E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM et comprend cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée, mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire aucun point.

Question 1

On donne ci-dessous la courbe représentative $C_f$ d’une fonction $f$.


Cette courbe a une tangente $T$ au point $A(-3 ; 3)$.
L’équation réduite de cette tangente est :

a. $y=\dfrac{1}{5}x-3,7$
b. $y=\dfrac{1}{5}x+18$
c. $y=5x+18$
d. $y=5x-3,7$

$\quad$

Correction Question 1

D’après le graphique, l’ordonnée à l’origine de la droite $T$ est $18$.
Cette droite passe par les points de coordonnées $(-3;3)$ et $(0;18)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{18-3}{0-(-3)}\\
&=5\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On reprend la fonction $f$ de la question précédente. La représentation graphique de sa fonction dérivée est :

$\quad$

Correction Question 2

D’après le graphique, la fonction $f$ est croissante sur les intervalles $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et décroissante sur l’intervalle $[-2;2]$.
$f'(x)$ est donc positif sur $]-\infty;-2]$ et $[2;+\infty[$ et négatif sur $[-2;2]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

L’expression $\cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)$ est égale à :

a. $-2\cos(x)$
b. $0$
c. $\cos(x)+\sin(x)$
d. $2\cos(x)$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \cos(x+\pi)+\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)&=-\cos(x)+\cos(x)\\
&=0\end{align*}$

Réponse 0

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction polynôme du second degré $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+4x+6$.
Cette fonction est strictement positive sur l’intervalle :

a. $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$
b. $]-1;3[$
c. $]-\infty;-3[\cup]1;+\infty[$
d. $]-3;1[$

$\quad$

Correction Question 4

Le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times (-2)\times 6\\
&=64\\
&>0\end{align*}$

Les racines sont donc :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{64}}{-4}\\
&=3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{64}}{-4}\\
&=-1\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=-2<0$.
Par conséquent $f(x)>0$ sur l’intervalle $]-1;3[$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=(2x-1)\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $h$ est définie sur $\R$ par :

a. $h'(x)=2\e^x$
b. $h'(x)=(2x+1)\e^x$
c. $h'(x)=(2x-1)\e^x$
d. $h'(x)=-\e^x$

$\quad$

Correction Question 5

La fonction $h $est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=2\e^x +(2x-1)\e^x \\
&=(2+2x-1)\e^x\\
&=(2x+1)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Une fonction du second degré $f$ a pour forme canonique valable pour tout réel $x$ : $f(x)=3(x+2)^2+5$.
Concernant son discriminant :

a. on peut dire qu’il est nul
b. on peut dire qu’il est strictement positif
c. on peut dire qu’il est strictement négatif
d. on ne peut rien dire sur son signe

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a donc $f(x)\pg 5$.
Donc l’équation $f(x)=0$ n’admet pas de solution réelle.
Son discriminant est donc strictement négatif.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est :

a. $\vec{u}(2;3)$
b. $\vec{u}(-3;2)$
c. $\vec{u}(3;2)$
d. $\vec{u}(-2;3)$

$\quad$

Correction Question 2

Un vecteur directeur d’une droite dont une équation cartésienne est $ax+by+c=0$ est $\vec{u}(-b;a)$.

Un vecteur directeur de la droite d’équation $2x+3y+5=0$ est $\vec{u}(-3;2)$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(3; -1)$, $B( 4 ; 2)$ et $C (1 ; 1)$.
Le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ est égal à :

a. $-4$
b. $2$
c. $4$
d. $8$

$\quad$

Correction Question 3

On a $\vec{AB}(1;3)$ et $\vec{AC}(-2;2)$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=1\times (-2)+3\times 2 \\
&=-2+6\\
&=4\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $g(x)=(2x+1)\e^x$.
Pour tout réel $x$, $g'(x)$ est égal à :

a. $2\e^x$
b. $2x\e^x$
c. $(2x+2)\e^x$
d. $(2x+3)\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x+1)\e^x \\
&=(2+2x+1)\e^x \\
&=(2x+3)\e^x\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\sin(x+\pi)$ est égal à :

a. $\cos x$
b. $\sin x$
c. $-\cos x$
d. $-\sin x$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a $\sin(x+\pi)=-\sin x$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre  correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $c$ un nombre réel strictement supérieur à $1$. Sur l’ensemble des nombres réels, la fonction polynôme $f$ définie par $f(x)=x^2+2x+c$.

a. change de signe exactement $2$ fois
b. change de signe exactement une fois
c. est toujours positive
d. est toujours négative

$\quad$

Correction Question 1

$c>1$ donc $1-c<0$

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=2^2-4\times 1\times c\\
&=4(1-c)\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.

Ainsi $f(x)>0$ sur $\R$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Si $x$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ tel que $\cos x =\dfrac{3}{5}$, alors $\sin x$ a pour valeur

a. $\dfrac{4}{5}$
b. $-\dfrac{4}{5}$
c. $-\dfrac{2}{5}$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 2

$x$ appartient à l’intervalle $[-\pi ; 0]$ donc $\sin x\pp 0$.
Pour tout réel $x$ on a $\cos^2 x+\sin^2 x=1$
Donc $\dfrac{9}{25}+\sin^2 x=1 \ssi \sin^2x=\dfrac{16}{25}$
Ainsi $\sin x=\dfrac{4}{5}$  ou $\sin x=-\dfrac{4}{5}$
Puisque $\sin x\pp 0$ on a $\sin x=-\dfrac{4}{5}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Le quadrilatère $ABCD$ est un carré. On a :

a. $\vect{AB}.\vect{AD}=0$
b. $\vect{AB}.\vect{AC}=0$
c. $\vect{AB}.\vect{AB}=0$
d. $\vect{AB}.\vect{DC}=0$

$\quad$

Correction Question 3

$ABCD$ est un carré. Les droites $(AB)$ et $(AD)$ sont donc perpendiculaires.
Par conséquent $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

La droite d’équation $2x-y+1=0$coupe l’axe des abscisses au point $A$ de coordonnées :

a.  $A(0 ; 1)$
b. $A\left(\dfrac{1}{2};0\right)$
c.  $A(0 ; -1)$
d. $A\left(-\dfrac{1}{2};0\right)$

$\quad$

Correction Question 4

On veut résoudre l’équation $2x-0+1=0 \ssi x=-\dfrac{1}{2}$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Pour tout réel $x$, $\dfrac{\e^x}{\e^{-x}}$ est égal à

a. $-1$
b. $\e^{-2x}$
c. $\left(\e^x\right)^2$
d. $\e^0$

$\quad$

Correction Question 5

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \dfrac{\e^x}{\e^{-x}}&=\e^{x-(-x)}\\
&=\e^{2x}\\
&=\left(\e^x\right)^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un QCM en 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée, cependant des traces de recherche au brouillon peuvent aider à trouver la bonne réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans le repère orthogonal suivant on a tracé quatre courbes, chacune associée à une fonction de variable réelle $x$ et d’expression $\e^{\lambda x}$ où $\lambda$ est un paramètre réel.

Quelle courbe possède le plus petit paramètre $\lambda$?

a. $\mathcal{C}_f$
b. $\mathcal{C}_g$
c. $\mathcal{C}_h$
d. $\mathcal{C}_i$

$\quad$

Correction Question 1

Le paramètre $\lambda$ est négatif pour les fonctions $f$ et $g$ et positifs pour les fonctions $h$ et $i$.
Pour une abscisse négative donnée, le point de la courbe $\mathcal{C}_g$ associé a une ordonnée supérieure à celle du point de la courbe $\mathcal{C}_f$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On choisit au hasard un couple ayant deux enfants et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de filles du couple. On admet que la probabilité qu’un enfant soit une fille est égale à $0,5$ et qu’il y a indépendance du sexe de l’enfant entre deux naissances.
Déterminer $P(X \pg 1)$.

a. $0,25$
b. $0,5$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $0,75$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-0,5^2\\
&=0,75\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On a représenté ci-dessous la courbe $\mathscr{C}$ de la fonction sinus dans un repère orthogonal.

$A_0$, $A_1$, $A_2$, $A_3$ et $A_4$ sont des points de $\mathcal{C}$ et ils tous la même ordonnée.

Parmi les segments suivants, lequel a pour longueur la période de la fonction sinus?

a. $\left[A_0;A_1\right]$
b. $\left[A_0;A_2\right]$
c. $\left[A_0;A_3\right]$
d. $\left[A_0;A_4\right]$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction sinus est une fonction périodique de période $2\pi$.
Seuls les points $A_0$ et $A_3$ ont des abscisses séparées de $2\pi$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=0,5x^2-2x+1$.
On considère l’équation $f(x)=0$, d’inconnue $x\in \R$. L’ensemble des solutions de cette équation est :

a. $\emptyset$
b. $\left\{2-\sqrt{2};2+\sqrt{2}\right\}$
c. $\left\{2-\sqrt{6};2+\sqrt{6}\right\}$
d. $\left\{4-2\sqrt{2};4+2\sqrt{2}\right\}$

$\quad$

Correction Question 4

$f(x)$ est un polynôme du second degré dont le discriminant est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 0,5\times 1 \\
&=2\end{align*}$
Les racines sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{2-\sqrt{2}}{1}\\
&=2-\sqrt{2}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{2+\sqrt{2}}{1}\\
&=2+\sqrt{2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

$ABC$ est un triangle tel que : $AB = 5$, $BC = 2$, $\widehat{ABC} = 60$°.  La longueur $AC$ est égale à

a. $\sqrt{19}$
b. $\sqrt{21}$
c. $\sqrt{28}$
d. $\sqrt{29}$

$\quad$

Correction Question 5

D’après la formule d’Al-Kashi on a :
$\begin{align*} AC^2&=AB^2+BC^2-2AB\times BC\cos \widehat{ABC}\\
&=25+4-20\cos(60)\\
&=19\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x$
.

  1. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
    a. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'(x)=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations de $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative dans un repère et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point $A$ d’abscisse $0$.
    a. Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$
    b. On admet que la tangente $\mathcal{T}$ recoupe la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $P$ d’abscisse $a$ strictement positive. A l’aide de votre calculatrice, donner un encadrement de $a$ au dixième près.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=(2x-2,5)\e^x+\left(x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(2x-2,5+x^2-2,5x+1\right)\e^x\\
    &=\left(x^2-0,5x-1,5\right)\e^x\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x^2-0,5x-1,5$.
    Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)\\
    &=6,25\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{0,5-\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{0,5+\sqrt{6,25}}{2}\\
    &=1,5\end{align*}$
    Ainsi :
    $\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1,5;+\infty[$
    $\bullet$ $f'(-1)=f'(1,5)=0$
    $\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]-1;1,5[$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]\cup[1,5;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;1,5]$.
    $\quad$
  2. a. Une équation de $\mathcal{T}$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $f(0)=1$ et $f'(0)=-1,5$.
    Une équation de la droite $\mathcal{T}$ est donc $y=-1,5x+1$.
    $\quad$
    b. D’après la calculatrice $a\approx 1,8$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Soit $h$ la fonction définie sur $[0 ; 26]$ par : $h(x)=-x^3+30x^2-108x-490$.

  1. Soit $h’$ la fonction dérivée de $h$. Exprimer $h'(x)$ en fonction de $x$.
    $\quad$
  2. On note $C$ la courbe représentative de $h$ et $C’$ celle de $h’$.
    a. Identifier $C$ et $C’$ sur le graphique orthogonal ci-dessous parmi les trois courbes $C_1$, $C_2$ et $C_3$ proposées.
    $\quad$
    b. Justifier le choix pour $C’$.$\quad$
  3. Soit $(T)$ la tangente à $C$ au point $A$ d’abscisse $0$. Déterminer son équation réduite.
    $\quad$
  4. Étudier le signe de $h'(x)$ puis dresser le tableau de variation de la fonction $h$ sur $[0; 26]$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $h$ est dérivable sur $[0;26]$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[0;26]$ on a :
    $\begin{align*} h'(x)&=-3x^2+30\times 2x-108 \\
    &=-3x^2+60x-108\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. et b. On a $h(0)=490$.
    C’est par conséquent la courbe $C_2$ qui représente la fonction $h$.
    Le coefficient principal de $h'(x)$ est $a=-3<0$. $h’$ est donc représentée par la courbe $C_1$.
    $\quad$
    Remarque : La fonction $h$ est définie sur $[0;26]$ alors que les courbes laissent supposer qu’elles représentent des fonctions définies sur $\R$!
    $\quad$
  3. Une équation de la la droite $(T)$ est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    Or $f(0)=-490$ et $f'(0)=-108$
    Une équation de $(T)$ est donc $y=-108x-490$.
    $\quad$
  4. On étudie le signe de $-3x^2+60x-108$.
    C’est un polynôme du second degré donc le coefficient principal est $a=-3$.
    Son discriminant est :
    $\begin{align*} \Delta&=60^2-4\times (-3)\times (-108)\\
    &=2~304\\
    &>0\end{align*}$
    Il possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60-\sqrt{2~304}}{-6} \\
    &=18\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-60+\sqrt{2~304}}{-6} \\
    &=2\end{align*}$
    On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
    Remarque : L’énoncé original demander d’étudier la fonction sur l’intervalle $[0;30]$ !
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Dans un repère orthonormé, on considère la parabole $P$ d’équation $y=2x^2+4x-11$, de sommet $S$ et d’axe de symétrie la droite $\boldsymbol{D}$ . Quelle est la bonne proposition ?

a. $S(-4;5)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=5$.
b. $S(-1;-17)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
c. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $x=-1$.
d. $S(-1;-13)$ et $\boldsymbol{D}$ a pour équation $y=-1$.

$\quad$

Correction Question 1

L’abscisse du sommet est :
$\begin{align*} x_S&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{4}{4}\\
&=-1\end{align*}$
Son ordonnée est $y_S=f(-1)=-13$.
Une équation de l’axe de symétrie est $x=-1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Une expérience aléatoire met en jeu des événements $A$ et $B$ et leurs événements contraires $\conj{A}$ et $\conj{B}$. L’arbre pondéré ci-dessous traduit certaines données de cette expérience aléatoire.

On a alors :

a. $P(B)=0,5$
b. $P(A\cap B)=0,9$
c. $P_A(B)=0,18$
d. $P_B(A)=\dfrac{9}{13}$

$\quad$

Correction Question 2

$A$ et $\conj{A}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right)\\
&=0,6\times 0,3+0,4\times 0,2\\
&=0,26\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,3}{0,26}\\
&=\dfrac{9}{13}\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère le nombre réel $a=\dfrac{18\pi}{5}$.
Un des nombres réels suivants a le même point image que le nombre réel $a$ sur le cercle trigonométrique. Lequel ?

a. $\dfrac{3\pi}{5}$
b. $\dfrac{63\pi}{5}$
c. $\dfrac{-12\pi}{5}$
d. $\dfrac{-3\pi}{5}$

$\quad$

Correction Question 3

Deux nombres $a$ et $b$ ont le même point image sur le cercle trigonométrique si, et seulement si, $a-b=2k\pi$ avec $k\in \Z$.

$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{3\pi}{5}=3\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{63\pi}{5}=-9\pi$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-12\pi}{5}=6\pi \checkmark$
$\dfrac{18\pi}{5}-\dfrac{-3\pi}{5}=4,2\pi$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^x$.
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. On a alors :

a. $f'(x)=\e^x$
b. $f'(x)=(1+x)\e^x$
c. $f'(x)=x\e^x$
d. $f'(x)=2x\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Parmi les relations suivantes, quelle est celle qui permet de définir une suite géométrique de terme général $u_n$?

a. $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2}$
b. $u_n=u_{n-1}+2$
c. $u_n=2{u_{n-1}}^2$
d. $u_n=2u_{n-1}+10$

$\quad$

Correction Question 5

Il faut obtenir une relation de la forme $u_n=qu_{n-1}$ pour tout $n\in \N^*$

Or $u_n=\dfrac{u_{n-1}}{2} \ssi u_n=\dfrac{1}{2}u_{n-1}$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+3x^2+3x-63$.
On appelle $\boldsymbol{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

  1. Déterminer $f'(x)$.
    $\quad$
  2. Etudier le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
    $\quad$
  3. Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  4. Justifier que la tangente à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $-1$ est la droite $\boldsymbol{D}$ d’équation $y=-64$.
    $\quad$
  5. Déterminer en quels points de la courbe $\boldsymbol{C}$ la tangente à la courbe est parallèle à la droite d’équation $y=3x-100$
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La fonction $f$ est dérivables sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+3\\
    &=3x^2+6x+3\end{align*}$
    $\quad$
  2. $f'(x)=3x^2+6x+3$ est un polynôme du second degré.
    On peut calculer son discriminant.
    Mais on peut aussi remarquer que :
    $\begin{align*} f'(x)&=3\left(x^2+2x+1\right)\\
    &=3(x+1)^2\end{align*}$
    Par conséquent $f'(x)\pg 0$ sur $\R$ et $f'(x)=0 \ssi x=-1$
    $\quad$
  3. On obtient donc le tableau de variations suivant :

    $\quad$
  4. Une équation de la droite $\boldsymbol{D}$ est de la forme $y=f'(-1)\left(x-(-1)\right)+f(1)$
    Or $f'(-1)=0$ et $f(1)=-64$.
    Ainsi une équation de $\boldsymbol{D}$ est $y=-64$.
    $\quad$
  5. Le coefficient directeur de la droite d’équation $y=3x-100$ est $3$.
    On veut donc résoudre l’équation :
    $\begin{align*} f'(x)=3&\ssi 3(x+1)^2=3 \\
    &\ssi (x+1)^2=1\\
    &\ssi x+1=1 \text{  ou  } x+1=-1\\
    &\ssi x=0\text{  ou } x=-2\end{align*}$
    Seules les tangentes à la courbe $\boldsymbol{C}$ au point d’abscisse $0$ et $-2$ sont donc parallèles à la droite d’équation $y=3x-100$.
    $\quad$
    Remarque : On pouvait également résoudre une équation du second degré en utilisant le discriminant.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points $A(-2 ; 1)$, $B(1 ; 2)$ et $E(0 ; -5)$. On appelle $\boldsymbol{C}$ le cercle de centre $A$ passant par $B$.

  1. Justifier qu’une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. Calculer $\vect{AB}.\vect{AE}$.
    $\quad$
  3. Que peut-on en déduire pour les droites $(AB)$ et $(AE)$ ?
    $\quad$
  4. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AE)$.
    $\quad$
  5. Calculer les coordonnées des points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} AB&=\sqrt{\left(1-(-2)\right)^2+(2-1)^2}\\
    &=\sqrt{3^2+1^2}\\
    &=\sqrt{10}\end{align*}$
    Ainsi une équation du cercle $\boldsymbol{C}$ est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-1)^2=\sqrt{10}^2$ soit $(x+2)^2+(y-1)^2=10$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{AE}\begin{pmatrix}2\\-6\end{pmatrix}$.
    Donc :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=3\times 2+1\times (-6)\\
    &=0\end{align*}$
    $\quad$
  3. Les droites $(AB)$ et $(AE)$ sont donc perpendiculaires.
    $\quad$
  4. Le vecteur $\vect{AB}$ est donc normal à la droite $(AE)$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc de la forme $3x+y+c=0$.
    Le point $E(0;-5)$ appartient à cette droite.
    Par conséquent $0-5+c=0\ssi c=5$.
    Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ est donc $3x+y+5=0$.
    $\quad$
  5. Les coordonnées des points d’intersection sont solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases}3x+y+5=0\\(x+2)^2+(y-1)^2=10\end{cases}&\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\(x+2)^2+(-5-3x-1)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+(-6-3x)^2=10\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+4+36+36x+9x^2-10=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\10x^2+40x+30=0\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases}y=-5-3x\\x^2+4x+3=0\end{cases}\end{align*}$
    Le discriminant de l’équation du second degré $x^2+4x+3=0$ est :
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3\\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Les solutions de cette équation sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Si $x=-3$ alors $y=-5-3x=4$
    Si $x=-1$ alors $y=-5-3x=-2$
    Ainsi, les points d’intersection de $(AE)$ et du cercle $\boldsymbol{C}$ sont les points de coordonnées $(-3;4)$ et $(-1;-2)$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse
choisie. Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1.

a. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement positif, alors ce polynôme admet $2$ racines positives.
b. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est strictement négatif, alors ce polynôme admet $2$ racines négatives.
c. Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.
d. Si le discriminant d’un polynôme du second degré est nul, alors ce polynôme admet le nombre $0$ pour racine.

$\quad$

Correction Question 1

Si le discriminant est strictement positif alors le polynôme possède $2$ racines (mais pas nécessairement positives).
Si le discriminant est strictement négatif alors le polynôme n’admet pas de racines réelles.
Si le discriminant est nul alors le polynôme ne possède qu’une seule racine (qui n’est pas nécessairement $0$).

Si un polynôme du second degré est toujours strictement positif, alors ce
polynôme n’admet pas de racine.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

a. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
b. L’équation $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
c. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $1$ solutions dans
l’intervalle $[0;\pi[$.
d. L’équation $\sin x = -\dfrac{1}{2}$ admet $2$ solutions dans
l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

$\quad$

Correction Question 2

Sur l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$ on a $\cos x\pg 0$.
Sur l’intervalle $[0;\pi[$ on a $\sin x\pg 0$

$\cos \dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$ appartient à l’intervalle $\left]-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

La courbe représentative d’une fonction $f$, définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels, est donnée ci-dessous avec ses tangentes, aux points $A$
et $B$ d’abscisses respectives $2$ et $4$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.

a. $f(0)=1$
b. $f'(2)=1$
c. $f'(2)=-2$
d. $f'(4)=0,5$

$\quad$

Correction Question 3

$f(0) \approx -3$.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $A$. Donc $f'(2)=1$ (graphiquement).
$f'(4)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B$. Donc $f'(4)<0$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $g$ définie sur l’ensemble des nombres réels $\R$ par :
$g(x)=x^3-0,0012x+1$

a. $g$ est strictement croissante sur $\R$.
b. $g$ est croissante sur $\R$.
c. $g$ est constante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.
d. $g$ est décroissante sur l’intervalle $[-0,02 ; 0,02]$.

$\quad$

Correction Question 4

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=3x^2-0,0012$.
$g'(x)\pp 0 \ssi 3x^2-0,0012\pp 0 \ssi x^2\pp 0,0004 \ssi x\in[-0,02;0,02]$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

a. L’équation $\left(\e^x\right)^2$ admet deux solutions dans $\R$.
b. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $]0;+\infty[$.
c. La fonction dérivée de la fonction $x\mapsto \e^{-x}$ est la fonction $x\mapsto \e^{-x}$.
d. L’ensemble de définition de la fonction exponentielle est $\R$.

$\quad$

Correction Question 5

La fonction exponentielle est définie sur $\R$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

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