Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 2 – mars 2021

Centres étrangers – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 : La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$, $g'(x)= 2x+2+\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1)$.
Or $g(1)=0$ et $g'(1)=7$.
Une équation de cette tangente est donc $y=7(x-1)$.
Réponse a
$\quad$

Question 2 : Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\dfrac{3}{1+\dfrac{2}{n}}$
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{n}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$.
Remarque : On pouvait également utiliser la limite des termes de plus haut degré.
Réponse b
$\quad$

Question 3 : On appelle $X$ la variable comptant le nombre de boules noires tirées. On effectue $10$ tirages aléatoires, indépendants et identiques. À chaque tirage il n’y a que deux issues $N$ « La boule tirée est noire » et $\conj{N}$. De plus $p(N)=0,6$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,6$.
Ainsi $P(X=4) = \dbinom{10}{4} 0,6^4 \times 0,4^6 \approx 0,111~5$
Réponse c
$\quad$

Question 5 : Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\e^{x}\left(3-\dfrac{x}{\e^x}\right)$.
Or, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} {x}\dfrac{e^x}=0$
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
Réponse b
$\quad$

Question 5 : Il y a $36^8$ combinaisons possibles.
Il faut donc au maximum $\dfrac{36^8}{10^8} \approx 28~211$ secondes pour découvrir le code.
Cela correspond à environ $8$ heures.
Réponse b
$\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

  1. a. Si $2\%$ des panneaux se sont détériorés cela signifie que $98\%$ sont en état de fonctionner. Pour tout entier naturel $n$, cela correspond donc à $0,98u_n$ panneaux.
    Chaque année $250$ nouveaux panneaux sont installés.
    Par conséquent $u_{n+1}=0,98u_n+250$.
    En 2020, la société possédait $10~560$ panneaux. Donc $u_0=10~560$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice, c’est-à-partir du rang $68$ que $u_n\pg 12~000$.
    Il faut $68$ ans pour que le nombre de panneaux solaires soit strictement supérieur à $12~000$.
    $\quad$
    c.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 10560} \\
    \text{n = 0} \\
    \textbf{while }\text{u  < 12000 :} \\
    \quad \text{u =  0.98 * u + 250}\\
    \quad \text{n = n + 1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  2. Initialisation : On a $u_0 = 10~560 < 12~500$
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n \in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    $\begin{align*} u_{n+1} &= 0,98u_n +250 \\
    &\pp 0,98 \times 12~500+250 \\
    &\pp 12~250+250\\
    &\pp 12~500\end{align*}$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n \pp 12~500$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=0,98u_n+250-u_n \\
    &=-0,02u_n+250 \\
    &=0,02\left(-u_n+12~500\right)\end{align*}$
    Or, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp 12~500$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n\pg 0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $12~500$. Elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Pour tout entier naturel $n$,
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-12~500 \\
    &=0,98u_n+250-12~500 \\
    &=0,98u_n-12~250 \\
    &=0,98\left(u_n-12~500\right)\\
    &=0,98v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $v_0=u_0-12~500=-1~940$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=-1~940\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=v_n+12~500=12~500-1~940\times 0,98^n$.
    $\quad$
    d. $-1<0,98<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} -1~940\times 0,98^n=0$.
    Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=12~500$.
    Sur le long terme, la centra solaire Big Sun possèdera $12~500$ panneaux solaires.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\pg 0$
    $\begin{align*} f'(x)&=-500\times (-0,02)\e^{-0,02x+1,4} \\
    &=10\e^{-0,02x+1,4}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $f'(x)>0$.
    La fonction $f$ est par conséquent strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,02x+1,4=-\infty$ or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-0,02x+1,4}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=12~500$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre l’inéquation :
    $\begin{align*} f(x)>12~000 &\ssi 12~500-500\e^{-0,02x+1,4} > 12~000 \\
    &\ssi -500\e^{-0,02x+1,4} > -500 \\
    &\ssi \e^{-0,02x+1,4} < 1 \\
    &\ssi -0,02x+1,4< 0\\
    &\ssi -0,02x<-1,4 \\
    &\ssi x> 70\end{align*}$
    C’est donc au bout de $70$ ans, selon ce modèle, que le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
    $\quad$

 

 

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a $F(1;0;1)$, $I(0;0,5;0,5)$ et $J\left(1;1;\dfrac{2}{3}\right)$
    $\quad$
  2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
    Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est par conséquent $$\begin{cases} x=0\\y=0,5+t\\z=0,5-\dfrac{1}{3}t\end{cases} \quad, t\in \R$$
    $\quad$
  3. a. Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient bien à la droite $(AE)$.
    En prenant $t=-0,5$, dans la représentation paramétrique de $(d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
    Le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ appartient aux droites $(d)$ et $(AE)$. C’est donc le point $K$.
    $\quad$
    b. Le point $L$ appartient à la droite $(DH)$. Ses coordonnées sont donc de la forme $(0;1;\gamma)$.
    En prenant $t=0,5$, dans la représentation paramétrique de (d)$, on trouve $\begin{cases} x=0\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\end{cases}$.
    Ainsi, le point $L$ a pour coordonnées $\left(0;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. On a $\vect{LK}\begin{pmatrix} 0\\1\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vect{LK}=\vect{FJ}$ et $FJLK$ est un paralélogramme.
    $\quad$
    b. $FJ=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
    $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ donc $FK=\sqrt{1+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{10}{9}}$
    Le parallélogramme $FJLK$ possède deux côtés consécutifs de même longueur. C’est donc un losange.
    $\quad$
    c. $\vect{FJ}.\vect{FK}=0+0+\dfrac{1}{9}\neq 0$
    Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux. Par conséquent $FJLK$ n’est pas un carré.
    $\quad$

Partie B : Cas général

  1. On a $\vect{CG}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} \vect{CJ}=a\vect{CG}&\ssi \begin{cases} x_J-1=0\\y_J=1=0\\z_J-0=a\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_j=1\\y_J=1\\z_J=a\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi $\vect{FJ}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$ et $\vect{KL}\begin{pmatrix} 0\\1\\a-1\end{pmatrix}$
    Donc $\vect{FJ}=\vect{KL}$ et $FJKL$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  3. D’après la question A.4.b. si $a=\dfrac{2}{3}$ alors $FJKL$ est un losange.
    $\quad$
  4. On a $\vect{FK}\begin{pmatrix} -1\\0\\-\dfrac{a}{2}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{FK}.\vect{FJ}=0&\ssi 0+0-\dfrac{a}{2}(a-1)=0 \\
    &\ssi a=0\text{ ou } a=1\end{align*}$
    Ainsi, les deux seules valeurs de $a$ pour lesquelles $\vect{FK}$ et $\vect{FJ}$ soient orthogonaux sont $0$ et $1$.
    Or si $a=0$ alors $FJ=FC=\sqrt{2}$ (d’après le théorème de Pythagore) et $FK=FE=1$. $FJLK$ n’est pas un losange et donc pas un carré.
    Si $a=1$ alors $FJ=FG=1$ et $FK=FA=\sqrt{2}$ et ce n’est toujours pas un carré.
    Il n’existe donc pas de valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

Partie A

  1. Si le test du mélange est négatif alors on n’a fait qu’un seul test et $X_n$ prend la valeur $1$.
    Si le test est positif alors on teste tous les individus. On a donc fait $1+n$ tests au total et $X$ prend la valeur $n+1$.
    $\quad$
  2. Si l’événement $\left[X_n=1\right]$  est réalisé alors aucun individu n’est positif. La probabilité qu’un individu ne soit pas malade est égale à $0,95$.
    Par conséquent, la probabilité que tous les individus ne soient pas malade est $0,95^n$.
    Donc $P\left(X_n=n+1\right)=1-0,95^n$.
    On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x_i&1&n+1\\
    \hline
    P\left(X_n=x_i\right)&0,95^n&1-0,95^n\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. L’espérance de $X_n$ indique le nombre moyen qu’on va réaliser.
    $\begin{align*}
    E\left(X_n\right)&=1\times 0,95^n+(n+1)\times \left(1-0,95^n\right)\\
    &=0,95^n +n+1 -(n+1)\times 0,95^n \\
    &=n+1-n\times 0,95^n\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[20;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 20$, $f'(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(0,95)$
    $\begin{align*} f(x)<0 &\ssi \dfrac{1}{x} < -\ln(0,95)\\
    &\ssi x>-\dfrac{1}{\ln(0,95)}\end{align*}$
    Or $-\dfrac{1}{\ln(0,95)} \approx 19,5<20$
    Donc $f'(x)<0$ sur $[20;+\infty[$.
    $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(\dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)\right)$
    Or, par croissance comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}+\ln(0,95)=\ln(0,95)<0$
    Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est strictement décroissante et continue (car dérivable) sur $[20;+\infty[$.
    De plus $f(20) \approx 4,02>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[20;+\infty[$.
    D’après la calculatrice, $87<\alpha \approx< 87,1$.
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[20;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
    Par conséquent :
    $\bullet f(x)>0$ sur $[20;\alpha[$;
    $\bullet f(\alpha)=0$;
    $\bullet f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C

$\begin{align*} E\left(X_n\right)<n &\ssi n+1-n\times 0,95^n < n\\
&\ssi -n\times 0,95^n <-1 \\
&\ssi 0,95^n > \dfrac{1}{n} \\
&\ssi n\ln(0,95) > \ln\left(\dfrac{1}{n}\right) \\
&\ssi n\ln(0,95)> -\ln(n) \\
&\ssi n\ln(0,95)+\ln(n)>0\\
&\ssi f(n)>0\end{align*}$

D’après la partie B, cela signifie que $n<\alpha$.
La première méthode diminue le nombre d’analysés pour des échantillons comportant au maximum $87$ personnes.
$\quad$

 

 

 

Ex B

Exercice B

Partie A : : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

  1. Graphiquement $f(0)=3$ et $f'(0)=-2$.
    $\quad$
  2. On a $f(0)=1+b$.
    Donc $1+b=3 \ssi b=2$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+a-b\e^{-x}$.
    Soit $f'(x)=\e^x+a-2\e^{-x}$
    $\quad$
    b. Par conséquent $f'(0)=1+a-2=a-1$.
    $\quad$
    c. $f'(0)=-2 \ssi a-1=-2 \ssi a=-1$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)=\e^x-x+2\e{-x}$.
    $\quad$
  4. a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonction dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    g'(x)+g(x)&=\left(e^x-1-2\e^{-x}\right)+\left(\e^x-x+2\e^{-x}\right)\\
    &=2e^x-1-x\end{align*}$
    La fonction $g$ est donc solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. $y’+y=0 \ssi y’=-y$
    Les solutions de cette équation sont les fonctions $h$ définies sur $\R$ par $h(x)=K\e^{-x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$
    c. Soit $j$ une solution de l’équation $(E)$.
    Ainsi $j-g$ est solution de l’équation différentielle homogène $y’-y=0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $j(x)-g(x)=K\e^{-x}$.
    Soit $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$
    Les solutions de l’équation $(E)$ sont les fonctions $j$ définies sur $\R$ par $j(x)=\e^x-x+(2+K)\e^{-x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{g} sur $\boldsymbol{[1;+\infty[}$

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} \left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right) &=\e^{2x}+\e^x-2\e^x-2 \\
    &=\e^{2x}-\e^x-2\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}
    g'(x)&=\e^x-2\e^{-x} \\
    &=\e^{-x}\left(\e^{2x}-2\e^x-2\right) \\
    &=\e^{-x}\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $\e^x>0$ donc $e^x+1>0$.
    Par conséquent $g'(x)>0$ sur $[1;+\infty[$.
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.

Barème : une bonne réponse rapporte un point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Question 1 :

On considère la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x^2+2x-\dfrac{3}{x}$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=7(x-1)$
b. $y=x-1$
c. $y=7x+7$
d. $y=x+1$
$\quad$

Question 2 :

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par $v_n=\dfrac{3n}{n+2}$. On cherche à déterminer la limite de $v_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

a. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=1$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=\dfrac{3}{2}$
d. On ne peut pas la déterminer
$\quad$

Question 3 :

Dans une urne il y a $6$ boules noires et $4$ boules rouges. On effectue successivement $10$ tirages aléatoires avec remise. Quelle est la probabilité (à $10^{-4}$ près) d’avoir $4$ boules noires et $6$ boules rouges ?

a. $0,166~2$
b. $0,4$
c. $0,111~5$
d. $0,888~6$
$\quad$

Question 4 :

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=3\e^x-x$.

a. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=3$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
c. $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
d. On ne peut pas déterminer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
$\quad$

Question 5 :

On code inconnu est constitué de $8$ signes. Chaque signe peut être une lettre ou un chiffre. Il y a donc $36$ signes utilisables pour chacune des positions.
Un logiciel de cassage de code teste environ cent millions de codes par seconde.
En combien de temps au maximum le logiciel peut-il découvrir le code ?

a. environ $0,3$ seconde
b. environ $8$ heures
c. environ $3$ heures
d. environ $470$ heures
$\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Au 1$\ier$ janvier 2020, la centrale solaire de Big Sun possédait $10~560$ panneaux solaires. On observe, chaque année, que $2 \%$ des panneaux se sont détériorés et nécessitent d’être retirés tandis que $250$ nouveaux panneaux solaires sont installés.

Partie A – Modélisation à l’aide d’une suite

On modélise l’évolution du nombre de panneaux solaires par la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 10~560$ et, pour tout entier naturel $n$, $u{n+1}= 0,98u_n + 250$, où $u_n$ est le nombre de panneaux solaires au 1er janvier de l’année 2020 $+ n$.

  1. a. Expliquer en quoi cette modélisation correspond à la situation étudiée.
    $\quad$
    b. On souhaite savoir au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires sera strictement supérieur à $12~000$. À l’aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.
    $\quad$
    c. Recopier et compléter le programme en Python ci-dessous de sorte que la valeur cherchée à la question précédente soit stockée dans la variable $\text{n}$ à l’issue de l’exécution de ce dernier.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 10560} \\
    \text{n = 0} \\
    \textbf{while } \text{……….} \\
    \quad \text{u = ……….}\\
    \quad \text{n = ……….}\\
    \hline
    \end{array}$$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n < 12~500$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
    $\quad$
  4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge. Il n’est pas demandé, ici, de calculer sa limite.
    $\quad$
  5. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=u_n-12~500$, pour tout entier naturel $n$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$ dont in précisera le premier terme.
    $\quad$
    b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte du modèle.
    $\quad$

Partie B – Modélisation à l’aide d’une fonction

Une modélisation plus précise a permis d’estimer le nombre de panneaux solaires de la centrale à l’aide de la fonction $f$ définie pour tout $x \in [0 ; +\infty[$ par $f(x) = 12~500-500\e^{-0,02x+1,4}$, où $x$ représente le nombre d’années écoulées depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  3. En utilisant ce modèle, déterminer au bout de combien d’années le nombre de panneaux solaires dépassera $12~000$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

$ABCDEFGH$ est un cube. $I$ est le centre de la face $ADHE$ et $J$ est un point du segment $[CG]$. Il existe donc $a \in [0 ; 1] $tel que $\vect{CJ}=a\vect{CG}$.

On note $(d)$ la droite passant par $I$ et parallèle à $(FJ)$.

On note $K$ et $L$ les points d’intersection de la droite $(d)$ et des droites $(AE)$ et $(DH)$.

On se place dans le repère $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Partie A : Dans cette partie $a=\dfrac{2}{3}$

 

 

  1. Donner les coordonnées des points $F$, $I$ et $J$.
    $\quad$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    $\quad$
  3. a. Montrer que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{2}{3}\right)$ est le point $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $L$, intersection des droites $(d)$ et $(DH)$.
    $\quad$
  4. a. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
    $\quad$
    b. Démontrer que le quadrilatère $FJLK$ est un losange.
    $\quad$
    c. Le quadrilatère $FJLK$ est-il un carré?
    $\quad$

Partie B : Cas général

On admet que les coordonnées des points $K$ et $L$ sont : $K\left(o; 0; 1-\dfrac{a}{2}\right)$ et $L\left(0; 1; \dfrac{a}{2}\right)$.
On rappelle que $a \in [0 ; 1]$.

  1. Déterminer les coordonnées de $J$ en fonction de $a$.
    $\quad$
  2. Montrer que le quadrilatère $FJLK$ est un parallélogramme.
    $\quad$
  3. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un losange ? Justifier.
    $\quad$
  4. Existe-t-il des valeurs de $a$ telles que le quadrilatère $FJLK$ soit un carré ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Fonction $\boldsymbol{\ln}$

Partie A

Dans un pays, une maladie touche la population avec une probabilité de $0,05$. On possède un test de dépistage de cette maladie.
On considère un échantillon de $n$ personnes $(n \pg 20)$ prises au hasard dans la population assimilé à un tirage avec remise.

On teste l’échantillon suivant cette méthode : on mélange le sang de ces $n$ individus, on teste le mélange. Si le test est positif, on effectue une analyse individuelle de chaque personne.
Soit $X_n$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’analyses effectuées.

  1.  Montrer $X_n$ prend les valeurs $1$ et $(n + 1)$.
    $\quad$
  2. Prouver que $P\left(X_n = 1\right) = 0,95^n$.
    Établir la loi de $X_n$ en recopiant sur la copie et en complétant le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline
    x_i&1&n+1\\
    \hline
    P\left(X_n=x_i\right)&\phantom{123456}&\phantom{123456}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3.  Que représente l’espérance de $X_n$ dans le cadre de l’expérience ?
    Montrer que $E\left(X_ n\right) = n + 1-n \times 0,95^n$.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $[20;+\infty[$ par $f(x)=\ln(x)+x\ln(0,95)$.
    Montrer que $f$ est décroissante sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$
  2. On rappelle que $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$. Montrer que $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  3. Montrer que $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[20;+\infty[$.
    Donner un encadrement à $0,1$ près de cette solution.
    $\quad$
  4. En déduire le signe de $f$ sur $[20;+\infty[$.
    $\quad$

Partie C

On cherche à comparer deux types de dépistages. La première méthode est décrite dans la partie A, la seconde, plus classique, consiste à tester tous les individus.
La première méthode permet de diminuer le nombre d’analyses dès que $E\left(X_n\right) < n$.

En utilisant la partie B, montrer que la première méthode diminue le nombre d’analyses pour des échantillons comportant $87$ personnes maximum.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Équation différentielle

Partie A : Détermination d’une fonction $\boldsymbol{f}$ et résolution d’une équation différentielle

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=\e^x+ax+b\e^{-x}$$
où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l’on propose de déterminer dans cette partie.

Dans le plan muni d’un repère d’origine $O$, on a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$, représentant la fonction $f$, et la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.

  1.  Par lecture graphique, donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
    $\quad$
  2. En utilisant l’expression de la fonction $f$, exprimer $f(0)$ en fonction de $b$ et en déduire la valeur de $b$.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    a. Donner, pour tout réel $x$, l’expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Exprimer $f'(0)$ en fonction de $a$.
    $\quad$
    c. En utilisant les questions précédentes, déterminera, puis en déduire l’expression de $f(x)$.
    $\quad$
  4. On considère l’équation différentielle : $$(E) : y’ + y = 2\e^x-x-1$$
    a. Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \e^x-x+2\e^{-x}$$
    est solution de l’équation $(E)$.
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation différentielle $y’ + y = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire toutes les solutions de l’équation $(E)$.
    $\quad$

Partie B : Étude de la fonction $\boldsymbol{[g}$ sur $\boldsymbol{[1 ; +oo[}$

  1. Vérifier que pour tout réel $x$, on a $$\e^{2x}-\e^x-2=\left(\e^x-2\right)\left(\e^x+1\right)$$
    $\quad$
  2. En déduire une epression factorisée de $g'(x)$, pour tout réel $x$.
    $\quad$
  3. On admettra que, pour tout $x\in [1;+\infty[$, $\e^x-2>0$.
    Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $[1 ; +\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – mars 2021

Centres étrangers – mars 2021

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-2x}+x\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=(1-2x)\e^{-2x}\end{align*}$
    La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-2\e^{-2x}+(1-2x)\times \left(-2\e^{-2x}\right)\\
    &=\left(-2-2(1-2x)\right)\e^{-2x} \\
    &=(-4+4x)\e^{-2x} \\
    &=4(x-1)\e^{-2x}\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  2. Le nombre de combinaisons possibles est :
    $\begin{align*} N&=\dbinom{12}{3} \\
    &=220\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. $f'(x)>0$ sur $[2;5]$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On appelle $A$ l’événement « La puce possède le défaut A » et $B$ l’événement « La puce possède le défaut B ».
    Ainsi $p(A)=0,028$, $p(B)=0,022$ et $p\left(\conj{A\cup B}\right)=0,954$.
    Par conséquent $p(A\cup B)=1-0,954=0,046$.
    Or
    $\begin{align*} p(A\cap B)&=p(A)+p(B)-p(A\cap B) \\
    &=0,028+0,022-0,046\\
    &=0,004\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ donc $f’$ est positive sur cet intervalle.
    Réponse b
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$

  2. On a
    $\begin{align*} P(R\cap J)&=P(R)\times P_R(J) \\
    &=0,17\times 0,32\\
    &=0,0544\end{align*}$
    $\quad$
  3. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} &P(J)=P(R)\times P_R(J)+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,11=0,0544+P\left(\conj{R}\cap J\right) \\
    \ssi&0,0556=P\left(\conj{R}\cap J\right) \end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Ainsi :
    $\begin{align*} P_{\conj{R}}(J)&=\dfrac{P\left(\conj{R}\cap J\right) }{P\left(\conj{R}\right)} \\
    &\approx \dfrac{0,056}{1-0,17} \\
    &\approx 0,067\end{align*}$
    La proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est environ égale à $0,067$.
    $\quad$

Partie B

  1. On réalise $50$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues $R$ et $\conj{R}$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,17$.
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{50}{5}\times 0,17^5 \times 0,83^{45} \\
    &\approx 0,069\end{align*}$
    La probabilité d’avoir $5$ personnes utilisant les transports en commun parmi les $50$ interrogées est environ égale à $0,069$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice $P(X\pp 13)\approx 0,964>0,95$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$
  4. L’espérance de $X$ est $E(X)=np=8,5$.
    Il y a donc en moyenne $8,5$ personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On a
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 5~000+450 \\
    &=4~700\end{align*}$
    $\quad$
  2. Soit $n\in \N$.
    Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer. Cela représente donc $0,85a_n$.
    Chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
    Par conséquent $a_{n+1}=0,85a_n+450$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=a_n-3~000 \ssi a_n=v_n+3~000$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-3~000\\
    &=0,85a_n+450-3~000\\
    &=0,85a_n-2~550\\
    &=0,85\left(v_n+3~000\right)-2~550 \\
    &=0,85v_n+2~550-2~550\\
    &=0,85v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $v_0=200-3~000=-2~800$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, $v_n=-2~800\times 0,85^n$.
    $\quad$
    c. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a
    \begin{align*} a_n&=v_n+3~000 \\
    &=-2~800\times 0,85^n+3~000\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n>2~500 &\ssi -2~800\times 0,85^n+3~000>2~500 \\
    &\ssi -2~800 \times 0,85^n >-500 \\
    &\ssi 0,85^n <\dfrac{5}{28} \\
    &\ssi n\ln(0,85)<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \\
    &\ssi n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)} \approx 10,6$
    C’est donc au bout du $11$ème mois que le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{5(x+2)-(5x+4)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{6}{(x+2)^2} \\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=3$
    Ainsi $0\pp u_0 \pp u_1 \pp 4$ et la propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 4$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(4)$
    Soit $0\pp 2 \pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 4$
    La propriété est vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp _{n+1} \pp 4$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. Elle converge.
    $\quad$
  3. $-1< \dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} 4-u_n=0$ soit $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
    Sur le long terme, $4~000$ collaborateurs seront satisfaits par cette mesure.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

  1. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 1\\0\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-2\\5\\1\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=-2+0+2=0$.
    Ces deux vecteurs sont donc orthogonaux et le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    $\quad$
  2. a. $\vec{n}.\vect{AB}=2+0-2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=-4+5-1=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est par conséquent normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $A$ appartient au plan $(ABC)$
    Par conséquent $4-1+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $2x+y-z-3=0$.
    $\quad$
    c. $2\times 0+1-4-3=-6\neq 0$.
    Le point $S$ n’appartient donc pas au plan $(ABC)$.
    Les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont, par conséquent, pas coplanaires.
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
    Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $\begin{cases} x=2t\\y=1+t\\z=4-t\end{cases} \quad t\in \R$.
    $\quad$
    b. $2\times 2\times 2+2-3-3=0$ : le point de coordonnées $(2;2;3)$ appartient au plan $(ABC)$
    En prenant $t=1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on retrouve le point de coordonnées $(2;2;3)$. Il appartient ainsi à la droite $(d)$.
    Les coordonnées du point $H$ sont donc $(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. Aire de la base :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AB\times AC}{2}\\
    &=\dfrac{\sqrt{1^2+0^2+2^2}\times \sqrt{(-2)^2+5^2+1^2}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{30}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{150}}{2}\end{align*}$
    Hauteur :
    $\begin{align*} SH&=\sqrt{2^2+(2-1)^2+(3-4)$2} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$
    Le volume du tétraèdre est donc
    $\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{150}}{2}\times \sqrt{6}}{3}\\
    &=5\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $SA\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} SA&=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{24}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $SB\begin{pmatrix}3\\-2\\-2\end{pmatrix}$
    D’une part $\vect{SA}.\vect{SB}=6+4+8=18$;
    D’autre part $\vect{SA}.\vect{SB}=SA\times SB\times \cos\widehat{ASB}$

    Donc $\sqrt{24}\times \sqrt{17} \cos\widehat{ASB}=18$
    D’où $ \cos\widehat{ASB}=\dfrac{18}{\sqrt{408}}$
    Donc $ \widehat{ASB} \approx 27,0$°
    $\quad$

 

Ex B

Exercice B

Partie A

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2\times \left(-\dfrac{1}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}\right)+\dfrac{2}{3} \\
    &=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On a $g'(x)=\dfrac{2}{3}\left(1-\e^{\frac{-1}{3}x}\right)$
    Ainsi $g'(x)=0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}=0 \ssi \dfrac{-1}{3}x=0 \ssi x=0$
    $g'(x)>0 \ssi 1-\e^{\frac{-1}{3}x}>0 \ssi \e^{\frac{-1}{3}x}<1 \ssi x<0$
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;0]$ et strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Or $g(0)=2-2=0$.
    Ainsi $g(x)<0$ pour tout réel $x$ non nul et $g(0)=0$.
    $\quad$

Partie B

  1. $3y’+y=0 \ssi y’=-\dfrac{1}{3}y$
    Les solutions de cette équation sont donc les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=K\e^{\frac{-1}{3}x}$ où $K\in \R$.
    $\quad$
  2. On veut que $f(0)=2$ soit $K=2$.
    Par conséquent la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}$.
    Ainsi $f'(0)=-\dfrac{2}{3}$ et $f(0)=2$.
    Une équation de $\left(\Delta_0\right)$ est donc $y=-\dfrac{2}{3}x+2$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)-\left(-\dfrac{2}{3}x+2\right) &=g(x) \\
    &\pp 0\end{align*}$
    La courbe $\mathcal{C}_f$ est donc toujours située sous la droite $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie B

  1. Une équation de $\left(\Delta_a\right)$ est $y=-\dfrac{2}{3}\e^{\frac{-a}{3}}(x-a)+2\e^{\frac{-a}{3}}$
    Soit $y=2\e^{\frac{-a}{3}}\left(-\dfrac{1}{3}(x-a)+1\right)$.
    L’abscisse du point d’intersection de cette droite avec l’axe des abscisses vérifie donc
    $-\dfrac{1}{3}(x-a)+1=0\ssi x-a=3 \ssi x=a+3$.
    La tangente $\left(\Delta_a\right)$ coupe l’axe des abscisses au point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. La droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ coupe donc l’axe des abscisses au point d’abscisse $1$.
    Ainsi la droite $\left(\Delta_{-2}\right)$ passe par le point $B$ et le point de coordonnées $(1;0)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une
seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n’est demandée.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse
ne rapporte ni n’enlève aucun point.

  1. On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{-2x}$. On note $f\dsec$ la dérivée seconde de la fonction $f$.
    Quel que soit le réel $x$, $f\dsec(x)$ est égal à :
    a. $(1-2x)\e^{-2x}$
    b. $4(x-1)\e^{-2x}$
    c. $4\e^{-2x}$
    d. $(x+2)\e^{-2x}$
    $\quad$
  2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
    Le nombre de combinaisons possibles est :
    a. $1~728$
    b. $1~320$
    c. $220$
    d. $33$
    $\quad$
  3. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f’$ fonction dérivée d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; 7]$.


    Le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $[0;7]$ est :


    $\quad$

  4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
    Une étude statistique montre que $2,8 \%$ des puces ont le défaut A, $2,2 \%$ des puces ont le défaut B et, heureusement, $95,4 \%$ des puces n’ont aucun des deux défauts.
    La probabilité qu’une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
    a. $0,05$
    b. $0,004$
    c. $0,046$
    d. On ne peut pas le savoir
    $\quad$
  5. On se donne une fonction $f$, supposée dérivable sur $\R$, et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ :

    D’après ce tableau de variation :
    a. $f’$ est positive sur $\R$
    b. $f’$ est positive sur $]-\infty;-1[$
    c. $f’$ est négative sur $\R$
    d. $f’$ est positive sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à $10^{-3}$.

D’après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent $17 \%$ de la population française. Parmi ces utilisateurs réguliers, $32 \%$ sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans.

(Source : TNS-Sofres)

Partie A

On interroge une personne au hasard et on note :

  • $R$ l’événement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
  • $J$ l’événement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».
  1. Représentez la situation à l’aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l’énoncé.

    $\quad$

  2. Calculer la probabilité $P(R\cap J)$.
    $\quad$
  3. D’après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent $11 \%$ de la
    population française.
    Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n’utilisant pas régulièrement les transports en commun est $0,056$ à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.
    $\quad$

Partie B :

Lors d’un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard $50$ personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun.
La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit $X$ la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées.

  1. Déterminer, en justifiant, la loi de $X$ et préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer $P(X=5)$ et interpréter le résultat.
    $\quad$
  3. Le recenseur indique qu’il y a plus de $95 \%$ de chance pour que, parmi les $50$ personnes interrogées, moins de $13$ d’entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.
    Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les $50$ personnes interrogées ?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s’inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses $5~000$ collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l’entreprise.
En mai 2020, seuls $200$ d’entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l’entreprise constatent que $85 \%$ de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, $450$ collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.

On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite $\left(a_n\right)$.

Le terme $a_n$ désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le $n$-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi $a_0=200$.

Partie A :

  1. Calculer $a_1$.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $$a_{n+1}=0,85a_n+450$$
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n=a_n-3~000$$
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $$a_n=-2~800\times 0,85^n+3~0000$$
    $\quad$
  4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à $2~500$, après la mise en place de cette mesure dans l’entreprise.
    $\quad$

Partie B :

Afin d’évaluer l’impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l’entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l’aide de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$$
où $u_n$ désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de 푛 mois après le mois de mai 2020.

  1. Démontrer que la fonction $f$ définie pour tout $x\in [0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $$0\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 4$$
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On admet que pour tout entier naturel $$0\pp 4-u_n\pp 3\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$$
    En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et l’interpréter dans le contexte de la modélisation.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Géométrie dans l’espace

Dans un repère orthonormé de l’espace, on considère les points suivants : $$A(2;-1;0) ; B(3;-1;2) ; C(0;4;1) \text{ et } S(0;1;4)$$

  1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
    $\quad$
  2. a. Montrer que le vecteur$\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    b. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Montrer que les points $A$, $B$, $C$ et $S$ ne sont pas coplanaires.
    $\quad$
  3. Soit $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $S$. Elle coupe le plan
    $(ABC)$ en $H$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$.
    $\quad$
    b. Montrer que les coordonnées du point $H$ sont $H(2;2;3)$.
    $\quad$
  4. On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est $V =  \dfrac{\text{Aire de la base $\times$ hauteur}}{3}$.
    Calculer le volume du tétraèdre $SABC$.
    $\quad$
  5. a. Calculer la longueur $SA$.
    $\quad$
    b. On indique que $SB=\sqrt{17}$.
    En déduire une mesure de l’angle $\widehat{ASB}$ approchée au dixième de degré.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Équations différentielles

Partie A :

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=2\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x-2$$

  1. On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$ :$$g'(x)=\dfrac{-2}{3}\e^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}$$
    $\quad$
  2. En déduire le sens de variations de la fonction $g$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Déterminer le signe de $g(x)$, pour tout $x$ réel.
    $\quad$

Partie B

  1. On considère l’équation différentielle $$(E): \quad 3y’+y=0$$
    Résoudre l’équation différentielle $(E)$.
    $\quad$
  2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point $M(0;2)$.
    $\quad$
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2\e^{-\dfrac{1}{3}x}$$
    et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
    a. Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $M(0;2)$ admet une équation de la forme : $$y=-\dfrac{2}{3}x+2$$
    $\quad$
    b. Étudier, sur $\R$, la position de cette courbe $\mathcal{C}_f$ par rapport à la tangente $\left(\Delta_0\right)$.
    $\quad$

Partie C :

  1. Soit $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$, $a$ réel quelconque.
    Montrer que la tangente $\left(\Delta_0\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $a$ coupe l’axe des abscisses en un point $P$ d’abscisse $a+3$.
    $\quad$
  2. Expliquer la construction de la tangente $\left(\Delta_{-2}\right)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $B$ d’abscisse $-2$.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – mai 2021

Amérique du Nord – Mars 2021

Spécialité maths – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
  2. $\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    P(T)&=P(D)\times P_D(T)+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(T)\\
    &=0,08\times 0,98+0,92\times 0,005\\
    &=0,083\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On veut calculer
    $\begin{align*} P_T(D)&=\dfrac{P(T\cap D)}{P(T)}\\
    &=\dfrac{0,08\times 0,98}{0,083}\\
    &\approx 0,945\end{align*}$
    La probabilité qu’un athlète soit dopé sachant qu’il présente un test positif est environ égale à $0,945$.
    $\quad$
    b. $0,945<0,95$. Le test proposé par le laboratoire ne sera donc pas commercialisé.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On effectue $5$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : « le test est positif », de probabilité $0,103$ et « le test est négatif ».
    La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,103$.
    $\quad$
    b. Ainsi, $E(X)=np=0,515$.
    En moyenne, sur $5$ athlètes testés, environ $0,5$ est positif. Cela peut se traduire par sur $10$ athlètes testés, environ $1$ est positif.
    $\quad$
    c. On veut calculer
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-0,103)^5 \\
    &\approx 0,419\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif est environ égale à $0,419$.
    $\quad$
  2. On appelle $n$ le nombre d’athlètes contrôlés et note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $n$ athlètes contrôlés. Pour les mêmes raisons qu’à la question 1. $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,103$.
    On veut
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,75& \ssi 1-P(Y=0)\pg 0,75 \\
    &\ssi 1-(1-0,103)^n \pg 0,75 \\
    &\ssi 0,897^n \pp 0,25\\
    &\ssi n\ln(0,897) \pp \ln(0,25) \qquad \text{($\ln$ est strictement décroissante sur $\R$)}\\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,25)}{\ln(0,897)}\approx 12,75$
    Il faut donc contrôler au minimum $13$ personnes pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. $u_1=0,75\times 0,6\times (1-0,15\times 0,6)=0,409~5$
    Il y avait donc $410$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $u_2=0,75\times 0,409~5\times (1-0,15\times 0,409~5)\approx 0,288$
    Il y avait donc $288$ individus sur l’île au début de l’année 2021.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout $x\in [0;1]$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=0,75(1-0,15x)-0,75x\times 0,15 \\
    &=0,75-0,225x\end{align*}$
    Or $0,75-0,225x>0 \ssi 0,75>0,225x\ssi \dfrac{10}{3}>x$
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur $[0;1]$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
    $\quad$
    On obtient le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,75x(1-0,15x)=x \\
    &\ssi 0,75x(1-0,15x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,75(1-0,15x)-1\right)=0\\
    &\ssi x(0,75-0,112~5x-1)=0\\
    &\ssi x(-0,25-0,112~5x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } -0,25-0,112~5x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=-\dfrac{20}{9} \end{align*}$
    Or $-\dfrac{20}{9} \notin [0;1]$
    $0$ est donc la seule solution appartenant à $[0;1]$ de l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  4. a. Initialisation : $u_0=0,6$ et $u_1=0,409~5$.
    Par conséquent $0\pp u_1 \pp u_0\pp 1$.
    La propriété est vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Donc $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$. Par conséquent :
    $f(0) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(1)$
    soit
    $0 \pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 0,637~5 \pp 1$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle converge par conséquent vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) sur $[0;1]$. $\ell$ est donc solution de l’équation $f(x)=x$.
    D’après la question 3. $\ell =0$.
    $\quad$
  5. a. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $0$. Selon ce modèle, le biologiste a effectivement raison.
    $\quad$
    b. La fonction menace() renvoie la valeur $11$.
    Cela signifie donc qu’il faut $11$ ans pour que l’espèce soit menacée d’extinction sur cette île selon le modèle étudié.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Les points $K$ et $H$ appartiennent au plan $(AED)$. Pour qu’une droite passant par $A$ soit parallèle à la droite $(KH)$ il faut que tous ses points appartiennent au plan $(AED)$. Or $I$ n’appartient pas à ce plan.
    Les droites $(AI)$ et $(KH)$ ne sont donc pas parallèles.
    $\quad$
  2. a. $I$ a pour coordonnées $(0,5;0;1)$ et $J$ a pour coordonnées $(1;0,5;0)$.
    $\quad$
    b. Ainsi $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\-1\end{pmatrix}$, $\vect{AE}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$
    On constate donc que $\vect{AC}=2\vect{AI}+2\vect{AE}$.
    Cela signifie que les vecteurs $\vect{AC}$, $\vect{AI}$ et $\vect{AE}$ sont coplanaires.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $d_1$ est $\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $d_2$ est $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{1}{1}\neq \dfrac{1}{-2}$ : par conséquent les vecteurs $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ ne sont pas colinéaires et les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plan $P$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{u_2}=1+3-4=0$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u_2}$ sont donc orthogonaux.
    La droite $d_2$ est par conséquent parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  5. $4+3\times 0-2\times 3+2=4-6+2=0$ donc $L$ appartient au plan $P$.
    $\vect{LM}\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\end{pmatrix}=\vec{n}$.
    $\vect{LM}$ est donc normal au plan $P$.
    Par conséquent $L$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $P$.
    $\quad$

Ex A

Exercice A

Affirmation 1 fausse:
Si $a=0$ et $b=0$ alors  :

  • $\left(\e^{a+b}\right)^2=\left(\e^0\right)^2=1^2=1$
  • $\e^{2a}+\e^{2b}=\e^0+\e^0=1+1=2$

Donc $\left(\e^{a+b}\right)^2\neq \e^{2a}+\e^{2b}$ si $a=0$ et $b=0$.

$\quad$

Affirmation 2 vraie:
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} f'(x)&=-\e^x+(3-x)\e^x\\
&=(-1+3-x)\e^x\\
&=(2-x)\e^x\end{align*}$
Par conséquent $f'(0)=2$ et $f(0)=-2+3=1$
Une équation de la tangente au point $A$ à la courbe représentative de la fonction $f$ est $y=f'(0)x+f(0)$ soit $y=2x+1$.

$\quad$

Affirmation 3 fausse:
Pour tout réel $x$ $\e^{2x}-\e^{x}+\dfrac{3}{x}=\e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{x}=0$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\e^x-1\right)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x\left(\e^x-1\right)+\dfrac{3}{x}=+\infty$

$\quad$

Affirmation 4 vraie:
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;2]$ par $f(x)=1-x+\e^{-x}$.
$f$ est dérivable sur $[0;2]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\in[0;2]$, $f'(x)=-1-\e^{-x}<0$ car la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;2]$.
De plus $f(0)=2>0$ et $f(2)=-1+\e^{-2}\approx -0,86<0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution.

$\quad$

Affirmation 5 vraie:
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)=2x-5+\e^x$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$, $g\dsec(x)=2+\e^x>0$. car la fonction exponentielle est strictement positive.
Ainsi $g$ est convexe sur $\R$.

$\quad$

Ex B

Exercice B

  1. Le point $A(1;4)$ appartient à $C_f$ donc $f(1)=4$.
    La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point $A(1;4)$. Donc $f'(1)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{b}{x}\times x-\left(a+b\ln(x)\right)}{x^2} \\
    &=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. En utilisant l’expression algébrique de $f(x)$ fournie et la réponse à la question précédente on a $f(1)=a$ et $f'(1)=b-a$.
    Par conséquent $\begin{cases} a=4\\b-a=0\end{cases} \ssi \begin{cases} a=4\\b=4\end{cases}$.
    $\quad$
  4. $\lim\limits_{x\to 0^+} 4+4\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x}=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
    Pour tout réel $x>0$,
    $f(x)=\dfrac{4}{x}+4\times \dfrac{\ln(x)}{x}$.
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{4}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  5. On a donc, d’après l’expression de $f'(x)$ trouvée à la question 2. $f'(x)=\dfrac{-4\ln(x)}{x^2}$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-\ln(x)$.
    Or $-\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $-\ln(x)>0 \ssi x<1$.
    On obtient ainsi le tableau suivant :
    $\quad$
  6. Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=-\dfrac{4\ln(x)}{x^2}$.
    $f’$ est donc dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\dfrac{\dfrac{4}{x}\times x^2-4\ln(x)\times 2x}{x^4} \\
    &=-\dfrac{4x-8x\ln(x)}{x^4}\\
    &=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  7. Sur $]0;+\infty[$, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-4+8\ln(x)$.
    Or $-4+8\ln(x)=0\ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    et $-4+8\ln(x)>0 \ssi \ln(x)>\dfrac{1}{2} \ssi x>\e^{1/2}$
    Ainsi $f\dsec{x}$ s’annule en changeant de signe en $\e^{1/2}$.
    De plus $f\left(\e^{1/2}\right)=\dfrac{4+4\times \dfrac{1}{2}}{\e^{1/2}}=6\e^{-1/2}$
    Ainsi $f$ possède un unique point d’inflexion $B$ de coordonnées $\left(\e^{1/2};6\e^{-1/2}\right)$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     5 points

Les probabilités demandées dans cet exercice seront arrondies à $10^{-3}$.

Un laboratoire pharmaceutique vient d’élaborer un nouveau test anti-dopage.

Partie A

Une étude sur ce nouveau test donne les résultats suivants :

  • si un athlète est dopé, la probabilité que le résultat du test soit positif est $0,98$ (sensibilité du test) ;
  • si un athlète n’est pas dopé, la probabilité que le résultat du test soit négatif est $0,995$ (spécificité du test).

On fait subir le test à un athlète sélectionné au hasard au sein des participants à une compétition d’athlétisme. On
note $D$ l’événement « l’athlète est dopé » et $T$ l’événement « le test est positif ». On admet que la probabilité de l’événement $D$ est égale à $0,08$.

  1. Traduire la situation sous la forme d’un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(T)= 0,083$.
    $\quad$
  3. a. Sachant qu’un athlète présente un test positif, quelle est la probabilité qu’il soit dopé ?
    $\quad$
    b. Le laboratoire décide de commercialiser le test si la probabilité de l’événement « un athlète présentant un
    test positif est dopé » est supérieure ou égale à $0,95$.
    Le test proposé par le laboratoire sera-t-il commercialisé ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Partie B

Dans une compétition sportive, on admet que la probabilité qu’un athlète contrôlé présente un test positif est $0,103$.

  1. Dans cette question 1., on suppose que les organisateurs décident de contrôler 5 athlètes au hasard parmi les
    athlètes de cette compétition. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d’athlètes présentant un test
    positif parmi les $5$ athlètes contrôlés.
    a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.
    $\quad$
    b. Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
    c. Quelle est la probabilité qu’au moins un des $5$ athlètes contrôlés présente un test positif ?
    $\quad$
  2. Combien d’athlètes faut-il contrôler au minimum pour que la probabilité de l’événement « au moins un athlète
    contrôlé présente un test positif » soit supérieure ou égale à $0,75$ ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Un biologiste s’intéresse à l’évolution de la population d’une espèce animale sur une île du Pacifique.
Au début de l’année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l’espèce sera menacée d’extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à $20$ individus.

Le biologiste modélise le nombre d’individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0&=0,6\\u_{n+1}&=0,75u_n\left(1-0,15u_n\right)\end{cases}$$

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d’individus, en milliers, au début de l’année 2020 $+n$.

  1. Estimer, selon ce modèle, le nombre d’individus présents sur l’île au début de l’année 2021 puis au début
    de l’année 2022.
    $\quad$

Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;1]$ par $f(x)=0,75x(1-0,15x)$.

  1. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0;1]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0;1]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$

On remarquera pour la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

  1. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \pp u_{n+1} \pp u_n \pp 1$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    c. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. Le biologiste a l’intuition que l’espèce sera tôt ou tard menacée d’extinction.
    a. Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
    $\quad$
    b. Le biologiste a programmé en langage Python la fonction menace() ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def menace():}\\
    \quad \text{u = 0.6}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while u > 0.02:}\\
    \qquad \text{u = 0.75 * u * (1 – 0.15 * u)}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu’on appelle la fonction menace().
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

On considère un cube $ABCDEFGH$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, le point $J$ est le milieu du segment $[BC]$ et le point $K$ est le milieu du segment $[AE]$.

 

  1.  Les droites $(AI)$ et $(KH)$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$

Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.

  1. a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
    $\quad$
    b. Montrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ , $\vect{AE}$ et $\vect{AC}$ sont coplanaires.
    $\quad$

On considère le plan $P$ d’équation $x+3y-2z+2=0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous : $$d_1:\begin{cases} x=3+t\\y=8-2t\\z=-2+3t\end{cases}, t\in \R \quad \text{et} \quad d_2:\begin{cases} x=4+t\\y=1+t\\z=8+2t\end{cases}, t\in \R$$.

  1. Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  2. Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $P$.
    $\quad$
  3. Montrer que le point $L(4;0;3)$ est le projeté orthogonal du point $M(5;3;1)$ sur le plan $P$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice au choix du candidat (5 points)
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle
  • Convexité

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. On justifiera chaque réponse.

Affirmation 1 : Pour tous réels $a$ et $b$, $\left(\e^{a+b}\right)^2=\e^{2a}+\e^{2b}$.
$\quad$

Affirmation 2 : Dans le plan muni d’un repère, la tangente au point $A$ d’abscisse $0$ à la courbe représentative de
la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2+(3-x)\e^x$
admet pour équation réduite $y=2x+1$.
$\quad$

Affirmation 3 : $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}-\e^x+\dfrac{3}{x}=0$.
$\quad$

Affirmation 4 : L’équation $1-x+\e^{-x}=0$ admet une seule solution appartenant à l’intervalle $[0 ; 2]$.
$\quad$

Affirmation 5 : La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x^2-5x+\e^x$ est convexe.
$\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction logarithme népérien
  • Convexité

Dans le plan muni d’un repère, on considère ci-dessous la courbe $C_f$ représentative d’une fonction $f$, deux fois
dérivable sur l’intervalle $]0;+\infty[$. La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale $T$ au point $A(1;4)$.

  1.  Préciser les valeurs $f(1)$ et $f'(1)$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{a+b\ln(x)}{x}$$
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

  1. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f'(x)=\dfrac{b-a-b\ln(x)}{x^2}$$
    $\quad$
  2. En déduire les valeurs des réels $a$ et $b$.
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, on admet que la fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0;+\infty[$ par :^$$f(x)=\dfrac{4+4\ln(x)}{x}$$

  1. Déterminer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer le tableau de variations de $f$ sur l’intervalle $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a : $$f\dsec(x)=\dfrac{-4+8\ln(x)}{x^3}$$
    $\quad$
  4. Montrer que la courbe $C_f$ possède un unique point d’inflexion $B$ dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$

$\quad$