E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli $180$ mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de $4 \%$ par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année (2018 $+n$). On a donc $u_0 = 180$.

Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
a. Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
$\quad$
b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
$\quad$
c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
Un cinéma était déjà installé au centre-ville.
En 2018, il a accueilli $260~000$ spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre $10~000$ spectateurs par an.
Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le
cinéma du centre-ville l’année (2018 $+n$). On a donc $v_0 = 260$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
b. On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def cinema() :}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{u = 180}\\
\hspace{1cm}\text{v = 260}\\
\hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n + 1}\\
\hspace{2cm}\text{u = 1.04*u}\\
\hspace{2cm}\text{v = v – 10}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction $\text{cinema()}$ ?
L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_0\\
&=1,04\times 180\\
&=187,2\end{align*}$
En 2019 le cinéma a accueilli $187~200$ spectateurs.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n\\
&=1,04u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $u_0=180$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=180\times 1,04^n$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n-10$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-10$ et de premier terme $v_0=260$.
$\quad$
b. La fonction $\text{cinema()}$ détermine le plus petite entier naturel $n$ tel que $u_n \pg v_n$.
Voici les premières valeurs prises, arrondies au millième si nécessaire, par les termes des deux suites.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
\hline
u_n& 180& 187,2& 194,688& 202,476& 210,575& 218,998\\
\hline
~~v_n~~& ~~~~260~~~~& ~~~~250~~~~& ~~240~~& ~~230~~& ~~220~~& ~~210~~\\
\hline
\end{array}$
La fonction $\text{cinema()}$ renvoie donc la valeur $5$.
Cela signifie que c’est au bout de $5$ ans que la fréquentation du complexe sera supérieure pour la première fois à celle du cinéma de centre-ville.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un globe-trotter a comme objectif de parcourir $2~000$ km à pied. Il peut parcourir $50$ km en une journée, mais, la fatigue s’accumulant, la distance qu’il parcourt diminue de $2\%$ chaque nouvelle journée.
On note la distance $D_n$ la distance parcourue durant le $n$-ième jour.
Le premier jour de son périple, il parcourt donc $D_1 = 50$ km.

Calculer la distance parcourue le deuxième jour.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(D_n\right)$ ? Donnez ses éléments caractéristiques.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$, déterminer l’expression de $D_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Pour calculer le nombre de jours qu’il faudra au globe-trotter pour atteindre son objectif, on a écrit le programme Python suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nb_jours:}\\
\hspace{1cm}\text{j=1}\\
\hspace{1cm}\text{u=50}\\
\hspace{1cm}\text{S=50}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots$:}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
\hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
\hspace{2cm}\text{j= $\ldots\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{return j}\\
\hline
\end{array}$$
Compléter les deux lignes incomplètes de ce programme.
$\quad$
À l’aide de l’extrait de tableur ci-dessous, déterminer
quand le globe-trotter aura atteint son objectif.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième jour, il a parcouru $50\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=49$ km.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a :
$\begin{align*} D_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)D_n\\
&=0,98D_n\end{align*}$
La suite $\left(D_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $D_1=50$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $D_n=50\times 0,98^{n-1}$.
$\quad$
On obtient le programme Python suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nb_jours:}\\
\hspace{1cm}\text{j=1}\\
\hspace{1cm}\text{u=50}\\
\hspace{1cm}\text{S=50}\\
\hspace{1cm}\text{while S<2000:}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.98*u}\\
\hspace{2cm}\text{S=S+u}\\
\hspace{2cm}\text{j= j+1}\\
\hspace{1cm}\text{return j}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
D’après le tableur, le globe-trotter atteindra son objectif au bout de $80$ jours.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant l’été, une piscine extérieure perd chaque semaine $4 \%$ de son volume d’eau par évaporation. On étudie ici un bassin qui contient $80$ m$^3$ après son remplissage.

Montrer par un calcul que ce bassin contient $76,8$ m$^3$ d’eau une semaine après son remplissage.
$\quad$
On ne rajoute pas d’eau dans le bassin et l’eau continue à s’évaporer. On modélise le volume d’eau contenue dans la piscine par une suite $\left(V_n\right)$ : pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la quantité d’eau en m$^3$ contenue dans la piscine $n$ semaines après son remplissage. Ainsi $V_0=80$.
a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $V_{n+1} = 0,96V_n$ et préciser la nature de la suite $\left(V_n\right)$ ainsi définie.
$\quad$
b. Donner une expression de $V_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Quelle quantité d’eau contient le bassin au bout de $7$ semaines ?
$\quad$
Pour compenser en partie les pertes d’eau provoquées par l’évaporation, on décide de rajouter $2$ m d’eau chaque semaine dans le bassin. On souhaite déterminer au bout de
combien de semaines, le volume d’eau contenu dans la piscine devient inférieur à $70$ m$^3$.
Compléter la fonction Python suivante afin que l’appel $\text{nombreJour(70)}$ renvoie le nombre de semaines à partir duquel le volume d’eau de la piscine sera inférieur à $70$ m$^3$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombreJour(U) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$ >= $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
\hspace{1cm}\text{V=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Une semaine après son remplissage,le volume d’eau, en m$^3$, contenu dans le bassin est :
$\begin{align*} V&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)\times 80\\
&=0,96\times 80\\
&=76,8\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} V_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right) V_n\\
&=0,96V_n\end{align*}$
La suite $\left(V_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$ et de premier terme $V_0=80$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $V_n=80\times 0,96^n$.
$\quad$
c. $V_7=80\times 0,96^7 \approx 60,12$.
Au bout de $7$ semaines, le bassin contient $60,12$ m$^3$ d’eau.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def nombreJour(U) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{N=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{V=80}\\
\hspace{0.5cm}\text{while V >= U :}\\
\hspace{1cm}\text{N=N+1}\\
\hspace{1cm}\text{V=0.96*V+2}\\
\hspace{0.5cm}\text{return N}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un biologiste étudie une population de bactéries dans un milieu fermé. À l’instant initial, il y a $10~000$ bactéries et la population augmente de $15\%$ par heure.
On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ pour laquelle, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente une estimation du nombre de bactéries au bout de $n$ heures.
On a donc $u_0=10~000$.

Expliquer pourquoi la suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$ : $$u_n=10~000\times 1,15^n$$
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$. On précisera le premier terme et la raison.
$\quad$
Combien y aura-t-il de bactéries au bout de $10$ heures ?
$\quad$
On considère la fonction suivante définie en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def bacteries(N) :}\\
\hspace{1cm}\text{u=10000}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(N) :}\\
\hspace{2cm}\text{u=u*1.15}\\
\hspace{1cm}\text{return u }\\
\hline
\end{array}$$
On a appelé cette fonction en donnant différentes valeurs au paramètre $n$ et l’on a dressé le tableau suivant.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 10& 100& 1~ 000& 10~ 000\\
\hline
\text{bacteries}(n)& 40~455& 1,2 \times 10^{10}& 4,99 \times 10^{64}& 3,052 \times 10^{307 }\\
\hline
\end{array}$$
Quelle interprétation peut-on donner de ces résultats dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
Lorsque la population atteint $200~000$ bactéries, le biologiste répand un désinfectant afin de tester son efficacité. Une heure plus tard, il reste $4~000$ bactéries. Quel est le pourcentage de diminution du nombre de bactéries?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)\times u_n\\
&=1,15u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_0=10~000$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=10~000\times 1,15^n$.
$\quad$
voir question précédente
$\quad$
On a $u_{10}=10~000\times 1,15^{10}\approx 40~456$
Au bout de $10$ heures il y aura $40~456$ bactéries.
$\quad$
Le nombre de bactéries semble tendre vers $+\infty$ quand le nombre d’heures tend vers $+\infty$.
$\quad$
$\dfrac{4~000}{200~000}=0,02$
Le pourcentage de diminution du nombre de bactéries est donc égal à $98\%$ (si on considère que les bactéries ne se sont pas reproduites durant cette période d’une heure).
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $0,9$.
On a :

a. $u_{50}=47$
b. $u_{50}=100,9$
c. $u_{50}=-47$
d. $u_{50}=-100,9$

$\quad$

Correction Question 1

On a $u_{50}=2+50\times 0,9=47$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= 2$ et de raison $0,9$.
La somme des $37$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :

a. $2\times \dfrac{1-0,9^{38}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
b. $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
c. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
d. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$

$\quad$

Correction Question 2

La somme est égale à : $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Un programme en langage Python qui retourne la somme des entiers de
$1$ à $100$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{b.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= }\textcolor{Mahogany}{2}\text{*s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}\\\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{101}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{d.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{100}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}
\end{array}$

$\quad$

Correction Question 3

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On a $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ et $\cos x=0,8$, alors :

a. $\sin x=0,6$
b. $\sin x=-0,6$
c. $\sin x=-0,2$
d. $\sin x=0,2$

$\quad$

Correction Question 4

$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2x+\sin^2x=1$
Ainsi :
$0,8^2+\sin^2x=1 \ssi \sin^2x=0,36$
Donc $\sin x=0,6$ ou $\sin x=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre réel $\dfrac{13\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{-3\pi}{4}$
c. $\dfrac{7\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

$a$ et $b$ sont associé au même point du cercle trigonométrique si, et seulement si, il existe $k\in \Z$ tel que $a-b=2k\pi$.

$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-14\pi}{4}=\dfrac{27\pi}{4}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-3\pi}{4}=4\pi \checkmark$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La population d’une ville A augmente chaque année de $2\%$. La ville A avait $4~600$ habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait $5~100$ habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2010 $+n$.

Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
$\quad$
Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
$\quad$
Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$:}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{v=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{n=$\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2011, le nombre d’habitants de la ville A est :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
&=1,02\times 4~600\\
&=4~692\end{align*}$
et celui de la ville B est :
$\begin{align*} v_1&=v_0+110\\
&=5~100+110\\
&=5~210\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_n\\
&=1,02u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=4~600$.
$v_{n+1}=v_n+110$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $110$ et de premier terme $v_0=5~100$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=4~600\times 1,02^n$
En 2020, on a $n=10$
$u_{10}=4~600\times 1,02^{10} \approx 5~607$.
En 2020, la ville A compte $5~607$ habitants.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=5~100+110n$
$v_{10}=5~100+110\times 10=6~200$
En 2020, la ville B compte $6~200$ habitants.
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while u<=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u=1.02*u}\\
\hspace{1cm}\text{v=v+110}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir $100~000$ ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1$\ier$
janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de $35~000$ ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de $7~000$ ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer $5\%$ des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter $6~000$ ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+n$).
On donne $u_0 = 42$.

Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n\times 0,95+6$.
2. On propose ci-dessous un programme en
langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{1cm}\text{u=42}\\
\hspace{1cm}\text{for i in range(n) :}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.95*u+6}\\
\hspace{1cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
$\quad$

Partie B

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que $4~000$ nouveaux ouvrages par an au lieu des $6~000$ prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+ n$).

On admet que $v_{n+1}=0,95\times v_n+4$ pour tout entier naturel $n\pg 0$ avec $v_0=42$.
On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=v_n-80$.
a. Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On donne ci-dessous un programme en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def objet(A) :}\\
\hspace{1cm}\text{v=42}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while v<A :}\\
\hspace{2cm}\text{v=0.95*v+4}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel à la fonction $\text{objet(70)}$ renvoie $27$.
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_n+6\\
&=0,95u_n+6\end{align*}$
$\quad$
Ce programme permet de déterminer la valeur de $u_n$.
$\quad$

Partie B

a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-80 \\
&=0,95v_n+4-80\\
&=0,95v_n-76\\
&=0,95v_n-0,95\times 80\\
&=0,95\left(v_n-80\right)\\
&=0,95w_n\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=v_0-80$ soit $w_0=-38$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-38\times 0,95^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_n&=w_n+80 \\
&=80-38\times 0,95^n\end{align*}$
$\quad$
Cela signifie que c’est à partir de 2047 que la bibliothèque possèdera plus de $70~000$ ouvrages.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1$\ier$ janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà $10$ ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ $4 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année 2019 $+n$ à l’aide du $n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison
$\quad$.
On considère la fonction $\text{Suite}$ définie ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
\textcolor{Aquamarine}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Suite(n):}\\
\textcolor{Aquamarine}{2}&\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{900}\\
\textcolor{Aquamarine}{3}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\textcolor{Aquamarine}{4}&\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0.96}\text{*u}\\
\textcolor{Aquamarine}{5}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\\
\hline\end{array}$$
Quelle sera la valeur obtenue pour $\text{Suite(5)}$ ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Le directeur sait que la maternité devra fermer dès que le nombre d’accouchements deviendra inférieur à $600$.
Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
$\quad$
Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_n \\
&=0,96u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$. et de premier terme $u_0=900$.
$\quad$
L’appel $\text{Suite(5)}$ renvoie la valeur de $u_5$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
Donc $u_5=900\times 0,96^5 \approx 734$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
$\quad$
En 2030, on a $n=11$.
$u_{11}=900\times 0,96^{11}\approx 574$
Ainsi, $u_{11}<600$
La maternité sera donc fermée en 2030.
$\quad$
$0<0,96<1$ et $u_0>0$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$u_9\approx 623$ et $u_{10}\approx 598$
Ainsi la maternité fermera ses portes en 2029.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

L’évolution d’une population de bactéries dépend de l’environnement dans lequel ces bactéries sont placées. Cette population peut être modélisée par la suite $\left(P_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $P_{n+1}=(1+\alpha)P_n+\beta$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des paramètres liés à l’environnement, notamment à la température et à l’humidité.
$P_n$ modélise alors le nombre de bactéries, en milliers, qui composent cette population $n$ jours après les avoir introduites dans un certain environnement.

Une population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un environnement pour lequel $\alpha = 0,2$ et $\beta = 70$.
a. Combien y a-t-il de bactéries dans cet environnement au bout de deux jours ?
$\quad$
b. Recopier et compléter le programme suivant, écrit en langage Python, pour que la fonction $\text{Nombrebacteries}$ renvoie le nombre de bactéries présentes dans cet environnement au bout de $\text{N}$ jours.
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\end{array}$$
$\quad$
Une autre population, initialement composée de $500$ mille bactéries, est étudiée dans un nouvel environnement. On constate que le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
a. Déterminer les valeurs des paramètres $\alpha$ et $\beta$ pour cet environnement.
$\quad$
b. Quelle est, dans ce cas, la nature de la suite $\left(P_n\right)$ ?
$\quad$
c. Justifier qu’après $9$ jours dans cet environnement, le nombre de bactéries de cette population a doublé.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} P_1&=(1+0,2)P_0+70\\
&=1,2\times 500+70\\
&=670\end{align*}$
$\begin{align*} P_2&=(1+0,2)P_1+70\\
&=1,2\times 670+70\\
&=874\end{align*}$
Au bout de deux jours, il y aura donc $874$ milliers de bactéries.
$\quad$
b. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{Nombrebacteries}}\textcolor{brown}{(}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{1cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{500}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{,}\text{N}\textcolor{brown}{):}\\
\hspace{2cm}\text{P}\textcolor{brown}{=}\text{P}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.2}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{70}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{P}\end{array}$$
$\quad$
a. Le nombre de bactéries de cette population augmente de $9 \%$ par jour.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $P_{n+1}=1,09P_n$.
Ainsi $\alpha=0,09$ et $\beta=0$.
$\quad$
b. La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $P_0=500$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=500\times 1,09^n$.
$P_9=500\times 1,09^9 \approx 1~086$
Par conséquent $P_9>2P_0$
Le nombre de bactéries de cette population a doublé.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le 1$\ier$ janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à $650$ euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1$\ier$ janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$ le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier de l’année (2019 $+ n$), pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

a. Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier 2020.
$\quad$
b. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
$\quad$
c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
$\quad$
Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2019$+\text{A}$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|cl|}
\hline
1& \textbf{def somme(A):}\\
2& \hspace{1cm}\textbf{S=0}\\
3& \hspace{1cm}\textbf{n=0}\\
4& \hspace{1cm}\textbf{while n<=A:}\\
5& \hspace{2cm}\textbf{S=S+7800*1.0152**n}\\
6& \hspace{2cm}\textbf{n = n + 1}\\
7& \hspace{1cm}\textbf{return S}\\
\hline
\end{array}$$
L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de $\text{A}$ donne les résultats ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{7800.0}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{15718.560000000001}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{23757.482112000005}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{31918.595840102407}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{8}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{74623.04180934158}
\end{array}$$
a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel $\text{somme(1)}$.
$\quad$
b. Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $u_1=650\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right)=659,88$.
Au 1$\ier$ janvier 2020, le loyer est de $660$ euros.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right) \\
&=1,0152u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=650\times 1,0152^n$.
En 2027, on a $n=8$.
$u_8=650\times 1,0152^8\approx 733,38$
En 2027, le loyer sera, selon ce modère, de $733$ euros.
$\quad$
a. Il s’agit de la somme totale des loyers perçus en 2019 et 2020.
$\quad$
b. En 2022, on a $n=3$ et en 2027 on a $n=8$.
Ainsi la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 est :
$\begin{align*} S&=\text{somme(8)}-\text{somme(2)} \\
&=74623.04180934158-23757.482112000005\\
&\approx 50~866\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

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