E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle en caoutchouc est lâchée sans vitesse initiale d’une hauteur de $2$ mètres au-dessus du sol.
Le choc n’étant pas parfaitement élastique, la balle rebondit jusqu’à une hauteur de $1,60$ mètre et continue à rebondir, en atteignant après chaque rebond une hauteur égale au $\dfrac{4}{5}$ de la hauteur du rebond précédent.

On modélise les hauteurs atteintes par la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $h_n$ est la hauteur, exprimée en mètres, atteinte par la balle au $n$-ième rebond. On a alors $h_0=2$.

a. Donner $h_1$ et $h_2$ .
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $h_{n+1}$ en fonction de $h_n$.
$\quad$
c. En déduire la nature de la suite $\left(h_n\right)$. On précisera sa raison et son premier terme.
$\quad$
d. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(h_n\right)$.
$\quad$
Déterminer le nombre minimal $N$ de rebonds à partir duquel la hauteur atteinte par la balle est inférieure à $20$ cm. Expliquer la démarche employée.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} h_1&=\dfrac{4}{5}h_0 \\
&=0,8\times 2\\
&=1,6\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\dfrac{4}{5}h_1 \\
&=0,8\times 1,6\\
&=1,28\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $h_{n+1}=0,8h_n$.
$\quad$
c. La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,8$ et de premier terme $h_0=2$.
$\quad$
d. On a $0<0,8<1$ et $h_0>0$.
La suite $\left(h_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $h_n<0,2$.
D’après la question précédente, la suite $\left(h_n\right)$ est donc décroissante.
On a $h_{10}\approx 0,21$ et $h_{11}\approx 0,17$.
Il faut donc au minimum $11$ rebonds pour que la hauteur atteinte par la balle soit inférieure à $20$ cm.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
$\quad$
Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
$\quad$
Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
&=1,037u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
$\quad$
On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
On a
$\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
&\approx 373\end{align*}$
Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
&=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
$30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
$0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
La quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les deux suites suivantes :

la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par : $$u_n=\dfrac{8n-4}{n+1}$$
la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0=0$ et $v_{n+1}=0,5v_n+3,5$ pour tout entier $n$.

Calculer les termes d’indice 3 des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$.
$\quad$
On s’intéresse aux variations de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour cela, on considère la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par : $$f(x)=\dfrac{8x-4}{x+1}$$
a. Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur $[0; +\infty[$.
$\quad$
b. En déduire la monotonie de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère l’affirmation suivante :
$\hspace{3cm}$« pour tout entier $n$, $u_n<v_n$ ».
Camille pense que cette affirmation est vraie alors que Dominique pense le contraire.
Pour les départager, on réalise le programme suivant écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{u = – 4}\\
\hspace{1cm}\text{v = 0}\\
\hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{2cm}\text{u = (8*n – 4)/(n+1)}\hspace{2cm}\\
\hspace{2cm}\text{v = 0.5*v + 3.5}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
Le programme renvoie la valeur $11$. Qui de Camille ou Dominique a raison ?
Expliquer.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{8\times 3-4}{3+1} \\
&=5\end{align*}$
$\begin{align*} v_1&=0,5v_0+3,5\\
&=0,5\times 0+3,5\\
&=3,5\end{align*}$
$\begin{align*} v_2&=0,5v_1+3,5\\
&=0,5\times 3,5+3,5\\
&=5,25\end{align*}$
$\begin{align*} v_3&=0,5v_2+3,5\\
&=0,5\times 5,25+3,5\\
&=6,125\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{8\times(x+1)-1\times(8x-4)}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{8x+8-8x+4}{(x+1)^2} \\
&=\dfrac{12}{(x+1)^2}\end{align*}$
$(x+1)^2>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Par conséquent $f'(x)>0$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $0\pp n<n+1$
La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
Donc $f(n)<f(n+1)$.
Or $u_n=f(n)$ et $u_{n+1}=f(n+1)$.
Par conséquent $u_n<u_{n+1}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
$\quad$
L’algorithme détermine le plus petit entier naturel $n$, s’il existe, tel que $u_n>v_n$.
On a donc $u_{11}>v_{11}$.
Dominique a donc raison.
$\quad$
Remarque : Si un programme de ce type ne renvoie pas de réponse au bout d’un certain temps on ne peut rien conclure mais seulement émettre une conjecture, qui n’est pas une preuve. Il se peut, en effet, que le rang cherché soit excessivement grand et que nous ne soyons pas suffisamment patient.
$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=\dfrac{n+2}{n+1}$.

Calculer $u_0$, $u_1$, $u_2$ puis $u_{99}$.
$\quad$
a. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n-1$ en fonction de $n$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_{n+1}-u_n=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}$$
$\quad$
c. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Soit $a$ un nombre réel dans l’intervalle $]1 ; 2]$.
Recopier et compléter sur la copie le programme Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp a$, où $a$ est un nombre de l’intervalle $]1 ; 2]$.
$$\begin{array}{l}
\text{def seuil(a) }:\\
\hspace{1cm} \text{n = 0}\\
\hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)} \ldots \text{ a}\\
\hspace{2cm} \text{n = }\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return } \ldots\end{array}$$
Attention le programme original avait des erreurs. Elle sont corrigés ici.

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_0&=\dfrac{0+2}{0+1} \\
&=2\end{align*}$
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{1+2}{1+1} \\
&=1,5\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{2+2}{2+1} \\
&=\dfrac{4}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} u_{99}&=\dfrac{99+2}{99+1} \\
&=1,01\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n-1&=\dfrac{n+2}{n+1}-1\\
&=\dfrac{n+2-n-1}{n+1}\\
&=\dfrac{1}{n+1}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{n+1+2}{n+1+1}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
&=\dfrac{n+3}{n+2}-\dfrac{n+2}{n+1}\\
&=\dfrac{(n+3)(n+1)-(n+2)^2}{(n+1)(n+2)}\\
&=\dfrac{n^2+n+3n+3-\left(n^2+4n+4\right)}{(n+1)(n+2)}\\
&=\dfrac{n^2+4n+3-n^2-4n-4}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{-1}{(n+1)(n+2)}\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a $(n+1)(n+2)>0$.
Par conséquent $u_{n+1}-u_n<0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement décroissante.
$\quad$
On a le programme Python suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def seuil(a) }:\\
\hspace{1cm} \text{n = 0}\\
\hspace{1cm} \text{while (n+2) / (n+1)}> \text{ a}\\
\hspace{2cm} \text{n = n + 1}\\
\hspace{1cm} \text{return n} \end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence