Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 12 septembre 2023

Métropole – 12 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. On veut calculer :
    $\begin{align*} p\left(\conj{I}\cap \conj{T}\right)&=p\left(\conj{I}\right) p_{\conj{I}}\left(\conj{T}\right) \\
    &=0,996\times 0,984 \\
    &\approx 0,980\end{align*}$
    La probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif est environ égale à $0,980$.
    $\quad$
    b. $\left(I,\conj{I}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(T)&=p(I)p_I(T)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}[T) \\
    &=0,004\times 0,992+0,996\times 0,016 \\
    &\approx 0,020\end{align*}$
    La probabilité que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} p_T(I)&=\dfrac{p(I\cap T)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{p(I)p_I(T)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,004\times 0,992}{0,020} \\
    &\approx 0,198\end{align*}$
    La « valeur prédictive positive du test » est environ égale à $0,198$.
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*} p\left(\left(I\cap \conj{T}\right)\cup\left(\conj{I}\cap T\right)\right)&=p\left(I\cap \conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\cap T\right)\qquad \text{(incompatibilité)}\\
    &=p(I)p_I\left(\conj{T}\right)+p\left(\conj{I}\right)p_{\conj{I}}(T) \\
    &=0,004\times 0,008+0,996\times 0,016 \\
    &\approx 0,016\end{align*}$
    La probabilité que le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache est environ égale à $0,016$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,02$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} p(X=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
    &\approx 0,182\end{align*}$
    La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $ 0,182$.
    $\quad$
    c. On a, d’après la calculatrice $p(X\pp 3) \approx 0,859$.
    La probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif est environ égale à $0,859$.
    $\quad$
  2. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de vaches présentant un test positif.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
    $\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,99&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi p(Y=0)\pp 0,01 \\
    &\ssi 0,98^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,98) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\approx 227,9$.
    L’échantillon doit donc comporter au moins $228$ vaches pour que la probabilité qu’il y ait au moins un vache testée positive soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. Le point de coordonnées $(1;2)$ semble appartenir à la courbe $C’$.
    Le coefficient directeur de la tangente à $C$ a point d’abscisse $1$ est donc environ égal à $2$.
    $\quad$
    b. $f$ est convexe si $f’$ est croissante.
    Le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe semble être $[7,4;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} 2-\ln(x)=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
    La droite d’équation $x=0$ est asymptote à la courbe $C$.
    $\quad$
  3. On a :
    $$f(x)=0\ssi \begin{cases} \ln(x)=0\\2-\ln(x)=0\end{cases} \ssi \begin{cases} x=1\\x=\e^2\end{cases}$$
    La courbe $C$ coupe donc l’axe des abscisses en exactement deux points de coordonnées $(1;0)$ et $\left(\e^2;0\right)$.
    $\quad$
  4. a. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{1}{x}\ln(x)+\left(2-\ln(x)\right)\times \dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-\ln(x)+2-\ln(x)}{x} \\
    &=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f'(x)$ est du signe de $1-\ln(x)$.
    Or $1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$
    et $1-\ln(x)>0\ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  5. $f\dsec(x)$ est du signe de $\ln(x)-2$.
    Or $\ln(x)-2>0\ssi \ln(x)>2\ssi x>\e^2$.
    $\ln(x)-2=0 \ssi \ln(x)=2 \ssi x=\e^2$.
    $f\left(\e^2\right)=0$
    $f$ est donc concave sur $\left]0;\e^2\right]$ et convexe sur $\left[\e^2;+\infty\right[$.
    $C$ admet un point d’inflexion de coordonnées $\left(\e^2;0\right)$.

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{1}\right)\times \dfrac{1}{\e} \\
    &=\dfrac{2}{\e^2}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_3&=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{2}{\e^2} \\
    &=\dfrac{3}{\e^3}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut écrire à la ligne $L_1 :$ $\text{u = 1 / math.e}$
    et à la ligne $L_3:$ $\text{u = 1 / math.e * (1 + 1 / i) * u}$
    $\quad$
  3. a. On a $n\in \N^*$ donc $n\pg 1$.
    Ainsi $\dfrac{1}{n} \pp 1$ et $1+\dfrac{1}{n}\pp 2<\e$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N^*$ on a donc
    $\begin{align*} u_{n+1} &=\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
    &\pp \dfrac{1}{\e}\times \e \times u_n \\
    &\pp u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$ (tous les termes sont strictement positifs).
    La suite est donc convergente.
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N^*$ on pose $P(n):~u_n=\dfrac{n}{\e^n}$
    Initialisation : $u_1=\dfrac{1}{\e}=\dfrac{1}{\e^1}$ donc $P(1)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N^*$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)u_n \\
    &=\dfrac{1}{\e}\left(\dfrac{1}{n}\right)\times \dfrac{n}{\e^n} \\
    &=\dfrac{n+1}{n}\times \dfrac{n}{\e^{n+1}} \\
    &=\dfrac{n+1}{\e^{n+1}}\end{align*}$
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N^*$, $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
    $\quad$
    b. Par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge donc vers $0$.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. $3\times 1+2\times 0+1-4=0$ donc $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$, $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$
    Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
    Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
    De plus $AB=\sqrt{2^2+0^2+4^2}=\sqrt{20}$ et $AC=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}=3$. Le triangle $ABC$ n’est pas isocèle.
    Réponse d
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.
    Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vec{u}.\vec{n}=-3+0+3$.
    La droite $\Delta$ est donc parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    Le point $D(1;2;-4)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $3\times 1+2\times 2+(-4)-4=-1\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $\mathscr{P}$.
    La droite $\Delta$ est strictement parallèle au plan $\mathscr{P}$.
    Réponse d
    $\quad$
  4. On a $BA=\sqrt{20}$ d’après la question 2.
    $\vect{BC}=\begin{pmatrix}0\\2\\-5\end{pmatrix}$ donc $BC=\sqrt{29}$
    Or
    $\begin{align*}\vect{BA}.\vect{BC}=20&\ssi BA\times BC\times \cos\widehat{ABC}=20 \\
    &\ssi \sqrt{20}\times \sqrt{29}\cos\widehat{ABC}=20 \\
    &\ssi \cos\widehat{ABC}=\dfrac{20}{\sqrt{580}}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{ABC} \approx 33,9$°
    Réponse a
    $\quad$
  5. Un vecteur normal au plan $\mathscr{Q}$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\\-2\end{pmatrix}$.
    Par conséquen $\vec{v}=-2\vec{n}$.
    Les deux plans $\mathscr{P}$ et $\mathscr{Q}$ sont parallèles.
    Le point $T(1;0;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$
    $-6\times 1+0-2\times 1+7=-1$ : $T$ n’appartient pas au plan $\mathscr{Q}$
    Les plans sont strictement parallèles.
    Réponse b
    $\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

La paratuberculose est une maladie digestive infectieuse qui touche les vaches. Elle est due à la présence d’une bactérie dans l’intestin de la vache.
On réalise une étude dans une région dont $0,4\%$ de la population de vaches est infectée.
Il existe un test qui met en évidence la réaction immunitaire de l’organisme infecté par la bactérie.
Le résultat de ce test peut être soit « positif », soit « négatif ».

On choisit une vache au hasard dans la région.

Compte tenu des caractéristiques du test, on sait que :

  • Si la vache est atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit positif est de $0,992$ ;
  • Si la vache n’est pas atteinte par l’infection, la probabilité que son test soit négatif est de $0,984$.

On désigne par :

  • $I$ l’événement « la vache est atteinte par l’infection » ;
  • $T$ l’événement « la vache présente un test positif ».

On note $\conj{I}$ l’événement contraire de $I$ et $\conj{T}$ l’événement contraire de $T$.

Les parties A et B sont indépendantes

PARTIE A

  1. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Calculer la probabilité que la vache ne soit pas atteinte par l’infection et que son test soit négatif. On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    b. Montrer que la probabilité, à $10^{-3}$ près, que la vache présente un test positif est environ égale à $0,020.$.
    $\quad$
    c. La « valeur prédictive positive du test » est la probabilité que la vache soit atteinte par l’infection sachant que son test est positif. Calculer la valeur prédictive positive de ce test.
    On donnera le résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
    d. Le test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache lorsque la vache n’est pas infectée et présente un résultat positif au test ou lorsque la vache est infectée et présente un résultat négatif au test.
    Calculer la probabilité que ce test donne une information erronée sur l’état de santé de la vache. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$

Partie B

  1. Lorsqu’on choisit au hasard dans la région un échantillon de $100$ vaches, on assimile ce choix à un tirage avec remise.
    On rappelle que, pour une vache choisie au hasard dans la région, la probabilité que le test soit positif est égale à $0,02$.
    On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $100$ vaches de la région choisies au hasard associe le nombre de vaches présentant un test positif dans cet échantillon.
    a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Justifier la réponse et préciser les paramètres de cette loi.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que dans un échantillon de 100 vaches, il y ait exactement $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$près.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité que dans un échantillon de $100$ vaches, il y ait au plus $3$ vaches présentant un test positif. On donnera un résultat à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  2. On choisit à présent un échantillon de $n$ vaches dans cette région, $n$ étant un entier naturel non nul. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    Déterminer la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’il y ait, dans l’échantillon, au moins une vache testée positive, soit supérieure ou égale à $0,99$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par $f(x)=\left(2-\ln(x)\right)\times \ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$.
On note $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal et $C’$ la courbe représentative de la fonction $f’$, fonction dérivée de la fonction $f$.
La courbe $\boldsymbol{C’}$ est donnée ci-dessous ainsi que son unique tangente horizontale $(T)$.

  1. Par lecture graphique, avec la précision que permet le tracé ci-dessus, donner :
    a. le coefficient directeur de la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$.
    $\quad$
    b. le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
    $\quad$
  2. a. Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Calculer $\lim\limits_{x\to 0} f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
  3. Montrer que la courbe $C$ coupe l’axe des abscisses en deux points exactement dont on précisera les coordonnées.
    $\quad$
  4. a. Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f'(x)=\dfrac{2\left(1-\ln(x)\right)}{x}$.
    $\quad$
    b. En déduire, en justifiant, le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  5. On note $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$ et on admet que pour tout réel $x$ appartenant à $]0; +\infty[$, $f\dsec(x) =
    \dfrac{2\left(\ln(x)-2\right)}{x^2}$.
    Déterminer par le calcul le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe et préciser les coordonnées du point d’inflexion de la courbe $C$.
    $\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $\begin{cases} u_1=\dfrac{1}{\e}\\ \text{pour tout entier }n\pg 1,~u_{n+1} =\dfrac{1}{\e}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)u_n\end{cases}$

  1. Calculer les valeurs exactes de $u_2$ et $u_3$. On détaillera les calculs.
    $\quad$
  2. On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel $n$ donné, affiche le terme $u_n$. Compléter les lignes $L_2$ et $L_4$ de ce programme.
    $$\begin{array}{|l|l|}
    \hline
    L_1&\text{def suite(n) :}\\
    L_2& \quad \text{……………….}\\
    L_3&\quad \text{for i in range(1,n) :}\hspace{2cm}\\
    L_4&\qquad \text{u = ……………….}\\
    L_5&\quad \text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. On admet que tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont strictement positifs.
    a. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $1+\dfrac{1}{n}\pp \e$.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  4. a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel non nul, on a : $u_n=\dfrac{n}{\e^n}$.
    $\quad$
    b. En déduire, si elle existe, la limite de la suite  $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse
à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • les points $A(-1;-2;3)$ , $B(1;-2; 7)$ et $C(1; 0; 2)$ ;
  • la droite $\Delta$ de représentation paramétrique : $\begin{cases} x=1-t\\y=2\\z=-4+3t\end{cases} \quad$ où $t\in \R$;
  • le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne : $3x+ 2y + z-4 = 0$ ;
  • le plan $\mathcal{Q}$ d’équation cartésienne : $-6x-4y-2z + 7 = 0$.

Question 1 : Lequel des points suivants appartient au plan $\mathcal{P}$ ?
a. $R(1;-3; 1)$
b. $S(1; 2;-1)$
c. $T(1; 0; 1)$
d. $U(2;-1; 1)$
$\quad$

Question 2 : Le triangle $ABC$:
a. équilatéral
b. rectangle isocèle
c. isocèle non rectangle
d. rectangle non isocèle.
$\quad$

Question 3 : La droite $\Delta$ est :
a. orthogonale au plan $\mathcal{P}$
b. sécante au plan $\mathcal{P}$
c. incluse dans le plan $\mathcal{P}$
d. strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$

Question 4 : On donne le produit scalaire $\vect{BA}.\vect{BC}= 20$.
Une mesure au degré près de l’angle $\widehat{ABC}$ est :
a. $34$°
b. $120$°
c. $90$°
d. $0$°.
$\quad$

Question 5 : L’intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ est :
a. un plan
b. l’ensemble vide
c. une droite
d. réduite à un point.
$\quad$

$\quad$

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 1 – 28 août 2023

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient, une fois l’arbre totalement complété  :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
    &=0,6\times 0,8\\
    &=0,48\end{align*}$
    La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
    $\quad$
  3. $\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
    &\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
    &\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
    La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
    $\quad$
  4. On a ainsi :
    $\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
    &=\dfrac{0,3}{0,4}\\
    &=0,75\end{align*}$
    $\quad$
  5. On a donc :
    $\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
    &=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
    &=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
    &=\dfrac{2}{7} \\
    &\approx 0,29\end{align*}$
    La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
    $\quad$

Partie B

  1. On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,005$.
    Ainsi, d’une part,
    $\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
    &=0,42\times 0,005\\
    &=0,0021\end{align*}$
    et d’autre part,
    $\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
    &=0,58\times 0,12\\
    &=0,069~6\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a alors :
    $\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
    &=0,0021+0,069~6\\
    &=0,071~7\end{align*}$
    Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,071~7=71,7\approx 72$ avaries.
    $\quad$

Partie C

  1. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
    $\quad$
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
    &\approx 0,768\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a.
    $\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
    &=15-3\\
    &=12\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a également :
    $\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
    &=60-4-3\\
    &=53\end{align*}$
    $\quad$
    c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
    Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
    &\pg 5(n+1)-4n-3\\
    &\pg 5n+5-4n-3\\
    &\pg n+2\\
    &\pg (n+1)+1\end{align*}$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
    $\quad$
    b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
    D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
    &=5u_n-4n-3-n-2\\
    &=5u_n-5n-5\\
    &=5\left(u_n-n-1\right)\\
    &=5v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
    $\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
    &=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
    $\quad$
    d. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
    &=2\times 5^n(5-1)+1 \\
    &=8\times 5^n+1\\
    &>0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. a. On peut écrire :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite() :}\\
    \quad \text{u = 3}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while u < 10**7:}\\
    \qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
    Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a alors :
    $\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
    &=(1+x)\e^x \\
    &=f(x)\end{align*}$
    Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
    Réponse a
    $\quad$
  2. On résout le système
    $\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
    Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
    Réponse a
    $\quad$
  3. Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    $\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
    Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
    De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
    La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
    Réponse b
    $\quad$
  4. Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
    $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
    $\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
    Réponse c
    $\quad$
  5. $\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
    &=3\end{align*}$
    $\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
    &=5\end{align*}$
    D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
    D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
    Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG}  \approx 71$ °
    Réponse d
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
    Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
    &=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
    &=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
    $\quad$
  3. a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=8-4\ln(x)-4 \\
    &=4-4\ln(x)\\
    &=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
    $f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
    $\quad$
    c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  4. a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
    La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
    De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
    Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
    b. Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
    $\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  5. a. On a
    $\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
    &\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
    &\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
    &=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
    &=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
    &=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
    $\quad$
    b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
    Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
    Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
    L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
    Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
    $\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

  • $60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
  • $42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

  • $V$ : « le client un bateau à voile » ;
  • $L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
    $\quad$
  3. Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
    $\quad$
  4. En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
    $\quad$
  5. Un client a pris l’option PILOTE.
    Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
    $\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

  1. Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
    $\quad$
  2. L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
    $\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

  1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
    Donner sans justification ses paramètres.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

  1. a. Démontrer que $u_1 = 12$.
    $\quad$
    b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
    $\quad$
    c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $$u_n \pg n+1$$
    $\quad$
    b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
    a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
    Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
    $\quad$
    b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
    $\quad$
    d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite() :}\\
    \quad \text{u = 3}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
    \qquad \text{u = ………}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
    Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
    a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
    b. $F(x) = (1+x) \e^x$
    c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
    d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

  1. On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
    $$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
    Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
    a. sécantes.
    b. strictement parallèles.
    c. confondues.
    d. non coplanaires.
    $\quad$
  2. On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
    On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
    La droite $(\Delta)$ est :
    a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
    b. incluse dans le plan $(P)$.
    c. strictement parallèle au plan $(P)$.
    d. orthogonale au plan $(P)$.
    $\quad$
  3. On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
    dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
    Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
    a. sécants et perpendiculaires.
    b. confondus.
    c. sécants et non perpendiculaires.
    d. strictement parallèles.
    $\quad$
  4. On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
    On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
    a. $\alpha = 90$°
    b. $\alpha >90$°
    c. $\alpha=0$°
    d. $\alpha\approx 71$°
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

  1. a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
    $$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
    $\quad$
    b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
    $\quad$
    c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
    (On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
    $\quad$
  4. a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
    $\quad$
    b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
    $\quad$
  5. a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
    En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
    $\quad$
    b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. On a :
    $\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
    &=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
    &=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
    &=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
    &=0,204\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
    &=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
    &=\dfrac{10}{17} \\
    &\approx 0,588\end{align*}$
    La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
    &\approx 0,179\end{align*}$
    La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
    $\quad$
    c. L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
    &=6,12\end{align*}$
    Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes  $6,12$ achètent le produit.
    $\quad$
  2. On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
    On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
    &\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
    &\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
    &\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
    Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. $\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
    Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    $\quad$
    Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
    &=3-2\ln(x)-2 \\
    &=1-2\ln(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    $1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
    &=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
    &=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
    Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
    L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
    $\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
    $\bullet~f(\alpha)=0$ ;
    $\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  4. $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
    Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
    La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
    L’affirmation est fausse.
    $\quad$
  5. a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
    La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
    $\quad$
    b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
    Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
    Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
    $\quad$
    c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
    $\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
    &\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
    &\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

Continue reading

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
    Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
    $\quad$
  2. La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
    La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
    $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
    &=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
    Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
    $\quad$
    De plus son coefficient principal est $1>0$.
    Par conséquent :
    $\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
    $\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
    $\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
    $\quad$
  4. Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
    Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
    Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
    $\quad$
  5. a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
    $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
    Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
    La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
    Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
    Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
    &=1~575\end{align*}$
    $\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
    &=1~425\end{align*}$
    En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
    $\quad$
  2. Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
    &=0,85a_n+300-0,1a_n \\
    &=0,75a_n+300\end{align*}$
    $\quad$
  4. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
    donc
    $900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
    Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
    Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
    Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
    $\quad$
  5. a. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
    &=0,75a_n+300-1~200\\
    &=0,75a_n-900 \\
    &=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
    &=0,75v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
    &=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
    $\quad$
  6. a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
    $\quad$
    b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
    $\quad$
  7. a. On peut écrire
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \texttt{def seuil() :}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
    \hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
    \hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
    &\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
    &\ssi 0,75^n < 0,16\\
    &\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
    Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
    $\quad$
    b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
    b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    $4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
    Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
    De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
    Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
    $H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{32} \\
    &=4\sqrt{2}\end{align*}$
    $\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{18} \\
    &=3\sqrt{2}\end{align*}$
    L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
    &=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
    &=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
    $\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
    Il est donc normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
    $E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
    Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    d. On résout le système :
    $\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
    Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  4. a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
    &=\sqrt{25} \\
    &=5 \text{ cm}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
    &=20\text{ cm}^3\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
    D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
    $h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
    D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
    Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
    $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
    $P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
    $P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
    $P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
    L’espérance de $X$ est :
    $\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
    &=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  5. $\quad$
    $\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
    &\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
    &\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$

 

 

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

  1. Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
    $\quad$
  2. Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
    $\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
    $\quad$
  3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
    $\quad$
  4. Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
    $\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

  1. a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

  • durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
  • chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
  • chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.
  1. Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
    $\quad$
  4. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
    $\quad$
  5. Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
    a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
    $\quad$
    b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
    $\quad$
  6. a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
    $\quad$
    b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  7. a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textbf{def }\text{seuil() :}\\
    \quad\text{n = 0}\\
    \quad \text{A = 1700}\\
    \quad \textbf{while} \text{ … :}\\
    \qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
    \qquad \text{A = …}\\
    \quad \textbf{return}\text{ …}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

  1. a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
    $\quad$
    b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
    $\quad$
    b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
    Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
    $\quad$
    c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à  $12$ cm$^{2}$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
    $\quad$
    d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
    À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
    $\quad$
  4. a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
    La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
    a. $+\infty$
    b. $0,05$
    c. $-\infty$
    d. $0$
    $\quad$
  2. On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
    On peut affirmer que :
    a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
    c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
    d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
    $\quad$
  3. On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
    On peut affirmer que :
    a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
    b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
    c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
    d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
    $\quad$
  4. Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
    Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
    $\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
    $\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
    $\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
    En moyenne, le joueur :
    a. gagne $3,50$ €.
    b. perd $3$ €.
    c. perd $1,50$ €.
    d. perd $0,50$ €.
    $\quad$
  5. On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
    On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
    a. $p = \dfrac{1}{5}$
    b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
    c. $p = \dfrac{4}{5}$
    d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
    $\quad$

$\quad$