E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$OABC$ et $ODEF$ sont des carrés de côtés respectifs $3$ et $2$. $OAMF$ est un rectangle.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(DC)$.
Dans cet exercice, on pourra, si on le souhaite, se placer dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$.

  1. La droite $(OM)$ est-elle perpendiculaire à la droite $(DC)$ ?
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{CD}.\vect{CM}$
    $\quad$
  3. Déterminer la longueur $CH$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Dans le repère $\left(O;\dfrac{1}{3}\vect{OA},\dfrac{1}{3}\vect{OC}\right)$ on a $O(0;0)$, $M(3;-2)$, $D(-2;0)$ et $C(0;3)$.
    Ainsi $\vect{OM}\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{DC}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{OM}.\vect{DC}&=3\times 2+(-2)\times 3
    &=0\end{align*}$
    Ces vecteurs sont donc orthogonaux.
    Par conséquent les droites $(OM)$ et $(DC)$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. On a $\vect{CD}\begin{pmatrix}-2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=-2\times 3+(-3)\times (-5)\\
    &=9\end{align*}$
    $\quad$
  3. $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(CD)$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{CD}.\vect{CM}&=\vect{CD}.\vect{CH} \\
    &=CD \times CH\end{align*}$
    Dans le triangle $OCD$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*} CD^2&=OD^2+OC^2 \\
    &=9+4\\
    &=13\end{align*}$
    Ainsi $CD=\sqrt{13}$.
    Donc $\vect{CD}.\vect{CM}=CH\sqrt{13}$
    Or $\vect{CD}.\vect{CM}=9$
    Par conséquent $CH=\dfrac{9}{\sqrt{13}}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

$EFG$ est un triangle tel que $EF = 8$, $FG = 5$ et $\widehat{EFG}=\dfrac{3\pi}{4}$. Alors $\vect{FE}.\vect{FG}$ est égal à :

a. $20\sqrt{2}$
b. $-20\sqrt{2}$
c. $20\sqrt{3}$
d. $20\sqrt{3}$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{FE}.\vect{FG}&=FE\times FG\times \cos \widehat{EFG}\\
&=8\times 5\times \cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&=-20\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a tracé la courbe représentative d’une fonction $f$ et
sa tangente au point $A$ d’abscisse $0$.

On note $f’$ la dérivée de la fonction $f$. On a :

a. $f'(0)=2$
b. $f'(0)=-1$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(-2)=0$

$\quad$

Correction Question 2

Graphiquement le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$ est $-1$.
Donc $f'(0)=-1$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On se place dans un repère orthonormé. Une équation du cercle de centre $B( 2 ; 3)$
et de rayon $4$ est :

a. $(x+2)^2+(y+3)^2=4$
b. $(x-2)^2+(y-3)^2=4$
c. $(x-2)^2+(y-3)^2=16$
d. $(x+2)^2+(y+3)^2=16$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation cartésienne de ce cercle est $(x-2)^2+(y-3)^2=4^2$ soit $(x-2)^2+(y-3)^2=16$.

Réponse c

$\quad$

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé du plan. On a tracé ci-dessous la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $\R$.

L’équation $f(x) = -3$ a pour solution(s) :

a. $3$
b. $0$
c. $-3$
d. $0$ et $-1$

$\quad$

Correction Question 4

Graphiquement la droite d’équation $y=-3$ semble couper la courbe en deux points d’abscisse $0$ et $1$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne -3x-2y+5=0$ est :

a. $\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur normal a une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+x=0$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Donc ici, un vecteur normal à cette droite est $\vec{n}\begin{pmatrix}-3\\-2\end{pmatrix}$.
$-\vec{n}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$ est par conséquent un vecteur normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

On appelle orthocentre d’un triangle le point de concours de ses trois hauteurs.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les points $A(-4; 10)$, $B(8; 16)$ , $C(8; -2)$, $H(2 ;10)$ et $K(5 ;7)$. (Voir figure ci-dessous)

  1. Montrer que $\vect{AB}.\vect{HC}=0$ et $\vect{AC}.\vect{HB}=0$
    $\quad$
  2. Que représente le point $H$ pour le triangle $ABC$ ?
    $\quad$
  3. Montrer que $K$ est le centre du cercle passant par les sommets du triangle $ABC$.
    $\quad$
  4. On admet que $G$, le centre de gravité du triangle $ABC$, est le point qui vérifie $\vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}$ où $M$ est le milieu du segment $[BC]$. Déterminer les coordonnées de $G$.
    $\quad$
  5. Montrer que les points $G$, $H$ et $K$ sont alignés.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}12\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{HC}\begin{pmatrix}6\\-12\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{HC}&=12\times 6+6\times (-12)\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
    On a $\vect{AC}\begin{pmatrix}12\\-12\end{pmatrix}$ et $\vect{HB}\begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vect{HB}&=12\times 6+(-12)\times 6\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ainsi $(AB)$ est perpendiculaires à $(HC)$ et $(AC)$ est perpendiculaire à $(HB)$.
    Les droites $(HC)$ et $(HB)$ sont donc respectivement les hauteurs du triangles $(ABC)$ issues des sommets $C$ et $B$.
    Par conséquent $H$ est l’orthocentre du triangle $ABC$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} KA&=\sqrt{(-4-5)^2+(10-7)^2}\\
    &=\sqrt{(-9)^2+3^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    $\begin{align*} KB&=\sqrt{8-5)^2+(16-7)^2} \\
    &=\sqrt{3^2+9^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    $\begin{align*} KC&=\sqrt{(8-5)^2+(-2-7)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+(-9)^2}\\
    &=\sqrt{90}\end{align*}$
    Le point $K$ est donc équidistant des sommets du triangle $ABC$. C’est par conséquent le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  4. Les coordonnées du point $M$ sont :
    $\begin{cases}x_M=\dfrac{8+8}{2}\\y_M=\dfrac{16+(-2)}{2}\end{cases}\ssi \begin{cases}x_M=8\\y_M=7\end{cases}$.
    Ainsi $M(8;7)$.
    On a donc $\vect{AM}\begin{pmatrix}12\\-3\end{pmatrix}$
    On a, en notant $G\left(x_G;y_G\right)$ :
    $\begin{align*} \vect{AG}=\dfrac{2}{3}\vect{AM}&\ssi \begin{cases} x_G+4=\dfrac{2}{3}\times 12 \\y_G-10=\dfrac{2}{3}\times (-3)\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_G+4=8 \\y_G-10=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x_G=4 \\y_G=8\end{cases} \end{align*}$
    $\quad$
  5. On a $\vect{GK}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{GH}\begin{pmatrix} -2\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{GH}=-2\vect{GK}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Les points $G$, $H$ et $K$ sont donc alignés.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $x^2+x+2>0$ :

a. n’a pas de solution
b. a une seule solution
c. a pour ensemble de solution l’intervalle $[1 ; 2]$
d. a pour solution l’ensemble des nombres réels

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent, tous les réels sont solution de l’inéquation $x^2+x+2>0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\norme{u}=3$, $\norme{v}=2$ et $\vec{u}.\vec{v}=-1$ alors $\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2$ est égal à :

a. $11$
b. $13$
c. $15$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\norme{u}^2-\norme{v}^2\right)\\
\ssi~& -1=\dfrac{1}{2} \left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-9-4\right)\\
\ssi~&-2=\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-13\\
\ssi~&\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2=15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.
Alors la probabilité $P(A\cap B)$ est égale à :

a. $0,4$
b. $0,1$
c. $0,25$
d. $0,7$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}&\ssi 0,2=\dfrac{P(A\cap B)}{0,5} \\
&\ssi P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0=2$ et de raison $3$.
La somme $S$ définie par $S=u_0+u_1+\ldots+u_{12}$ est égale à :

a. $45$
b. $222$
c. $260$
d. $301$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2+3n$

On a :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{12} \\
&=(2+3\times 0)+(2+3\times 1)+\ldots +(2+3\times 12) \\
&=2\times 13+3(1+2+\ldots+12)\\
&=26+3\times \dfrac{12\times 13}{2} \\
&=260\end{align*}$

Réponse C

Remarque : Si en cours tu as vu la formule donnant la somme des termes d’une suite arithmétique, tu peux l’utiliser ici:
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+ \ldots+u_{12}\\
&=13\times \dfrac{u_0+u_{12}}{2}\\
&=13\times \dfrac{2+38}{2}\\
&=260\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=(2x-5)^3$.
Une expression de la dérivée de $f$ est :

a. $3(2x-5)^2$
b. $6(2x-5)^2$
c. $2(2x-5)^2$
d. $2^3$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f(x)=g(2x-5)$ et $g'(x)=3x^2$.
Donc $f$ est également dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2g'(2x-5)\\
&=2\times 3(2x-5)^2\\
&=6(2x-5)^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

On considère les points : $A(-1 ; -3)$, $B(1 ; 2)$ et $C(7 ; 1)$.

  1. Le triangle $ABC$ est-il isocèle en $B$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur arrondie au dixième de degré de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
  3. On considère le point $H$ de coordonnées$ (2,6 ; -1,2)$.
    Le point $H$ est-il le projeté orthogonal du point B sur la droite $(AC)$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} BA&=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-2)^2} \\
    &=\sqrt{4+25}\\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{(7-1)^2+(1-2)^2}\\
    &=\sqrt{36+1}\\
    &=\sqrt{37}\end{align*}$
    Par conséquent $BA\neq BC$ : le triangle $ABC$ n’est pas isocèle en $B$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=2\times8+5\times 4\\
    &=36\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}AC&=\sqrt{8^2+4^2}\\
    &=\sqrt{80}\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\
    &=\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}\end{align*}$
    Par conséquent $\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}=36$
    Donc $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{36}{\sqrt{29}\times \sqrt{80}}$
    Ainsi $\widehat{BAC}\approx 41,6$°
    $\quad$
  3. $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$
    Montrons que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
    $\begin{align*}\det\left(\vect{AC}.\vect{AH}\right)&=8\times 1,8-4\times 3,6\\
    &=14,4-14,4\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Le point $H$ appartient donc à la droite $(AC)$.
    Montrons maintenant que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}1,6\\-3,2\end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BH}&=8\times 1,6+4\times (-3,2)\\
    &=12,8-12,8\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Lors d’une même expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ vérifient : $$P(A)=0,4 \quad;\quad P(B)=0,6\quad;\quad P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3$$
Alors :

a. $P(A\cap B)=0,1$
b. $P(A\cap B)=0,24$
c. $P(A\cup B)=1$
d. $P(A\cup B)=0,7$

$\quad$

Correction Question 1

$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(A)=P(A\cap B)+P\left(A\cap \conj{B}\right) \\
\ssi~&0,4=P(A\cap B)+0,3\\
\ssi~&P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+4$ . L’abscisse du minimum de $f$ est :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 2

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction possède donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} \alpha&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5=26$ et $u_9=8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

a. $-18$
b. $\dfrac{8}{26}$
c. $4,5$
d. $-4,5$

$\quad$

Correction Question 3

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a donc
$\begin{align*} u_9=u_5+4r&\ssi 8=26+4r\\
&\ssi -18=4r\\
&\ssi r=-4,5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère l’algorithme suivant, écrit en langage usuel :
$$\begin{array}{l}
\text{Suite(N)}\\
\hspace{1cm} \text{A}\leftarrow 10\\
\hspace{1cm} \text{Pour k de 1 à N}\\
\hspace{2cm} \text{A}\leftarrow \text{2*A-4}\\
\hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
\hspace{1cm} \text{Renvoyer A}\end{array}$$
Pour la valeur $N=4$ le résultat affiché sera :

a. $4$
b. $100$
c. $52$
d. $196$

$\quad$

Correction Question 4

Voici les différentes valeurs prises par les variables $\text{A}$ et $\text{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{k}&&1&2&3&4\\
\hline
\text{A}&10&16&28&52&100\\
\hline
\end{array}$$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=2$.

Alors le produit scalaire $\vect{AC}.\vect{DB}$ vaut :

a. $0$
b. $5$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{DB}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB} \\
&=0+AB^2-BC^2+0 \qquad (*)\\
&=9-4\\
&=5\end{align*}$

$(*)$ car $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ sont colinéaires de sens contraire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le rectangle $OABC$ ci-dessous représente une place touristique vue de dessus.
Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$ tel que ⃗$\vect{OC}=24\vec{i}$ et$\vect{OA}=35\vec{j}$.
Afin d’éclairer le plus grand nombre de monuments, on place au point $O$, un projecteur lumineux qui permet d’éclairer la partie du plan délimitée par les segments de droite $[OK]$ et $[OL]$ tels que $K$ est le milieu de $[AB]$ et $\vect{CL}=\dfrac{1}{5}\vect{CB}$.

  1. Déterminer par lecture graphique les coordonnées des points $A$, $B$, $C$, $K$ et $L$.
    $\quad$
  2. Un visiteur affirme : « Moins de $70\%$ de la surface de la place est éclairée ».
    Cette affirmation est-elle exacte ?
    $\quad$
  3. a. Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{OK}$ et $\vect{OL}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le produit scalaire $\vect{Ok}.\vect{OL}$ est égal à $533$.
    $\quad$
    c. En déduire la mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{KOL}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Graphiquement :
    – les coordonnées de $A$ sont $(0;35)$
    – les coordonnées de $B$ sont $(24;35)$
    – les coordonnées de $C$ sont $(24;0)$
    – les coordonnées de $K$ sont $(12;35)$
    – les coordonnées de $L$ sont $(24;7)$
    $\quad$
  2. L’aire du rectangle $OABC$ est :
    $\begin{align*}\mathscr{A}_{OABC}&=24\times 35\\
    &=840\end{align*}$
    L’aire du triangle $OAK$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OAK}&=\dfrac{12\times 35}{2}\\
    &=210\end{align*}$
    L’aire du triangle $OCL$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}_{OCL}&=\dfrac{24\times 7}{2}\\
    &=84\end{align*}$
    La partie non éclairée a une aire égale à $84+210=294$.
    Cela $\dfrac{294}{840}=35\%$ de la surface de la place.
    Par conséquent $65\%$ de la surface de la place est éclairée.
    L’affirmation est exacte.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vect{OK}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}12\\35\end{pmatrix}$.
    Le vecteur $\vect{OL}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}24\\7\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=12\times 24+35\times 7\\
    &=533\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a :
    $\begin{align*} OK&=\sqrt{12^2+35^2}\\
    &=37\end{align*}$
    $\begin{align*} OL&=\sqrt{24^2+7^2}\\
    &=25\end{align*}$
    Par définition
    $\begin{align*} \vect{OK}.\vect{OL}&=OK\times OL\times \cos\widehat{KOL} \\
    &=37\times 25\times \cos\widehat{KOL}\\
    &=925 \cos\widehat{KOL}\end{align*}$
    Par conséquent :
    $925\cos \widehat{KOL}=533 \ssi \cos \widehat{KOL}=\dfrac{533}{925}$
    Ainsi $\widehat{KOL}\approx 55$°
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère les points $E(3 ; −4)$ et $F(7 ; 2)$.
La droite $(EF)$ passe par le point :

a. $A(0;8)$
b. $B(5,5;0)$
c. $C(13;11)$
d. $D(-25;45)$

$\quad$

Correction Question 1

On a $\vect{EF}\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}$
On va déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EA}$, $\vect{EB}$, $\vect{EC}$ et $\vect{ED}$ et tester leur colinéarité avec le vecteur $\vect{EF}$.

$\vect{EA}\begin{pmatrix}-3\\12\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EB}\begin{pmatrix}2,5\\4\end{pmatrix}$ ,  $\vect{EC}\begin{pmatrix}10\\15\end{pmatrix}$ ,  $\vect{ED}\begin{pmatrix}-28\\49\end{pmatrix}$

On constate que $10\times 6-4\times 45=0$. Donc $\vect{EC}$ et $\vect{EF}$ sont colinéaires. Le point $C$ appartient à la droite $(EF)$.

Réponse C

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la droite $D$ qui a pour équation réduite $y=-2x+4$
Parmi les vecteurs suivants, déterminer celui qui est un vecteur normal de la droite $D$ :

a. $\vec{n_1}(2;1)$
b. $\vec{n_2}(-1;2)$
c. $\vec{n_3}(1;-2)$
d. $\vec{n_4}(-2;1)$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation cartésienne de la droite $d$ est donc $2x+y-4=0$.
Un vecteur normal à cette droite est par conséquent $\vec{n}(2;1)$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3
Soit $ABCD$ un carré de côté $6$ et $I$ le milieu de $[BC]$. Alors le produit scalaire $\vect{AD};\vect{AI}$ vaut :

a. $-18$
b. $18$
c. $36$
d. $9\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 3

On appelle $J$ le projeté orthogonal du point $I$ sur la droite $(AD)$. $J$ est alors le milieu du segment $[AD]$.
Ainsi $\vect{AD}.\vect{AI}=\vect{AD}.\vect{AJ}$.
Les vecteurs $\vect{AD}$ et $\vect{AJ}$ sont colinéaires et de même sens.
Ainsi
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\vect{AJ} \\
&=AD\times AJ \\
&=6\times 3\\
&=18\end{align*}$

Autre méthode

$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{AI}&=\vect{AD}.\left(\vect{AB}+\vect{BI}\right)\\
&=\vect{AD}.\vect{AB}+\vect{AD}.\vect{BI} \\
&=0+\dfrac{1}{2}\vect{AD}.\vect{BC}\\
&=\dfrac{1}{2}\times 6\times 6 \\
&=18\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a pour image le point :

a. $E$
b. $F$
c. $G$
d. $H$

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} \dfrac{14\pi}{3}&=\dfrac{12+2\pi}{3} \\
&=\dfrac{12\pi}{3}+\dfrac{2\pi}{3}\\
&=4\pi+\dfrac{2\pi}{3} \\
&=2\times 2\pi+\dfrac{2\pi}{3}\end{align*}$
Le nombre $\dfrac{14\pi}{3}$ a donc pour image $F$

Autre méthode :

À l’aide de la calculatrice, on obtient :
$\cos \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}$ et $\sin \left(\dfrac{14\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. L’image de $\dfrac{14\pi}{3}$ appartient donc au quadrant supérieur gauche; c’est le point $F$.

Réponse F

$\quad$

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$\quad$

Soit le réel $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$ tel que $\sin x=0,8$. Alors :

a. $\cos(x)=0,6$
b. $\cos(x)=-0,6$
c. $\cos(x)=0,2$
d. $\cos(x)=-0,2$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$
Ainsi
$\begin{align*} &\cos^2(x)+\sin^2(x)=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,8^2=1 \\
\ssi~&\cos^2(x)+0,64=1\\
\ssi~&\cos^2(x)=0,36\\
\ssi~&\cos(x)=0,6 \text{ ou }\cos(x)=-0,6\end{align*}$
On sait que $x$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$. Donc $\cos(x)<0$.
Par conséquent $\cos(x)=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Dans cet exercice, on se place dans un repère orthonormé.

Question 1

Un vecteur normal à la droite d’équation cartésienne $2x-5y+3=0$ a pour coordonnées :

a. $\begin{pmatrix} -5\\2\end{pmatrix}$
b. $\begin{pmatrix} 2\\5\end{pmatrix}$
c. $\begin{pmatrix} 5\\2\end{pmatrix}$
d. $\begin{pmatrix} -2\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur normal à la cette droite est le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}$.
Le vecteur $-\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}-2\\5\end{pmatrix}$ est donc également normal à cette droite.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Le centre $A$ du cercle d’équation $x^2+y^2+6x-8y=0$ est :

a. $A(3;4)$
b. $A(-3;4)$
c. $A(-4;3)$
d. $A(4;-3)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} &x^2+y^2+6x-8y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+y^2-2\times 4y=0\\
\ssi~&x^2+2\times 3x+3^2-3^2+y^2-2\times 4y+4^2-4^2=0\\
\ssi~&(x+3)^2-9+(y-4)^2-16=0\\
\ssi~&(x+3)^2+(y-4)^2=25\\
\ssi~&\left((x-(-3)\right)^2+(y-4)^2=5^2\end{align*}$
Il s’agit donc de l’équation cartésienne du cercle de centre $A(-3;4)$ et de rayon $5$.

Réponse B

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère un triangle $ABC$ tel que $AB = 3$, $BC = 5$ et $AC = 6$, on a alors $\vect{AB}.\vect{AC}$ égal à :

a. $-18$
b. $10$
c. $26$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après la propriété 7 on a
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left(3^2+6^2-5^2\right) \\
&=10\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le nombre réel $\dfrac{-3\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{7\pi}{4}$
c. $\dfrac{13\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 4

Deux réels $x$ et $y$ sont associés au même point du cercle si, et seulement si, $x-y=2k\pi$ où $k\in \Z$.

Or :
$\begin{array}{l}\dfrac{-3\pi}{4}-\left(\dfrac{-14\pi}{4}\right)=\dfrac{11\pi}{4}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{-5\pi}{2}\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{13\pi}{4}=-4\pi=-2\times 2\pi \checkmark\\
\dfrac{-3\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=\dfrac{-11\pi}{2}\end{array}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=(4x-7)^3$ a pour fonction dérivée :

a. $g'(x)=3(4x-7)^2$
b. $g'(x)=12(4x-7)$
c. $g'(x)=12x-21$
d. $g'(x)=12(4x-7)^2$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3$.
Ainsi $g(x)=f(4x-7)$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=3x^2$
Donc, par composition, $g$ l’est aussi.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=4f'(4x-7) \\
&=4\times 3(4x-7)^2 \\
&=12(4x-7)^2\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : Les calculatrices savent calculer des nombres dérivés. On pouvait donc faire calculer d’un côté, par exemple, $g'(\pi)$ et de l’autre côté faire calculer les images de $\pi$ par chacune des fonctions et comparer les résultats. On peut bien évidemment remplacer $\pi$^par la valeur de son choix. S’il est impossible, pour une valeur donnée, de choisir une proposition il faut alors changer de valeur. Cette méthode peu élégante permet de trouver la bonne réponse dans des situations désespérées.

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\sin(x)-x$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ?

a. $f$ est paire
b. $f$ est impaire
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=f(x)$
c. Pour tout réel $x$, $f(x+2\pi)=-f(x)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $-x\in \R$ et
$\begin{align*} f(-x)&=\sin(-x)-(-x)\\
&=-\sin(x)+x\\
&=-\left(\sin(x)-x\right)\\
&=-f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc impaire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $2\cos(x)-\sqrt{3}=0$ a pour solutions :

a. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
b. $-\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
c. $-\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Dans l’intervalle $]-\pi;\pi]$
$\begin{align*} 2\cos(x)-\sqrt{3}=0 &\ssi \cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
&\ssi x=\dfrac{\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{\pi}{6}\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que :
$AB+3$, $AD=4$ et $\widehat{BAD}=\dfrac{\pi}{3}$.

Alors $\vect{DA}.\vect{DC}$ est égal à :

a. $12$
b. $-12$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} \vect{DA}.\vect{DC}&=DA\times DC\times \cos \widehat{ADC} \\
&=3\times 4\times \dfrac{1}{2}\\
&=6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$


$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère la droite $\left(d_1\right)$ d’équation $3x-4y+1 = 0$. La droite $\left(d_2\right)$ perpendiculaire à $\left(d_1\right)$ et
passant par le point $A(1 ; 1)$ a pour équation :

a. $4x+3y=0$
b. $4x+3y-7=0$
c. $x+3-2=0$
d. $-4x+3y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est $3x-4y+1=0$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\left(d_2\right)$.
Une équation cartésienne de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-4x-3y+c=0$
Le point $A(1;1)$ appartient à cette droite.
Ainsi $-4-3+c=0 \ssi c=7$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_2\right)$ est donc $-4x-3y+7=0$ ou également, en multipliant les deux membres par $-1$, $4x+3y-7=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$. Les droites $(d)$ et $\left(d’\right)$ d’équations respectives $2x-y+5=0$ et $-4x+2y+7=0$ sont :

a. confondues
b. sécantes
c. parallèles
d. perpendiculaires

$\quad$

Correction Question 5

Un vecteur directeur de la droite $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la droite $\left(d’\right)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-2\\-4\end{pmatrix}$
On constate donc que $\vec{v}=-2\vec{u}$.
Les droites $(d)$ et $(d’)$ sont donc parallèles.
Il reste à déterminer si elles sont confondues ou non.
Le point $A(0;5)$ appartient clairement à la droite $(d)$.
Or $-4\times 0+\times 5+7\neq 0$.
Le point $A$ n’appartient donc pas à la droite $\left(d’\right)$.
Les droites sont strictement parallèles.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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