E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-x^2-x+6$. On admet que l’une des quatre courbes ci-dessous représente la fonction $f$. Laquelle?

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient principal de cette fonction du second degré est $a=-1<0$.
On exclut donc les propositions a. et b.
L’abscisse du sommet de la parabole est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-1}{-2}\\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On pose pour tout réel $x$ : $A(x)=\e^{2x}$. On a alors, pour tout $x\in \R$ :

a. $A(x)=2\e^x$
b. $A(x)=\e^{x^2}$
c. $A(x)=\e^x+\e^2$
d. $A(x)=\left(\e^x\right)^2$

$\quad$

Correction Question 2

Pour tout réel $x$ on a $\left(\e^x\right)^2=\e^{2x}$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $2x+y+1=0$ et $3x-2y+5=0$

a. sont sécantes en $A(1 ; 1)$.
b. sont sécantes en $B(1 ; -1)$.
c. sont sécantes en $C(-1 ; 1)$.
d. ne sont pas sécantes.

$\quad$

Correction Question 3

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+y+1=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-2y+5=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. Les droites sont donc sécantes.

On a $2\times (-1)+1+1=0$ et $3\times (-1)-2\times 1+5=0$
Le point $C(-1;1)$ appartient donc aux deux droites.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le plan est muni d’un repère orthonormé.
Les droites d’équations $x+3y-5=0$ et $3x-y+6=0$ sont :

a. pependiculaires.
b. sécantes non perpendiculaires.
c. parallèles.
d. confondues.

$\quad$

Correction Question 4

Un vecteur directeur de la droite d’équation $x+3y-5=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de la droite d’équation $3x-y+6=0$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}$.

Or :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-3\times 1+1\times 3\\
&=0\end{align*}$
Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Par conséquent les droites sont perpendiculaires.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction Python ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite(n) :}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=2}\\
\hspace{0.5cm}\text{k=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while k<n :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u+k}\\
\hspace{1cm}\text{k=k+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return u}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle valeur renvoie l’appel $\text{suite(5)}$?

a. $5$
b. $8$
c. $12$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 5

Voici les différentes valeurs prises par les variables $u$ et $k$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
u&2&2&3&5&8&12\\
\hline
k&0&1&2&3&4&5\\
\hline
\end{array}$

L’appel $\text{suite(5)}$ renvoie donc la valeur $12$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de $537$ kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de $1,5 \%$ par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produit par habitant de cette ville durant l’année 2019$+n$, on a donc $d_0 = 537$.

  1. Montrer par un calcul que $d_1= 0,985 \times d_0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ .
    $\quad$
  3. En déduire la nature de la suite $\left(d_n\right)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ .
    $\quad$
  4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir $513$ kg. Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>\ldots:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=\ldots}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_0 \\
    &=0,985\times d_0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_n \\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=537$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=537\times 0,985^n$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>}\textcolor{Emerald}{\text{513}}\textcolor{Maroon}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=} \text{d}\textcolor{Maroon}{*}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les premiers termes de la suite $\left(d_n\right)$ arrondis au dixième.
    $d_0=537$, $d_1\approx 528,9$, $d_2\approx 521,0$, $d_3\approx 513,2$ et $d_4\approx 505,5$.
    C’est donc à partir de l’année 2023 que la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique des pièces en acier, toutes identiques, pour l’industrie aéronautique.
Ces pièces sont coulées dans des moules à la sortie du four. Elles sont stockées dans un entrepôt dont la température ambiante est maintenue à $25$°C.
Ces pièces peuvent être modelées dès que leur température devient inférieure ou égale à $600$°C et on peut les travailler tant que leur température reste supérieure ou égale à $500$°C.
La température de ces pièces varie en fonction du temps.
On admet que la température en degré Celsius de ces pièces peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$ par : $$f(t)=1é375\e^{-0,075t}+25~,$$ où $t$ correspond au temps, exprimé en heures, mesuré après la sortie du four.

  1. Calculer la température des pièces à la sortie du four.
    $\quad$
  2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ; +\infty[$. Ce résultat était-il prévisible dans le contexte de l’exercice ?
    $\quad$
  3. Les pièces peuvent-elles être modelées $10$ heures après la sortie du four ? Après $14$ heures ?
    $\quad$
  4. On souhaite déterminer le temps minimum d’attente en heures après la sortie du four avant de pouvoir modeler les pièces.
    a. Compléter l’algorithme donné en annexe, qui est à rendre avec la copie, pour qu’il renvoie ce temps minimum d’attente en heure (arrondi par excès à $0,1$ près).
    $\quad$
    b. Déterminer ce temps minimum d’attente. On arrondira au dixième.
    $\quad$

Annexe

$$\begin{array}{l}
\text{from math import}\\
\text{def f(t):}\\
\hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm} \text{t = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{temperature = }\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{while température > }\ldots\ldots :\\
\hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm} \text{temperature =}\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$

L’énoncé original contenait une erreur dans la boucle while. Elle est corrigée ici.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a
    $\begin{align*} f(0)&=1~375\e^0+25 \\
    &=1~375+25\\
    &=1~400\end{align*}$
    La température des pièces à la sortie du four est de $1~400$ €.
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $[0;+\infty[$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
    $\begin{align*} f'(t)&=1~375 \times (-0,075)\e^{-0,075t} \\
    &=-103,125\e^{-0,075t}\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive.
    Donc $f'(t)<0$ pour tout réel $x\pg 0$.
    Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
    Une fois sortie du four, la température de la pièce en acier baisse. Le résultat précédent était donc prévisible.
    $\quad$
  3. On a $f(10)\approx 675,5 > 600$
    Les pièces ne peuvent pas être modelées $10$h après la sortie du four.
    $f(14)\approx 506,2 \in[500;600]$
    Les pièces peuvent être modelées $14$h après la sortie du four.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{from math import}\\
    \text{def f(t):}\\
    \hspace{1cm}\text{return 1375*exp(-0,075*t)+25}\\\\
    \text{def seuil():}\\
    \hspace{1cm} \text{t = t+0.1 }\\
    \hspace{1cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{while température > 600 :} \\
    \hspace{2cm} \text{t=t+0.1}\\
    \hspace{2cm} \text{temperature = f(t)}\\
    \hspace{1cm} \text{return t}\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a $f(11,6)\approx 601,1$ et $f(11,7) \approx 596,8$
    Il faut donc attendre environ $11,7$ heures pour pouvoir modeler les pièces.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La famille A décide de diminuer de $2 \%$ par mois sa quantité de déchets produite par mois à partir du 1$\ier$ janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$ kg de déchets.

  1. Justifier qu’au bout de $2$ mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l’année.
On modélise l’évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.
Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

  1. a. Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer 𝑎𝑛 en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l’année 2020.
    On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
    On rappelle que :
    Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$, $q\neq 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S=u_1+u_2+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
    $\quad$
    d. On donne le programme ci-dessous.
    $$\begin{array}{ll}
    \textcolor{Emerald}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{S(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{2}& \hspace{0.5cm}\text{U=}\textcolor{Green}{120}\\
    \textcolor{Emerald}{3}& \hspace{0.5cm}\text{S=}\textcolor{Green}{0}\\
    \textcolor{Emerald}{4}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{5}& \hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{Green}{0.98}\text{*U}\\
    \textcolor{Emerald}{6}& \hspace{1cm}\text{S=S+U}\\
    \textcolor{Emerald}{7}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{(S)}\\
    \textcolor{Emerald}{8}&\end{array}$$
    Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l’instruction $\text{S(6)}$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le premier mois elle a produit $120\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=117,6$ kg de déchets.
    Le deuxième mois elle a produit $117,6\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=115,248$ kg de déchets.
    Au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)an\\
    &=0,98a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $a_0=120$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=120\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=a_1+a_2+\ldots+a_{12} \\
    &=a_1\times \dfrac{1-0,98^{13}}{1-0,98}\\
    &=117,6\times \dfrac{1-0,98^{13}}{0,02}\\
    &\approx 1~358\end{align*}$
    La famille produira donc environ $1~358$ kg de déchets durant l’année 2020.
    $\quad$
    d. Cette instruction fournit la quantité totale de déchets produits par la famille sur les $6$ premiers mois de l’année 2020.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre $8\%$ des colonies chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{C = 300}\\
    \hspace{1cm} \text{N = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while C < 400 :}\\
    \hspace{1.5cm} \text{C = C*0.92+50}\\
    \hspace{1.5cm} \text{N = N+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return (N)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
    reproduit l’avancement du programme pas à pas :
    Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
    \hline
    \text{C}&300&326&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $\text{N}$ renvoyée par le programme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 $+ 𝑛$ .

Ainsi $C_0= 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $$C_{n+1}=0,92C_n+50$$

  1. La suite $\left(C_n\right)$ est-elle arithmétique? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. On admet que $C_n=625-325\times 0,92^n$ pour tout entier naturel $n$.
    L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{C}&300&326&350&372&392&411\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie la valeur $5$.
    Cela signifie que l’apiculteur doit attendre $5$ ans pour avoir au moins $400$ colonies d’abeilles.
    $\quad$
  2. On a $C_0=300$
    $\begin{align*} C_1&=0,92C_0+50\\
    &=0,92\times 300+50\\
    &=326\end{align*}$
    $\begin{align*} C_2&=0,92C_1+50\\
    &=0,92\times 326+50\\
    &=349,92\end{align*}$
    Ainsi $C_1-C_0=26$ et $C_2-C_1=23,92$.
    Ces différences ne sont pas égales : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{C_1}{C_0}\approx 1,087$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\approx 1,073$.
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $325\times 0,92^n>0$.
    Donc $C_n<625$.
    L’apiculteur ne pourra pas atteindre $700$ colonies.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $^1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,01\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,01}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 0,99$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$°C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0= 1~000$.
La température $T_n$ est calculée grâce à l’algorithme suivant :$$\begin{array}{|l|}
\hline
T  \leftarrow 1~000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{0.5cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
    $\quad$
  2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  4. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$°C. Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\ldots :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T= }\ldots\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $0,82\times 1~000+3,6=823,6$
    Ainsi $T_1=823,6$.
    La température du four après une heure de refroidissement est $823,6$°C.
    $\quad$
  2. D’après l’algorithme, pour tout entier naturel $n$, on a $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} T_2&=0,82T_1+3,6\\
    &=678,952\end{align*}$
    $\begin{align*} T_3&=0,82T_2+3,6\\
    &\approx 560\end{align*}$
    $\begin{align*} T_4&=0,82T_3+3,6\\
    &\approx 463\end{align*}$
    La température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement est $463$°C.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\text{ T>}\textcolor{Green}{70} :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T=}\textcolor{Green}{0.82}\times \text{T +}\textcolor{Green}{3.6}\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Voici les premières valeurs prises par $T_n$, arrondies au centième.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& T_n\\ \hline
    0& 1000\\ \hline
    1& 823,6\\ \hline
    2& 678,95\\ \hline
    3& 560,34\\ \hline
    4& 463,08\\ \hline
    5& 383,33\\ \hline
    6& 317,93\\ \hline
    7& 264,30\\ \hline
    8& 220,33\\ \hline
    9& 184,27\\ \hline
    10& 154,70\\ \hline
    11& 130,45\\ \hline
    12& 110,57\\ \hline
    13& 94,27\\ \hline
    14& 80,90\\ \hline
    15& 69,94\\ \hline
    \end{array}$
    On peut donc ouvrir le four sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $10~500$ €. La valeur de cette voiture a baissé de $14 \%$ par an.

  1. La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+𝑛$. On a donc $P_0 = 10~500$.
    a. Déterminer la nature de la suite $\left(P_n\right)$.
    $\quad$
    b. Quelle était la valeur de cette voiture en 2010 ?
    $\quad$
  2. Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $1~500$ €. Pour l’aider, on réalise le programme Python incomplet ci-dessous.
    a. Recopier et compléter sur votre copie les deux parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P} \ldots\ldots\ldots\ldots :\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=}\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{14}{100}\right)P_n\\
    &=0,86P_n\end{align*}$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,86$ et de premier terme $P_0=10~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=10~500\times 0,86^n$
    $\begin{align*} P_8&=10~500\times 0,86^8\\
    &\approx 3~141,79\end{align*}$
    La voiture valait environ $3~141,79$ euros en 2010.µ
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P>=1500}:\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=0,86*P}\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. $0<0,86<1$ et $P_0>0$.
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc décroissante.
    $P_{12}\approx 1~718,6$ et $P_{13}\approx 1~478,0$
    Ainsi le programme renvoie la valeur $2015$.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d’une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.

Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de 120~ 000. Ce nombre augmenterait ensuite de $2\%$ chaque semaine.

Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins $400~000$ visionnages par semaine.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = 120~000$.

  1. Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
    $\quad$
  2. Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=120~000\times 1,02^n$
    $\quad$
  3. À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à $150~000$ ?
    $\quad$
  4. Voici un algorithme écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{l}
    \textcolor{blue}{\text{def }} \textcolor{BlueGreen}{\text{seuil}}\textcolor{Mahogany}{\text{():}}\\
    \hspace{1cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{120000}}\\
    \hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{0}}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }} \text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{<}}\textcolor{BlueGreen}{\text{400000}}\\
    \hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{+}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1}}\\
    \hspace{2cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1.02}}\textcolor{Mahogany}{\text{*}}\text{u}\\
    \hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}
    \end{array}$$
    Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. On pose pour tout entier naturel $n$ : $S_n=u_0+\ldots+u_n$. Montrer que l’on a :
    $$S_n=6~000~000\times \left(1,02^{n+1}-1\right)$$
    Puis en déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à l’unité).
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times u_0\\
    &=1,02\times 120~000\\
    &=122~400\end{align*}$
    Il y a eu $122~400$ visionnages une semaine après le début de la diffusion.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=120~000$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=120~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
  3. Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$, prises par la suite $\left(u_n\right)$
    $$\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& u_n\\
    \hline
    0 &120~000\\
    \hline
    1 &122~400\\
    \hline
    2 &124~848\\
    \hline
    3 &127~344,96\\
    \hline
    4 &129~891,86\\
    \hline
    5 &132~489,70\\
    \hline
    6 &135~139,49\\
    \hline
    7 &137~842,28\\
    \hline
    8 &140~599,13\\
    \hline
    9 &143~411,11\\
    \hline
    10 &146~279,33\\
    \hline
    11 &149~204,92\\
    \hline
    12 &152~189,02\\
    \hline
    \end{array}$$
    C’est donc après $12$ semaines que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $150~000$.
    $\quad$
  4. L’algorithme détermine le plus petit rang de la suite $\left(u_n\right)$ tel que $u_n\pg 400~000$.
    On a $u_{60} \approx 393~732,70$ et $u_{61}\approx 401~598,17$
    C’est donc à partir de la $61\ieme$ semaine que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $400~000$.
    $\quad$
  5. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n\\
    &=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02}\\
    &=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{-0,02}\\
    &=6~000~000\left(1,102^{n+1}-1\right)\end{align*}$
    On a
    $\begin{align*} S_{52}&=6~000~000\left(1,02^{53}-1\right)\\
    &\approx 11~138~008\end{align*}$
    Le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines est environ égal à $11~138~008$.
    $\quad$

[collapse]

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par $$f(x)=x^3-x^2-x-1$$

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)$.
    $\quad$
    b. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
    $\quad$
    d. Déterminer l’abscisse du point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$.
    $\quad$
  2. On note $x_0$ l’unique solution de l’équation $f(x)=0$. On admet que $x_0 \in [1 ; 2]$.
    On considère la fonction suivante définie en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{zero_de_f(n):}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{a=}\textcolor{Green}{1}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{b=}\textcolor{Green}{2}\\
    4&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(n):}\\
    5&\hspace{1cm}\text{x=(a+b)/}\textcolor{Green}{2}\\
    6&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{if }}\text{x**}\textcolor{Green}{3}\text{-x**}\textcolor{Green}{2}\text{-x}\textcolor{Green}{-1}\text{<}\textcolor{Green}{0}\text{:}\\
    7&\hspace{1.5cm}\text{a=x}\\
    8&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{else}}\text{:}\\
    9&\hspace{1.5cm}\text{b=x}\\
    10&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return } }\text{a,b}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. On applique cette fonction pour $n=3$. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu’à l’arrêt de l’algorithme.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&&&&&\\
    \hline
    k=2&&&&&\\
    \hline\end{array}$$
    b. En déduire un encadrement de $x_0$, d’amplitude $0,125$, par deux nombres décimaux.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $f'(x)=3x^2-2x-1$
    De plus
    $\begin{align*} 3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)(x-1)&=(3x+1)(x-1) \\
    &=3x^2-3x+x-1\\
    &=3x^2-2x-1\\
    &=f(x)\end{align*}$
    $\quad$
    b. Sur l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $3\left(x+\dfrac{1}{3}\right)>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-1$.
    $x-1=0 \ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$
    On obtient donc le tableau de signes suivant :

    $\quad$
    c. On veut donc résoudre l’équation
    $\begin{align*} f'(x)=7&\ssi 3x^2-2x-1=7\\
    &\ssi 3x^2-2x-8=0\end{align*}$
    Le discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 3\times (-8)\\
    &=100\end{align*}$
    Les deux racines réelles sont :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{100}}{6} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{100}}{6} \\
    &=2\end{align*}$
    Or $-\dfrac{4}{3}<0$.
    Par conséquent le point de la courbe représentative de $f$ pour lequel le coefficient directeur de la tangente vaut $7$ a pour abscisse $2$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \textbf{Itération}&\boldsymbol{x=\dfrac{a+b}{2}}&\boldsymbol{f(x)<0}\textbf{?}&\boldsymbol{a}&\boldsymbol{b}&\textbf{Amplitude de }\boldsymbol{[a;b]}\\
    \hline
    k=0&1,5&OUI&1,5&2&0,5\\
    \hline
    k=1&1,75&OUI&1,75&2&0,25\\
    \hline
    k=2&1,875&NON&1,75&1,875&0,125\\
    \hline\end{array}$$
    $\quad$
    b. On a donc $f(1,75)<0$ et $f(1,875)>0$.
    Un encadrement de $x_0$ d’amplitude $0,125$ est donc $0,175<x_0<1,875$.
    $\quad$
    Remarque : Il s’agit de l’algorithme de dichotomie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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