Bac – Métropole – jour 2 – septembre 2024

Métropole – 12 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On a $I(0,5;0;0)$ et $J(1;1;0,5)$.
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1+0,5}{2};\dfrac{1+0}{2};\dfrac{0,5+0}{2}\right)$ soit $(0,75;0,5;0,25)$.
$\quad$
b. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix}1-0,5\\1-0\\0,5-0\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix}$ et $\vect{NF}\begin{pmatrix}1-0,75\\0-0,5\\1-0,25\end{pmatrix}$ soit $\vect{IJ}\begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$.
$\quad$
c. Par conséquent $\vect{IJ}.\vect{NF}=0,125-0,5+0,375=0$.
$\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont bien orthogonaux.
$\quad$
d.
$\begin{align*} IJ&=\sqrt{0,5^2+1^2+0,5^2} \\
&=\sqrt{0,25+1+0,25} \\
&=\sqrt{1,5}\end{align*}$
Par conséquent l’aire du triangle $FIJ$ est égale à
$\begin{align*} A_{FIJ}&=\dfrac{IJ\times NF}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{1,5}\times \dfrac{\sqrt{14}}{4}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{1,5\times 14}}{8} \\
&=\dfrac{\sqrt{21}}{8}\end{align*}$
$\quad$
a. Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont deux vecteurs non colinéaires (car orthogonaux) du plan $(FIJ)$ car $N$ est le milieu de $[IJ]$.
Or $\vec{u}.\vect{IJ}=2-1-1=0$ et $\vec{u}.\vect{NF}=2-0,5-1,5=0$
Ainsi $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non orthogonaux du plan $(FIJ)$.
C’est donc un vecteur normal à ce plan.
$\quad$
b. Une équation cartésienne de ce plan est par conséquent de la forme $4x-y-2z+d=0$.
Or $I(0,5;0;0)$ appartient à ce plan.
Ainsi $2-0-0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est donc $4x-y-2z-2=0$.
$\quad$
c. $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $d$ et $H$ a pour coordonnées $(0;1;1)$.
Par conséquent une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases}$ pour tout $t\in \R$.
$\quad$
d. On appelle $H’$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(FIJ)$.
Ses coordonnées sont donc solution du système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases}4x-y-2z-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} &\ssi \begin{cases} 16t-1+t-2+4t-2=0\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 21t=5\\x=4t\\y=1-t\\z=1-2t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=\dfrac{5}{21}\\[3mm]x=\dfrac{20}{21}\\[3mm]y=\dfrac{16}{21}\\[3mm]z=\dfrac{11}{21}\end{cases}\end{align*}$
$H’$ a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{20}{21};\dfrac{16}{21};\dfrac{11}{21}\right)$.
Ainsi $\vect{HH’}\begin{pmatrix}\dfrac{20}{21}\\[3mm]-\dfrac{5}{21}\\[3mm]-\dfrac{10}{21}\end{pmatrix}$
Par conséquent la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à :
$\begin{align*} HH’&=\sqrt{\left(\dfrac{20}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{21}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{21}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{400}{21^2}+\dfrac{25}{21^2}+\dfrac{100}{21^2}}\\
&=\sqrt{\dfrac{525}{21^2}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{21}}{21}\end{align*}$
$\quad$
e. Le volume du tétraèdre $HFIJ$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{A_{FIJ}\times HH’}{3}\\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}{8}\times \dfrac{5\sqrt{21}}{21}}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{5\times 21}{8\times 21}}{3} \\
&=\dfrac{5}{24} ~\text{u.v}\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n=2}$

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(D_1\cap D_2\right)&=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4} \\
&=\dfrac{1}{4}\end{align*}$
La probabilité que le robot de déplace deux fois à droite est égale à $\dfrac{1}{4}$.
$\quad$
$\left(D_1,\conj{D_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_2&=P\left(D_2\right) \\
&=P\left(D_1\cap D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\right) \\
&=P\left(D_1\right)P_{D_1}\left(D_2\right)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right) \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{3} \\
&=\dfrac{7}{12}\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{D_2}\left(D_1\right)&=\dfrac{P\left(D_1\cap D_2\right)}{P\left(D_2\right)} \\
&=\dfrac{~\dfrac{1}{4}~}{\dfrac{7}{12}} \\
&=\dfrac{3}{7}\end{align*}$.
La probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement sachant qu’il s’est déplacé à droite lors du deuxième déplacement est égale à $\dfrac{3}{7}$.
$\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{p_n}$

Soit $n$ un entier naturel non nul.
$\left(D_n,\conj{D_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=P\left(D_{n+1}\right) \\
&=P\left(D_n\cap D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\cap D_{n+1}\right) \\
&=P\left(D_n\right)P_{D_n}\left(D_{n+1}\right)+P\left(\conj{D_n}\right)P_{\conj{D_n}}\left(D_{n+1}\right) \\
&=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\left(1-p_n\right) \\
&=\dfrac{3}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}p_n \\
&=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel non nul $n$ on pose $R(n):~p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$
Initialisation : $p_1=\dfrac{1}{3}$ et $p_2=\dfrac{7}{12}$
Or $p_1=\dfrac{4}{12}<p_2$ et $\dfrac{2}{3}=\dfrac{8}{12}>p_2$.
Donc $p_1\pp p_2<\dfrac{2}{3}$ et $R(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $R(n)$ est vraie.
$\begin{align*} p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}&\ssi \dfrac{1}{4}p_n\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}<\dfrac{1}{6} \\
&\ssi \dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}\pp \dfrac{1}{4}p_{n+1}+\dfrac{1}{2}<\dfrac{4}{6} \\
&\ssi p_{n+1}\pp p_{n+2}<\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Et $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ non nul on a $p_n\pp p_{n+1}<\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b. La suite $\left(p_n\right)$ est donc croissante et majorée par $\dfrac{2}{3}$. Par conséquent, d’après le théorème de la limite monotone, elle converge.
$\quad$
a. Soit $n$ un entier naturel non nul.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{3} \\
&=\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3} \\
&=\dfrac{1}{4}p_n-\dfrac{1}{6} \\
&=\dfrac{1}{4}\left(p_n-\dfrac{2}{3}\right)\\
&=\dfrac{1}{4}u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
Ainsi $p_n=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
$-1<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=\dfrac{2}{3}$.
Sur le long terme, le robot se déplace à droite $2$ fois sur $3$.
$\quad$

Partie C

On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de déplacement vers la droite.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{3}{4}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{3}{4}$.
Le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements si, et seulement si, il s’est déplacé $5$ fois vers la droite et donc $5$ fois vers la gauche.

$\begin{align*} P(X=5)&=\dbinom{10}{5} \left(\dfrac{3}{4}\right)^5\left(\dfrac{1}{4}\right)^5 \\
&\approx 0,058\end{align*}$

La probabilité que le robot revienne à son point de départ au bout des dix déplacements est environ égale à $0,058$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On a :
$\begin{align*} f\left(\ln(5)\right)&=\dfrac{6}{1+5\e^{-\ln(5)}} \\
&=\dfrac{6}{1+\dfrac{5}{5}}\\
&=\dfrac{6}{2}\\
&=3\end{align*}$
Le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5);3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=\dfrac{6}{1}=6$.
La droite d’équation $y=6$ est donc une asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=-\dfrac{6\times \left(-5\e^{-x}\right)}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
&=\dfrac{30\e^{-x}}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive.
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f'(x)>0$.
De plus $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$. Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
On obtient donc le tableau de variation suivant :
$\quad$

$\quad$
a. La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $5\e^{-x}-1$.
Or $5\e^{-x}-1=0\ssi 5\e^{-x}=1\ssi \e{-x}=\dfrac{1}{5} \ssi -x=\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x=\ln(5)$
et $5\e^{-x}-1>0\ssi 5\e^{-x}>1\ssi \e{-x}>\dfrac{1}{5} \ssi -x>\ln\left(\dfrac{1}{5}\right) \ssi x<\ln(5)$.
La fonction $f$ est donc convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$ et concave sur $\left[\ln(5);+\infty\right[$.
La fonction $f\dsec$ s’annule en changeant de signe en $\ln(5)$. Par conséquent le point $A$ est le point d’inflexion de la courbe $C_f$.
$\quad$
b. $f'(0)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6}$ et $f(0)=\dfrac{6}{6}=1$.
Une équation de la tangente $d$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $0$ est donc $y=\dfrac{5}{6}x+1$.
La fonction $f$ est convexe sur $\left]-\infty;\ln(5)\right]$. La courbe est donc au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle, en particulier $d$.
Par conséquent, pour tout $x\in \left]-\infty;\ln(5)\right]$, on a $f(x)\pg \dfrac{5}{6}x+1$.
$\quad$
a. $F_k$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} F_k'(x)&=\dfrac{k\e^x}{\e^x+5} \\
&=\dfrac{k}{1+5\e^{-x}}\end{align*}$
$F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, pour tout réel $x$ on a $F_k'(x)=f(x)$.
Donc, par identification, $F_k$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si, et seulement si, $k=6$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et positive sur $\R$.
Par conséquent l’aire du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x=\ln(5)$ est égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\int_0^{\ln(5)} f(x)\dx \\
&=F_{6}\left(\ln(5)\right)-F_{6}(0) \\
&=6\ln\left(\e^{\ln(5)}+5\right)-6\ln(1+5) \\
&=6\ln(10)-6\ln(6) \\
&=6\ln\left(\dfrac{10}{6}\right) \\
&=6\ln\left(\dfrac{5}{3}\right) \end{align*}$
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)-\dfrac{1}{6}\left(f'(x)\right)^2 &=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}\right)^2 \\
&=\dfrac{6}{1+5\e^{-x}}-\dfrac{6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
&=\dfrac{6+30\e^{-x}-6}{\left(1+5\e^{-x}\right)^2} \\
&=f'(x)\end{align*}$
$f$ est donc une solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
L’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ est de la forme $y’=ay+b$ avec $a=-1$ et $b=\dfrac{1}{6}$.
L’ensemble des fonctions solution de cette équation différentielle est donc $\acco{x\mapsto C\e^{-x}-\dfrac{1}{6},~ \text{pour tout }C\in \R}$.
$\quad$
a. $g$ ne s’annule pas sur $R$ donc $h$ ne s’annule pas non plus sur $\R$. Par hypothèses, $g$ et $h$ sont dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\dfrac{1}{h(x)}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{-h'(x)}{h^2(x)} \\
&=\dfrac{h(x)-\dfrac{1}{6}}{h^2(x)} \qquad h\text{~est solution de } y’=y+\dfrac{1}{6} \\
&=\dfrac{1}{h(x)}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{h^2(x)} \\
&=g(x)-\dfrac{1}{6}g^2(x)\end{align*}$
Ainsi, si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’=-y+\dfrac{1}{6}$ alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’=y-\dfrac{1}{6}y^2$.
$\quad$
b. Soit $m$ un réel positif.
La fonction $g_m$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a alors $g’_m(x)=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2}$.
De plus
$\begin{align*} g_m(x)-\dfrac{1}{6}g_m^2(x)&=\dfrac{6}{1+6m\e^{-x}}-\dfrac{1}{6}\times \dfrac{36}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
&=\dfrac{6+36m\e^{-x}-6}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
&=\dfrac{36m\e^{-x}}{\left(1+6m\e^{-x}\right)^2} \\
&=g’_m(x)\end{align*}$
Pour tout réel $m$ positif, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Remarque : On pouvait également choisir un réel $C$ et utiliser l’ensemble solution de la question B.2. pour obtenir une fonction $h$ et en déduire l’expression de $g$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

L’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie le plus petit entier naturel tel que $u_n\pg 100$ où $\left(u_n\right)$ est la suite définie par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=1,05u_n+3$.
Voici les $19$ valeurs approchées des premiers termes de la suites :
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline0&7\\
\hline
1&10.35\\
\hline
2&13.8675\\
\hline
3&17.560875\\
\hline
4&21.43891875\\
\hline
5&25.5108646875\\
\hline
6&29.786407921875\\
\hline
7&34.275728317968756\\
\hline
8&38.989514733867196\\
\hline
9&43.938990470560555\\
\hline
10&49.13593999408858\\
\hline
11&54.59273699379301\\
\hline
12&60.322373843482666\\
\hline
13&66.3384925356568\\
\hline14&72.65541716243965\\
\hline
15&79.28818802056163\\
\hline
16&86.25259742158971\\
\hline
17&93.5652272926692\\
\hline18&101.24348865730268\\
\hline\end{array}$$
$18$ est donc la valeur du plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pg 100$.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
$S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\dfrac{1}{5^n}$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $S_n=\dfrac{1-\dfrac{1}{5^{n+1}}}{1-\dfrac{1}{5}}$
Or $-1<\dfrac{1}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{5^{n+1}}=0$.
Par conséquent $\left(S_n\right)$ converge vers :
$\begin{align*} \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{5}}&=\dfrac{1}{~\dfrac{4}{5}~} \\
&=\dfrac{5}{4}\end{align*}$
Affirmation 2 vraie
$\quad$
Il existe $\dbinom{30}{2}$ binômes de délégués différents.
Or
$\begin{align*} \dbinom{30}{2}&=\dfrac{30\times 29}{2} \\
&=435\\
&\neq 870\end{align*}$
Affirmation 3 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $[1;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\left(\ln(x)\right)^2+2x\times \dfrac{\ln(x)}{x} \\
&=\left(\ln(x)\right)^2+2\ln(x) \\
&=\ln(x)\left(\ln(x)+2\right)
\end{align*}$
Pour tout réel $x\pg 1$ on a $\ln(x)\pg 0$ (et ne s’annule qu’en $1$) et $\ln(x)+2\pg 2$.
La fonction $f$ est donc continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
Or $f(1)=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ car $\lim\limits_{x\to +\infty} x=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \left(\ln(x)\right)^2=+\infty$
De plus $1\in [0;+\infty[$.
D’après le théorème de la bijection ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
Affirmation 4 vraie
$\quad$
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $\R$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x&\phantom{123}&u'(x)=1\\
v(x)=-\e^{-x}&&v'(x)=\e^{-x}\end{array}$$
Par conséquent
$\begin{align*} \int_0^1 x\e^{-x}\dx&=\Big[-x\e^{-x}\Big]_0^1-\int_0^1-\e^{-x}\dx \\
&=-\e^{-1}+\int_0^1\e^{-x}\dx \\
&=-\e^{-1}+\Big[-\e^{-x}\Big]_0^1 \\
&=-\e^{-1}-\e^{-1}+1\\
&=-2\e^{-1}+1 \\
&=\e^{-1}\left(-2+\e\right) \\
&=\dfrac{\e-2}{\e}\end{align*}$
Affirmation 5 vraie
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1 (5 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.
Les points $I$ et $J$ sont les milieux respectifs des segments $[AB]$ et $[CG]$.
Le point $N$ est le milieu du segment $[IJ]$.

L’objectif de cet exercice est de calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$.

a. Donner les coordonnées des points $I$ et $J$. En déduire les coordonnées de $N$.
$\quad$
b. Justifier que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ ont pour coordonnées respectives :$$\vect{IJ} \begin{pmatrix}0,5\\1\\0,5\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad \vect{NF} \begin{pmatrix}0,25\\-0,5\\0,75\end{pmatrix}$$
$\quad$
c. Démontrer que les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{NF}$ sont orthogonaux.
$\quad$
On admet que $NF = \dfrac{\sqrt{14}}{4}$.
$\quad$
d. En déduire que l’aire du triangle $FIJ$ est égale à $\dfrac{\sqrt{21}}{8}$.
$\quad$
On considère le vecteur $\vec{u} \begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
a. Démontrer que le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(FIJ)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(FIJ)$ est : $4x-y-2z-2 = 0$.
$\quad$
c. On note $d$ la droite orthogonale au plan $(FIJ)$ passant par le point $H$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
$\quad$
d. Montrer que la distance du point $H$ au plan $(FIJ)$ est égale à $\dfrac{5\sqrt{21}}{21}$.
$\quad$
e. On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule $V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base.
Calculer le volume du tétraèdre $HFIJ$. On donnera la réponse sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

La partie $C$ est indépendante des parties A et B.

Un robot est positionné sur un axe horizontal et se déplace plusieurs fois d’un mètre sur cet axe, aléatoirement vers la droite ou vers la gauche.
Lors du premier déplacement, la probabilité que le robot se déplace à droite est égale à $\dfrac{1}{3}$.
S’il se déplace à droite, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à droite lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{3}{4}$.
S’il se déplace à gauche, la probabilité que le robot se déplace de nouveau à gauche lors du déplacement suivant est égale à $\dfrac{1}{2}$.

Pour tout entier naturel $n \pg 1$, on note :

$D_n$ l’événement : « le robot se déplace à droite lors du $n$-ième déplacement »;
$\conj{D_n}$ l’évènement contraire de $D_n$;
$p_n$ la probabilité de l’événement $D_n$.

On a donc $p_1 = \dfrac{1}{3}$.

Partie A : étude du cas particulier où $\boldsymbol{n = 2}$.

Dans cette partie, le robot réalise deux déplacements successifs.

Reproduire et compléter l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
Déterminer la probabilité que le robot se déplace deux fois à droite.
$\quad$
Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{12}$.
$\quad$
Le robot s’est déplacé à gauche lors du deuxième déplacement. Quelle est la probabilité qu’il se soit déplacé à droite lors du premier déplacement ?
$\quad$

Partie B : étude de la suite $\boldsymbol{(p_n)}$

On souhaite estimer le déplacement du robot au bout d’un nombre important d’étapes.

Démontrer que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a :
$$p_{n+1} = \dfrac{1}{4} p_n + \dfrac{1}{2}$$
On pourra s’aider d’un arbre.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \pg 1$, on a : $p_n \pp p_{n+1} < \dfrac{2}{3}$.
$\quad$
b. La suite $(p_n)$ est-elle convergente ? Justifier.
$\quad$
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n \pg 1$, par $u_n = p_n-\dfrac{2}{3}$.
a. Montrer que la suite $(u_n)$ est géométrique et préciser son premier terme et sa raison.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la suite $(p_n)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie C

Dans cette partie, on considère un autre robot qui réalise dix déplacements d’un mètre indépendants les uns des autres, chaque déplacement vers la droite ayant une probabilité fixe égale à $\dfrac{3}{4}$.
Quelle est la probabilité qu’il revienne à son point de départ au bout des dix déplacements ? On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x) = \dfrac{6}{1 + 5\e^{-x}}$$
On a représenté sur le schéma ci-dessous la courbe représentative $C_f$ de la fonction $f$.

Montrer que le point $A$ de coordonnées $\left(\ln(5) ; 3\right)$ appartient à la courbe $C_f$.
$\quad$
Montrer que la droite d’équation $y = 6$ est une asymptote à la courbe $C_f$.
$\quad$
a. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$f'(x) = \dfrac{30\e^{-x}}{(1 + 5\e^{-x})^2}$$
$\quad$
b. En déduire le tableau de variation complet de $f$ sur $\R$.
$\quad$
On admet que :
$\bullet$ $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, on note $f”$ sa dérivée seconde ;
$\bullet$ pour tout réel $x$,$$f\dsec(x) = \dfrac{30\e^{-x}(5\e^{-x} – 1)}{(1 + 5\e^{-x})^3}$$
a. Étudier la convexité de $f$ sur $\R$. On montrera en particulier que la courbe $C_f$ admet un point d’inflexion.
$\quad$
b. Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à $\left]-\infty ; \ln(5)\right]$, on a : $f(x) \pg \dfrac{5}{6}x + 1$.
$\quad$
On considère une fonction $F_k$ définie sur $\R$ par $F_k(x) = k \ln (\e^x + 5)$, où $k$ est une constante réelle.
a. Déterminer la valeur du réel $k$ de sorte que $F_k$ soit une primitive de $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. En déduire que l’aire, en unité d’aire, du domaine délimité par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation $x = \ln(5)$ est égale à $6 \ln \left(\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$

Partie B

L’objectif de cette partie est d’étudier l’équation différentielle suivante : $$(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$$
On rappelle qu’une solution de l’équation $(E)$ est une fonction $u$ définie et dérivable sur $\R$ telle que pour tout $x$ réel, on a : $$u'(x) = u(x)-\dfrac{1}{6}u(x)^2$$

Montrer que la fonction $f$ définie dans la partie A est une solution de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Résoudre l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$.
$\quad$
On désigne par $g$ une fonction dérivable sur $\R$ qui ne s’annule pas. On note $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = \dfrac{1}{g(x)}$. On admet que $h$ est dérivable sur $\R$. On note $g’$ et $h’$ les fonctions dérivées de $g$ et $h$.
a. Montrer que si $h$ est solution de l’équation différentielle $y’ = -y + \dfrac{1}{6}$, alors $g$ est solution de l’équation différentielle $y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
$\quad$
b. Pour tout réel positif $m$, on considère les fonctions $g_m$ définie sur $\R$ par : $$g_m(x) = \dfrac{6}{1 + 6m\e^{-x}}$$
Montrer que pour tout réel positif $m$, la fonction $g_m$ est solution de l’équation différentielle $(E) : y’ = y-\dfrac{1}{6}y^2$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère le script écrit en langage Python ci-dessous.

Python

def seuil(S): n = 0 u = 7 while u < S: n = n + 1 u = 1.05 * u + 3 return (n)

1
2
3
4
5
6
7

def seuil(S):
    n = 0
    u = 7
    while u < S:
        n = n + 1
        u = 1.05 * u + 3
    return (n)

Affirmation 1 : l’instruction $\texttt{seuil(100)}$ renvoie la valeur $\texttt{18}$.
$\quad$
Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $S_n = 1 + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \cdots + \dfrac{1}{5^n}$.
Affirmation 2 : la suite $(S_n)$ converge vers $\dfrac{5}{4}$.
$\quad$
Affirmation 3 : Dans une classe composée de $30$ élèves, on peut former $870$ binômes de délégués différents.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $[1 ; +\infty[$ par $f(x) = x\left(\ln (x)\right)^2$.
Affirmation 4 : l’équation $f(x) = 1$ admet une solution unique dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
$\quad$
Affirmation 5 : $$\ds \int_{0}^{1} x\e^{-x} dx = \dfrac{\e-2}{\e}$$
$\quad$

$\quad$

Bac – Amérique du Sud – novembre 2024 – jour 1

Amérique du Sud – 21 novembre 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

Soit $a$ un réel tel que la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ soit solution de l’équation différentielle $(E)$.
Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;+\infty[$ on a donc
$g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)=20\e^{-x/4}$
Or, pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=a\e^{-x/4}-\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4} \end{align*}$
Par conséquent $a\e^{-x/4}-\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4} +\dfrac{a}{4}x\e^{-x/4}=20\e^{-x/4}$
soit, après simplification, $a\e^{-x/4}=20\e^{-x/4}\ssi a=20$ car $\e^{-x/4}$ ne s’annule jamais.
$\quad$
$(E’)\ssi y’=-\dfrac{1}{4}y$.
Ainsi les solutions de $(E’)$ sont les fonctions $f$ définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=K\e^{-x/4}$ pour tout $K\in \R$.
$\quad$
Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$.
On a donc, pour tout réel $x\in [0;+\infty[$
$f'(x)+\dfrac{1}{4}f(x)=20\e^{-x/4}$ et $g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)=20\e^{-x/4}$
Ainsi, par différence, $f'(x)-g'(x)+\dfrac{1}{4}\left(f(x)-g(x)\right)=0$.
Donc $f-g$ est solution de $(E’)$.
Donc pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)-g(x)=K\e^{-x/4}$ soit $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$ où $K$ est un réel.
$\quad$
Réciproquement, soient $K$ un réel et $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*}g'(x)+\dfrac{1}{4}g(x)&=20\e^{-x/4}-\dfrac{1}{4}(20x+K)\e^{-x/4}+\dfrac{1}{4}(20x+K)\e^{-x/4} \\
&=20\e^{-x/4}\end{align*}$
$\quad$
L’ensemble solution de $(E)$ est l’ensemble des fonctions $f$ définies sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$ pour tout réel $K$.
$\quad$
$f$ est solution de $(E)$. Il existe donc un réel $K$ tel que, pour tout réel $x\pg 0$ on ait $f(x)=(20x+K)\e^{-x/4}$.
Ainsi $f(0)=8\ssi K=8$.
Par conséquent, pour tout réel $x\pg 0$ on a $f(x)=(20x+8)\e^{-x/4}$.
$\quad$

Partie B

a. D’après l’énoncé la fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a donc
$\begin{align*} f'(x)&=20\e^{-x/4}-\dfrac{1}{4}(20x+8)\e^{-x/4} \\
&=(20-5x-2)\e^{-x/4} \\
&=(18-5x)\e^{-x/4}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $18-5x$.
Or $18-5x=0\ssi x=\dfrac{18}{5}$ et $18-5x>0\ssi -5x>-18\ssi x<\dfrac{18}{5}$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f\left(\dfrac{18}{5}\right)&=\left(20\times \dfrac{18}{5}+8\right)\e^{-\frac{1}{4}\times \dfrac{18}{5}} \\
&=(72+8)\e^{-9/10} \\
&=80\e^{-9/10}\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{18}{5};+\infty\right[$ et donc sur $[14;15]$ car $14>\dfrac{18}{5}$.
Or $f(14)\approx 8,7$ et $f(15)\approx 7,2$
Par conséquent $8\in \left[f(15);f(14)\right]$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=8$ admet une unique solution sur l’intervalle $[14;15]$.
$\quad$
b. On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a&14&14&14,25&14,375&14,4375\\
\hline
b&15&14,5&14,5&14,5&14,5\\
\hline
b-a&1&0,5&0,25&0,125&0,0625\\
\hline
m&14,5&14,25&14,375&14,4375&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Condition}\\f(m)>8\end{array}&\text{FAUX}&\text{VRAIE}&\text{VRAIE}&\text{VRAIE}&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
c. La fonction $\text{solution_equation}$ renvoie un encadrement d’amplitude au plus égale à $0,1$ de $\alpha$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

a. Si on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ alors l’urne $U_2$ contient $1$ boule noire et $4$ boules blanches.
Ainsi la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ est égale à $\dfrac{1}{5}=0,2$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre de probabilités suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P\left(N_1\cap N_2\right)&=P\left(N_1\right)\times P_{N_1}\left(N_2\right) \\
&=0,4\times 0,4 \\
&=0,16\end{align*}$
La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_1$ et une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,16$.
$\quad$
$\left(N_1,\conj{N_1}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(N_2\right)&=P\left(N_1\cap N_2\right)+P\left(\conj{N_1}\cap N_2\right) \\
&=0,16+P\left(\conj{N_1}\right)\times P_{\conj{N_1}}\left(N_2\right) \\
&=0,16+0,6\times 0,2 \\
&=0,28\end{align*}$
La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ est égale à $0,28$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_{N_2}\left(\conj{N_1}\right)&=\dfrac{P\left(N_2\cap \conj{N_1}\right)}{P\left(N_2\right)} \\
&=\dfrac{0,12}{0,28} \\
&=\dfrac{3}{7} \\
&\approx 0,43\end{align*}$
La probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_1$ sachant qu’on a pioché une boule noire dans l’urne $U_2$ est environ égale à $0,43$.
$\quad$

Partie B

On répète $n$ fois, de façon indépendante, la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,28$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $0,28$.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} 1-0,72^n\pg 0,9&\ssi -0,72^n\pg -0,1 \\
&\ssi 0,72^n \pp 0,1 \\
&\ssi n\ln(0,72) \pp \ln(0,1) \qquad \text{$\ln$ est strictement croissante sur $\R_+^*$} \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,72)}\approx 7,01$.
Ainsi le plus petit entier naturel $n$ tel que $1-0,72^n\pg 0,9$ est $8$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,9&\ssi 1-P(X=0)\pg 0,9 \\
&\ssi 1-0,72^n \pg 0,9\end{align*}$
D’après la question précédente, la plus petite valeur de $n$ pour laquelle la probabilité de piocher au moins une boule noire dans l’urne $U_2$ est supérieure ou égale à $0,9$ est $8$.
$\quad$

Partie C

On pioche simultanément $2$ boules dans l’urne $U_1$ qui en contient $10$.
Il y a donc $\dbinom{10}{2}=45$ tirages possibles.
$\quad$
Il y a $4$ choix possibles pour la boule noire et $6$ choix possibles pour la boule blanche. Il y a donc $24$ tirages possibles contenant exactement une boule blanche et une boule noire.
$\quad$
On appelle :
$\bullet$ $BB$ l’événement « Piocher deux boules blanches dans l’urne $U_1$ »
$\bullet$ $BN$ l’événement « Piocher une boule blanche et une boule noire dans l’urne $U_1$ »
$\bullet$ $NN$ l’événement « Piocher deux boules noires dans l’urne $U_1$ »
Ainsi $(BB,BN,NN)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P\left(N_2\right)&=P\left(BB\cap N_2\right)+P\left(BN\cap N_2\right)+P\left(NN\cap N_2\right) \\
&=P(BB)P_{BB}\left(N_2\right)+P(BN)P_{BN}\left(N_2\right)+P(NN)P_{NN}\left(N_2\right) \\
&=\dfrac{\dbinom{6}{2}}{45}\times \dfrac{1}{6}+\dfrac{24}{45}\times \dfrac{2}{6}+\dfrac{\dbinom{4}{2}}{45}\times \dfrac{3}{6} \\
&=\dfrac{3}{10}\end{align*}$
Or $\dfrac{3}{10}>0,28$.
La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_2$ avec cette nouvelle expérience est supérieure à celle calculée dans la partie A.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
Par conséquent $24\pp 25+(-1)^n\pp 26$ et $\dfrac{24}{n} \pp u_n \pp \dfrac{26}{n}$.Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{24}{n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{26}{n}=0$
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Affirmation 1 fausse
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} t_{n+1}&=\dfrac{k}{w_{n+1}} \\
&=\dfrac{k\left(1+w_n\right)}{w_n} \\
&=\dfrac{k}{w_n}+k \\
&=t_n+k\end{align*}$
La suite $\left(t_n\right)$ est donc arithmétique de raison $k$ (et de premier terme $t_0=k$).
Or $k$ est un réel strictement positif.
Ainsi, $\left(t_n\right)$ est une suite arithmétique strictement croissante.
Affirmation 2 vraie
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;+\infty[$ par $f(x)=\ln(1+x)-x$.
$f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intevalle.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a
$\begin{align*}f'(x)&=\dfrac{1}{1+x}-1 \\
&=\dfrac{-x}{1+x} \\
&<0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
Or $f(0)=0$.Ainsi, pour tout réel $x>0$, on a $f(x)<f(0)$ soit $f(x)<0$.
Soit $n$ un entier naturel
$\begin{align*}v_{n+1}-v_n&=\ln\left(1+v_n\right)-v_n \\
&=f\left(v_n\right) \\
&<0 \qquad \text{car, pour tout entier naturel $n$, } v_n>0\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est strictement décroissante.
Affirmation 3 vraie
$\quad$
Remarque : On pouvait également montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}<v_n$.
$\quad$
Soit $n$ un entier naturel.
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[1;\e]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=\left(\ln(x)\right)^{n+1}&\phantom{1234}&u'(x)=\dfrac{n+1}{x}\left(\ln(x)\right)^n\\
v(x)=x&\phantom{1234}&v'(x)=1 \end{array}$$
Ainsi,
$\begin{align*} I_{n+1}&=\int_1^{\e} \left(\ln(x)\right)^{n+1}\dx \\
&=\Big[x\left(\ln(x)\right)^{n+1}\Big]_1^{\e}-\int_1^{\e}x\times \dfrac{n+1}{x}\left(\ln(x)\right)^n\dx \\
&=\e-(n+1)\int_1^{\e}\left(\ln(x)\right)^n \dx \\
&=\e-(n+1)I_n\end{align*}$
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Une représentation paramétrique de la droite $\left(d_1\right)$ est $\begin{cases} x=1+k\\y=2+2k\\z=-1\end{cases}$, pour tout réel $k$.
$\quad$
Un vecteur directeur de $\left(d_2\right)$ est $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\vect{u_1}$ et $\vect{u_2}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Résolvons le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x=0\\y=1+t\\z=2+t\\x=1+k\\y=2+2k\\z=-1\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=0\\1+k=0\\y=1+t\\1+t=2+2k\\z=-1\\-1=2+t\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=0\\k=-1\\t=-3\\z=-1\\y=1+t\\1-3=2-2\end{cases}\end{align*}$
Cette dernière équation est impossible.
Par conséquent $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ ne sont pas sécantes.
Ainsi, ces deux droites ne sont pas coplanaires.
$\quad$
On considère le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}$.
D’une part $\vec{n}.\vect{u_1}=-2+2+0=0$
D’autre part $\vec{n}.\vec{w}=-4-1+5=0$
Ainsi $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $\mathcal{P}$.
C’est donc un vecteur normal à ce plan.
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est donc de la forme $-2x+y+5z+d=0$ où $d$ est un réel.
Le point $A(1;2;-1)$ appartient à ce plan.
Par conséquent $-2+2-5+d=0 \ssi d=5$.
Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est bien $-2x+y+5z+5=0$.
$\quad$
a. $\vect{u_2}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\left(d_2\right)$ et $\vec{n}\begin{pmatrix}-2\\1\\5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.
Or $\vect{u_2}.\vec{n}=0+1+5\neq 0$
Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.
Par conséquent $\left(d_2\right)$ et $\mathcal{P}$ ne sont pas parallèles, c’est-à-dire qu’ils sont sécants.
$\quad$
b. Si on prend $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\left(d_2\right)$ alors $\begin{cases} x=0\\y=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]z=-\dfrac{2}{3}\end{cases}$.
Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient à la droite $\left(d_2\right)$.
De plus
$\begin{align*}-2\times 0-\dfrac{5}{3}-5\times \dfrac{2}{3}+5&=-\dfrac{5}{3}-\dfrac{10}{3}+\dfrac{15}{3} \\
&=0\end{align*}$
Le point de coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$ appartient au plan $\mathcal{P}$.
Par unicité du point d’intersection, le point $F$ a pour coordonnées $\left(0;-\dfrac{5}{3};-\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$
a. On a $\vect{EF}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3mm]-\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
On a $\vect{EF}.\vect{u_1}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}+0=0$
et $ \vect{EF}.\vect{u_2}=0-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}=0$
La droite $(EF)$ est donc orthogonale aux droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
Cependant $E$ appartient à $\left(d_1\right)$ et $F$ appartient à $\left(d_2\right)$.
Ainsi $EF$ est la distance entre les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$.
$\quad$
b. D’après la question précédente :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}} \\
&=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (5 points)

PARTIE A

On considère l’équation différentielle $(E): y^{\prime}+\dfrac{1}{4} y=20 e^{-\frac{1}{4} x}$, d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.

Déterminer la valeur du réel $a$ tel que la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ par $g(x)=a x \e^{-\frac{1}{4} x}$ soit une solution particulière de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
On considère l’équation différentielle $\left(E^{\prime}\right): y^{\prime}+\dfrac{1}{4} y=0$, d’inconnue $y$, fonction définie et dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$. Déterminer les solutions de l’équation différentielle $\left(E^{\prime}\right)$.
$\quad$
En déduire les solutions de l’équation différentielle $(E)$.
$\quad$
Déterminer la solution $f$ de l’équation différentielle $(E)$ telle que $f(0)=8$.
$\quad$

PARTIE B

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ par $f(x)=(20 x+8) \e^{-\frac{1}{4} x}$. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$ et on note $f^{\prime}$, sa fonction dérivée sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$. De plus, on admet que $\lim _{x \to+\infty} f(x)=0$.

a. Justifier que, pour tout réel $x$ positif, $f^{\prime}(x)=(18-5 x) \e^{-\frac{1}{4} x}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur exacte du maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
$\quad$

Dans cette question on s’intéresse à l’équation $f(x)=8$.
a. Justifier que l’équation $f(x)=8$ admet une unique solution, notée $\alpha$, dans l’intervalle $[14 ; 15]$.
$\quad$
b. Recopier et compléter le tableau ci-dessous en faisant tourner étape par étape la fonction $\texttt{solution_equation}$ ci-dessous également, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
a&14&&&&\\
\hline
b&15&&&&\\
\hline
b-a&1&&&&\\
\hline
m&14,5&&&&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
\hline
\begin{array}{c}\text{Condition}\\f(m)>8\end{array}&\text{FAUX}&\phantom{\text{FAUX}}&\phantom{\text{FAUX}}&\phantom{\text{FAUX}}&\colorbox{black}{$\phantom{\text{FAUX}}$} \\
\hline
\end{array}$

def f(x):
    return (20*x+8)*exp(-1/4*x)

def solution_equation():
    a, b = 14, 15
    while b-a > 0.1:
        m = (a+b)/2
        if f(m) > 8:
            a = m
        else:
            b = m
    return a, b

def f(x):

return (20*x+8)*exp(-1/4*x)

def solution_equation():

a, b = 14, 15

while b-a > 0.1:

m = (a+b)/2

if f(m) > 8:

a = m

else:

b = m

return a, b

$\quad$
c. Quel est l’objectif de la fonction $\texttt{solution_equation}$ dans le contexte de la question?
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (6 points)

On dispose de deux urnes opaques $U_{1}$ et $U_{2}$. L’urne $U_{1}$ contient $4$ boules noires et $6$ boules blanches. L’urne $U_{2}$ contient $1$ boule noire et $3$ boules blanches. On considère l’expérience aléatoire suivante : On pioche au hasard une boule dans $U_{1}$ que l’on place dans $U_{2}$, puis on pioche au hasard une boule dans $U_{2}$.

On note :

$N_{1}$ l’événement «Piocher une boule noire dans l’urne $U_{1}$ ».
$N_{2}$ l’événement «Piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ ».

Pour tout événement $A$, on note $\conj{A}$ son événement contraire.

PARTIE A

On considère l’arbre de probabilités ci-dessous.
$\quad$

$\quad$
a. Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ sachant qu’on a pioché une boule blanche dans l’urne $U_{1}$, est $0,2$.
$\quad$
b. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessus, en faisant apparaître sur chaque branche les probabilités des événements concernés, sous forme décimale.
$\quad$
Calculer la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{1}$ et une boule noire dans l’urne $U_{2}$.
$\quad$
Justifier que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,28$.
$\quad$
On a pioché une boule noire dans l’urne $U_{2}$. Calculer la probabilité d’avoir pioché une boule blanche dans l’urne $U_{1}$. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie à $10^{-2}$.
$\quad$

PARTIE B

$n$ désigne un entier naturel non nul. L’expérience aléatoire précédente est répétée $n$ fois de façon identique et indépendante, c’est-à-dire que les urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement $4$ boules noires et $6$ boules blanches dans l’urne $U_{1}$ et $1$ boule noire et $3$ boules blanches dans l’urne $U_{2}$, entre chaque expérience.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où on pioche une boule noire dans l’urne $U_{2}$.

On rappelle que la probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,28$ et celle de piocher une boule blanche dans l’urne $U_{2}$ est égale à $0,72$.

Déterminer la loi de probabilité suivie par $X$. Justifier votre réponse.
$\quad$
Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que : $1-0,72^{n} \pg 0,9$.
$\quad$
Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’expérience.
$\quad$

PARTIE C

Dans cette partie les urnes $U_{1}$ et $U_{2}$ sont remises dans leur configuration initiale, avec respectivement $4$ boules noires et $6$ boules blanches dans l’urne $U_{1}$ et 1 boule noire et 3 boules blanches dans l’urne $\mathrm{U}_{2}$.

On considère la nouvelle expérience aléatoire suivante : On pioche simultanément deux boules dans l’urne $\mathrm{U}_{1}$ que l’on place dans l’urne $\mathrm{U}_{2}$, puis on pioche au hasard une boule dans l’urne $U_{2}$.

Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_{1}$ ?
$\quad$
Combien y a-t-il de tirages possibles de deux boules simultanément dans l’urne $U_{1}$ contenant exactement une boule blanche et une boule noire ?
$\quad$
La probabilité de piocher une boule noire dans l’urne $U_{2}$ avec cette nouvelle expérience est-elle supérieure à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne $U_{2}$ avec l’expérience de la partie A ? Justifier votre réponse. On pourra s’aider d’un arbre pondéré modélisant cette expérience.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (4 points)

Répondre par VRAI ou FAUX à chacune des affirmations suivantes et justifier votre réponse. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en compte dans la notation. Toutes les questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel non nul $n$ par $u_{n}=\dfrac{25+(-1)^{n}}{n}$.
Affirmation 1 : La suite $\left(u_{n}\right)$ est divergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases}w_{0}=1 \\ w_{n+1}=\dfrac{w_{n}}{1+w_{n}}\end{cases}$. On admet que pour tout entier naturel $n,~ w_{n}>0$.
On considère la suite $\left(t_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_{n}=\dfrac{k}{w_{n}}$ où $k$ est un nombre réel strictement positif.
Affirmation 2 : La suite $\left(t_{n}\right)$ est une suite arithmétique strictement croissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $\begin{cases}v_{0}=1 \\ v_{n+1}=\ln \left(1+v_{n}\right)\end{cases}$. On admet que pour tout entier naturel $n, v_{n}>0$.
Affirmation 3 : La suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
$\quad$
On considère la suite $\left(I_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_{n}=\ds \int_{1}^{x}(\ln (x))^{n} \dx$.
Affirmation 4 : Pour tout entier naturel $n, I_{n+1}=\e-(n+1) I_{n}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

L’objectif de cet exercice est de déterminer la distance entre deux droites non coplanaires. Par définition, la distance entre deux droites non coplanaires de l’espace, $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ est la longueur du segment $[EF]$, où $E$ et $F$ sont des points appartenant respectivement à $\left(d_{1}\right)$ et à $\left(d_{2}\right)$ tels que la droite $(EF)$ est orthogonale à $\left(d_{1}\right)$ et à $\left(d_{2}\right)$.

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

Soit $\left(d_{1}\right)$, la droite passant par $A(1 ; 2 ;-1)$ de vecteur directeur $\vect{u_{1}}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix}$ et $\left(d_{2}\right)$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=1+t, t \in \R \\ z=2+t\end{cases}$

Donner une représentation paramétrique de la droite $\left(d_{1}\right)$.
$\quad$
Démontrer que les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$ sont non coplanaires.
$\quad$
Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les vecteurs non colinéaires $\vect{u_{1}}$ et $\vec{w}\begin{pmatrix}2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$. Justifier qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $-2 x+y+5z+5=0$.
$\quad$
a. Sans chercher à calculer les coordonnées du point d’intersection, justifier que la droite $\left(d_{2}\right)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants.
$\quad$
b. On note $F$ le point d’intersection de la droite $\left(d_{2}\right)$ et du plan $\mathcal{P}$. Vérifier que le point $F$ a pour coordonnées $\left(0 ;-\dfrac{5}{3} ;-\dfrac{2}{3}\right)$.
$\quad$

Soit $(\delta)$ la droite passant par $F$ et de vecteur directeur $\vec{w}$. On admet que les droites $(\delta)$ et $\left(d_{1}\right)$ sont sécantes en un point $E$ de coordonnées $\left(-\dfrac{2}{3} ;-\dfrac{4}{3} ;-1\right)$.

a. Justifier que la distance $EF$ est la distance entre les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la distance entre les droites $\left(d_{1}\right)$ et $\left(d_{2}\right)$.
$\quad$

$\quad$

Métropole – 11 septembre 2024

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. On a $D(0;1;0)$,$B(1;0;0)$,$I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0\right)$ et $G(1;1;1)$.
$\quad$
b. On a
$\begin{align*} \vect{IL}=\dfrac{3}{4}\vect{IG} &\ssi \begin{cases} x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}\right) \\[3mm]
y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{1}{2}\right) \\[3mm]
z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \\[3mm]
y_L-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} \\[3mm]
z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x_L=\dfrac{7}{8} \\[3mm]
y_L=\dfrac{7}{8} \\[3mm]
z_L=\dfrac{3}{4}\\[3mm]\end{cases}\end{align*}$
Donc $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{8};\dfrac{7}{8};\dfrac{3}{4}\right)$.
$\quad$
Vérifions que les coordonnées des points $B$, $D$ et $G$ sont solution de l’équation $x+y-z-1=0$.
Pour $B(1;0;0)$ : $1+0-0-1=0$. L’équation est vérifiée.
Pour $D(0;1;0)$ : $0+1-0-1=0$. L’équation est vérifiée.
Pour $G(1;1;1)$ : $1+1-1-1=0$. L’équation est vérifiée.
Une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est bien $x+y-z-1=0$.
$\quad$
a. Un vecteur normal au plan $(BDG)$ est donc $\vec{n}\begin{pmatrix} 1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$. Cette droite passe par $L$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t\\[3mm] y=\dfrac{7}{8}+t\\[3mm] z=\dfrac{3}{4}-t\end{cases} \qquad \text{, où } t\in \R$$
$\quad$
b. On a $\vect{AE}\begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(AE)$ est $$\begin{cases} x=0\\y=0\\z=k\end{cases} \qquad \text{, où } k\in \R$$
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vect{AE}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas les mêmes composantes nulles. Ainsi, les droites $\Delta$ et $(AE)$ ne sont ni strictement parallèles ni confondues.
En prenant $k=\dfrac{13}{8}$ dans la représentation paramétrique de $(AE)$ on constate que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$ appartient à $(AE)$.
Prenons $t=-\dfrac{7}{8}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient $\begin{cases} x=0\\y=0\\z=\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{8}\end{cases}$.
On constate alors que le point de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$ appartient à $\Delta$.
Les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont donc sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0;0;\dfrac{13}{8}\right)$.
$\quad$
c. $L$ et $K$ appartiennent à $\Delta$, $\Delta$ est orthogonale au plan $(BDG)$ et $L$ appartient au plan $(BDG)$.
$L$ est donc le projeté orthogonal de $K$ sur le plan $(BDG)$.
$\quad$
a. On a $\vect{KL}\begin{pmatrix}\dfrac{7}{8}\\[3mm]\dfrac{7}{8}\\[3mm]-\dfrac{7}{8}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} KL&=\sqrt{\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(\dfrac{7}{8}\right)^2+\left(-\dfrac{7}{8}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{49}{64}\times 3} \\
&=\dfrac{7\sqrt{3}}{8}\end{align*}$
$\quad$
b. $DBG$ est équilatéral. Par conséquent $(IG)$ est à la fois la hauteur et la médiane de ce triangle issue de $G$.
$\vect{DB}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} DB&=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} \\
&=\sqrt{2}\end{align*}$
Donc $\vect{IG}\begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\[3mm]\dfrac{1}{2}[3mm]1\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} IG&=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+1} \\
&=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\end{align*}$
L’aire du triangle $DBG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{DB\times IG}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{\dfrac{3}{2}}}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ u.a.}\end{align*}$
$\quad$
c. Le volume du tétraèdre $KDBG$ est donc :
$\begin{align*} V&=\dfrac{\mathscr{A}\times KL}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{7\sqrt{3}}{8}}{3} \\
&=\dfrac{7}{16} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$
a. L’aire du carré $ABCD$ est égale à $1$ u.a. et $AK_a=a$.
Donc le volume de la pyramide $ABCDK_a$ est égale à $V_a=\dfrac{a}{3}$.
$\quad$
b. On constate que $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta_a$. Ainsi, $\Delta_a$ coupe (elle est même orthogonale) le plan $(BDG)$ en un point $L_a$.
Prenons $t’=\dfrac{a+1}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\Delta_a$.
On a alors $x=y=\dfrac{a+1}{3}$ et
$\begin{align*} z&=-t’+a\\
&=-\dfrac{a+1}{3}+a \\
&=\dfrac{-a-1+3a}{3} \\
&=\dfrac{2a-1}{3}\end{align*}$.
Ainsi le point de coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$ appartient à $\Delta_a$.
$\quad$
De plus :
$\begin{align*} \dfrac{a+1}{3}+\dfrac{a+1}{3}-\dfrac{2a-1}{3}-+1&=\dfrac{a+1+a+1-2a+1-3}{3} \\
&=0\end{align*}$
Donc le point de coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$ appartient à $(BDG)$.
Par conséquent le point $L_a$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{a+1}{3};\dfrac{a+1}{3};\dfrac{2a-1}{3}\right)$.
$\quad$
c. On a alors $\vect{K_aL}\begin{pmatrix}\dfrac{a+1}{3}\\[3mm]\dfrac{a+1}{3}\\[3mm]\dfrac{-a-1}{3}\end{pmatrix}$
Par conséquent
$\begin{align*} K_aL&=\sqrt{\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{-a-1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{3\left(\dfrac{a+1}{3}\right)^2} \\
&=\dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3} \qquad \text{ car }a+1>0\end{align*}$
Ainsi le volume du tétraèdre $GBDK_a$ est égal à :
$\begin{align*}V’_a&=\dfrac{\mathscr{A}\times K_aL}{3} \\
&=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{(a+1)\sqrt{3}}{3}}{3} \\
&=\dfrac{a+1}{6} \end{align*}$
$\quad$
On veut donc résoudre dans $[0;+\infty[$ l’équation :
$\begin{align*} \dfrac{a+1}{6}=\dfrac{a}{3}&\ssi a+1=2a \\
&\ssi a=1\end{align*}$
Or $1\pg 0$
Il existe donc bien un réel positif $a$ tel que le tétraèdre $GBDK_a$ et ma pyramide $ABCDK_a$ soient de même volume.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

a. Pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;1]$ on a $x^2\pp 1$ donc $1-x^2\pg 0$.
De plus la fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à $[-1;1]$ on a $f(x)\pg 0$.
$\quad$
b. On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-1;1]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x^2&\phantom{1234}&u'(x)=2x\\v(x)=\e^x&&v'(x)=\e^x\end{array}$$
Ainsi :
$\begin{align*} \int_{-1}^1 f(x)\dx&=\int_{-1}^1 \left(1-x^2\right)\e^x \dx \\
&=\int_{-1}^1 \e^x \dx -\int_{-1}^1 x^2\e^x\dx \\
&=\Big[\e^x\Big]_{-1}^1-\left(\Big[x^2\e^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 2x\e^x\dx\right) \\
&=\e-\e^{-1}-\left(\e-\e^{-1}-2\int_{-1}^1 x\e^x\dx\right) \\
&=2\int_{-1}^1 x\e^x\dx\end{align*}$
$\quad$
La fonction $f$ est continue et positive sur l’intervalle $[-1;1]$.
De plus $-1 \pp 1$. Par conséquent $S=\ds \int_{-1}^1 f(x)\dx$.
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ de classe $C^1$ sur $[-1;1]$ définies par $$\begin{array}{lll}u(x)=x&\phantom{1234}&u'(x)=1\\v(x)=\e^x&&v'(x)=\e^x\end{array}$$
$\begin{align*} \int_{-1}^1 x\e^x\dx&=\Big[x\e^x\Big]_{-1}^1-\int_{-1}^1 \e^x \dx \\
&=\e+\e^{-1}-\Big[\e^x\Big]_{-1}^1 \\
&=\e+\e^{-1}-\left(\e-\e^{-1}\right) \\
&=2\e^{-1}\end{align*}$
Par conséquent $S=4\e^{-1}$
Ainsi $V=12\e^{-1}$ cm$^3$ $\approx 4,4$ cm$^3$.
$\quad$

Partie B

a. $\lim\limits_{q\to+\infty}q^2=+\infty$ et $\lim\limits_{q\to+\infty}\ln(q)=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{q\to +\infty} \left(2-3\ln(q)\right)=-\infty$
Ainsi $\lim\limits_{q\to +\infty} B(q)=-\infty$
$\quad$
b. La fonction $B$ est dérivable sur $[0,01;+\infty[$ en tant que produit et sommes de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $q\pg 0,01$ on a
$\begin{align*} B'(q)&=16q\left(2-3\ln(q)\right)-24q^2\times \dfrac{1}{q} \\
&=32q-48q\ln(q)-24q \\
&=8q-48q\ln(q) \\
&=8q\left(1-6\ln(q)\right)\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout réel $q\pg 0,01$ on a $8q>0$. $B'(q)$ est donc du signe de $1-6\ln(q)$.
$1-6\ln(q)=0 \ssi 1=6\ln(q) \ssi \ln(q)=\dfrac{1}{6} \ssi q=\e^{1/6}$
$1-6\ln(q)>0 \ssi 1>6\ln(q) \ssi \ln(q)<\dfrac{1}{6} \ssi q<\e^{1/6}$
La fonction $B$ est donc strictement croissante sur $\left[0,01;\dfrac{1}{6}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\dfrac{1}{6};+\infty\right[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$B(0,01) \approx -2,987$ et $B\left(\e^{1/6}\right)\approx 13,747$.
$\quad$
d. Ainsi le bénéfice maximal que peut espérer l’artisan est environ égal à $137$ euros.
$\quad$
a. $\e^{1/6} \approx 1,18$. La fonction $B$ est donc continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1,2;+\infty[$.
De plus $B(1,2)\approx 13,739$ et $\lim\limits_{q\to +\infty} B(q)=-\infty$.
Or $10$ appartient à $\left]-\infty;B(1,2)\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $B(q)=10$ possède une unique solution sur $[1,2;+\infty[$.
D’après la calculatrice $\beta\approx 1,558$.
$\quad$
b. $\alpha\approx 0,757$ et $\beta\approx 1,558$.
L’artisan doit donc vendre entre $76$ et $155$ bonbons au chocolat pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$ euros.
$\quad$
Remarque : On a arrondit par excès pour trouver $76$ et par défaut pour obtenir $155$ afin de garder un bénéfice supérieur à $100$ euros.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Soit $n$ un entier naturel.
$\begin{align*} w_{n+1}&=t_{n+1}-10 \\
&=-0,8t_n+18-10 \\
&=-0,8t_n+8 \\
&=-0,8\left(t_n-10\right) \\
&=-0,8w_n\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $-0,8$.
L’affirmation 1 est vraie.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $3-\dfrac{4}{n}\pp u_n \pp 3+\dfrac{4}{n}$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 3-\dfrac{4}{n}=3$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 3+\dfrac{4}{n}=3$
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=3$.
L’affirmation 2 est vraie.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $P(n):~v_n=\dfrac{n+1}{n}$.
Initialisation : $v_1=2$ et $\dfrac{1+1}{1}=2$. Donc $P(1)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} v_{n+1}&=2-\dfrac{1}{v_n} \\
&=2-\dfrac{n}{n+1} \\
&=\dfrac{2n+2-n}{n+1} \\
&=\dfrac{n+2}{n+1}\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel non nul $n$, on a $v_n=\dfrac{n+1}{n}$.
$\quad$
L’affirmation 3 est vraie.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\e^n\left(1-\dfrac{n}{\e^n}\right)$.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \e^n =+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{\e^n}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=+\infty$.
L’affirmation 4 est fausse.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $\sqrt{2}$. D’après le théorème de la limite monotone, la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
D’après le script Python, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
La fonction $f$ définie sur $\left[\sqrt{2};2\right]$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)$ est continue sur $\left[\sqrt{2};2\right]$ en tant que somme de fonctions continues sur cet intervalle.
$\ell$ est donc solution de l’équation
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi \dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{2}{x}\right)=x \\
&\ssi x+\dfrac{2}{x}=2x \\
&\ssi x-\dfrac{2}{x} =0 \\
&\ssi \dfrac{x^2-2}{x}=0 \\
&\ssi \dfrac{\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)}{x}=0 \\
&\ssi x=\sqrt{2} \text{ ou }x=-\sqrt{2}\end{align*}$
Or $-\sqrt{2}$ n’appartient pas à $\left[\sqrt{2};2\right]$.
Par conséquent $\ell=\sqrt{2}$.
L’affirmation 5 est vraie.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
Ainsi $N$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,02$.
$\quad$
L’espérance de $N$ est :
$\begin{align*} E(N)&=np\\
&=2\end{align*}$
Cela signifie donc que dans chaque boîte, en moyenne, $2$ cachets n’ont pas la bonne masse.
$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} P(N=3)&=\dbinom{100}{3}0,02^3\times 0,98^{97} \\
&\approx 0,182 \end{align*}$
La probabilité qu’une boîte contienne exactement trois cachets non conformes est environ égale à $0,182$.
$\quad$
b. On veut calculer : $P(N\pp 5) \approx 0,985$
La probabilité qu’une boîte contienne au moins $95$ cachets conformes est environ égale à $0,985$.
$\quad$
On appelle $n$ le nombre de cachets par boîte et $X$ la variable aléatoire égale au nombre de cachets conformes.
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,02$.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$.
On veut donc que :
$\begin{align*} P(X=0)\pg 0,5&\ssi 0,98^n \pg 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,98)\pg \ln(0,5) \\
&\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,98)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,98)}\approx 34,3$
Ainsi une boîte doit contenir au maximum $34$ cachets pour respecter ce critère.
$\quad$

Partie B

On a, par linéarité de l’espérance :
$\begin{align*} E(S)&=E\left(M_1\right)+E\left(M_2\right)+\ldots+E\left(M_{100}\right) \\
&=100\times 2 \qquad \text{(même espérance)} \\
&=200\end{align*}$
En moyenne, la masse des $100$ cachets est égale à $200$ g.
$\quad$
Les variables $M_i$ sont indépendantes. Par conséquent :
$\begin{align*} s^2&=\sigma^2\left(M_1\right)+\sigma^2\left(M_2\right)+\ldots+\sigma^2\left(M_{100}\right) \\
&=100\sigma^2 \qquad \text{(même écart-type)} \end{align*}$
Ainsi $s=10\sigma$.
$\quad$
a. On veut :
$\begin{align*} P(199 < S<201) \pg 0,9 &\ssi P(-1<S-200<1)\pg 0,9 \\
&\ssi P\left(\abs{S-200}<1\right) \pg 0,9 \\
&\ssi P\left(\abs{S-200}\pg 1\right) \pp 0,1\end{align*}$
$\quad$
b. D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev on a $P\left(\abs{S-E(S)}\pg 1\right) \pp \dfrac{s^2}{1}$
Soit, ici, $P\left(\abs{S-200} \pg 1\right) \pp 100\sigma^2$
La valeur maximale de $\sigma$ vérifie donc $100\sigma^2 \pp 0,1 \ssi \sigma^2 \pp 0,001$.
Ainsi, la valeur maximale de $\sigma$ est égale à $\sqrt{0,001}$ pour vérifier la condition de la question B.3.a.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (6 points)

On considère un cube $ABCDEFGH$ de côté $1$.

Le point $I$ est le milieu du segment $[B D]$. On définit le point $L$ tel que $\vect{IL}=\dfrac{3}{4} \vect{IG}$.
On se place dans le repère orthonormé $(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE})$.

a. Préciser les coordonnées des points $D$, $B$, $I$ et $G$. Aucune justification n’est attendue.
$\quad$
b. Montrer que le point $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{8} ; \dfrac{7}{8} ; \dfrac{3}{4}\right)$.
$\quad$
Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(BDG)$ est $x+y-z-1=0$.
$\quad$
On considère la droite $\Delta$ perpendiculaire au plan $(BDG)$ passant par $L$.
a. Justifier qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :$$\begin{cases} x=\dfrac{7}{8}+t \\y=\dfrac{7}{8}+t \text { où } t \in \R . \\z=\dfrac{3}{4}-t\end{cases}$$
$\quad$
b. Montrer que les droites $\Delta$ et $(AE)$ sont sécantes au point $K$ de coordonnées $\left(0; 0 ; \dfrac{13}{8}\right)$.
$\quad$
c. Que représente le point $L$ pour le point $K$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
a. Calculer la distance $KL$.
$\quad$
b. On admet que le triangle $DBG$ est équilatéral. Montrer que son aire est égale a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
$\quad$
c. En déduire le volume du tétraédre $KDBG$.
$\quad$

On rappelle que :

le volume d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{2}{3} \times B \times h$ où $B$ est l’aire d’une base et $h$ la longueur de la hauteur relative à cette base ;
un tétraèdre est une pyramide à base triangulaire.

On désigne par $a$ un réel appartenant à l’intervalle $]0 ;+\infty [$ et on note $K_{a}$ le point de coordonnées $(0 ; 0 ; a)$.
a. Exprimer le volume $V_{a}$ de la pyramide $ABCDK_{a}$ en fonction de $a$.
$\quad$
b. On note $\Delta_{a}$ la droite de représentation paramétrique : $\begin{cases}x=t’ \\ y=t’ \\ z=-t’+a\end{cases}$ où $t’ \in \R$.
On appelle $L_{\alpha}$ le point d’intersection de la droite $\Delta_{a}$ avec le plan $(BDG)$. Montrer que les coordonnées du point $L_{a}$ sont $\left(\dfrac{a+1}{3} ; \dfrac{a+1}{3} ; \dfrac{2 a-1}{3}\right)$.
$\quad$
c. Déterminer, s’il existe, un réel strictement positif $a$ tel que le tétraèdre $GBDK_{a}$ et la pyramide $ABCDK_{a}$ soient de même volume.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Un artisan crée des bonbons au chocolat dont la forme rappelle le profil de la montagne locale comme représenté en Figure 1. La base d’un tel bonbon est modélisée par la surface grisée, définie ci-dessous dans un repère orthonormé d’unité $1$ cm (Figure 2).

Cette surface est délimitée par l’axe des abscisses et la représentation graphique notée $C_{f}$ de la fonction $f$ définie sur $[-1 ; 1]$ par:$$
f(x)=\left(1-x^{2}\right) \e^{x}$$

L’objectif de cette partie est de calculer le volume de chocolat nécessaire à la fabrication d’un bonbon au chocolat.

a. Justifier que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1 ; 1]$ on a $f(x) \pg 0$.
$\quad$
b. Montrer à l’aide d’une intégration par parties que :$$\int_{-1}^{1} f(x) \dx=2 \int_{-1}^{1} x\e^{x} \dx$$
$\quad$
Le volume $V$ de chocolat, en cm$^{3}$, nécessaire à la fabrication d’un bonbon est donné par :$$V=3 \times S$$
où $S$ est l’aire, en cm$^{2}$, de la surface colorée (Figure 2).
En déduire que ce volume $V$, arrondi à $0,1$ cm$^{3}$ près, est égal à $4,4 $ cm$^{3}$.
$\quad$

Partie B

On s’intéresse maintenant au bénéfice réalisé par l’artisan sur la vente de ces bonbons au chocolat en fonction du volume hebdomadaire des ventes.
Ce bénéfice peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l’intervalle $[0,01 +\infty[$ par :$$B(q)=8 q^{2}\left(2-3 \ln(q)\right)-3$$

Le bénéfice est exprimé en dizaines d’euros et la quantité $q$ en centaines de bonbons.
On admet que la fonction $B$ est dérivable sur $[0,01 ;+\infty[$. On note $B’$ sa fonction dérivée.

a. Déterminer $\lim\limits_{q \to+\infty} B(q)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $q \pg 0,01$, $B'(q)=8 q\left(1-6 \ln (q)\right)$.
$\quad$
c. Étudier le signe de $B'(q)$, et en déduire le sens de variation de $B$ sur $[0,01 ;+\infty[$. Dresser le tableau de variation complet de la fonction $B$.
$\quad$
d. Quel est le bénéfice maximal, à l’euro près, que peut espérer l’artisan ?
$\quad$
a. Montrer que l’équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\beta$ sur l’intervalle $[1,2 ;+\infty[$.
Donner une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-3}$ près.
$\quad$
b. On admet que l’équation $B(q)=10$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0,01 ; 1,2]$.
On donne $\alpha \approx 0,757$.
En déduire le nombre minimal et le nombre maximal de bonbons au chocolat à vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à $100$ euros.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.

On considère une suite $\left(t_{n}\right)$ vérifiant la relation de récurrence :
$\qquad \qquad$ pour tout entier naturel $n, t_{n+1}=-0,8 t_{n}+18$.
Affirmation 1 : La suite $\left(w_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_{n}=t_{n}-10$ est géométrique.
$\quad$
On considère une suite $\left(S_{n}\right)$ qui vérifie pour tout entier naturel $n$ non nul :
$$3n-4 \pp S_{n} \pp 3 n+4$$
La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie, pour tout entier naturel $n$ non nul, par: $u_{n}=\dfrac{s_{n}}{n}$.
Affirmation 2: La suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie par:
$$v_{1}=2 \text { et pour tout entier naturel } n \pg 1, v_{n+1}=2-\dfrac{1}{v_{n}}$$
Affirmation 3 : pour tout entier naturel $n \pg 1, v_{n}=\dfrac{n+1}{n}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n}=\e^{n}-n$.
Affirmation 4 : la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie à l’aide du script écrit ci-dessous en langage Python, qui renvoie la valeur de $u_{n}$.

Python

def u(n) : valeur = 2 for k in range (n): valeur = 0.5 * (valeur + 2 / valeur) return valeur

1
2
3
4
5

def u(n) :
    valeur = 2
    for k in range (n):
        valeur = 0.5 * (valeur + 2 / valeur)
    return valeur

On admet que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante et vérifie pour tout entier naturel $n$ :$$
\sqrt{2} \pp u_{n} \pp 2$$
Affirmation 5 : La suite $\left(u_{n}\right)$ converge vers $\sqrt{2}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (4 points)

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie A

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que $2 \%$ des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de $100$ choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d’un cachet est indépendante de celle des autres.

On note $N$ la variable aléatoire qui à chaque boîte de $100$ cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

Justifier que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
Calculer l’espérance de $N$ et en donner une interprétation dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.
a. Calculer la probabilité qu’une boîte contienne exactement trois cachets non conformes.
$\quad$
b. Calculer la probabilité qu’une boîte contienne au moins $95$ cachets conformes.
$\quad$
Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer: «La probabilité qu’une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à $0,5$ . »
Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.
$\quad$

Partie B

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève $100$ cachets et on note $M_{i}$, pour $i$ entier naturel compris entre $1$ et $100$, la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du $i$-ème cachet prélevé.

On considère la variable aléatoire $S$ définie par :$$S=M_{1}+M_{2}+\cdots+M_{100}
$$

On admet que les variables aléatoires $M_{1},~ M_{2},~ \ldots,~ M_{100}$ suivent la même loi de probabilité d’espérance $\mu=2$ et d’écart-type $\sigma$.

Déterminer $E(S)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On note $s$ l’écart type de la variable aléatoire $S$. Montrer que : $s=10 \sigma$.
$\quad$
On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre $199$ et $201$ avec une probabilité au moins égale à $0,9$.
a. Montrer que cette condition est équivalente à :$$P\left(\abs{S-200} \pg 1\right) \pp 0,1$$
$\quad$
b. En déduire la valeur maximale de $\sigma$ qui permet, à l’aide de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d’assurer cette condition.
$\quad$

$\quad$