E3C – Séries technologiques – Fonctions – Janvier 2020

E3C – Fonctions

Séries technologiques

Lorsqu’on conduit une voiture, il est conseillé de laisser entre son propre véhicule et celui qui précède, une distance de sécurité $D$ qui est fonction de la vitesse $v$ à laquelle on roule.
On admet que : $D(v)=0,003v^2+0,3v+8$ où $v$ est exprimée en km/h et $D$ en mètres.
Cette formule est valable pour une vitesse v comprise entre $10$ km/h et $130$ km/h.

  1. . Calculer, arrondies au mètre près, les distances à respecter pour des vitesses de $50$ km/h et $130$ km/h.
    $\quad$
  2. La distance de sécurité est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier votre réponse.
    $\quad$
  3. On admet que la fonction $D$ est dérivable sur $[10 ; 130]$ et on note $D’$ sa dérivée.
    On admet que :
    $$D'(v) = 0,006v + 0,3$$
    En déduire que la fonction $D$ est strictement croissante sur l’intervalle $[10 ; 130]$.
    $\quad$
  4. Un tableur permet d’obtenir le tableau de valeurs suivant, dans lequel les valeurs de $D(v)$ sont données à l’unité près :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \boldsymbol{v}&20&40&60&80&100&120\\
    \hline
    \boldsymbol{D(v)}&15&25&37&51&68&87\\
    \hline
    \end{array}$$
    Quelle est la vitesse à ne pas dépasser si on suit un véhicule à $51$ m ?
    $\quad$
  5. La société d’autoroute installe des panneaux de signalisation pour sensibiliser les conducteurs : « Un trait : danger, deux traits : sécurité ».
    Sachant qu’un trait mesure $38$ m et que l’intervalle séparant deux traits mesure $19$ m, que pensez-vous de cette consigne pour une voiture roulant à $130$ km/h ?
    Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $D(50)=30,5$ et $D(130)=97,7$
    La distance à respecter pour une vitesse de $50$ km/h est environ égale à $31$ m et celle à respecter pour une vitesse de $130$ km/h est environ égale à $98$ m.
    $\quad$
  2. $\dfrac{30,5}{50}=0,61$ et $\dfrac{97,7}{130}\approx 0,75$
    Les quotients ne sont pas égaux. Il n’y a donc pas proportionnalité.
    $\quad$
  3. Sur $[10;130]$, on a $0,006v+0,3>0$ (somme de termes positifs).
    La fonction $D$ est donc strictement positive sur l’intervalle $[10;30]$.
    $\quad$
  4. D’après le tableau, il ne faut pas dépasser $80$ km/h.
    $\quad$
  5. $D(130)=97,7$ m
    Distance de sécurité d’après le panneau de signalisation : $38\times 2+19=95$ m
    L’indication du panneau est donc une approximation légèrement inférieure à la valeur donnée par la formule pour une vitesse de $130$ km/h.
    $\quad$

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$\quad$

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