E3C – Séries technologiques – Information chiffrée – Janvier 2020

E3C – Informations chiffrées

Séries technologiques

Depuis l’an 2000, l’Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d’azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2015, la norme tolérée était fixée à $130$ milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L’objectif de l’Union Européenne est d’atteindre une émission de polluants inférieure à $60$ milligramme par kilomètre.
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2015, sa baisse est de $5,1\%$ par an.

  1. a. Justifier que la norme tolérée était d’environ 123 milligrammes par kilomètre en 2016.
    $\quad$
    b. Un véhicule émettait $120$ milligrammes par kilomètre en 2017.
    Indiquer, en justifiant, s’il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
    $\quad$
  2. Dans le cadre d’une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l’Union Européenne atteindra son objectif. Louise a amorcé
    l’algorithme ci-dessous programmé sous Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
    \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
    \\
    \textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{$\phantom{12345}$}\textcolor{Mahogany}{:} \\
    \hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
    \hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
    \textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{$\phantom{1}$}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Expliquer l’instruction “p=0.949 * p”.
    $\quad$
    b. Deux lignes de l’algorithme comportent des cases vides. Recopier ces lignes et les compéter afin de permettre à Louise de déterminer l’année recherchée.
    $\quad$
  3. Grâce à son algorithme, Louise a conclu qu’à partir de 2030 l’objectif de l’Union Européenne serait atteint. Vérifier à l’aide d’un calcul qu’elle a raison.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $130\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)=123,37$
    La norme tolérée était d’environ $123$ milligrammes par kilomètre en 2016.
    $\quad$
    b. $123,37\times \left(1-\dfrac{5,1}{100}\right)\approx 117,08<120$
    Le véhicule ne respectait pas la norme tolérée en 2017.
    $\quad$
  2. a. $1-\dfrac{5,1}{100}=0,949$
    L’instruction permet donc de calculer la norme tolérée l’année suivante.
    $\quad$
    b. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0} \\
    \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{130} \\
    \\
    \textcolor{blue}{\textbf{while}}\fbox{p>60}\textcolor{Mahogany}{:} \\
    \hspace{1cm} \text{n}\textcolor{Mahogany}{=}\text{n}\textcolor{Mahogany}{+}\textcolor{Emerald}{1} \\
    \hspace{1cm} \text{p}\textcolor{Mahogany}{=}\textcolor{Emerald}{0.949}\textcolor{Mahogany}{*}\text{p}\\
    \textcolor{blue}{\text{print}}\textcolor{Mahogany}{(}\fbox{n}\textcolor{Mahogany}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. $130\times 0,949^{14}\approx 62,47>60$.
    $130\times 0,949^{15}\approx 59,28<60$.
    À partir de 2030 l’objectif est donc atteint.

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré, définie sur $\R$ et représentée par la parabole ci-dessous.

  1. Par lecture graphique :
    a. Donner l’image de $0$ par $f$.
    $\quad$
    b. Déterminer les racines de la fonction $f$.
    $\quad$
    c. Donner le nombre de solutions de l’équation $f(x)=1$.
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi $f(x)$ peut s’écrire sous la forme $2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Pour trouver un encadrement de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ on a écrit les fonctions Python ci-dessous.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1&\text{def f(x):}\\
    2&\quad \text{return 2*(x+1)*(x-2)}\\
    3&\text{def balayage(pas):}\\
    4&\quad \text{x=2}\\
    5&\quad \text{while f(x)<1:}\\
    6&\qquad \text{x=x+pas}\\
    7&\quad \text{return (x-pas,x)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Par exemple, l’appel $\text{balayage(1)}$ renvoie le résultat $(2,3)$:
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    >>>~~\text{balayage(1)}\\
    (2,3)\\
    \hline\end{array}$$
    L’instruction $\text{balayage(0.0001)}$ renvoie le résultat $(2.1583,2.1584)$.
    Que signifie ce résultat?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Graphiquement on lit que $f(0)=-4$.
    $\quad$
    b. Graphiquement les racines de la fonction $f$ sont $-1$ et $2$.
    $\quad$
    c. Graphiquement, l’équation $f(x)=1$ possède deux solutions.
    $\quad$
  2. $-1$ et $2$ semblent être les racines de la fonction du second degré $f$.
    Pour tout réel $x$ on peut donc écrire $f(x)=a\left(x-(-1)\right)(x-2)$ soit $f(x)=a(x+1)(x-2)$.
    Ainsi $f(0)=a\times -2$.
    Or $f(0)=-4$ donc $-2a=-4$ soit $a=2$.
    Par conséquent $f(x)=2(x+1)(x-2)$.
    $\quad$
  3. Cela signifie qu’un encadrement à $0,000~1$ près de la solution de l’équation $f(x)=1$ dans l’intervalle $[2;3]$ est $[2,158~3;2,158~4]$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Une entreprise reconditionne des téléphones portables. Cette entreprise reconditionne entre $1~000$ et $6~000$ téléphones portables par mois. On note $x$ le nombre de téléphones sur un mois. Le bénéfice $B$ en euro réalisé par la vente de $x$ téléphones reconditionnés est donné par la fonction $B$ représentée ci-après.

On admet que $B(x) = -0,003x^2+30x-48~000$.

  1. . La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.

    a. Pourquoi peut-on dire que cette courbe est portée par une parabole ? Justifier.
    $\quad$
    b. Déterminer graphiquement une valeur approchée du bénéfice maximal.
    $\quad$
  2. a. On désigne par $B’$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculer $B'(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l’intervalle $[1~000 ; 6~000]$.
    $\quad$
    c. Recopier sur votre copie la fonction donnée ci-dessous et compléter la ligne $10$ de cette fonction afin qu’elle retourne la valeur exprimée en euros du bénéfice maximal.
    $\quad$

$$\begin{array}{|c|l|}
\hline
1 &\text{def beneficemax():}\\
\hline
2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
\hline
4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
\hline
6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
\hline
8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
\hline
9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
\hline
10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
\hline
12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $B$ est une fonction du second degré. Sa courbe représentative est donc portée par une parabole.
    $\quad$
    b. Graphiquement, le bénéfice maximal est environ égal à $27~000$€.
    $\quad$
  2. a. On a
    $\begin{align*} B'(x)&=-0,003\times 2x+30 \\
    &=-0,006x+30\end{align*}$
    $\quad$
    b. $-0,006x+30=0 \ssi -0,006x=-30 \ssi x=5~000$
    $-0,006x+30>0  \ssi -0,006x>-30 \ssi x<5~000$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. On obtient le code programme suivant :
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def beneficemax():}\\
    \hline
    2 &\hspace{1cm}\text{x=1 000}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M = B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for x in range(1001, 6001):}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B = – 0.003*x**2+30*x -48 000}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Le chiffre d’affaire en milliers d’euros d’une entreprise en fonction du temps est modélisé par la fonction $f(x) = 3x\left(48x-5x^2\right)$ où $x$ exprimé en années est le temps écoulé depuis le 1$\ier$ janvier 2020.

  1. a. Développer $f(x)$.
    $\quad$
    b. En déduire $f'(x)$.
    $\quad$
    c. On admet que $f'(x)=-3x(15x-96)$. Dresser le tableau de variation de $f$.
    $\quad$.
    d. En déduire le maximum de $f$ sur $[0;10]$.
    $\quad$
  2. Compléter la ligne $10$ du programme écrit en Python ci-dessous afin qu’en fin d’exécution la variable $\text{M}$ contienne une valeur approchée du chiffre d’affaire maximal exprimé en milliers d’euros.
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=$\ldots$}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} f(x)&=3x\left(48x-5x^2\right) \\
    &=144x^2-15x^3\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a :
    $\begin{align*} f'(x)&=144\times 2x-15\times 3x^2 \\
    &=288x-45x^2\end{align*}$
    $\quad$
    c. $-3x=0 \ssi x=0$ et $-3x>0 \ssi x<0$
    $15x-96=0 \ssi 15x=96 \ssi x= 6,4$ et $15x-96>0 \ssi 15x>96 \ssi x>6,4$
    On obtient alors le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    d. D’après le tableau de variations précédent le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;10]$ est $1~966,08$.
    $\quad$
  2. On peut écrire
    $$\begin{array}{|c|l|}
    \hline
    1 &\text{def chiffresaffairesmax( ):} \\
    \hline
    2 &\hspace{1cm} \text{x=0}\\
    \hline
    4 &\hspace{1cm}\text{B = 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    5 &\hspace{1cm}\text{M=B}\\
    \hline
    6 &\hspace{1cm}\text{for k in range(100):}\\
    \hline
    7 &\hspace{2cm}\text{x=x+0.1}\\
    \hline
    8 &\hspace{2cm}\text{B= 3*x*(48*x – 5*x**2)}\\
    \hline
    9 &\hspace{2cm}\text{if B>M :}\\
    \hline
    10 &\hspace{3cm}\text{M=B}\\
    \hline
    12 &\hspace{1cm}\text{return M}\\
    \hline
    \end{array}$$

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$\quad$

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Séries technologiques

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $$g(x) = 0,5(x + 1)(x-3)$$

  1. a. Quelle est la nature de la fonction $g$ et celle de sa représentation graphique ?
    $\quad$
    b. Résoudre l’équation $g(x) = 0$.
    $\quad$
    c. En déduire la valeur pour laquelle $g$ admet un extremum.
    On précisera si cet extremum est un maximum ou un minimum en argumentant et on calculera sa valeur.
    $\quad$
  2. On a tracé en annexe la représentation graphique de la fonction $g$.
    Résoudre graphiquement l’équation $g(x) = 2$. On laissera sur le graphique les traces de raisonnement.
    $\quad$
  3. On appelle $x_1$ la solution de l’équation $g(x) = 2$ appartenant à l’intervalle $[-2; -1]$ et $x_2$ la solution appartenant à l’intervalle $[3; 4]$. On cherche à déterminer un encadrement de $x_2$ d’amplitude $10^{-n}$.
    Pour cela on a écrit l’algorithme ci-contre en langage Python
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{g}}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Emerald}{0.5}\textcolor{Maroon}{*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{Maroon}{)*(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{Maroon}{)}\\\\
    \textcolor{blue}{\textbf{def }} \textcolor{Emerald}{\text{balayage}}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{):} \\
    \hspace{1cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
    \hspace{1cm} \text{pas}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{10}\textcolor{Maroon}{**(-}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\textbf{while }} \text{g}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{)<}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{Maroon}{:} \\
    \hspace{2cm} \text{x}\textcolor{Maroon}{=}\text{x}\textcolor{Maroon}{+}\text{pas}\\
    \hspace{1cm} \textcolor{blue}{\textbf{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{x}\textcolor{Maroon}{-}\text{pas}\textcolor{Maroon}{,}\text{x}\textcolor{Maroon}{)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Que faut-il taper dans la console pour obtenir un encadrement de $x_2$ d’amplitude $0,001$ ?
    $\quad$

Annexe

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} g(x)&=0,5(x+1)(x-3)\\
    &=0,5\left(x^2-3x+x-3\right)\\
    &=0,5\left(x^2-2x-3\right)\\
    &=0,5x^2-x-1,5\end{align*}$
    $g$ est donc une fonction du second degré et sa représentation graphique est une parabole.
    $\quad$
    b. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Ainsi $g(x)=0 \ssi x+1=0$ ou $x-3=0$ $\ssi x=-1$ ou $x=3$.
    Les solutions de l’équation $g(x)=0$ sont donc $-1$ et $3$.
    $\quad$
    c. L’extremum est donc atteint pour $x=\dfrac{-1+3}{2}=1$.
    Le coefficient principal est $a=0,5>0$. Il s’agit donc d’un minimum.
    $g(1)=-2$.
    $\quad$
  2. À l’aide du graphique suivant

    on en déduit que, graphiquement, les solutions de l’équation $f(x)=2$ sont environ $-1,8$ et $3,8$.
    $\quad$
  3. Il faut saisir $\text{balayage(0.001)}$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C – Fonctions

Séries technologiques

Un athlète s’entraîne au lancer de javelot. Au moment du lancer, le lanceur tient le javelot de telle manière que la pointe se trouve à la hauteur du sommet de son crâne. Pendant sa course, on considère que les frottements qui s’exercent sur la pointe du javelot sont négligeables, et que le javelot n’est soumis qu’à son poids. La trajectoire de la pointe du javelot est donc modélisée par une parabole.

  1. Lors du premier essai de l’athlète, la trajectoire de la pointe du javelot est donnée par la fonction $f$ telle que $f(x)=-0,01x^2+0,57x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $f(x)$ l’altitude, en mètres, de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur. On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
    a. Calculer $f(0)$. Quelle est la taille de l’athlète ?
    $\quad$
    b. Vérifier que $f(x)=-0,01(x+3)(x-60)$.
    $\quad$
    c. Quelle est la distance au sol totale parcourue par le javelot ?
    $\quad$
    d. Donner le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; 60]$. La hauteur maximale atteinte par le javelot dépasse-t-elle $10$ m? Justifier.
    $\quad$
  2. Lors du deuxième essai, la pointe du javelot réalise une trajectoire décrite par la fonction $h$ telle que $h(x) = -0,01x^2+0,6x+1,8$, où $x$ est la distance au sol en mètres parcourue par la pointe du javelot et $h(x)$ l’altitude en mètres de la pointe du javelot quand celle-ci se trouve à une distance au sol de $x$ mètres du lanceur.
    On a écrit le script suivant en Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{x=60}\\
    \text{for i in range(1,6):}\\
    \hspace{1cm} \text{print(” x= “,x , “h(x)=”,-0.01*x**2+0.6*x+1.8)}\\
    \hspace{1cm} \text{x=60+i}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Lorsqu’on l’exécute, on obtient l’affichage suivant :
    $\qquad \text{x= 60 h(x)= 1.8}$
    $\qquad \text{x= 61 h(x)= 1.1900000000000006}$
    $\qquad \text{x= 62 h(x)= 0.559999999999998}$
    $\qquad \text{x= 63 h(x)= -0.09000000000000052}$
    $\qquad \text{x= 64 h(x)= -0.7600000000000022}$
    L’athlète a-t-il amélioré sa performance par rapport à son premier lancer ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $f(0)=-0,01\times 0^2+0,57\times 0+1,8=1,8$
    L’athlète mesure donc $1,8$ m.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} -0,01(x+3)(x-60)&=-0,01\left(x^2-60x+3x-180\right)\\
    &=-0,01\left(x^2-57x-180\right)\\
    &=-0,01x^2+0,57x+1,8\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    c. $f(x)=0 \ssi x+3=0$ ou $x-60=0$ $\ssi x=-3$ ou $x=60$.
    Le javelot touche donc le sol après avoir parcouru $60$ mètres.
    $\quad$
    d. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=-0,01<0$.
    Son maximum est atteint en $-\dfrac{b}{2a}=28,5$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    La hauteur maximale est donc $9,922~5$ m. Elle ne dépasse donc pas $10$ m.
    $\quad$
  2. D’après le script $h$ s’annule pour $x\in ]62;63[$.
    La distance parcourue par le javelot est donc supérieure à $60$ m.
    L’athlète a donc amélioré sa performance par rapport à son premier lancer.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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