Bac – Métropole – jour 1 (secours) – juin 2024

Métropole – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $C(4;4;0)$, $F(4;0;4)$, $G(4;4;4)$ et $H(0;4;4)$.
$\quad$
Le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{4+4}{2}\right)$ c’est-à-dire $(2;0;4)$.
De plus $\vect{IC}\begin{pmatrix} 2\\4\\-4\end{pmatrix}$
Ainsi, une représentation paramétrique de $(IC)$ est $$\begin{cases}x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{cases}~~\text{où } t\in \R$$
$\quad$
a. $\vect{IC}$ est donc un vecteur normal à $P$.
Une équation cartésienne de $P$ est de la forme $2x+4y-4z+d=0$.
$G(4;4;4)$ appartient à ce plan. Donc $8+16-16+d=0\ssi d=8$.
Une équation cartésienne de $P$ est par conséquent $2x+4y-4z+8=0$ soit $x+2y-2z+4=0$.
$\quad$
b. $\dfrac{28}{9}+2\times \dfrac{20}{9}-2\times \dfrac{16}{9}-4=\dfrac{36}{9}-4=0$. Le point de coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient au plan $P$.
Si on prend $t=\dfrac{5}{9}$ dans la représentation paramétrique de $(IC)$ alors $\begin{cases} x=2+\dfrac{10}{9}\\[3mm]y=\dfrac{20}{9}\\[3mm]z=4-\dfrac{20}{9}\end{cases}$ soit $\begin{cases} x=\dfrac{28}{9}\\[3mm] y=\dfrac{20}{9}\\[3mm] z=\dfrac{16}{9}\end{cases}$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$ appartient à la droite $(IC)$.
Donc $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
$\quad$
$J$ est par conséquent le projeté orthogonal de $C$ sur le plan $P$.
$\quad$
c. $0+4-0-4=0$ donc $K(0;2;0)$ appartient au plan $P$.
$\quad$
d. On a vu que $K$ appartenait au plan $P$.
De plus $4+0-0-4=0$ donc $B(4;0;0)$ appartient également au plan $P$.
Par conséquent $(BK)$ est incluse dans $P$.
$0+0-0-4=-4\neq 0$ donc $A(0;0;0)$ n’appartient pas au plan $(P)$. Ainsi le plan $(ABC)$ et plan $(P)$ sont sécants ($B$ appartient à $P$ mais pas $A$).
Enfin, $\vect{AK}\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix} 0\\4\\0\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AK}=\dfrac{1}{2}\vect{BC}$ et $K$ appartient au plan $(ABC)$. On en déduit donc que $(BK)$ est également incluse dans le plan $(ABC)$.
$(BK)$ appartient aux deux plans sécants $P$ et $(ABC)$. Donc $(BK)$ est l’intersection de ces deux plans.
$\quad$
a. Le triangle $BCG$ est rectangle en $C$. Son aire est :
$\begin{align*} \mathcal{B}&=\dfrac{CB\times CG}{2} \\
&=\dfrac{4\times 4}{2} \\
&=8\text{ u.a.}\end{align*}$
La hauteur issue de $K$ de la pyramide $CBKG$ mesure $4$ unités de longueur (même longueur que $[AB]$).
Ainsi le volume de $CBKG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 8\times 4\\
&=\dfrac{32}{3}\text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$
b. On a $\vect{JC}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{9}\\[3mm] \dfrac{16}{9}\\[3mm]-\dfrac{16}{9}\end{pmatrix}$.
Donc
$\begin{align*} JC&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{9}\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{16}{9}\right)^2}\\[3mm]
&=\sqrt{\dfrac{576}{81}}\\[3mm]
&=\dfrac{24}{9}\end{align*}$
On appelle $A_{BKG}$ l’aire du triangle $BKG$.
$[CJ]$ est la hauteur issue de $C$ de la pyramide $CBKG$ d’après la question 3.b.
Donc :
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}A_{BKG}\times JC&\ssi \dfrac{32}{3}=\dfrac{1}{3}A_{BKG}\times \dfrac{24}{9} \\
&\ssi A_{BKG}=\dfrac{32\times 9}{24} \\
&\ssi A_{BKG}=12 \text{ u.a.}\end{align*}$
$\quad$
$G$ appartient à $P$ par construction et $B$ appartient à $P$ d’après la question 3.d.
Par conséquent $(BG)$ est incluse dans $P$.
$\quad$
On a donc $I'(x;0;4)$ où $x\in[0;4]$.
Par conséquent $\vect{CI’}\begin{pmatrix}x-4\\-4\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{CI’}.\vect{BG}=0-16+16=0$.
$\vect{CI’}$ et $\vect{BG}$ sont orthogonaux. Or $G$ appartient par construction à $P’$ donc $B$ appartient à $P’$.
Ainsi $(BG)$ est toujours incluse dans $P’$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,25$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
&=1-P(X\pp 3) \\
&\approx 0,224\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $4$ clients dans l’échantillon passent moins de $12$ minutes à la station est environ égale à $0,224$.
$\quad$
On a
$\begin{align*} E(X)&=np \\
&=10\times 0,25 \\
&=2,5\end{align*}$
En moyenne, sur $10$ clients $2,5$ passe moins de $12$ minutes à la station.
$\quad$

Partie B

On a $S=T_1+T_2+T_3$.
$\quad$
$S$ possède une espérance et une variance en tant que somme de variables aléatoires possédant une variance.
a. Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*}E(S)&=E\left(T_1+T_2+T_3\right) \\
&=E\left(T_1\right)+E\left(T_2\right)+E\left(T_3\right) \\
&=3\times 6\qquad \text{(même espérance)} \\
&=18\end{align*}$
Le temps d’attente total moyen est de $18$ minutes.
$\quad$
b. Les variables aléatoires $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont indépendantes. Donc :
$\begin{align*}V(S)&=V\left(T_1+T_2+T_3\right) \\
&=V\left(T_1\right)+V\left(T_2\right)+V\left(T_3\right) \\
&=3\times 1\qquad \text{(même variance)} \\
&=3\end{align*}$
$\quad$
$S$ possède une variance. On peut donc utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
$\begin{align*} P(14<S<22)&=P\left(-4<S-E(S)<4\right) \\
&=P\left(\abs{S-E(S)}<4\right) \\
&=1-P(\abs{S-E(S)}\pg 4) \\
&\pg 1-\dfrac{V(S)}{4^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)}\\
&\pg 1-\dfrac{3}{16} \\
&\pg \dfrac{13}{16} \\
&\pg 0,812~5\end{align*}$
La probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station et supérieure ou égale à $0,81$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude d’une fonction.

a. $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{2x}{x^2+1} \\
&=\dfrac{x^2+1-2x}{x^2+1} \\
&=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1} \end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $(x-1)^2\pg 0$ (et ne s’annule qu’en $1$) et $x^2+1>0$ donc $f'(x)\pg 0$ et ne s’annule qu’en $1$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x-\ln\left(x^2+1\right) \\
&=x-\ln\left(x^2\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right) \\
&=x-\left(\ln\left(x^2\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right) \\
&=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\dfrac{2\ln(x)}{x}-\dfrac{1}{x}\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty}1+\dfrac{1}{x^2}=1$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)=0$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$

Partie B : étude d’une suite.

Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pg 0$.
Initialisation : $u_0=7\pg 0$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$u_n\pg 0$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$
Donc $f\left(u_n\right)\pg f(0)$
C’est-à-dire $u_{n+1}\pg 0$ et $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pg 0$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=u_n-\ln\left(u_n^2+2\right)-u_n \\
&=-\ln\left(u_n^2+2\right) \end{align*}$
Or $u_n^2+1\pg 1$ ainsi $\ln\left(u_n^2+2\right)\pg 0$.
Donc $u_{n+1}-u_n\pp 0$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$. D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
$f$ est continue (car dérivable) sur $\R$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(x^2+1\right)=x\\
&\ssi -\ln\left(x^2+1\right)=0\\
&\ssi x^2+1=1 \qquad \text{(stricte croissance de la fonction exp)} \\
&\ssi x^2=0 \\
&\ssi x=0\end{align*}$
Par conséquent $\ell=0$.
$\quad$

from math import log as ln
#permet d'utiliser la fonction ln ;
#le logarithme népérien

def seuil(h):
   n = 0
   u = 7
   while u > h:
      n = n + 1
      u = u - ln(u**2 + 1)
   return n

from math import log as ln

#permet d'utiliser la fonction ln ;

#le logarithme népérien

def seuil(h):

n = 0

u = 7

while u > h:

n = n + 1

u = u - ln(u**2 + 1)

return n

$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante, $u_{96}\approx 0,1002~$ et $u_{97}\approx 0,0099$.
$\text{seuil(0.01)}$ renvoie donc la valeur $97$.
$\quad$

Partie C : étude d’une intégrale.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
De plus $f(0)=0$.
Par conséquent, pour tout réel $x>0$ on a $f(x)>f(0)$ soit $f(x)>0$.
$\quad$
$f$ est une fonction continue et positive sur $[2;4]$.
Donc $I$ est l’aide du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$ et les droites d’équation $x=2$ et $x=4$.
$\quad$
Pour tout réel $x\in [2;4]$ on a $0,5x-1\pp f(x)\pp 0,25x+0,25$
Par croissance de l’intégrale sur $[2;4]$ on obtient :
$\ds \int_2^4 (0,5x-1)\dx \pp \int_2^4 f(x)\dx \pp \int_2^4 (0,25x+0,25)\dx$
soit $\left[\dfrac{0,5}{2}x^2-x\right]_2^4 \pp I\pp \left[\dfrac{0,25}{2}x^2+0,25x\right]_2^4$
donc $0-(-1) \pp I\pp 3-1$
Finalement $1\pp I\pp 2$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=5$. La droite d’équation $y=5$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=1$. La droite d’équation $y=1$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
La droite d’équation $y=-2$ n’est, par conséquent, pas asymptote à la courbe $C_f$.
Affirmation 1 fausse.
$\quad$
Remarque : La droite d’équation $x=-2$ est par contre une asymptote à la courbe $C_f$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty;-2[$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=5$.
Par conséquent, pour tout réel $x<-2$ on a $f(x)<5$, c’est-à-dire $f(x)-5<0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)-5=0^-$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5}=-\infty$
Affirmation 2 fausse.
$\quad$
a. La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
&=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$g’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
$\begin{align*} g\dsec(x)&=-\e^{-x}-(1-x)\e^{-x} \\
&=(-1-1+x)\e^{-x} \\
&=(x-2)\e^{-x} \end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $g\sec(x)$ ne dépend que de celui de $(x-2)$.
Or $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$
Ainsi $g\dsec(x)$ change de signe en s’annulant en $2$.
Le point d’abscisse $2$ est donc l’unique point d’inflexion de $C_g$.
De plus $g(2)=2\e^{-2}=\dfrac{2}{\e^2}$
La point $A$ est donc l’unique point d’inflexion de la courbe $C_g$.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$
b. Méthode 1 : Soit $x<2$ on a
$\begin{align*} g(x)\pp x&\ssi x\e^{-x}-x\pp 0 \\
&\ssi x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0 \end{align*}$
Or $\e^{-x}-1>0\ssi \e^{-x}>1 \ssi -x>0 \ssi x<0$
Ainsi :
$\bullet$ si $x\pg 0$ alors $\e^{-x}-1\pp 0$ et donc $x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0$
$\bullet$ si $x\pp 0$ alors $\e^{-x}-1\pg 0$ et donc $x\left(\e^{-x}-1\right) \pp 0$
Dans tous les cas $x\e^{-x}-x \pp 0$ et donc $g(x)\pp x$.
Affirmation 4 vraie.
$\quad$
Méthode 2 : la fonction $g$ est concave sur $\R$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes, en particulier celle passant par le point de coordonnées $\left(0;g(0)\right)$.
$g'(0)=1$ et $g(0)=0$.
Une équation de la tangente à la courbe représentative de $g$ u point de coordonnées $(0;0)$ est donc $y=x$.
Par conséquent, pour tout réel $x<2$ on a $g(x)\pp x$.
Affirmation 4 vraie.
$\quad$
On appelle $h$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $h(x)=x\ln(x)$.
La fonction $h$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x} \\
&=\ln(x)+1\end{align*}$
Or $\ln(x)+1>0 \ssi \ln(x)>-1\ssi x>\e^{-1}$ (croissance de la fonction exp sur $\R$).
La fonction $h$ est donc strictement décroissante sur $\left]0;\e^{-1}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^+} x\ln(x)=0$.
Ainsi, pour tout réel $x\in \left]0;\e^{-1}\right]$, on a $h(x)<0$ et l’équation $h(x)=1$ n’admet aucune solution sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
$h\left(\e^{-1}\right)=-\e^{-1}<1$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x\ln(x)=+\infty$.
Donc $1\in \left]-\e^{-1};+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=1$ admet une unique solution sur $\left[\e^{-1};+\infty\right[$.
$\quad$
Par conséquent, l’équation $x\ln(x)=1$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
Affirmation 5 fausse.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 5 points

On considère un repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel on place les points $B(4; 0; 0)$, $D(0; 4; 0)$, $E(0; 0; 4)$ et les points $C$, $F$, $G$ et $H$ de sorte que le solide $ABCDEFGH$ soit un cube.

Donner les coordonnées des points $C$, $F$, $G$ et $H$.
$\quad$
On considère le point $I$ milieu de l’arête $[EF]$.
Montrer qu’une représentation paramétrique de la droite $(IC)$ est donnée par : $$\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=4-4t\end{cases} \quad \text{où } t\in \R$$
$\quad$
On désigne par $P$ le plan orthogonal à la droite $(IC)$ passant par le point $G$, et par $J$ l’intersection de $P$ avec $(IC)$.
a. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $P$ est donnée par : $x +2y-2z-4 = 0.$
$\quad$
b. Justifier que $J$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{28}{9};\dfrac{20}{9};\dfrac{16}{9}\right)$.
Que représente $J$ par rapport à $C$ ?
$\quad$
c. Vérifier que le point $K(0; 2; 0)$ appartient au plan $P$.
$\quad$
d. Justifier que $(BK)$ est l’intersection des plans $P$ et $(ABC)$.
$\quad$
On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$, où $B$
est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
a. Déterminer le volume de la pyramide $CBKG$.
$\quad$
b. En déduire que l’aire du triangle $BKG$ est égale à $12$.
$\quad$
c. Justifier que la droite $(BG)$ est incluse dans $P$.
$\quad$
d. On note $I’$ un point de l’arête $[EF]$, et $P’$ le plan orthogonal à la droite $(I’C)$ passant par $G$.
Peut-on affirmer que la droite $(BG)$ est incluse dans $P’$?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 4 points

Partie A

Suite à une étude statistique réalisée dans la station-service Carbuplus, on évalue à $0,25$ la probabilité qu’un client venant alimenter son véhicule en carburant passe moins de $12$ minutes dans la station avant de la quitter.
On choisit au hasard et de façon indépendante $10$ clients de la station et on assimile ce choix à un tirage avec remise. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $10$ clients associe le nombre de ces clients ayant passé moins de $12$ minutes à la station.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
$\quad$
Quelle est la probabilité qu’au moins $4$ clients dans un échantillon de $10$ passent moins de $12$ minutes à la station ? On arrondira si besoin le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$
Calculer l’espérance $E(X)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B

Un client arrive à la station et se dirige vers une pompe. Il constate que deux voitures sont devant lui, la première accédant à la pompe au moment de son arrivée.
On désigne par $T_1$, $T_2$, $T_3$ les variables aléatoires qui modélisent les temps passés en minute par chacun des trois clients, dans leur ordre d’arrivée, pour alimenter son véhicule entre l’instant où la pompe est disponible pour lui et celui où il la libère.

On suppose que $T_1$, $T_2$, $T_3$ sont des variables aléatoires indépendantes de même espérance égale à $6$ et de même variance égale à $1$.

On note $S$ la variable aléatoire correspondant au temps d’attente total passé à la station du troisième client entre son arrivée à la station et son départ de la pompe après avoir alimenté son véhicule.

Exprimer $S$ en fonction de $T_1$, $T_2$ et $T_3$.
$\quad$
a. Déterminer l’espérance de $S$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
b. Quelle est la variance du temps d’attente total $S$ de ce troisième client ?
$\quad$
Montrer que la probabilité que le troisième client passe un temps strictement compris entre $14$ et $22$ minutes à la station est supérieure ou égale à $0,81$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

Partie A : étude d’une fonction

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=x-\ln\left(x^2+1\right)$$
où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$
sa fonction dérivée.
a. Montrer que pour tout nombre réel $x$, on a : $$f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x^2+1}$$
$\quad$
b. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
Montrer que pour tout nombre réel $x > 0$, on a :
$$f(x)=x-2\ln(x)-\ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)$$
$\quad$
Calculer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$

Partie B : étude d’une suite

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=7\\u_{n+1}=f\left(u_n\right)=u_n-\ln\left(u_n^2+1\right)\text{ pour tout } n\in \N\end{cases}$$

Montrer, en utilisant un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$ : $u_n > 0$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $\ell$.
$\quad$

a. Recopier et compléter le script ci-dessous écrit en langage Python afin qu’il renvoie la plus petite valeur de l’entier $n$ à partir de laquelle $u_n \pp h$, où $h$ est un nombre réel strictement positif.

from math import log as ln
#permet d’utiliser la fonction ln
#Le Logarithme népérien

def seuil(h) :
   n = 0
   u = 7
   while ... :
      n = n+1
      u = ...
   return n

from math import log as ln

#permet d’utiliser la fonction ln

#Le Logarithme népérien

def seuil(h) :

n = 0

u = 7

while ... :

n = n+1

u = ...

return n

b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on saisit $\text {seuil(0.01)}$ dans la console Python. Justifier la réponse.
$\quad$

Partie C : calcul intégral

Étudier le signe de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$.
$\quad$
Interpréter graphiquement l’intégrale : $$I=\int_2^4 f(x)\dx$$
$\quad$
On admet dans cette question que, pour tout nombre réel $x \in [2 ; 4]$, on a l’encadrement : $$0,5x-1\pp f(x)\pp 0,25x+0,25$$
En déduire l’encadrement : $$1\pp I\pp 2$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On considère ci-dessous le tableau de variations d’une fonction f définie sur $\R\setminus\acco{-2}$.
$\quad$

$\quad$
a. Affirmation 1 :
La droite d’équation $y =-2$ est asymptote horizontale à la courbe $C_f$ de la fonction $f$.
$\quad$
b. Affirmation 2 :
$\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{2}{f(x)-5}=+\infty$.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=x\e^{-x}$.
a. Affirmation 3 :
Le point $A\left(2;\dfrac{2}{\e^2}\right)$ est l’unique point d’inflexion de la courbe $C_g$ de la fonction $g$.
$\quad$
b. Affirmation 4 :
Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]-\infty ; 2[$, on a $g(x) \pp x$.
$\quad$
Affirmation 5 :
L’équation $x \ln(x) = 1$ admet exactement deux solutions sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Polynésie – jour 1 – juin 2024

Polynésie – 19 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{OC}\begin{pmatrix}5\\0\\-3\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
$\vec{n}.\vect{OA}=2+0-2=0$
$\vec{n}.\vect{OC}=5+0-6=-1\neq 0$
Donc $\vec{n}$ n’est pas orthogonal à $\vect{OC}$.
Par conséquent $\vec{n}$ n’est pas normal au plan $(OAC)$.
Affirmation 1 fausse.
$\quad$
Si on prend $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ on obtient $\begin{cases} x=5\\y=0\\z=-3\end{cases}$. Le point $C$ appartient donc à $\mathcal{D}$.
$\vect{AB}\begin{pmatrix}-3\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$. Par conséquent $\vect{AC}=-\vect{AB}$. Ces deux vecteurs sont colinéaires et les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
$C$ appartient à la droite $(AB)$.
Il ne reste plus qu’à vérifier que la droite $(AB)$ n’est pas confondue avec la droite $\mathcal{D}$.
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$. Or $\dfrac{-3}{-1}\neq \dfrac{1}{1}$. Ainsi $\vec{u}$ et $\vect{AB}$ ne sont pas colinéaires.
Les deux droites sont bien sécantes au point $C$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}$ et un vecteur normal à $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\5\\-2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}.\vec{n}=-1+5-4=0$ : $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont orthogonaux.
Par conséquent $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}$.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$
On a $\vect{BC}\begin{pmatrix}6\\-2\\-4\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$ est $\vec{q}\begin{pmatrix}3\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
On a donc $\vect{BC}=2\vec{q}$.
Ainsi $\vect{BC}$ est normal au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Le milieu de $[BC]$ est $M(2;1;-1)$.
Or $3\times 2-1-2\times (-1)-7=6-1+2-7=0$: donc $M$ appartient au plan d’équation $3x-y-2z-7=0$.
Affirmation 4 vraie.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

$(E)$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,02$ et $b=m$.
Les fonctions solution de cette équation différentielle sont es fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(t)=k\e^{at}-\dfrac{b}{a}$.
Or $-\dfrac{b}{a}=50m$.
Ainsi l’ensemble des fonctions solution de $(E)$ est $\acco{t\in \R\mapsto k\e^{-0,02t}+50m,~\forall k\in \R}$.
$\quad$
$\lim\limits_{t\to +\infty} -0,02t=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ donc, pour tout réel $k\in \R$, $\lim\limits_{t\to +\infty} k\e^{-0,02t}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=50m.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=30$.
Par conséquent $50m=30 \ssi m=0,6$.
$\quad$
Pour tout réel $t$ on a donc $f(t)=k\e^{-0,02t}+30$ et $f(0)=210$.
Ainsi $k\e^0+30=210\ssi k+30=210\ssi k=180$.
Pour tout réel $t$ on a alors $f(t)=180\e^{-0,02t}+30$.
$\quad$

Partie B

a. Graphiquement, il semblerait que $f(t)<50\ssi $t>110$.
Par conséquent $T\approx 110$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} f(t)<50&\ssi 180\e^{-0,02t}+30<50 \\
&\ssi 180\e^{-0,02t}<20 \\
&\ssi \e^{-0,02t}<\dfrac{1}{9} \\
&\ssi -0,02t<\ln\left(\dfrac{1}{9}\right) \qquad \text{croissance de la fonction exp} \\
&\ssi -0,02t<-\ln(9) \\
&\ssi t>50\ln(9) \qquad \text{division par un nombre négatif}\end{align*}$.
Ainsi $T=50\ln(9)$.
$\quad$
La valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} f(t)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\int_0^{100} \left(180\e^{-0,02t}+30\right)\dt \\
&=\dfrac{1}{100}\times \left[\dfrac{180}{-0,02}\e^{-0,02t}+30t\right]_0^{100} \\
&=\dfrac{1}{100}\left(-9~000\e^{-2}+3~000+9~000\right) \\
&=120-90\e^{-2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On répète $3$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
Pour tout $k\in \acco{0;1;2;3}$ on a $P(X=k)=\dbinom{3}{k}\left(\dfrac{1}{2}\right)^k\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3-k}=\dbinom{3}{k}\times\dfrac{1}{8}$.
On obtient ainsi :
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&0,125&0,375&0,375&0,125\\
\hline
\end{array}$

Partie B

$A_1$ est vérifié. On relance donc $2$ pièces.
Il y a $4$ tirages possibles : Pile–Pile ; Pile–Face ; Face–Pile et Face–Face. La probabilité que ces deux pièces fournissent Face est égale à $\dfrac{1}{4}$.
Par conséquent $P_{A_1}(G)=\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(A_0,A_1,A_2,A_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p&=P(G)\\
&=P\left(A_0\cap G\right)+P\left(A_1\cap G\right)+P\left(A_2\cap G\right)+P\left(A_3\cap G\right) \\
&=P\left(A_0\right)\times P_{A_0}(G)+P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)+P\left(A_2\right)\times P_{A_2}(G)+P\left(A_3\right)\times P_{A_3}(G) \\
&=\dfrac{1}{8}\times \dfrac{1}{8}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}\times 1 \\
&=\dfrac{27}{64}\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_G\left(A_1\right)&=\dfrac{P\left(G\cap A_1\right)}{P(G)}\\ &=\dfrac{P\left(A_1\right)\times P_{A_1}(G)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{3}{8}\times \dfrac{1}{4}}{\dfrac{27}{64}} \\
&=\dfrac{2}{9}\end{align*}$
La probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté Face à la première tentative sachant que la partie a été gagnée est égale à $\dfrac{2}{9}$.
$\quad$
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{27}{64}$ et on appelle $Y$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où la partie est gagnée. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=\dfrac{27}{64}$.
$\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,95 &\ssi 1-P(Y=0)>0,95 \\
&\ssi P(Y=0)<0,05 \\
&\ssi \left(1-\dfrac{27}{64}\right)^n<0,05 \\
&\ssi n\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)<\ln(0,05) \qquad \text{croissance de la fonction ln} \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,05)}{\ln\left(\dfrac{37}{64}\right)} \approx 5,5$.
Il faut donc jouer au moins $6$ fois à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On a :

Python

def suite(n): u = 3 for i in range(n): u = 4 / (5 - u) return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = 3
   for i in range(n):
      u = 4 / (5 - u)
   return u

$\quad$
$\text{suite(2)}$ renvoie une valeur approchée de $u_2$.
On a :
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{4}{5-3} \\
&=\dfrac{4}{2} \\
&=2\end{align*}$
et
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{4}{5-2}\\
&=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
Or $\dfrac{4}{3}\approx 1,333~333~333~333~333~3$.
$\quad$
Il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit décroissante et converge vers $1$.
$\quad$

Partie B

La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty;5[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x<5$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-(-1)\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&=\dfrac{4}{(5-x)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;5[$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$.
Initialisation : $u_0=3$ et $u_1=2$. Donc $1\pp u_1\pp u_0 \pp 4$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$
La fonction $f$ est croissante sur $]-\infty;5[$. Ainsi :
$f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f\left(u_n\right) \pp f(4)$.
Par conséquent $1\pp u_{n+2} \pp u_{n+1} \pp 4$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n \pp 4$.
$\quad$
a. Soit $x<5$.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{4}{5-x}=x \\
&\ssi \dfrac{4}{5-x}-x=0 \\
&\ssi \dfrac{4-(5-x)x}{5-x}=0 \\
&\ssi \dfrac{4-5x+x^2}{5-x}=0 \\
&\ssi 4-5x+x^2=0 \qquad \text{ car }5-x\neq 0\end{align*}$
$\quad$
b. $x^2-5x+4=0$ est une équation du second degré.
Son discriminant est $\Delta=(-5)^2-4\times 1\times 4=9>0$.
Ses racines sont $\dfrac{5-\sqrt{9}}{2}=1$ et $\dfrac{5+\sqrt{9}}{2}=4$.
Or $1\in ]-\infty;5[$ et $4\in ]-\infty;5[$.
Par conséquent les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont $1$ et $4$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est, d’après la question B.2, décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
$f$ est continue (car dérivable) sur $]-\infty;5[$ et, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question précédente $\ell=1$ ou $\ell=4$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=3<4$. Par conséquent $\ell=1$.
$\quad$
Si $u_0=4$ alors $u_1=4$.
Un rapide raisonnement par récurrence nous permettrait de montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=4$.
La suite $\left(u_n\right)$ serait donc constante égale à $4$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.
Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
Dans cet exercice, les questions sont indépendantes les unes des autres.

Les quatre affirmations se placent dans la situation suivante :
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points : $$A(2 ; 1 ;-1), B(-1 ; 2 ; 1) \text{ et } C(5 ; 0 ;-3)$$
On note $\mathcal{P}$ le plan d’équation cartésienne : $$x+5y-2z+3=0$$
On note $\mathcal{D}$ la droite de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-t+3\\y=t+2\\z=2t+1\end{cases} \qquad t\in \R$$

Affirmation 1 :
Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(OAC)$.

$\quad$
Affirmation 2 :
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AB)$ sont sécantes au point $C$.

$\quad$
Affirmation 3 :
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$.

$\quad$
Affirmation 4 :
Le plan médiateur du segment $[BC]$, noté $Q$, a pour équation cartésienne : $$3x-y-2z-7 = 0$$
On rappelle que le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

$\quad$

Exercice 2 5 points

Une entreprise fabrique des objets en plastique en injectant dans un moule de la matière fondue à $210$ °C. On cherche à modéliser le refroidissement du matériau à l’aide d’une fonction $f$ donnant la température du matériau injecté en fonction du temps $t$.
Le temps est exprimé en seconde et la température est exprimée en degré Celsius.
On admet que la fonction $f$ cherchée est solution d’une équation différentielle de la forme suivante où m est une constante réelle que l’on cherche à déterminer : $$(E)~ :~ y’+0,02y = m$$

Partie A

Justifier l’affichage suivant d’un logiciel de calcul formel :
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
\text{Entrée :}&\text{RésoudreEquationDifférentielle (y′ +0,02y = m)}\\
\hline
\text{Sortie :}& \boxed{\to}~ y = k *\exp(−0.02∗t)+50*m\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La température de l’atelier est de $30$ °C. On admet que la température $f(t)$ tend vers $30$ °C lorsque $t$ tend vers l’infini.
Démontrer que $m = 0,6$.
$\quad$
Déterminer l’expression de la fonction $f$ cherchée en tenant compte de la condition initiale f$ (0) = 210$.
$\quad$

Partie B

On admet ici que la température (exprimée en degré Celsius) du matériau injecté en fonction du temps (exprimé en seconde) est donnée par la fonction dont l’expression et une représentation graphique sont données ci-dessous : $$f(t)=180\e^{-0,02t}+30$$

. L’objet peut être démoulé lorsque sa température devient inférieure à $50$°C.
a. Par lecture graphique, donner une valeur approchée du nombre $T$ de secondes à attendre avant de démouler l’objet.
$\quad$
b. Déterminer par le calcul la valeur exacte de ce temps $T$.
$\quad$
À l’aide d’une intégrale, calculer la valeur moyenne de la température sur les $100$ premières secondes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles

Partie A
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie bien équilibrée. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, sur les trois lancers, où la pièce est retombée du côté « Face ».

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Recopier et compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
k&0&1&2&3\\
\hline
P(X=k)&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}&\phantom{12345}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

Voici les règles d’un jeu où le but est d’obtenir trois pièces du côté « Face » en un ou deux essais :

On lance trois pièces équilibrées :
- Si les trois pièces sont tombées du côté « Face », la partie est gagnée;
- Sinon, les pièces tombées du côté « Face » sont conservées et on relance celles tombées du côté « Pile ».
La partie est gagnée si on obtient trois pièces du côté « Face », sinon elle est perdue.

On considère les évènements suivants :

$G$ : « la partie est gagnée ».
Et pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$, les évènements :
$A_k$ : « $k$ pièces sont tombées du côté « Face » au premier lancer ».

Démontrer que $P_{A_1}(G) = \dfrac{1}{4}$.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Démontrer que la probabilité $p$ de gagner à ce jeu est $p =\dfrac{27}{64}$
$\quad$
La partie a été gagnée. Quelle est la probabilité qu’exactement une pièce soit tombée du côté « Face » à la première tentative ?
$\quad$
Combien de fois faut-il jouer à ce jeu pour que la probabilité de gagner au moins une partie dépasse $0,95$ ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 6 points

L’objectif de cet exercice est de conjecturer en partie A puis de démontrer en partie B le comportement d’une suite.
Les deux parties peuvent cependant être traitées de manière indépendante.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n\in \$N : $$u_{n+1}=\dfrac{4}{5-u_n}$$

Partie A

Recopier et compléter la fonction Python suivante $\text{suite(n)}$ qui prend comme paramètre le rang $n$ et renvoie la valeur du terme $u_n$.

Python

def suite(n): u = ... for i in range(n) : ... return u

1
2
3
4
5

def suite(n):
   u = ...
   for i in range(n) :
      ...
   return u

$\quad$
L’exécution de $\text{suite(2)}$ renvoie $1.3333333333333333$.
Effectuer un calcul pour vérifier et expliquer cet affichage.
$\quad$
À l’aide des affichages ci-dessous, émettre une conjecture sur le sens de variation et une conjecture sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
» \text{ suite}(2)\\
1.3333333333333333\\
» suite(5)\\
1.0058479532163742\\
» \text{ suite}(10)\\
1.0000057220349845\\
» \text{ suite}(20)\\
1.000000000005457\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$ par : $$f(x) =\dfrac{4}{5-x}$$
Ainsi, la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0 = 3$ et pour tout $n \in \N$, $u_{n+1} = f \left(u_n\right)$.

Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ on a : $$1\pp u_{n+1}\pp u_n \pp 4$$
$\quad$
a. Soit x un réel de l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
Prouver l’équivalence suivante : $$f (x) = x \ssi x^2-5x +4 = 0$$
$\quad$
b. Résoudre $f(x) = x$ dans l’intervalle $]-\infty ; 5[$.
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
Déterminer sa limite.
$\quad$
Le comportement de la suite serait-il identique en choisissant comme terme initial $u_0 = 4$ au lieu de $u_0 = 3$ ?
$\quad$

Bac – Métropole – jour 2 (non utilisé) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (non utilisé) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(R\cap F)&=P(R)\times P_R(F)\\
&=0,6_times 0,47 \\
&=0,282\end{align*}$
La probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité est égale à $0,282$.
$\quad$
c. $\left(R,\conj{R}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(F)=P(R\cap F)+P\left(\conj{R}\cap F\right) &\ssi 0,38=0,282+P\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi 0,098=0,4\times P_{\conj{R}}(F) \\
&\ssi P_{\conj{R}}(F)=0,245\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier est égale à $0,245$.
$\quad$
d. On a :
$\begin{align*} P_F(R)&=\dfrac{P(R\cap F)}{P(F)} \\
&=\dfrac{0,282}{0,38} \\
&\approx 0,742 \\
&<0,8\end{align*}$
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$
a. On répète $20$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,38$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,38$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 5)&=1-P(X<5) \\
&=1-P(X\pp 4) \\
&\approx 0,927\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidémité dans un échantillon de $20$ est environ égale à $0,927$.
$\quad$

Partie B

$X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$. Donc :
$\begin{align*} E\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47 \\
&=470\end{align*}$
En moyenne $470$ clients sur les $1~000$ interrogés ont acheté la carte de fidélité.
$\quad$
$Z$ modélise la somme moyenne, en euros, offerte aux $1~000$ clients interrogés.
On a, par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*}E(Z)=\dfrac{1}{1~000} E(Y) \\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(E\left(Y_1\right)+E\left(Y_2\right)\right)\\
&=\dfrac{1}{1~000}\left(30~000+50E\left(X_2\right)\right) \\
&=\dfrac{1}{1~000}(30~000+23~500) \\
&=\dfrac{53~500}{1~000} \\
&=53,5\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} V\left(X_2\right)&=1~000\times 0,47\times 0,53 \\
&=249,1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V\left(Y_2\right)&=50^2V\left(X_2\right) \\
&=2~500\times 249,1 \\
&=622~750\end{align*}$
$Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(Z)&=\dfrac{1}{1~000^2}V(Y)\\
&=\dfrac{1}{1~000~000}\left(V\left(Y_1\right)+V\left(Y_2\right)\right) \\
&=\dfrac{722~750}{1~000~000}\\
&=0,72~275\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(51,7<Z<55,3)&=P\left(-1,8<Z-E(Z)<1,8\right) \\
&=P\left(\abs{Z-E(Z)}<1,8\right) \\
&=1-P\left(\abs{E-E(Z)}\pg 1,8\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \end{align*}$
Or $1-\dfrac{V(Z)}{1,8^2}\approx 0,777>0,75$.
La probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}6\\-6\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=12-6-6=0$.
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$.
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. C’est donc un vecteur normal au plan $(ABC)$.
Affirmation 1 vraie.
$\quad$
Si on prend $t=-1$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(0;4;1)$ c’est-à-dire le point $A$.
Si on prend $t=2$ dans la représentation paramétrique fournie on obtient le point de coordonnées $(6;1;5)$ c’est-à-dire le point $B$.
Il s’agit donc bien d’une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.
Affirmation 2 vraie.
$\quad$
On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan $\mathcal{P}$.
Un vecteur normal au plan d’équation $2x+2y-z-9=0$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{6}{2}=3\neq \dfrac{-3}{2}$.
Ainsi $\vect{AB}$ et $\vec{u}$ ne sont pas colinéaires.
Affirmation 3 fausse.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{a}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $\mathcal{D}’$ est $\vec{b}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{2}{1}\neq \dfrac{-1}{1}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires par conséquent les deux droites de ne sont pas parallèles.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\3+t=2t’\\1+t=4-t’\\2+t=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\1+2t’-3=4-t’\\2+2t’-3=-1+2t’\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\\t=2t’-3\\3t’=6\\-1=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=4\\y=2\\z=3\\t=1\\t’=2\end{cases} \end{align*}$
$\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont sécantes au point de coordonnées $(4;2;3)$.
Affirmation 4 fausse
$\quad$

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} u_{n+1}-2&={u_n}^2-2u_n+2-2 \\
&=u_n\left(u_n-2\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Soit $n$ un entier naturel.
D’une part :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&={u_n}^2-2u_n+2-u_n \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
D’autre part :
$\begin{align*} \left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right) &={u_n}^2-2u_n-u_n+2 \\
&={u_n}^2-3u_n+2\end{align*}$
Donc $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n<2$.
Initialisation : $u_0=a<2$ donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Or $u_n<2 \ssi u_n-2<0$.
Par hypothèse, $u_n>1>0$ donc $u_n\left(u_n-2\right)<0$ c’est-à-dire $u_{n+1}-2<0$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n<2$.
$\quad$
b. On a $u_n>1\ssi u_n-1>0$ et $u_n<2\ssi u_n-2<0$ donc $\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)<0\ssi u_{n+1}-u_n<0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell$ appartenant à $[0;1]$.
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-2x+2$. Cette fonction est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x^2-2x+2=x \\
&\ssi x^2-3x+2=0 \\
&\ssi (x-1)(x-2)=0\end{align*}$
Ainsi $\ell$ vaut $1$ ou $2$.
Or $\left(u_n\right)$ est décroissante et $u_0=a<2$.
Ainsi $\ell=1$.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas particulier $\boldsymbol{a=2}$.

$\text{u(2,1)}$ renvoie la valeur de $u_1$ et $\text{u(2,2)}$ renvoie la valeur de $u_2$.
Or $2^2-2\times 2+2=2$.
Ainsi les deux appels vont renvoyer la même valeur $2$.
$\quad$
On peut donc conjecturer que si $a=2$ alors la suite $\left(u_n\right)$ est constante égale à $2$.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}-1\right) \\
&=\ln\left({u_n}^2-2u_n+1\right) \\
&=\ln\left(\left(u_n-1\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(u_n-1\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln(a-1)$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=\ln(a-1)\times 2^n$.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ et $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
Par conséquent $u_n-1=\e^{v_n} \ssi u_n=1+\e^{v_n}$.
Ainsi $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
$2>1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$.
$\bullet$ Si $a\in ]1;2[$ alors, d’après la partie A, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
$\bullet$ Si $a=2[$ alors, d’après la partie B, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$.
$\bullet$ Si $a>2$ alors $a-1>1$ et $\ln(a-1)>0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n \times \ln(a-1)=+\infty$. Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A : étude graphique

a. Graphiquement $f(0)=2$
$\quad$
b. $f'(0)$ est égal au coefficient directeur de la droite $T$, droite passant par $M(0;2)$ et $P(2;0)$.
Ainsi $f'(0)=\dfrac{2-0}{0-2}=-1$.
$\quad$
Graphiquement, l’équation $f(x)=0$ semble n’avoir qu’une seule solution $-2$.
$\quad$
La courbe $C_f$ semble posséder un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $0$.
La fonction $f$ n’est donc pas convexe sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ semble être négative sur $]-\infty;-2]$ et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ses primitives sont donc décroissantes sur $]-\infty;-2]$ et croissantes sur $[-2;+\infty[$.
Seule la courbe $2$ semble vérifier ces variations.
La courbe $2$ peut donc représenter une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique

$f(0)=2\ssi b\e^0=2 \ssi b=2$.
$\quad$
$f(-2)=0\ssi (-2a+b)\e^{-2\lambda}=0 \ssi -2a+b=0$ car $\e^t>0$ pour tout $t\in \R$.
Or $b=2$ ainsi $-2a+2=0\ssi 2(1-a)=0 \ssi a=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)=(x+2)\e^{\lambda x}$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{\lambda x}+\lambda(x+2)\e^{\lambda x} \\
&=(1+\lambda x+2\lambda)\e^{\lambda x} \end{align*}$
Or $f'(0)=-1$ d’après la partie A.
Donc $(1+2\lambda)\e^0=-1 \ssi 2\lambda+1=-1 \ssi 2\lambda =-2 \ssi \lambda =-1$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.
$\quad$

Partie C : étude algébrique

$\lim\limits_{x\to -\infty} x+2=-\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0\ssi x<-1$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\e^{-x}+2\e^{-x}$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$. Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
$\quad$
a. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
&=(-1+x+1)\e^{-x} \\
&=x\e^{-x}\end{align*}$
La fonction exponentielle étant strictement positiver sur $\R$ le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
Ainsi :
$\bullet$ pour tout $x<0$ on a $f\dsec(x)<0$ ;
$\bullet$ pour tout $x>0$ on a $f\dsec(x)>0$ ;
$\bullet$ $f\dsec(0)=0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après la réponse précédente, la courbe $C_g$ possède un unique point d’inflexion de coordonnées $(0;2)$.
$\quad$
a. On réalise une intégration par parties à l’aides des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-2;t]$ définies par :
$$\begin{array}{lll} u(x)=x+2&\phantom{123}&u'(x)=1 \\
v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
Par conséquent :
$\begin {align*}I(t)&=\int_{-2}^t f(x)\dx \\
&=\Big[-(x+2)\e^{-x}\Big]_{-2}^t-\int_{-2}^t -\e^{-x}\dx \\
&=-(t+2)\e^{-t}-\Big[\e^{-x}\Big]_{-2}^t \\
&=(-t-2)\e^{-t}-\left(\e^{-t}-\e^2\right) \\
&=(-t-2-1)\e^{-t}+\e^2 \\
&=(-t-3)\e^{-t}+\e^2\end{align*}$
$\quad$
b. On a donc, pour tout $t\pg 0$, $I(t)=-t\e^{-t}-3\e^{-t}+\e^2$.
Or $\lim\limits_{t\to +\infty} 3\e^{-t}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-t}=0$. Donc $\lim\limits_{t\to +\infty} I(t)=\e^2$.
La fonction $f$ est continue sur $\R$ (car dérivable) et positive sur $[-2;+\infty[$.
Ainsi $I(t)$ est l’aire de la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d’équation $x=-2$ et $x=t$.
Par conséquent la surface comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $C_f$ et à droite de la droite d’équation $x=-2$ est non limitée et son aire est finie (elle vaut $\e^2$.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées

Exercice 1 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Une société de vente en ligne procède à une étude du niveau de fidélité de ses clients. Elle définit pour cela comme «régulier » un client qui a fait des achats chaque année depuis trois ans. Elle constate que $60\%$ de ses clients sont des clients réguliers, et que parmi eux, $47\%$ ont acheté la carte de fidélité.
Par ailleurs, parmi l’ensemble de tous les clients de la société, $38\%$ ont acheté la carte de fidélité.

On interroge au hasard un client et on considère les événements suivants :

$R$ : « le client est un client régulier » ;
$F$ « le client a acheté la carte de fidélité ».

Pour un événement $E$ quelconque, on note $\conj{E}$ son événement contraire et $P(E)$ sa probabilité.

a. Reproduire l’arbre ci-dessous et compléter les pointillés.
$\quad$

$\quad$
b. Calculer la probabilité que le client interrogé soit un client régulier et qu’il ait acheté la carte de fidélité.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité que le client ait acheté la carte de fidélité sachant que ce n’est pas un client régulier.
$\quad$
d. Le directeur du service des ventes affirme, que parmi les clients qui ont acheté la carte de fidélité, plus de $80\%$ sont des clients réguliers. Cette affirmation est-elle exacte ?
$\quad$
On choisit un échantillon de $20$ clients de la société sélectionnés de manières indépendante.
On suppose que ce choix s’assimile à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de $20$ clients associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux. On rappelle que $P(F)=0,38$.
les valeurs des probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
a. Quelle loi de probabilité suit la variable aléatoire $X$ ? Justifier.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au moins $5$ clients aient acheté la carte de fidélité dans un échantillon de $20$.
$\quad$

Partie B

La société demande à un institut de sondage de faire une enquête sur le profil de ses clients réguliers. L’institut a élaboré un questionnaire en ligne constitué d’un nombre valable de questions.
On choisit au hasard un échantillon de $1~000$ clients réguliers, à qui le questionnaire est proposé. On considère que ces $1~000$ clients répondent.

Pour les remercier, la société offre un bon d’achat à chacun des clients de l’échantillon. Le montant de ce bon d’achat, dépend du nombre de questions posées au client.
La société souhaite récompenser particulièrement les clients de l’échantillon qui ont acheté une carte de fidélité et, en plus du bon d’achat, offre à chacun d’eux une prime d’un montant de $50$ euros versée sur la carte de fidélité.

On note $Y_1$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le total, en euros, des montants du bon d’achat des $1~000$ clients. On admet que son espérance $E\left(Y_1\right)$ est égale à $30~000$ et que sa variance $V\left(Y_1\right)$ est égale à $100~000$.

On note $X_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients réguliers, associe le nombre de clients ayant acheté la carte de fidélité parmi eux, et on note $Y_2$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $1~000$ clients, associe le total en euros des montants de la prime de fidélité versée.
On admet que $X_2$ suit la loi binomiale de paramètres $1~000$ et $0,47$ et que $Y_2=50X_2$.

Calculer l’espérance $E\left(X_2\right)$ de la variable $X_2$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

On note $Y=Y_1+Y_2$ la variable aléatoire égale au total général, en euros, des montants offerts (bon d’achat et prime de fidélité) aux $1~000$ clients. On admet que les variables aléatoires $Y_1$ et $Y_2$ sont indépendantes.

On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z=\dfrac{Y}{1~000}$.

Préciser ce que modélise la variable $Z$ dans le contexte de l’exercice. Vérifier que son espérance $E(Z)$ est égale à $53,5$ et que sa variance $V(Z)$ est égale à $0,722~75$.
$\quad$
À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, vérifier que la probabilité que $Z$ soit strictement compris entre $51,7$ euros et $55,3$ euros est supérieure à $0,75$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse ne rapporte aucun point.
Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonomé $\Oijk$, on considère les points $A(0;4;-1)$, $B(6;1;5)$ et $C(6;2;-1)$. On admet que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Affirmation 1 : Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix} 2\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$

Affirmation 2 : Une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=3-t\\z=1+2t\end{cases} ~~$ où $t\in \R$.
$\quad$

Affirmation 3 : Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par le point $C$ et orthogonal à la droite $(AB)$ est $2x+2y+z+9=0$.
$\quad$

On considère les droite $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ dont on donne ci-dessous une représentation paramétrique $$\mathcal{D}:~\begin{cases} x=3+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases}~~\text{où } t\in \R\qquad \mathcal{D}’:~\begin{cases} x=2t’\\y=4-t’\\z=-1+2t’\end{cases}~~ \text{où } t’\in \R$$
Affirmation 4 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Soit $a$ un nombre réel strictement supérieur à $1$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=a$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}={u_n}^2-2u_n+2$$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n>1$.

L’objectif de cet exercice est d’étudier la suite $\left(u_n\right)$ pour différentes valeurs du nombre réel $a$.

Partie A : étude de la suite $\boldsymbol{\left(u_n\right)}$ dans le cas $\boldsymbol{1<a<2}$.

a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-2=u_n\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}-u_n=\left(u_n-1\right)\left(u_n-2\right)$.
$\quad$
Dans cette question, on pourra utiliser les égalités établies dans la question précédente.
a. En utilisant un raisonnement par récurrence démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $$u_n<2$$
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite.
$\quad$

Partie B : étude dans le cas $\boldsymbol{a=2}$.

On donne ci-dessous la fonction $\text{u}$ écrite en langage Python.

Python

def u(a,n) : u = a for k in range(n): u = u**2 - 2 * u + 2 return u

1
2
3
4
5

def u(a,n) :
   u = a
   for k in range(n):
      u = u**2 - 2 * u + 2
   return u

Déterminer les valeurs renvoyées par le programme lorsque l’on saisit $\text{u(2,1)}$ et $\text{u(2,2)}$ dans la console Python.
$\quad$
Quelle conjecture peut-on formuler concernant la suite $\left(u_n\right)$ dans le cas où $a=2$ ? On admettra ce résultat sans démonstration.
$\quad$

Partie C : étude dans le cas général.

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=\ln\left(u_n-1\right)$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ dont on précisera le premier terme en fonction de $a$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=1+\e^{2^n\times \ln(a-1)}$.
$\quad$
Déterminer, suivant les valeurs du réel $a$ strictement supérieur à $1$, la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.
Dans le repère orthonormé ci-dessous ont été représentés :

la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$ ;
la tangente $T$ à $C_f$ en son point $N(0;2)$ ;
le point $M(-2;0)$ appartenant à $C_f$ et $P(2;0)$ appartenant à la tangente $T$.

On précise que la fonction $f$ est strictement positive sur l’intervalle $[0;+\infty[$ et qu’elle est strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;-1]$.

Partie A : étude graphique.

On répondra aux questions suivantes en utilisant le graphique.

a. Donner $f(0)$.
$\quad$
b. Déterminer $f'(0)$.
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur $\R$ ? Justifier.
$\quad$
Parmi les courbes suivantes, indiquer laquelle peut représenter une primitive de $f$ sur $\R$. Justifier.
$\quad$

$\quad$

Partie B : recherche d’une expression algébrique.

On admet que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=(ax+b)\e^{\lambda x}$ où $a$, $b$ et $\lambda$ sont des constantes réelles. pour répondre aux questions suivantes, on utilisera les résultats de la partie A.

Justifier que $b=2$.
$\quad$
Justifier que $-2a+b=0$ puis en déduire la valeur de $a$.
$\quad$
Déterminer une expression algébrique de $f$. Justifier.
$\quad$

Partie C : étude algébrique.

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)\e^{-x}$.

Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
$\quad$
On admet que $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$. Dresser le tableau de variations complet de $f$. Justifier.
$\quad$
a. Étudier la convexité de $f$.
$\quad$
b. Préciser les coordonnées des éventuels points d’inflexion de la courbe $C_f$.
$\quad$
pour tout nombre réel $t\pg 0$, on pose : $$I(t)=\int_{-2}^t f(x)\dx$$
a. En utilisant une intégration par parties, monter que $I(t)=(-t-3)\e^{-t}+\e^2$.
$\quad$
b. En déduire un exemple de surface non limitée dont l’aire est finie.
$\quad$

$\quad$

Bac – Polynésie – jour 2 – juin 2024

Polynésie – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On a $P(J)=0,6$ et $P_J(S)= \dfrac{8}{9}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} P(J\cap S)&=P(J)\times P_J(S)\\
&=0,6\times \dfrac{8}{9} \\
&=\dfrac{8}{15}\end{align*}$
La probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
$\quad$
a. On a $P(S)=\dfrac{2}{3}$
$\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(S)=P(J\cap S)+P\left(\conj{J}\cap S\right) &\ssi \dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{15}+P\left(\conj{J}\cap S\right) \\
&\ssi P\left(\conj{J}\cap S\right)=\dfrac{2}{15}\end{align*}$.
La probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est égale à $\dfrac{2}{15}$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P\left(\conj{J}\cap S\right)=P\left(\conj{J}\right)\times P_{\conj{J}}(S)&\ssi \dfrac{2}{15}=0,4\times P_{\conj{J}}(S) \\
&\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{\dfrac{2}{15}}{0,4} \\
&\ssi P_{\conj{J}}(S)=\dfrac{1}{3} \end{align*}$
$\quad$
a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{2}{3}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b. On a ainsi :
$\begin{align*} P(X=16)&=\dbinom{30}{16}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{16}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{14} \\
&\approx 0,046\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive est environ égale à $0,046$.
$\quad$
c. $\dfrac{10~000}{380} \approx 26,3$.
Le budget prévu ne permet d’offrir que $26$ places.
Or, d’après la calculatrice,
$\begin{align*} P(X>26)&=1-P(X\pp 26)\\
&\approx 0,003\end{align*}$.
La probabilité que ce budget soit insuffisant est environ égale à $0,003$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Nous avons une équation différentielle de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-3$ et $b=7$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$.
Donc, ici, $f(x)=C\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$.
On veut que $f(0)=1\ssi C+\dfrac{7}{3}=1\ssi C=-\dfrac{4}{3}$.
Ainsi, $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
Réponse B
$\quad$
La fonction $f$ semble continue et positive sur $[1;5]$. $I$ est donc égale à l’aire du domaine compris entre l’axe des abscisses, la courbe représentant la fonction $f$ et les droites d’équation $x=1$ et $x=5$.
$5$ carreaux sont contenus dans ce domaine et ce domaine est contenu dans un ensemble de $10$ carreaux.
Donc $5\pp I\pp 10$.
Réponse C
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \int_0^2 g'(x)\dx&=Big[g(x)\big]_0^2 \\
&=g(2)-g(0)\\
&=4\ln(8)-0\\
&\approx 8,3\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
Il existe $\dfrac{31}{5}$ groupes différents de $5$ élèves dans une classe de $31$ élèves.
Réponse D
$\quad$
Il y a $\dbinom{20}{3}$ groupes différents de $3$ élèves ayant choisi la spécialité SES.
Il y a $\dbinom{31-20}{5-3}=\dbinom{11}{2}$ façons différentes de choisir les $2$ autres élèves parmi les élèves n’ayant pas choisi la spécialité SES.
Il y a donc $\dbinom{20}{3}\dbinom{11}{2}$ groupes possibles.
Réponse A
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $u_1=8-\ln(2)\approx 7,31$
$u_2=8-\ln(2)-\ln\left(\dfrac{8-\ln(2)}{4}\right) \approx 6,70$.
$\quad$
b. Cet appel renvoie une valeur approchée de la somme $\ds \sum_{k=0}^{9} u_k=u_0+\ldots+u_{9}$.
$\quad$
c. On peut écrire :

Python

def mystere(k): u = 8 S = 0 for i in range(k): S = S + u u = u - log(u / 4) return(S / k)

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def mystere(k):
   u = 8
   S = 0
   for i in range(k):
      S = S + u
      u = u - log(u / 4)
   return(S / k)

Remarque : On suppose que $k$ est un entier naturel non nul.
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=1-\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{x}{4}} \\
&=1-\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{x-1}{x}\end{align*}$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x-1$ car $x>0$.
or $x-1=0\ssi x=1$ et $x-1>0\ssi x>1$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]0;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$\begin{align*}f(1)&=1-\ln\left(\dfrac{1}{4}\right) \\
&=1+\ln(4)\end{align*}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
Remarque : Si on veut calculer les limites (ce qui n’est pas demandé) :
$\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{x}{4}=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x-\ln(x)+\ln(4) \\
&=x\left(1-\dfrac{\ln(x)}{x}+\dfrac{\ln(4)}{x}\right) \end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(4)}{x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
Initialisation : $u_0=8$ et $u_1\approx 7,31$ donc $1\pp u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
On a donc $1\pp u_{n+1}\pp u_n$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ donc :
$f(1) \pp f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
Soit $1<1+\ln(4)\pp u_{n+2} \pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1\pp u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell \in[1;+\infty[$.
$\quad$
c.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=x \\
&\ssi -\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)=0 \\
&\ssi \dfrac{x}{4}=1 \qquad (\text{stricte croissance de la fonction } \ln )\\
&\ssi x=4\end{align*}$
L’unique solution de l’équation $f(x)=x$ est $4$.
$\quad$
d. La suite $\left(u_n\right)$ vérifie pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ où $f$ est une fonction continue (car dérivable) sur $]0;+\infty[$.
D’après la question 3.b. cette suite converge vers un réel $\ell$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question précédente $\ell=4$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}5\\-1\\-13\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-2\\-10\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-1}{-10}$.
Les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=10+3-13=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=4+6-10=0$
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme $2x-3y+z+d=0$.
Or $A(-1;-1;17)$ appartient à ce plan.
Ainsi $-2+3+17+d=0\ssi d=-18$.
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18=0$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}3\\1\\4\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. Les coordonnées du point $E$ sont solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} 2x-3y+z-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}&\ssi \begin{cases} 2(3t+2)-3(t+5)+(4t+1)-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 6t+4-3t-15+4t+1-18=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 7t-28=0\\x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=4\\x=14\\y=9\\z=17\end{cases}\end{align*}$
Le point $E$ a donc pour coordonnées $(14;9;17)$.
$\quad$
On a $\vect{FD}\begin{pmatrix}-4\\6\\-2\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} FD&=\sqrt{(-4)^2+6^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{16+36+4} \\
&=\sqrt{56} \\
&=\sqrt{4\times 14} \\
&=2\sqrt{14}\end{align*}$
La distance entre point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
$\quad$
La plus petite distance entre le point $D$ et le plan $\mathcal{P}$ est $FD$.
Le drone mettra donc $\dfrac{2\sqrt{14}\times 100}{18,6} \approx 40,2$ s pour parcourir cette distance.
Le nouveau drone ne pourra pas arriver à temps.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (4 points)

Un sondage réalisé en France fournit les informations suivantes :

$60 \%$ des plus de 15 ans ont l’intention de regarder les jeux Olympiques et Paralympiques (JOP) de Paris 2024 à la télévision;
parmi ceux qui ont l’intention de regarder les JOP, $8$ personnes sur $9$ déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

On choisit au hasard une personne de plus de 15 ans. On considère les évènements suivants :

$J$ : « la personne a l’intention de regarder les JOP Paris 2024 à la télévision »;
$S$ : « la personne choisie déclare pratiquer une activité sportive régulière ».

On note $\conj{J}$ et $\conj{S}$ leurs évènements contraires.
Dans les questions 1. et 2., les probabilités seront données sous la forme d’une fraction irréductible

Démontrer que la probabilité que la personne choisie ait l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière est de $\dfrac{8}{15}$.
On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$

Selon ce sondage, deux personnes sur trois parmi les plus de 15 ans déclarent pratiquer une activité sportive régulière.

a. Calculer la probabilité que la personne choisie n’ait pas l’intention de regarder les JOP de Paris 2024 à la télévision et déclare pratiquer une activité sportive régulière.
$\quad$
b. En déduire la probabilité de $S$ sachant $\conj{J}$ notée $P_{\conj{J}}(S)$.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Dans le cadre d’une opération de promotion, $30$ personnes de plus de 15 ans sont choisies au hasard.
On assimile ce choix à un tirage avec remise.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
a. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’exactement $16$ personnes déclarent pratiquer une activité sportive régulière parmi les $30$ personnes.
$\quad$
c. La fédération française de judo souhaite offrir une place pour la finale de l’épreuve par équipe mixte de judo à l’Arena Champ-de-Mars pour chaque personne déclarant pratiquer une activité sportive régulière parmi ces $30$ personnes.
Le prix d’une place s’élève à $380$ € et on dispose d’un budget de $10~000$ euros pour cette opération.
Quelle est la probabilité que ce budget soit insuffisant ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend cinq questions. Les
cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte, ni n’enlève
aucun point.

La solution f de l’équation différentielle $y’ =-3y +7$ telle que $f (0) = 1$ est la fonction
définie sur $\R$ par :
A. $f(x)=\e^{-3x}$
B. $f(x)=-\dfrac{4}{3}\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
C. $f(x)=\e^{-3x}+\dfrac{7}{3}$
D. $f(x)=-\dfrac{10}{3}\e^{-3x}-\dfrac{7}{3}$
$\quad$
La courbe d’une fonction $f$ définie sur $[0 ; +\infty[$ est donnée ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
Un encadrement de l’intégrale $I=\ds \int_1^5 f(x)\dx$ est :
A. $0\pp I\pp 4$
B. $1\pp I \pp 5$
C. $5\pp I\pp 10$
D. $10\pp I\pp 15$
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^2\ln\left(x^2+4\right)$.
Alors $\ds \int_0^2 g'(x)\dx$ vaut, à $10^{-1}$ près :
A. $4,9$
B. $8,3$
C. $1,7$
D. $7,5$
$\quad$
Une professeure enseigne la spécialité mathématiques dans une classe de $31$ élèves
de terminale.
Elle veut former un groupe de $5$ élèves. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe de $5$ élèves ?
A. $31^5$
B. $31\times 30\times 29\times 28\times 27$
C. $31+30+29+28+17$
D. $\dbinom{31}{5}$
$\quad$
La professeure s’intéresse maintenant à l’autre spécialité des $31$ élèves de son groupe :
$\bullet$ $10$ élèves ont choisi la spécialité physique-chimie;
$\bullet$ $20$ élèves ont choisi la spécialité SES;
$\bullet$ $1$ élève a choisi la spécialité LLCE espagnol.
Elle veut former un groupe de $5$ élèves comportant exactement $3$ élèves ayant choisi
la spécialité SES. De combien de façons différentes peut-elle former un tel groupe ?
A. $\dbinom{20}{3}\times \dbinom{11}{2}$
B. $\dbinom{20}{3}+\dbinom{11}{2}$
C. $\dbinom{20}{3}$
D. $20^3\times 11^2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (6 points)

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$u_0 = 8 \text{ et pour tout entier naturel } n,~ u_{n+1}= u_n-\ln\left(\dfrac{u_n}{4}\right).$$

a. Donner les valeurs arrondies au centième de $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. On considère la fonction $\text{mystere}$ définie ci-dessous en Python. On admet que,
pour tout réel strictement positif $\text{a}$, $\text{log(a)}$ renvoie la valeur du logarithme népérien de $\text{a}$.

Python

def mystere(k) : u = 8 S = 0 for i in range(k) : S = S + u u = u − log( u / 4 ) return S

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def mystere(k) :
   u = 8
   S = 0
   for i in range(k) :
      S = S + u
      u = u − log( u / 4 )
   return S

L’exécution de $\text{mystere(10)}$ renvoie $\text{58.44045206721732}$. Que représente ce résultat ?
$\quad$
c. Modifier la fonction précédente afin qu’elle renvoie la moyenne des $k$ premiers
termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0 ; +\infty[$ par : $$f(x)=x-\ln\left(\dfrac{x}{4}\right)$$
On donne ci-dessous une représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $6$.
$\quad$

$\quad$
Étudier les variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$ et dresser son tableau de variations.
On précisera la valeur exacte du minimum de $f$ sur $[0 ; +\infty[$. Les limites ne sont pas demandées.
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, on remarquera que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$

a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1\pp u_{n+1} \pp u_n$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite réelle.
On note $\ell$ la valeur de cette limite.
$\quad$
c. Résoudre l’équation $f(x) = x$.
$\quad$
d. En déduire la valeur de $\ell$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Une commune décide de remplacer le traditionnel feu d’artifice du 14 juillet par un spectacle de drones lumineux.

Pour le pilotage des drones, l’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dont l’unité est la centaine de mètres.

La position de chaque drone est modélisée par un point et chaque drone est envoyé d’un point de départ $D$ de coordonnées $(2 ; 5 ; 1)$.

On souhaite former avec des drones des figures en les positionnant dans un même plan $\mathcal{P}$.

Trois drones sont positionnés aux points $A(-1;-1; 17)$, $B(4 ;-2 ; 4)$ et $C(1 ;-3 ; 7)$.

Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$

Dans la suite, on note $\mathcal{P}$ le plan $(ABC)$ et on considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

a. Justifier que $\vec{n}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Démontrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $2x-3y+z-18 = 0$.
$\quad$
Le pilote des drones décide d’envoyer un quatrième drone en prenant comme trajectoire la droite d dont une représentation paramétrique est donnée par : $$f~:~\begin{cases} x=3t+2\\y=t+5\\z=4t+1\end{cases}~~, \text{avec } t\in \R$$
a. Déterminer un vecteur directeur de la droite $d$.
$\quad$
b. Afin que ce nouveau drone soit également placé dans le plan $\mathcal{P}$, déterminer par le calcul les coordonnées du point $E$, intersection de la droite $d$ avec le plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Le pilote des drones décide d’envoyer un cinquième drone le long de la droite $\Delta$ qui
passe par le point $D$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$. Ce cinquième drone est placé lui aussi dans le plan $\mathcal{P}$, soit à l’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $\mathcal{P}$. On admet que le point $F(6 ;-1 ; 3)$ correspond à cet emplacement.
Démontrer que la distance entre le point de départ $D$ et le plan $\mathcal{P}$ vaut $2\sqrt{14}$ centaines de mètres.
$\quad$
L’organisatrice du spectacle demande au pilote d’envoyer un nouveau drone dans le plan (peu importe sa position dans le plan), toujours à partir du point $D$.
Sachant qu’il reste $40$ secondes avant le début du spectacle et que le drone vole en trajectoire rectiligne à $18,6$ m.s$^{-1}$, le nouveau drone peut-il arriver à temps ?
$\quad$

$\quad$

Bac – Métropole – jour 2 (secours) – juin 2024

Métropole – 20 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 2 (secours) – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

D’après l’énoncé on a $P(Q)=0,917$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)=0,65$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(Q)=P(Q\cap R)+P\left(Q\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,917=P(R)P_R(Q)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35(1-x) \\
&\ssi 0,917=0,98x+0,35-0,35x \\
&\ssi 0,567=0,63x \\
&\ssi x=0,9\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_Q(R)&=\dfrac{P(Q\cap R)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(Q)}{P(Q)} \\
&=\dfrac{0,98\times 0,9}{0,917}\\
&\approx 0,962\end{align*}$
La probabilité pour que l’étudiant ait réussi l’examen sachant qu’il a répondu “oui” est environ égale à $0,962$.
$\quad$
On veut déterminer le plus grand entier naturel $n$ tel que : $ P(N\pg n)\pg 0,65$.
D’après la calculatrice $P(N\pg 11) \approx 0,797$ et $P(N\pg 12)\approx 0,649$
Elle doit récompenser les étudiants ayant obtenus $11$ ou plus.
$\quad$
Remarque : Je pense que la réponse $12$ ou plus devrait être acceptée puisque $P(N \pg 12) \approx 0,65$ (mais est légèrement inférieure)
Par linéarité de l’espérance on a :
$\begin{align*} E(S)&=E\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=E\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10E(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \\
&=123\end{align*}$
$\quad$
Les variables aléatoires $N_1,\ldots,N_{10}$ sont indépendantes donc :
$\begin{align*} V(S)&=V\left(N_1+\ldots+N_{10}\right) \\
&=V\left(N_1\right)+\ldots+E\left(N_{10}\right)\\
&=10V(N) \qquad \text{(même loi)} \\
&=10\times 20\times 0,615 \times (1-0,615)\\
&=47,355\end{align*}$
$\quad$
a. $M$ correspond à la moyenne des notes des $10$ candidats.
Remarque : On l’appelle la moyenne empirique.
$\quad$
b. Par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*} E(M)&=\dfrac{1}{10}E(S) \\
&=\dfrac{123}{10} \\
&=12,3\end{align*}$.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} V(M)&=\dfrac{1}{10^2}V(S) \\
&=\dfrac{47,355}{100}\\
&=0,473~55\end{align*}$
$\quad$
c. $M$ possède une variance. On peut donc lui appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
$\begin{align*} P(10,3<M<14,3)&=P\left(-2<M-E(M)<2\right) \\
&=P\left(\abs{M-E(M)}<2\right) \\
&=1-P\left(\abs{M-E(M)}\pg 2\right) \\
&\pg 1-\dfrac{V(M)}{2^2} \qquad \text{(inégalité de Bienaymé-Tchebychev)} \\
&\pg 0,882\end{align*}$
La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80\%$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude d’un modèle discret

$\dfrac{15~000}{50~000}=0,3$ mg.$^{-1}$.
Cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg.$L^{-1}$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
Initialisation : $v_0=0,7$ et $v_1=0,92\times 0,7+0,3=0,944$.
On a bien $v_0\pp v_1\pp 4$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} v_n\pp v_{n+1} \pp 4&\ssi 0,92v_n\pp 0,92 v_{n+1} \pp 3,68 \\
&\ssi 0,92v_n+0,3 \pp 0,92v_{n+1}+0,3 \pp 3,98 \\
&\ssi v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 3,98\end{align*}$
Ainsi $v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 4$ et $P'(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n\pp v_{n+1} \pp 4$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc croissante et majorée par $4$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge vers un réel $\ell \in [0,7;4]$.
La fonction $f:~x\mapsto 0,92x+0,3$ est continue sur $\R$ en tant que fonction affine.
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=f\left(v_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 0,92x+0,3=x \\
&\ssi 0,3=0,08x \\
&\ssi x=3,75\end{align*}$
$\left(v_n\right)$ converge donc vers $3,75$.
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et converge vers $3,75$.
Il existe donc un rang à partir duquel $v_n>3$.
À long terme, le taux de chlore ne sera pas conforme à la préconisation des piscinistes.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def alerte_chlore(S): n = 0 v = 0.7 while v <= s: n = n + 1 v = 0.92 * v + 0.3 return(n)

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def alerte_chlore(S):
   n = 0
   v = 0.7
   while v <= s:
      n = n + 1
      v = 0.92 * v + 0.3
   return(n)

$\quad$
D’après la calculatrice $v_{16} \approx 2,95$ et $v_{17} \approx 3,01$
Cet appel renverra donc la valeur $17$.
C’est donc à partir du $17$-ième jour que le taux de chlore ne sera pas conforme.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

L’équation différentielle est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-0,08$ et $b=\dfrac{q}{50}$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions $g$ définies sur $\R$ par $g(x)=C\e^{ax}-\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque.
Or $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{q}{4}$.
Ainsi, il existe un réel $C$ tel que pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
Autre méthode (beaucoup plus longue) Soit $C$ un réel. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
$g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-0,08\times x\e^{-0,08x} \\
&=-0,08x\e^{-0,08x}-0,08\times \dfrac{q}{4}+0,08\times \dfrac{q}{4} \\
&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}\end{align*}$
Ainsi $g$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
Soit $h$ un autre fonction solution de $(E)$.
On a alors, pour tout réel $x$ :
$\begin{align*} g'(x)-h'(x)&=-0,08g(x)+\dfrac{q}{50}+0,08h(x)-\dfrac{q}{50} \\
&=-0,08\left(g(x)-h(x)\right)\end{align*}$
$g-h$ est donc solution de l’équation différentielle $(H):~y’=-0,08y$ dont l’ensemble solution est $\acco{x\in \R\mapsto K\e^{-0,08x},~\forall K\in \R}$.
Ainsi toutes les solutions de $(E)$ sont de la forme $x\mapsto C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$.
C’est en particulier le cas pour $f$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to +\infty} -0,08x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$. Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{q}{4}$.
$\quad$
b. On souhaite donc que $\dfrac{q}{4}=2 \ssi q=8$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)=C\e^{-0,08x}+2$.
On veut également que $f(0)=0,7 \ssi C+2=0,7 \ssi C=-1,3$.

Ex 3

Exercice 3

Partie A : exploitation du graphique

Graphiquement $f(-1)=-2$ et $f'(-1)=1$ (coefficient directeur de la droite $(AB)$).
$\quad$
Il semblerait que le point d’abscisse $-1,2$ soit un point d’inflexion de $C_f$. La fonction $C_f$ n’est donc pas convexe sur son ensemble de définition.
$\quad$
Il semblerait que l’équation $f(x)=0$ admette une unique solution dont une valeur approchée est $0,1$.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

$\lim\limits_{x\to -2^+} x-2=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -2^+} \ln(x+2)=-\infty$.
$\lim\limits_{x\to -2} x^2+2x-1=-1$
Ainsi $\lim\limits_{x\to 2^-} f(x)=-\infty$.
La droite d’équation $x=-2$ est donc asymptote à la courbe $C_f$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x+2+\dfrac{1}{x+2} \\
&=\dfrac{(2x+2)(x+2)+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x+2x+4+1}{x+2} \\
&=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}\end{align*}$
$\quad$
Le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+6x+5$ car $x+2>0$ sur $]-2;+\infty[$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré est $\Delta=6^2-4\times 2\times 5=-4<0$
Le coefficient principal de ce polynôme est $2>0$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $x^2+2x-1>0$.
Donc, pour tout réel $x>-2$ on a $f'(x)>0$ et $f$ est une fonction strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-2;+\infty[$.
$\lim\limits_{x\to -2^+} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2;+\infty[$.
D’après la calculatrice $\alpha \approx 0,12$.
$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition et s’annule en $\alpha$.
Par conséquent :
$\bullet~f(x)<0$ sur $]-2;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)>0$ sur $]-\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$f’$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ par hypothèse.
Pour tout réel $x>-2$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{(4x+6)(x+2)-\left(2x^2+6x+5\right)\times 1}{(x+2)^2 } \\
&=\dfrac{4x^2+8x+6x+12-2x^2-6x-5}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+8x+7}{(x+2)^2} \end{align*}$
le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $2x^2+8x+7$ qui est un polynôme du second degré dont le dénominateur est $\Delta=8>0$.
Il possède donc deux racines qui sont $\dfrac{-4-\sqrt{2}}{2}<-2$ et $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}>-2$.
$f\dsec(x)$ change de signe en s’annulant qu’une seule fois en $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$C_f$ admet donc qu’un seul point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{-4+\sqrt{2}}{2}$.
$\quad$

Partie C

On a $J(0;1)$ et $M\left(x;g(x)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} h(x)&=(x-0)^2+\left(g(x)-1\right)^2 \\
&=x^2+\left(\ln(x+2)-1\right)^2 \end{align*}$
$\quad$
a. D’après la question B.5. on obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
b. D’après le tableau de variations précédent $h$ admet un minimum en $\alpha$.
$JM^2$ est donc minimale en $\alpha$.
La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0;+\infty[$. Par conséquent $JM$ est minimale en $\alpha$^.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} f(\alpha)=0&\ssi \alpha^2+2\alpha-1+\ln(\alpha+2)=0 \\
&\ssi \ln(\alpha+2)=1-\alpha^2-2\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}$ et celui de la tangente est $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} g'(\alpha)\times \dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha}&=\dfrac{1}{\alpha+2}\times \dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha} \\
&=\dfrac{-(\alpha+2)}{\alpha+2} \\
&=-1\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$
Autre méthode : Un vecteur directeur de $\left(JM_{\alpha}\right)$ est $\vect{JM_{\alpha}}\begin{pmatrix} \alpha\\\ln(\alpha+2)-1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ est $\vect{u_{\alpha}}\begin{pmatrix}1\\g'(\alpha)\end{pmatrix}$.
Or $g'(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha+2}$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{JM_{\alpha}}.\vect{u_{\alpha}}&=\alpha+\dfrac{\ln(\alpha+2)-1}{\alpha+2} \\
&=\alpha+\dfrac{1-2\alpha-\alpha^2-1}{\alpha+2} \\
&=\dfrac{\alpha^2+2\alpha-2\alpha-\alpha^2}{\alpha+2} \\
&=0\end{align*}$
La tangente à $C_g$ au poit $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

$\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Les points $A$, $C$ et $D$ définissent bien un plan.
De plus :
$\bullet ~8\times 2+0+0-16=16-16=0$
$\bullet ~ 32-20+4-16=36-36=0$
$\bullet ~0-0+16-16=0$
Les coordonnées des points $A$, $C$ et $D$ vérifient l’équation cartésienne fournie.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$0-20+12-16=12-36=-24\neq 0$
Les coordonnées du point $B$ ne vérifient pas l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ fournie à la question précédente.
Donc $B$ n’appartient pas à $(ACD)$.
Les quatre points ne sont pas coplanaires.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
On a $\vect{BH}\begin{pmatrix}-1\\-3\\-1\end{pmatrix}$
Les vecteurs $\vect{AC}$ et $\vect{BH}$ ne sont pas colinéaires car $\dfrac{2}{-1}\neq \dfrac{4}{-3}$.
Ainsi les droites ne sont pas parallèles.
Une représentation paramétrique de $(AC)$ est $\begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\end{cases}~~ $ où $t\in \R$.
Une représentation paramétrique de $(BH)$ est $\begin{cases} x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}~~ $ où $k\in \R$.
On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\x=-k\\y=4-3k\\z=3-k\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2t=-k\\4t=4-3k\\t=3-k\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\2+2(3-k)=-k\\4(3-k)=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\12-4k=4-3k\\t=3-k\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+2t\\y=4t\\z=t\\8=k\\k=8\\t=-5\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont donc sécantes.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
$-1-1+4-2=4-4=0$ : $H$ appartient au plan $(ABC)$.
Un vecteur normal au plan $(ABC)$ est $\vec{n}\begin{align*}1\\-1\\2\end{align*}$.
De plus $\vect{DH}\begin{align*}-1\\1\\-2\end{align*}$.
Ainsi $\vect{DH}=-\vec{n}$ et $\vect{DH}$ est normal au plan $(ABC)$.
Donc $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 (5 points)

La directrice d’une école souhaite réaliser une étude auprès des étudiants qui ont passé l’examen de fin d’étude, pour analyser la façon dont ils pensent avoir réussi cet examen.

Pour cette étude, on demande aux étudiants à l’issue de l’examen de répondre individuellement à la question : « Pensez-vous avoir réussi l’examen ? ». Seules les réponses « oui » ou « non » sont possibles, et on observe que $91,7 \%$ des étudiants interrogés ont répondu « oui ».

Suite à la publication des résultats à l’examen, on découvre que :

$65 \%$ des étudiants ayant échoué ont répondu « non » ;
$98 \%$ des étudiants ayant réussi ont répondu « oui ».

On interroge au hasard un étudiant qui a passé l’examen.
On note $R$ l’événement « l’étudiant a réussi l’examen » et $Q$ l’événement « l’étudiant a répondu « oui » à la question ».

Pour un événement $A$ quelconque, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ son événement contraire.

Dans tout l’exercice, les probabilités sont, si besoin, arrondies à $\boldsymbol{10^{-3}}$ près.

Préciser les valeurs des probabilités $P(Q)$ et $P_{\conj{R}}\left(\conj{Q}\right)$.
$\quad$
On note $x$ la probabilité que l’étudiant interrogé ait réussi l’examen.
a. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
b. Montrer que $x = 0,9$.
$\quad$
L’étudiant interrogé a répondu « oui » à la question.
Quelle est la probabilité qu’il ait réussi l’examen ?
$\quad$
La note obtenue par un étudiant interrogé au hasard est un nombre entier entre $0$ et $20$. On suppose qu’elle est modélisée par une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$. La directrice souhaite attribuer une récompense aux étudiants ayant obtenu les meilleurs résultats.
À partir de quelle note doit-elle attribuer les récompenses pour que $65 \%$ des étudiants soient récompensés ?
$\quad$
On interroge au hasard dix étudiants.
Les variables aléatoires $N_1$, $N_2$, $\ldots$ , $N_{10}$ modélisent la note sur 20 obtenue à l’examen par chacun d’entre eux. On admet que ces variables sont indépendantes et suivent la même loi binomiale de paramètres $(20 ; 0,615)$.
Soit $S$ la variable définie par $S=N_1+N_2+\ldots+N_{10}$.
Calculer l’espérance $E(S)$ et la variance $V(S)$ de la variable aléatoire $S$.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $M=\dfrac{S}{10}$.
a. Que modélise cette variable aléatoire $M$ dans le contexte de l’exercice ?
$\quad$
b. Justifier que $E(M)= 12,3$ et $V(M) = 0,47355$.
$\quad$
c. À l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, justifier l’affirmation ci-dessous.
« La probabilité que la moyenne des notes de dix étudiants pris au hasard soit strictement comprise entre $10,3$ et $14,3$ est d’au moins $80 \%$ ».
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Les parties A et B sont indépendantes.

Alain possède une piscine qui contient $50$ m$^3$ d’eau. On rappelle que $1$m$^3 = 1~000$ L.
Pour désinfecter l’eau, il doit ajouter du chlore.

Le taux de chlore dans l’eau, exprimé en mg. L$^{-1}$ , est défini comme la masse de chlore par unité de volume d’eau. Les piscinistes préconisent un taux de chlore compris entre $1$ et $3$ mg. L$^{-1}$.

Sous l’action du milieu ambiant, notamment des ultraviolets, le chlore se décompose et disparaît peu à peu.

Alain réalise certains jours, à heure fixe, des mesures avec un appareil qui permet une précision à $0,01$ mg. L$^{-1}$. Le mercredi 19 juin, il mesure un taux de chlore de $0,70$ mg. L$^{-1}$.

Partie A : étude d’un modèle discret.

Pour maintenir le taux de chlore dans sa piscine, Alain décide, à partir du jeudi 20 juin, d’ajouter chaque jour une quantité de $15$ g de chlore. On admet que ce chlore se mélange uniformément dans l’eau de la piscine.

Justifier que cet ajout de chlore fait augmenter le taux de $0,3$ mg. L$^{-1}$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note $v_n$ le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, obtenu avec ce nouveau protocole $n$ jours après le mercredi 19 juin. Ainsi $v_0 = 0,7$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=0,92v_n+0,3$.
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $v_n\pp v_{n+1}\pp 4$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente et calculer sa limite.
$\quad$
À long terme, le taux de chlore sera-t-il conforme à la préconisation des piscinistes ? Justifier la réponse.
$\quad$
Reproduire et compléter l’algorithme ci-dessous écrit en
langage Python pour que la fonction $\text{alerte_chlore}$ renvoie, lorsqu’il existe, le plus petit entier $n$ tel que $v_n>s$.

Python

def alerte_chlore(s) : n = 0 v = 0.7 while ………………… : n = ………… v = ………… return n

1
2
3
4
5
6
7

def alerte_chlore(s) :
   n = 0
   v = 0.7
   while ………………… :
      n = …………
      v = …………
   return n

$\quad$
5. Quelle valeur obtient-on en saisissant l’instruction $\text{alerte_chlore(3)}$ ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B : étude d’un modèle continu.

Alain décide de faire appel à un bureau d’études spécialisées. Celui-ci utilise un modèle continu pour décrire le taux de chlore dans la piscine.

Dans ce modèle, pour une durée $x$ (en jours écoulés à compter du mercredi 19 juin), $f(x)$ représente le taux de chlore, en mg. L$^{-1}$, dans la piscine.

On admet que la fonction $f$ est solution de l’équation différentielle $(E)~:~ y’=-0,08y + \dfrac{q}{50}$, où $q$ est la quantité de chlore, en gramme, rajoutée dans la piscine chaque jour.

Justifier que la fonction $f$ est de la forme $f(x)=C\e^{-0,08x}+\dfrac{q}{4}$ où $C$ est une constante réelle.
$\quad$
a. Exprimer en fonction de $q$ la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. On rappelle que le taux de chlore observé le mercredi 19 juin est égal à $0,7$ mg. L$^{-1}$.
On souhaite que le taux de chlore se stabilise à long terme autour de $2$ mg. L$^{-1}$. Déterminer
les valeurs de $C$ et $q$ afin que ces deux conditions soient respectées.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (6 points)

On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]-2 ; +\infty[$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, $f’$ sa dérivée et $d\sec$ sa dérivée seconde.
On a tracé ci-dessous la courbe $C_f$ et sa tangente $T$ au point $B$ d’abscisse $-1$.
On précise que la droite $T$ passe par le point $A(0 ; -1)$.

Partie A : exploitation du graphique.

À l’aide du graphique, répondre aux questions ci-dessous.

Préciser $f(-1)$ et $f'(-1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est-elle convexe sur son ensemble de définition ? Justifier.
$\quad$
Conjecturer le nombre de solutions de l’équation $f(x) = 0$ et donner une valeur arrondie à $10^{-1}$ près d’une solution.
$\quad$

Partie B : étude de la fonction $\boldsymbol{f}$.

On considère que la fonction $f$ est définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $f(x) = x^2+2x-1+\ln(x+2)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Déterminer par le calcul la limite de la fonction $f$ en $-2$. Interpréter graphiquement ce résultat.
On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout $x > -2$, $f'(x)=\dfrac{2x^2+6x+5}{x+2}$.
$\quad$
Étudier les variations de la fonction $f$ sur $]-2 ; +\infty[$ puis dresser son tableau de variations complet.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-2 ; +\infty[$ et donner une valeur arrondie de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$
En déduire le signe de $f(x)$ sur $]-2 ; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que $C_f$ admet un unique point d’inflexion et déterminer son abscisse.
$\quad$

Partie C : une distance minimale.

Soit $g$ la fonction définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $g(x)=\ln(x+2)$.

On note $C_g$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;I,J)$, représentée ci-dessous.

Soit $M$ un point de $C_g$ d’abscisse $x$.

Le but de cette partie est de déterminer pour quelle valeur de $x$ la distance $JM$ est minimale.

On considère la fonction ℎ définie sur $]-2 ; +\infty[$ par $h(x) = JM^2$.

Justifier que pour tout $x>-2$, on a : $h(x)=x^2+\Big[\ln(x+2)-1\Big]^2$.
$\quad$
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $]-2 ; +\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.
On admet également que pour tout réel $x>-2$, $$h'(x)=\dfrac{2f(x)}{x+2}$$ où $f$ est la fonction étudiée en partie B.
a. Dresser le tableau de variations de $h$ sur $]-2 ; +\infty[$.
Les limites ne sont pas demandées.
$\quad$
b. En déduire que la valeur de $x$ pour laquelle la distance $JM$ est minimale est $\alpha$ où $\alpha$ est le nombre réel défini à la question 4 de la partie B.
$\quad$
On notera $M_{\alpha}$ le point de $C_g$ d’abscisse $\alpha$.
a. Montrer que $\ln(\alpha + 2) = 1-2\alpha-\alpha^2$.
$\quad$
b. En déduire que la tangente à $C_g$ au point $M_{\alpha}$ et la droite $\left(JM_{\alpha}\right)$ sont perpendiculaires.
On pourra utiliser le fait que, dans un repère orthonormé, deux droites sont perpendiculaires lorsque le produit de leurs coefficients directeurs est égal à $-1$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points suivants : $$A(2; 0; 0), B(0; 4; 3), C(4; 4; 1), D(0; 0; 4 ) \text{ et } H(-1; 1; 2)$$

Affirmation 1 : les points $A,~C$ et $D$ définissent un plan $\mathcal{P}$ d’équation $8x-5y+4z-16=0$.
$\quad$

Affirmation 2 : les points $A,~B,~C$ et $D$ sont coplanaires.
$\quad$

Affirmation 3 : les droites $(AC)$ et $(BH)$ sont sécantes.
$\quad$

On admet que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $x-y+2z-2=0$.
Affirmation 4 : le point $H$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Centres étrangers 1 – 5 juin 2024

Centres étrangers – 5 juin 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $[0;1]$.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{0,96(0,93x+0,03)-0,93\times 0,96x}{(0,93x+0,03)^2} \\
&=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On pouvait simplifier l’expression initiale de $f(x)$ en $f(x)=\dfrac{0,32x}{0,31x+0,01}$.
$\quad$
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $(0,93x+0,03)^2>0$ et $0,028~8>0$.
Par conséquent, pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $f'(x)>0$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut déterminer :
$\begin{align*} p(D\cap T)&=p(D)\times p_D(T) \\
&=0,96x\end{align*}$
$\quad$
$\left(D,\conj{D}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(D\cap T)+p\left(\conj{D}\cap T\right) \\
&=0,96x+p\left(\conj{D}\right)\times p_{\conj{D}}(T) \\
&=0,96x+0,03(1-x) \\
&=0,93x+0,03\end{align*}$
La probabilité de l’événement $T$ est bien égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p_T(D)&=\dfrac{p(D\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\\
&=f(x)\end{align*}$
Or $x=\dfrac{50}{1~000}=0,05$
Ainsi la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est bien égal à $f(0,05) \approx 0,63$.
$\quad$
a. On a vu à la question précédente que cette valeur prédictive était égale à $f(x)$.
On veut donc résoudre l’inéquation :
$\begin{align*} f(x)\pg 0,9&\ssi \dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}\pg 0,9 \\
&\ssi 0,96x\pg 0,9(0,93x+0,03) \qquad \text{car } 0,96x+0,03>0 \text{ sur } [0;1] \\
&\ssi 0,96x\pg 0,837x+0,027\\
&\ssi 0,123x \pg 0,027 \\
&\ssi x\pg \dfrac{9}{41}\end{align*}$
Or $\dfrac{9}{41}\approx 0,22$.
C’est donc à partir d’environ $0,22$ que la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$.
$\quad$
b. On appelle $y$ la proportion des sportifs dopés parmi les plus performants. On a donc $0 \pp x\pp y\pp 1$.
La fonction $f$ est strictement croissante. Par conséquent $f(y)\pg f(x)$.
La valeur prédictive positive sera donc meilleure.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} f(x)=x &\ssi 2x\e^{-x}=x \\
&\ssi 2x\e^{-x}-x=0 \\
&\ssi x\left(2\e^{-x}-1\right)=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } 2\e^{-x}-1=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }2\e^{-x}=1 \\
&\ssi x=0 \text{ ou }\e^{-x}=\dfrac{1}{2} \\
&\ssi x=0 \text{ ou }-x=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=-\ln\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&\ssi x=0 \text{ ou }x=\ln(2) \end{align*}$
Or $0\in [0;1]$ et $\ln(2) \in [0;1]$
L’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $[0;1]$ est donc $\acco{0;\ln(2)}$.
$\quad$
b. $f$ est dérivable sur $[0;1]$ par hypothèse.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^{-x}+2x\times \left(-\e^{-x}\right) \\
&=2(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
c. $1-x>0 \ssi x<1$ et $1-x=0 \ssi x=1$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on note $P(n):~0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
Initialisation : $u_0=0,1$ et $u_1=f(0,1) \approx 0,18$.
Donc $0\pp u_0<u_1\pp 1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
Par conséquent $f(0) \pp f\left(u_n\right)<f\left(u_{n+1}\right) \pp f(1)$.
Ainsi $0\pp u_{n+1}<u_{n+2}\pp 2\e^{-1}<1$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp u_n<u_{n+1}\pp 1$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$.
D’après le théorème de la limite monotone, $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, $\left(u_n\right)$ converge et $f$ est continue sur $[0;1]$ car dérivable sur cet intervalle.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question 1.a., cette équation possède deux solutions sur $[0;1]$ qui sont $0$ et $\ln(2)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et $u_0=0,1>0$.
Ainsi $\left(u_n\right)$ converge vers $\ln(2)$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et converge vers $\ln(2)$. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n\pp \ln(2)$ c’est-à-dire $\ln(2)-u_n \pg 0$.
$\quad$
b. On peut écrire :

Python

from math import * def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u > 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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from math import *
def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u > 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

Remarque : Il y avait une erreur dans le code Python. La fonction $\ln$ doit s’écrire $\text{log}$ et suppose que la bibliothèque $\text{math}$ a été importée.
$\quad$

c. Quand on exécute ce code Python sur la calculatrice , on obtient $n=11$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Si $y$ est une fonction constante solution de $\left[E_0\right)$ alors $y’=0$.
Ainsi $0=y$.
L’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est donc la fonctio nulle.
$\quad$
L’ensemble solution de l’équation différentielle $y’=y$ est $\acco{t\in \R\mapsto K\e^t,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
la fonction $h$ est dérivable sur $\R$ par hypothèse.
Pour tout réel $x$ on a
$h'(x)=-2\sin(x)+\cos(x)$.
Or :
$\begin{align*}h(x)-\cos(x)-3\sin(x) &=2\cos(x)+\sin(x)-\cos(x)-3\sin(x)\\
&=\cos(x)-2\sin(x) \\
&=h'(x)\end{align*}$
$h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Soit $f$ une solution de $(E)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} (f-h)'(x)&=f'(x)-h'(x) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)-\left(h(x)-\cos(x)-3\sin(x)\right) \\
&=f(x)-h(x) \\
&=(f-h)(x)\end{align*}$
Par conséquent $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$.
$\quad$
Supposons maintenant que $f-h$ soit solution de $\left(E_0\right)$.
Ainsi, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=f'(x)-h'(x)+h'(x) \\
&=f(x)-h(x)+h'(x) \text{ car } f-h \text{ est solution de } \left(E_0\right) \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\text{ car } h \text{ est solution de } \left(E\right)\end{align*}$
Donc $f$ est solution de $(E)$.
$\quad$
Il y a bien équivalence entre “$f$ est solution de $(E)$” et “$f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$”.
$\quad$
D’après la question 2. il existe un réel $K$ tel que pour tout réel $x$ on ait $f(x)-h(x)=K\e^x$.
Ainsi $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$.
$\quad$
Réciproquement, soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x$, où $K$ est un réel quelconque.
Ainsi :
$\begin{align*} f'(x)&=-2\sin(x)+\cos(x)+K\e^x \\
&=2\cos(x)-\cos(x)+\sin(x)-3\sin(x)+K\e^x \\
&=f(x)-\cos(x)-3\sin(x)\end{align*}$
$f$ est bien solution de $E$.
$\quad$
L’ensemble solution de $(E)$ est $\acco{x\in \R\mapsto 2\cos(x)+\sin(x)+K\e^x,~\forall K\in \R}$.
$\quad$
On veut donc déterminer la valeur de $K$ telle que $2\cos(0)+\sin(0)+K\e^0=0$
C’est-à-dire que $2+K=0$. Ainsi $K=-2$.
$g$ est donc la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=2\cos(x)+\sin(x)-2\e^x$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx &=\Big[-2\e^x-\cos(x)+2\sin(x)\Big]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&=-2\e^{\pi/2}-0+2-(-2-1+0) \\
&=-2\e^{\pi/2}+5\end{align*}$

Ex 4

Exercice 4

D’une part $\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et d’autre part $\vect{AC}\begin{pmatrix} 3\\-1\\0\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. $\vect{AB}.\vec{n}=1+9-10=0$
$\vect{AC}.\vec{n}=3-3+0=0$
$\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est orthogonal au plan $(ABC)$ ; c’est donc un vecteur normal de celui-ci.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+3y+5z+d=0$.
Or $A(-2;0;2)$ appartient à ce plan.
Donc $-2+0+10+d=0$ soit $d=-8$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est par conséquent $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. $0+0+15-8=7\neq 0$ : $D$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de $\mathcal{D}_1$ est $\vec{n}$.
De plus en prenant $t=0$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on obtient les coordonnées du point $D$.
Ainsi $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
b. Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases} &\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3t=-1-5s\\3+5t=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3(1+3s)=-1-5s\\3+5(1+3s)=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\3+9s=-1-5s\\3+5+15s=2-6s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\14s=-4\\21s=-6\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=1+3s\\s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=\dfrac{1}{7}\\[3mm]y=\dfrac{3}{7}\\[3mm]z=\dfrac{26}{7}\\[3mm]t=\dfrac{1}{7}\\[3mm]s=-\dfrac{2}{7}\end{cases} \end{align*}$
Les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes en un point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{7};\dfrac{3}{7};\dfrac{26}{7}\right)$.
$\quad$
a. Les coordonnées du point $H$ sont solutions du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\x+3y+5z-8=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t+9t+15+25t-8=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\35t=-7\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-\dfrac{1}{5}\\[3mm]y=-\dfrac{3}{5}\\[3mm]z=2\\t=-\dfrac{1}{5}\end{cases}\end{align*}$
Le point $H$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{5};-\dfrac{3}{5};2\right)$.
$\quad$
b. On a $\vect{HD}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{5}\\[3mm]\dfrac{3}{5}\\[3mm]-1\end{pmatrix}$
La distance cherchée est donc :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{\left(\dfrac{1}{5}\right)^2+\left(\dfrac{3}{5}\right)^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{25}+\dfrac{9}{25}+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{35}{25}} \\
&=\sqrt{\dfrac{7}{5}} \\
&\approx 1,18\end{align*}$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Partie A

On définit la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$ par $$f(x)=\dfrac{0,96x}{0,93x+0,03}$$

Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;1]$, $$f'(x)=\dfrac{0,028~8}{(0,93x+0,03)^2}$$
$\quad$
Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;1]$.
$\quad$

Partie B

La lutte contre le dopage passe notamment par la réalisation de contrôles antidopage qui visent à déterminer si un sportif a fait usage de substances interdites.
Lors d’une compétition rassemblant $1~000$ sportifs, une équipe médicale teste tous les concurrents. On propose d’étudier la fiabilité de ce test.

On appelle $x$ le réel compris entre $0$ et $1$ qui désigne la proportion de sportifs dopés.

Lors de l’élaboration de ce test, on a pu déterminer que :

la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il est dopé est égale à $0,96$;
la probabilité qu’un sportif soit déclaré positif sachant qu’il n’est pas dopé est égale à $0,03$.
$\quad$

On note :

$D$ l’évènement : « le sportif est dopé » ;
$T$ l’évènement : « le test est positif ».

Recopier et compléter l’arbre de probabilité ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
Déterminer, en fonction de $x$, la probabilité qu’un sportif soit dopé et ait un test positif.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’évènement $T$ est égale à $0,93x+0,03$.
$\quad$
Pour cette question uniquement, on suppose qu’il y a $50$ sportifs dopés parmi les $1~000$ testés.
La fonction $f$ désigne la fonction définie à la partie A.
Démontrer que la probabilité qu’un sportif soit dopé sachant que son test est positif est égale à $f (0,05)$. En donner une valeur arrondie au centième.
$\quad$
On appelle valeur prédictive positive d’un test la probabilité que le sportif soit réellement dopé lorsque le résultat du test est positif.
a. Déterminer à partir de quelle valeur de x la valeur prédictive positive du test étudié sera supérieure ou égale à $0,9$. Arrondir le résultat au centième.
$\quad$
b. Un responsable de la compétition décide de ne plus tester l’ensemble des sportifs, mais de cibler les sportifs les plus performants supposés être plus fréquemment dopés.
Quelle est la conséquence de cette décision sur la valeur prédictive positive du test ? Argumenter en utilisant un résultat de la partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par
$$f(x)=2x\e^{-x}$$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0; 1]$.

a. Résoudre sur l’intervalle $[0; 1]$ l’équation $f(x) = x$.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0; 1]$, $f'(x)=2(1-x)\e^{-x}$.
$\quad$
c. Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,1$ et pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$

a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel, $0 \pp u_n < u_{n+1} \pp 1$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Démontrer que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est $\ln(2)$.
$\quad$
a. Justifier que pour tout entier naturel $n$, $\ln(2)-u_n$ est positif.
$\quad$
b. On souhaite écrire un script Python qui renvoie une valeur approchée de $\ln(2)$ par défaut à $10^{-4}$ près, ainsi que le nombre d’étapes pour y parvenir.
Recopier et compléter le script ci-dessous afin qu’il réponde au problème posé.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.1 while log(2) - u ... 0.0001: n = n + 1 u = 2 * u * exp(-u) return(u,n)

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.1
   while log(2) - u ... 0.0001:
      n = n + 1
      u = 2 * u * exp(-u)
   return(u,n)

$\quad$
c. Donner la valeur de la variable $n$ renvoyée par la fonction $\text{seuil()}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère l’équation différentielle $\left(E_0\right) :~ y’ = y$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

Démontrer que l’unique fonction constante solution de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.
$\quad$
Déterminer toutes les solutions de l’équation différentielle $\left(E_0\right)$.
$\quad$

On considère l’équation différentielle $(E) :~ y’ = y-\cos(x)-3\sin(x)$ où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2\cos(x)+\sin(x)$.
On admet qu’elle est dérivable sur $\R$.
Démontrer que la fonction $h$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.
Démontrer que : « $f$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $f-h$ est solution de $\left(E_0\right)$».
$\quad$
En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Déterminer l’unique solution $g$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.
$\quad$
Calculer : $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(-2\e^x+\sin(x)+2\cos(x)\right)\dx$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

les points $A(-2 ; 0 ; 2)$, $B(-1 ; 3 ; 0)$, $C(1 ; -1 ; 2)$ et $D(0; 0; 3)$.
la droite $\mathcal{D}_1$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=t\\y=3t\\z=3+5t\end{cases}$ avec $t \in \R$.
la droite $\mathcal{D}_2$ dont une représentation paramétrique est
$\begin{cases} x=1+3s\\y=-1-5s\\z=2-6s\end{cases}$ avec $s \in \R$.

Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x+3y+5z-8=0$.
$\quad$
c. En déduire que les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ne sont pas coplanaires.
$\quad$
a. Justifier que la droite $\mathcal{D}_1$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $D$.
$\quad$
On admet que la droite $\mathcal{D}_2$ est la hauteur du tétraèdre $ABCD$ issue de $C$.
b. Démontrer que les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
$\quad$
a. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $H$ du point $D$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Calculer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$. Arrondir le résultat au centième.

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 22 mai 2024

Amérique du Nord – 22 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R) \\
&=0,2286\times 0,0808 \\
&\approx 0,0185\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à $0,0185$.
$\quad$
$\left(N,\conj{N}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(R)&=P(N\cap R)+P\left(\conj{N}\cap R\right) \\
&=P(N)\times P_N(R)+P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}(R)\\
&=0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127 \\
&\approx 0,0283\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à $0,0283$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&\approx \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,0283} \\
&\approx 0,6527\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable est environ égale à $0,6527$.
$\quad$

Partie B

On effectue $500$ tirages aléatoires. Le probabilité que le véhicule soit neuf est environ égale à $0,65$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=325)&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325} \\
&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times 0,35^{175} \\
&\approx 0,0374\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs est environ égale à $0,0374$.
$\quad$
On a, d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X\pg 325)&=1-P(X\pp 324) \\
&\approx 0,5206\end{align*}$
La probabilité pour qu’au moins $325$ véhicules soient neuf parmi les $500$ véhicules hybrides rechargeables est environ égale à $0,5206$.
$\quad$

Partie C

On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules choisis.
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,65$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$.
Donc :
$\begin{align*} p_n&=P(Y=0)\\
&=(1-0,65)^n \\
&=0,35^n\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} q_n\pg 0,9999 &\ssi P(Y\pg 1)\pg 0,9999 \\
&\ssi 1-p_n\pg 0,9999 \\
&\ssi p_n \pp 0,0001 \\
&\ssi 0,35^n \pp 0,0001 \\
&\ssi n\ln(0,35) \pp \ln(0,0001) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi n \pp \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} \qquad \ln(0,35)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$.
La plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\pg 0,9999$ est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $F(3;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $M(1,5;1;0)$
$\quad$
a. On a $\vect{FH}\begin{pmatrix} -3\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FM}\begin{pmatrix}-1,5\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent :
$\vec{n}.\vect{FH}=-6+6+0=0$
$\vec{n}.\vect{FM}=-3+6-3=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$.
$\vec{n}$ est ainsi un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc de la forme $2x+6y+3z+d=0$.
$F(3;0;1)$ appartient à ce plan.
Donc $6+0+3+d=0 \ssi d=-9$.
Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc $2x+6y+3z-9=0$.
$\quad$
c. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-3}{3}$.
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont donc pas colinéaires et les plans $\mathcal{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
On a $D(0;1;0)$ et $G(3;1;1)$ donc $\vect{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DG)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
On recherche l’ensemble solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\2x+6y+3z-9=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\6t+6+3t-9=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\9t=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\\[3mm]t=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}2\times 3+6\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{2}-9&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\
&=0
\end{align*}$
Le point $R$ appartient à $(HMF)$.
$\quad$
$\vect{GR}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{3}{4}\\[3mm]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ or $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{6}$
$\vec{n}$ et $\vect{GR}$ ne sont pas colinéaires.
$\vect{GR}$ n’est donc pas orthogonal au plan $(HMF)$.
$R$ n’est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g'(x)=2-2x$.
Or $2-2x=0\ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi 2>2x\ssi 1>x$.
$g$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
$g(0)=0$ et $g(1)=1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_1&=g\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=g\left(\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{15}{16}\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<u_{n+1}<1$.
Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{3}{4}$.
Or $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}<1$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $0<u_n<u_{n+1}<1$.
La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ donc $g(0)<g\left(u_n\right)<g\left(u_{n+1}\right)<g(1)$.
Ainsi $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge.
$\quad$
La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} x=g(x)&\ssi x=2x-x^2 \\
&\ssi x-x^2=0 \\
&\ssi x(x-1)=0\end{align*}$
Cette équation possède exactement deux solutions $0$ et $1$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0>0$. Par conséquent $\ell =1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*}v_{n+1}&=\ln\left(1-u_{n+1}\right) \\
&=\ln\left(1-2u_n+u_n^2\right) \\
&=\ln\left(\left(1-u_n\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(1-u_n\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$.
$\quad$
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=-\ln(2)\times 2^n$.
$\quad$
Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} -\ln(2)\times 2^n=\ln\left(1-u_n\right) &\ssi 1-u_n=\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \\
&\ssi u_n=1-\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \end{align*}$
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ car $2>1$.
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}-\ln(2)\times 2^n=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95 : n = n + 1 u = 2 * u - u**2 return n

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.5
   while u < 0.95 :
      n = n + 1
      u = 2 * u - u**2
   return n

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi a\ln(x)=0 \\
&\ssi \ln(x)=0 \qquad \text{car } a>0\\
&\ssi x=1\end{align*}$
Le point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses a donc pour coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=a\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right )\\
&=a\left(\ln(x)+1-1\right) \\
&=a\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f$ est une fonction continue et positive sur $[1;+\infty[$. De plus $x_0\pg 1$.
Par conséquent l’aire du domaine grisé est :
$\begin{align*} \int_1^{x_0}f(x)\dx&=\Big[F(x)\Big]_1^{x_0} \\
&=F\left(x_0\right)-F(1) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0\right)-a\left(-1\right) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0+1\right)\end{align*}$
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par une constante.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}$
Une équation de $T$ est $y=f’\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.
$f’\left(x_0\right)=\dfrac{a}{x_0}$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)$.
Son ordonnée à l’origine est donc $\dfrac{a}{x_0}\times \left(-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)=-a+a\ln\left(x_0\right)$.
Ainsi $A$ a pour coordonnées $\left(0;-a+a\ln\left(x_0\right)\right)$.
$B$ a pour coordonnées $\left(0;f\left(x_0\right)\right)$ soit $\left(0;a\ln\left(x_0\right)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} AB&=a\ln\left(x_0\right)-\left(-a+a\ln\left(x_0\right)\right) \\
&=a\end{align*}$
$AB$ est donc constante et vaut $a$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

Les données publiées le 1$^\text{er}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86 \%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
$8,08 \%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
$1,27 \%$ des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

$N$ l’événement « le véhicule est neuf » ;
$R$ l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
$\conj{N}$ et $\conj{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
$\quad$
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
$\quad$
Déterminer la probabilité $p(X\pg 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d’occasion.
$\quad$
2. On note $q_n$ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \pg 0,9999$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vect {AB}=3\vect{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect {AI};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
$$2x+6y+3z-9=0$$
$\quad$
c. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x-15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
$\quad$
On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$.
$\quad$
Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2}\\[3mm] u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln\left(1-u_n\right)$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
$\quad$
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
$\quad$
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = ... u = ... return n

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def seuil():
  n = 0
  u = 0.5
  while u < 0.95:
     n = ...
     u = ...
  return n

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=a\ln(x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses.
$\quad$
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.
$\quad$

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d’abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la tangente $T$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l’on déterminera. Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 7 septembre 2023

Polynésie – 7 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On peut utiliser l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(E\cap C)&=P(E)\times P_E(C) \\&=0,2\times 0,5 \\
&=0,1\end{align*}$
La probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique est égale à $0,1$.
$\quad$
b. $(E,T)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(C)&=P(E\cap C)+P(T\cap C) \\
&=0,1+P(T)\times P_T(C) \\
&=0,1+0,8\times 0,375 \\
&=0,1+0,3\\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_C(E)&=\dfrac{P(C\cap E)}{P(C)} \\
&=\dfrac{0,1}{0,4} \\
&=0,25\end{align*}$
La probabilité qu’un client ayant consulté la plate-forme numérique souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est égale à $0,25$.
$\quad$
a. On répète $17$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,2$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètre $n=17$ et $p=0,2$.
$\quad$
b. On a :
$\begin{align*} P(X\pg 3)&=1-P(X\pp 2) \\
&=1-\left(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right) \\
&=1-\left(0,8^{17}+\dbinom{17}{1}\times 0,2\times 0,8^{16}+\dbinom{17}{2}\times 0,2^2\times 0,8^{15}\right) \\
&\approx 0,69\end{align*}$
La probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée est environ égale à $0,69$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x \\
&=\e^{-x}\left(x+\dfrac{1}{2}+x\e^x\right)\end{align*}$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$
$\lim\limits_{x\to -\infty} \left(x+\dfrac{1}{2}\right)=-\infty$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^{x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
$f(x)=x\e^{-x}+\dfrac{1}{2}\e^{-x}+x$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(1-x- \dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+1 \\
&=\left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x}+1\end{align*}$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}- \left(\dfrac{1}{2}-x\right)\e^{-x} \\
&=\left(-1-\dfrac{1}{2}+x\right)\e^{-x} \\
&=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $\e^{-x}>0$. Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-\dfrac{3}{2}$.
Or $x-\dfrac{3}{2}>0\ssi x>\dfrac{3}{2}$.
La fonction $f’$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{3}{2};+\infty\right[$.
$\quad$
c. $f’$ admet donc un minimum en $\dfrac{3}{2}$.
Or $f’\left(\dfrac{3}{2}\right)=-\e{-3/2}+1>0$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&\pg f’\left(\dfrac{3}{2}\right) \\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
d. La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\R$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$. Or $0\in ]-\infty;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. D’après la calculatrice une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution est $0,285$.
$\quad$

Partie B

Graphiquement, il semblerait que la courbe représentative de la fonction $h$ possède un point d’inflexion d’abscisse environ égale à $1.5$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $h\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$
D’après la partie A, $h\dsec(x)>0$ si, et seulement si, $x>\dfrac{3}{2}$.
De plus, la fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, on a $h(x)=0$ si, et seulement si, $x-\dfrac{3}{2}=0$ c’est-à-dire si $x=\dfrac{3}{2}$.
$h\dsec$ s’annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac{3}{2}$.
La courbe représentative de la fonction $h$ possède donc bien un unique point d’inflexion d’abscisse $\dfrac{3}{2}$.
$\quad$
$A$ et $B$ n’ont pas la même abscisse.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=mx+p$.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{-2,5-3,5}{-2-2} \\
&=\dfrac{3}{2} \end{align*}$
Une équation de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=\dfrac{3}{2}x+p$.
$A$ appartient à cette droite donc
$-2,5=-2\times \dfrac{3}{2}+p\ssi -2,5=-3+b\ssi p=0,5$.
Une équation de la droite $(AB)$ est donc $y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}$.Remarque : On pense à vérifier de tête, au brouillon ou à l’aide de la calculatrice que les coordonnées du point $B$ vérifient bien cette équation.
$\quad$
$h$ est dérivable sur $\R$ d’après l’énoncé.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=a\e^{-x}-(ax+b)\e^{-x}+1 \\
&=(a-ax-b)\e^{-x}+1\end{align*}$
Ainsi $h'(0)=a-b+1$ et $h(0)=b$
La droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$.
Donc $h'(0)=\dfrac{3}{2}$ et $h(0)=\dfrac{1}{2}$.
Par conséquent $b=\dfrac{1}{2}$ et $a-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\ssi a=1$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On peut étudier le signe de la fonction dérivée de $f$ pour en déduire les variations de $f$ sur $\R$.
Mais on peut également remarquer que $f$ est une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $\dfrac{3}{4}>0$.
De plus $\dfrac{-(-2)}{2\times \dfrac{3}{4}}=\dfrac{4}{3}$.
$f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};+\infty\right[$.
D’après la limite des termes de plus haut degré :
$\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{3}{4}x^2=+\infty$
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$f\left(\dfrac{4}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\pg \dfrac{4}{3}$
$f(2)=2\pp 2$
Donc, pour tout $x\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$ on a $f(x)\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)-x&=\dfrac{3}{4}x^2-3x+3 \\
&=\dfrac{3}{4}\left(x^2-4x+4\right) \\
&=\dfrac{3}{4}(x-2)^2\\
&\pg 0\end{align*}$
Ainsi, pour tout réel $x$ on a $f(x)\pg x$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
Initialisation : $u_1=f\left(u_0\right)$
Donc, d’après la question 3 on a $u_1\pg u_0$.
D’près la question 2 on a $u_1 \in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp 2$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$u_n\pp u_{n+1}\pp 2$.
La fonction $f$ est croissante sur $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(2)$ c’est-à-dire $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 2$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, on a $u_n \pp u_{n+1} \pp 2$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $2$. Elle est par conséquent convergente.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$. La fonction $f$ est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi f(x)-x=0 \\
&\ssi \dfrac{3}{4}(x-2)^2=0 \\
&\ssi x-2=0 \\
&\ssi x=2\end{align*}$
Or $2\in \left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $2$.
$\quad$
$\quad$
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while u < 100 :} \\
\qquad \text{u = 3/4 * u**2 – 2 * u + 3} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Supposons que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
D’après l’étude faite à la question 4.c on a donc $\ell =2$.
Pour tout $n\in \N$ on a : $u_n\pp f\left(u_n\right)$ c’est-à-dire $u_n \pp u_{n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg u_0 > 2$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=2$. Ce qui est absurde.
La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Question 1

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-2\\5\end{pmatrix}$
Tous les vecteurs directeurs de $(d)$ sont orthogonaux à ces deux vecteurs.
Or :
$\vec{u_4}.\vect{AB}=-12+12+0=0$ et $\vec{u_4}.\vect{BC}=4-4+0=0$
Réponse d

$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}$ ou encore $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}$.
La seule représentation paramétrique qui permet d’extraire un vecteur colinéaire à $\vec{u}$ est celle de la réponse c. (Les deuxièmes composantes sont nulles dans les cas a et b, et les deux premières composantes sont de même signe dans le cas d).
Réponse c

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}$.
Or $\vect{v_3}=-\vec{v}$.
Réponse c

$\quad$

Question 4

Prenons $t=-7$ dans la représentation paramétrique de $(d’)$.
On obtient alors : $\begin{cases} x=-6+56 \\y=-28\\z=6-35\end{cases}$ c’est-à-dire les coordonnées du point $M_1$.
Réponse a

$\quad$

Question 5

Un vecteur normal au plan d’équation $x=1$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.
Réponse a

$\quad$

Énoncé

Sauf mention contraire, toute réponse devra être justifiée.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Thème : probabilités

Une concession automobile vend des véhicules à moteur électrique et des véhicules à moteur thermique.
Certains clients, avant de se rendre sur le site de la concession, ont consulté la plateforme numérique de la concession. On a ainsi observé que :

$20 \%$ des clients sont intéressés par les véhicules à moteur électrique et $80 \%$ préfèrent s’orienter vers l’achat d’un véhicule à moteur thermique ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,5$ ;
lorsqu’un client souhaite acheter un véhicule à moteur thermique, la probabilité pour que le client ait consulté la plate-forme numérique est de $0,375$.

On considère les événements suivants :

$C$ : « un client a consulté la plate-forme numérique » ;
$E$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique » ;
$T$ : « un client souhaite acquérir un véhicule à moteur thermique ».

Les clients font des choix indépendants les uns des autres.

a. Calculer la probabilité qu’un client choisi au hasard souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique et ait consulté la plate-forme numérique.
On pourra utiliser un arbre pondéré.
$\quad$
b. Démontrer que $P(C) = 0,4$.
$\quad$
c. On suppose qu’un client a consulté la plate-forme numérique.
Calculer la probabilité que le client souhaite acheter un véhicule à moteur électrique.
$\quad$
La concession accueille quotidiennement $17$ clients en moyenne.
On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de clients souhaitant acquérir un véhicule à moteur électrique.
a. Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’au moins trois des clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d’une journée. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

Thème : fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)\e^{-x}+x$$

Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$.
$\quad$
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\R$.
a. Démontrer que , pour tout $x\in \R$, $$f\dsec(x)=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\e^{-x}$$
$\quad$
b. En déduire les variations et le minimum de la fonction $f’$ sur $\R$.
$\quad$
c. Justifier que pour tout $x\in \R$, $f'(x)>0$.
$\quad$
d. En déduire que l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\R$.
$\quad$
e. Donner une valeur arrondie à $10^{-3}$ de cette solution.
$\quad$

Partie B

On considère une fonction $h$, définie et dérivable sur $R$, ayant une expression de la forme $h(x) = (ax+b )\e^{-x}+x$, où $a$ et $b$ sont deux réels.
Dans un repère orthonormé ci-après figurent :

la courbe représentative de la fonction $h$ ;
les points $A$ et $B$ de coordonnées respectives $(-2 ; -2,5)$ et $(2 ; 3,5)$.

Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction $h$.
$\quad$
Sachant que la fonction $h$ admet sur $\R$ une dérivée seconde d’expression
$$h\dsec(x)=-\dfrac{3}{2}\e^{-x}+x\e^{-x}$$
valider ou non la conjecture précédente.
$\quad$
Déterminer une équation de la droite $(AB)$.
$\quad$
Sachant que la droite $(AB)$ est tangente à la courbe représentative de la fonction $h$ au point d’abscisse $0$, en déduire les valeurs de $a$ et $b$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Thème : suites, algorithmique

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-2x+3$$

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
En déduire, que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$, $f(x)$ appartient à l’intervalle $\left[\dfrac{4}{3};2\right]$.
$\quad$
Démontrer que pour tout $x$ réel, $x\pp f(x)$.
Pour cela, on pourra démontrer que pour tout réel $x$ : $$f(x)-x=\dfrac{3}{4}(x-2)^2$$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par un réel $u_0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=f\left(u_n\right)$$
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{3}{4}{u_n}^2-2u_n+3$.

Étude du cas : $\dfrac{4}{3} \pp u_0 \pp 2$.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
$$ u_n\pp u_{n+1} \pp 2$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
c. Prouver que la limite de la suite est égale à $2$.
$\quad$
Étude du cas particulier : $u_0=3$.
On admet que dans ce cas la suite $\left(u_n\right)$ tend vers $+\infty$.
Recopier et compléter la fonction « seuil » suivante écrite en Python, afin qu’elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieur ou égal à $100$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :} \\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{ n = 0} \\
\quad \text{while … } \hspace{2cm} \\
\qquad \text{u = …} \\
\qquad \text{n = …} \\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Étude du cas : $u_0>2$.
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que $\left(u_n\right)$ n’est pas convergente.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Thème : géométrie dans l’espace

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question traitée et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$ dans lequel on considère :

les points $A(6 ; -6 ; 6)$, $B(-6 ; 0 ; 6)$ et $C(-2 ; -2 ; 11)$ ;
la droite $(d)$ orthogonale aux deux droites sécantes $(AB)$ et $(BC)$ et passant par le point $A$ ;
la droite $(d’)$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=-6-8t \\y=4t\\z=6+5t\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$$

$\quad$

Question 1

Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur directeur de la droite $(d)$ ?

a. $\vect{u_1}\begin{pmatrix} -6\\3\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_2}\begin{pmatrix} 1\\2\\6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_3}\begin{pmatrix} 1\\2\\0,2\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_4}\begin{pmatrix} 1\\2\\0\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 2

Parmi les équations suivantes, laquelle est une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ ?

a. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=t+6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
b. $\begin{cases} x=2t-6 \\y=-6\\z=-t-6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
c. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=-t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$
d. $\begin{cases} x=2t+6 \\y=t-6\\z=6\end{cases} ~~,\text{ avec } t\in \R$

$\quad$

Question 3

Un vecteur directeur de la droite $(d’)$ est :

a. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} -6\\0\\6\end{pmatrix}$
b. $\vect{v_2}\begin{pmatrix} -14\\4\\11\end{pmatrix}$
c. $\vect{v_3}\begin{pmatrix} 8\\-4\\-5\end{pmatrix}$
d. $\vect{v_1}\begin{pmatrix} 8\\-4\\5\end{pmatrix}$

$\quad$

Question 4

Lequel des quatre points suivants appartient à la droite $(d’)$ ?

a. $M_1(50;-28;-29)$
b. $M_2(-14;-4;1)$
c. $M_3(2;-4;-1)$
d. $M_4(-3;0;3)$

$\quad$

Question 5

Le plan d’équation $x=1$ a pour vecteur normal :

a. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}$
b. $\vect{n_2}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$
c. $\vect{n_3}\begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}$
d. $\vect{n_1}\begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2023

Amérique du Sud – 27 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} p(X=2)&=p\left(\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)\cup \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)\cup \left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\right)\\
&\underset{\text{(incompatibilité)}}{=}p\left(A_1\cap A_2\cap \conj{A_3}\right)+p \left(A_1\cap\conj{ A_2}\cap A_3\right)+p\left(\conj{A_1}\cap A_2\cap A_3\right)\\
&=0,6\times 0,35\times 0,65+0,6\times 0,65\times 0,5+0,4\times 0,5\times 0,35 \\
&=0,401~5
\end{align*}$
La probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
a. $p(X=1)=1-\left(p(X=0)+p(X=2)+p(X=3)\right)=0,425$.
$\begin{array}{|c||c||c||c|}
\hline
X=x_i&0&1&2&3\\
\hline
p\left(X=x_i\right)&0,1&0,425&0,401~5&0,073~5\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b.
$\begin{align*}E(X)&=p(X=1)+2p(X=2)+3p(X=3) \\
&=0,425+0,803+0,2205\\
&=1,448~5\end{align*}$
$\quad$
c. En moyenne, sur $3$ tirs, le joueur atteint sa cible $1,448~5$ fois.
$\quad$

Partie B

a. On répète $N=15$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,073~5$.
$\quad$
b. On a alors :
$\begin{align*} p(Y=5)&=\dbinom{15}{5}0,073~5^5\times (1-0,073~5)^10 \\
&\approx 0,003\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu est environ égale à $0,003$.
$\quad$
On répète $N$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,073~5$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $N$ et $p=0,073~5$.
$\begin{align*} p(Y\pg 1)\pg 0,98&\ssi 1-p(Y=0)\pg 0,98 \\
&\ssi p(Y=0) \pp 0,02 \\
&\ssi 0,926~5^N \pp 0,02 \\
&\ssi N\ln(0,926~5) \pp \ln(0,02) \\
&\ssi N\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,926~5)}\approx 51,2$.
Il faut donc au moins $52$ joueurs pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\vect{AB}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix} -1\\-2\\3\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{-1}\neq \dfrac{-2}{-2}$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. D’une part $\vec{n}.\vect{AB}=1-2+1=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{AC}=-1-2+3=0$.
$\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est de la forme $x+y+z+d=0$.
$A(1;1;-4)$ appartient à ce plan. Donc $1+1-4+d=0\ssi d=2$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. $1+1+2+2=6\neq 0$. $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. On appelle $(d)$ la droite orthogonale au plan $(ABC)$ passant par $\Omega$.
Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc $$\begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\end{cases} \quad t\in \R$$
Les coordonnées du point $H$ sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\x+y+z+2=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\1+t+1+t+2+t+2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1+t\\y=1+t\\z=2+t\\6+3t=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=-2\\x=-1\\y=-1\\z=0\end{cases}\end{align*}$
Ainsi $H$ a pour coordonnées $(-1;-1;0)$.
$\quad$
Remarque : On peut “vérifier” le résultat obtenu en calculant la distance $\Omega H$ et vérifier que celle-ci est bien égale à la valeur fournie par l’énoncé juste après.
$\quad$
$H$ est le projeté orthogonal de $\Omega$ sur $(ABC)$.
Par conséquent, pour tout point $N$ de $(ABC)$ distinct de $H$ on a $\Omega N>\Omega H$.
Ainsi $\Omega N>2\sqrt{3}$ et le point $N$ n’appartient pas à $S$.
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vect{\Omega K}\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}=2\vec{u}$.
Ainsi $(\Omega K)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$3+3-0-6=0$ : $H$ appartient à $\mathscr{P}$.
$\begin{align*} \Omega H&=\sqrt{2^2+2^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{12} \\
&=2\sqrt{3}\end{align*}$.
$K$ appartient à $S$.
Le plan $\mathscr{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
Soit $M(x,y,z)$ appartenant à $(\Delta)$.
On a alors :
$\begin{align*}\begin{cases} x+y+z+2=0\\x+y-z-6=0\end{cases} &\ssi \begin{cases} x+y+z+2=0\\2z+8=0&L_2\leftarrow L_1-L_2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} z=-4\\x+y-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases}\end{align*}$. Une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est $ \begin{cases} x=k\\y=2-k\\z=-4\end{cases} \qquad k\in\R$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\begin{align*}u_1&=5\times 0-8\times 0+6\\
&=6\end{align*}$
$\begin{align*}u_2&=5\times 6-8\times 1+6\\
&=28\end{align*}$
$\quad$
On peut écrire :
$$\begin{array}{l} \\
\text{def suite_u(n) :} \\
\quad \text{u = 0}\\
\quad \text{for i in range(1,n+1) :}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 8 * (i – 1) + 6}\\
\quad \text{return(u)}\end{array}$$
Remarque : On écrit $i-1$ car on calcule à chaque tour de boucle la valeur de $u_i=5u_{i-1}-8(i-1)+6$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pg 2n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $2\times 0=0$ donc $u_0\pg 2\times 0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-8n+6 \\
&\pg 5\times 2n-8n+6 \\
&\pg 10n-8n+6 \\
&\pg 2n+6 \\
&\pg 2(n+3) \\
&\pg 2(n+1)\end{align*}$
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} 2n=+\infty$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
c. $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$ donc pour tout réel $M>0$ il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg M$.
Pour tout $p\in \N^*$ on peut prendre $M=10^p$.
Il existe donc un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n\pg n_0$, on a $u_n\pg 10^p$.
$\quad$
Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=5u_n-8n+6-u_n \\
&=4u_n+8n+6 \\
&\pg 4\times 2n+8n+6 \\
&\pg 6\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
a. Il semblerait que, pour tout $n\in \N$ on ait $v_n=5^n$.
$\quad$
Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2(n+1)+1 \\
&=5u_n-8n+6-2n-2+1 \\
&=5u_n-10n+5\\
&=5\left(u_n-2n+1\right) \\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=1$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=5^n$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+2n+1 \\
&=5^n+2n+1\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{X\to 0} \ln(1+X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(1+\e^{-x}\right)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-1}{1+\e^x}+\dfrac{1}{4} \\
&=\dfrac{-4+1+\e^x}{4\left(1+\e^x\right)} \\
&=\dfrac{\e^x-3}{4\left(1+\e^x\right)}\end{align*}$$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $\e^x-3$.
Or $\e^x-3>0 \ssi \e^x>3\ssi x>\ln(3)$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\ln(3)\right]$ et strictement croissante sur $\left[\ln(3);+\infty\right[$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[2;5]$ (car $\ln(3)<2$).
De plus $f(2)\approx 0,6<1$ et $f(5)\approx 1,3>1$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=1$ admet donc une unique solution dans l’intervalle $[2;5]$.
$\quad$

Partie B

a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)>0$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est donc convexe et la courbe $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes et en dessous de toutes ses cordes.
Ainsi, $\mathscr{C}_f$ est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f(-\alpha)&=\ln\left(1+\e^{\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\left(\e^{-\alpha}+1\right)\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(\e^{\alpha}\right)+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\alpha+\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)-\dfrac{1}{4}\alpha \\
&=\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \end{align*}$
$\quad$
b. $f'(0)=-\dfrac{1}{4}$ et $f(0)=\ln(2)$.
Une équation de $Delta$ est $y=-\dfrac{1}{4}x+\ln(2)$.
Ainsi $P$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$ et $Q$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
$N$ a pour coordonnées $\left(-\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha \right)$ et $M$ a pour coordonnées $\left(\alpha;\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha\right)$.
Par conséquent $\vect{PN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{3}{4}\alpha-\ln(2)-\dfrac{1}{4}\alpha \end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$.
$\vect{QN}$ a pour coordonnées :
$\begin{align*} \begin{pmatrix} 0\\\ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{4}\alpha-\ln(2)+\dfrac{1}{4}\alpha\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix} 0\\ \ln\left(1+\e^{-\alpha}\right)+\dfrac{1}{2}\alpha-\ln(2)\end{pmatrix}\end{align*}$
Ainsi $\vect{PN}=\vect{QM}$ et $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

Un jeu proposé dans une fête foraine consiste à effectuer trois tirs successivement sur une cible mouvante. On a constaté que :

Si le joueur atteint la cible lors d’un tir alors il ne l’atteint pas lors du tir suivant dans $65 \%$ des cas ;
Si le joueur n’atteint pas la cible lors d’un tir alors il l’atteint lors du tir suivant dans $50 \%$ des cas.

La probabilité qu’un joueur atteigne la cible lors de son premier tir est de $0,6$.
Pour tout événement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\conj{A}$ l’événement contraire de $A$.

On choisit au hasard un joueur à ce jeu de tirs. On considère les événements suivants :

$A_1$ : « Le joueur atteint la cible lors du 1$^{\text{er}}$ tir » ;
$A_2$ : « Le joueur atteint la cible lors du 2$\ieme$ tir » ;
$A_3$ : « Le joueur atteint la cible lors du 3$\ieme$ tir ».

Recopier et compléter, avec les probabilités correspondantes sur chaque branche, l’arbre pondéré ci-dessous modélisant la situation.
$\quad$

$\quad$

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur atteint sa cible au cours des trois tirs.

Montrer que la probabilité que le joueur atteigne exactement deux fois la cible au cours des trois tirs est égale à $0,401~5$.
$\quad$
L’objectif de cette question est de calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$, notée $E(X)$.
a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
X = x_i& 0& 1& 2& 3\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& ~~0,1~~&\phantom{0,0735}&\phantom{0,0735}& 0,0735\\
\hline
\end{array}$$
b. Calculer $E(X)$.
$\quad$
c. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B

On considère $N$, un entier naturel supérieur ou égal à $1$.
Un groupe de $N$ personnes se présente à ce stand pour jouer à ce jeu dans des conditions identiques et indépendantes. Un joueur est déclaré gagnant lorsqu’il atteint trois fois la cible.
On note $Y$ la variable aléatoire qui compte parmi les $N$ personnes le nombre de joueurs déclarés gagnants.

Dans cette question, $N = 15$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
$\quad$
b. Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’exactement $5$ joueurs soient gagnants à ce jeu.
$\quad$
Par la méthode de votre choix, que vous expliciterez, déterminer le nombre minimum de personnes qui doivent se présenter à ce stand pour que la probabilité qu’il y ait au moins un joueur gagnant soit supérieure ou égale à $0,98$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Dans un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points :
$$A(1 ; 1 ; -4),~ B(2 ; -1 ; -3),~ C(0 ;-1 ;-1) \text{ et } \Omega(1 ; 1 ; 2)$$

Démontrer que les points $A$, $B$, et $C$ définissent un plan.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x+y+z+2=0$.
$\quad$
a. Justifier que le point $\Omega$ n’appartient pas au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $\Omega$ sur le plan $(ABC)$.$\quad$

On admet que $\Omega H = 2\sqrt{3}$. On définit la sphère $S$ de centre $\Omega$ et de rayon $2\sqrt{3}$ comme l’ensemble de tous les points $M$ de l’espace tels que $\Omega M = 2\sqrt{3}$.

Justifier, sans calcul, que tout point $N$ du plan $(ABC)$, distinct de $H$, n’appartient pas à la sphère $S$.
$\quad$

On dit qu’un plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ en un point $K$ lorsque les deux conditions suivantes sont vérifiées :

$K\in \mathcal{P}\cap S$
$(\Omega K) \perp \mathcal{P}$

Soit le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+y-z-6=0$ et le point $K$ de coordonnées $K(3 ; 3 ; 0)$. Démontrer que le plan $\mathcal{P}$ est tangent à la sphère $S$ au point $K$.
$\quad$
On admet que les plans $(ABC)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants selon une droite $(\Delta)$.
Déterminer une équation paramétrique de la droite $(\Delta)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0$ et, pour tout $n\in \N,~u_{n+1}=5u_n-8n+6$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
Recopier et compléter la fonction $\text{suite_u}$ d’argument $\text{n}$ ci-dessous, écrite en langage Python, afin qu’elle retourne la valeur de $u_n$.
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(n):}\\
\quad \text{u = …}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{u = …}\\
\quad \text{return u}\end{array}$$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg 2n$.
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
c. Soit $p\in \N^*$. Pourquoi peut-on affirmer qu’il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout entier naturel $n$ vérifiant, $n\pg n_0$, $u_n\pg 10^p$ ?
$\quad$
Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout $n\in \N$, par $v_n=u_n-2n+1$.
a. En dessous de la fonction $\text{suite_u}$ précédente, on a écrit la fonction $\text{suite_v}$ ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_v(n):}\\
\quad \text{L = [ ]}\\
\quad \text{for i in range(1,n + 1):}\\
\qquad \text{L.append(suite_u(i) – 2 * i + 1)}\\
\quad \text{return L}\end{array}$$
$\quad$
La commande « $\text {L.append}$ » permet de rajouter, en dernière position, un élément dans la liste $\text{L}$.
Lorsqu’on saisit $\text{suite_v(5)}$ dans la console, on obtient l’affichage suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> suite_v(5)}\\
\text{[1, 5, 25, 125, 625, 3125]}\end{array}$$
Conjecturer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
Démontrer cette conjecture.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, la forme explicite de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(1+\e^{-x}\right)+\dfrac{1}{4}x$.
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$ du plan.

Partie A

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{\e^x-3}{4\left(\e^x+1\right)}$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
c. Montrer que l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[2 ; 5]$.
$\quad$

Partie B

On admettra que la fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ et pour tout réel $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
On note $\Delta$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d’abscisse $0$.
Dans le graphique ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathcal{C}_f$, la tangente $\Delta$ et le quadrilatère $MNPQ$ tel que $M$ et $N$ sont les deux points de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$, et $Q$ et $P$ sont les deux points de la droite $\Delta$ d’abscisses respectives $\alpha$ et $-\alpha$.

a. Justifier le signe de $f\dsec(x)$ pour tout $x\in \R$.
$\quad$
b. En déduire que la portion de la courbe $\mathcal{C}_f$, sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$, est inscrite dans le quadrilatère $MNPQ$.
$\quad$
a. Montrer que $f(-\alpha)=\ln\left(\e^{-\alpha}+1\right)+\dfrac{3}{4}\alpha$.
$\quad$
b. Démontrer que le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x-4x\ln(x)-2x \\
&=-4x\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
$\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
$f(\e)=1-\e^2<0$
Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
$\quad$
L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
$f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
$\quad$
Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
L’intervalle obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
Il ne reste donc que la proposition B.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
$g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
D’après la partie A :
$\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
$\quad$
On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
&\approx 1,6\%\end{align*}$$
$\quad$
b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
&\approx 0,027\% \\
&<0,1\%\end{align*}$$
$\quad$
a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
$\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
&\approx 0,236\end{align*}$
La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
$\quad$
b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
&=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
&=0,315~07\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
&=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
&\approx 0,467\end{align*}$
La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
$\quad$
b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
$\quad$
a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
$\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
$\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
On note $H(2,4;-3,2;0)$.
On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
$\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
&=\sqrt{102,4} \\
&=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
&=\sqrt{416}\\
&=4\sqrt{26}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
&=\sqrt{260}\\
&=2\sqrt{65}\end{align*}$
$\quad$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=52\sqrt{10} \end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre est alors égal à :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
&=\dfrac{1~664}{3} \\
&\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
$f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
$u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
&\ssi x-2x^2=0 \\
&\ssi x(1-2x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Partie B

a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
$\quad$
b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
$\quad$
a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
$\begin{align*}
v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
&=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
&=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
&=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
$$\begin{array}{l}
\text{from lycee import *}\\
\\
\text{def f(x) :}\\
\quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
\\
\text{def dichotomie(p) :} \\
\quad \text{a = 1}\\
\quad \text{b = 2.7}\\
\quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
\qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
\quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
\qquad \text{else :} \\
\quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
\quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
$\text{>>> dichotomie(1)}$
$\quad$
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
$\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
$\quad$
b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
$\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
$\quad$
b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
$\quad$
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
$\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
$\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
$\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
$\quad$
On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
$\quad$
c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
$\quad$
b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
$\quad$
Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
$$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

Dans cette question $b=0$.
a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. Déterminer la limite de $P_n$.
$\quad$
Dans cette question $b = 0,2$.
a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
$\quad$
b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
$\quad$

$\quad$