu du segment $[BC]$.
Le garage est surmonté d’un toit de forme pyramidale $(LMNOP)$ de base carrée $LMNO$ et de sommet $P$ positionné sur la façade de la maison.

On munit l’espace du repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ avec $\vec{i}=\dfrac{1}{2}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.

a. Par lecture graphique, donner les coordonnées des points $H$, $M$ et $N$.
$\quad$
b. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(HM)$.
$\quad$
L’architecte place le point $P$ à l’intersection de la droite $(HM)$ et du plan $(BCF)$.
Montrer que les coordonnées de $P$ sont $\left(2;\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$.
$\quad$
a. Calculer le produit scalaire $\vect{PM}.\vect{PN}$.
$\quad$
b. Calculer la distance $PM$.
$\quad$
On admet que la distance $PN$ est égale à $\dfrac{\sqrt{11}}{3}$
$\quad$
c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l’angle $\widehat{MPN}$ ne dépasse pas $55$°. Le toit pourra-t-il être construit ?
$\quad$
Justifier que les droites $(HM)$ et $(EN)$ sont sécantes. Quel est leur point d’intersection ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 3 points

Une société de production s’interroge sur l’opportunité de programmer un jeu télévisé. Ce jeu réunit quatre candidats et se déroule en deux phases.

La première phase est une phase de qualification. Cette phase ne dépend que du hasard.
Pour chaque candidat, la probabilité de se qualifier est $0,6$ .

La deuxième phase est une compétition entre les candidats qualifiés. Elle n’a lieu que si deux candidats au moins sont qualifiés. Sa durée dépend du nombre de candidats qualifiés comme l’indique le tableau ci-dessous (lorsqu’il n’y a pas de deuxième phase, on considère que sa durée est nulle).

$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|}
\hline
\begin{array}{l}\text{Nombre de}\\
\text{candidats qualifiés}\\
\text{pour la deuxième}\\
\text{phase}\end{array}&\phantom{123}0\phantom{123}&\phantom{123}1\phantom{123}&\phantom{123}2\phantom{123}&\phantom{123}3\phantom{123}&\phantom{123}4\phantom{123}\\
\hline
\begin{array}{l}\text{Durée de la}\\
\text{deuxième phase en}\\
\text{minutes}\end{array}&0&0&5&9&11\\
\hline
\end{array}$$

Pour que la société décide de retenir ce jeu, il faut que les deux conditions suivantes soient vérifiées :

Condition n°1 : La deuxième phase doit avoir lieu dans au moins $80\%$ des cas.

Condition n°2 : La durée moyenne de la deuxième phase ne doit pas excéder $6$ minutes.

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie- sujet 1 – 26 octobre 2022

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a.$\lim\limits_{x\to 0} x^2-6x=0$ et $\lim\limits_{x\to 0} \ln(x)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\left(1-\dfrac{6}{x}+\dfrac{4\ln(x)}{x^2}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a:
$\begin{align*} f'(x)&=2x-6+\dfrac{4}{x} \\
&=\dfrac{2x^2-6x+4}{x} \\
&=\dfrac{2\left(x^2-3x+2\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui-ci de $x^2-3x+2$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=1>0$.
Les racines de ce polynômes sont :
$x_1=\dfrac{3+\sqrt{1}}{2}=2$ et $x_2=\dfrac{3-\sqrt{1}}{2}=1$.
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;1[$;
$\bullet$ $f'(1)=0$;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]1;2[$;
$\bullet$ $f'(2)=0$;
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]2;+\infty[$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$f(2)=-8+4\ln(2)
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur l’intervalle $[4;5]$.
De plus $f(4)\approx -2,45<0$ et $f(5)\approx 1,44>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[4;5]$.
$\quad$
a. Pour tout $x>0$
$\begin{align*} f\dsec(x)>0 &\ssi 2x^2-4>0 \\
&\ssi x^2>2 \\
&\ssi x>\sqrt{2}\end{align*}$
La fonction $f$ est donc concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$ et convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$.
De plus $f\dsec\left(\sqrt{2}\right)=0$ et $f\left(\sqrt{2}\right)=2-6\sqrt{2}+2\ln(2)$.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ admet un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(\sqrt{2};2-6\sqrt{2}+2\ln(2)\right)$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $\left]0;\sqrt{2}\right]$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessus de ses cordes sur cet intervalle.
La fonction $f$ est convexe sur $\left[\sqrt{2};+\infty\right[$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc au-dessous de ses cordes sur cet intervalle.
Ainsi :
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $[AM]$ sur $\left]0;\sqrt{2}\right[$.
– $\mathscr{C}_f$ est au-dessous de $[AM]$ sur $\left]\sqrt{2};+\infty[\right[$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. $u_1=-\e^{-1}\approx -0,368$ et $u_2=-\e^{-3-\e^{-1}}\approx -0,034$.
$\quad$
b. $\texttt{fonc(2)}$ renvoie la valeur de $u_2$ c’est-à-dire environ $0,034$.
$\quad$
a. Par hypothèse $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2\e^x+x^3\e^x \\
&=x^2\e^x(3+x)\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+3$.
Or $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-3]$ et strictement croissante sur $[3;+\infty[$.
De plus, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} x^3\e^{-x}=0$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\begin{align*} f(-3)&=(-3)^3\e^{-3} \\
&=-27\e^{-3}\end{align*}$
On a ainsi justifié chacun des éléments du tableau de variations.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
Initialisation : $u_0=-1$ et $u_1\approx -0,368$.
On a donc bien $-1\pp u_0\pp u_1 \pp 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$-1\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[-1;0]$.
Par conséquent $f(-1) \pp f\left(u_n\right)\pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(0)$
Or $f(-1) \approx -0,368$ et $f(0)=0$.
Ainsi $-1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2}\pp 0$.
$P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 0$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $0$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
e. On a $f(x)=x\ssi x^3\e^x=x \ssi x\left(x^2\e^x-1\right)=0 \ssi x=0$ ou $x^2\e^x-1=0$.
Or l’équation $x^2\e^x-1=0$ possède une unique solution supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et on sait que $-1\pp \ell \pp 0$.
Ainsi $\ell=0$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Le point $G$ a pour coordonnées $(3;2;1)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est donc de la forme $2x-3z+d=0$.
Le point $E(0;0;1)$ appartient à ce plan donc $0-3+d=0\ssi d=3$.
Une équation cartésienne du plan $(EHI)$ est par conséquent $2x-3z+3=0$.
$\quad$
Le triangle $EIF$ est isocèle en $I$ et $\vect{EF}=\vect{AB}$. Par conséquent l’abscisse de $I$ est $\dfrac{AB}{2}=1,5$.
Sa côte, $z_I$ vérifie $2\times 1,5-3z_I+3=0 \ssi 3z_I=6 \ssi z_I=2$.
De plus $I$ appartient au plan $(ABE)$ dont une équation cartésienne est $y=0$.
Ainsi $I$ a pour coordonnées $(1,5;0;2)$.
$\quad$
On a $\vect{IE}(-1,5;0;-1)$ et $\vect{IF}(1,5;0;-1)$
Par conséquent
$\begin{align*} IE&=\sqrt{(-1,5)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{3,25}\end{align*}$
et $IF=IE=\sqrt{3,25}$.
D’une part $\vect{IE}.\vect{IF}=-1,5\times 1,5+(-1)\times (-1)=-1,25$
D’autre part $\vect{IE}.\vect{IF}=IE\times IF\times \cos\widehat{EIF}$
Ainsi $3,25 \cos\widehat{EIF}=-1,25 \ssi \cos\widehat{EIF}=-\dfrac{5}{13}$
Donc $\widehat{EIF}\approx 113$°.
$\quad$
a. La droite $\Delta$ est dirigée par $\vec{u}$ et passe par $R$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=6-3t\\y=-3+4t\\z=-1+t\end{cases}$$
$\quad$
b. Le point $K$ appartient au plan $(BFG)$ par conséquent son abscisse est $x_K=3$.
Le point $K$ appartient à la droite $\Delta$ donc $6-3t=3 \ssi t=1$.
Ainsi $K$ a pour coordonnées $(3;1;0)$.
$\quad$
c. On a $C(3;2;0)$ et $B(3;0;0)$. Donc $K$ est le milieu de $[BC]$ et appartient donc bien à l’arête $[BC]$

Ex 4

Exercice 4

On veut calculer
$\begin{align*} p\left(E_0\cap R_0\right)&=p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times (1-0,01) \\
&=0,4\times 0,99 \\
&=0,396\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
$\left(E_0,E_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} p\left(R_0\right)&=p\left(E_0\cap R_0\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=0,396+p\left(E_1\right)\times p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,396+0,6\times 0,02 \\
&=0,408\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
On a
$\begin{align*} p_{R_1}\left(E_0\right)&=\dfrac{p\left(R_1\cap E_0\right)}{p\left(R_1\right)} \\
&=\dfrac{p\left(E_0\right)\times p_{E_0}\left(R_1\right)}{1-p\left(R_0\right)}\\
&=\dfrac{0,4\times 0,01}{1-0,408} \\
&\approx 0,006~757\end{align*}$
Réponse C$\quad$
La probabilité qu’il y ait une erreur de transmission est :
$\begin{align*} p\left(\left(E_0\cap R_1\right)\cup\left(E_1\cap R_0\right)\right)&=p\left(E_0\cap R_1\right)+p\left(E_1\cap R_0\right) \\
&=p\left(E_0\right)p_{E_0}\left(R_1\right)+p\left(E_1\right)p_{E_1}\left(R_0\right) \\
&=0,4\times 0,01+0,6\times 0,02 \\
&=0,016\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $10$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,88$.
Ainsi
$\begin{align*} p(X=7)&=\dbinom{10}{7}0,88^7\times 0,12^3 \\
&\approx 0,085\end{align*}$
Réponse D
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
On veut calculer
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-0,12^{10} \end{align*}$
Réponse A
$\quad$
On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d’octets transmis sans erreur.
On effectue indépendamment $N$ expérience de Bernoulli de paramètres $0,88$.
$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,88$.
On veut déterminer la plus grande valeur de $N$ telle que
$\begin{align*} P(X=N)\pg 0,1 &\ssi 0,88^N\pg 0,1 \\
&\ssi N\ln(0,88) \pg \ln(0,1) \\
&\ssi N\pp \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)} \quad \text{car } \ln(0,88)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,88)}\approx 18,01$.
Par conséquent $N_0=18$.
Réponse B
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : fonctions, fonction logarithme; convexité.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$f(x)=x^2-6x+4\ln(x)$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
On note $f ‘$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
On note $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

a. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} f (x)$.
Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
b. Déterminer $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)$.
$\quad$
a. Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
En déduire le tableau de variations de $f$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f (x) = 0$ admet une unique solution dans l’intervalle $[4; 5]$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{2x^2-4}{x^2}$$
a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
On précisera les valeurs exactes des coordonnées des éventuels points d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
b. On note $A$ le point de coordonnées $\left(\sqrt{2};f\left(\sqrt{2}\right)\right)$.
Soit $t$ un réel strictement positif tel que $t\neq \sqrt{2}$. Soit $M$ le point de coordonnées $\left(t ; f (t)\right)$.
En utilisant la question 4. a, indiquer, selon la valeur de $t$, les positions relatives du segment $[AM]$ et de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : suites; fonctions, fonction exponentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x) = x^3\e^x$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_0 = -1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
a. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
On donnera les valeurs exactes, puis les valeurs approchées à $10^{-3}$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\texttt{fonc}$, écrite en langage Python ci-dessous.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def fonc(n) :}\\
\quad \text{u =- 1}\\
\quad \text{for i in range(n) :}\\
\qquad \text{u=u**3*exp(u)}\\
\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
On rappelle qu’en langage Python, « $\texttt{i in range (n)}$ » signifie que $\texttt{i}$ varie de $\texttt{0}$ à $\texttt{n-1}$.
$\quad$
Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $\texttt{fonc(2)}$ arrondie à $10^{-3}$.
$\quad$
a. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2\e^x(x+3)$.
$\quad$
b. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\R$ est celui représenté ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
c. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$-1 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 0$$
$\quad$
d. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
e. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
On rappelle que $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.
Déterminer $\ell$. $\Big($Pour cela, on admettra que l’équation $x^2\e^x-1 = 0$ possède une
seule solution dans $\R$ et que celle-ci est strictement supérieure à $\dfrac{1}{2}\Big)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : géométrie dans l’espace.

Une maison est constituée d’un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d’un prisme $EFIHGJ$ dont une base est le triangle $EIF$ isocèle en $I$.
Cette maison est représentée ci-dessous.

On a $AB = 3$, $AD = 2$, $AE = 1$.
On définit les vecteurs $\vec{i}=\dfrac{1}{3}\vect{AB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{2}\vect{AD}$, $\vec{k}=\vect{AE}$.
On munit ainsi l’espace du repère orthonormé $\left(A;~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$.

Donner les coordonnées du point $G$.
$\quad$
Le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $(2 ; 0 ; -3)$ est vecteur normal au plan $(EHI)$.
Déterminer une équation cartésienne du plan $(EHI)$.
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Déterminer une mesure au degré près de l’angle $\widehat{EIF}$.
$\quad$
Afin de raccorder la maison au réseau électrique, on souhaite creuser une tranchée rectiligne depuis un relais électrique situé en contrebas de la maison.
Le relais est représenté par le point $R$ de coordonnées $(6 ; -3 ; -1)$.
La tranchée est assimilée à un segment d’une droite $\Delta$ passant par $R$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(-3 ; 4 ; 1)$. On souhaite vérifier que la tranchée atteindra la maison au niveau de l’arête $[BC]$.
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
b. On admet qu’une équation du plan $(BFG)$ est $x = 3$.
Soit $K$ le point d’intersection de la droite $\Delta$ avec le plan $(BFG)$.
Déterminer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
c. Le point $K$ appartient-il bien à l’arête $[BC]$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : probabilités.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère un système de communication binaire transmettant des $0$ et des $1$.
Chaque $0$ ou $1$ est appelé bit.
En raison d’interférences, il peut y avoir des erreurs de transmission :
un $0$ peut être reçu comme un $1$ et, de même, un $1$ peut être reçu comme un $0$.
Pour un bit choisi au hasard dans le message, on note les évènements :

$E_0$ : « le bit envoyé est un $0$ »;
$E_1$ : « le bit envoyé est un $1$ »;
$R_0$ : « le bit reçu est un $0$ »;
$R_1$ : « le bit reçu est un $1$ ».

On sait que : $p\left(E_0\right) = 0,4$; $p_{E_0}\left(R_1\right)=0,01$; $p_{E_1}\left(R_0\right)=0,02$.
On rappelle que la probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ est notée $p_B(A)$.
On peut ainsi représenter la situation par l’arbre de probabilités ci-dessus.

La probabilité que le bit envoyé soit un $0$ et que le bit reçu soit un $0$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,396$
c. $0,01$
d. $0,4$
$\quad$
La probabilité $p\left(R_0\right)$ est égale à :
a. $0,99$
b. $0,02$
c. $0,408$
d. $0,931$
$\quad$
Une valeur, approchée au millième, de la probabilité $p_{R_1}
\left(E_0\right)$ est égale
a. $0,004$
b. $0,001$
c. $0,007$
d. $0,010$
$\quad$
La probabilité de l’évènement « il y a une erreur de transmission » est égale à :
a. $0,03$
b. $0,016$
c. $0,16$
d. $0,015$
$\quad$

Un message de longueur huit bits est appelé un octet.
On admet que la probabilité qu’un octet soit transmis sans erreur est égale à $0,88$.

On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité, à $10^{-3}$ près, qu’exactement $7$ octets soient transmis sans erreur est égale à :
a. $0,915$
b. $0,109$
c. $0,976$
d. $0,085$
$\quad$
On transmet successivement $10$ octets de façon indépendante.
La probabilité qu’au moins $1$ octet soit transmis sans erreur est égale à :
a. $1-0,12^{10}$
b. $0,12^{10}
c. $0,88^{10}$
d. $1-0,88^{10}$
$\quad$
Soit $N$ un entier naturel. On transmet successivement $N$ octets de façon indépendante.
Soit $N_0$ la plus grande valeur de $N$ pour laquelle la probabilité que les $N$ octets soient tous transmis sans erreur est supérieure ou égale à $0,1$.
On peut affirmer que :
a. $N_0 = 17$
b. $N_0 = 18$
c. $N_0 = 19$
d. $N_0 = 20$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2022

Amérique du Sud – 27 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*}P\left(C_3\cap D\right)&=P\left(C_3\right)\times P_{C_3}(D) \\
&=0,2\times 0,04 \\
&=0,008\end{align*}$
La probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est égale à $0,008$.
$\quad$
$\left(C_1,C_2,C_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(D)&=P\left(C_1\cap D\right)+P\left(C_2\cap D\right)+P\left(C_3\cap D\right) \\
&=P\left(C_1\right)\times P_{C_1}(D) +P\left(C_2\right)\times P_{C_2}(D) +0,008 \\
&=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008 \\
&=0,014~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_D\left(C_3\right)&=\dfrac{P\left(C_3\cap D\right)}{P(D)} \\
&=\dfrac{0,008}{0,014~5} \\
&\approx 0,551~7\end{align*}$
La probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3 est environ égale à $0,551~7$.
$\quad$

Partie B

a. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{20}{3}0,014~5^3\times (1-0,014~5)^{17} \\
&\approx 0,002~7\end{align*}$
La probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à $0,002~7$.
$\quad$
b. On a
$\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,014~5)^{20}\\
&\approx 0,746~7\end{align*}$
La probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale $0,746~7$.
$\quad$
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&\approx 0,253~3\end{align*}$
La probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale $0,253~3$.
$\quad$
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014~5$.
$\begin{align*} P(X=0)\pg 0,85&\ssi (1-0,014~5)^n\pg 0,85 \\
&\ssi 0,985~5^n\pg 0,85 \\
&\ssi n\ln(0,985~5)\pg \ln(0,85) \\
&\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)} \approx 11,13$.
La proposition de former des lots de $11$ composants au maximum est donc exact.
$\quad$

Partie C

$0,5\times 15+0,3\times 12+0,2\times 9=12,9$
Le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise est égale à $12,90$ euros.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

$g(1)=0$ et $g(\e)=2(\e-1)-\e$ soit $g(\e)=\e-2$.
$\quad$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^-} x\ln(x)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right) \\
&=2-\ln(x)-1 \\
&=1-\ln(x)\end{align*}$
$g'(x)>0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
$g'(x)=0\ssi 1-\ln(x)=0 \ssi x=\e$
On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;\e]$.
$\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2<0$ et $g(\e)=\e-2>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;\e]$.
Or $g(1)=0$. L’unique solution de l’équation appartenant à $]0;\e]$ est donc $1$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[\e;+\infty$.
$g(\e)=\e-2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
Finalement l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $1$ et $\alpha$ où $\alpha\in[\e;+\infty[$.
D’après la calculatrice, $4,92<\alpha<4,93$.
$\quad$.
D’après le tableau de variations et la question précédente on obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*}f'(x)&=3-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)-2\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-\ln(x)-1-\dfrac{2}{x} \\
&=2-\ln(x)-\dfrac{2}{x} \\
&=2\times \dfrac{x-1}{x}-\ln(x) \\
&=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{g(x)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f\dsec(x)>0 \ssi 2-x>0 \ssi x<2$
$f\dsec(x)=0 \ssi 2-x=0 \ssi x=2$
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;2]$ et concave sur $[2;+\infty[$.
$f(2)=6-4\ln(2)$
$\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln(2)\right)$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Chaque année la population diminue de $10\%$. Il reste donc $90\%$ de cette population soit $0,9u_n$.
On réintroduit $100$ individus dans cette réserve à la fin de chaque année.
Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=0,9u_n+100$.
$\quad$
$u_1=1~900$ et $u_2=1~810$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\in \N$ on pose $P(n):~1~000<u_{n+1}\pp u_n$.
Initialisation : $u_0=2~000$ et $u_1=1~900$. Donc $1~000<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*}1~000 <u_{n+1} \pp u_n &\ssi 900 <0,9u_{n+1} \pp 0,9u_n \\
&\ssi 1~000 <0,9u_{n+1}+100\pp 0,9u_n+100 \\
&\ssi 1~000< u_{n+2}\pp u_{n+1}\end{align*}$
La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1~000<u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1~000$. Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
&=0,9u_n+100-1~000 \\
&=0,9u_n-900 \\
&=0,9\left(u_n-1~000\right) \\
&=0,9v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$.
$\quad$
b. $v_0=1~000$. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $v_n=1~000\times 0,9^n$.
Or $v_n=u_n-1~000 \ssi u_n=v_n+1~000$.
Donc
$\begin{align*} u_n&=v_n+1~000 \\
&=1~000\times 0,9^n+1~000 \\
&=1~000\left(0,9^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$
Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1~000$.
Sur le long terme, la population de cette espèce sera de $1~000$ individus dans cette réserve.
$\quad$
a.
$\begin{align*} u_n\pp 1~020&\ssi 1~000\left(1+0,9^n\right)\pp 1~020 \\
&\ssi 1+0,9^n \pp 1,02 \\
&\ssi 0,9^n \pp 0,02 \\
&\ssi n\ln(0,9)\pp \ln(0,02) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)}\approx 37,13$.
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp 1~020$ est donc $38$.
$\quad$
b. On peut écrire
$\begin{array}{|cl|}
\hline
1&\text{def population(S) :}\\
2& \text{ n=0}\\
3&\text{ u=2000}\\
4&\\
5&\text{ while u > 1020 :}\\
6&\text{ u = 0.9 * u + 100}\\
7&\text{ n = n + 1}\\
8&\text{ return n}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$
$\dfrac{6}{2}\neq \dfrac{-2}{-6}$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
$\quad$
b. D’une part $\vect{AB}.\vec{n}=6-8+2=0$
D’autre part $\vect{AC}.\vec{n}=2-8+6=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+2y-z+d=0$.
$A(0;8;6)$ appartient au plan $(ABC)$. Ainsi $0+16-6+d=0 \ssi d=-10$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+2y-z-10=0$.
$\quad$
a. On a $\vect{DE}\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ est donc $\begin{cases} x=6t\\y=6t\\z=6-6t\end{cases} \quad y\in \R$.
$\quad$
b. $I$ a pour coordonnées $(4;4;2)$.
En prenant $t=\dfrac{4}{6}$ dans la représentation paramétrique précédente on obtient le point de coordonnées $(4;4;2)$.
Le point $I$ appartient bien à la droite $(DE)$.
$\quad$
a. $\vect{BC}\begin{pmatrix} -4\\0\\-4\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}\neq 0$, $\vect{AB}.\vect{BC}\neq 0$ et $\vect{AC}.\vect{AB}\neq 0$.
$\begin{align*} AC^2&=2^2+(-4)^2+(-6)^2 \\
&=4+16+36 \\
&=56\end{align*}$
$\begin{align*} AB^2&=6^2+(-4)^2+(-2)^2 \\
&=36+16+4 \\
&=56\end{align*}$
$\begin{align*} BC^2&=(-4)^2+0^2+(-4)^2 \\
&=32\end{align*}$.
Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.
$\quad$
b. $\vect{AI}\begin{pmatrix} 4\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
Donc
$\begin{align*} AI^2&=4^2+(-4)^2+(-4)^2 \\
&=16+16+16 \\
&=48\end{align*}$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{48}\times \sqrt{32}}{2} \\
&=8\sqrt{6} \text{u.a.}\end{align*}$
$\quad$
c.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=12+16+12 \\
&=40\end{align*}$
$\quad$
d.
$\begin{align*}
\vect{AB}.\vect{AC}=40&\ssi AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40 \\
&\ssi 56\cos \widehat{BAC}=40 \\
&\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 44,4$°.
$\quad$
$\vect{OH}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}\\\dfrac{10}{3}\\-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{OH}=\dfrac{5}{3}\vec{n}$.
$\vect{OH}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
$\begin{align*} \dfrac{5}{3}+2\times \dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}-10&=\dfrac{30}{3}-10 \\
&=0\end{align*}$
Le point $H$ appartient donc au plan $(ABC)$.
Ainsi $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est
$\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{150}{9}}\\
&=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\end{align*}$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

• La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;
$30 \%$ des composants sont conçus sur la chaîne n°2;
les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que $1 \%$ des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que $0,5 \%$ des pièces issues de la chaîne n°2 et $4 \%$ des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

$C_1$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°1 »;
$C_2$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°2 »;
$C_3$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 »;
$D$ l’évènement « le composant est défectueux » et $\conj{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

Représenter cette situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’évènement $D$ est $P(D) = 0,014~5$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

PARTIE B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,014~5$.

Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n = 20$.
a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.
$\quad$
b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.
En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.
$\quad$
Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.
Il propose de former des lots de $11$ composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
$\quad$

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°1, $12$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et $9$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$, par : $$f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x)$$

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = 2(x-1)-x \ln(x)$$
On note $g’$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

Calculer $g(1)$ et $g(\e)$.
$\quad$
Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
$\quad$
Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1-\ln(x)$.
En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ; +\infty[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l’intervalle $[\e ; +\infty[$.
On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
$\quad$
En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

On considère dans cette partie la fonction $f$ , définie sur $]0 ; +\infty[$,par
$$f(x) = 3x-x \ln(x)-2\ln(x)$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\Oij$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
$\quad$
a. Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$.
Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thème : Suites

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de $10 \%$ chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l’effectif de la population au début de l’année 2020$+n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Au début de l’année 2020, la population étudiée compte $2~000$ individus, ainsi $u_0 = 2~000$.

Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence :
$u_{n+1} = 0,9u_n +100$.
$\quad$
Calculer $u_1$ puis $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1~000 < u_{n+1}\pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1~000$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1~000(1+0,9n
)$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
$\quad$
On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil $S$ (avec $S > 1~000$).
a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \pp 1~020$.
Justifier la réponse par un calcul.
$\quad$
b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable $n$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l’effectif de la population.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{def population(S) :}\\
2&\quad \text{n=0}\\
3&\quad \text{u=2000}\\
4&\\5&\quad \text{while …… :}\\
6& \qquad \text{u= …}\\
7& \qquad \text{n = …}\\
8& \quad \text{return …}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $$
A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) \text{ et } C(2 ; 4 ; 0)$$

a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
$\quad$
b. Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
$\quad$
On considère le triangle $ABC$.
a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $ABC$ en unité d’aire.
$\quad$
c. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
$\quad$
d. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré.
$\quad$
On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 30 août 2022

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie 1

On peut utiliser l’arbre suivant :
$\quad$
On a alors :
$\begin{align*} P(A\cap T)&=P(A)\times P_A(T) \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,9 \\
&=0,225\end{align*}$
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(T)&=P(A\cap T)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=0,225+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=0,225+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
&=0,262~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_T(A)&=\dfrac{P(A\cap T)}{P(T)} \\
&=\dfrac{0,225}{0,262~5} \\
&=\dfrac{6}{7}\\
&\approx 0,857~1\end{align*}$
La probabilité que le patient soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques sachant que sont test est positif est environ égale à $0,857~1$.
$\quad$
a. Les résultats erronés correspondent à :
– le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est négatif;
– le patient n’est pas atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotique et le test est positif.
Il s’agit donc des événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$.
$\quad$
b. Les événements $A\cap \conj{T}$ et $\conj{A}\cap T$ sont disjoints donc
$\begin{align*} P(E)&=P\left(\left(A\cap \conj{T}\right) \cup \left(\conj{A}\cap T\right)\right) \\
&=P\left(A\cap \conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\cap T\right) \\
&=P(A)\times P_A\left(\conj{T}\right)+P\left(\conj{A}\right)\times P_{\conj{A}}(T) \\
&=\dfrac{1}{4}\times 0,1+\dfrac{3}{4}\times 0,05 \\
&=0,062~5 \end{align*}$
$\quad$

Partie 2

a. On réalise $50$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $P(E)=0,062~5$ de façon indépendantes.
Par conséquent $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=50$ et $p=0,062~5$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P(X=7)&=\dbinom{50}{7} \times 0,0625^7 \times (1-0,062~5)^{43} \\
&\approx 0,023~2\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,062~5)^{50} \\
&\approx 0,960~3\end{align*}$
La probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné est environ égale à $0,960~3$.
$\quad$
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,062~5$.
À l’aide de la calculatrice, on constate que pour tout entier $n$ inférieur ou égal à $247$ on a $P(X\pg 10) < 0,95$, avec en particulier $P(X\pg 10) \approx 0,948~6$ si $n=247$.
On constate également que si $n=248$ alors $P(X\pg 10) \approx 0,950~2$.
La valeur minimale de la taille de l’échantillon est donc $248$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;1]$ on a $f(x)=-1,9x^2+1,9x$.
La fonction $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=-1,9<0$ et les racines sont $0$ et $1$. Le sommet a donc pour abscisse $\dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$.
Ainsi $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$.
$\quad$
b. On a $f(0)=0$ et $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=0,475$.
De plus $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent, pour tout réel $x \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ on a $f(x) \in \left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
Il semblerait que la suite soit strictement croissante et converge vers un réel $\ell \approx 0,47$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
Initialisation : On a $u_0=0,1$ et $u_1=0,171$. Donc $0\pp u_0\pp u_1 \pp \dfrac{1}{2}$.
Ainsi $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$.
Soit $0\pp f(0) \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp f\left(\dfrac{1}{2} \pp \dfrac{1}{2}\right)$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ et $0\pp u_n\pp u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Or :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi -1,9x^2+1,9x=x\\
&\ssi -1,9x^2+0,9x=0\\
&\ssi x(-1,9x+0,9)=0\end{align*}$
Les solutions de cette équation sont donc $0$ et $\dfrac{0,9}{1,9}=\dfrac{9}{19}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,1$. Ainsi, la seule solution possible est $\dfrac{9}{19}$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\dfrac{9}{19}$.
$\quad$

Partie 2

On a $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ car $-1<\dfrac{1}{2}<1$.
De plus, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp u_n \pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
Par conséquent, d’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_n\pg 0$. Donc pour tout réel $\alpha>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n\pg n_0$, on ait $0\pp u_n\pp x$.
C’est en particulier vrai, pour $x=10^{-p}$ où $p\in \N$.
Cela explique pourquoi la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{2}{x}\times x-2\ln(x)\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}\end{align*}$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} g(\e)&=\dfrac{2\ln(\e)}{\e} \\
&=\dfrac{2\times 1}{\e} \\
&=\dfrac{2}{\e}\end{align*}$.
$\quad$
b. $g'(x)$ est du signe de $2-2\ln(x)$.
Or $2-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-2 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]0;\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$.
Par produit, $\lim\limits_{x\to 0^+} g(x)=-\infty$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;\e[$ et s’annule en $1$. Par conséquent $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;\e[$.
La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=0$. Par conséquent, pour tout réel $x\pg \e$ on a $g(x)>0$.
On obtient ainsi le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$

Partie 2

La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
On a donc, pour tout réel $x>0$ :
$\begin{align*} f'(x)&=2\times \dfrac{1}{x} \times \left(\ln(x)\right)^{2-1} \\
&=\dfrac{2\ln(x)}{x} \\
&=g(x)\end{align*}$
Ainsi $f$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
a. D’après la partie 1 on sait que, pour tout réel $x>0$ on a $g$ est strictement croissante sur $]0;+\e]$ et strictement décroissante sur $[\e;+\infty[$.
Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
Ainsi, $f$ est convexe sur $]0;\e]$ et concave sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la partie 1, $g(x)<0$ sur $]0;1[$, $g(1)=0$ et $g(x)>0$ sur $]1;+\infty[$.
Or $f'(x)=g(x)$ pour tout réel $x>0$.
Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
a. Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$ est $y=f'(\e)(x-\e)+f(\e)$.
Or $f'(\e)=g(\e)=\dfrac{2}{\e}$ et $f(\e)=1$.
Ainsi, une équation de cette tangente est $y=\dfrac{2}{\e}(x-\e)+1$ soit $y=\dfrac{2}{\e}x-1$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est convexe sur $]0;\e]$. Sa courbe représentative est donc située au-dessus de ses tangentes sur cet intervalle.
Ainsi, pour tout $x\in]0;\e]$ on a $\left(\ln(x)\right)^2\pg \dfrac{2}{\e}x-1$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$, $F$ a pour coordonnées $(1;0;1)$ et $G$ a pour coordonnées $(1;1;1)$.
$\quad$
b. $\vect{CF}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CI}\begin{pmatrix}-1\\-\dfrac{1}{2}\\[2mm]1\end{pmatrix}$ sont deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même coordonnée nulle) du plan $(CFI)$.
De plus :
$\vect{CF}.\vec{n}=0-2+2=0$ et $\vect{CI}.\vec{n}=-1-1+2=0$.
Par conséquent $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFI)$. Il est donc normal à ce plan.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc de la forme $x+2y+2z+d=0$.
Or $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Donc $1+2+0+d=0 \ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est donc $x+2y+2z-3=0$.
$\quad$
a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $d$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+2t\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
b. Montrons que le point $K$ appartient à la fois au plan $(CFI)$ et à la droite $d$.
$\dfrac{7}{9}+2\times \dfrac{5}{9}+2\times \dfrac{5}{9}-3=\dfrac{27}{9}-3=0$ : $K$ appartient au plan $(CFI)$.
En prenant $t=-\dfrac{2}{9}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $\begin{cases} x=\dfrac{7}{9}\\[2mm] y=\dfrac{5}{9}\\[2mm]z=\dfrac{5}{9}\end{cases}$. Donc $K$ appartient à $d$.
La droite $d$ passe par le point $G$ et est orthogonale au plan $(CFI)$.
Par conséquent $K\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(CFI)$.
$\quad$
c. La distance cherchée est égale à $GK$. Or $\vect{GK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -\dfrac{2}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\\[2mm]-\dfrac{4}{9}\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} GK&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}} \\
&=\dfrac{6}{9} \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
$\quad$
a. L’aire du triangle $CFG$ rectangle en $G$ est $\mathscr{A}=\dfrac{1\times 1}{2}$ u.a.
La hauteur de la pyramide $CFGI$ relative au somme $I$ est $[IJ]$ où $J$ est le milieu de $[FG]$ et mesure donc $1$ u.
Ainsi le volume de cette pyramide est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IJ \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1\\
&=\dfrac{1}{6} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$
b. On appelle $\mathscr{A}’$ l’aire du triangle $CFI$.
On a donc
$\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}’\times GK \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{1}{2GK} \ssi \mathscr{A}’=\dfrac{3}{4}$ u.a.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Parmi les angines, un quart nécessite la prise d’antibiotiques, les autres non.
Afin d’éviter de prescrire inutilement des antibiotiques, les médecins disposent d’un test de diagnostic ayant les caractéristiques suivantes :

lorsque l’angine nécessite la prise d’antibiotiques, le test est positif dans $90 \%$ des cas ;
lorsque l’angine ne nécessite pas la prise d’antibiotiques, le test est négatif dans $95 \%$ des cas.

Les probabilités demandées dans la suite de l’exercice seront arrondies à $10{-4}$ près si nécessaire.

Partie 1

Un patient atteint d’angine et ayant subi le test est choisi au hasard.
On considère les événements suivants :

$A$ : « le patient est atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques » ;
$T$ : « le test est positif » ;
$\conj{A}$et $\conj{T}$ sont respectivement les événements contraires de $A$ et $T$.

Calculer $P(A\cap T)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que $P(T) = 0,262~5$.
$\quad$
On choisit un patient ayant un test positif. Calculer la probabilité qu’il soit atteint d’une angine nécessitant la prise d’antibiotiques.
$\quad$
a. Parmi les événements suivants, déterminer ceux qui correspondent à un résultat erroné du test : $A\cap T$, $\conj{A}\cap T$, $A\cap \conj{T}$, $\conj{A}\cap \conj{T}$.
$\quad$
b. On définit l’événement $E$ : « le test fournit un résultat erroné ».
Démontrer que $P(E) = 0,062~5$.
$\quad$

Partie 2

On sélectionne au hasard un échantillon de $n$ patients qui ont été testés.
On admet que l’on peut assimiler ce choix d’échantillon à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de patients de cet échantillon ayant un test erroné.

On suppose que $n = 50$.
a. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale $\mathscr{B}(n,p)$ de paramètres $n = 50$ et $p = 0,062~5$.
$\quad$
b. Calculer $P(X=7)$.
$\quad$
c. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins un patient dans l’échantillon dont le test est erroné.
$\quad$
Quelle valeur minimale de la taille de l’échantillon faut-il choisir pour que $P(X\pg 10)$ soit supérieure à $0,95$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : suites, fonctions

Soit $k$ un nombre réel.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par son premier terme $u_0$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=ku_n\left(1-u_n\right)$$

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes. On y étudie deux cas de figure selon les valeurs de $\boldsymbol{k}$.

Partie 1

Dans cette partie, $k = 1,9$ et $u_0 = 0,1$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,9u_n\left(1-u_n\right)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $[0 ; 1]$ par $f(x) = 1,9x(1-x)$.
a. Etudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0 ; 1]$.
$\quad$
b. En déduire que si $x\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$ alors $f(x)\in \left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
Ci-dessous sont représentés les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ construits à partir de la courbe $C_f$ de la fonction $f$ et de la droite $D$ d’équation $y=x$.
Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ et sa limite éventuelle.
$\quad$

$\quad$
a. En utilisant les résultats de la question 1, démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $$0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge.
$\quad$
c. Déterminer sa limite.
$\quad$

Partie 2

Dans cette partie, $k=\dfrac{1}{2}$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n\left(1-u_n\right)$ et $u_0=\dfrac{1}{4}$.
On admet que pour tout entier naturel $n$ ∶ $0\pp u_n\pp \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
$\quad$
On considère la fonction Python $\texttt{algo(p)}$ où $\texttt{p}$ désigne un entier naturel non nul :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo(p) :}\\
\quad \text{u = 1/4}\\
\quad \text{ n = 0}\\
\quad \text{while u > 10**(-p):}\\
\qquad \text{u = 1/2*u*(1-u)}\\
\qquad \text{n = n+1} \\
\quad \text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel non nul $\texttt{p}$, la boucle $\texttt{while}$ ne tourne pas indéfiniment, ce qui permet à la commande $\texttt{algo(p)}$ de renvoyer une valeur.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thème : fonctions

Partie 1

Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$g(x) =
\dfrac{2\ln(x)}{x}$$

On note $g’$ la dérivée de $g$. Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$g'(x)=\dfrac{2-2\ln(x)}{x^2}$$
$\quad$
On dispose de ce tableau de variations de la fonction g sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ :
$\quad$

$\quad$
Justifier les informations suivantes lues dans ce tableau :
a. la valeur $\dfrac{2}{\e}$;
$\quad$
b. les variations de la fonction $g$ sur son ensemble de définition ;
$\quad$
c. les limites de la fonction $g$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

Partie 2

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=\left(\ln(x)\right)^2$.
Dans cette partie, chaque étude est effectuée sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.

Démontrer que sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$, la fonction $f$ est une primitive de la fonction $g$.
$\quad$
À l’aide de la partie 1, étudier :
a. la convexité de la fonction $f$ ;
$\quad$
b. les variations de la fonction $f$.
$\quad$
a. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse $\e$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout réel $x$ dans $]0 ; \e]$ : $$\left(\ln(x)\right)^2 \pg \dfrac{2}{\e}x-1$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$. On note $I$ le milieu du segment $[EH]$ et on considère le triangle $CFI$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$ et on admet que le point $I$ a pour coordonnées $\left(0 ;\dfrac{1}{2};1\right)$ dans ce repère.
$\quad$

$\quad$

a. Donner sans justifier les coordonnées des points $C$, $F$ et $G$.
$\quad$
b. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(CFI)$.
$\quad$
c. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(CFI)$ est : $x+2y+2z-3=0$.
$\quad$
On note $d$ la droite passant par $G$ et orthogonale au plan $(CFI)$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $K \left(\dfrac{7}{9};\dfrac{5}{9};\dfrac{5}{9}\right)$ est le projeté orthogonal du point $G$ sur le
plan $(CFI)$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes que la distance du point $G$ au plan $(CFI)$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
On considère la pyramide $GCFI$.
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times b\times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
a. Démontrer que le volume de la pyramide $GCFI$ est égal à $\dfrac{1}{6}$, exprimé en unité de volume.
$\quad$
b. En déduire l’aire du triangle $CFI$, en unité d’aire.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vect{DC}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix} -1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vect{AB}=\vect{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
De plus
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AD}&=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4) \\
&=-5+5+0\\
&=0\end{align*}$
$ABCD$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
Par conséquent $ABCD$ est un rectangle.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} AB&=\sqrt{5^2+1^2+0^2} \\
&=\sqrt{26}\end{align*}$
et
$\begin{align*} AD&=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2} \\
&=\sqrt{42}\end{align*}$
L’aire du rectangle $ABCD$ est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=AB\times AD \\
&=\sqrt{26}\times \sqrt{42}\\
&=2\sqrt{273}\end{align*}$
$\quad$
a. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (une des coordonnées de $\vect{AB}$ est nulle tandis que la même coordonnée de $\vect{AD}$ ne l’est pas).
Ainsi $A$, $B$ et $D$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. D’une part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=-2\times 5+10\times 1+13\times 0\\
&=-10+10+0\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AD}&=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)\\
&=2+50-52\\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABD)$.
$\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABD)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc de la forme $-2x+10y+13z+d=0$.
Le point $A(-3;1;3)$ appartient à ce plan.
Par conséquent $6+10+39+d=0\ssi d=-55$
Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc $-2x+10y+13z-55=0$.
$\quad$
a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
b. Les coordonnées du point $I$ sont solution du système:
$\begin{align*} \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2x+10y+13z-55=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\6+4t+140+100t+182+169t-55=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\273t+273=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-1\\y=4\\z=1\end{cases}\end{align*}$
Le point $I$ a donc pour coordonnées $(-1;4;1)$.
$\quad$
c. $\vect{IK}\begin{pmatrix} -2\\10\\13\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} IK&=\sqrt{(-2)^2+10^2+13^2} \\
&=\sqrt{273}\end{align*}$
Ainsi la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut bien $\sqrt{273}$.
$\quad$
Le volume de la pyramide $KABCD$ est
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273} \\
&=182\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La courbe $\mathscr{C}_2$ représente une fonction qui semble être strictement positive et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$. La courbe de sa fonction dérivée est strictement située en dessous de l’axe des abscisses ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_1$.
En revanche la courbe $\mathscr{C}_1$ semble représenter une fonction strictement croissante. La courbe de sa fonction dérivée est donc située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
Ainsi $f$ est représentée par $\mathscr{C}_1$ et $f’$ par $\mathscr{C}_2$.
$\quad$
Graphiquement l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution qui vaut environ $5,6$.
$\quad$
Graphiquement la fonction $f$ semble être concave sur $\R$.
$\quad$

Partie B

On étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]3;+\infty[$ par $g(x)=x^2-x-6$.
Le discriminant est $\Delta =25>0$.
Les racines de $x^2-x-6$ sont donc $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3$.
Le coefficient principale de $x^2-x-6$ est $a=1>0$.
Ainsi $g(x)>0$ sur $]3;+\infty[$.
Par conséquent $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to 3^+} x^2-x-6=0$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-x-6=+\infty$ (fonction du second degré dont le coefficient principal est positif) et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
La droite d’équation $x=3$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in I$ on a $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x\in I$ on a $x^2-x-6>0$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x-1$.
$2x-1=0\ssi 2x=1\ssi x=\dfrac{1}{2}$
$2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
Or $\dfrac{1}{2}<3$. Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $f'(x)>0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]3;+\infty[$ et donc sur $]5;6[$.
De plus $f(5)\approx 2,64<3$ et $f(6)\approx 3,18>3$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l’intervalle $]5;6[$.
$\quad$
b. D’après la calculatrice $5,63<\alpha<5,64$.
$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Ainsi, pour tout réel $x\in I$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2-x-6\right)-(2x-1)^2}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2-2x-12-\left(4x^2-4x+1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
&=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
b. Un carré étant toujours positif, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+2x-13$.
Son discriminant est $\Delta=-100<0$
Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-2<0$.
Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $-2x^2+2x-13<0$.
Par conséquent, pour tout réel $x\in I$, $f\dsec(x)<0$ et la fonction $f$ est concave sur $I$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’heure à l’aéroport à temps pour son vol. Donc $P_B(V)=1$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(B,\conj{B}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(V)&=P(B\cap V)+P\left(\conj{B}\cap V\right) \\
&=P(B)\times P_B(V)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(V) \\
&=0,2\times 1+0,8\times 0,5 \\
&=0,6\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
&=\dfrac{0,2\times 1}{0,6}\\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
La probabilité que Julien soit arrivé à l’aéroport en bus sachant qu’il est à l’heure à l’aéroport pour son vol est égale à $\dfrac{1}{3}$.
$\quad$

Partie 2

On répète, de façon indépendante, $206$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0,95$.
$\quad$
L’espérance mathématique de $X$ est
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=206\times 0,95 \\
&=195,7\end{align*}$
En moyenne, $195,7$ (soit environ $196$) passagers vont se présenter à l’embarquement.
$\quad$
On a
$\begin{align*} P(X=201)&=\dbinom{206}{201} \times 0,95^{201}\times 0,05^5 \\
&\approx 0,031\end{align*}$
La probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,031$.
$\quad$
D’après la calculatrice, $P(X\pp 200)\approx 0,948$.
La probabilité que le nombre de passagers se présentant à l’embarquement soit inférieur à la capacité de l’avion est environ égale à $0,948$.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} P(Y=6)&=1-\left(P(Y=0)+P(Y=1)+\ldots+P(Y=5)\right) \\
&=0,000~03\end{align*}$
$\quad$
b. $206$ billets ont été vendus. La compagnie a donc encaissé $206\times 250=51~500$ euros.
Pour chaque passager lésé la compagnie doit payer $250+600=850$ euros.
Il y a $Y$ passagers lésés.
Ainsi $C=51~500-850Y$.
$\quad$
c. La loi de probabilité de $C$ est donc donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
c_i&51~500&50~650&49~800&48~950&48100&47~250&46~400 \\
\hline
P\left(C=c_i\right)&0,947~75&0,030~63&0,014~41&0,005~39&0,001~51&0,000~28&0,000~03\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance mathématique de $C$ est
$\begin{align*} E(C)&=51~500\times P(C=51~500)+49~800\times P(C=50~650)+\ldots+46~400\times P(C=46~400) \\
&=51~429,25\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On pouvait également procéder autrement :
Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*} E(C)&=E(51~500-850Y)\\
&=51~ 500-850E(Y)\end{align*}$
On calcule maintenant l’espérance de $Y$.
$\begin{align*} E(Y)&=1\times P(Y=1)+2\times P(Y=2)+\ldots+6\times P(Y=6) \\
&= 0,083~24\end{align*}$
Donc
$\begin{align*} E(C)&=51~500-850\times 0,083~24 \\
&=51~429,25\end{align*}$
$\quad$
d. En vendant $200$ billets le chiffre d’affaires est $200\times 250=50~000$ euros.
Ainsi le chiffre d’affaires moyen en pratiquant le surbooking est supérieur à celui obtenu en vendant exactement $200$ billets.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a
$\begin{align*} p_1&=0,3+0,7p_0^2 \\
&=0,3+0,7\times 0,3^2 \\
&=0,363\end{align*}$
et
$\begin{align*} p_2&=0,3+0,7p_1^2 \\
&=0,3+0,7\times 0,363^2 \\
&=0,392~238~3\end{align*}$
La probabilité que la bactérie ait au plus une seule descendance est égale à $0,363$ et la probabilité qu’elle ait au plus deux descendance est égale à $0,392~238~3$.
$\quad$
b. La probabilité d’obtenir au moins $11$ générations de bactérie est $1-p_{10}\approx 0,572$.
$\quad$
c. La suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et converger vers un réel sont la valeur est environ égale à $0,428~5$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $R(n):~0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
Initialisation : $p_0=0,3$ et $p_1=0,363$ donc $0\pp p_0\pp p_1 \pp 0,5$.
Par conséquent $R(0)$ est vraie.
$\quad$Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp p_n\pp p_{n+1}\pp 0,5&\Rightarrow 0 \pp p_n^2\pp p_{n+1}^2 \pp 0,25 \\
&\Rightarrow 0 \pp 0,7p_n^2\pp 0,7p_{n+1}^2 \pp 0,175 \\
&\Rightarrow 0,3 \pp 0,3+0,7p_n^2\pp 0,3+0,7p_{n+1}^2 \pp 0,475 \end{align*}$
Par conséquent $0\pp 0,3\pp p_{n+1}\pp p_{n+2} \pp 0,475\pp 0,5$ et $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
$\quad$
b. La suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par $0,5$; elle converge donc vers un réel $L$.
$\quad$
a. La fonction $f:~x\mapsto 0,3+0,7x^2$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, $p_{n+1}=f\left(p_n\right)$.
Ainsi $L$ est solution de l’équation $x=f(x)$ soit $0,7x^2-x+0,3=0$.
$\quad$
b. Le discriminant de $0,7x^2-x+0,3$ est $\Delta =0,16>0$.
Ce polynôme du second degré admet donc deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,16}}{1,4}=\dfrac{3}{7}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,16}}{1,4}=1$.
Seule $x_1$ appartient à l’intervalle $[0;0,5]$.
Donc $L=\dfrac{3}{7}$.
$\quad$
On obtient la fonction suivante :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\quad \text{p = 0.3}\\
\quad \text{s= [p]}\\
\quad \text{for i in range(n – 1):}\\
\qquad \text{p = 0.3 + 0.7 * p ** 2}\\
\qquad \text{s.append(p)}\\
\quad \text{return (s)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $$A(-3 ; 1 ; 3),~B(2 ; 2 ; 3),~C(1 ; 7 ; -1),~D(-4 ; 6 ; -1) \text{ et } K(-3 ; 14 ; 14)$$

a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{DC}$ et $\vect{AD}$.
$\quad$
b. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
$\quad$
c. Calculer l’aire du rectangle $ABCD$.
$\quad$
a. Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2 ; 10 ; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
$\quad$
c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
$\quad$
a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
$\quad$
c. Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
$\quad$
Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f’$
, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
$\quad$
Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation $f (x) = 3$.
$\quad$
Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la quantité $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l’intervalle $]3 ; +\infty[$, que l’on nommera $I$ dans la suite.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x)=\ln\left(x^2-x-6\right)$ sur $I$.
Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l’intervalle $I$.
En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
$\quad$
a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
$\quad$
a. Justifier que l’équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]5; 6[.$
$\quad$
b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$
a. Justifier que $f\dsec(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2}$.
$\quad$
b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de $0,8$.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :

$B$ l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
$V$ l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».

Donner la valeur de $P_B (V )$.
$\quad$
Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Montrer que $P(V) = 0,6$.
$\quad$
Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.
$\quad$

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5 \%$ de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
$\quad$
Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Calculer $P(X \pp 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
Si plus de $200$ passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
On appelle :
$\bullet~~Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet;
$\bullet~~C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
$\quad$
On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
y_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
\hline
P\left(Y = y_i\right)&0,947~75& 0,030~63 &0,014~41 &0,005 ~39 &0,001~51& 0,000~28&\phantom{0,000~28}\\
\hline
\end{array}$$
a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
$\quad$
b. Justifier que : $C = 51500−850Y$.
$\quad$
c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d’un tableau.
Calculer l’espérance de la variable aléatoire $C$ à l’euro près.
$\quad$
d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés: Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d’obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $$p_{n+1} = 0,3+0,7p_n^2$$

La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
$\quad$
a. Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d’obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?
$\quad$
c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n \pp p_{n+1}\pp 0,5$.
$\quad$
b. Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
a. Justifier que $L$ est solution de l’équation $0,7x
2- x+0,3 = 0$
$\quad$
b. Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$
La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
$$\begin{array}{ll}
\begin{array}{l} 1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\end{array}&\begin{array}{|l|}\hline\text{def suite(n) :}\\
\quad \text{p = …}\\
\quad \text{s = [p]}\\
\quad \text{for i in range (…):}\\
\quad \text{p = …}\\
\quad \text{s.append(p)}\\
\quad \text{return (s)}\\
\hline
\end{array}\end{array}$$
Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction $\texttt{suite(n)}$ retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – 17 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 17 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. Parmi les $5$ jetons, seuls $1$, $3$ et $5$ sont impairs.
Donc $P_B(G)=\dfrac{3}{5}$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $P(B)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
$(B,~R)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(G\cap B)+P(G\cap R)\\
&=P(B)\times P_B(G)+P(R)\times P_R(G)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\times 0,3 \\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P_G(B)&=\dfrac{P(G\cap B)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}}{0,4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La probabilité que le joueur ait obtenu une case blanche en lançant la roue sachant qu’il a gagner la partie est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
$P(G)=0,4$ et $P_B(G)=0,6$ donc $P(G)\neq P_B(G)$
Les événements $B$ et $G$ ne sont pas indépendants.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $10$ expériences de Bernoulli identiques.
$X$ est égale au nombre de parties gagnées.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,4$.
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{10}{3}0,4^3\times 0,6^7 \\
&\approx 0,215\end{align*}$
La probabilité que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées est environ égale à $0,215$.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
&=1-P(X\pp 3) \\
&\approx 0,618\end{align*}$
La probabilité de remporter au moins $4$ parties sur les $10$ jouées est environ égale à $0,618$.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $n$ expériences de Bernoulli identiques.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
$\begin{align*} p_n&=P(Y\pg 1) \\
&=1-P(Y=0) \\
&=1-0,6^n \end{align*}$
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} p_n\pg 0,99&\ssi 1-0,6^n \pg 0,99 \\
&\ssi -0,6^n \pg -0,01 \\
&\ssi 0,6^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,6) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \qquad \text{car } \ln(0,6)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,6)}\approx 9,02$
Le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité de gagner au moins une partie est supérieur ou égale à $0,99$ est donc $10$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\times u_0+0,25 \\
&=0,9\times 1+0,25\\
&=1,15\end{align*}$
Au bout d’une demi-heure il y avait donc $1,15$ mg de médicament dans le sang.
$\quad$
Toutes les $30$ minutes l’organisme élimine $10\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang. Il reste donc $90\%$ de la quantité de médicament soit $0,9u_n$.
Il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
Donc $u_{n+1}=0,9u_n+0,25$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} <5$.
Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=1,15$ donc $u_0\pp u_1<5$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <5 &\ssi 0,9u_n\pp 0,9u_{n+1} < 4,5 \\
&\ssi 0,9u_n+0,25\pp 0,9u_{n+1}+0,25<4,75\end{align*}$
Donc $u_{n+1}\pp u_{n+2} <4,75<5$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} <5$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $5$. Par conséquent elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. On obtient le script suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad \text{u = 1}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 1.8:}\\
\qquad \text{u = 0.9 * u + 0.25}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a $u_7 \approx 1,78$ et $u_8\approx 1,85$.
Par conséquent le script renvoie la valeur $8$.
C’est donc au bout de $4$ heures que le médicament est réellement efficace.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $v_n=2,5-u_n$ donc $u_n=2,5-v_n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=2,5-u_{n+1} \\
&=2,5-0,9u_n-0,25 \\
&=-0,9u_n+2,25 \\
&=-0,9\left(2,5-v_n\right)+2,25 \\
&=0,9v_n-2,25+2,25 \\
&=0,9v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=1,5$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1,5\times 0,9^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} u_n&=2,5-v_n\\
&=2,5-1,5\times 0,9^n\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a $1,5\times 0,9^n>0$ donc $u_n<2,5<3$.
Le traitement de présente donc aucun risque pour le patient.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

$f(3,75)\approx 1,791<1,8$.
Le médicament n’est donc pas réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(t)\pg 1,8 &\ssi 2,5-1,5\e^{-0,2t}\pg 1,8 \\
&\ssi -1,5\e^{-0,2t}\pg -0,7 \\
&\ssi \e^{-0,2t}\pp \dfrac{7}{15} \\
&\ssi -0,2t\pp \ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \\
&\ssi t\pg -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \end{align*}$
Le médicament est donc efficace au bout d’environ $3,810~7$ heures soit environ $3$ h $49$ min.
$\quad$
Selon le modèle de la partie A, le médicament était réellement efficace au bout de $4$ heures.
Le modèle continu est donc réellement efficace plus rapidement.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On obtient la figure suivante :
$\quad$
On a $\vect{RP}\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{RQ}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} RP&=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
et
$\begin{align*} RQ&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Donc $RP=RQ$.
Le triangle $RPQ$ est bien isocèle en $R$.
$\quad$
Les vecteurs $\vect{RP}$ et $\vect{RQ}$ ne sont clairement pas colinéaires (le coefficient $0$ ne se trouve à la même coordonnée). Les points $P$, $R$ et $Q$ définissent donc un plan.
$\quad$
a. D’une part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PR}&=2\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-2) \\
&=-2+0+2 \\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PQ}&=2\times (-1)+1\times 2+(-1)\times 0 \\
&=-2+2+0 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
$\vec{u}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. Ainsi une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est de la forme $2x+y-z+d=0$.
Or $P(0;0;1)$ appartient au plan $(PQR)$.
Par conséquent $0+0-1+d=0\ssi d=1$.
Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $2x+y-z+1=0$.
$\quad$
c. Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc : $$\begin{cases} x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
d. En prenant $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(d)$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
$2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}+1=-\dfrac{3}{3}+1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient donc au plan $(PQR)$.
Le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est par conséquent le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]\dfrac{1}{3}\\[3pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} EL&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
La distance du point $E$ au plan $(PQR)$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
$\quad$
Le triangle $EQR$ est, par construction, rectangle en $E$. Son aire est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EQ\times ER}{2} \\
&=\dfrac{2\times 1}{2} \\
&=1\end{align*}$
Ainsi, le volume du tétraèdre $EPQR$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times EP \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1\times 2 \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$\quad$
On a également $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times EL$ où $\mathscr{A}_{PQR}$ est l’aire du triangle $PQR$
Ainsi
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times \dfrac{\sqrt{6}}{3} \ssi \mathscr{A}_{PQR}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}$
Ainsi l’aire du triangle $PQR$ est égale à $\sqrt{6}$ unités d’aire.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Graphiquement $f(1)=3$ et $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$. Par conséquent $f'(1)=1$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2ax}{ax^2+1}$.
$\quad$
b. $f(1)=3\ssi \ln(a+1)+b=3$.
$f'(1)=1 \ssi \dfrac{2a}{a+1}=1$
On résout donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} \ln(a+1)+b=3\\\dfrac{2a}{a+1}=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2a=a+1 \\b=3-\ln(a+1)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} a=1\\b=3-\ln(2)\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(-x)&=\ln\left((-x)^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=f(x)\end{align*}$
Par conséquent $f$ est paire.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2+1\right)=+\infty$
Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et par parité $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
D’après la question A.2. on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$.
Donc $f'(x)$ est du signe de $2x$.
Par conséquent :
$\bullet~~f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
$\bullet~~f'(0)=0$;
$\bullet~~f'(x)>0$ sur $]0;\infty[$.On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
D’après le tableau de variations, l’équation $f(x)=k$ admet deux solutions si, et seulement si, $k>3-\ln(2)$.
Remarque : Pour le montrer rigoureusement, il faut utiliser le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)=3+\ln(2)&\ssi \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)=3+\ln(2) \\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=2\ln(2)\\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=\ln(4) \\
&\ssi x^2+1=4 \qquad \text{car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$}\\
&\ssi x^2=3 \\
&\ssi x=\sqrt{3} \text{ ou } x=-\sqrt{3}\end{align*}$
L’équation $f(x)=3+\ln(2)$ admet donc deux solutions $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.
$\quad$

Partie C

Graphiquement $\mathscr{C}_f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $-1$ et $1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f\dsec(x)&=2\times \dfrac{x^2+1-x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi 1-x^2\pg 0 \ssi x\in [-1;1]$.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est donc $[-1;1]$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires

Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les numéros $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d’être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :

si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac;
si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac.

Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.

Un joueur fait une partie et on note $B$ l’évènement « la case obtenue est blanche », $R$ l’évènement « la case obtenue est rouge » et $G$ l’évènement « le joueur gagne la partie ».
a. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B (G)$.
$\quad$
b. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à $0,3$.
Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Montrer que $P(G) = 0,4$.
$\quad$
b. Un joueur gagne la partie.
Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?
$\quad$
Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$\quad$
Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
$\quad$
c. Calculer $P(X \pg 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près.
Donner une interprétation du résultat obtenu.
$\quad$
Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l’évènement « le joueur gagne au moins une partie ».
a. Montrer que $p_n = 1-0,6n$.
$\quad$
b. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les $30$ minutes, l’organisme du patient élimine $10 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu’il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d’une demi-heure.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n +0,25$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} < 5$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
a. Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad\text{u = 1}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad\text{while ……:}\\
\qquad\text{u = ……}\\
\qquad\text{n = n + 1}\\
\quad\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5-u_n$.
a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5-1,5×0,9^n$.
$\quad$
c. Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.
D’après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ?
Justifier.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.
La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$ , définie sur $[0 ; +\infty[$, par $$f (t) = 2,5-1,5\e^{-0,2t}$$
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

Le médicament est-il réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min ?
$\quad$
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
$\quad$
Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont : $$B(3 ; 0 ; 0),~D(0 ; 3 ; 0) \text{ et } E(0 ; 0 ; 3)$$

On considère les points $P(0; 0; 1)$, $Q(0; 2; 3)$ et $R(1; 0; 3)$.

Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
$\quad$
Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
$\quad$
Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
$\quad$
On s’intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{u} (2 ; 1 ; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
$\quad$
d. Montrer que le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
$\quad$
En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac{2}{3}$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base}\times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Trouver, à l’aide des deux questions précédentes, l’aire du triangle $PQR$.
$\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : Étude de fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1; 3)$ et $B(3; 5)$.
On donne ci-dessous $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est définie par l’expression $f (x) = \ln\left(ax^2+1\right)+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
a. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
$\quad$
b. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l’aide des résultats précédents.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$$

Montrer que $f$ est une fonction paire.
$\quad$
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$\quad$
Déterminer l’expression de $f'(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\quad$
À l’aide du tableau des variations de $f$ , donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l’équation $f (x) = k$ admet deux solutions.
$\quad$
Résoudre l’équation $f (x) = 3+\ln 2$.
$\quad$

Partie C
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.

Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f\dsec(x)=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$.
$\quad$
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 19 mai 2022

Amérique du nord – 19 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $\left(A_1,B_1\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} a_2&=P\left(A_2\right) \\
&=P\left(A_1\cap A_2\right)+P\left(B_1\cap A_2\right) \\
&=P\left(A_1\right)\times P_{A_1}\left(A_2\right)+P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(A_2\right) \\
&=0,5\times 0,84+0,5\times 0,24 \\
&=0,54\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{A_2}\left(B_1\right)&=\dfrac{P\left(A_2\cap B_1\right)}{P\left(A_2\right)} \\
&=\dfrac{0,5\times 0,24}{0,54}\\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
La probabilité que le vélo se trouve au point B le premier matin sachant qu’il se trouve au point A le deuxième matin est égale à $\dfrac{2}{9}$ soit environ égale à $0,222$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre suivant :$\quad$
b. Soit $n\in \N^*$. $\left(A_n,B_n\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
&=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
&=P\left(A_n\right)\times P_{A_n}\left(A_{n+1}\right)+P\left(B_n\right)\times P_{B_n}\left(A_{n+1}\right) \\
&=0,84a_n+0,24\left(1-a_n\right) \\
&=0,6a_n+0,24\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on pose $R(n):~a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
Initialisation : $a_1=0,5$ et $0,6-0,1^1=0,5$ donc $R(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,6a_n+0,24 \\
&=0,6\left(0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\right)+0,24\\
&=0,36-0,1\times 0,6^n+0,24 \\
&=0,6-0,1\times 0,6^n\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $a_n=0,6-0,1\times 0,6^{n-1}$.
$\quad$
$-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
Sur le long terme, la probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est égale à $0,6$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} a_n\pg 0,599&\ssi 0,6-0,1\times 0,6^{n-1}\pg 0,599 \\
&\ssi -0,1\times 0,6^{n-1} \pg -0,001 \\
&\ssi 0,6^{n-1} \pp 0,01 \\
&\ssi (n-1)\ln(0,6)\pp \ln(0,01) \\
&\ssi n-1\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \quad \text{car } \ln(0,6)<0\\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)}+1\approx 10,02$
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n\pg 0,599$ est donc $11$.
La probabilité que le vélo se trouve au point $A$ est supérieure à $0,599$ à partir du $11$-ième jour.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La fonction $p$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $p'(x)=3x^2-6x+5$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=-24<0$
Ainsi $p'(x)$ est du signe du coefficient principal $a=3>0$.
Par conséquent $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$.
$\quad$
La fonction $p$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-3;4]$.
$p(-3)=-68<0$ et $p(4)=37>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $p(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-3;4]$.
$\quad$
D’après la calculatrice $\alpha\approx -0,2$.
$\quad$
La fonction $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$ et s’annule en $\alpha$. On obtient alors le tableau de signes suivant :
$\quad$

Partie B

a. La fonction $f$ est dérivable sur $[-3;4]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+x^2\right)-2x\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\left(x^2-2x+1\right)\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{(x-1)^2\e^x}{\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
b. On a fonc $f'(1)=0$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
$\quad$
a. Il semblerait que la fonction change de convexité (et donc $\mathscr{C}_f$ possède un point d’inflexion) environ en $0$ et en $1$.
Le toboggan semble dont assurer de bonnes sensations.
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et pour tout réel $x\in [-3;4]$ on a $\left(1+x^2\right)^3>0$.
Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $p(x)(x-1)$.
$x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
D’après le tableau de signes obtenu à la question A.4. on obtient le tableau de signes de $f\dsec(x)$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $[-3;\alpha]$ et $[1;4]$ et concave sur $[\alpha;1]$. $f\dsec(x)$ s’annule en $\alpha$ et $1$.
Donc $\mathscr{C}_f$ possède deux points d’inflexion et le toboggan assurera de bonnes sensations.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
Par conséquent
$\begin{align*} AR&=\sqrt{0^2+3^2+2^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
$\begin{align*} AT&=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
Ainsi $AR=AT$. Le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
b. $\quad$
$\begin{align*} \vect{AR}.\vect{AT}&=0\times -(-3)+3\times 0+2\times 2\\
&=4\end{align*}$
$\quad$
c. On a également $\vect{AR}.\vect{AT}=AR\times AT\times \cos \widehat{RAT}$.
Par conséquent
$\begin{align*} \cos \widehat{RAT}&=\dfrac{\vect{AR}.\vect{AT}}{AR\times AT} \\
&=\dfrac{4}{13} \end{align*}$
Donc $\widehat{RAT}\approx 72,1$°
$\quad$
a. D’une part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AR}&=2\times 0+(-2)\times 3+3\times 2\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{n}.\vect{AT}&=2\times (-3)+(-2)\times 0+3\times 2\\
&=0\end{align*}$
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (l’angle $\widehat{RAT}$ n’est ni plat ni nul) du plan $(ART)$.
$\vec{n}$ est donc un vecteur normal au plan $(ART)$.
$\quad$
b. Une équation du plan $(ART)$ est par conséquent de la forme $2x-2y+3z+d=0$.
Or $A(6;0;2)$ appartient à ce plan.
Donc $12-0+6+d=0 \ssi d=-18$
Une équation cartésienne du plan $(ART)$ est $2x-2y+3z-18=0$.
$\quad$
a. $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$ et le point $S\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est bien $\begin{cases} x=3+2k\\y=\dfrac{5}{2}-2k\\z=3k\end{cases} \quad k\in \R$.
$\quad$
b. Prenons $k=1$ dans la représentation paramétrique précédente. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient à la droite $\Delta$.
$2\times 5-2\times \dfrac{1}{2}+3\times 3-18=10-1+9-18=0$. Le point de coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$ appartient au plan $(ART)$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
$\quad$
a. On a $D(0,8,0)$ et $K(0;4;4)$ donc $\vect{DK}\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{DN}\begin{pmatrix} 0\\-4t\\4t\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{DN}=t\vect{DK}$.
Les points $D$, $N$ et $K$ sont alignés.
$T\in[0;1]$ donc $N$ appartient au segment $[DK]$.
$\quad$
b. On a $\vect{SL}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{SN}\begin{pmatrix} -3\\\dfrac{11}{2}-4t\\4t\end{pmatrix}$.$\begin{align*} &(SL) \text{ et }(SN)\text{ sont perpendiculaires}\\
&\ssi\vect{SL}.\vect{SN}=0 \\
&\ssi 2\times (-3)+(-2)\times \left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times 4t=0 \\
&\ssi -6-11+8t+12t=0 \\
&\ssi 20t=17 \\
&\ssi t=0,85\end{align*}$
Le point $N$ doit donc avoir pour coordonnées $(0;4,6;3,4)$ pour que les deux rayons lasers soient perpendiculaires.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\quad$
$\begin{align*}a&=\ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \\
&=\ln(9)+\ln\left(\sqrt{3}\right)-\ln(3)-\ln(9)\\
&=\dfrac{1}{2}\ln(3)-\ln(3) \\
&=-\dfrac{1}{2}\ln(3)\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$x-10>0\ssi x>10$ : l’équation est définie sur $]10;+\infty[$
Sur $]10;+\infty[$
$\begin{align*} &\ln(x)+\ln(x-10)=\ln(3)+\ln(7) \\
&\ssi \ln\left(x(x-10)\right)=\ln(21) \\
&\ssi x(x-10)=21 \\
&\ssi x^2-10x-21=0\end{align*}$
Le discriminant de $x^2-10x-21$ est $\Delta=184>0$.
Les racines de ce polynômes sont $x_1=\dfrac{10-\sqrt{184}}{2}<0$ et $x_2=\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}>10$
Donc l’unique solution de $(E)$ est $\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}$.
Réponse c
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$,
$\begin{align*} f'(x)&=2x\left(-1+\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=-2x+2x\ln(x)+x \\
&=x\left(2\ln(x)-1\right)\end{align*}$
$\ln\left(\sqrt{e}\right)=\dfrac{1}{2}$
Par conséquent $f’\left(\sqrt{e}\right)=0$.
Une équation de la tangente au point d’abscisse $\sqrt{e}$ est donc $y=f\left(\sqrt{e}\right)$ soit $y=-\dfrac{1}{2}\e$.
Réponse d
$\quad$
On répète $5$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jetons jaunes tirés.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=\dfrac{2}{5}$
Ainsi
$\begin{align*} P(X=2)&=\dbinom{5}{2}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\left(\dfrac{3}{5}\right)^3\\
&\approx 0,346\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question précédente.
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^5\\
&\approx 0,922\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
On reprend la variable aléatoire $X$ définie à la question 4..
Son espérance mathématiques est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=5\times \dfrac{2}{5} \\
&=2\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distinctes, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l’un où l’autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l’ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.

D’après une étude statistique :

Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu’il se trouve au point A le matin suivant est égale à $0,84$;
Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu’il se trouve au point B le matin suivant est égale à $0,76$.

À l’ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l’autre moitié au point B.

On considère un vélo de la société pris au hasard.

Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :

$A_n$ : « le vélo se trouve au point A le $n$-ième matin »
$B_n$ : « le vélo se trouve au point B le $n$-ième matin ».

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$ et $b_n$ la probabilité de l’évènement $B_n$. Ainsi $a_1 = 0,5$ et $b_1 = 0,5$.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :$\quad$
a. Calculer $a_2$.
$\quad$
b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu’il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.
$\quad$
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les $n$-ième et $n +1$-ième matins.
$\quad$
b. Justifier que pour tout entier naturel non nul $n$, $a_{n+1} = 0,6a_n +0,24$.
$\quad$
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul $n$, $a_n = 0,6−0,1×0,6^{n−1}$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$ et interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $a_n > 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par : $$p(x)=x^3-3x^2+5x+1$$

Déterminer les variations de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$
Justifier que l’équation $p(x) = 0$ admet dans l’intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera notée $\alpha$.
$\quad$
Déterminer une valeur approchée du réel $\alpha$ au dixième près.
$\quad$
Donner le tableau de signes de la fonction $p$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[-3 ; 4]$ par :$$f(x)=\dfrac{\e^x}{1+x^2}$$
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

a. Déterminer la dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-3 ; 4]$.
$\quad$
b. Justifier que la courbe $\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d’abscisse $1$.
$\quad$
Les concepteurs d’un toboggan utilisent la courbe $\mathscr{C}_f$ comme profil d’un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d’inflexion.
$\quad$
a. D’après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ?
Argumenter.
b. On admet que la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de la fonction $f$ , a pour expression pour tout réel $x$ de l’intervalle $[-3 ; 4]$ :
$$f\dsec(x)=\dfrac{p(x)(x-1)\e^x}{\left(1+x^2\right)^3}$$
où $p$ est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l’expression précédente de $f\dsec$, répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ? ». Justifier.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Une exposition d’art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur $6$ m, de longueur $8$ m et de hauteur $4$ m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle $OBCDEFGH$ où $OB = 6$ m, $OD = 8$ m et $OE = 4$ m.
On utilise le repère orthonormé $\Oijk$ tel que $\vec{i}=\dfrac{1}{6}\vect{OB}$, $\vec{j}=\dfrac{1}{8}\vect{OD}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{4}\vect{OE}$.

Dans ce repère on a, en particulier $C(6; 8; 0)$, $F(6; 0; 4)$ et $G(6; 8; 4)$.
Une des œuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle $ART$ qui a pour sommets $A(6; 0; 2)$, $R(6; 3; 4)$ et $T(3; 0; 4)$, Enfin, $S$ est le point de coordonnées $\left(3;\dfrac{5}{2};0\right)$.

a. Vérifier que le triangle $ART$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. Calculer le produit scalaire $\vect{AR}.\vect{AT}$.
$\quad$
c. En déduire une valeur approchée à $0,1$ degré près de l’angle $\widehat{RAT}$.
$\quad$
a. Justifier que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ART)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ART)$.
$\quad$
Un rayon laser dirigé vers le triangle $ART$ est émis du plancher à partir du point $S$. On admet que ce rayon est orthogonal au plan $(ART)$.
a. Soit $\Delta$ la droite orthogonale au plan $(ART)$ et passant par le point $S$.
Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ : $$\begin{cases} x=3+2k\\[3pt]y=\dfrac{5}{2}-2k\\[3pt]z=3k\end{cases} \quad, \text{avec } k\in \R$$
$\quad$
b. Soit $L$ le point d’intersection de la droite $\Delta$, avec le plan $(ART)$.
Démontrer que $L$ a pour coordonnées $\left(5;\dfrac{1}{2};3\right)$.
$\quad$
L’artiste installe un rail représenté par le segment $[DK]$ ou $K$ est le milieu du segment $[EH]$.
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point $N$ du segment $[DK]$ et il oriente ce second rayon laser vers le point $S$.
$\quad$
$\quad$
a. Montrer que, pour tout réel $t$ de l’intervalle $[0; 1]$, le point $N$ de coordonnées $(0 ; 8−4t ; 4t)$ est un point du segment $[DK]$.
$\quad$
b. Calculer les coordonnées exactes du point $N$ tel que les deux rayons laser représentés par les segments $[SL]$ et $[SN]$ soient perpendiculaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

Le réel $a$ est définie par $a = \ln(9)+\ln\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{1}{9}\right)$ est égal à :
a. $1-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
b. $\dfrac{1}{2}\ln(3)$
c. $3\ln(3)-\dfrac{1}{2}$
d. $-\dfrac{1}{2}\ln(3)$
$\quad$

Question 2

On note $(E)$ l’équation suivante $\ln(x) +\ln(x −10) = ln (3)+ln (7)$ d’inconnue le réel $x$.
a. $3$ est solution de $(E)$.
b. $5-\sqrt{46}$ est solution de $(E)$.
c. L’équation $(E)$ admet une unique solution réelle.
d. L’équation $(E)$ admet deux solutions réelles.
$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par l’expression $f(x)=x^2\left(-1+\ln(x)\right)$.
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère.
a. Pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$.
b. La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
c. $f’\left(\sqrt{\e}\right)$ est différent de $0$.
d. La droite d’équation $y=-\dfrac{1}{2}\e$ est tangente à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse $\sqrt{\e}$.
$\quad$

Question 4

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement $2$ jetons jaunes, arrondie au millième, est :
a. $0,683$
b. $0,346$
c. $0,230$
d. $0,165$
$\quad$

Question 5

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus. On tire successivement et avec remise $5$ jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
a. $0,078$
b. $0,259$
c. $0,337$
d. $0,922$
$\quad$

Question 6

Un sac contient $20$ jetons jaunes et $30$ jetons bleus.
On réalise l’expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à:
a. $0,4$
b. $1,2$
c. $2$
d. $2,5$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 1 – 18 mai 2022

Amérique du nord – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On obtient l’arbre pondéré suivant:
$\quad$
$\quad$
b. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(R)&=P(R\cap V)+P\left(R\cap \conj{V}\right) \\
&=P(V)\times P_V(R)+P\left(\conj{V}\right)\times P_{\conj{V}}(R)\\
&=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{50}+\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{10} \\
&=\dfrac{7}{150}\end{align*}$
La probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(V)&=\dfrac{P(R\cap V)}{P(R)} \\
&=\dfrac{~\dfrac{2}{150}~}{\dfrac{7}{150}} \\
&=\dfrac{2}{7}\end{align*}$
La probabilité que Paul ait pris son vélo pour rejoindre la gare sachant qu’il a raté son train est égale à $\dfrac{2}{7}$.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} P(X=10)&=\dbinom{20}{10}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{10} \\
&\approx 0,054\end{align*}$
La probabilité que Paul prenne son vélo exactement $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,054$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X\pp 9) \\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare est environ égale à $0,962$.
d. L’espérance mathématique de $X$ est
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=20\times \dfrac{2}{3}\\
&=\dfrac{40}{3}\end{align*}$
En moyenne, sur un période choisie au hasard de $20$ jours, Paul prend son vélo environ $13$ jours pour se rendre à la gare.
$\quad$
L’espérance mathématique de $T$ est :
$\begin{align*} E(T)&=10\times P(T=10)+11\times P(T=11)+\ldots+18\times P(T=18) \\
&=13,5\end{align*}$
En moyenne Paul met $13,5$ minutes pour se rendre à la gare en voiture.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~T_n\pg 20$.
Initialisation : $T_0=180\pg 20$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} T_n\pg 20&\ssi 0,955T_n \pg 19,1 \\
&\ssi 0,955T_n+0,9 \pg 20 \\
&\ssi T_{n+1} \pg 20\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout entier naturel $n$, $T_n\pg 20$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} T_{n+1}-T_n&=0,955T_n+0,9 -T_n \\
&=-0,045T_n+0,9 \\
&=-0,045\left(T_n-20\right)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $T_n\pg 20 \ssi T_n-20\pg 0$.
Ainsi $T_{n+1}-T_n\pp 0$.
Par conséquent $\left(T_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(T_n\right)$ est décroissante et minorée par $20$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $u_n=T_n-20\ssi T_n=u_n+20$
$\begin{align*} u_{n+1}&=T_{n+1}-20 \\
&=0,955T_n+0,9-20 \\
&=0,955T_n-19,1\\
&=0,955\left(u_n+20\right)-19,1 \\
&=0,955u_n+19,1-19,1\\
&=0,955u_n\end{align*}$
Par conséquent, la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $0,955$ et de premier terme $u_0=160$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=160\times 0,955^n$.
Donc $T_n=u_n+20=20+160\times 0,955^n$.
$\quad$
c. $-1<0,955<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,955^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
$\quad$
d.
$\begin{align*} T_n\pp 120&\ssi 20+160\times 0,955^n \pp 120 \\
&\ssi 160\times 0,955^n \pp 100 \\
&\ssi 0,955^n \pp 0,625 \\
&\ssi n\ln(0,955) \pp \ln(0,625) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,625)}{\ln(0,955)} \approx 10,2$.
L’ensemble solution de $T_n\pp 120$ est l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $11$.
$\quad$
a. La température au centre du gâteau va décroitre jusqu’à atteindre la température ambiante.
Il était donc prévisible que $\lim\limits_{n\to +\infty} T_n=20$.
$\quad$
b. La fonction $\texttt{temp}$ renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $T_n\pp x$.
D’après la question 2.d. la commande $\texttt{temp(120)}$ renvoie $11$.
Cela signifie que la température au centre du gâteau devient inférieure à $120$ degré Celsius au bout de $11$ minutes.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{JK}\begin{pmatrix} -1\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{JL}\begin{pmatrix} -4\\-2\\-3\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} \vect{JK}.\vect{JL}&=-1\times (-4)+2\times (-2)+0\times (-3) \\
&=4-4\\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{JK}$ et $\vect{JL}$ sont donc orthogonaux. Le triangle $JKL$ est par conséquent rectangle en $J$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} JK&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*} JL&=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{29}\end{align*}$
L’aire du triangle $JKL$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{JK\times JL}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{29}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{145}}{2} \text{ cm}^2\end{align*}$
c. Dans le triangle $JKL$ rectangle en $J$ on a $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{JL}{JK}$
Soit $\tan \widehat{JKL}=\dfrac{\sqrt{29}}{\sqrt{5}}$
Par conséquent $\widehat{JKL} \approx 67,5$°
$\quad$
a. D’une part :
$\begin{align*}\vect{JK}.\vec{n}&=6\times (-1)+3\times 2+0\times (-10) \\
&=-6+6\\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*}\vect{JL}.\vec{n}&=6\times (-4)+3\times (-2)+(-10)\times (-3)
&=-24-6+30\\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteur non colinéaires (puisqu’orthogonaux) du plan $(JKL)$.
$\vec{n}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(JKL)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est donc de la forme $6x+3y-10z+d=0$.
Le point $J(2;0;1)$ appartient au plan $(JKL)$.
Par conséquent $12+0-10+d=0 \ssi d=-2$
Une équation cartésienne du plan $(JKL)$ est $6x+3y-10z-2=0$.
$\quad$
a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\end{cases} \qquad ,t\in \R$.
$\quad$
b. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6x+3y-10z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\6(10+6t)+3(9+3t)-10(-6-10t)-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\60+36t+27+9t+60+100t-2=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=10+6t\\y=9+3t\\z=-6-10t\\145t+145=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}t=-1\\ x=4\\y=6\\z=4\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(4;6;4)$.
$\quad$
c. $\vect{HT}\begin{pmatrix} 6\\3\\-10\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} HT&=\sqrt{6^2+3^2+(-10)^2} \\
&=\sqrt{145}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times HT \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{145}}{2}\times \sqrt{145}\\
&=\dfrac{145}{6} \text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Soit $x\in \R$
$\begin{align*} 1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}&=\dfrac{1+\e^x-1+\e^x}{1+\e^x} \\
&=\dfrac{2\e^x}{1+\e^x} \\
&=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(\e^{-x}+1\right)} \\
&=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} g(x)=\dfrac{1}{2} &\ssi \dfrac{\e^x}{\e^x+1}=\dfrac{1}{2} \\
&\ssi 2\e^x=\e^x+1 \\
&\ssi \e^x=1 \\
&\ssi x=0\end{align*}$
L’équation $g(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une unique solution : $0$.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
&=\left(2x-x^2\right)\e^{-x} \\
&=x(2-x)\e^{-x}\end{align*}$
Si l’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ en $A\left(x_A;y_A\right)$ alors $f’\left(x_A\right)=0$.
Or $f'(x)=0 \ssi x(2-x)=0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
$x(2-x)=0 \ssi x=0$ ou $x=2$.
Cependant $f(0)=0$ et $f(2)=4\e^{-2}\neq 0$. Le point de coordonnées $(0;0)$ appartient à l’axe des abscisses mais le point de coordonnées $\left(2;4\e^{-2}\right)$ n’appartient pas à cet axe.
L’axe des abscisses est tangent à la courbe $C$ qu’en l’origine du repère.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions deux fois dérivables.
Soit $x\in \R$
$\begin{align*} h'(x)&=\e^x\left(1-x^2\right)-2x\e^x \\
&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)\end{align*}$
$\begin{align*} h\dsec(x)&=\e^x\left(-x^2-2x+1\right)+\e^{-x}(-2x-2)\\
&=\e^x\left(-x^2-2x+1-2x-2\right) \\
&=\e^x\left(-x^2-4x-1\right)\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $h\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x^2-4x-1$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=12>0$.
Ainsi l’équation $-x^2-4x-1=0$ admet $2$ solutions distinctes et $h\dsec(x)$ change deux fois de signe en s’annulant.
La courbe représentative de la fonction $h$ admet donc deux points d’inflexion.
Affirmation 4 fausse
$\quad$
Soit $x>0$. $\dfrac{\e^x}{\e^x+x}=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}$
Or, par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{1+\dfrac{x}{\e^x}}=1$
Affirmation 5 fausse
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} 1+\e^{2x}\pg 2\e^x &\ssi \left(\e^x\right)^2-2\e^x+1 \pg 0\\
&\ssi \left(\e^x-1\right)^2 \pg 0\end{align*}$
Cette dernière inégalité est vraie pour tout réel $x$.
Affirmation 6 vraie
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : probabilités

Chaque chaque jour où il travaille, Paul doit se rendre à la gare pour rejoindre son lieu de travail en train. Pour cela, il prend son vélo deux fois sur trois et, si il ne prend pas son vélo, il prend sa voiture.

lorsqu’il prend son vélo pour rejoindre la gare, Paul ne rate le train qu’une fois sur $50$ alors que, lorsqu’il prend sa voiture pour rejoindre la gare Paul rate son train une fois sur $10$.
On considère une journée au hasard lors de laquelle Paul sera à la gare pour prendre le train qui le conduira au travail.
On note :
• $V$ l’évènement « Paul prend son vélo pour rejoindre la gare »;
• $R$ l’évènement « Paul rate son train ».
a. Faire un arbre pondéré résumant la situation.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que Paul rate son train est égale à $\dfrac{7}{150}$.
$\quad$
c. Paul a raté son train. Déterminer la valeur exacte de la probabilité qu’il ait pris son vélo pour rejoindre la gare.
$\quad$
On choisit au hasard un mois pendant lequel Paul s’est rendu $20$ jours à la gare pour rejoindre son lieu de travail selon les modalités décrites en préambule.
On suppose que, pour chacun de ces $20$ jours, le choix entre le vélo et la voiture est indépendant des choix des autres jours.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de jours où Paul prend son vélo sur ces $20$ jours.
a. Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo exactement 10 jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
$\quad$
c. Quelle est la probabilité que Paul prenne son vélo au moins $10$ jours sur ces $20$ jours pour se rendre à la gare ? On arrondira la probabilité cherchée à $10^{-3}$.
$\quad$
d. En moyenne, combien de jours sur une période choisie au hasard de $20$ jours pour se rendre à la gare, Paul prend-il son vélo ? On arrondira la réponse à l’entier.
$\quad$
Dans le cas où Paul se rend à la gare en voiture, on note $T$ la variable aléatoire donnant le temps de trajet nécessaire pour se rendre à la gare. La durée du trajet est donnée en minutes, arrondie à la minute. La loi de probabilité de $T$ est donnée par le tableau ci-dessous :
$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k\text{ (en minutes)}&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\
\hline
P(T=k)&0,14&0,13&0,13&0,12&0,12&0,11&0,10&0,08&0,07\\
\hline
\end{array}$
Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $T$ et interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : suites

Dans cet exercice, on considère la suite $\left(T_n\right)$ définie par :
$$T_0 = 180 \text{ et, pour tout entier naturel }n,~ T_{n+1} = 0,955T_n +0,9$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $T_n \pg 20$.
$\quad$
b. Vérifier que pour tout entier naturel $n$, $T_{n+1}-T_n = −0,045\left(T_n-20\right))$. En déduire le sens de
variation de la suite $\left(T_n\right)$.
$\quad$
c. Conclure de ce qui précède que la suite $\left(T_n\right)$ est convergente. Justifier.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = T_n-20$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. En déduire que pour tout entier naturel $n$, $T_n = 20+160\times 0,955^n$.
$\quad$
c. Calculer la limite de la suite $\left(T_n\right)$.
$\quad$
d. Résoudre l’inéquation $T_n\pp 120$ d’inconnue $n$ entier naturel.
$\quad$
Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de $180$° C et celle de l’air ambiant de $20$° C.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente $\left(T_n\right)$. Plus précisément, $T_n$ représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, n minutes après sa sortie du four.
a. Expliquer pourquoi la limite de la suite $\left(T_n\right)$ déterminée à la question 2. c. était prévisible dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
b. On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def temp(x):}\\
\quad \text{T = 180} \\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while T > x:} \\
\qquad \text{T = 0.955 * T + 0.9}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Donner le résultat obtenu en exécutant la commande $\texttt{temp(120)}$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ d’unité $1$ cm, on considère les points suivants :
$$J(2 ; 0 ; 1),~~ K(1 ; 2 ; 1) \text{ et } L(−2 ; −2 ; −2)$$

a. Montrer que le triangle $JKL$ est rectangle en $J$.
$\quad$
b. Calculer la valeur exacte de l’aire du triangle $JKL$ en cm$^2$.
$\quad$
c. Déterminer une valeur approchée au dixième près de l’angle géométrique $\widehat{JKL}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées$\begin{pmatrix}6\\3\\-10\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(JKL)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(JKL)$.

$\quad$
Dans la suite, $T$ désigne le point de coordonnées $(10 ; 9 ; −6)$.

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(JKL)$ et passant par $T$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $T$ sur le plan $(JKL)$.
$\quad$
c. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{B}\times h \text{où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante}$$
Calculer la valeur exacte du volume du tétraèdre $JKLT$ en cm$^3$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : fonction exponentielle

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tout réel $x$ : $1-\dfrac{1-\e^x}{1+\e^x}=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) =
\dfrac{\e^x}{\e^x+1}$.
Affirmation 2 : L’équation $g(x) = \dfrac{1}{2}$ admet une unique solution dans $\R$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^2\e^{-x}$ et on note $\mathscr{C}$ sa courbe dans un repère orthonormé.
Affirmation 3 : L’axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathscr{C}$ en un seul point.
$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=\e^x\left(1-x^2\right)$.
Affirmation 4 : Dans le plan muni d’un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction $h$ n’admet pas de point d’inflexion.
$\quad$
Affirmation 5 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{\e^x+x}=0$.
$\quad$
Affirmation 6 : Pour tout réel $x$, $1+\e^{2x}\pg 2\e^x$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – 12 mai 2022

Centres étrangers – 12 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{1\times\e^x-x\e^x}{\left(\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{(1-x)\e^x}{\e^{2x}} \\
&=\dfrac{1-x}{\e^x} \\
&=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
La fonction $f\dsec$ semble donc strictement positive sur $]-3;-1[$ et strictement négative sur $]-1;1[$.
La fonction $f’$ semble donc croissante sur $[-3;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;1]$.
Ainsi $f’$ admet un maximum en $x=-1$.
Réponse D
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$.
Elle est dérivable sur $\R$ en tant que produit et composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$
$\begin{align*} F'(x)&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}+\left(x^2+1\right)\times (-2x)\e^{-x^2}\right)\\
&=-\dfrac{1}{2}\left(2x\e^{-x^2}-2x^3\e^{-x^2}-2x\e^{-x^2}\right) \\
&=-\dfrac{1}{2}\times \left(-2x^3\right) \e^{-x^2}\\
&=f(x)\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^{-x}\right)}{\e^x\left(1-\e^{-x}\right)} \\
&=\dfrac{1+\e^{-x}}{1-\e^{-x}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}=1$.
Réponse B
$\quad$
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+K$
$\begin{align*} F(0)=1&\ssi \dfrac{1}{2}\e+K=1 \\
&\ssi K=1-\dfrac{1}{2}\e\end{align*}$
Donc, pour tout réel $x$, $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{2x+1}+1-\dfrac{1}{2}\e$.
Réponse C
$\quad$
La fonction $f$ semble concave sur $[-2;1]$ et convexe sur $[1;4]$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est négatif sur $[-2;1]$ et positif sur $[1;4]$ en ne s’annulant qu’en $1$.
Réponse A
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ strictement positif,
$\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
&=\ln(x)+1\end{align*}$
$\quad$
b. $\ln(x)+1=0 \ssi \ln(x)=-1 \ssi x=\e^{-1}$
$\ln(x)+1>0\ssi \ln(x)>-1 \ssi x>\e^{-1}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :

$\quad$
c. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
Donc pour tout $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) <1$.
$f(1)=1$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{-1}\right[$
Donc pour tout $x\in \left[\e^{-1};1\right[$ on a $0<1-\e^{-1}\pp f(x) < 1$.
Ainsi, pour tout $x\in [0;1]$ on a $0<f(x)<1$.
$\quad$
a. $f'(1)=1$ et $f(1)=1$
Une équation de $(T)$ est donc $y=1\times (x-1)+1$ soit $y=x$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{1}{x}>0$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
c. La courbe $C_f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes en particulier au-dessus de $T$.
Donc, pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x)\pg x$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<1$.
Initialisation : $u_0\in ]0;1[$ par définition. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a $0<u_n<1$ donc, d’après la question 2.c., $0<f\left(u_n\right)<1$ soit $0<u_{n+1}<1$.
$P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<1$.
$\quad$
b. Soit $n\in \N$
D’après la question 3.c. on a $f\left(u_n\right)\pg u_n$ soit $u_{n+1}\pg u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
c. La suite $\left(un\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle est donc convergente.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}$
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que :
$\begin{align*} \vect{AD}=x\vect{AB}+y\vect{AC}&\ssi \begin{cases} 3x+3y&=-3\\3x&=6\\3x-3y&=-3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x+y&=-3\\x&=2\\x-y&=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2\\y=-5\\y=3\end{cases}\end{align*}$
Les deux dernières lignes du système sont incompatibles.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont donc pas coplanaires.
$\quad$
a.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=3\times 3+3\times 0+3\times (-3) \\
&=9+0-9\\
&=0\end{align*}$
Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AB}&=-3\times 3+6\times 3+(-3)\times 3 \\
&=-9+18-9 \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AC}&=-3\times 3+6\times 0+(-3)\times (-3) \\
&=-9+0+9 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{AD}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils sont orthogonaux d’après la question précédente) du plan $(ABC)$.
La droite $(AD)$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} AD&=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{9+36+9} \\
&=\sqrt{54}\end{align*}$
$\begin{align*} AB&=\sqrt{3^2+3^2+3^2} \\
&=\sqrt{9+9+9} \\
&=\sqrt{27}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{9+0+9} \\
&=\sqrt{18}\end{align*}$
L’aire du triangle $ABC$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{27}\times \sqrt{18}}{2}\\
&=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}\end{align*}$
Par conséquent le volume du tétraèdre $ABCD$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times AD\times \mathscr{A} \\
&=\dfrac{1}{3}\times \sqrt{54}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\\
&=27\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}$, $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{BH}=\alpha\vect{BC}+\beta\vect{BD}&\ssi \begin{cases} -6\beta&=-1 \\
-3\alpha+3\beta&=-1\\
-6\alpha-6\beta&=-4\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} \beta=\dfrac{1}{6}\\\alpha=\dfrac{1}{2}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $\vect{BH}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}+\dfrac{1}{6}\vect{BD}$.
$\quad$
b. $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
$\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BC}&=2\times 0+2\times (-3)+(-1)\times (-6) \\
&=0\end{align*}$
$\begin{align*} \vect{AH}.\vect{BD}&=2\times (-6)+2\times 3+(-1)\times (-6) \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vect{AH}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(BCD)$.
C’est donc un vecteur normal à ce plan.
D’après la question précédente, $H$ appartient au plan $(BCD)$.
Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} AH&=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{9} \\
&=3\end{align*}$
La distance du point $A$ au plan $(BCD)$ est égale à $3$ unités de longueur.
$\quad$
On note $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $BCD$.
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h&\ssi 27=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times 3\\
&\ssi \mathscr{A}=27\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On appelle :
$\bullet ~~N_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est noir » ;
$\bullet ~~B_i$ l’événement « le jeton tiré lors du $i$-ème tirage est blanc ».
On obtient donc l’arbre pondéré suivant :
$ \quad$
$\quad$
b. La probabilité de perdre $9$ € sur une partie est égale à :
$\begin{align*} P\left(B_1\cap B_2\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}\left(B_2\right) \\
&=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5} \\
&=\dfrac{9}{25}\end{align*}$
$\quad$
a. À chaque tirage, la probabilité de tirer un jeton noir vaut $\dfrac{N}{N+3}$ et la probabilité de tirer un jeton blanc vaut $\dfrac{3}{N+3}$.
La probabilité de tirer deux jetons blancs est égale à $\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2$.
La probabilité de tirer deux jetons noirs est égale à $\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2$.
Par conséquent la probabilité de tirer deux jetons de couleurs différentes est égale à :
$\begin{align*} p&=1-\left(\dfrac{3}{N+3}\right)^2-\left(\dfrac{N}{N+3}\right)^2 \\
&=1-\dfrac{9}{(N+3)^2}-\dfrac{N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{(N+3)^2-9-N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{N^2+6N+9-9-N^2}{(N+3)^2} \\
&=\dfrac{6N}{(N+3)^2}\end{align*}$
On obtient ainsi la loi de probabilité suivante :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x&-9&-1&5\\
\hline
P(X=x)&\dfrac{9}{(N+3)^2}&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&\dfrac{6N}{(N+3)^2}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. Le discriminant de $-x^2+30x-81$ est $\Delta=576>0$.
Les racines de $-x^2+3x-81$ sont donc $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{-2}=27$ et $x_1=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{-2}=3$.
Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-1<0$.
Par conséquent l’ensemble solution de $-x^2+3x-81>0$ est $]3;27[$.
$\quad$
c. Le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, l’espérance de $X$ est strictement positive.
$\begin{align*} E(X)>0&\ssi -9\times \dfrac{9}{(N+3)^2}-1\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}>0 \\
&\ssi -81-N^2+30N>0\end{align*}$
D’après la question précédente, le jeu est favorable au joueur si, et seulement si, $N$ est un entier naturel compris entre $4$ et $26$, tous les deux inclus.
$\quad$
d. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}$.
Elle est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x\in[0;+\infty[$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^4} \\
&=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2\left(-x^2+30x-81\right)}{(x+3)^3} \\
&=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}\\
&=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}\end{align*}$
$g'(x)$ est donc du signe de $-36x+252$ sur $[0;+\infty[$.
Or $-36x+252>0\ssi -36x>-252 \ssi x<7$.
Par conséquent $g$ est strictement croissante sur $[0;7]$ et strictement décroissante sur $[7;+\infty[$.
Elle atteint donc son maximum pour $x=7$.
Or $E(X)=g(N)$ et $7\in [4;26]$.
Le gain moyen est donc maximal s’il y a $7$ jetons noirs.
$\quad$
$N=7$ donc $P(X=5)=0,42$.
On répète $10$ fois de façons indépendantes la même expérience de Bernoulli. On appelle $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre de joueur ayant gagné $5$ euros.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,42$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)&=1-P(Y=0) \\
&=1-(1-0,42)^{10} \\
&=1-0,58^{10}\\
&\approx 0,996\end{align*}$
La probabilité d’avoir au moins un joueur gagnant $5$ euros est environ égale à $0,996$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question en rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$$
On suppose que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. $f'(x)=\e^{-x}$
b. $f'(x)=x\e^{-x}$
c. $f'(x)=(1-x)\e^{-x}$
d. $f'(x)=(1+x)\e^{-x}$
$\quad$
Soit $f $ une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle $[-3;1]$. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivée seconde $f\dsec$.
On peut alors affirmer que :
a. La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;1]$
b. La fonction $f$ est concave sur l’intervalle $[-2;0]$
c. La fonction $f’$ est décroissante sur l’intervalle $[-2;0]$
d. La fonction $f’$ admet un maximum en $x=-1$
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3\e^{-x^2}$$
Une primitive $F$ de la fonction $f$ est définie sur $\R$ par :
a. $F(x)=-\dfrac{1}{6}\left(x^3+1\right)\e^{-x^2}$
b. $F(x)=-\dfrac{1}{4}x^4\e^{-x^2}$
c. $F(x)=-\dfrac{1}{2}\left(x^2+1\right)\e^{-x^2}$
d. $F(x)=x^2\left(3-2x^2\right)\e^{-x^2}$
$\quad$
Que vaut $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x+1}{\e^x-1}$$
a $-1$
b. $1$
c. $+\infty$
d. N’existe pas
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x+1}$.
La seule primitive de $F$ sur $\R$ de la fonction $f$ telle que $F(0)=1$ est la fonction :
a. $x\mapsto 2\e^{2x+1}-2\e+1$
b. $x\mapsto \e^{2x+1}-\e$
c. $x\mapsto \dfrac{1}{2}\e^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\e+1$
d. $x\mapsto \e^{x^2+x}$
$\quad$
Dans un repère, on a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $[-2;4]$.
Parmi les courbes suivantes, laquelle représente la fonction $f\dsec$, dérivée seconde de $f$?
a.
b. c. d. $\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $]0;+\infty[$ par $$f(x)=x\ln(x)+1$$

On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.
$\quad$
a. On admet que $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on notera $f’$ sa fonction dérivée.
Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : $$f'(x)=1+\ln(x)$$
$\quad$
b. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
On y fera figurer la valeur exacte de l’extremum de $f$ sur $]0;+\infty[$ et les limites.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\in ]0;1[$, $f(x)\in ]0;1[$.
$\quad$
a. Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif $$f(x)\pg x$$
$\quad$
On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l’intervalle $]0;1[$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n<1$.
$\quad$
b. Déduire de la question 3c la croissance de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $Oijk$.

On considère les points $A(3;-2;2)$, $B(6;1;5)$, $C(6;-2;-1)$ et $D(0;4;-1)$.

On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V=\dfrac{1}{3}\mathscr{A}\times h$$
où $\mathscr{A}$ est l’aire de la base et $h$ la hauteur correspondante.

Démontrer que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle.
$\quad$
b. Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. En déduire le volume du tétraèdre $ABCD$.
$\quad$
On considère le point $H(5;0;1)$.
a. Montrer qu’il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\vect{BH}=\alpha \vect{BC}+\beta\vect{BD}$.
$\quad$
b. Démontrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $(BCD)$.
$\quad$
c. En déduire la distance du point $A$ au plan $(BCD)$.
$\quad$
Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $BCD$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

Thème : Probabilités

Une urne contient des jetons blancs et noirs tous indiscernables au toucher.

Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux jetons de cette urne.

On établit la règle de jeu suivante :

un joueur perd $9$ euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche;
un joueur perd $1$ euro si les deux jetons tirés sont de couleur noire;
un joueur gagne $5$ euros si les deux jetons tirés sont de couleurs différentes.

On considère que l’urne contient $2$ jetons noirs et $3$ jetons blancs.
a. Modéliser la situation à l’aide d’un arbre pondéré.
$\quad$
b. Calculer la probabilité de perdre $9$ € sur une partie.
$\quad$
On considère maintenant que l’urne contient $3$ jetons blancs et au moins deux jetons noirs mais on ne connait pas le nombre exact de jetons noirs. On appellera $N$ le nombre de jetons noirs.
a. Soit $X$ la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire.
$\quad$
b. Résoudre l’inéquation pour $x$ réel : $$-x^2+30x-81>0$$
$\quad$
c. En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer le nombre de jetons noirs que l’une doit contenir afin que ce jeu soit favorable au joueur.
$\quad$
d. Combien de jetons noirs le joueur doit-il demander afin d’obtenir un gain moyen maximal?
$\quad$
On observe $10$ joueurs qui tentent leur chance en effectuant une partie de ce jeu, indépendamment les uns des autres. On suppose que $7$ jetons noirs ont été placés dans l’urne (avec $3$ jetons blancs). Quelle est la probabilité d’avoir au moins $1$ joueur gagnant $5$ euros?
$\quad$

$\quad$

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 4 points

Exercice 2 5 points

Exercice 3 5 points

Exercice 4 6 points

Centre étrangers – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Exercice 2 6 points

Exercice 3 6 points

Exercice 4 3 points

Nouvelle Calédonie – 26 octobre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points

Exercice 2 7 points

Exercice 3 7 points

Exercice 3 7 points

Amérique du Sud – 27 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points Thème : Probabilités

Exercice 2 7 points Thème : Fonctions, fonction logarithme

Exercice 3 7 points Thème : Suites

Exercice 4 7 points Thème : Géométrie dans l’espace

Polynésie – 30 août 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 2

Ex 3

Exercice 3

Ex 4

Exercice 4

Énoncé

Exercice 1 7 points Thème : probabilités

Exercice 2 7 points Thème : suites, fonctions

Exercice 3 7 points Thème : fonctions

Exercice 4 7 points Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

Ex 1

Exercice 1

Ex 2

Exercice 1 7 points
Thème : Probabilités

Exercice 2 7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Exercice 3 7 points
Thème : Suites

Exercice 4 7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Exercice 2 7 points
Thème : suites, fonctions

Exercice 3 7 points
Thème : fonctions

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans le plan et dans l’espace