produit scalaire

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des cinq questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse ne rapportent ni n’enlèvent aucun point.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre qui correspond à la réponse choisie.

Question 1

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère trois points du plan $A$, $B$ et $C$ tels que $AB = 2$ ; $AC = \sqrt{3}$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{5\pi}{6}$.
Alors $\vect{AB}.\vect{AC}=$

a. $2\sqrt{3}$
b. $3$
c. $-2\sqrt{3}$
a. $-3$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=2\sqrt{3}\cos \left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \\
&=2\sqrt{3}\times \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&=-3\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $a$ un nombre réel. On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}\sin(a)\\\cos(a)\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}-\cos(a)\\\sin(a)\end{pmatrix}$. Alors $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à

a. $\sin^2(a)+\cos^2(a)$
b. $1$
c. $\sin^2(a)-\cos^2(a)$
d. $0$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\sin(a)\times \left(-\cos(a)\right)+\cos(a)\times \sin(a) \\
&=0\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère les points $A(2;8)$, $B\left(\dfrac{25}{3};0\right)$, $C(7;-5)$ et $D(3;0)$.
Alors, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont :

a. parallèles
b. perpendiculaires
c. sécantes
d. confondues

$\quad$

Correction Question 3

$\vect{AB}\begin{pmatrix}\dfrac{19}{3}\\-8\end{pmatrix}$ et $\vect{CD}\begin{pmatrix}-4;5\end{pmatrix}$

det$\left(\vect{AB},\vect{CD}\right)=\dfrac{19}{3}\times 5-(-8)\times (-4)\neq 0$ : les droites ne sont donc ni confondues, ni parallèles.

$\vect{AB}.\vect{CD}=\dfrac{19}{3}\times (-4)+(-8)\times 5\neq 0$ : les droites ne sont pas perpendiculaires.

Elles sont donc sécantes.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On munit le plan du repère orthonormé $\Oij$.
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\dfrac{3}{x}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans ce repère. L’équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $1$ est :

a. $y=-3x+6$
b. $y=-3x$
c. $y=3x$
d. $y=3x+6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable pour tout $x\neq 0$.
On a alors $f'(x)=-\dfrac{3}{x^2}$.
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(1)(x-1)+f(1)$
Or $f(1)=3$ et $f'(1)=-3$.
Une équation de la tangente est donc $y=-3(x-1)+3$ soit $y=-3x+6$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions dans $\R$ de l’équation $x^2=6x-5$ est :

a. $S=\left\{1;5\right\}$
b. $S=\left\{1\right\}$
c. $S=\emptyset$
d. $S=\left\{-5;-1\right\}$

$\quad$

Correction Question 5

$x^2=6x-5\ssi x^2-6x+5=0$
Le discriminant associé à cette équation du second degré est :
$\begin{align*} \Delta &=(-6)^2-4\times 1\times 5\\
&=16\\
&>0\end{align*}$
Les deux solutions réelles sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{6-\sqrt{16}}{2}\\
&=1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{6+\sqrt{16}}{2} \\&=5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}(3;-6)$.
Le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à :

a. $18$
b. $-30$
c. $0$
d. $24$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-2\times 3+4\times (-6)\\
&=-30\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC==7$ et $\widehat{BAC}=60$°.
Quelle est la longueur du côté $[BC]$ ?

a. $BC=\sqrt{109}$
b. $BC=\sqrt{74}$
c. $BC=-35\sqrt{3}+74$
d. $BC=\sqrt{39}$

$\quad$

Correction Question 2

On a d’une part :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=35\cos 60\\
&=17,5\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} &\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\\
\ssi~& 17,5=\dfrac{1}{2}\left(25+49-BC^2\right)\\
\ssi~& 35=74-BC^2 \\
\ssi~& BC^2=39\end{align*}$
Par conséquent $BC=\sqrt{39}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2; 3)$ et de rayon $R = 4$.
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

a. $x^2+4x+y^2+6y+9=0$
b. $x^2+4x+y^2+6y-3=0$
c. $x^2-4x+y^2-6y-3=0$
d. $x^2-4x+y^2-6y+9=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle $C$ est
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-3)^2=4^2\\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-6y+9=16\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-6y-3=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le réel $\dfrac{-23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-\pi}{3}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$
c. $\dfrac{-2\pi}{3}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

On calcule les différences entre $\dfrac{-23\pi}{3}$ et les réponses proposées. Les deux réels ont le même point image si cette différence est un multiple de $2\pi$.

$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-\pi}{3}=\dfrac{-22\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=-8\pi=-4\times 2\pi \checkmark$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-2\pi}{3}=\dfrac{-21\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-25\pi}{3}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’algorithme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{ll}
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{liste}\text{(N):}\\
2&\hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{brown}{1}\\
3&\hspace{1cm}\text{L=[U]}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{brown}{1}\text{,N):}\\
5&\hspace{2cm}\text{U=}\textcolor{brown}{2}\text{*U+}\textcolor{brown}{3}\\
6&\hspace{2cm}\text{L.append(U)}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(L)}\end{array}$$
Que contient la variable $\text{L}$ à la fin de l’exécution dans le cas où on choisit $\text{N=4}$?

a. $\text{[1,5,13,29,61]}$
b. $\text{[1,5,13,29]}$
c. $\text{61}$
d. $\text{9}$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction Python renvoie une liste de longueur contenant $4$ éléments.

Réponse b

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(-1 ; 3)$, $B(5 ; 0)$ et $C(9 ; 3)$.

  1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
    $\quad$
  2. Déterminer une équation cartésienne de la droite $D$ passant par le point $C$ et de vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}$.
    $\quad$
  3. Démontrer que les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    On admet que le point $E(3 ; 1)$ est le point d’intersection de ces deux droites.
  4. Les droites $D$ et $(AB)$ sont-elles perpendiculaires ?
    $\quad$
  5. On donne $AE = 2\sqrt{5}$ et $EC = 2\sqrt{10}$.
    Calculer la mesure en degrés de l’angle $\widehat{AEC}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    Ainsi une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est de la forme $-3x-6y+c=0$.
    $A(-1;3)$ appartient à cette droite.
    Donc $3-18+c=0\ssi c=15$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $-3x-6y+15=0$ ou encore $x+2y-5=0$.
    $\quad$
  2. Une équation cartésienne de la droite $D$ est de la forme $-x+3y+c$.
    $C(9;3)$ appartient à la droite $D$.
    Donc $-9+9+c=0\ssi c=0$.
    Une équation cartésienne de la droite $D$ est donc $-x+3y=0$.
    $\quad$
  3. Un vecteur directeur de la droite $D$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$.
    Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\end{pmatrix}$.
    det$\left(\vec{u};\vect{AB}\right)=-3\times -3-(-1)\times 6=15\neq 0$.
    Ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent, les droites $D$ et $(AB)$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
  4. $\vect{AE}\begin{pmatrix}4;-2\end{pmatrix}$ et $\vect{CE}\begin{pmatrix}-6;-2\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vect{AE}.\vect{CE}&=4\times (-6)+(-2)\times (-2) \\
    &=-24+4\\
    &=-20\\
    &\neq 0\end{align*}$
    Les droites $(D)$ et $(AB)$ ne sont donc pas perpendiculaires.
    Remarque : On pouvait calculer également $\vect{AB}.\vec{u}$ ou det$\left(\vec{n};\vect{AB}\right)$ mais on a besoin du produit scalaire $\vect{AE}.\vect{CE}$ à la question suivante.
    $\quad$
  5. On a $\vect{AE}.\vect{CE}=-20$
    et $\vect{AE}.\vect{CE}=AE\times EC\times \cos \widehat{AEC}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} &2\sqrt{5}\times 2\sqrt{10}\cos\widehat{AEC}=-20 \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{20}{20\sqrt{2}} \\
    \ssi~& \cos \widehat{AEC}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{align*}$
    Par conséquent $\widehat{AEC}=135$°
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x^2+5x-4$.
La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=14x+14$
b. $y=14x-14$
c. $y=13x-15$
d. $y=13x-12$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.
$g(2)=14$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=4x+5$.
$g'(2)=13$.
Une équation de la tangente est donc $y=13(x-2)+14$ soit $y=13x-12$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points $A(4; 8)$, $B(9; 6)$ et $D(2; 11)$. Alors $\vect{AD}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-1$
b. $11$
c. $-31$
d. $29$

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{BD}&=-2\times (-7)+3\times 5\\
&=29\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite $D$ d’équation $3x-4y+5 = 0$. La droite parallèle à $D$ et passant par $A(4; 8)$ a pour équation :

a. $4x+3y-40=0$
b. $3x-4y-5=0$
c. $3x-4y+20=0$
d. $4x+3y+6=0$

$\quad$

Correction Question 3

La droite parallèle à $D$ passant par le point $A$ a une équation de la forme $3x-4y+c=0$
Elle passe par le point $A(4;8)$.
Donc $12-32+c=0\ssi c=20$
Une équation de cette droite est donc $3x-4y+20=0$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=-1,2$ et de terme initial $u_0=10$. Alors :

a. $0<u_{3~000}<1~000$
b. $u_{3~000}=-3~590$
c. $u_{3~000}>1~000$
d. $u_{3~000}=-36~000$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=10\times (-1,2)^n$
Ainsi :
$\begin{align*} u_{3~000}&=10\times (-1,2)^{3~000} \\
&\approx 3,5 \times 10^{238}\\
&>1~000\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Remarque : Si ta calculatrice ne te permet pas d’afficher un nombre aussi grand, il faut fonctionner par élimination.
$3~000$ est pair donc $u_{3~000}>0$.
$1,2>1$ la suite des rangs pairs est donc croissante.
On calcule par exemple $u_{100}>1~000$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_0=1$ et $v_{n+1}=4v_n+2$ pour tout entier $n$.

On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n$ est supérieur ou égal à $100~000$. On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python : $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{V = 1}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$ :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{V = 4 * V + 2}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par :

a. $\text{V == 100000}$
b. $\text{V != 100000}$
c. $\text{V > 100000}$
d. $\text{V < 100000}$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut saisir la condition contraire à la condition de sortie.
Donc ici $\text{V < 100000}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on a : $\vect{AB}\begin{pmatrix}-4\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{CB}$ vaut :

a. $-23$
b. $-17$
c. $19$
d. $23$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{CB}&=-4\times (-1)+3\times 5\\
&=19\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé, on a $\vect{CB}\begin{pmatrix}-1\\5\end{pmatrix}$. Alors la longueur $CB$ est égale à :

a. $24$
b. $\sqrt{24}$
c. $26$
d. $\sqrt{26}$

$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} CB&=\sqrt{(-1)^2+5^2}\\
&=\sqrt{26}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral de côté $3$.

$I$ et $H$ sont les milieux respectifs de $[CB]$ et de $[AB]$.
$D$ est le projeté orthogonal de $I$ sur $(CH)$.

On a :

a. $\vect{HB}.\vect{HC}=0$
b. $\vect{AH}.\vect{DI}=0$
c. $\vect{AH}.\vect{AI}=0$
d. $\vect{BH}.\vect{DI}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABC$ est un triangle équilatéral. La médiane $(HC)$ est donc également la hauteur issue de $C$.
Par conséquent $\vect{HB}$ et $\vect{HC}$ sont orthogonaux.
Donc $\vect{HB}.\vect{HC}=0$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit un réel $x$ tel que $\cos(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. On a :

a. $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
b. $\sin(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$
c. $\sin(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
d. $\cos(-x)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a $\cos(-x)=\cos(x)$
Ainsi $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
On considère l’équation de cercle $x^2-2x+(y+3)^2=3$. Son centre a pour coordonnées :

a. $(-1;-3)$
b. $(1;-3)$
c. $(-2;3)$
d. $(-2;-3)$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} &x^2-2x+(y+3)^2=3 \\
\ssi~&x^2-2x+1-1+\left(y-(-3)\right)^2=3\\
\ssi~&(x-1)^2+\left(y-(-3)\right)^2=4\end{align*}$
Le centre du cercle a pour coordonnées $(1;-3)$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à :

a. $\sin x$
b. $-\sin x$
c. $\cos x$
d. $-\cos x$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(7\pi-x)&=\sin(2\times 3\pi+\pi-x)\\
&=\sin(\pi-x)\\
&=\sin(x)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ es-til égal à $6$ ?

a. $ABC$ est un triangle tel que : $AB= 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$.
b. Dans un repère orthonormé du plan : $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$.
c. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $AB=3$ et $BC= 2$ .
d. $ABC$ est un triangle tel que : $AB = 6$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=30$°.

$\quad$

Correction Question 2

Si $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$ alors $\vect{AB}\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=-5\times (-4)+(-7)\times 2\\
&=6\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{3}{2x}$
b. $\dfrac{9x^2+8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
c. $\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
d. $9x^2+8x+3$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-(3x+4)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{3x^2+3-6x^2-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
&=\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
L’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-10x+6y+30=0$ est :

a. une droite
b. une parabole
c. un cercle
d. ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}&x^2+y^2-10x+6y+30=0 \\
\ssi~&x^2-2\times 5x+5^2-5^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2+30=0\\
\ssi~&(x-5)^2+(y+3)^2=4\end{align*}$
Il s’agit donc d’un cercle de centre $A(5;-3)$ et de rayon $2$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La somme $1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30}$ est égale à :

a. $\dfrac{1-5^{30}}{4}$
b. $\dfrac{5^{30}-1}{4}$
c. $\dfrac{1-5^{31}}{4}$
d. $\dfrac{5^{31}-1}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30} \\
&=\dfrac{1-5^{31}}{1-5} \\
&=\dfrac{5^{31}-1}{4}\end{align*}$

Réponde d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Soit la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $f(x)=x^2-3x+4$.
    Etudier les variations de $f$ sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
  2. Dans un repère orthonormé, on considère la courbe $C$ représentant la fonction racine carrée et le point $A(2 ; 0)$.
    a. Soit $M(x ; y)$ un point de $C$. Exprimer $y$ en fonction de $x$.
    $\quad$
    b. En déduire que $AM^2=x^2-3x+4$.
    $\quad$
    c. Déterminer les coordonnées du point de $C$ le plus proche de $A$.
    Ce point est noté $B$ pour la suite.
    $\quad$
    d. Un élève affirme que la tangente en $B$ à $C$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.
    A-t-il raison ? Justifier.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    La fonction $f$ admet donc un minimum dont l’abscisse est :
    $\begin{align*} x_0&=-\dfrac{b}{2a} \\
    &=-\dfrac{-3}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;1,5]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[1,5;+\infty[$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout point $M(x;y)$ de $C$ on a $y=\sqrt{x}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} AM^2&=(x-2)^2+(y-0)^2 \\
    &=x^2-4x+4+y^2 \\
    &=x^2-4x+4+x\\
    &=x^2-3x+4\end{align*}$
    $\quad$
    c. $AM$ est minimal quand $AM^2$ est minimal, c’est-à-dire quand $f(x)$ est minimal.
    Ainsi $AM$ est minimal quand $x=1,5$.
    Le point $B$ a donc pour coordonnées $\left(1,5;\sqrt{1,5}\right)$.
    $\quad$
    d. La fonction racine carrée est dérivable sur $]0;+\infty[$ et pour tout réel $x$ le nombre dérivée associé est $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.
    Ainsi, un vecteur directeur de la tangente en $B$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\end{pmatrix}$.
    De plus $\vect{AB}\begin{pmatrix}-0,5\\\sqrt{1,5}\end{pmatrix}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \vec{u}.\vect{AB}&=-0,5\times 1+\dfrac{1}{2\sqrt{1,5}}\times \sqrt{1,5}\\
    &=-0,5+\dfrac{1}{2}\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    L’élève a donc raison.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que :

a. $ \cos(x) = \sin(x)$
b. $\cos(\pi-x) = \cos(\pi + x)$
c. $\sin(\pi + x) = \sin(\pi-x)$
d. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Les solutions dans l’intervalle $[0;2\pi[$ de l’équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont :

a. $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$
b. $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Seules les réponses a. et d. vérifient $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mais les valeurs de d. n’appartiennent pas à $[0;2\pi[$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère $ABCD$ un carré direct dans lequel on construit un triangle $ABE$ équilatéral direct.

On note $AB = a$.
On peut alors affirmer que :

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}a^2$
b. $\vect{AB}.\vect{AD}=a^2$
c. $\vect{AB}.\vect{AE}=\dfrac{1}{2}a^2$
d. $\vect{AD}.\vect{DC}=-a^2$

$\quad$

Correction Question 3

$B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ donc $\vect{AB}.\vect{AC}=a^2$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont orthogonaux donc $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.
$\vect{AD}$ et $\vect{DC}$ sont orthogonaux donc $\vect{AD}.\vect{DC}=0$.
Le projeté orthogonal de $E$ sur $[AB]$ est le milieu de $[AB]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=a\times \dfrac{1}{2}a \\
&=\dfrac{1}{2}a^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On peut affirmer que :

a. $\vec{u}.\vec{v}=0$
b. $\vec{u}.\vec{v}=-\vec{v}.\vec{u}$
c. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\norme{\vec{u}}$
d. $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}-\norme{\vec{u}}-\norme{\vec{v}}\right)$
c’est-à-dire $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $n$ un entier naturel.
On cherche à exprimer en fonction de $n$ la somme suivante :
$$S=1-2+4-8+16-32+\ldots+(-2)^n$$
On peut affirmer que :

a. $S=\dfrac{1+(-2)^n}{2}\times (n-1)$
b. $S$ est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison $(-2)$
c. $S=\dfrac{1-(-2)^n}{1-2}$
d. $S=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)$

$\quad$

Correction Question 5

$S$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et raison $-2$.
Ainsi :
$\begin{align*} S&=1\times \dfrac{1-(-2)^{n+1}}{1-(-2)} \\
&=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan, on considère les points $A(2;-1)$, $B(0;3)$ et $C(3;1)$.

  1. a. Vérifier que$\vect{AB}.\vect{AC}=6$
    $\quad$
    b. Calculer $\norme{\vect{AB}}$ et $\norme{AC}$, on donnera les valeurs exactes.
    $\quad$
    c. Vérifier que $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=0,6$ et en déduire la mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ au degré près.
    $\quad$
  2. a. Vérifier qu’une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On note $H$ le pied la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $C$.
    Déterminer les coordonnées du point $H$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2;4\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=-2\times 1+4\times 2\\
    &=6\end{align*}$.
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2}\\
    &=\sqrt{20}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} \norme{\vect{AC}}&=\sqrt{1^2+2^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\quad$
    c. On a d’une part $\vect{AB}.\vect{AC}=6$ et d’autre part $\vect{AB}.\vect{AC}=\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC}$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} \norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}\times \cos \widehat{BAC} =6 &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\norme{\vect{AB}}\times \norme{\vect{AC}}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{\sqrt{20}\times \sqrt{5}} \\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{6}{10}\\
    &\ssi \cos \widehat{BAC}=0,6\end{align*}$
    $\quad$
    Ainsi $\widehat{BAC} \approx 53$°
  2. a. $2\times 2-1-3=0$ donc les coordonnées du point $A$ vérifient l’équation donnée.
    $0+3-3=0$ donc les coordonnées du point $B$ vérifient l’équation donnée.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $2x+y-3=0$.
    $\quad$
    b. On appelle $d$ la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
    Le vecteur $\vect{AB}$ est donc un vecteur normal à la droite $d$.
    Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+4y+c=0$.
    Le point $C(3;1)$ appartient à $d$ donc $-6+4+c=0 \ssi c=2$.
    Une équation de $d$ est donc $-2x+4y+2=0$ ou encore $-x+2y+1=0$.
    Les coordonnées du point $H$ sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 2x+y-3=0\\-x+2y+1=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-x+2(3-2x)+1=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\-5x+6+1=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} y=3-2x\\x=\dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=3-2\times \dfrac{7}{5}\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=\dfrac{7}{5}\\y=\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi $H$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{5};\dfrac{1}{5}\right)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question une seule réponse est exacte. Une mauvaise réponse ou une absence de réponse n’enlève aucun point. La bonne réponse rapporte un point. Il n’est pas demandé de justification.

Question 1

L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est :

a. $]-\infty;-1[\cup\left[-\dfrac{1}{3};+\infty\right[$
b. $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
c. $\left]-\infty;-\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$
d. $\left[\dfrac{1}{3};1\right]$

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=(-4)^2-4\times 3\times 1 \\
&=4\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{4-\sqrt{4}}{6} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{4+\sqrt{4}}{6} \\
&=1\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=3>0$ donc L’ensemble des solutions de l’inéquation $3x^2-4x+1\pg 0$ est $\left]-\infty;\dfrac{1}{3}\right]\cup[1;+\infty[$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix}a+2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\a\end{pmatrix}$, où $a$ est un nombre réel. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si :

a. $a(a+2)-3=0$
b. $a(a+2)+3=0$
c. $3(a+2)-a=0$
d. $3(a+2)+a=0$

$\quad$

Correction Question 2

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux
$\ssi 3(a+2)+(-1)\times a=0$
$\ssi 3(a+2)-a=0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le point $A (-2; 3)$ et le vecteur $\vec{u}(1; 2)$. Une équation cartésienne de la droite $d$ passant par le point $A$ et de vecteur normal $\vec{u}$ est :

a. $-2x+y-7=0$
b. $x+2y-4=0$
c. $x-2y+8=0$
d. $2x+y+1=0$

$\quad$

Correction Question 3

$\vec{u}(1; 2)$ est un vecteur normal à la droite $d$.
Une équation cartésienne de cette droite est donc de la forme $x+2y+c=0$
Le point $A(-2;3)$ appartient à cette droite. Donc $-2+6+c=0\ssi c=-4$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $x+2y-4=0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$, géométrique de raison $2$ et de premier terme $u_0 = 3$.
La somme $u_0 + u_1 + \ldots + u_{10}$ est égale à :

a. $3\left(2^{11}-1\right)$
b. $3\left(1-2^{11}\right)$
c. $3\left(2^{10}-1\right)$
d. $3\left(1-2^{10}\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} S&=u_0 + u_1 + \ldots + u_{10} \\
&=3\times \dfrac{1-2^{11}}{1-2} \\
&=-3\left(1-2^{11}\right)\\
&=3\left(2^{11}-1\right)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$.
La fonction dérivée de $f$ sur $]1;+\infty[$ a pour expression :

a. $f'(x)=\dfrac{-1}{(x-1)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{4x-1}{(x-1)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{1}{(x-1)^2}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x>1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times (x-1)-1\times (2x+1)}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{2x-2-2x-1}{(x-1)^2} \\
&=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence