E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

  1. Mettre sous la forme d’une fraction irréductible $\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{3}{4}-\dfrac{7}{5}&=\dfrac{15}{20}-\dfrac{28}{20} \\
    &=-\dfrac{13}{20}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Donner l’écriture scientifique de $0,045~6$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $0,045~6=4,56\times 10^{-2}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter l’égalité $10^{-5}\times \ldots\ldots =10^8$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $10^{-5}\times 10^{13}=10^{8}$ car $-5+13=8$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $7x^2(4x-6)$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    $7x^2(4x-6)=28x^3-42x$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $(5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)$.
    $\quad$
    Correction Question 5

    $\begin{align*} (5x-3)(3x+1)+4x(5x-3)&=(5x-3)\left[(3x+1)+4x\right] \\
    &=(5x-3)(7x+1)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’équation $(2x-5)(-x+7) = 0$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    Donc $2x-5=0\ssi 2x=5 \ssi x=\dfrac{5}{2}$ ou $-x+7=0\ssi x=7$.
    Les solutions de l’équation sont donc $\dfrac{5}{2}$ et $7$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Si $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}$ alors $d=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} \ssi ad=bc \ssi d=\dfrac{bc}{a}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Calculer $40\%$ de $70$ €.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $\dfrac{40}{100}\times 70=\dfrac{2~800}{100}=28$.
    $40\%$ de $70$ € représente donc $28$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Un article est passé de $40$ € à $50$ €.
    Quel est le taux d’évolution en pourcentage de cet article ?
    $\quad$
    Correction Question 9

    On a $\dfrac{50-40}{40}=\dfrac{10}{40}=0,25$
    Le taux d’évolution est donc égal à $25\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. On a représenté une droite D dans le repère ci-dessous.

    Compléter par lecture graphique.
    L’équation réduite de la droite $D$ est : ………………………………….
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée à l’origine est $-3$.
    Pour chaque déplacement de $1$ unité vers la droite on descend de $3$ unités : le coefficient directeur est donc $-3$.
    L’équation réduite de $D$ est donc $y=-3x-3$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

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Séries technologiques

  1. Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}$?
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\dfrac{1}{7}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{3}{21}-\dfrac{14}{21}=-\dfrac{11}{21}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Un objet coûte $25$ €. Son prix baisse de $20\%$. Quel est son nouveau prix?
    $\quad$
    Correction Question 2

    $25\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=\dfrac{100}{4}\times \dfrac{80}{100}=20$.
    Le nouveau prix est $20$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Ecrire le nombre suivant sous la forme $a^n$ avec $a,n \in \N$.
    $$5^6\times \left(4^3\right)^2$$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $5^6\times \left(4^3\right)^2=5^6\times 4^6=20^6$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Donner un ordre de grandeur de $$101\times 99$$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Un ordre de grandeur de $101\times 99$ est $100\times 100=10~000$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2-1=48$$
    $\quad$
    Correction Question 5

    $3x^2-1=48 \ssi 3x^2=49 \ssi x^2=\dfrac{49}{3}$.
    Les solutions sont donc $-\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}}$ soit $-\dfrac{7}{\sqrt{3}}$ et $\dfrac{7}{\sqrt{3}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $$-2x+1\pp 3$$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $-2x+1\pp 3 \ssi -2x \pp 2 \ssi x\pg -1$
    L’ensemble solution est $[-1;+\infty[$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Factoriser $9x^2-30x+25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $9x^2-30x+25=(3x)^2-2\times 3x\times 5+5^2=(3x-5)^2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(-x+1)(-2x+4)$.
    Déterminer le tableau de signes de $f(x)$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $-x+1=0 \ssi x=1$ et $-x+1>0 \ssi x<1$
    $-2x+4=0 \ssi -2x=-4 \ssi x=2$ et $-2x+4>0 \ssi -2x>-4 \ssi x<2$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :$\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. $\quad$

    En utilisant la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $[-3;2]$ donnée ci-dessous, résoudre l’inéquation $f(x)\pg 0$.
    $\quad$

    Correction Question 9

    L’ensemble des solutions de l’inéquation $f(x)\pg 0$ est $[-2;1]$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique donner l’équation réduite de la droite d représentée ci-dessus.
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’équation réduite de la droite $d$ est : $y=-\dfrac{1}{2}x-1$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. Dans un repère du plan, on donne $A(2; 4)$ et $B(6; 16)$.
    Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
    Une équation de cette droite est donc de la forme $y=mx+p$.
    Le coefficient directeur est $m=\dfrac{16-4}{6-2}=3$.
    Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=3x+p$.
    Or $A(2;4)$ appartient à la droite $(AB)$.
    Par conséquent $4=3\times 2+p$. Donc $p=-2$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
    Déterminer l’ordonnée du point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $f(-3)=2(-3)^2-(-3)+3=18+3+3=24$.
    Le point de $C_f$ ayant pour abscisse $-3$ a pour ordonnée $24$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Factoriser l’expression $4(x+2)+(x+2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 4(x+2)+(x+2)^2&=(x+2)\left[4+(x+2)\right]\\
    &=(x+2)(x+6)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=-3x+7$.
    Déterminer l’antécédent de $-11$ par $g$.
    $\quad$
    Correction Question 4

    On veut résoudre l’équation
    $\begin{align*} g(x)=-11&\ssi -3x+7=-11 \\
    &\ssi -3x=-18\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    L’antécédent cherché est donc $6$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après une baisse de $20\%$ un produit coûte $200$ €. Quel était son prix initial?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ son prix initial.
    On a donc :
    $\begin{align*} P\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)=200 &\ssi 0,8P=200\\
    &\ssi P=\dfrac{200}{0,8} \\
    &\ssi P = 250\end{align*}$
    Remarque : diviser par $0,8$ revient à diviser par $4$ puis à multiplier par $5$.
    Le produit coûtait donc initialement $250$ €.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$$\quad$
  6. Calculer $\dfrac{10+10^3}{10}$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\dfrac{10+10^3}{10}=1+10^2=101$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Résoudre l’équation $x^2=25$
    $\quad$
    Correction Question 7

    Les solutions de l’équation sont $-5$ et $5$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  8. La formule de l’IMC (indice de masse corporelle; noté $I$) est $I=\dfrac{m}{t^2}$ où $m$ est la masse en kilogramme et $t$ la taille en mètre.
    Exprimer $t$ en fonction de $m$ et de $I$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    On a donc $t^2=\dfrac{m}{I}$ soit, puisque $t$ est positif, $t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  9. Compléter le tableau de signe de l’expression $(x-1)(x+3)$.
    $\quad$
    Correction Question 9

    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0 \ssi x>1$
    $x+3=0 \ssi x=-3$ et $x+3>0 \ssi x>-3$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  10. Par lecture graphique, dresser le tableau de variation de la fonction $h$ définie sur $[-6; 6]$ et représentée ci-dessous dans un repère du plan :

    $\quad$

    $\quad$
    Correction Question 10

    [collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

  1. Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 2

    Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
    $\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
    &=0,9\times 0,8\\
    &=0,72\\
    &=1-0,28\end{align*}$
    Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
    $\quad$
    Correction Question 2

    $\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
    &=0,001~75\\
    \end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
    $\quad$
    Correction Question 3

    $\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

  1. L’écart interquartile de cette série vaut
    $\quad$
    Correction Question 4

    D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
    $\quad$
    Correction Question 5

    D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
    Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$
  3. Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
    &\ssi 2x=12\\
    &\ssi x=6\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Développer l’expression $(3x-2)^2$.
    $\quad$
    Correction Question 7

    $\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
    &=9x^2-12x+4\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Factoriser l’expression $x^3+5x$.
    $\quad$
    Correction Question 8

    $x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  6. Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

    $\quad$
    Correction Question 9

    Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
    Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  7. Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
    $\quad$
    Correction Question 10

    $A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
    Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
    $\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
    &=\dfrac{8}{4}\\
    &=2\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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  1. Fraction irréductible égale à $\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}$.
    $\quad$
    Correction Question 1

    $\begin{align*}\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{5}&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{6}{15}\\
    &=\dfrac{4}{15}\end{align*}$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Compléter $\dfrac{14}{3}-\ldots=2$.
    $\quad$
    Correction Question 2

    $2=\dfrac{6}{3}$ on a donc $\dfrac{14}{3}-2=\dfrac{14}{3}-\dfrac{6}{3}=\dfrac{8}{3}$
    Ainsi $\dfrac{14}{3}-\dfrac{8}{3}=2$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  3. Compléter $(2x)^3=\ldots x^3$
    $\quad$
    Correction Question 3

    $(2x)^3=2^3x^3=8x^3$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  4. Compléter : Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 4

    Augmenter une quantité de $14\%$ c’est la multiplier par $1+\dfrac{14}{100}=1,14$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  5. Après augmentation d’un prix de $50\%$ on obtient $36$ €. Quel est ce prix?
    $\quad$
    Correction Question 5

    On appelle $P$ le prix cherché.
    On a donc $x\times \left(1+\dfrac{50}{100}\right)=36$
    Soit $1,5x=36$
    et donc $x=\dfrac{36}{1,5}$
    C’est-à-dire $x=24$ (diviser par $1,5$ revient à diviser par $3$ puis multiplier par $2$)
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

    $\quad$

  6. Factoriser $3(x+7)-(x+1)(x+7)$
    $\quad$
    Correction Question 6

    $\begin{align*} 3(x+7)-(x+1)(x+7)&=(x+7)\left[3-(x+1)\right] \\
    &=(x+7)(3-x-1)\\
    &=(x+7)(2-x)\end{align*}$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

Voici la courbe représentative d’une fonction $f$ définie sur $[-1;3]$.

Compléter par lecture graphique.

  1. $f(2)=$
    $\quad$
    Correction Question 7

    $f(2)=0$
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Nombre d’antécédents de $-0,2$ par $f$ :
    $\quad$
    Correction Question 7

    Graphiquement, il semblerait que la droite d’équation $y=-0,2$ coupe $3$ fois la courbe représentant la fonction $f$.
    $-0,2$ semble donc avoir $3$ antécédents par $f$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$

On considère la droite $(D)$ ci-dessous.


Compléter par lecture graphique

  1. Équation réduite de $(D)$ : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 9

    Graphiquement, il semblerait que le coefficient directeur de la droite soit $\dfrac{1}{2}$ et son ordonnée à l’origine $1$.
    Une équation réduite de $(D)$ semble donc être $y=\dfrac{1}{2}x+1$.
    $\quad$

    [collapse]

    $\quad$
  2. Si $A$ est le point de $(D)$ d’ordonnée $3$, son abscisse est : $\ldots$
    $\quad$
    Correction Question 10

    L’ordonnée augmente d’une unité quand l’abscisse augmente de deux unités.
    L’abscisse du point $A$ est donc $4$.
    $\quad$

    [collapse]

$\quad$

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