E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans un pays, le nombre de créations d’entreprise augmente $1,5\%$ par mois.
En janvier 2018 on compte $50~000$ créations d’entreprise.
On modélise le nombre de créations d’entreprise au $n$-ième mois par une suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_{n+1}=u_n\times 1,015$ et $u_0=50$, $u_n$ est exprimé en milliers d’euros.

a. Calculer $u_1$.
$\quad$
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
b. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. Un journaliste annonce qu’au total dans l’année 2018, près de $652~ 000$ entreprises se sont créées. Donner un calcul permettant de justifier les propos du journaliste.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a $u_1=1,015\times 50=50,75$
$\quad$
b. En février 2018 on compte donc $50~750$ créations d’entreprise.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=1,015u_n$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,015$ et de premier terme $u_0=50$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=50\times 1,015^n$.
$\quad$
c. On calcule :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots +u_{11} \\
&=50\times \dfrac{1-1,015^{12}}{1-1,015} \\
&\approx 652\end{align*}$
Il y a donc bien eu environ $652~000$ créations d’entreprise en 2018.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $0,9$.
On a :

a. $u_{50}=47$
b. $u_{50}=100,9$
c. $u_{50}=-47$
d. $u_{50}=-100,9$

$\quad$

Correction Question 1

On a $u_{50}=2+50\times 0,9=47$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= 2$ et de raison $0,9$.
La somme des $37$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :

a. $2\times \dfrac{1-0,9^{38}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
b. $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
c. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
d. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$

$\quad$

Correction Question 2

La somme est égale à : $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Un programme en langage Python qui retourne la somme des entiers de
$1$ à $100$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{b.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= }\textcolor{Mahogany}{2}\text{*s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}\\\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{101}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{d.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{100}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}
\end{array}$

$\quad$

Correction Question 3

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On a $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ et $\cos x=0,8$, alors :

a. $\sin x=0,6$
b. $\sin x=-0,6$
c. $\sin x=-0,2$
d. $\sin x=0,2$

$\quad$

Correction Question 4

$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2x+\sin^2x=1$
Ainsi :
$0,8^2+\sin^2x=1 \ssi \sin^2x=0,36$
Donc $\sin x=0,6$ ou $\sin x=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre réel $\dfrac{13\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{-3\pi}{4}$
c. $\dfrac{7\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

$a$ et $b$ sont associé au même point du cercle trigonométrique si, et seulement si, il existe $k\in \Z$ tel que $a-b=2k\pi$.

$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-14\pi}{4}=\dfrac{27\pi}{4}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-3\pi}{4}=4\pi \checkmark$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le 1$\ier$ janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à $650$ euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1$\ier$ janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$ le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier de l’année (2019 $+ n$), pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

a. Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier 2020.
$\quad$
b. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
$\quad$
c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
$\quad$
Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2019$+\text{A}$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|cl|}
\hline
1& \textbf{def somme(A):}\\
2& \hspace{1cm}\textbf{S=0}\\
3& \hspace{1cm}\textbf{n=0}\\
4& \hspace{1cm}\textbf{while n<=A:}\\
5& \hspace{2cm}\textbf{S=S+7800*1.0152**n}\\
6& \hspace{2cm}\textbf{n = n + 1}\\
7& \hspace{1cm}\textbf{return S}\\
\hline
\end{array}$$
L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de $\text{A}$ donne les résultats ci-dessous :
$$\begin{array}{l}
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{7800.0}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{15718.560000000001}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{23757.482112000005}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{31918.595840102407}\\
\text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{8}\textcolor{brown}{)}\\
\textcolor{Emerald}{74623.04180934158}
\end{array}$$
a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel $\text{somme(1)}$.
$\quad$
b. Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. $u_1=650\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right)=659,88$.
Au 1$\ier$ janvier 2020, le loyer est de $660$ euros.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right) \\
&=1,0152u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=650\times 1,0152^n$.
En 2027, on a $n=8$.
$u_8=650\times 1,0152^8\approx 733,38$
En 2027, le loyer sera, selon ce modère, de $733$ euros.
$\quad$
a. Il s’agit de la somme totale des loyers perçus en 2019 et 2020.
$\quad$
b. En 2022, on a $n=3$ et en 2027 on a $n=8$.
Ainsi la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 est :
$\begin{align*} S&=\text{somme(8)}-\text{somme(2)} \\
&=74623.04180934158-23757.482112000005\\
&\approx 50~866\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
$\quad$
Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
$\quad$
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
$\quad$
Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
Le troisième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Le quatrième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
$\quad$
$3$ ans $=36$ mois.
On a :
$\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
&=375\end{align*}$
Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
&=10~350\end{align*}$
Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
&\approx 10~398,87\end{align*}$
C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

On considère les suites $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ et $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ définies par $u_0=7$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+3$ et $v_n=u_n-6$.

Montrer que la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On note $S=v_0+v_1+\ldots+v_{100}$ la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$.
a. Déterminer la valeur de $S$.
$\quad$
b. En déduire la valeur de la somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-6 \\
&=0,5u_n+3-6\\
&=0,5u_n-3\\
&=0,5\left(u_n-6\right)\\
&=0,5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)_{n\pg 0}$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $v_0=u_0-6=1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1\times 0,5^n$ soit $v_n=0,5^n$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=v_n+6\\
&=0,5^n+6\end{align*}$
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} S&=\dfrac{1-0,5^{101}}{1-0,5}\\
&=2\left(1-0,5^{101}\right)\end{align*}$
$\quad$
b. La somme des $101$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)_{n\pg 0}$ est :
$\begin{align*} S’&=S+101\times 6 \\
&=2\left(1-0,5^{101}\right)+606\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2012, un artisan batelier a transporté $300$ tonnes de marchandises sur sa péniche.
Il augmente sa cargaison chaque année de $11 \%$ par rapport à l’année précédente.

On modélise alors la quantité en tonnes de marchandises transportées par l’artisan batelier par une suite $\left(u_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ est la quantité en tonnes de marchandises transportées en (2012 $+n$). Ainsi $u_0 = 300$.

a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser sa raison.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Le batelier décide qu’à partir de $1~000$ tonnes transportées dans l’année, il achètera une péniche plus grande.
a. Recopier et compléter l’algorithme suivant, écrit en langage Python, afin de déterminer en quelle année il devra changer de péniche :$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. En quelle année changera-t-il de péniche ?
$\quad$
Une tonne transportée est payée au batelier $15$ €.
La proposition : « Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 de l’artisan batelier sera supérieur à $70~000$ € » est-elle vraie ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{11}{100}\right) u_n\\
&=1,11u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,11$ et de premier terme $u_0=300$.
$\quad$
b. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=300\times 1,11^n$.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u=300}\\
\text{n=0}\\
\text{while u<1000 :}\\
\hspace{1cm}\text{u=u*1.11}\hspace{1cm}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. $1,11>1$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
On a
$\begin{align*} u_{11}&=300\times 1,11^{11} \\
&\approx 946\\
&<1~000\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_{12}&=300\times 1.11^{12}\\
&\approx 1~049\\
&>1~000\end{align*}$
Par conséquent, le batelier changera de péniche en 2024.
$\quad$
Le chiffre d’affaires total entre 2012 et 2019 est :
$\begin{align*} C&=15\left(u_0+u_1+\ldots+u_7\right)\\
&=15\times 300\times \dfrac{1-1,11^{8}}{1-1,11}\\
&\approx 53~367\\
&<70~000\end{align*}$
La proposition est donc fausse.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A

Soit la suite géométrique $\left(un\right)$ de raison $0,999$ et de premier terme $u_0 = 82~695$.

Calculer $u_{19}$.
$\quad$
Calculer $S= u_0+u_1+\ldots+u_{19}$.
$\quad$

Partie B

La population d’un pays s’élevait à $82~695~000$ habitants au premier janvier 2016.
Sans tenir compte des flux migratoires, on estime que la population baisse de $0,1 \%$ chaque année.

Déterminer une estimation de l’effectif de la population de ce pays au premier janvier 2035.
$\quad$

Partie C
Dans cette partie, on tient compte des flux migratoires : on estime qu’en 2016, le solde migratoire (différence entre les entrées et les sorties du territoire) est positif et s’élève à $58~700$ personnes.
De plus, on admet que la baisse de $0,1 \%$ de la population ainsi que le solde migratoire restent constants chaque année suivant 2016.

On propose la fonction suivante écrite sous Python :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{orange}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{population}}\text{(N):}\\
\hspace{1cm} \text{p=82695000}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{for }}\text{I }\textcolor{orange}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(1,N+1):}\\
\hspace{2cm} \text{p=0.999*p+58700}\\
\hspace{1cm} \textcolor{orange}{\text{return }}\text{p}\end{array}$$

Si on saisit : « $\text{population (2)}$ », quelle valeur nous retourne cette fonction ?
$\quad$
Si on saisit : « $\text{population (19)}$ », la valeur arrondie à l’entier retournée par cette fonction est $82~243~175$.
Que représente ce nombre dans le contexte de la partie C ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

On a :
$\begin{align*} u_{19}=82~695 \times 0,999^{19} \\
&\approx 81~137,856\end{align*}$
$\quad$
On obtient :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{19}\\
&=82~695\times \dfrac{1-0,999^{20}}{1-0,999} \\
&=82~695~000\left(1-0,999^{20}\right)\\
&\approx 1~638~282\end{align*}$
$\quad$

Partie B

La population de ce pays au premier janvier 2035 serait égale, selon de modèle, à $82~695~000\times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)^{19}\approx 81~137~856$ habitants.
$\quad$

Partie C

Voici les valeurs prises par $\text{p}$ si on saisit : « $\text{population (2)}$ »
$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
p&82695000&82671005&82647034,995\\
\hline
\end{array}$
Ainsi la fonction $\text{population (2)}$ renvoie la valeur $82647034,995$.
$\quad$
Cela signifie qu’au premier janvier 2035 ce pays comptera $82~243~175$ habitants.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout réel $x$, $\sin(7\pi-x)$ est égal à :

a. $\sin x$
b. $-\sin x$
c. $\cos x$
d. $-\cos x$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} \sin(7\pi-x)&=\sin(2\times 3\pi+\pi-x)\\
&=\sin(\pi-x)\\
&=\sin(x)\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans laquelle des quatre situations proposées ci-dessous le produit scalaire $\vect{AB}.\vect{AC}$ es-til égal à $6$ ?

a. $ABC$ est un triangle tel que : $AB= 6$, $AC = 4$ et $BC = 8$.
b. Dans un repère orthonormé du plan : $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$.
c. $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ tel que : $AB=3$ et $BC= 2$ .
d. $ABC$ est un triangle tel que : $AB = 6$, $AC=4$ et $\widehat{BAC}=30$°.

$\quad$

Correction Question 2

Si $A(-3;5)$, $B(2; -2)$ et $C(1; 7)$ alors $\vect{AB}\begin{pmatrix}-5\\-7\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}-4\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*}\vect{AB}.\vect{AC}&=-5\times (-4)+(-7)\times 2\\
&=6\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{3x+4}{x^2+1}$.
$f$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, $f'(x)$ est égal à :

a. $\dfrac{3}{2x}$
b. $\dfrac{9x^2+8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
c. $\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}$
d. $9x^2+8x+3$

$\quad$

Correction Question 3

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur $\R$ dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{3\left(x^2+1\right)-(3x+4)\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{3x^2+3-6x^2-8x}{\left(x^2+1\right)^2}\\
&=\dfrac{-3x^2-8x+3}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
L’ensemble des points $M(x;y)$ tels que $x^2+y^2-10x+6y+30=0$ est :

a. une droite
b. une parabole
c. un cercle
d. ni une droite, ni une parabole, ni un cercle.

$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*}&x^2+y^2-10x+6y+30=0 \\
\ssi~&x^2-2\times 5x+5^2-5^2+y^2+2\times 3y+3^2-3^2+30=0\\
\ssi~&(x-5)^2+(y+3)^2=4\end{align*}$
Il s’agit donc d’un cercle de centre $A(5;-3)$ et de rayon $2$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 5

La somme $1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30}$ est égale à :

a. $\dfrac{1-5^{30}}{4}$
b. $\dfrac{5^{30}-1}{4}$
c. $\dfrac{1-5^{31}}{4}$
d. $\dfrac{5^{31}-1}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

On a :
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+5^3+\ldots+5^{30} \\
&=\dfrac{1-5^{31}}{1-5} \\
&=\dfrac{5^{31}-1}{4}\end{align*}$

Réponde d

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Désirant participer à une course de $150$ km, un cycliste prévoit l’entraînement suivant :

parcourir $30$ km en première semaine ;
chaque semaine qui suit, augmenter la distance parcourue de $9\%$ par rapport à celle parcourue la semaine précédente.

On modélise la distance parcourue chaque semaine à l’entrainement par la suite $\left(d_n\right)$ où $d_n$ représente la distance en km parcourue pendant la $n$-ième semaine d’entraînement.
On a ainsi $d_1=30$.

Prouver que $d_3=35,643$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ? Justifier.
$\quad$
En déduire l’expression de $d_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On considère la fonction définie de la façon suivante en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Emerald}{1}\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{distance(k):}\\
\textcolor{Emerald}{2}\hspace{1cm}\text{d=}\textcolor{Green}{30}\\
\textcolor{Emerald}{3}\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{4}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d<=k:}\\
\textcolor{Emerald}{5}\hspace{1.5cm}\text{d=d*}\textcolor{Green}{1.09}\\
\textcolor{Emerald}{6}\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
\textcolor{Emerald}{7}\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle information est obtenue par le calcul de $\text{distance(150)}$ ?
$\quad$
Calculer la distance totale parcourue par le cycliste pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} d_2&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_1 \\
&=1,09\times 30\\
&=32,7\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} d_3&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_2 \\
&=1,09\times 32,7\\
&=35,643\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1+\dfrac{9}{100}\right)d_n \\
&=1,09\times d_n\end{align*}$
La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,09$ et de premier terme $d_1=30$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $d_n=30\times 1,09^{n-1}$.
$\quad$
$\text{distance(150)}$ renvoie le nombre minimum de semaines nécessaires pour que le cycliste parcourt plus de $150$ km pendant une semaine d’entraînement.
$\quad$
On veut donc calculer :
$\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{20} \\
&=30\times \dfrac{1-1,09^{20}}{1-1,09}\\
&\approx 1~534,804\end{align*}$
Le cycliste va parcourir environ $1~534,804$ km pendant les $20$ premières semaines d’entraînement.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $x$ un nombre réel. On peut affirmer que :

a. $ \cos(x) = \sin(x)$
b. $\cos(\pi-x) = \cos(\pi + x)$
c. $\sin(\pi + x) = \sin(\pi-x)$
d. $\cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout réel $x$ on a $\cos(\pi-x)=\cos(\pi+x)$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Les solutions dans l’intervalle $[0;2\pi[$ de l’équation $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sont :

a. $\dfrac{4\pi}{3}$ et $\dfrac{5\pi}{3}$
b. $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{2\pi}{3}$ et $-\dfrac{\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Seules les réponses a. et d. vérifient $\sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Mais les valeurs de d. n’appartiennent pas à $[0;2\pi[$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

On considère $ABCD$ un carré direct dans lequel on construit un triangle $ABE$ équilatéral direct.

On note $AB = a$.
On peut alors affirmer que :

a. $\vect{AB}.\vect{AC}=\dfrac{1}{2}a^2$
b. $\vect{AB}.\vect{AD}=a^2$
c. $\vect{AB}.\vect{AE}=\dfrac{1}{2}a^2$
d. $\vect{AD}.\vect{DC}=-a^2$

$\quad$

Correction Question 3

$B$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$ donc $\vect{AB}.\vect{AC}=a^2$.
$\vect{AB}$ et $\vect{AD}$ sont orthogonaux donc $\vect{AB}.\vect{AD}=0$.
$\vect{AD}$ et $\vect{DC}$ sont orthogonaux donc $\vect{AD}.\vect{DC}=0$.
Le projeté orthogonal de $E$ sur $[AB]$ est le milieu de $[AB]$.
Ainsi :
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AE}&=a\times \dfrac{1}{2}a \\
&=\dfrac{1}{2}a^2\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On peut affirmer que :

a. $\vec{u}.\vec{v}=0$
b. $\vec{u}.\vec{v}=-\vec{v}.\vec{u}$
c. $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\norme{\vec{u}}$
d. $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

$\quad$

Correction Question 4

On a $\vec{u}.\vec{v}=\dfrac{1}{2}\left(\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2-\norme{\vec{u}}^2-\norme{\vec{v}}^2\right)$
c’est-à-dire $\norme{\vec{u}+\vec{v}}^2=\norme{\vec{u}}^2+\norme{\vec{v}}^2+2\vec{u}.\vec{v}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $n$ un entier naturel.
On cherche à exprimer en fonction de $n$ la somme suivante :
$$S=1-2+4-8+16-32+\ldots+(-2)^n$$
On peut affirmer que :

a. $S=\dfrac{1+(-2)^n}{2}\times (n-1)$
b. $S$ est la somme des termes d’une suite arithmétique de raison $(-2)$
c. $S=\dfrac{1-(-2)^n}{1-2}$
d. $S=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)$

$\quad$

Correction Question 5

$S$ est la somme des $(n+1)$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et raison $-2$.
Ainsi :
$\begin{align*} S&=1\times \dfrac{1-(-2)^{n+1}}{1-(-2)} \\
&=\dfrac{1}{3}\left(1-(-2)^{n+1}\right)\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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