E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

  1. a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
    $\quad$
    c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
    $\quad$
  2. Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}u_0 \\
    &=0,8\times 2\\
    &=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}u_1 \\
    &=0,8\times 1,6\\
    &=1,28\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
    $\quad$
    c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $u_0=2$.
    $\quad$
    d. On a $0<0,8<1$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  2. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n<0,2$.
    D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
    On a $u_{10}\approx 0,21$ et $u_{11}\approx 0,17$.
    Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
    $\quad$
  4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
    $\quad$
  5. Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
    Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
    &=1,037u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
    $\quad$
  3. On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
    &\approx 373\end{align*}$
    Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
    &=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
    Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
    $30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
    $0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
    Ma quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les deux suites suivantes :

  •  la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}$$
  • la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=0,5v_n+3,5$ pour tout entier $n$.
  1. Calculer les termes d’indice 3 des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
    $\quad$
  2. On s’intéresse aux variations de la suite $\left(u_n\right)$.
    Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{8x-4}{x+1}$$
    a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$.
    $\quad$
    b. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. On considère l’affirmation suivante :
    $\hspace{3cm}$« pour tout entier $n$, $u_n<v_n$ ».
    Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire.
    Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}
    \hspace{1cm}\text{n = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{u = – 4}\\
    \hspace{1cm}\text{v = 0}\\
    \hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
    \hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
    \hspace{2cm}\text{u = (8*n – 4)/(n+1)}\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm}\text{v = 0.5*v + 3.5}\\
    \hspace{1cm}\text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Le programme renvoie la valeur $11$. Qui de Camille ou Dominique a raison ?
    Expliquer.
    $\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_3&=\dfrac{8\times 3-4}{3+1} \\
    &=5\end{align*}$
    $\begin{align*} v_1&=0,5v_0+3,5\\
    &=0,5\times 0+3,5\\
    &=3,5\end{align*}$
    $\begin{align*} v_2&=0,5v_1+3,5\\
    &=0,5\times 3,5+3,5\\
    &=5,25\end{align*}$
    $\begin{align*} v_3&=0,5v_2+3,5\\
    &=0,5\times 5,25+3,5\\
    &=6,125\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{8\times(x+1)-1\times(8x-4)}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{8x+8-8x+4}{(x+1)^2} \\
    &=\dfrac{12}{(x+1)^2}\end{align*}$
    $(x+1)^2>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$
    La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
    Donc $f(n)<f(n+1)$.
    Or $u_n=f(n)$ et $u_{n+1}=f(n+1)$.
    Par conséquent $u_n<u_{n+1}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
    $\quad$
  3. L’algorithme détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n>v_n$.
    On a donc $u_{11}>v_{11}$.
    Dominique a donc raison.
    $\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

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E3C2 – 1ère

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\dfrac{n+2}{n+1}$.

  1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ puis $u_{99}$.
    $\quad$
  2. a. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n-1$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
    $$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$$
    $\quad$
    c. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$
  3. Soit $a$ un nombre réel dans l’intervalle $]1 ; 2]$.
    Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp a$, où $a$ est un nombre de l’intervalle $]1 ; 2]$.
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)} \ldots \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = }\ldots\\
    \hspace{1cm} \text{return } \ldots\end{array}$$
    Attention le programme original avait des erreurs. Elle sont corrigés ici.

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} u_0&=\dfrac{0+2}{0+1} \\
    &=2\end{align*}$
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{1+2}{1+1} \\
    &=1,5\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{2+2}{2+1} \\
    &=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_{99}&=\dfrac{99+2}{99+1} \\
    &=1,01\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_n-1&=\dfrac{n+2}{n+1}-1\\
    &=\dfrac{n+2-n-1}{n+1}\\
    &=\dfrac{1}{n+1}\end{align*}$
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1+2}{n+1+1}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{n+3}{n+2}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
    &=\dfrac{(n+3)(n+1)-(n+2)^2}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+n+3n+3-\left(n^2+4n+4\right)}{(n+1)(n+2)}\\
    &=\dfrac{n^2+4n+3-n^2-4n-4}{(n+1)(n+2)} \\
    &=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a $(n+1)(n+2)>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}-u_n<0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
    $\quad$
  3. On a le programme Python suivant :
    $$\begin{array}{l}
    \text{def seuil(a) }:\\
    \hspace{1cm} \text{n = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)}> \text{ a}\\
    \hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
    \hspace{1cm} \text{return n} \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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