solution-E3C2 – Spécialité maths – Vrai Faux – 2020

Vrai / Faux

E3C2 – 1ère

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse devra être justifiée.
Toute démarche de justification même non aboutie sera prise en compte.

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on donne les points :
$$?(2 ; -2) , \quad B(4 ; 0) ,\quad C(0 ; −5) ,\quad D(-7 ; 1)$$
Affirmation 1 : Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Affirmation 2 : Une équation de la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$ est : $$y = x- 5$$
$\quad$
Affirmation 3 : Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est : $$(x-2)^2+(y+2)^2=8$$
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie pour tout $x\in]0;+\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{\e^x}{x}$$ On note $f’$ sa fonction dérivée.
Affirmation 4 : $f'(1)=0$
$\quad$
On donne $\cos\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$
Affirmation 5 : $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)<0$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Affirmation 1 fausse

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-7\\6\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CD}&=2\times (-7)+2\times 6\\
&=-2\\
&\neq 0\end{align*}$
Les vecteurs ne sont pas orthogonaux. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas perpendiculaires.

$\quad$

Affirmation 2 fausse

On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$
$\vect{AB}$ est un vecteur normal à droite $d$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $2x+2y+c=0$.
$C(0;-5)$ appartient à $d$ donc $0-10+c=0 \ssi c=10$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc $2x+2y+10=0$ ou encore $x+y+5=0$
Par conséquent $y=-5-x$

$\quad$

Affirmation 3 vraie

$AB$ est un rayon de ce cercle. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$.
$\begin{align*} AB^2&=2^2+2^2\\
&=8\end{align*}$
Une équation du cercle de centre $A$ passant par $B$ est donc :
$(x-2)^2+\left(y-(-2)\right)^2=8$ soit $(x-2)^2+(y+2)^2=8$.

$\quad$

Affirmation 4 vraie

$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\times x-\e^x\times 1}{x^2} \\
&=\dfrac{(x-1)\e^x}{x^2}\end{align*}$
Par conséquent $f'(1)=0$

$\quad$

Affirmation 5 fausse

$\dfrac{2\pi}{5}\in ]0;\pi[$ donc $\sin\left(\dfrac{2\pi}{5}\right)>0$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une fonction du second degré $f$ a pour forme canonique valable pour tout réel $x$ : $f(x)=3(x+2)^2+5$.
Concernant son discriminant :

a. on peut dire qu’il est nul
b. on peut dire qu’il est strictement positif
c. on peut dire qu’il est strictement négatif
d. on ne peut rien dire sur son signe

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)\pg 5$.
Donc l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution réelle.
Son discriminant est donc strictement négatif.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est :

a. $\vec{u}(2;3)$
b. $\vec{u}(-3;2)$
c. $\vec{u}(3;2)$
d. $\vec{u}(-2;3)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est $\vec{u}(-3;2)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(3; -1)$, $B( 4 ; 2)$ et $C (1 ; 1)$.
Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $-4$
b. $2$
c. $4$
d. $8$

$\quad$

Correction Question 3

On a $\vec{AB}(1;3)$ et $\vec{AC}(-2;2)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=1\times (-2)+3\times 2 \\
&=-2+6\\
&=4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $g(x)=(2x+1)\e^x$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :

a. $2\e^x$
b. $2x\e^x$
c. $(2x+2)\e^x$
d. $(2x+3)\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x+1)\e^x \\
&=(2+2x+1)\e^x \\
&=(2x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\sin(x+\pi)$ est égal à :

a. $\cos x$
b. $\sin x$
c. $-\cos x$
d. $-\sin x$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Sur l’ensemble des nombres réels, la fonction polynôme $f$ définie par $f(x)=x^2+2x+c$.

a. change de signe exactement $2$ fois
b. change de signe exactement une fois
c. est toujours positive
d. est toujours négative

$\quad$

Correction Question 1

$c>1$ donc $1-c<0$

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times c\\
&=4(1-c)\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.

Ainsi $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Si $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ tel que $\cos x =\dfrac{3}{5}$, alors $\sin x$ a pour valeur

a. $\dfrac{4}{5}$
b. $-\dfrac{4}{5}$
c. $-\dfrac{2}{5}$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 2

$x$ appartient à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ donc $\sin x\pp 0$.
Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Donc $\dfrac{9}{25}+\sin^2 x=1 \ssi \sin^2x=\dfrac{16}{25}$
Ainsi $\sin x=\dfrac{4}{5}$ ou $\sin x=-\dfrac{4}{5}$
Puisque $\sin x\pp 0$ on a $\sin x=-\dfrac{4}{5}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré. On a :

a. $\vect{AB}.\vect{AD}=0$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0$
c. $\vect{AB}.\vect{AB}=0$
d. $\vect{AB}.\vect{DC}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABCD$ est un carré. Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont donc perpendiculaires.
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

La droite d’équation $2x-y+1=0$coupe l’axe des abscisses au point $A$ de coordonnées :

a. $A(0 ; 1)$
b. $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$
c. $A(0 ; -1)$
d. $A\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation $2x-0+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x}{\e^{-x}}$ est égal à

a. $-1$
b. $\e^{-2x}$
c. $\left(\e^x\right)^2$
d. $\e^0$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\e^x}{\e^{-x}}&=\e^{x-(-x)}\\
&=\e^{2x}\\
&=\left(\e^x\right)^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Question 1

La courbe ci-contre $C_f$ est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction $f$. Les droites $d$ et $d’$ sont respectivement les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisses $1$ et $2$.
Les équations réduites de $d$ et $d’$ sont respectivement :
$d : y = 2x-2$ et $d’ : y = -x+ 2$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $f'(1)=0$
b. $f'(2)=2$
c. $f'(2)=-1$
d. $f'(1)=-2$

$\quad$

Correction Question 1

$f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $d$ et $f'(2)$ est le coefficient directeur de la droite $d’$.
Ainsi $f(1)=2$ et $f'(2)=-1$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit $x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ tel que $\sin x=\dfrac{1}{2}$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\cos x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $x=\dfrac{\pi}{6}$
c. $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $x=-\dfrac{7\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 2

$x\in \left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]$ ce qui exclut les propositions b. et d.
Cela implique également que $\cos x<0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(3 ; 4)$ et $(4 ; 0)$.

Parmi les propositions suivantes, laquelle est juste?

a. $\vect{OA}.\vect{OB}=20$
b. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{\sqrt{17}}{5}$
c. $\cos\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$
d. $\sin\left(\widehat{AOB}\right)=\dfrac{4}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

$\widehat{AOB}=\widehat{AOH}$

Dans le triangle $AOH$, rectangle en $H$ on a :
$\begin{align*} \sin \widehat{AOB}&=\dfrac{AH}{OA}\\
&=\dfrac{4}{5}\end{align*}$

Réponse D

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $d$ une droite dont une équation cartésienne est : $3x + 2y-10 = 0$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ perpendiculaire à la droite $d$ et passant par le point $A$ de coordonnées $(1 ; 2)$ est :

a. $3x+2y-7=0$
b. $2x+3y-8=0$
c. $2x-3y+4=0$
d. $3x-2y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d’$. Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y+c=0$.
Le point $A(1;2)$ appartient à la droite $d’$.
Par conséquent $-2+6+c=0 \ssi c=-4$.
Une équation cartésienne de la droite $d’$ est alors $-2x+3y-4=0$ ou encore $2x-3y+4=0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $(O, I, J)$ un repère orthonormé du plan.
Soit $A$ et $B$ deux points de coordonnées respectives $(1 ; 2)$ et $(5 ;-2)$.
Une équation cartésienne du cercle $C$ de diamètre $[AB]$ est :

a. $x^2+y^2-8x-2y+7=0$
b. $(x-1)^2+(y-2)^2=32$
c. $x^2+y^2-4x+2y-5=0$
d. $x^2+y^2-6x+1=0$

$\quad$

Correction Question 5

Le diamètre du cercle $C$ est :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{(5-1)^2+(-2-2)^2}\\
&=\sqrt{16+16}\\
&=\sqrt{32}\end{align*}$

Le rayon du cercle $C$ est :
$\begin{align*} R&=\dfrac{AB}{2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$

Le centre du cercle $C$ est le milieu $M$ du segment $[AB]$.
$M$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+5}{2};\dfrac{2+(-2)}{2}\right)$ soit $(3;0)$.

Une équation cartésienne du cercle $C$ est par conséquent :
$\begin{align*} &(x-3)^2+(y-0)^2=8 \\
\ssi~& x^2-6x+9+y^2-8=0\\
\ssi~&x^2-6x+y^2+1=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

$\Oij$ est un repère orthonormé du plan.
On considère les points $A,B$ et $C$ de coordonnées respectives $(-2 ; 0)$, $(6 ; 0)$ et $(0 ; 6)$.
Les points $A’$, $B’$ et $C’$ milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
Le cercle $\Gamma$ passant par les points $A’$, $B’$ et $C’$ a pour centre le point $I$ de coordonnées $(1 ; 2)$.

a. Calculer le rayon de ce cercle.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation du cercle $\Gamma$ est $(x-1)^2+(y-2)^2=5$
$\quad$
Propriété des hauteurs du triangle $ABC$
a. On admet que $O$ est le pied de la hauteur issue de $C$. Montrer que le point $O$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$
b. Soit $H_A$ le pied de la hauteur issue de $A$. Montrer que $H_A$ a pour coordonnées $(2 ; 4)$.
$\quad$
c. Justifier que la point $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Le point $A’$, milieu de $[BC]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{6+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(3;3)$.
Ainsi le rayon du cercle de centre $I$ et passant par $A’$ est :
$\begin{align*} R&=\sqrt{(3-1)^2+(3-2)^2}\\
&=\sqrt{2^2+1^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
b. Une équation du cercle $\Gamma$ est donc $(x-1)^2+(y-2)^2=\sqrt{5}^2$ soit $(x-1)^2+(y-2)^2=5$.
$\quad$
a. On a :
$(0-1)^2+(0-2)^2=1+4=5$
Donc $O(0;0)$ appartient à $\Gamma$.
$\quad$
b. Montrons tout d’abord que le point $H$ de coordonnées $(2;4)$ appartient à la droite $(BC)$.
On a $\vect{BC}\begin{pmatrix} -6\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}-4\\4\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{BH}=\dfrac{2}{3}\vect{BC}$.
Ces deux vecteurs sont colinéaires et donc le point $H$ appartient à la droite $(BC)$.
$\quad$
$\vect{AH}\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}$
$\begin{align*}\vect{AH}.\vect{BC}&=-6\times 4+6\times 4\\
&=0\end{align*}$
Ainsi $(AH)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires.
Par conséquent $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$.
Donc $H_A$ a bien pour coordonnées $(2;4)$.
$\quad$
c. On a $(2-1)^2+(4-2)^2=1+4=5$
Donc $H_A$ est sur le cercle $\Gamma$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le centre commercial « L’autre faubourg » de Cholet a été conçu en forme circulaire de $110$ m de rayon permettant une visibilité à $360$° et une accessibilité optimale, notamment aux personnes à mobilité réduite.

Le parking, situé à l’intérieur du disque, dessert l’ensemble des $32$ magasins.

On munit le plan d’un repère orthonormé de centre $O$.

L’unité est le mètre.

Les entrées des magasins du centre commercial sont situées sur le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $110$.

Une allée centrale couverte a été construite afin de permettre aux automobilistes de rejoindre les magasins en cas d’intempéries. Elle est modélisée par la droite $(AD)$ avec $A(-30; 15)$ et $D(80; -40)$.
a. Déterminer une équation du cercle $\mathcal{C}$.
$\quad$
b. Démontrer que le point $O$ appartient à la droite $(AD)$.
$\quad$
Camille qui vient de garer sa voiture en $G(-10; -10)$ sous une pluie battante, souhaite se mettre à l’abri sous cette allée centrale, le plus rapidement possible.
a. Calculer le produit scalaire $\vect{AG}.\vect{AO}$
$\quad$
b. Le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$ est-il $O$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Une équation du cercle $\mathcal{C}$ est $(x-0)^2+(y-0)^2=110^2$ soit $x^2+y^2=12~100$.
$\quad$
b. $\vect{AO}\begin{pmatrix}30\\-15\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}110\\-55\end{pmatrix}$
$\begin{align*}\text{det}\left(\vect{AO},\vect{AD}\right)&=30\times (-55)-(-15)\times 110 \\
&=-1~650+1~650\\
&=0\end{align*}$
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
Le point $O$ appartient bien à la droite $(AD)$.
$\quad$
a. $\vect{AG}\begin{pmatrix}20\\-25\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AG}.\vect{AO}&=20\times 30+(-15)\times (-25)\\
&=600+375\\
&=975\end{align*}$
$\quad$
b. $\vect{OG}\begin{pmatrix} -10\\-10\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AO}.\vect{OG}&=30\times (-10)+(-15)\times (-10)\\
&=-300+150\\
&=-150\\
&\neq 0\end{align*}$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$
Autre solution : Si $O$ est le point le plus proche de $G$ alors $O$ est le projeté orthogonal de $G$ sur la droite $(AD)$.
On a alors $\vect{AO}.\vect{OG}=\vect{AO}.\vect{AO} = AO^2$
Or $AO^2=(-30)^2+15^2=1~125$
OR $1~125\neq 975$
Le point $O$ n’est donc pas le projeté orthogonal du point $G$ sur la droite $(AD)$.
Par conséquent $O$ n’est pas le point de la droite $(AD)$ le plus proche de $G$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\e^{2x}+\e^{4x}$ est égal à

a. $\e^{6x}$
b. $\e^{2x}\left(1+\e^2\right)$
c. $\e^{3x}\left(\e^x+\e^{-x}\right)$
d. $\e^{8x^2}$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} e^{2x}+\e^{4x}&=\e^{2x}\times 1+\e^{2x}\times \e^{2x}\\
&=\e^{2x}\left(1+\e^{2x}\right)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère $\Oij$, on considère les vecteurs $\vec{u}(-5;2)$ et $\vec{v}(4;10)$ et la droite $(d)$ d’équation : $5x+2y+3=0$.

a. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
b. $\vec{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d)$
c. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
d. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $(d)$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-5\times 4+2\times 10\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

Question 3

La dérivée $f’$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(2x-1)\e^{-x}$ est :

a. $2x\e^{-x}$
b. $-2x\e^{-x}$
c. $(-2x+3)\e^{-x}$
d. $2\e^{-x}+(2x-1)\e^{-x}$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+(2x-1)\times \left(-\e^{-x}\right)\\
&=(2-2x+1)\e^{-x}\\
&=(3-2x)\e^{-x}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Pour tout réel $x$, on a $\sin(\pi+x)=$

a. $-\sin(x)$
b. $\cos(x)$
c. $\sin(x)$
d. $-\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
La tangente à la courbe au point $A$ est la droite $T$.

a. $f'(0)=3$
b. $f'(0)=\dfrac{1}{5}$
c. $f'(0)=5$
d. $f'(0)=-5$

$\quad$

Correction Question 5

$f'(0)$ est le coefficient directeur de la droite $T$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(0;3)$ et $(1;-2)$.
Donc :
$\begin{align*} f'(0)&=\dfrac{-2-3}{1-0}\\
&=-5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
$\quad$
Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
$\quad$
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
$\quad$
Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
&=\sqrt{3^2+1^2}\\
&=\sqrt{10}\end{align*}$
Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
Donc :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
&=0\end{align*}$
$\quad$
Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
$\quad$
Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
$\quad$
Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Les solutions de cette équation sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
&=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
&=-1\end{align*}$
Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\Oij$. On considère le triangle $OAB$ où $O$ est l’origine du repère, $A$ le point de coordonnées $(8 ; 0)$ et $B$ celui de coordonnées $(0 ; 6)$.

On considère le point $E$, milieu du segment $[AB]$.

La figure est donnée en annexe, elle sera complétée au fur et à mesure et sera rendue avec la copie.

On rappelle que dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé et que le centre de gravité d’un triangle est le point de concours de ses $3$ médianes.

Calculer les $2$ produits scalaires suivants :
a. $\vect{OA}.\vect{OB}$
$\quad$
b. $\vect{OA}.\vect{OE}$
$\quad$
a. Justifier que l’équation $1,5x + y-6 = 0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$. Tracer cette médiane sur la figure annexe.
$\quad$
b. Déterminer une équation de la médiane issue de $O$ dans le triangle $OAB$.
$\quad$
c. Déterminer les coordonnées du point $G$, centre de gravité du triangle $OAB$.
Placer le point $G$ sur la figure annexe.
$\quad$

Annexe

$\quad$

Correction Exercice

a. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$. Par conséquent $\vect{OA}.\vect{OB}=0$.
$\quad$
b. $E$ est le milieu de $[AB]$. Ses coordonnées sont donc $\left(\dfrac{8+0}{2};\dfrac{0+6}{2}\right)$ soit $(4;3)$.
Par conséquent $\vect{OA}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}8\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{OE}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 4\\3\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*}\vect{OA}.\vect{OE}&=8\times 4+0\times 3\\
&=32\end{align*}$
$\quad$
a. $1,5\times 0+6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $B$.
Le point $F(4;0)$ est le milieu du segment $[OA]$.
$1,5\times 4+0-6=6-6=0$ : la droite d’équation $1,5x+y-6=0$ passe donc par le point $F$.
Ainsi, $1,5x+y-6=0$ est une équation cartésienne de la médiane issue du point $B$ dans le triangle $OAB$.
Voir la figure à la question 2.c
$\quad$
b. Cette médiane passe par l’origine du repère.
Une équation de cette droite est donc de la forme $y=ax$.
Elle passe par le point $E(4;3)$ Par conséquent $3=4a \ssi a=\dfrac{3}{4}$.
Une équation de la médiane issue du point $O$ dans le triangle $OAB$ est donc $y=\dfrac{3}{4}x$.
$\quad$
c. Le point $G$ est le point d’intersection des médianes du triangle $OAB$.
Les coordonnées du point $G$ sont donc solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+y-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=\dfrac{3}{4}x\\1,5x+\dfrac{3}{4}x-6=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\2,25x=6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}y=\dfrac{3}{4}x\\x=\dfrac{8}{3}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{8}{3}\\y=2\end{cases} \end{align*}$
Le point $G$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{8}{3};2\right)$.
$\quad$

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A$, $B$ et $C$ de coordonnées : $A (7 ; -2)$, $B (7 ; 4)$ et $C(1 ; 1)$.

Montrer que $Y=1$ est une équation de la droite $\left(d_1\right)$ passant par $C$ et perpendiculaire à
$(AB)$.
$\quad$
Que représente cette droite pour le triangle $ABC$ ?
$\quad$
Donner une équation de la droite $\left(d_2\right)$, hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $B$.
$\quad$
On appelle $H$ le point d’intersection des droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
Donner en justifiant la valeur du produit scalaire : $\vect{AH}.\vect{CB}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}0\\6\end{pmatrix}$.
Une équation cartésienne de la droite $\left(d_1\right)$ est donc de la forme $6y+c=0$
Le point $C(1;1)$ appartient à $\left(d_1\right)$.
Par conséquent $6+c=0 \ssi c=-6$.
Une équation de $\left(d_1\right)$ est donc $6y-6=0$ soit $y=1$.
$\quad$
La droite $\left(d_1\right)$ est donc la hauteur issue de $C$ du triangle $ABC$.
Remarque : Le triangle $ABC$ étant isocèle en $C$ (on le prouve en calculant $AC$ et $BC$), cette droite est également la médiane issue de $C$ et la médiatrice du segment $[AB]$.
$\quad$
La droite $\left(d_2\right)$ passe donc par $B$ et est perpendiculaire à $(AC)$.
$\vect{AC}\begin{pmatrix}-6\\3\end{pmatrix}$
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc de la forme $-6x+3y+c=0$
Le point $B(7;4)$ appartient à cette droite.
Par conséquent $-42+12+c=0 \ssi c=30$.
Une équation de $\left(d_2\right)$ est donc $-6x+3y+30=0$ soit $-2x+y+10=0$.
$\quad$
Le point $H$ est donc l’orthocentre du triangle $ABC$. Par conséquent la droite $(AH)$ est la hauteur issue du point $A$ du triangle $ABC$. Elle est donc perpendiculaire à la droite $(BC)$.
Ainsi $\vect{AH}.\vect{CB}=0$.
$\quad$

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$\quad$

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