Bac – Polynésie – jour 1 – septembre 2024

Polynésie – 5 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On veut calculer
$\begin{align*} P(E\cap B)&=P(E)\times P_E(B) \\
&=0,6\times 0,75 \\
&=0,45\end{align*}$
La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est égale à $0,45$.
$\quad$
$^\left(E,\conj{E}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(E\cap B)+P\left(\conj{E}\cap B\right) \\
&=0,45+P\left(\conj{E}\right)P_{\conj{E}}(B) \\
&=0,45+0,4\times 0,52 \\
&=0,45+0.208 \\
&=0,658\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_B(E)&=\dfrac{P(E\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{0,45}{0,658} \\
&\approx 0,684\end{align*}$
La probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout électrique sachant qu’il a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile est environ égale à $0,684$.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,658$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,658$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} P(X=8)&=\dbinom{20}{8}0,658^8\times (1-0,658)^{12} \\
&\approx 0,011\end{align*}$
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} P(X\pg 10)&=1-P(X<10) \\
&=1-P(X\pp 9) \\
&\approx 0,955\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10$ acheteurs puissent installer une borne de recharge est environ égale à $0,955$.
$\quad$
d. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=np\\
&=20\times 0,658 \\
&=13,16\end{align*}$
$\quad$
e. En moyenne, elle doit prévoir d’engager $1~200\times 13,16=15~795$ €.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\e^x+1>0$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
L’affirmation A est vraie.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ donc $-2\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=-2$ admet une unique solution.
L’affirmation B est fausse.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=\dfrac{\ln(x)}{3x^2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3x^2}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x^2}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
L’affirmation C est vraie.
$\quad$
La fonction $k$ est continue sur $\R$ par hypothèse. Elle admet donc une primitive sur $\R$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Donc, pour tout réel $x$ on a $k(x)>0$.
Toutes les primitives de $k$ sont donc strictement croissante sur $\R$.
L’affirmation D est fausse.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a donc, $g'(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-x/3}$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} -3g'(x)+g(x)&=-4\e^{-x/3}+1+4\e^{-x/3} \\
&=1\end{align*}$
Donc $g$ est solution de l’équation $(E)$.
De plus $g(0)=4+1=5$.
L’affirmation E est vraie.
$\quad$
Autre méthode : Les solutions de l’équation différentielle sont de la forme $g:~x\mapsto C\e^{-x/3}+1$ avec $C\in \R$.
$g(0)=5\ssi C+1=5 \ssi C=4$.
Par conséquent $g(x)=4\e^{-x/3}+1$.
$\quad$
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ (sur $[0;1]$ suffit en fait ici) définies par $$\begin{array}{lll} u(x)=x&\phantom{1234}&u'(x)=1 \\v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x} \end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*}\int_0^1 x\e^{-x}\dx &=\Big[-x\e^{-x}\Big]0^1-\int_0^1 \left(-\e^{-x}\right)\dx \\
&=-\e^{-1}+\int_0^1 \e^{-x}\dx \\
&=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
&=-\e^{-1}-\e^{-1}+1 \\
&=1-2\e^{-1}\end{align*}$
L’affirmation F est vraie.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Le premier étage contient $1$ boule.
Le deuxième étage contient $2^2=4$ boules.
Le troisième étage contient $3^2=9$ boules.
Le quatrième étage contient $4^2=16$ boules.
Une pyramide de $4$ étages contient donc $1+4+9+16=30$ boules.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} S_5&=u_1+u_2+u_3+u_4+u_5\\
&=1+4+9+16+25 \\
&=55\end{align*}$
Une pyramide de $5$ étages contient donc $55$ boules.
$\quad$
b. On peut écrire :

Python

def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = S + i**2 return S

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def pyramide(n):
     S = 0
     for i in range(1,n+1):
          S = S + i**2
     return S

c. Soit $n$ un entier naturel.
D’une part :
$\begin{align*} \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(n(2n+1)+6(n+1)\right)\\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+n+6n+6\right)\\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} \dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \\
&=\dfrac{n+1}{6}(n+2)(2n+3) \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+3n+4n+6\right) \\
&=\dfrac{n+1}{6}\left(2n^2+7n+6\right)\end{align*}$
Ainsi $\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$.
$\quad$
d. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $P(n):~S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
Initialisation : $S_1=1$ et $\dfrac{1(1+1)(2+1)}{6}=1$ donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} S_{n+1}&=u_1+u_2+\ldots+u_n+u_{n+1} \\
&=S_n+(n+1)^2 \\
&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2 \\
&=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6} \end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul, on a $S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
$\quad$
On veut détermine le plus grand entier naturel $n$ tel que $S_n \pp 200$.
Or $S_7=140$ et $S_8=204$.
Il pourra donc construire une pyramide à base carrée de $7$ étages contenant $140$ oranges.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Dans ce repère $E$ a pour coordonnées $(0;0;1)$ et $C$ a pour coordonnées $(1;1;0)$.
$\quad$
a. Vérifions dans un premier temps les coordonnées du vecteur $\vect{DB}$
On a $\vect{DB}\begin{pmatrix}1-0\\0-1\\0-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$.
De plus $\vect{GE}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{GA}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car $\dfrac{-1}{-1}\neq \dfrac{0}{-1}$
De plus $\vect{DB}.\vect{GE}=-1+1+0=0$ et $\vect{DB}$
Et $\vect{DB}.\vect{GA}=-1+1+0=0$.
$\vect{DB}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(GEA)$. Il est donc normal au plan $(GEA)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc de la forme $x-y-d=0$.
Le point $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $0-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $(GEA)$ est donc $x-y=0$.
$\quad$
a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix} m-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{LE}\begin{pmatrix} 1-m\\-1\\0\end{pmatrix}$
Ainsi $\vect{CK}=\vect{LE}$ et $CKEL$ est un parallélogramme.
$\quad$
b. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-m\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} 1-m\\1\\0\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{pmatrix}\vect{KC}.\vect{KE}&=-m(1-m)+0+0 \\
&=m(m-1)\end{pmatrix}$
$\quad$
c. $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $(KC)$ et $(KL)$ sont perpendiculaires ;
si, et seulement si, $\vect{KC}.\vect{KE}=0$ ;
si, et seulement si, $m(m-1)=0$ ;
si, et seulement si, $m=0$ ou $m=1$.
$\quad$
a. On a $\vect{KE}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[3mm]0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{KC}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[3mm]1\\0\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} KE&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
et :
$\begin{align*} KC&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+0+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{5}{4}}\end{align*}$
Ainsi $CKEL$ est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs ont la même longueur. C’est un losange.
$\quad$
b. D’après la question 3.b on sait que $\vect{KC}.\vect{KE}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{4}$.
On sait également que $\vect{KC}.\vect{KE}=KC\times KE\times \cos \left(\widehat{CKE}\right)$.
Ainsi
$\begin{align*} \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \sqrt{\dfrac{5}{4}}\times \cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{4}&\ssi \dfrac{5}{4}\cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{4} \\
&\ssi \cos\left(\widehat{CKE}\right)=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
Ainsi $\widehat{CKE}\approx 102$ °.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (5 points)

Une concession automobile vend deux sortes de véhicules :

$60 \%$ sont des véhicules tout-électrique ;
$40 \%$ sont des véhicules hybrides rechargeables.

$75 \%$ des acheteurs de véhicules tout-électrique et $52 \%$ des acheteurs de véhicules hybrides ont la possibilité matérielle d’installer une borne de recharge à domicile.
On choisit un acheteur au hasard et on considère les événements suivants :

$E$ : « l’acheteur choisit un véhicule tout-électrique » ;
$B$ : « l’acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile »

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies au millième si nécessaire.

Calculer la probabilité que l’acheteur choisisse un véhicule tout-électrique et qu’il ait la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile.
On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que $P(B) = 0,658$.
$\quad$
Un acheteur a la possibilité d’installer une borne de recharge à son domicile. Quelle est la probabilité qu’il choisisse un véhicule tout-électrique ?
$\quad$
On choisit un échantillon de $20$ acheteurs. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre total d’acheteurs pouvant installer une borne de recharge à leur domicile parmi l’échantillon de $20$ acheteurs.
a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer $P(X = 8)$.
$\quad$
c. Calculer la probabilité qu’au moins 10 acheteurs puissent installer une borne de recharge.
$\quad$
d. Calculer l’espérance de $X$.
$\quad$
e. La directrice de la concession décide d’offrir l’installation de la borne de recharge aux acheteurs ayant la possibilité d’en installer une à leur domicile. Cette installation coûte $1~200$ €.
En moyenne, quelle somme doit-elle prévoir d’engager pour cette offre lors de la vente de $20$ véhicules ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère la fonction $f$ définie $\R$ par $f(x)=\e^x+x$.
Affirmation A : La fonction $f$ admet pour tableau de variations le tableau ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Affirmation B : L’équation $f(x)=-2$ admet deux solutions dans $\R$.
$\quad$
Affirmation C : $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)-x^2+2}{3x^2}=-\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
On considère la fonction $k$ définie et continue sur $\R$ par
$k(x)=1+2\e^{-x^2+1}$.
Affirmation D : Il existe une primitive de la fonction $k$ décroissante sur $\R$.
$\quad$
On considère l’équation différentielle $(E):~3y’+y=1$.
Affirmation E : La fonction $g$ définie sur $\R$ par
$g(x)=4\e^{-\frac{1}{3}x}+1$ est solution de l’équation différentielle $(E)$ avec $g(0)=5$.
$\quad$
Affirmation F : Une intégration par parties permet d’obtenir : $$\int_0^1 x\e^{-x}\dx=1-2\e^{-1}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (4 points)

On considère une pyramide à base carrée formée de boules identiques empilées les unes sur les autres :

le $1^{\text{er}}$ étage, situé au niveau le plus haut, est
composé de $1$ boule ;
le $2^{\text{e}}$ étage, niveau juste en dessous, est composé
de $4$ boules ;
le $3^{\text{e}}$ étage possède $9$ boules ;
$\ldots$
le $n$-ième étage possède $n^2$ boules.

Pour tout entier $n \pg 1$, on note $u_n$ le nombre de boules qui composent le $n$-ième étage en partant du haut de la pyramide. Ainsi, $u_n=n^2$.

Calculer le nombre total de boules d’une pyramide de $4$ étages.
$\quad$
On considère la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier $n\pg 1$ par $S_n=u_1+u_2+\ldots+u_n$.
a. Calculer $S_5$ et interpréter ce résultat.
$\quad$
b. On considère la fonction pyramide ci-dessous écrite de manière incomplète en langage Python. Recopier et compléter sur la copie le cadre ci-dessous de sorte que, pour tout entier naturel non nul $\text{n}$, l’instruction $\text{pyramide(n) }$ renvoie le nombre de boules composant une pyramide de $n$ étages.

Python

def pyramide(n): S = 0 for i in range(1,n+1): S = ... return ...

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def pyramide(n):
     S = 0
     for i in range(1,n+1):
          S = ...
     return ...

$\quad$
c. Vérifier que pour tout entier naturel $n$ :
$$\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)(n+2)\left[2(n+1)+1\right]}{6}$$
$\quad$

d. Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\pg 1$ : $$S_n=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
$\quad$
Un marchand souhaite disposer des oranges en pyramide à base carrée. Il possède $200$ oranges. Combien d’oranges utilise-t-il pour construire la plus grande pyramide possible ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ et l’espace est rapporté au repère orthonormal $\left(A;\vec{AB},\vect{AD},\vect{AE}\right)$.
Pour tout réel $m$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 1]$, on considère les points $K$ et $L$ de coordonnées : $$K(m ; 0 ; 0) \text{ et } L(1-m ; 1 ; 1)$$

Donner les coordonnées des points $E$ et $C$ dans ce repère.
$\quad$
Dans cette question, $m=0$. Ainsi, le point $L(1 ; 1 ; 1)$ est confondu avec le point $G$, le point $K(0 ; 0 ; 0)$ est confondu avec le point $A$ et le plan $(LEK)$ est donc le plan $(GEA)$.
a. Justifier que le vecteur $\vect{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ est normal au plan $(GEA)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(GEA)$.
$\quad$

On s’intéresse désormais à la nature de $CKEL$ en fonction du paramètre $m$.

Dans cette question, $m$ est un réel quelconque de l’intervalle $[0; 1]$.
a. Démontrer que $CKEL$ est un parallélogramme.
$\quad$
b. Justifier que $\vect{KC}.\vect{KE}= m(m-1)$.
$\quad$
c. Démontrer que $CKEL$ est un rectangle si, et seulement si, $m =0$ ou $m=1$.
$\quad$
Dans cette question, $m=\dfrac{1}{2}$. Ainsi, $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};1;1\right)$ et $K$ a pour
coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;0\right)$.
a. Démontrer que le parallélogramme $CKEL$ est alors un losange.
$\quad$
b. À l’aide de la question 3. b., déterminer une valeur approchée au degré près de la mesure de l’angle $\widehat{CKE}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 7 septembre 2023

Polynésie – 7 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(E\cap C)&=P(E)\times P_E(C) \\&=0,2\times 0,5 \\
&=0,1\end{align*}$
La probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique est égale à $0,1$.
$\quad$
b. $(E,T)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(C)&=P(E\cap C)+P(T\cap C) \\
&=0,1+P(T)\times P_T(C) \\
&=0,1+0,8\times 0,375 \\
&=0,1+0,3\\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,1}{0,4} \\
&=0,25\end{align*}$
La probabilité qu’un client ayant consulté la plate-forme numérique souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est égale à $0,25$.
$\quad$
a. On répète $17$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,2$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=17$ et $p=0,2$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P(X\pg 3)&=1-P(X\pp 2) \\
&=1-\left(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right) \\
&=1-\left(0,8^{17}+\dbinom{17}{1}\times 0,2\times 0,8^{16}+\dbinom{17}{2}\times 0,2^2\times 0,8^{15}\right) \\
&\approx 0,69\end{align*}$
La probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée est environ égale à $0,69$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x \\
&=\e^{-x}\left(x+\dfrac{1}{2}+x\e^x\right)\end{align*}$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\infty$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^{x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
$f(x)=x\e^{-x}+\dfrac{1}{2}\e^{-x}+x$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(1-x- \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x}+1\end{align*}$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}- \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x} \\
&=\left(-1-\dfrac{1}{2}+x\right)\e^{-x} \\
&=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-\dfrac{3}{2}$.
Or $x-\dfrac{3}{2}>0\ssi x>\dfrac{3}{2}$.
La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
c. $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{3}{2}$.
Or $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\e{-3/2}+1>0$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&\pg f’\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. D’après la calculatrice une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution est $0,285$.
$\quad$

Partie B

Graphiquement, il semblerait que la courbe représentative de la fonction $h$ possède un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $1.5$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $h\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$
D’après la partie A, $h\dsec(x)>0$ si, et seulement si, $x>\dfrac{3}{2}$.
De plus, la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $h(x)=0$ si, et seulement si, $x-\dfrac{3}{2}=0$ c’est-à-dire si $x=\dfrac{3}{2}$.
$h\dsec$ s’annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac{3}{2}$.
La courbe représentative de la fonction $h$ possède donc bien un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{-2,5-3,5}{-2-2} \\
&=\dfrac{3}{2} \end{align*}$
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{3}{2}x+p$.
$A$ appartient à cette droite donc
$-2,5=-2\times \dfrac{3}{2}+p\ssi -2,5=-3+b\ssi p=0,5$.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$.Remarque : On pense à vérifier de tête, au brouillon ou à l’aide de la calculatrice que les coordonnées du point $B$ vérifient bien cette équation.
$\quad$
$h$ est dérivable sur $\R$ d’après l’énoncé.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=a\e^{-x}-(ax+b)\e^{-x}+1 \\
&=(a-ax-b)\e^{-x}+1\end{align*}$
Ainsi $h'(0)=a-b+1$ et $h(0)=b$
La droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$.
Donc $h'(0)=\dfrac{3}{2}$ et $h(0)=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent $b=\dfrac{1}{2}$ et $a-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\ssi a=1$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On peut étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ pour en déduire les variations de $f$ sur $\R$.
Mais on peut également remarquer que $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $\dfrac{3}{4}>0$.
De plus $\dfrac{-(-2)}{2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}$.
$f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};+\infty\right[$.
D’après la limite des termes de plus haut degré :
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\pg \dfrac{4}{3}$
$f(2)=2\pp 2$
Donc, pour tout $x\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$ on a $f(x)\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 \\
&=\dfrac{3}{4}\left(x^2-4x+4\right) \\
&=\dfrac{3}{4}(x-2)^2\\
&\pg 0\end{align*}$
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)\pg x$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
Initialisation : $u_1=f\left(u_0\right)$
Donc, d’après la question 3 on a $u_1\pg u_0$.
D’près la question 2 on a $u_1 \in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp 2$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$u_n\pp u_{n+1}\pp 2$.
La fonction $f$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$ c’est-à-dire $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Elle est par conséquent convergente.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
&\ssi \dfrac{3}{4}(x-2)^2=0 \\
&\ssi x-2=0 \\
&\ssi x=2\end{align*}$
Or $2\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $2$.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while u < 100 :} \\
\qquad \text{u = 3/4 * u**2 – 2 * u + 3} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Supposons que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
D’après l’étude faite à la question 4.c on a donc $\ell =2$.
Pour tout $n\in \N$ on a : $u_n\pp f\left(u_n\right)$ c’est-à-dire $u_n \pp u_{n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg u_0 > 2$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$. Ce qui est absurde.
La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}$
Tous les vecteurs directeurs de $(d)$ sont orthogonaux à ces deux vecteurs.
Or :
$\vec{u_4}.\vect{AB}=-12+12+0=0$ et $\vec{u_4}.\vect{BC}=4-4+0=0$
Réponse d

$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ ou encore $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$.
La seule représentation paramétrique qui permet d’extraire un vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est celle de la réponse c. (Les deuxièmes composantes sont nulles dans les cas a et b, et les deux premières composantes sont de même signe dans le cas d).
Réponse c

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}$.
Or $\vect{v_3}=-\vec{v}$.
Réponse c

$\quad$

Question 4

Prenons $t=-7$ dans la représentation paramétrique de $(d’)$.
On obtient alors : $\begin{cases} x=-6+56 \\y=-28\\z=6-35\end{cases}$ c’est-à-dire les coordonnées du point $M_1$.
Réponse a

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal au plan d’équation $x=1$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.
Réponse a

$\quad$

Énoncé

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.
Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plateforme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

$20 \%$ des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et $80 \%$ préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.

On considère les événements suivants :

$C$ : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
$E$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
$T$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.
On pourra utiliser un arbre pondéré.
$\quad$
b. Démontrer que $P(C) = 0,4$.
$\quad$
c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.
Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.
$\quad$
La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x$$

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
$\quad$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
a. Démontrer que , pour tout $x\in \R$, $$f\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$$
$\quad$
b. En déduire les variations et le minimum de la fonction $f’$ sur $\R$.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\in \R$, $f'(x)>0$.
$\quad$
d. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
$\quad$

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $R$, ayant une expression de la forme $h(x) = (ax+b )\e^{-x}+x$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

la courbe représentative de la fonction $h$ ;
les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-2 ; -2,5)$ et $(2 ; 3,5)$.

Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.
$\quad$
Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d’expression
$$h\dsec(x)=-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+x\e^{-x}$$
valider ou non la conjecture précédente.
$\quad$
Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
$\quad$
Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d’abscisse $0$, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+3$$

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$, $f(x)$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Démontrer que pour tout $x$ réel, $x\pp f(x)$.
Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ : $$f(x)-x=\dfrac{3}{4}(x-2)^2$$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}{u_n}^2-2u_n+3$.

Étude du cas : $\dfrac{4}{3} \pp u_0 \pp 2$.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
$$ u_n\pp u_{n+1} \pp 2$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
c. Prouver que la limite de la suite est égale à $2$.
$\quad$
Étude du cas particulier : $u_0=3$.
On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.
Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $100$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while … } \hspace{2cm} \\
\qquad \text{u = …} \\
\qquad \text{n = …} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Étude du cas : $u_0>2$.
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dans lequel on considère :

les points $A(6 ; -6 ; 6)$, $B(-6 ; 0 ; 6)$ et $C(-2 ; -2 ; 11)$ ;
la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes $(AB)$ et $(BC)$ et passant par le point $A$ ;
la droite $(d’)$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-6-8t \\y=4t\\z=6+5t\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$$

$\quad$

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?

a. $\vect{u_1}\begin{pmatrix} -6\\3\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_2}\begin{pmatrix} 1\\2\\6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_3}\begin{pmatrix} 1\\2\\0,2\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_4}\begin{pmatrix} 1\\2\\0\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ ?

a. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=t+6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
b. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=-t-6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
c. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=-t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
d. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est :

a. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} -6\\0\\6\end{pmatrix}$
b. $\vect{v_2}\begin{pmatrix} -14\\4\\11\end{pmatrix}$
c. $\vect{v_3}\begin{pmatrix} 8\\-4\\-5\end{pmatrix}$
d. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} 8\\-4\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $(d’)$ ?

a. $M_1(50;-28;-29)$
b. $M_2(-14;-4;1)$
c. $M_3(2;-4;-1)$
d. $M_4(-3;0;3)$

$\quad$

Question 5

Le plan d’équation $x=1$ a pour vecteur normal :

a. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{n_2}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$
c. $\vect{n_3}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
d. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 12 septembre 2023

Métropole – 12 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré :
$\quad$

$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap \conj{T}\right)&=p\left(\conj{I}\right) p_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right) \\
&=0,996\times 0,984 \\
&\approx 0,980\end{align*}$
La probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif est environ égale à $0,980$.
$\quad$
b. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(T)&=p(I)p_I(T)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}[T) \\
&=0,004\times 0,992+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,020\end{align*}$
La probabilité que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} p_T(I)&=\dfrac{p(I\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(I)p_I(T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,004\times 0,992}{0,020} \\
&\approx 0,198\end{align*}$
La « valeur prédictive positive du test » est environ égale à $0,198$.
$\quad$
d. On a
$\begin{align*} p\left(\left(I\cap \conj{T}\right)\cup\left(\conj{I}\cap T\right)\right)&=p\left(I\cap \conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\cap T\right)\qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=p(I)p_I\left(\conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}(T) \\
&=0,004\times 0,008+0,996\times 0,016 \\
&\approx 0,016\end{align*}$
La probabilité que le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache est environ égale à $0,016$.
$\quad$

Partie B

a. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,02$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} p(X=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
&\approx 0,182\end{align*}$
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $ 0,182$.
$\quad$
c. On a, d’après la calculatrice $p(X\pp 3) \approx 0,859$.
La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $0,859$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de vaches présentant un test positif.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi p(Y=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,98^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,98) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\approx 227,9$.
L’échantillon doit donc comporter au moins $228$ vaches pour que la probabilité qu’il y ait au moins un vache testée positive soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. Le point de coordonnées $(1;2)$ semble appartenir à la courbe $C’$.
Le coefficient directeur de la tangente à $C$ a point d’abscisse $1$ est donc environ égal à $2$.
$\quad$
b. $f$ est convexe si $f’$ est croissante.
Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe semble être $[7,4;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} 2-\ln(x)=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C$.
$\quad$
On a :
$$f(x)=0\ssi \begin{cases} \ln(x)=0\\2-\ln(x)=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1\\x=\e^2\end{cases}$$
La courbe $C$ coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points de coordonnées $(1;0)$ et $\left(\e^2;0\right)$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x}\ln(x)+\left(2-\ln(x)\right)\times \dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-\ln(x)+2-\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)$ est du signe de $1-\ln(x)$.
Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$
et $1-\ln(x)>0\ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f\dsec(x)$ est du signe de $\ln(x)-2$.
Or $\ln(x)-2>0\ssi \ln(x)>2\ssi x>\e^2$.
$\ln(x)-2=0 \ssi \ln(x)=2 \ssi x=\e^2$.
$f\left(\e^2\right)=0$
$f$ est donc concave sur $\left]0;\e^2\right]$ et convexe sur $\left[\e^2;+\infty\right[$.
$C$ admet un point d’inflexion de coordonnées $\left(\e^2;0\right)$.

Ex 3

Exercice 3

On a
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\times \dfrac{1}{\e} \\
&=\dfrac{2}{\e^2}\end{align*}$
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{2}{\e^2} \\
&=\dfrac{3}{\e^3}\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire à la ligne $L_1 :$ $\text{u = 1 / math.e}$
et à la ligne $L_3:$ $\text{u = 1 / math.e * (1 + 1 / i) * u}$
$\quad$
a. On a $n\in \N^*$ donc $n\pg 1$.
Ainsi $\dfrac{1}{n} \pp 1$ et $1+\dfrac{1}{n}\pp 2<\e$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N^*$ on a donc
$\begin{align*} u_{n+1} &=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&\pp \dfrac{1}{\e}\times \e \times u_n \\
&\pp u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$ (tous les termes sont strictement positifs).
La suite est donc convergente.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{n}{\e^n}$
Initialisation : $u_1=\dfrac{1}{\e}=\dfrac{1}{\e^1}$ donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)\times \dfrac{n}{\e^n} \\
&=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n}{\e^{n+1}} \\
&=\dfrac{n+1}{\e^{n+1}}\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. Par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers $0$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$3\times 1+2\times 0+1-4=0$ donc $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Réponse c
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
De plus $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$ et $AC=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3$. Le triangle $ABC$ n’est pas isocèle.
Réponse d
$\quad$
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vec{u}.\vec{n}=-3+0+3$.
La droite $\Delta$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Le point $D(1;2;-4)$ appartient à la droite $\Delta$.
$3\times 1+2\times 2+(-4)-4=-1\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
La droite $\Delta$ est strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$.
Réponse d
$\quad$
On a $BA=\sqrt{20}$ d’après la question 2.
$\vect{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\-5\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{29}$
Or
$\begin{align*}\vect{BA}.\vect{BC}=20&\ssi BA\times BC\times \cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \sqrt{20}\times \sqrt{29}\cos\widehat{ABC}=20 \\
&\ssi \cos\widehat{ABC}=\dfrac{20}{\sqrt{580}}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{ABC} \approx 33,9$°
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{Q}$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\\-2\end{pmatrix}$.
Par conséquen $\vec{v}=-2\vec{n}$.
Les deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles.
Le point $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$
$-6\times 1+0-2\times 1+7=-1$ : $T$ n’appartient pas au plan $\mathscr{Q}$
Les plans sont strictement parallèles.
Réponse b
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.
On réalise une étude dans une région dont $0,4\%$ de la population de vaches est infectée.
Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.
Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ;
Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de $0,984$.

On désigne par :

$I$ l’événement « la vache est atteinte par l’infection » ;
$T$ l’événement « la vache présente un test positif ».

On note $\conj{I}$ l’événement contraire de $I$ et $\conj{T}$ l’événement contraire de $T$.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$
a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020.$.
$\quad$
c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test.
On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.
Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

Partie B

Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de $100$ vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à $0,02$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $100$ vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.
a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$près.
$\quad$
c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\left(2-\ln(x)\right)\times \ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C’$ la courbe représentative de la fonction $f’$, fonction dérivée de la fonction $f$.
La courbe $\boldsymbol{C’}$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :
a. le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$.
$\quad$
b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$
a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Calculer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
Montrer que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
$\quad$
a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}$.
$\quad$
b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
On note $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f\dsec(x) =
\dfrac{2\left(\ln(x)-2\right)}{x^2}$.
Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe $C$.
$\quad$

Exercice 3 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{\e}\\ \text{pour tout entier }n\pg 1,~u_{n+1} =\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n\end{cases}$

Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs.
$\quad$
On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes $L_2$ et $L_4$ de ce programme.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
L_1&\text{def suite(n) :}\\
L_2& \quad \text{……………….}\\
L_3&\quad \text{for i in range(1,n) :}\hspace{2cm}\\
L_4&\qquad \text{u = ……………….}\\
L_5&\quad \text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.
a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n}\pp \e$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
$\quad$
b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse
à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-1;-2;3)$ , $B(1;-2; 7)$ et $C(1; 0; 2)$ ;
la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x=1-t\\y=2\\z=-4+3t\end{cases} \quad$ où $t\in \R$;
le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $3x+ 2y + z-4 = 0$ ;
le plan $\mathcal{Q}$ d’équation cartésienne : $-6x-4y-2z + 7 = 0$.

Question 1 : Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ?
a. $R(1;-3; 1)$
b. $S(1; 2;-1)$
c. $T(1; 0; 1)$
d. $U(2;-1; 1)$
$\quad$

Question 2 : Le triangle $ABC$:
a. équilatéral
b. rectangle isocèle
c. isocèle non rectangle
d. rectangle non isocèle.
$\quad$

Question 3 : La droite $\Delta$ est :
a. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
b. sécante au plan $\mathcal{P}$
c. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
d. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

Question 4 : On donne le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}= 20$.
Une mesure au degré près de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
a. $34$°
b. $120$°
c. $90$°
d. $0$°.
$\quad$

Question 5 : L’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est :
a. un plan
b. l’ensemble vide
c. une droite
d. réduite à un point.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 1 – 28 août 2023

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient, une fois l’arbre totalement complété :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
&=0,6\times 0,8\\
&=0,48\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
$\quad$
$\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
On a ainsi :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,3}{0,4}\\
&=0,75\end{align*}$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
&=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
&=\dfrac{2}{7} \\
&\approx 0,29\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
$\quad$

Partie B

On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,005$.
Ainsi, d’une part,
$\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
&=0,42\times 0,005\\
&=0,0021\end{align*}$
et d’autre part,
$\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
&=0,58\times 0,12\\
&=0,069~6\end{align*}$
$\quad$
$\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a alors :
$\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
&=0,0021+0,069~6\\
&=0,071~7\end{align*}$
Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,071~7=71,7\approx 72$ avaries.
$\quad$

Partie C

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
&\approx 0,768\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
&=15-3\\
&=12\end{align*}$
$\quad$
b. On a également :
$\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
&=60-4-3\\
&=53\end{align*}$
$\quad$
c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
&\pg 5(n+1)-4n-3\\
&\pg 5n+5-4n-3\\
&\pg n+2\\
&\pg (n+1)+1\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
&=5u_n-4n-3-n-2\\
&=5u_n-5n-5\\
&=5\left(u_n-n-1\right)\\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
$\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
&=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
$\quad$
d. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
&=2\times 5^n(5-1)+1 \\
&=8\times 5^n+1\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
a. On peut écrire :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 10**7:}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
Réponse a
$\quad$
On résout le système
$\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
$\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
Réponse c
$\quad$
$\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
&=3\end{align*}$
$\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
&=5\end{align*}$
D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG} \approx 71$ °
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
&=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=8-4\ln(x)-4 \\
&=4-4\ln(x)\\
&=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
$f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
b. Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
&\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
&\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
&=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
&=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

$60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
$42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

$V$ : « le client un bateau à voile » ;
$L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
$\quad$
Un client a pris l’option PILOTE.
Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
$\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
$\quad$
L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
$\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner sans justification ses paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

a. Démontrer que $u_1 = 12$.
$\quad$
b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
$\quad$
c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \pg n+1$$
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
$\quad$
d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
\qquad \text{u = ………}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
b. $F(x) = (1+x) \e^x$
c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
$\quad$
$$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
$$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
a. sécantes.
b. strictement parallèles.
c. confondues.
d. non coplanaires.
$\quad$
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
La droite $(\Delta)$ est :
a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
b. incluse dans le plan $(P)$.
c. strictement parallèle au plan $(P)$.
d. orthogonale au plan $(P)$.
$\quad$
On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
a. sécants et perpendiculaires.
b. confondus.
c. sécants et non perpendiculaires.
d. strictement parallèles.
$\quad$
On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
a. $\alpha = 90$°
b. $\alpha >90$°
c. $\alpha=0$°
d. $\alpha\approx 71$°
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
$$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
$\quad$
b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
$\quad$
c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
(On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
$\quad$
b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
&=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
&=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
&=0,204\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
&=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
&=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
&=\dfrac{10}{17} \\
&\approx 0,588\end{align*}$
La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
&\approx 0,179\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
$\quad$
c. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
&=6,12\end{align*}$
Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes $6,12$ achètent le produit.
$\quad$
On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
&\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
&\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
$\quad$
Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-2\ln(x)-2 \\
&=1-2\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
$1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
&=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
&=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
$\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
L’affirmation est fausse.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
$\quad$
b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
$\quad$
c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
$\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
&\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
&\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

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Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$

Asie – 24 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
$\quad$
$\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
$\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
$B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
$\quad$
a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
On a alors
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
&\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
&=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
$2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
$2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
$\quad$
On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie B

D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
&=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
$\quad$
$g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
$\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
&=6\times 10^{21}\end{align*}$
$\quad$
b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
&\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
$\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
&=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
Par conséquent
$\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
&=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
&=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
&\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
&\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
$\quad$
a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
$\quad$
b. $52\times 7=364$.
Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
$7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
Il y a donc $672+1=673$ termes.
Réponse B
$\quad$
La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
Réponse C
$\quad$
La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
Réponse B
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
&=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
&=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
&=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$
La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1 5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
$\quad$
a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la longueur $FL$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
$\quad$
Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
$\quad$
Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

Exercice 3 5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
$\quad$
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1 &\text{def noyaux (n) :}\\
2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
3&\qquad \text{L = [V]}\\
4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
7&\qquad \text{return L}\\
\hline\end{array}$$
a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
$\quad$
b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

Événements $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$