Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 2 – 29 mars 2023

La Réunion – 29 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(S)=P(S\cap R)+P\left(S\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,82=P(R)P_R(S)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(S) \\
    &\ssi 0,82=0,2\times 0,9+0,8x \\
    &\ssi 0,64=0,8x \\
    &\ssi x=0,8\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} P_S(R)&=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{P(R)P_R(S)}{P(S)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 0,9}{0,82} \\
    &=\dfrac{9}{41} \\
    &\approx 0,22\end{align*}$
    La probabilité que le client ait acheté un matelas RESSORTS sachant qu’il a été satisfait de son achat est environ égal à $0,22$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,82$.
    $\quad$
    b. La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat est $$P(X\pp 3)\approx 0,222$$
    $\quad$
  2. a. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,82$.
    On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $n$ clients.
    $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,82$.
    Ainsi,
    $\begin{align*} p_n&=P(Y=n) \\
    &=0,82^n\end{align*}$
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} p_n<0,01 &\ssi 0,82^n <0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,82) < \ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\qquad \text{(car $\ln(0,82)<0$)}\end{align*} $
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\approx 23,2$.
    Ainsi $p_n<0,01$ si, et seulement si, $n\pg 24$.
    La probabilité que tous les clients soient satisfaits de leur achat est inférieure à $1\%$ dès qu’il y a au moins $24$ clients.
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5} \\
    &=\dfrac{48+2}{13 }\\
    &=\dfrac{50}{13}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} \\
    &=\dfrac{28}{(x+5)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    $f(2)=\dfrac{14}{7}=2$.
    La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, pour tout $x>2$ on a $f(x)>f(2)$ soit $f(x)>2$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $P(n):~u_n>2$.
    Initialisation : $u_0=8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
    Donc $u_n>2$. D’après la question 2.a, $f\left(u_n\right) > 2$ soit $u_{n+1}>2$.
    Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+5}$.
    D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
    Ainsi $2-u_n<0$, $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$.
    Donc $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$; elle converge donc .
  4. a. $v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{2}{3}$
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\
    &=\dfrac{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}+1} \\
    &=\dfrac{~\dfrac{6u_n+2-2u_n-10}{u_n+5}~}{\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}} \\
    &=\dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\
    &=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1}\\
    &=\dfrac{4}{7}v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$.
    $\quad$
    c. Pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{4}{7}\right)^n$.
    $-1<\dfrac{4}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
    $\quad$
    Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}&\ssi v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2 \\
    &\ssi u_nv_n+v_n=u_n-2\\
    &\ssi u_nv_n-u_n=-2-v_n\\
    &\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n \\
    &\ssi u_n=\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}\end{align*}$
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}=2$.
    $\quad$
  5. On a $u_{13}\approx 2,0014>2,001$ et $u_{14}\approx 2,000~8<2,001$.
    La commande $\texttt{seuil(2.001)}$ renverra donc la valeur $14$.
    Il s’agit du rang à partir duquel tous les termes de la suite prendront des valeurs inférieures ou égales à $2,001$.

Ex 3

Exercice 3

  1. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=1+2t\\z=-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
    $\quad$
  2. Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$.
    $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
    Ainsi $(d)$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
    $1-4+2+1=4-4=0$ : le point de coordonnées $(1;-1;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
    En prenant $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on obtient le point de coordonnées $(1;-1;1)$.
    Ainsi la droite $(d)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants en un point $B$ de coordonnées $(1;-1;1)$.
    $\quad$
  3. a. $\vect{AC}\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix}$.
    $\dfrac{-2}{-2}=1$ et $\dfrac{-1}{1}=-1$ donc $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
    Par conséquent $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. $\vec{n}.\vect{AC}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0$.
    Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
    Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
    $A(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+d=0 \ssi d=-1$.
    Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-1=0$.
    $\quad$
  4. a.
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    $\begin{align*} AC&=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}\\
    &=\sqrt{5}\end{align*}$
    Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. $H$ est le milieu de $[BC]$. Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1-1}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)$ soit $(1;-1;0)$.
    Donc $\vect{AH}\begin{pmatrix} 0\\-2\\0\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} AH&=\sqrt{0^2+(-2)^1+0} \\
    &=2\end{align*}$
    $\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$
    On a donc également $BC=2$.
    Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $[AH]$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice du triangle.
    L’aire du triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times BC}{2} \\
    &=2\text{ u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
  5. a. $\vect{BD}\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$
    Ainsi $\vec{n}=-\vect{BD}$.
    $\vect{BD}$ est donc normal au plan $(ABC)$.
    Par conséquent $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    b. $\quad$
    $\begin{align*} BD&=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\
    &=1\end{align*}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times BD\\
    &=\dfrac{2}{3} \text{ u.v.}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
    &=2(x+1)\e^x\end{align*}$
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
    Or $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
    De plus $f(-1)=-2\e^{-1} \approx -0,736$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$
    Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0>-\dfrac{73}{100}$ et $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $]-\infty;-1]$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$
    $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions tendant vers $+\infty$).
    D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
    L’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$.
    Réponse c
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0^+$.
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$.
    Réponse a
    $\quad$
  3. La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=4\e^{2x}+2(4x-16)\e^{2x} \\
    &=(4+8x-32)\e^{2x} \\
    &=(8x-28)\e^{2x} \\
    &=4(2x-7)\e^{2x}\end{align*}$
    La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(2\e^{2x}+2(2x-7)\e^{2x}\right) \\
    &=8(1+2x-7)\e^{2x} \\
    &=8(2x-6)\e^{2x}\end{align*}$
    $h\dsec(x)>0 \ssi 2x-6>0 \ssi x>3$ et $\dsec(x)=0 \ssi 2x-6=0\ssi x=3$.
    La fonction $h\dsec$ s’annule en changeant de signe en $3$.
    Le point d’abscisse $3$ est donc un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_h$.
    Réponse b
    $\quad$
  4. La fonction $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>0$ on a $k'(x)=\dfrac{3}{x}-1$
    Une équation de $T$ est $y=k'(\e)(x-\e)+k(\e)$.
    Par conséquent $k'(\e)=\dfrac{3-\e}{\e}$ et $k(\e)=3-\e$.
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{3-\e}{\e}(x-\e)+3-\e$
    Soit $y=\dfrac{3-\e}{\e}x$
    Réponse b
    $\quad$
  5. $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0 \ssi \begin{cases} X^2+10X+21=0 \\X=\ln(x)\end{cases}$
    Le discriminant de l’équation $X^2+10X+21=0$ est $\Delta=16$.
    Elle possède donc deux solutions $\dfrac{-10-\sqrt{16}}{2}=-7$ et $\dfrac{-10+\sqrt{16}}{2}=-3$.
    $\ln(x)=-7 \ssi x=\e^{-7}$
    $\ln(x)=-3\ssi x=\e^{-3}$.
    Par conséquent $\e^{-7}$ et $\e^{-3}$ sont les solutions de l’équation $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0$.
    Réponse c
    $\quad$

 

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

  • $20\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\%$ sont satisfaits de leur achat.
  • $82\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

  • $R$ : : « le client achète un matelas RESSORTS »,
  • $S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\conj{R}}(S)$, où $P_{\conj{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

  1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
    $\quad$
    $\quad$
  2. Démontrer que $x = 0,8$.
    $\quad$
  3. On choisit un client satisfait de son achat.
    Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
    On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

  1. On choisit $5$ clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $5$ clients.
    a. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
    $\quad$
    b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
    On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
  2. Soit $n$ un entier naturel non nul.
    On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
    a. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
    Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
    $\quad$
    b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
    Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n +1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n +5}$$

  1. Calculer $u_1$.
    $\quad$
  2. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{6x+2 }{x+5}$$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    a. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
    $\quad$
    b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
    $\quad$
  3. On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_{n+1}-u_n = \dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n +5}$$
    a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    $\quad$
    b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  4. On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par: $$v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$$
    a. Calculer $v_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
    $\quad$
    c. Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
    En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction Python $\text{seuil}$ ci-dessous, où $\text{A}$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil (A) :}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{u = 8}\\
    \quad \text{while u > A :}\\
    \qquad \text{u = (6*u + 2) / (u + 5)}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \quad \text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande $\text{seuil (2.001)}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x+4y+2z+1 = 0$.

  1. On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
    Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
    $\quad$
  2. Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
    $\quad$
  3. On considère le point $C(1;-1;-1)$.
    a. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur  $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
    $\quad$
    c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
    $\quad$
    b. Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
    Calculer la longueur $AH$ puis l’aire du triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
    a. Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
    $\quad$
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par: $$V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.
    Le nombre de solutions sur $\R$ de l’équation $f(x) = -\dfrac{73}{100}$ est égal à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. une infinité.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}$$
    La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
    a. $-\infty$
    b. $+\infty$
    c. $0$
    d. elle n’existe pas.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x) = (4x-16)\e^{2x}$$
    On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
    On peut affirmer que:
    a. $h$ est convexe sur $\R$.
    b. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3$.
    c. $h$ est concave sur $\R$.
    d. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3,5$.
    $\quad$
  4. On considère la fonction $k$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $$k(x) = 3 \ln (x)-x$$
    On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
    On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $x = \e$.
    Une équation de $T$ est:
    a. $y = (3-\e)x$
    b. $y = \left(\dfrac{3-\e}{\e}\right)x$
    c. $y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$
    d. $y = (\e-1)x + 1$
    $\quad$
  5. On considère l’équation $\left(\ln (x)\right)^2+10\ln(x)+21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
    Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. une infinité.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 21 mars 2023

Métropole – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
    $\begin{align*} p(A\cap G)&=p(A)\times p_A(G) \\
    &=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10} \\
    &=\dfrac{7}{25}\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  2. $(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} &p(G)=p(A\cap G)+p(B\cap G) \\
    &\ssi \dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+p(B)p_B(G) \\
    &\ssi \dfrac{5}{25}=\dfrac{3}{5}p_B(G) \\
    &\ssi p_B(G)=\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{3}{5}} \\
    &\ssi p_B(G)=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    Réponse B
    $\quad$
  3. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
    On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{12}{25}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
    Par conséquent
    $\begin{align*} p(X=6)&=\dbinom{10}{6}\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac{13}{25}\right)^4 \\
    &\approx 0,188\end{align*}$
    Réponse C
    $\quad$
  4. D’après l’énoncé $p(X\pp n) \approx 0,207$.
    En faisant des essais à la calculatrice avec les différentes valeurs proposées on trouve $n=3$.
    Réponse B
    $\quad$
  5. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
    $\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
    &=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \end{align*}$
    Réponse D
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

  1. Chaque mois le nombre d’insecte augmente de $60\%$.
    Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=1,6u_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,6$ et de premier terme $u_0=0,1$.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,1\times 1,6^n$.
    $\quad$
  2. $1,6>1$ et $0,1>0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
    $\quad$
  3. On veut résoudre :
    $\begin{align*} u_n>0,4&\ssi 0,1\times 1,6^n >0,4 \\
    &\ssi 1,6^n >4 \\
    &\ssi n\ln(1,6)>\ln(4) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \qquad \text{car }\ln(1,6)>0\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \approx 2,95$
    Le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est donc $3$.
    $\quad$
  4. D’après la question précédente, au bout de $3$ mois la population d’insecte a dépassé $400~000$.
    L’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.
    $\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

  1. On a
    $\begin{align*} v_1&=1,6v_0-1,6v_0^2 \\
    &=0,144\end{align*}$
    Il y a donc $144~000$ insectes au bout d’un mois.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} f(x)=x&\ssi 1,6x-1,6x^2=x \\
    &\ssi 0,6x-1,6x^2=0 \\
    &\ssi x(0,6-1,6x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=0,375\end{align*}$
    $0$ et $0,375$ appartiennent bien à l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ sont donc $0$ et $0,375$.
    $\quad$
    b. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-1,6$.
    Son maximum est atteint en $\dfrac{-1,6}{2\times (-1,6)}=\dfrac{1}{2}$.
    La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    Initialisation : $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp \dfrac{1}{2}$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
    La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(v_n\right) \pp f\left(v_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
    Soit $0\pp v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 0,4$
    Donc $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$ on a $0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée ; elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    c. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    Par conséquent $\ell=0$ ou $\ell=0,375$ d’après la question 2.a.
    La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et $v_0=0,1$. Donc $\ell\pg 0,1$.
    Ainsi $\ell=0,375$.
    Il y aura donc, au plus, $375~000$ insectes.
    Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$.
    L’équilibre du milieu naturel serait donc préservé.
    $\quad$
  4. a. La fonction $\texttt{seuil}$ renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $v_n\pg 0,4$.
    D’après la question précédente, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée par $\ell$. Or $\ell<0,4$.
    Si on saisit $\texttt{seuil(0.4)}$ la boucle $\texttt{while}$ ne s’arrête jamais.
    $\quad$
    b. On a $v_5\approx 0,338$ et $b_6\approx 0,358$.
    Par conséquent $\texttt{seuil(0.35)}$ renvoie $6$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vec{n_1}.\vec{n_2}=2-1-1=0$.
    Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$.
    Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. a. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x-y+z+d=0$.
    Le point $B$ appartient à ce plan. Par conséquent $1-1+2+d=0\ssi d=-2$.
    Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-y+z-2=0$.
    $\quad$
    b. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
    Soit $t\in \R$.
    $2\times 0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_1$.
    $0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_2$.
    Ainsi $\Delta$ est incluse dans deux plans perpendiculaires.
    La droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
  3. a. Soit $t\in \R$.
    $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-2+t-1\\t-1\end{pmatrix}$ soit $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$
    Par conséquent :
    $\begin{align*} AM_t&=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\
    &=\sqrt{1+9-6t+t^2+t^2-2t+1} \\
    &=\sqrt{2t^2-8t+11}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La distance $AM_t$ est minimale si, et seulement si, $2t^2-8t+11$ est minimale (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$).
    On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2-8t+11$.
    Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $2>0$.
    Elle admet donc un minimum en $\dfrac{-(-8)}{2\times 2}=2$.
    Or $f(2)=3$
    $H$ est le point de $\Delta$ tel que $AM_t$ est minimale.
    Ainsi $AH=\sqrt{3}$.
    $\quad$
  4. a. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ est $$\begin{cases} x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
    $\quad$
    b. On note $H’$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    En prenant $k=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on retrouve les coordonnées du point $H’$. Donc $H’$ appartient à $\mathcal{D}_1$.
    De plus $-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+2=-\dfrac{6}{3}+2=0$. Le point $H’$ appartient également à $\mathcal{P}_1$.
    Ainsi $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  5. Montrons dans un premier temps que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
    $\vect{AH_1}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{H_2H}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
    Ainsi $\vect{AH_1}=\vect{H_2H}$ et $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
    Par construction $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\mathcal{P}_1$. Donc $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\vect{H_1H}$ car les points $H_1$ et $H$ appartiennent au plan $\mathcal{P}_1$.
    $AH_1HH_2$ est donc un rectangle.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. a.$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} 1 +\e^{-x}=+\infty$.
    Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    b.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
    Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} 1 +\e^{-x}=1$.
    Or $\lim\limits_{X\to 1} \ln(X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
    c. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
    &=\dfrac{\e^x}{\e^x}\times \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
    &=\dfrac{-1}{\e^x+1}\end{align*}$
    $\quad$
    d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)<0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Une équation de $T_0$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$
    Or $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(0)=\ln(2)$
    Une équation de $T_0$ est donc $y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
    b. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
    Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f\dsec(x)>0$.
    La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est convexe sur $\R$. La courbe représentative de la fonction $f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.
    Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
  3. a. Soit $x\in \R$
    $\begin{align*} f(x)-f(-x)&=\ln\left(1+\e^{-x}\right)-\ln\left(1+\e^{x}\right) \\
    &=\ln\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^{-x}\times \dfrac{\e^x+1}{1+\e^x}\right) \\
    &=\ln\left(\e^{-x}\right) \\
    &=-x\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le coefficient directeur de la droite $\left(M_aN_a\right)$ est
    $\begin{align*} m&=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \\
    &=\dfrac{-a}{2a} \\
    &=-\dfrac{1}{2} \\
    &=f'(0)\end{align*}$
    Par conséquent les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
    $\quad$

Énoncé

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

  • la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac{2}{5}$ ;
  • si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
  • la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.

On considère les évènements suivants :

  • $A$ : « Le joueur choisit le monde $\mathrm{A}$ » ;
  • $B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
  • $G$ : « Le joueur gagne la partie ».
  1. La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
    a. $\dfrac{7}{10}$
    b. $\dfrac{3}{25}$
    c. $\dfrac{7}{25}$
    d. $\dfrac{24}{125}$
    $\quad$
  2. La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
    a. $\dfrac{1}{5}$
    b. $\dfrac{1}{3}$
    c. $\dfrac{7}{15}$
    d. $\dfrac{5}{12}$
    $\quad$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

  1. La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
    a. $0,859$
    b. $0,671$
    c. $0,188$
    d. $0,187$
    $\quad$
  2. On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :
    a. $n=2$
    b. $n=3$
    c. $n=4$
    d. $n=5$
    $\quad$
  3. La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
    a. $1-\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
    b. $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
    c. $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
    d. $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de $100~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$ .

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60 \%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0=0,1$.

  1. Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n=0,1 \times 1,6^n$.
    $\quad$
  2. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$.
    $\quad$
  4. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
    $\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6 v_n-1,6 v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

  1. Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
    $\quad$
  2. On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=1,6 x-1,6 x^2$.
    a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
    $\quad$
  3. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0 \pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
    c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  4. On donne ci-dessous la fonction $\text{seuil}$, écrite en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(a) :} \\
    \quad \text{v = 0.1} \\
    \quad \text{n = 0} \\
    \qquad \text{while v < a :} \\
    \qquad \text{v = 1.6 * v – 1.6 * v * v} \\
    \qquad \text{n = n + 1} \\
    \quad \text{return n} \\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Qu’observe-t-on si on saisit $\text{seuil(0.4)}$ ?
    $\quad$
    b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{seuil(0.35)}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

  • le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2 x+y-z+2=0$,
  • le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1 ; 1 ; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$.
  1. a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
    $\quad$
    b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
    Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
    $\quad$
  2. a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$
    b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=-2+t,\quad t \in \mathbb{R} \text {. } \\ z=t\end{cases}$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
    $\quad$

On considère le point $A(1 ; 1 ; 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

  1. On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ;-2+t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
    a. Montrer que, pour tout réel $t, A M_t=\sqrt{2 t^2-8 t+11}$.
    $\quad$
    b. En déduire que $AH=\sqrt{3}$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
    a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
    $\quad$
    b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
    On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. et que $H$ a pour coordonnées $(0;0;2)$.
    Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.
    Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.
    $\quad$

    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \e^{-x}\right)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

  1. a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
    $\quad$
    b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
    $\quad$
    c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
    Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^x}$.
    $\quad$
    d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
    $\quad$
    b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    $\quad$
    c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
    $\quad$
  3. Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.
    a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$.
    $\quad$
    b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
    $\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 18 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 18 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. a. $\vect{AB}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$, $\vect{DC}\begin{pmatrix} 5\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{AD}\begin{pmatrix} -1\\5\\-4\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vect{AB}=\vect{DC}$ donc $ABCD$ est un parallélogramme.
    De plus
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AD}&=5\times (-1)+1\times 5+0\times (-4) \\
    &=-5+5+0\\
    &=0\end{align*}$
    $ABCD$ est donc un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont perpendiculaires.
    Par conséquent $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. On a
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{5^2+1^2+0^2} \\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} AD&=\sqrt{(-1)^2+5^2+(-4)^2} \\
    &=\sqrt{42}\end{align*}$
    L’aire du rectangle $ABCD$ est donc
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=AB\times AD \\
    &=\sqrt{26}\times \sqrt{42}\\
    &=2\sqrt{273}\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ ne sont pas colinéaires (une des coordonnées de $\vect{AB}$ est nulle tandis que la même coordonnée de $\vect{AD}$ ne l’est pas).
    Ainsi $A$, $B$ et $D$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. D’une part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AB}&=-2\times 5+10\times 1+13\times 0\\
    &=-10+10+0\\
    &=0\end{align*}$
    D’autre part
    $\begin{align*} \vec{n}.\vect{AD}&=-2\times (-1)+10\times 5+13\times (-4)\\
    &=2+50-52\\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABD)$.
    $\vec{n}$ est donc normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc de la forme $-2x+10y+13z+d=0$.
    Le point $A(-3;1;3)$ appartient à ce plan.
    Par conséquent $6+10+39+d=0\ssi d=-55$
    Une équation cartésienne du plan $(ABD)$ est donc $-2x+10y+13z-55=0$.
    $\quad$
  3. a. Le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $$\begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\end{cases} \quad t\in \R$$
    $\quad$
    b. Les coordonnées du point $I$ sont solution du système:
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2x+10y+13z-55=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\-2(-3-2t)+10(14+10t)+13(14+13t)-55=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\6+4t+140+100t+182+169t-55=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} x=-3-2t\\y=14+10t\\z=14+13t\\273t+273=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-1\\x=-1\\y=4\\z=1\end{cases}\end{align*}$
    Le point $I$ a donc pour coordonnées $(-1;4;1)$.
    $\quad$
    c. $\vect{IK}\begin{pmatrix} -2\\10\\13\end{pmatrix}$
    Donc
    $\begin{align*} IK&=\sqrt{(-2)^2+10^2+13^2} \\
    &=\sqrt{273}\end{align*}$
    Ainsi la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut bien $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Le volume de la pyramide $KABCD$ est
    $\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times IK \\
    &=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{273}\times \sqrt{273} \\
    &=182\end{align*}$
    $\quad$

 

 

Ex 2

Exercice 2

Partie A

  1. La courbe $\mathscr{C}_2$ représente une fonction qui semble être strictement positive et strictement décroissante sur $]3;+\infty[$. La courbe de sa fonction dérivée est  strictement située en dessous de l’axe des abscisses ce qui n’est pas le cas de la courbe $\mathscr{C}_1$.
    En revanche la courbe $\mathscr{C}_1$ semble représenter une fonction strictement croissante. La courbe de sa fonction dérivée est donc située strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
    Ainsi $f$ est représentée par $\mathscr{C}_1$ et $f’$ par $\mathscr{C}_2$.
    $\quad$
  2. Graphiquement l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution qui vaut environ $5,6$.
    $\quad$
  3. Graphiquement la fonction $f$ semble être concave sur $\R$.
    $\quad$

Partie B

  1. On étudie le signe de la fonction $g$ définie sur $]3;+\infty[$ par $g(x)=x^2-x-6$.
    Le discriminant est $\Delta =25>0$.
    Les racines de $x^2-x-6$ sont donc $x_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2}=3$.
    Le coefficient principale de $x^2-x-6$ est $a=1>0$.
    Ainsi $g(x)>0$ sur $]3;+\infty[$.
    Par conséquent $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie sur $]3;+\infty[$.
    $\quad$
  2. $\lim\limits_{x\to 3^+} x^2-x-6=0$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to 3^+} f(x)=-\infty$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-x-6=+\infty$ (fonction du second degré dont le coefficient principal est positif) et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
    $\quad$
    La droite d’équation $x=3$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x\in I$ on a $f'(x)=\dfrac{2x-1}{x^2-x-6}$.
    $\quad$
    b. Pour tout réel $x\in I$ on a $x^2-x-6>0$. Ainsi, $f'(x)$ est du signe de $2x-1$.
    $2x-1=0\ssi 2x=1\ssi x=\dfrac{1}{2}$
    $2x-1>0 \ssi 2x>1\ssi x>\dfrac{1}{2}$
    Or $\dfrac{1}{2}<3$. Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $f'(x)>0$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :$\quad$
  4. a. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]3;+\infty[$ et donc sur $]5;6[$.
    De plus $f(5)\approx 2,64<3$ et $f(6)\approx 3,18>3$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=3$ admet une unique solution sur l’intervalle $]5;6[$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $5,63<\alpha<5,64$.
    $\quad$
  5. a. La fonction $f’$ est dérivable sur $]3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2-x-6\right)-(2x-1)^2}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-2x-12-\left(4x^2-4x+1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^2} \\
    &=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2} \end{align*}$
    $\quad$
    b. Un carré étant toujours positif, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $-2x^2+2x-13$.
    Son discriminant est $\Delta=-100<0$
    Le coefficient principal du polynôme du second degré est $a=-2<0$.
    Ainsi, pour tout réel $x\in I$, $-2x^2+2x-13<0$.
    Par conséquent, pour tout réel $x\in I$, $f\dsec(x)<0$ et la fonction $f$ est concave sur $I$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie 1

  1. S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’heure à l’aéroport à temps pour son vol. Donc $P_B(V)=1$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  3. $\left(B,\conj{B}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a
    $\begin{align*} P(V)&=P(B\cap V)+P\left(\conj{B}\cap V\right) \\
    &=P(B)\times P_B(V)+P\left(\conj{B}\right)\times P_{\conj{B}}(V) \\
    &=0,2\times 1+0,8\times 0,5 \\
    &=0,6\end{align*}$
    $\quad$
  4. On veut calculer
    $\begin{align*} P_V(B)&=\dfrac{P(V\cap B)}{P(V)} \\
    &=\dfrac{0,2\times 1}{0,6}\\
    &=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
    La probabilité que Julien soit arrivé à l’aéroport en bus sachant qu’il est à l’heure à l’aéroport pour son vol est égale à $\dfrac{1}{3}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. On répète, de façon indépendante, $206$ fois la même expérience de Bernoulli. $X$ compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=206$ et $p=0,95$.
    $\quad$
  2. L’espérance mathématique de $X$ est
    $\begin{align*} E(X)&=np\\
    &=206\times 0,95 \\
    &=195,7\end{align*}$
    En moyenne, $195,7$ (soit environ $196$) passagers vont se présenter à l’embarquement.
    $\quad$
  3. On a
    $\begin{align*} P(X=201)&=\dbinom{206}{201} \times 0,95^{201}\times 0,05^5 \\
    &\approx 0,031\end{align*}$
    La probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement est environ égale à $0,031$.
    $\quad$
  4. D’après la calculatrice, $P(X\pp 200)\approx 0,948$.
    La probabilité que le nombre de passagers se présentant à l’embarquement soit inférieur à la capacité de l’avion est environ égale à $0,948$.
    $\quad$
  5. a. On a :
    $\begin{align*} P(Y=6)&=1-\left(P(Y=0)+P(Y=1)+\ldots+P(Y=5)\right) \\
    &=0,000~03\end{align*}$
    $\quad$
    b. $206$ billets ont été vendus. La compagnie a donc encaissé $206\times 250=51~500$ euros.
    Pour chaque passager lésé la compagnie doit payer $250+600=850$ euros.
    Il y a $Y$ passagers lésés.
    Ainsi $C=51~500-850Y$.
    $\quad$
    c. La loi de probabilité de $C$ est donc donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    c_i&51~500&50~650&49~800&48~950&48100&47~250&46~400 \\
    \hline
    P\left(C=c_i\right)&0,947~75&0,030~63&0,014~41&0,005~39&0,001~51&0,000~28&0,000~03\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’espérance mathématique de $C$ est
    $\begin{align*} E(C)&=51~500\times P(C=51~500)+49~800\times P(C=50~650)+\ldots+46~400\times P(C=46~400) \\
    &=51~429,25\end{align*}$
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également procéder autrement :
    Par linéarité de l’espérance on a :
    $\begin{align*} E(C)&=E(51~500-850Y)\\
    &=51~ 500-850E(Y)\end{align*}$
    On calcule maintenant l’espérance de $Y$.
    $\begin{align*} E(Y)&=1\times P(Y=1)+2\times P(Y=2)+\ldots+6\times P(Y=6) \\
    &= 0,083~24\end{align*}$
    Donc
    $\begin{align*} E(C)&=51~500-850\times 0,083~24 \\
    &=51~429,25\end{align*}$
    $\quad$
    d. En vendant $200$ billets le chiffre d’affaires est $200\times 250=50~000$ euros.
    Ainsi le chiffre d’affaires moyen en pratiquant le surbooking est supérieur à celui obtenu en vendant exactement $200$ billets.
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. On a
    $\begin{align*} p_1&=0,3+0,7p_0^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,3^2 \\
    &=0,363\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} p_2&=0,3+0,7p_1^2 \\
    &=0,3+0,7\times 0,363^2 \\
    &=0,392~238~3\end{align*}$
    La probabilité que la bactérie ait au plus une seule descendance est égale à $0,363$ et la probabilité qu’elle ait au plus deux descendance est égale à $0,392~238~3$.
    $\quad$
    b. La probabilité d’obtenir au moins $11$ générations de bactérie est $1-p_{10}\approx 0,572$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(p_n\right)$ semble être croissante et converger vers un réel sont la valeur est environ égale à $0,428~5$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $R(n):~0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    Initialisation : $p_0=0,3$ et $p_1=0,363$ donc $0\pp p_0\pp p_1 \pp 0,5$.
    Par conséquent $R(0)$ est vraie.
    $\quad$Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
    $\begin{align*} 0\pp p_n\pp p_{n+1}\pp 0,5&\Rightarrow 0 \pp p_n^2\pp p_{n+1}^2 \pp 0,25 \\
    &\Rightarrow 0 \pp 0,7p_n^2\pp 0,7p_{n+1}^2 \pp 0,175 \\
    &\Rightarrow 0,3 \pp 0,3+0,7p_n^2\pp 0,3+0,7p_{n+1}^2 \pp 0,475 \end{align*}$
    Par conséquent $0\pp 0,3\pp p_{n+1}\pp p_{n+2} \pp 0,475\pp 0,5$ et $R(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n\pp p_{n+1} \pp 0,5$.
    $\quad$
    b. La suite $\left(p_n\right)$ est croissante et majorée par $0,5$; elle converge donc vers un réel $L$.
    $\quad$
  3. a. La fonction $f:~x\mapsto 0,3+0,7x^2$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, $p_{n+1}=f\left(p_n\right)$.
    Ainsi $L$ est solution de l’équation $x=f(x)$ soit $0,7x^2-x+0,3=0$.
    $\quad$
    b. Le discriminant de $0,7x^2-x+0,3$ est $\Delta =0,16>0$.
    Ce polynôme du second degré admet donc deux racines : $x_1=\dfrac{1-\sqrt{0,16}}{1,4}=\dfrac{3}{7}$ et $x_2=\dfrac{1+\sqrt{0,16}}{1,4}=1$.
    Seule $x_1$ appartient à l’intervalle $[0;0,5]$.
    Donc $L=\dfrac{3}{7}$.
    $\quad$
  4. On obtient la fonction suivante :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = 0.3}\\
    \quad \text{s= [p]}\\
    \quad \text{for i in range(n – 1):}\\
    \qquad \text{p = 0.3 + 0.7 * p ** 2}\\
    \qquad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Dans un repère orthonormé $\Oijk$ de l’espace, on considère les points $$A(-3 ; 1 ; 3),~B(2 ; 2 ; 3),~C(1 ; 7 ; -1),~D(-4 ; 6 ; -1) \text{ et } K(-3 ; 14 ; 14)$$

  1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{AB}$, $\vect{DC}$ et $\vect{AD}$.
    $\quad$
    b. Montrer que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
    $\quad$
    c. Calculer l’aire du rectangle $ABCD$.
    $\quad$
  2. a. Justifier que les points $A$, $B$ et $D$ définissent un plan.
    $\quad$
    b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(-2 ; 10 ; 13)$ est un vecteur normal au plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABD)$.
    $\quad$
  3. a. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan $(ABD)$ et qui passe par le point $K$.
    $\quad$
    b. Déterminer les coordonnées du point $I$, projeté orthogonal du point $K$ sur le plan $(ABD)$.
    $\quad$
    c. Montrer que la hauteur de la pyramide $KABCD$ de base $ABCD$ et de sommet $K$ vaut $\sqrt{273}$.
    $\quad$
  4. Calculer le volume $V$ de la pyramide $KABCD$.
    On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$$
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     7 points

Principaux domaines abordés : Étude des fonctions. Fonction logarithme.

Partie A

 

Dans le repère orthonormé ci-dessus, sont tracées les courbes représentatives d’une fonction $f$ et de sa fonction dérivée, notée $f’$
, toutes deux définies sur $]3 ; +\infty[$.

  1. Associer à chaque courbe la fonction qu’elle représente. Justifier.
    $\quad$
  2. Déterminer graphiquement la ou les solutions éventuelles de l’équation $f (x) = 3$.
    $\quad$
  3. Indiquer, par lecture graphique, la convexité de la fonction $f$.
    $\quad$

Partie B

  1. Justifier que la quantité $\ln\left(x^2-x-6\right)$ est bien définie pour les valeurs $x$ de l’intervalle $]3 ; +\infty[$, que l’on nommera $I$ dans la suite.
    $\quad$
  2. On admet que la fonction $f$ de la Partie A est définie par $f(x)=\ln\left(x^2-x-6\right)$ sur $I$.
    Calculer les limites de la fonction $f$ aux deux bornes de l’intervalle $I$.
    En déduire une équation d’une asymptote à la courbe représentative de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$
  3. a. Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à $I$.
    $\quad$
    b. Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $I$.
    Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de $I$.
    $\quad$
  4. a. Justifier que l’équation $f(x) = 3$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $]5; 6[.$
    $\quad$
    b. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$
  5. a. Justifier que $f\dsec(x)=\dfrac{-2x^2+2x-13}{\left(x^2-x-6\right)^2}$.
    $\quad$
    b. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $I$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     7 points

Principaux domaines abordés: Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires.

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes

Partie 1
Julien doit prendre l’avion; il a prévu de prendre le bus pour se rendre à l’aéroport.
S’il prend le bus de 8 h, il est sûr d’être à l’aéroport à temps pour son vol.
Par contre, le bus suivant ne lui permettrait pas d’arriver à temps à l’aéroport.
Julien est parti en retard de son appartement et la probabilité qu’il manque son bus est de $0,8$.
S’il manque son bus, il se rend à l’aéroport en prenant une compagnie de voitures privées; il a alors une probabilité de $0,5$ d’être à l’heure à l’aéroport.
On notera :

  • $B$ l’évènement : « Julien réussit à prendre son bus »;
  • $V$ l’évènement : « Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol ».
  1. Donner la valeur de $P_B (V )$.
    $\quad$
  2. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
  3. Montrer que $P(V) = 0,6$.
    $\quad$
  4. Si Julien est à l’heure à l’aéroport pour son vol, quelle est la probabilité qu’il soit arrivé à l’aéroport en bus ? Justifier.
    $\quad$

Partie 2

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé.
On appelle cette pratique le surbooking.
Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a $5 \%$ de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.
Considérons un vol dans un avion de $200$ places pour lequel $206$ billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

  1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    $\quad$
  2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?
    $\quad$
  3. Calculer la probabilité que $201$ passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près.
    $\quad$
  4. Calculer $P(X \pp 200)$, le résultat sera arrondi à $10^{-3}$ près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  5. La compagnie aérienne vend chaque billet à $250$ euros.
    Si plus de $200$ passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de $600$ euros à chaque passager lésé.
    On appelle :
    $\bullet~~Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet;
    $\bullet~~C$ la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaire de la compagnie aérienne sur ce vol.
    $\quad$
    On admet que $Y$ suit la loi de probabilité donnée par le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    y_i& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\
    \hline
    P\left(Y = y_i\right)&0,947~75& 0,030~63 &0,014~41 &0,005 ~39 &0,001~51& 0,000~28&\phantom{0,000~28}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant $P(Y = 6)$.
    $\quad$
    b. Justifier que : $C = 51500−850Y$.
    $\quad$
    c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $C$ sous forme d’un tableau.
    Calculer l’espérance de la variable aléatoire $C$ à l’euro près.
    $\quad$
    d. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement $200$ billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Principaux domaines abordés: Suites numériques. Algorithmique et programmation.

On s’intéresse au développement d’une bactérie.
Dans cet exercice, on modélise son développement avec les hypothèses suivantes : cette bactérie a une probabilité $0,3$ de mourir sans descendance et une probabilité $0,7$ de se diviser en deux bactéries filles.
Dans le cadre de cette expérience, on admet que les lois de reproduction des bactéries sont les mêmes pour toutes les générations de bactéries qu’elles soient mère ou fille.
Pour tout entier naturel $n$, on appelle $p_n$ la probabilité d’obtenir au plus $n$ descendances pour une bactérie.
On admet que, d’après ce modèle, la suite $\left(p_n\right)$ est définie de la façon suivante :
$p_0 = 0,3$ et, pour tout entier naturel $n$, $$p_{n+1} = 0,3+0,7p_n^2$$

  1. La feuille de calcul ci-dessous donne des valeurs approchées de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
    $\quad$
    a. Déterminer les valeurs exactes de $p_1$ et $p_2$ (masquées dans la feuille de calcul) et interpréter ces valeurs dans le contexte de l’énoncé.
    $\quad$
    b. Quelle est la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, d’obtenir au moins $11$ générations de bactéries à partir d’une bactérie de ce type ?
    $\quad$
    c. Formuler des conjectures sur les variations et la convergence de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
  2. a. Démontrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $0\pp p_n \pp p_{n+1}\pp 0,5$.
    $\quad$
    b. Justifier que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  3. On appelle $L$ la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    a. Justifier que $L$ est solution de l’équation $0,7x
    2- x+0,3 = 0$
    $\quad$
    b. Déterminer alors la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
    $\quad$
  4. La fonction suivante, écrite en langage Python, a pour objectif de renvoyer les $n$ premiers termes de la suite $\left(p_n\right)$.
    $$\begin{array}{ll}
    \begin{array}{l} 1\\2\\3\\4\\5\\6\\7\end{array}&\begin{array}{|l|}\hline\text{def suite(n) :}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s = [p]}\\
    \quad \text{for i in range (…):}\\
    \quad \text{p = …}\\
    \quad \text{s.append(p)}\\
    \quad \text{return (s)}\\
    \hline
    \end{array}\end{array}$$
    Recopier, sur votre copie, cette fonction en complétant les lignes 2, 4 et 5 de façon à ce que la fonction $\texttt{suite(n)}$ retourne, sous forme de liste, les $n$ premiers termes de la suite.
    $\quad$

$\quad$

 

 

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 5 mai 2022

Polynésie – 5 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 2- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives

  1. Pour tout $x\in ]0;+\infty[$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 \\
    &=\ln(x)\end{align*}$
    Réponse a
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x\in ]0;+\infty[$ on a $g(x)=x^2-x^2\ln(x)$
    Or $\lim\limits_{x\to 0} x^2=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x^2\ln(x)=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to 0} g(x)=0$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x\left(x^2-0,9x-0,1\right)$
    $f(x)=0\ssi x=0$ ou $x^2-0,9x-0,1=0$.
    Le discriminant de $x^2-0,9x-0,1$ est $\Delta=(-0,9)^2-4\times \times 1\times (-0,1)=1,21>0$.
    L’équation $x^2-0,9x-0,1=0$ possède donc deux solutions distinctes. $0$ n’est pas solution de cette équation.
    Ainsi l’équation $f(x)=0$ admet exactement $3$ solutions.
    Réponse d
    $\quad$
  4. On considère la fonction $K$ définie sur $\R$ par $K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)$
    La fonction $K$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} K'(x)&=\dfrac{1}{2}\times 2H'(2x)\\
    &=H'(2x) \\
    &=h(2x)\\
    &=k(x)\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  5. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*}f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
    &=(1+x)\e^x\end{align*}$
    Donc $f'(1)=2\e$.
    De plus $f(1)=\e$.
    Une équation de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ est donc $y=2\e(x-1)+\e$
    Soit $y=2\e x-\e$.
    Réponse b
    $\quad$
  6. $\quad$
    $\begin{align*} (0,2)^n<0,001&\ssi n\ln(0,2)<\ln(0,001) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\qquad \text{(car $\ln(0,2)<0$)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\approx 4,29$.
    L’ensemble solution de l’inéquation est donc l’ensemble des entiers naturels supérieurs ou égaux à $5$.
    Réponse d
    $\quad$

Ex 2

Exercice 2     7 points

Thème : probabilités

Partie 1

  1. On a $P(C)=0,2$ et $P_C(D)=0,1$
    Donc
    $\begin{align*} P(C\cap D)&=P(C)\times P_C(D) \\
    &=0,2\times 0,1\\
    &=0,02\end{align*}$
    $\quad$
  2. $\left(C,\conj{C}\right)$ forme un système complet d’événements finis.
    D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} P(D)&=P(C\cap D)+P\left(\conj{C}\cap D\right) \\
    &=0,02+P\left(\conj{C}\right)\times P_{\conj{C}}(D) \\
    &=0,02+0,8\times 0,02 \\
    &=0,036\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer
    $\begin{align*} P_D(C)&=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)} \\
    &=\dfrac{0,02}{0,036} \\
    &=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
    La probabilité que le casque soit contrefait sachant qu’il a un défaut est égale à $\dfrac{5}{9}$.
    $\quad$

Partie 2

  1. a. On répète $35$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. $X$ est égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{35}{1}\times 0,036^1\times (1-0,036)^{35-1} \\
    &=35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,362\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés exactement un casque présentant un défaut de conception est environ égale à $0,362$.
    $\quad$
    c. 
    $\begin{align*}P(X\pp 1)&=P(X=0)+P(X=1) \\
    &=0,964^{35}+35\times 0,036\times 0,964^{34} \\
    &\approx 0,639\end{align*}$
    $\quad$
  2. On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,036$. On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de casques présentant un défaut de conception.
    Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,036$.
    $\begin{align*} P(Y\pg 1)>0,99 &\ssi 1-P(Y=0)>0,99 \\
    &\ssi P(Y=0)<0,01  \\
    &\ssi 0,964^n <0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,964)<\ln(0,01) \\
    &\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \qquad \text{(car $\ln(0,964)<0$)} \end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,964)} \approx 125,6$.
    Il faut donc commander au moins $126$ casques pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3     7 points

Thème : suites, fonctions

  1. $\quad$
    $\begin{align*} u_1&=0,008u_1\left(200-u_1\right) \\
    &=0,008\times 40(200-40)\\
    &=51,2\end{align*}$
    Selon ce modèle il y avait environ $52$ oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    $\quad$
  2. $\quad$
    $\begin{align*}
    f(x)=x&\ssi 0,008x(200-x)=x \\
    &\ssi 0,008x(200-x)-x=0 \\
    &\ssi x\left(0,008(200-x)-1\right)=0 \\
    &\ssi x(1,6-0,008x-1)=0 \\
    &\ssi (0,6-0,008x)=0\\
    &\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-0,008x=0 \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{0,6}{0,008} \\
    &\ssi x=0 \text{ ou } x=75 \end{align*}$
    Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sont donc $0$ et $75$.
    $\quad$
  3. a. Il y a au moins deux méthodes pour répondre à la question :
    – étudier le signe de $f'(x)$;
    – utiliser les propriétés sur les variations des fonctions polynômes du second degré (ce qui va être fait ici)
    Pour tout réel $x$ on a
    $f(x)=-0,008x^2+1,6x$
    Le coefficient principal est $a=-0,008<0$.
    Ainsi $f$ admet un maximum au point d’abscisse $\dfrac{-1,6}{2\times (-0,008)} =100$.
    La fonction est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;100]$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=0,008u_n\left(200-u_n\right)$
    Donc $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
    Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp u_n \pp u_{n+1}\pp 100$.
    Initialisation : $u_0=40$ et $u_1=51,2$. Or $0\pp 40\pp 51,2\pp 100$. Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    La fonction $f$ est croissante sur $[0;100]$.
    Donc $f(0) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp f(100)$
    Soit $0\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 80\pp 100$. $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $100$.
    Elle converge donc vers un réel $\ell$.
    $\quad$
    d. La fonction $f$ est continue sur $[0;100]$.
    Donc $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$ dont l’unique solution est $75$ d’après la question 2.
    Ainsi $\ell=75$.
    Cela signifie que sur le long terme la colonie comptera $75$ individus.
    $\quad$
  4. La fonction renvoie l’année où la population dépasse la valeur $p$ envoyée en paramètre.
    La suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $75$. Elle ne peut donc pas prendre de valeurs supérieures à $100$.
    Cela explique donc pourquoi $\texttt{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur.
    Remarque : On se retrouve dans une boucle infinie!
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4     7 points

Thème : géométrie dans le plan et l’espace

Partie 1. Première méthode

  1. On a $A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ et $G(1;1;1)$.
    $\quad$
  2. $\vect{BK}\left(-1;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)$.
    $\vect{AI}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$ et $\vect{AG}(1;1;1)$.
    Les vecteurs $\vect{AI}$ et $\vect{AG}$ ne sont pas colinéaires.
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AI}&=-1\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    $\begin{align*} \vect{BK}.\vect{AG}&=-1\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1+\dfrac{1}{2}\times 1 \\
    &=0\end{align*}$
    Le vecteur $\vect{BK}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(AIG)$.
    Par conséquent la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. $-2\vect{BK}(2;-1;-1)$ est normal au plan $(AIG)$.
    Une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est donc de la forme $2x-y-z+d=0$.
    Or $A(0;0;0)$ appartient à ce plan donc $d=0$.
    Ainsi, une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Une représentation paramétrique de la droite $(BK)$ est :
    $\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=-t\end{cases} \qquad ,\forall t\in \R$.
    Remarque : plutôt que de prendre le vecteur $\vect{BK}$ comme vecteur directeur, on peut choisir $2\vect{BK}$ dont les coordonnées sont entières.
    $\quad$
  5. $2\times \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0$ donc $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ appartient au plan $(AIG)$.
    En prenant $t=-\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(BK)$ on retrouve les coordonnées du point $L$.
    Ainsi $L$ appartient à la fois à la droite $(BK)$ et au plan $(AIG)$.
    $L\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur le plan $(AIG)$.
    $\quad$
  6. $\vect{BL}\left(-\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3}\right)$
    $\begin{align*} BL&=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
    &=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{align*}$
    La distance du point $B$ au plan $(AIG)$ est donc égale à $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

  1. a. $ABCDEFGH$ est un cube. L’arête $[FG]$ est perpendiculaire au plan $(ABF)$ auquel appartient le point $I$.
    Donc, dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. L’aire de $AIB$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AE\times AB}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    De plus $GF=1$
    Ainsi, le volume de $ABIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times GF\times \mathscr{B} \\
    &=\dfrac{1}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  2. Le triangle $AIG$ est donc isocèle en $I$.
    La hauteur issue de $I$ coupe donc le côté $[AG]$ en son milieu $0$.
    Ainsi $AO=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    Dans le triangle $AOI$ rectangle en $O$ on applique le théorème de Pythagore.
    $\begin{align*}AI^2=AO^2+OI^2 &\ssi OI^2=AI^2-AO^2 \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4} \\
    &\ssi OI^2=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
    Donc $OI=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
    L’aire du triangle $AIG$ est :
    $\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{OI\times AG}{2} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}\times \sqrt{3}}{2} \\
    &=\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
    $\quad$
  3. On appelle $h$ la longueur de la hauteur issue de $B$ dans le tétraèdre $ABIG$
    Ainsi
    $\begin{align*} \mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times h\times \mathscr{A} &\ssi
    \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}h\\
    &\ssi h=\dfrac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}} \\
    &\ssi h=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    On retrouve bien la valeur trouvée à la question 6. puisque :
    $\begin{align*} \sqrt{\dfrac{2}{3}}&=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
    $\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

Exercice 1     7 points

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ par :
    $$
    f(x)=x \ln (x)-x+1
    $$
    Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de $f$ ?
    a. $\ln (x)$
    b. $\dfrac{1}{x}-1$
    c. $\ln (x)-2$
    d. $\ln (x)-1$
    $\quad$
  2. On considère la fonction $g$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $g(x)=x^2\left[1-\ln (x)\right]$. Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte?
    a. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=+\infty$
    b. $\lim\limits_{x \to 0} g(x)=-\infty$
    c. $\lim\limits_{x  \to 0} g(x)=0$
    d. La fonction $g$ n’admet pas de limite en $0$.
    $\quad$
  3. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-0,9 x^2-0,1 x$.
    Le nombre de solutions de l’équation $f(x)=0$ sur $\mathbb{R}$ est :
    a. $0$
    b. $1$
    c. $2$
    d. $3$
    $\quad$
  4. Si $H$ est une primitive d’une fonction $h$ définie et continue sur $\mathbb{R}$, et si $k$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $k(x)=h(2x)$, alors, une primitive $K$ de $k$ est définie sur $\mathbb{R}$ par :
    a. $K(x)=H(2 x)$
    b. $K(x)=2 H(2 x)$
    c. $K(x)=\dfrac{1}{2} H(2x)$
    d. $K(x)=2 H(x)$
    $\quad$
  5. L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $1$ de la courbe de la fonction $f$ définie sur $\mathbf{R}$ par $f(x)=x \e^x$ est :
    a. $y=\e x+\e$
    b. $y=2 \e x-\e$
    c. $y=2 \e x+\e$
    d. $y=\e x$
    $\quad$
  6. Les nombres entiers $n$ solutions de l’inéquation $(0,2)^n<0,001$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que :
    a. $n \pp 4$
    b. $n \pp 5$
    c. $n \pg 4$
    d. $n \pg 5$
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 2     7 points

Thèmes : probabilités

Les douanes s’intéressent aux importations de casques audio portant le logo d’une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d’estimer que :

  • $20 \%$ des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
  • $2 \%$ des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
  • $10 \%$ des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L’agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :

  • $C:$ «le casque est contrefait »;
  • $D:$ : le casque présente un défaut de conception “;
  • $\conj{C}$ et $\conj{D}$ désignent respectivement les événements contraires de $C$ et $D$.

Dans l’ensemble de l’exercice, les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ si nécessaire.

Partie 1

  1. Calculer $P(C \cap D)$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2. Démontrer que $P(D)=0,036$.
    $\quad$
  3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu’il soit contrefait ?
    $\quad$

Partie 2
On commande $n$ casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

  1. Dans cette question, $n=35$.
    a. Justifier que $X$ suit une loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$ où $n=35$ et $p=0,036$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
    $\quad$
    c. Calculer $P(X \pp 1)$.
    $\quad$
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé.
    Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu’au moins un casque présente un défaut soit supérieure à $0,99$ ?
    $\quad$

$\quad$

 

Exercice 3     7 points

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l’année 2021, une colonie d’oiseaux comptait 40 individus. L’observation conduit à modéliser l’évolution de la population par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
$$
\left\{\begin{aligned}
u_0 & =40 \\
u_{n+1} & =0,008 u_n\left(200-u_n\right)
\end{aligned}\right.
$$
où $u_n$ désigne le nombre d’individus au début de l’année $(2021+n)$.

 

  1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d’oiseaux dans la colonie au début de l’année 2022.
    On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[0 ; 100]$ par $f(x)=0,008 x(200-x)$.
    $\quad$
  2. Résoudre dans l’intervalle $[0 ; 100]$ l’équation $f(x)=x$.
    $\quad$
  3. a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; 100]$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
    b. En remarquant que, pour tout entier naturel $n, u_{n+1}=f\left(u_n\right)$, démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ :
    $$
    0 \pp u_n \pp u_{n+1} \pp 100 .
    $$
    $\quad$
    c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
    d. Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  4. On considère l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil(p) :}\\
    \quad \text{n = 0}\\
    \quad \text{u = 40}\\
    \quad \text{while u < p :}\\
    \qquad \text{n = n + 1}\\
    \qquad \text{u = 0.008 * u * (200 – u)}\\
    \quad \text{return (n+2021)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de $\text{seuil(100)}$ ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l’aide de la question 3.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l’espace

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête de longueur $1$.
L’espace est muni du repère orthonormé $\left(A ; \vect{AB}, \vect{AD}, \vect{AE}\right)$. Le point $I$ est le milieu du segment $[EF]$, $K$ le centre du carré $ADHE$ et $O$ le milieu du segment $[AG]$.

Le but de l’exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.

Partie 1. Première méthode

  1. Donner, sans justification, les coordonnées des points $A$, $B$, et $G$.
    On admet que les points $I$ et $K$ ont pour coordonnées $I\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$ et $K\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{2}\right)$.
    $\quad$
  2. Démontrer que la droite $(BK)$ est orthogonale au plan $(AIG)$.
    $\quad$
  3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan $(AIG)$ est : $2x-y-z=0$.
    $\quad$
  4. Donner une représentation paramétrique de la droite $(BK)$.
    $\quad$
  5. En déduire que le projeté orthogonal $L$ du point $B$ sur le plan $(AIG)$ a pour coordonnées $L\left(\dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{1}{3}\right)$.
    $\quad$
  6. Déterminer la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3} \times b \times h$, où $b$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.

  1. a. Justifier que dans le tétraèdre $ABIG$, $[GF]$ est la hauteur relative à la base $AIB$.
    $\quad$
    b. En déduire le volume du tétraèdre $ABIG$.
    $\quad$
  2. On admet que $AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ et que $AG=\sqrt{3}$.
    Démontrer que l’aire du triangle isocèle $AIG$ est égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ unité d’aire.
    $\quad$
  3. En déduire la distance du point $B$ au plan $(AIG)$.
    $\quad$

$\quad$