E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une note de musique est émise en pinçant la corde d’une guitare électrique. La puissance du son émis, initialement de $120$ watts, diminue en fonction du temps écoulé après pincement de la corde.
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t\pg 0$ par : $f(t)=120\e^{-0,14t}$.
On admet que $f(t)$ modélise la puissance du son, exprimée en watt, à l’instant $t$ où $t$ est le temps écoulé, exprimée en seconde, après pincement de la corde.

On désigne par $f’$ la fonction dérivée de $f$.

Calculer $f'(t)$.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Quelle sera la puissance du son, trois secondes après avoir pincé la corde ? Arrondir au dixième.
$\quad$
On considère la fonction seuil ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm}\text{t=0}\\
\hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
\hspace{1cm}\text{while puissance>=60:}\\
\hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
\hspace{1cm}\text{return t}\\
\hline
\end{array}$$
Que renvoie cette fonction $\text{seuil()}$?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

$f(t)$ est du type $k\e^{at+b}$ pour tout réel $t$.
La fonction $f$ est donc dérivable sur $[0;+\infty[$.
Pour tout $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=120\times (-0,14)\e^{-0,14t}\\
&=-16,8\e^{-0,14t}\end{align*}$
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent, pour tout $t\pg 0$ on a $f'(t)<0$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :

Cela signifie donc que la puissance du son diminue avec le temps.
$\quad$
Trois secondes après avoir pincé la corde
$\begin{align*}f(3)&=120\e^{-0,14\times 3}\\
&=120\e^{-0,42}\\
&\approx 78,8\end{align*}$
La puissance du son sera d’environ $78,8$ watts .
$\quad$
Cette fonction renvoie le temps nécessaire en seconde pour que la puissance du son soit strictement inférieure à $60$ watts.
Or $f(4.9) \approx 60,43$ et $f(5)\approx 59,59$.
La fonction renvoie donc la valeur $5$.
$\quad$
Remarque : L’énoncé original de cette fonction était :$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil():}\\
\hspace{1cm}\text{t=0}\\
\hspace{1cm}\text{puissance=120}\\
\hspace{1cm}\text{while puissance<=60:}\\
\hspace{2cm}\text{t=t+0.1}\\
\hspace{2cm}\text{puissance=120*exp(-0.14*t)}\\
\hspace{1cm}\text{return t}\\
\hline
\end{array}$$
Cette fonction renvoie $0$ puisqu’on ne rentre jamais dans la boucle while.
Cette fonction ne nécessite de plus au moins l’importation, en amont, de la fonction exp de la bibliothèque math de Python pour fonctionner.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

Pour $n\pg 2$, on considère la fonction Python suivante.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def saut(n):}\\
\hspace{1cm}\text{s=8}\\
\hspace{1cm}\text{for k in range(2,n+1):}\\
\hspace{2cm}\text{s=s+0.1}\\
\hspace{1cm}\text{return s}\\
\hline
\end{array}$$
a. Quelle valeur $\text{s}$ est-elle renvoyée par la commande $\text{saut(4)}$ ?
$\quad$
b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
$\quad$
Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
a. À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ?
$\quad$
b. Justifier votre réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. La variable $\text{s}$ prend successivement les valeurs suivantes : $8$; $8,1$; $8,2$; $8,3$.
La commande $\text{saut(4)}$ renvoie donc la valeur $8,3$.
$\quad$
b. Cela signifie donc que Fanny réalise un saut de $8,3$ m lors de sa quatrième semaine d’entraînement.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $s_{n+1}=s_n+0,1$.
La suite $\left(s_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,1$ et de premier terme $s_1=8$.
Par conséquent, pour tout entier $n$ non nul on a $s_n=8+0,1(n-1)$.
$\quad$
a. et b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pg 12&\ssi 8+0,1(n-1)\pg 12 \\
&\ssi 0,1(n-1)\pg 4 \\
&\ssi n-1\pg 40 \\
&\ssi n\pg 41\end{align*}$
Elle réalisera donc un saut d’au moins $12$ mètres à partir de la $41\ieme$ semaine.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

a. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$
d. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-12\\18\end{pmatrix}$
c. Le point $C(-5;2)$ appartient à la droite $d$.
d. La droite $d$ coupe la droite d’équation $-x+3y-2=0$ au point $F(1;2)$.

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Ainsi $-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur directeur de $d$. On exclut donc la réponde a.

Un vecteur normal de $d$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi $-6\vec{m}=\vec{n}$ est également un vecteur normal de $d$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $D$ pour équation $y = 1$.

a. $\mathcal{C}$ et $D$ n’ont aucun point d’intersection.
b. $\mathcal{C}$ et $D$ ont un seul point d’intersection.
c. $\mathcal{C}$ et $D$ ont deux points d’intersection.
d. On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $D$ ont de points d’intersection.

$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+y^2+y=3\\y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x^2-2x+1+1=3\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x^2-2x-1=0\\y=1\end{cases} \end{align*}$
Le discriminant de $x^2-2x-1=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles et le système précédent également

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)=\cos(2x)$.

a. $f$ est paire.
b. $f$ est impaire.
c. $f$ n’est ni paire ni impaire.
d. $f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\cos(-2x)\\
&=\cos(2x)\\
&=f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc paire.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
On définit en langage Python une fonction « Suite » pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

$\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{a.}& \begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}
&
\textbf{b.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\end{array}\\\hline
\textbf{c.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}&
\textbf{d.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}\\\hline\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Le premier terme est $u_0=1$ : on exclut la réponse a.
La fonction doit renvoyer la valeur de $u_n$ : on exclut la réponse b.
Il manque les parenthèses pour le calcul de $\text{u}$ dans la réponse c.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’équation $\e^x=1$:

a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre $1$.
c. a pour solution le nombre $0$.
d. a pour solution le nombre $\e$.

$\quad$

Correction Question 5

On a $e^0=1$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
$\quad$
Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
$\quad$
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
$\quad$
Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
Le troisième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Le quatrième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
$\quad$
$3$ ans $=36$ mois.
On a :
$\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
&=375\end{align*}$
Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
&=10~350\end{align*}$
Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
&\approx 10~398,87\end{align*}$
C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère qu’en 2019, $3~300~000$ personnes étaient atteintes de diabète en France.
Pour étudier l’évolution de la maladie, des chercheurs appliquent un modèle selon lequel le nombre de personnes atteintes augmente de $2\%$ par an.
On note $u_n$ le nombre de personnes atteintes de diabète en France selon ce modèle durant l’année (2019$+n$).On a donc $u_0=3~300~000$.

Justifier que, selon ce modèle, le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~433~320$ en 2021.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?
$\quad$
Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire le nombre de personnes qui,selon ce modèle, seront atteintes de diabète en France en 2025.
$\quad$
On définit en langage Python la fonction suivante.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(S):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Green}{3300000}\\
\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
\hspace{1cm}\text{while u<S:}\\
\hspace{2cm}\text{u=u*}\textcolor{Green}{1.02}\hspace{3cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Après exécution dans la console on obtient l’affichage suivant .
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{>>> seuil(5000000)}\hspace{3cm}\\
\textcolor{Green}{21}\\
\hline
\end{array}$$
Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2020 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~300~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~366~000$.
En 2021 le nombre de personnes atteintes de diabète en France sera de $3~366~000\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=3~433~320$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right) u_n\\
&=1,02u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=3~300~000$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~300~000\times 1,02^n$.
$\quad$
En 2025 on a $n=6$.
$u_6=3~300~000\times 1,02^6\approx 3~716~336$
Environ $3~716~336$ personnes seront atteintes de diabète en France en 2025 selon ce modèle.
$\quad$
Le nombre de personnes atteintes de diabète en France atteindra pour la première fois $5~000~000$ en 2040.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnées respectives $(-1;0)$ et $(-3;4)$ dans un repère orthonormé du plan. Alors $\norme{\vec{u}-\vec{v}}$ est égale à :

a. $4\sqrt{2}$
b. $\sqrt{32}$
c. $20$
d. $2\sqrt{5}$

$\quad$

Correction Question 1

$\vec{u}-\vec{v}$ a pour coordonnées $(2;-4)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \norme{\vec{u}-\vec{v}}&=\sqrt{(-2)^2+4^2} \\
&=\sqrt{20}\\
&=2\sqrt{5}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

Remarque : $\sqrt{32}=\sqrt{16\times 2} =4\sqrt{2}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Le tableau de signes de la fonction polynôme définie sur $\R$ par $f(x)=x^2+2x+5$ est :

$\quad$

Correction Question 2

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times 5\\
&=-16\\
&<0\end{align*}$
Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Sur l’intervalle $]-\pi;\pi]$, l’équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ a pour solution(s)

a. $\dfrac{\pi}{6}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$

$\quad$

Correction Question 3

$\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}$ .
De plus $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{6}$ appartiennent bien à l’intervalle $]-\pi;\pi]$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=15$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,8u_n+1$$
On a écrit la fonction $\text{suite()}$ ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite():}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{u=15}\\
\hspace{1cm}\text{while u>6:}\\
\hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u=0.8*u+1}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
L’appel de cette fonction renvoie :

a. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n >6$
b. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n\pp 6$
c. Le premier terme de la suite tel que $u_n>6$
d. Le premier terme de la suite tel que $u_n\pp 6$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction renvoie la variable $\text{n}$ qui correspond au rang d’un terme de la suite. On exclut donc les réponses c. et d.
La condition d’arrêt de la boucle $\text{while}$ est $\text{u<=6}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\e^{3x-5}\times \e^{4-3x}$ est égal à :

a. $\dfrac{1}{\e}$
b. $\e^{(3x-5)\times (4-3x)}$
c. $\e$
d. $\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \e^{3x-5}\times \e^{4-3x}&=\e^{3x-5+4-3x}\\
&=\e^{-1}\\
&=\dfrac{1}{\e}
\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

Remarque : $\e^{(3x-5)\times (4-3x)} = \e^{12x-9x^2-20+15x}=\e^{-9x^2+27x-20}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1$\ier $ janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

Contrat n°1 : le loyer augmente chaque année de $200$ €.
Contrat n°2 : le loyer augmente chaque année de $5 \%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°1.
$v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°2.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $3~600$ €. On a donc $u_0 = v_0 = 3~600$.

Étude de la suite $\left(u_n\right)$
a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°1.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
$\quad$
Étude de la suite $\left(v_n\right)$
a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°2.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
$\quad$
On considère le script suivant, écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u = 3600}\\
\text{v = 3600}\\
\text{n = 0}\\
\text{while u>=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u = u + 200}\\
\hspace{1cm}\text{v = 1.05*v}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hline
\end{array}$$
Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. En 2021, le loyer sera de $3~600+200=3~800$ € pour le contrat n°1.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+200$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $200$ et de premier terme $u_0=3~600$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3~600+200n$.
Ainsi en 2030, $n=10$
Donc
$\begin{align*}u_{10}&=3~600+200\times 10\\
&=5~600\end{align*}$
$\quad$
a. En 2021, le loyer sera de $3~600\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=3~780$ € pour le contrat n°2.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
&= 1,05u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=3~600$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~600\times 1,05^n$
En 2030, $n=10$
$\begin{align*} u_{10}&=3~600\times 1,05^{10}\\
&\approx 5~864,02\end{align*}$
Le loyer annuel sera environ égal à $5~864,02$ € en 2030.
$\quad$
Il faut donc $6$ ans pour que le loyer annuel du contrat n°2 soit supérieur à celui du contrat n°1.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère les vecteurs $\vec{u}(-2;4)$ et $\vec{v}(3;-6)$.
Le produit scalaire $\vec{u}.\vec{v}$ est égal à :

a. $18$
b. $-30$
c. $0$
d. $24$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=-2\times 3+4\times (-6)\\
&=-30\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère le triangle $ABC$ tel que $AB=5$, $AC==7$ et $\widehat{BAC}=60$°.
Quelle est la longueur du côté $[BC]$ ?

a. $BC=\sqrt{109}$
b. $BC=\sqrt{74}$
c. $BC=-35\sqrt{3}+74$
d. $BC=\sqrt{39}$

$\quad$

Correction Question 2

On a d’une part :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC} \\
&=35\cos 60\\
&=17,5\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} &\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\\
\ssi~& 17,5=\dfrac{1}{2}\left(25+49-BC^2\right)\\
\ssi~& 35=74-BC^2 \\
\ssi~& BC^2=39\end{align*}$
Par conséquent $BC=\sqrt{39}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans le plan muni d’un repère orthonormé, on considère le cercle $C$ de centre $A(2; 3)$ et de rayon $R = 4$.
Parmi les équations suivantes, laquelle est une équation du cercle $C$ ?

a. $x^2+4x+y^2+6y+9=0$
b. $x^2+4x+y^2+6y-3=0$
c. $x^2-4x+y^2-6y-3=0$
d. $x^2-4x+y^2-6y+9=0$

$\quad$

Correction Question 3

Une équation du cercle $C$ est
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-3)^2=4^2\\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-6y+9=16\\
\ssi~&x^2-4x+y^2-6y-3=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Le réel $\dfrac{-23\pi}{3}$ a le même point image sur le cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-\pi}{3}$
b. $\dfrac{\pi}{3}$
c. $\dfrac{-2\pi}{3}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 4

On calcule les différences entre $\dfrac{-23\pi}{3}$ et les réponses proposées. Les deux réels ont le même point image si cette différence est un multiple de $2\pi$.

$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-\pi}{3}=\dfrac{-22\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{\pi}{3}=-8\pi=-4\times 2\pi \checkmark$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{-2\pi}{3}=\dfrac{-21\pi}{3}$
$\dfrac{-23\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{-25\pi}{3}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère l’algorithme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{ll}
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textbf{liste}\text{(N):}\\
2&\hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{brown}{1}\\
3&\hspace{1cm}\text{L=[U]}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{brown}{1}\text{,N):}\\
5&\hspace{2cm}\text{U=}\textcolor{brown}{2}\text{*U+}\textcolor{brown}{3}\\
6&\hspace{2cm}\text{L.append(U)}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(L)}\end{array}$$
Que contient la variable $\text{L}$ à la fin de l’exécution dans le cas où on choisit $\text{N=4}$?

a. $\text{[1,5,13,29,61]}$
b. $\text{[1,5,13,29]}$
c. $\text{61}$
d. $\text{9}$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction Python renvoie une liste de longueur contenant $4$ éléments.

Réponse b

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2012, un artisan batelier a transporté $300$ tonnes de marchandises sur sa péniche.
Il augmente sa cargaison chaque année de $11 \%$ par rapport à l’année précédente.

On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en (2012 $+n$). Ainsi $u_0 = 300$.

a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Le batelier décide qu’à partir de $1~000$ tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.
a. Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En quelle année changera-t-il de péniche ?
$\quad$
Une tonne transportée est payée au batelier $15$ €.
La proposition : « Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à $70~000$ € » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{11}{100}\right) u_n\\
&=1,11u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,11$ et de premier terme $u_0=300$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,11^n$.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while u<1000 :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u*1.11}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. $1,11>1$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
On a
$\begin{align*} u_{11}&=300\times 1,11^{11} \\
&\approx 946\\
&<1~000\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_{12}&=300\times 1.11^{12}\\
&\approx 1~049\\
&>1~000\end{align*}$
Par conséquent, le batelier changera de péniche en 2024.
$\quad$
Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 est :
$\begin{align*} C&=15\left(u_0+u_1+\ldots+u_7\right)\\
&=15\times 300\times \dfrac{1-1,11^{8}}{1-1,11}\\
&\approx 53~367\\
&<70~000\end{align*}$
La proposition est donc fausse.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes :

Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de $14~400$ €, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de $13~200$ €.
Le salaire de Camille augmente de $600$ € par an alors que celui de Dominique augmente de $4 \%$ par an.

Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012 ?
$\quad$
On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l’aide de suites.
a. On note $u_n$ le salaire de Camille en l’année 2010 $+?$. On a donc $u_0 = 14~400$.
Quelle est la nature de la suite $(\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
b. Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
$\quad$
c. On note $v_n$ le salaire de Dominique en l’année 2010$+n$.
Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
$\quad$
d. Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l’euro.
$\quad$
On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.
Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{A=14400}\\
\hspace{1cm}\text{B=13200}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$:}\\
\hspace{2cm}\text{A=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{2cm}\text{B=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{2cm}\text{n=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Salaires en 2011
Camille : $14~400+600=15~000$ €
Dominique : $13~200\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=13~728$ €
Salaires en 2012
Camille : $15~000+600=15~600$ €
Dominique : $13~728\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=14~277,12$ €
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1}=u_n+600$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $600$ et de premier terme $u_0=14~400$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=14~400+600n$.
On veut donc résoudre dans $\N$:
$\begin{align*} u_n>20~000 &\ssi 14~400+600n>20~000 \\
&\ssi 600n>5~600 \\
&\ssi n>\dfrac{28}{3}\end{align*}$
Or $\dfrac{28}{3}\approx 9,3$.
Par conséquent $n\pg 10$.
C’est donc à partir de l’année $2020$ que le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)\\
&=1,04v_n\end{align*}$
$\quad$
d. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=13~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=13~200\times 1,04^n$.
On a :
$\begin{align*} v_{10}&=13~200\times 1,04^{10} \\
&\approx 19~539\end{align*}$
Le salaire annuel de Dominique en 2020 sera environ égal à $19~539$ €.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{A=14400}\\
\hspace{1cm}\text{B=13200}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while A>=B:}\\
\hspace{2cm}\text{A= A+600}\\
\hspace{2cm}\text{B= B*1.04}\\
\hspace{2cm}\text{n= n+1}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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