E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

  1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
    $\quad$
  2. Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
    $\quad$
    b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
    Le troisième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
    $\quad$
  2. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le quatrième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=216,4032$€.
    La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $216,4032$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
    $\quad$
  4. $3$ ans $=36$ mois.
    On a :
    $\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
    &=375\end{align*}$
    Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
    &=10~350\end{align*}$
    Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
    &\approx 10~398,87\end{align*}$
    C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère qu’en 2019, $3~300~000$ personnes étaient atteintes de diabète en France.
Pour étudier l’évolution de la maladie, des chercheurs appliquent un modèle selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de $2\%$ par an.
On note $u_n$ le nombre de personnes atteintes de diabète en France selon ce modèle durant l’année (2019$+n$).On a donc $u_0=3~300~000$.

  1. Justifier que, selon ce modèle, le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~433~320$ en 2021.
    $\quad$
  2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
    $\quad$
  3. Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. En déduire le nombre de personnes qui,selon ce modèle, seront atteintes de diabète en France en 2025.
    $\quad$
  5. On définit en langage Python la fonction suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(S):}\\
    \hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Green}{3300000}\\
    \hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    \hspace{1cm}\text{while u<S:}\\
    \hspace{2cm}\text{u=u*}\textcolor{Green}{1.02}\hspace{3cm}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution dans la console on obtient l’affichage suivant .
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{>>> seuil(5000000)}\hspace{3cm}\\
    \textcolor{Green}{21}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2020 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~300~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~366~000$.
    En 2021 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~366~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~433~320$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right) u_n\\
    &=1,02u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=3~300~000$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~300~000\times 1,02^n$.
    $\quad$
  4. En 2025 on a $n=6$.
    $u_6=3~300~000\times 1,02^6\approx 3~716~336$
    Environ $3~716~336$ personnes seront atteintes de diabète en France en 2020 selon ce modèle.
    $\quad$
  5. Le nombre de personnes atteintes de diabète en France dépassera pour la première fois $5~000~000$ en 2040.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(-1;0)$ et $(-3;4)$ dans un repère orthonormé du plan. Alors $\norme{\vec{u}-\vec{v}}$ est égale à :

a. $4\sqrt{2}$
b. $\sqrt{32}$
c. $20$
d. $2\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 1

$\vec{u}-\vec{v}$ a pour coordonnées $(-2;4)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2} \\
&=\sqrt{20}\\
&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Le tableau de signes de la fonction polynôme définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+5$ est :

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times 5\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution(s)

a. $\dfrac{\pi}{6}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 3

$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ .
De plus $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ appartiennent bien à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=15$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+1$$
On a écrit la fonction $\text{suite()}$ ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite():}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{u=15}\\
\hspace{1cm}\text{while u>6:}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.8*u+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel de cette fonction renvoie :

a. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n >
b. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\pp 6$
c. Le premier terme de la suite tel que $u_n>6$
d. Le premier terme de la suite tel que $u_n\pp 6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction renvoie la variable $\text{n}$ qui correspond au rang d’un terme de la suite. On exclut donc les réponses c. et d.
La condition d’arrêt de la boucle $\text{while}$ est $\text{u<=6}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\e^{3x-5}\times \e^{4-3x}$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{\e}$
b. $\e^{(3x-5)\times (4-3x)}$
c. $\e$
d. $\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^{3x-5}\times \e^{4-3x}&=\e^{3x-5+4-3x}\\
&=\e^{-1}\\
&=\dfrac{1}{\e}
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1$\ier $ janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

  • Contrat n°1 : le loyer augmente chaque année de $200$ €.
  • Contrat n°2 : le loyer augmente chaque année de $5 \%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

  • $u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°1.
  • $v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°2.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $3~600$ €. On a donc $u_0 = v_0 = 3~600$.

  1. Étude de la suite $\left(u_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  2. Étude de la suite $\left(v_n\right)$
    a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
    $\quad$
  3. On considère le script suivant, écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u = 3600}\\
    \text{v = 3600}\\
    \text{n = 0}\\
    \text{while u>=v :}\\
    \hspace{1cm}\text{u = u + 200}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 1.05*v}\\
    \hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. En 2021, le loyer sera de $3~600+200=3~800$ € pour le contrat n°1.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+200$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $200$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3~600+200n$.
    Ainsi en 2030, $n=10$
    Donc
    $\begin{align*}u_{10}&=3~600+200\times 10\\
    &=5~600\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. En 2021, le loyer sera de $3~600\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=3~780$ € pour le contrat n°2.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
    &= 1,05u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=3~600$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~600\times 1,05^n$
    En 2030, $n=10$
    $\begin{align*} u_{10}&=3~600\times 1,05^{10}\\
    &\approx 5~864,02\end{align*}$
    Le loyer annuel sera environ égal à $5~864,02$ € en 2030.
    $\quad$
  3. Il faut donc $6$ ans pour que le loyer annuel du contrat n°2 soit supérieur à celui du contrat n°1.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}(3;-6)$.
Le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à :

a. $18$
b. $-30$
c. $0$
d. $24$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-2\times 3+4\times (-6)\\
&=-30\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC==7$ et $\widehat{BAC}=60$°.
Quelle est la longueur du côté $[BC]$ ?

a. $BC=\sqrt{109}$
b. $BC=\sqrt{74}$
c. $BC=-35\sqrt{3}+74$
d. $BC=\sqrt{39}$

$\quad$

Correction Question 2

On a d’une part :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=35\cos 60\\
&=17,5\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} &\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\\
\ssi~& 17,5=\dfrac{1}{2}\left(25+49-BC^2\right)\\
\ssi~& 35=74-BC^2 \\
\ssi~& BC^2=39\end{align*}$
Par conséquent $BC=\sqrt{39}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2; 3)$ et de rayon $R = 4$.
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

a. $x^2+4x+y^2+6y+9=0$
b. $x^2+4x+y^2+6y-3=0$
c. $x^2-4x+y^2-6y-3=0$
d. $x^2-4x+y^2-6y+9=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle $C$ est
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-3)^2=4^2\\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-6y+9=16\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-6y-3=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Le réel $\dfrac{-23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-\pi}{3}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$
c. $\dfrac{-2\pi}{3}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

On calcule les différences entre $\dfrac{-23\pi}{3}$ et les réponses proposées. Les deux réels ont le même point image si cette différence est un multiple de $2\pi$.

$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-\pi}{3}=\dfrac{-22\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=-8\pi=-4\times 2\pi \checkmark$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-2\pi}{3}=\dfrac{-21\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-25\pi}{3}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’algorithme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{ll}
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{liste}\text{(N):}\\
2&\hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{brown}{1}\\
3&\hspace{1cm}\text{L=[U]}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{brown}{1}\text{,N):}\\
5&\hspace{2cm}\text{U=}\textcolor{brown}{2}\text{*U+}\textcolor{brown}{3}\\
6&\hspace{2cm}\text{L.append(U)}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(L)}\end{array}$$
Que contient la variable $\text{L}$ à la fin de l’exécution dans le cas où on choisit $\text{N=4}$?

a. $\text{[1,5,13,29,61]}$
b. $\text{[1,5,13,29]}$
c. $\text{61}$
d. $\text{9}$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction Python renvoie une liste de longueur contenant $4$ éléments.

Réponse b

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2012, un artisan batelier a transporté $300$ tonnes de marchandises sur sa péniche.
Il augmente sa cargaison chaque année de $11 \%$ par rapport à l’année précédente.

On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en (2012 $+n$). Ainsi $u_0 = 300$.

  1. a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Le batelier décide qu’à partir de $1~000$ tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.
    a. Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :$$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u=300}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while $\ldots$ :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\hspace{1cm}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En quelle année changera-t-il de péniche ?
    $\quad$
  3. Une tonne transportée est payée au batelier $15$ €.
    La proposition : « Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à $70~000$ € » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{11}{100}\right) u_n\\
    &=1,1u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,1$ et de premier terme $u_0=300$.
    $\quad$
    b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,1^n$.
    $\quad$
  2. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{u=300}\\
    \text{n=0}\\
    \text{while u<1000 :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=u*1.1}\hspace{1cm}\\
    \hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. $1,1>1$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    On a
    $\begin{align*} u_{12}&=300\times 1,1^{12} \\
    &\approx 942\\
    &<1~000\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_{13}&=300\times 1.1^{13}\\
    &\approx 1~036\\
    &>1~000\end{align*}$
    Par conséquent, le batelier changera de péniche en 2025.
    $\quad$
  3. Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 est :
    $\begin{align*} C&=15\left(u_0+u_1+\ldots+u_7\right)\\
    &=15\times 300\times \dfrac{1-1,1^{8}}{1-1,1}\\
    &\approx 51~461\\
    &<70~000\end{align*}$
    La proposition est donc fausse.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes :

  • Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de $14~400$ €, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de $13~200$ €.
  • Le salaire de Camille augmente de $600$ € par an alors que celui de Dominique augmente de $4 \%$ par an.
  1. Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012 ?
    $\quad$
  2. On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l’aide de suites.
    a. On note $u_n$ le salaire de Camille en l’année 2010 $+𝑛$. On a donc $u_0 = 14~400$.
    Quelle est la nature de la suite $(\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
    $\quad$
    c. On note $v_n$ le salaire de Dominique en l’année 2010$+n$.
    Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    $\quad$
    d. Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l’euro.
    $\quad$
  3. On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.
    Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm}\text{A=14400}\\
    \hspace{1cm}\text{B=13200}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$:}\\
    \hspace{2cm}\text{A=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{B=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{2cm}\text{n=$\ldots\ldots\ldots$}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Salaires en 2011
    Camille : $14~400+600=15~000$ €
    Dominique : $13~200\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=13~728$ €
    Salaires en 2012
    Camille : $15~000+600=15~600$ €
    Dominique : $13~728\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=14~277,12$ €
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1}=u_n+600$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $600$ et de premier terme $u_0=14~400$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=14~400+600n$.
    On veut donc résoudre dans $\N$:
    $\begin{align*} u_n>20~000 &\ssi 14~400+600n>20~000 \\
    &\ssi 600n>5~600 \\
    &\ssi n>\dfrac{28}{3}\end{align*}$
    Or $\dfrac{28}{3}\approx 9,3$.
    Par conséquent $n\pg 10$.
    C’est donc à partir de l’année $2020$ que le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
    $\quad$
    c.  Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)\\
    &=1,04v_n\end{align*}$
    $\quad$
    d. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=13~200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=13~200\times 1,04^n$.
    On a :
    $\begin{align*} v_{10}&=13~200\times 1,04^{10} \\
    &\approx 19~539\end{align*}$
    Le salaire annuel de Dominique en 2020 sera environ égal à $19~539$ €.
    $\quad$
  3. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm}\text{A=14400}\\
    \hspace{1cm}\text{B=13200}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while A>=B:}\\
    \hspace{2cm}\text{A= A+600}\\
    \hspace{2cm}\text{B= B*1.04}\\
    \hspace{2cm}\text{n= n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=2x^2+5x-4$.
La tangente à la courbe représentative de $g$ au point d’abscisse $2$ a pour équation :

a. $y=14x+14$
b. $y=14x-14$
c. $y=13x-15$
d. $y=13x-12$

$\quad$

Correction Question 1

Une équation de cette tangente est de la forme $y=g'(2)(x-2)+g(2)$.
$g(2)=14$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=4x+5$.
$g'(2)=13$.
Une équation de la tangente est donc $y=13(x-2)+14$ soit $y=13x-12$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé du plan. On considère les points $A(4; 8)$, $B(9; 6)$ et $D(2; 11)$. Alors $\vect{AD}.\vect{BD}$ est égal à :

a. $-1$
b. $11$
c. $-31$
d. $29$

$\quad$

Correction Question 2

$\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{BD}\begin{pmatrix}-7\\5\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} \vect{AD}.\vect{BD}&=-2\times (-7)+3\times 5\\
&=29\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère la droite $D$ d’équation $3x-4y+5 = 0$. La droite parallèle à $D$ et passant par $A(4; 8)$ a pour équation :

a. $4x+3y-40=0$
b. $3x-4y-5=0$
c. $3x-4y+20=0$
d. $4x+3y+6=0$

$\quad$

Correction Question 3

La droite parallèle à $D$ passant par le point $A$ a une équation de la forme $3x-4y+c=0$
Elle passe par le point $A(4;8)$.
Donc $12-32+c=0\ssi c=20$
Une équation de cette droite est donc $3x-4y+20=0$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q=-1,2$ et de terme initial $u_0=10$. Alors :

a. $0<u_{3~000}<1~000$
b. $u_{3~000}=-3~590$
c. $u_{3~000}>1~000$
d. $u_{3~000}=-36~000$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=10\times (-1,2)^n$
Ainsi :
$\begin{align*} u_{3~000}&=10\times (-1,2)^{3~000} \\
&\approx 3,5 \times 10^{238}\\
&>1~000\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

Remarque : Si ta calculatrice ne te permet pas d’afficher un nombre aussi grand, il faut fonctionner par élimination.
$3~000$ est pair donc $u_{3~000}>0$.
$1,2>1$ la suite des rangs pairs est donc croissante.
On calcule par exemple $u_{100}>1~000$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par : $v_0=1$ et $v_{n+1}=4v_n+2$ pour tout entier $n$.

On veut déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $v_n$ est supérieur ou égal à $100~000$. On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python : $$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{V = 1}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$ :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{V = 4 * V + 2}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par :

a. $\text{V == 100000}$
b. $\text{V != 100000}$
c. $\text{V > 100000}$
d. $\text{V < 100000}$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut saisir la condition contraire à la condition de sortie.
Donc ici $\text{V < 100000}$.

Réponse d

$\quad

[collapse]

$\quad

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit la suite géométrique $\left(un\right)$ de raison $0,999$ et de premier terme $u_0 = 82~695$.

  1. Calculer $u_{19}$.
    $\quad$
  2. Calculer $S= u_0+u_1+\ldots+u_{19}$.
    $\quad$

Partie B

La population d’un pays s’élevait à $82~695~000$ habitants au premier janvier 2016.
Sans tenir compte des flux migratoires, on estime que la population baisse de $0,1 \%$ chaque année.

Déterminer une estimation de l’effectif de la population de ce pays au premier janvier 2035.
$\quad$

Partie C
Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2016, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif et s’élève à $58~700$ personnes.
De plus, on admet que la baisse de $0,1 \%$ de la population ainsi que le solde migratoire restent constants chaque année suivant 2016.

On propose la fonction suivante écrite sous Python :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{orange}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{population}}\text{(N):}\\
\hspace{1cm} \text{p=82695000}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{for }}\text{I }\textcolor{orange}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(1,N+1):}\\
\hspace{2cm} \text{p=0.999*p+58700}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{return }}\text{p}\end{array}$$

  1. Si on saisit : « $\text{population (2)}$ », quelle valeur nous retourne cette fonction ?
    $\quad$
  2. Si on saisit : « $\text{population (19)}$ », la valeur arrondie à l’entier retournée par cette fonction est $82~243~175$.
    Que représente ce nombre dans le contexte de la partie C ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. On a :
    $\begin{align*} u_{19}=82~695 \times 0,999^{19} \\
    &\approx 81~137,856\end{align*}$
    $\quad$
  2. On obtient :
    $\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{19}\\
    &=82~695\times \dfrac{1-0,999^{20}}{1-0,999} \\
    &=82~695~000\left(1-0,999^{20}\right)\\
    &\approx 1~638~282\end{align*}$
    $\quad$

Partie B

La population de ce pays au premier janvier 2035 serait égale, selon de modèle, à $82~695~000\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)^{19}\approx 81~137~856$ habitants.
$\quad$

Partie C

  1. Voici les valeurs prises par $\text{p}$ si on saisit : « $\text{population (2)}$ »
    $\begin{array}{|c|c|c|c|}
    \hline
    p&82695000&82671005&82647034,995\\
    \hline
    \end{array}$
    Ainsi la fonction $\text{population (2)}$ renvoie la valeur $82647034,995$.
    $\quad$
  2. Cela signifie qu’au premier janvier 2035 ce pays comptera $82~243~175$ habitants.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À l’issue d’une étude conduite pendant plusieurs années, on modélise l’évolution du prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans une ville française de la manière suivante :
À partir d’un prix de $4~200$ € le m$^2$ en 2019, on applique chaque année une augmentation annuelle de $3 \%$ .

  1. Avec ce modèle, montrer que le prix du m² d’un appartement neuf dans cette ville en 2021 serait de $4~455,78$ €.
    $\quad$
  2. On considère la suite de terme général 𝑢𝑛 qui permet d’estimer, avec ce modèle, le prix en euro du m$^2$ d’un appartement neuf l’année 2019$+n$. On a donc $u_0=4~200$.
    a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? En préciser la raison.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression du terme général $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
    $\quad$
    c. Selon ce modèle, pourra-t-on acheter en 2024, un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ € ?
    $\quad$
  3. On définit, en langage Python, la fonction seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=\ldots}\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{brown}{\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les lignes $5$ et $7$ de sorte que cette fonction renvoie le nombre d’années nécessaires pour que, selon ce modèle, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dépasse $8~000$ €.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. En 2020, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
    $\begin{align*} 4~200\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~200 \\
    &=4~326\end{align*}$
    En 2020, le prix du m$^2$ d’un appartement neuf dans cette ville sera de :
    $\begin{align*} 4~326\times \left(1+\dfrac{3}{100}\right) &=1,03\times 4~326 \\
    &=4~455,78\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3}{100}\right)u_n\\
    &=1,03u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_0=4~200$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=4~200\times 1,03^n$.
    $\quad$
    c. En 2024 on a $n=5$.
    Le prix du m$^2$ sera  $u_5=4~200\times 1,03^5$
    Ainsi l’appartement de $40$ m$^2$ coûtera :
    $\begin{align*} P&=40u_5 \\
    &=40\times 4~200\times 1,03^5 \\
    &\approx 194~758\\
    &<200~000\end{align*}$
    Selon ce modèle on pourra acheter en 2024 un appartement de $40$ m$^2$ si l’on dispose d’une somme de $200~000$ €.
    $\quad$
  3. On obtient la fonction :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def } }\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{4200}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{u}\textcolor{brown}{<=}\textcolor{Emerald}{8000}\textcolor{brown}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{brown}{=}\text{u}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{1.03}\\
    6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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