E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les deux parties suivantes sont indépendantes.

Partie A. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 1$ et $v_{n+1}=\dfrac{2}{3}v_n$ pour tout entier naturel $n$.

Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ? En préciser les éléments caractéristiques.
$\quad$
Donner, pour tout entier naturel $n$, une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Calculer la somme $S$ des dix premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$

Partie B. On modélise une suite $\left(w_n\right)$ à l’aide de la fonction suivante écrite en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{terme}}\text{(n):}\\
\hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
\hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{w}\\
\hline
\end{array}$$

Que renvoie l’exécution de $\text{terme(5) }$?
$\quad$
En s’inspirant de la fonction $\text{terme(n)}$, proposer une fonction $\text{somme_termes(n)}$, écrite en langage Python, qui renvoie la somme des $n$ premiers termes de la suite $\left(w_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ et de premier terme $v_0=1$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$ soit $v_n=\left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} S&=v_0+v_1+\ldots+v_9\\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{10}}{1-\dfrac{2}{3}}\\
&=\dfrac{58~025}{19~683}\end{align*}$
$\quad$
On obtient la valeur de $w_5$
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n&~0~&~1~&~2~&~3~&~4~&~5~\\
\hline
w_n&4&5&7&11&19&35\\
\hline
\end{array}$
Ainsi $\text{terme(5)}$ renvoie $35$.
$\quad$
On peut saisir le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textcolor{Green}{\text{def }}\textcolor{blue}{\text{somme_termes}}\text{(n):}\\
\hspace{1cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
\hspace{1cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{4}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{for }}\text{i }\textcolor{Green}{\text{in range}}\text{(n):}\\
\hspace{2cm}\text{w }\textcolor{violet}{\text{= }}\textcolor{Green}{2}\textcolor{violet}{*}\text{w }\textcolor{violet}{\text{- }}\textcolor{Green}{3}\\
\hspace{2cm}\text{S }\textcolor{violet}{\text{= }}\text{S }\textcolor{violet}{+ }\text{w}\\
\hspace{1cm}\textcolor{Green}{\text{return }}\text{S}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

À partir d’un premier segment de $2$ mm, on ajoute successivement un nouveau segment mesurant $150 \%$ de la longueur du précédent.

Pour tout entier naturel $n\pg 1$, on désigne par $u_n$ la longueur, en mm, du $n$-ième segment.
Ainsi $u_1=2$ et $u_2=3$.

Déterminer $u_3$ et $u_4$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ supérieur à $1$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On cherche à déterminer à partir de combien de segments la longueur totale dépasse $1$ mètre. On réalise pour cela un programme écrit en langage Python.
Recopier et compléter sur la copie ce programme pour qu’il affiche le nombre attendu de segments.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{i = 1}\\
\text{u = 2}\\
\text{longueur = 2}\\\\
\text{while longueur <= 1000 :}\\
\hspace{0.5cm}\text{i = $\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{u = $\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{longueur = $\ldots$}\\\\
\text{print(i) }\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
Ce programme affiche $14$.
Déterminer, par le calcul, la longueur de la spirale formée des $14$ premiers segments.
Arrondir le résultat au mm.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*} u_3&=\dfrac{150}{100}u_2 \\
&=1,5\times 3 \\
&=4,5\end{align*}$
$\begin{align*} u_4&=\dfrac{150}{100}u_3 \\
&=1,5\times 4,5 \\
&=6,75\end{align*}$
$\quad$
On a donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1}=1,5u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,5$ et de premier terme $u_1=2$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=2\times 1,5^{n-1}$.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{i = 1}\\
\text{u = 2}\\
\text{longueur = 2}\\\\
\text{while longueur <= 1000 :}\\
\hspace{0.5cm}\text{i = i + 1}\\
\hspace{0.5cm}\text{u = 1.5 * u}\\
\hspace{0.5cm}\text{longueur = longueur + u}\\\\
\text{print(i) }\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On a
$\begin{align*} S&=u_1+u_2+\ldots+u_{14} \\
&=2\times \dfrac{1-1,5^{14}}{1-1,5} \\
&\approx 1~164\end{align*}$
La spirale mesure donc environ $1~164$ mm.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, les déchets d’une entreprise sont évalués à $6~000$ tonnes.
Cette entreprise s’engage à réduire ses déchets de $5 \%$ chaque année.

Avec cette politique, quelle quantité de déchets peut envisager l’entreprise pour l’année 2020 ?
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité de déchets produits en tonne par cette entreprise l’année 2019 $n$. Avec cette notation, on a alors $d_0 = 6~000$.
a. Exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
b. Quelle est la nature de la suite $\left(d_n\right)$ ?
$\quad$
c. Déterminer la quantité totale de déchets produits par l’entreprise entre 2019 et 2023.
On arrondira le résultat à la tonne près.
$\quad$
L’entreprise souhaite savoir au bout de combien d’années d’application de cette politique de réduction des déchets la quantité annuelle produite aura diminué de $40 \%$ par rapport à la quantité produite en 2019.
Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous sur la copie afin qu’il permette de répondre à la question posée :$$\begin{array}{|l|}
\hline
D\leftarrow 6000\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que }D\ldots\ldots\ldots\ldots \hspace{1cm}\\
\hspace{0.5cm} D\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
\hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a $6~000\left(1-\dfrac{5}{100}\right)=5~700$.
Avec cette politique, l’entreprise peut envisager $5~700$ tonnes de déchets pour l’année 2020.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)d_n\\
&=0,95d_n\end{align*}$
$\quad$
b. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $d_0=6~000$.
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} S&=d_0+d_1+d_2+d_3+d_4\\
&=6~000\times \dfrac{1-0,95^5}{1-0,95} \\
&\approx 27~146\end{align*}$
L’entreprise produira environ $27~146$ tonnes de déchets entre 2019 et 2023.
$\quad$
$6~000\times \left(1-\dfrac{40}{100}\right)=3~600$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
D\leftarrow 6000\\
N\leftarrow 0\\
\text{Tant que }D>3600\hspace{1cm}\\
\hspace{0.5cm} D\leftarrow 0,95\times D\\
\hspace{0.5cm} N\leftarrow N+1\\
\text{Fin Tant que}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=\e^{100x}$. Alors :

a. $g$ est croissante sur $\R$.
b. $g$ est décroissante sur $\R$.
c. $g$ change de sens de variation sur $\R$.
d. $aucune des propositions a., b. et c. n’est correcte

$\quad$

Correction Question 1

$g(x)$ est de la forme $\e^{ax+b}$ avec $a=100$ et $b=0$.
Par conséquent $g$ est dérivable et pour tout réel $x$ on a $g'(x)=100\e^{100x}$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $g'(x)>0$ sur $\R$ et $g$ est strictement croissante sur $\R$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=100x^2+10x+1$. Dans le plan muni d’un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction $f$ est une parabole dont l’axe de symétrie a pour équation :

a. $x=10$
b. $x=-10$
c. $x=0,05$
d. $x=-0,05$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation de l’axe de symétrie est de la forme $x=-\dfrac{b}{2a}$.
Donc, ici, une équation est $x=-0,05$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $a$ et $b$ les fonctions définies sur $\R$ par $a(x)=3x^2+15x+1$ et $b(x)=25x^2+5x-100$. Dans le plan muni d’un repère orthonormé les courbes représentatives des fonctions $a$ et $b$ ont :

a. $0$ point d’intersection
b. $1$ point d’intersection
c. $2$ points d’intersection
d. $4$ point d’intersection

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} a(x)-b(x)&=3x^2+15x+1-\left(25x^2+5x-100\right)\\
&=-22x^2+10x+101\end{align*}$
Le discriminant de ce polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=10^2-4\times (-22)\times 101\\
&=8~988\\
&>0\end{align*}$
Le polynôme possède donc deux racines réelles.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

La somme $1+5+5^2+\ldots+5^{10}$ est égale à :

a. $2~441~406$
b. $271$
c. $5^{55}$
d. $12~207~031$

$\quad$

Correction Question 4

Il s’agit de la somme des termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+5+5^2+\ldots+5^{10} \\
&=\dfrac{1-5^{11}}{1-5}\\
&=12~207~031\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ dont la représentation graphique $C_f$ est donnée ci-dessous.
On sait de plus que la courbe $C_f$ admet deux tangentes horizontales : une au point d’abscisse $-1$ et l’autre au point d’abscisse $3$.

Alors le réel $f(-1) \times f'(3)$ est :

a. strictement positif
b. strictement négatif
c. égal à $0$
d. égal à $f'(-3)$

$\quad$

Correction Question 5

Les tangentes à la courbe $C_f$ aux points d’abscisse $-1$ et $3$ sont horizontales.
Par conséquent $f'(-1)=0$ et $f'(3)=0$.
Ainsi $f(-1) \times f'(3)=0$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Durant le mois de janvier 2020, une entreprise produit $2~500$ flacons de parfum ce qui correspond exactement au nombre de flacons commandés. Le propriétaire de l’entreprise décide d’augmenter chaque mois la production de $108$ flacons et il espère que le nombre de flacons commandés augmentera chaque mois de $3,8 \%$.
On considère la suite $\left(f_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $f_n$ modélise le nombre de flacons produits lors du mois de rang $n$ après janvier 2020 ; ainsi $f_0$ est le nombre de flacons produits en janvier 2020, $f_1$ le nombre de flacons produits en février 2020, etc.
De la même manière, on considère la suite $\left(c_n\right)$ où pour tout entier naturel $n$, $c_n$ modélise le nombre potentiel de flacons commandés lors du mois de de rang $n$ après janvier 2020. On a donc $f_0=c_0=2~500$.

Déterminer, en expliquant les calculs effectués, le nombre de flacons produits et le nombre potentiel de flacons commandés en février 2020.
$\quad$
Déterminer la nature des suites $\left(f_n\right)$ et $\left(c_n\right)$.
$\quad$
Exprimer, pour tout entier $n$, $f_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On admet que, selon ce modèle, au bout d’un certain nombre de mois le nombre potentiel de flacons commandés dépassera le nombre de flacons produits.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous, écrit en Python, afin qu’après son exécution la variable n contienne le nombre de mois à attendre après le mois de janvier 2020 pour que le nombre potentiel de flacons commandés dépasse le nombre de flacons produits.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while $\ldots$ :}\\
\hspace{1cm}\text{n = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{f = $\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{c = $\ldots$}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale dépassera-t-elle le nombre de commandes potentielles ? Expliquer votre démarche.
On rappelle que :
- Si $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$$
- Si $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q\neq 1$, alors, pour tout entier naturel $n$, $$v_0+v_1+\ldots+v_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
  $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} f_1&=f_0+108 \\
&=2~500+108\\
&=2~608\end{align*}$
L’entreprise a produit $2~608$ flacons en février 2020.
$\quad$
On a également :
$\begin{align*} c_1&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_0\\
&=1,038\times 2~500\\
&=2~595\end{align*}$
$2~595$ flacons ont été commandés en février 2020.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_{n+1}=f_n+108$. La suite $\left(f_n\right)$ est donc arithmétique de raison $108$ et de premier terme $f_0=2~500$.
$\quad$
$\begin{align*} c_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,8}{100}\right)c_n\\
&=1,038\times c_n\end{align*}$
La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,038$ et de premier terme $c_0=2~500$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $f_n=2~500+108n$ et $c_n=2~500\times 1,038^n$.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{n = 0}\\
\text{f = 2500}\\
\text{c = 2500}\\
\text{while c<=f :}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hspace{1cm}\text{f = f+108}\\
\hspace{1cm}\text{c = c*1.038}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
La production globale sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} F_{11}&=f_0+f_1+\ldots+f_{11} \\
&=12\times \dfrac{f_0+f_{11}}{2}\\
&=12\times \dfrac{2~500+2~500+11\times 108}{2}\\
&=37~128\end{align*}$
Le nombre total de commandes potentielles sur l’année 2020 est :
$\begin{align*} C_{11}&=c_0+c_1+\ldots+c_{11} \\
&=2~500\times \dfrac{1-1,038^{12}}{1-1,038}\\
&\approx 37~136\end{align*}$
Ainsi $F_{11}<C_{11}$.
De début janvier 2020 à fin décembre 2020, la production globale ne dépassera donc pas le nombre de commandes potentielles.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La famille A décide de diminuer de $2 \%$ par mois sa quantité de déchets produite par mois à partir du 1$\ier$ janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$ kg de déchets.

Justifier qu’au bout de $2$ mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l’année.
On modélise l’évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.
Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

a. Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer ?? en fonction de $n$.
$\quad$
c. Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l’année 2020.
On arrondira le résultat à l’unité.
$\quad$
On rappelle que :
Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$, $q\neq 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S=u_1+u_2+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
$\quad$
d. On donne le programme ci-dessous.
$$\begin{array}{ll}
\textcolor{Emerald}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{S(n):}\\
\textcolor{Emerald}{2}& \hspace{0.5cm}\text{U=}\textcolor{Green}{120}\\
\textcolor{Emerald}{3}& \hspace{0.5cm}\text{S=}\textcolor{Green}{0}\\
\textcolor{Emerald}{4}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(n):}\\
\textcolor{Emerald}{5}& \hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{Green}{0.98}\text{*U}\\
\textcolor{Emerald}{6}& \hspace{1cm}\text{S=S+U}\\
\textcolor{Emerald}{7}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{(S)}\\
\textcolor{Emerald}{8}&\end{array}$$
Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l’instruction $\text{S(6)}$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le premier mois elle a produit $120\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=117,6$ kg de déchets.
Le deuxième mois elle a produit $117,6\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=115,248$ kg de déchets.
Au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)an\\
&=0,98a_n\end{align*}$
La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $a_0=120$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=120\times 0,98^n$.
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} S&=a_1+a_2+\ldots+a_{12} \\
&=a_1\times \dfrac{1-0,98^{12}}{1-0,98}\\
&=117,6\times \dfrac{1-0,98^{12}}{0,02}\\
&\approx 1~266\end{align*}$
La famille produira donc environ $1~266$ kg de déchets durant l’année 2020.
$\quad$
d. Cette instruction fournit la quantité totale de déchets produits par la famille sur les $6$ premiers mois de l’année 2020.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chacune des cinq questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse
n’apporte, ni ne retire de point.

Question 1

Soit $P$ une probabilité sur un univers $\Omega$ et $A$ et $B$ deux évènements indépendants tels que $P(A)= 0,5$ et $P(B) = 0,2$.
Alors $P(A\cup B)$ est égal à :

a. $0,1$
b. $0,7$
c. $0,6$
d. On ne peut pas savoir

$\quad$

Correction Question 1

$A$ et $B$ sont indépendants donc $P(A\cap B)=p(A)p(B)$.
Ainsi :
$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+p(B)-P(A\cap B)\\
&=P(A)+p(B)-P(A)P(B)\\
&=0,5+0,2-0,5\times 0,2\\
&=0,6\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La valeur arrondie au centième de $1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10}$ est :

a. $3,27$
b. $25,96$
c. $26,96$
d. $32,15$

$\quad$

Correction Question 2

Il s’agit de la somme de termes d’une suite géométrique.
$\begin{align*} S&=1+1,2+1,2^2+1,2^3+\ldots+1,2^{10} \\
&=\dfrac{1-1,2^{11}}{1-1,2}\\
&\approx 32,15\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x}{\e^x}$.
Pour tout réel $x$, $f(x)$ est égal à :

a. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{-x}$
b. $f(x)=x\e^{-x}$
c. $f(x)=-x\e^{-x}$
d. $f(x)=\dfrac{\e^{-x}}{x}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(x)&=\dfrac{x}{\e^x}\\
&=x\e^{-x}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=(2x-5)\e^x$. On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
Alors pour tout réel $x$ , $g'(x)$ est égal à :

a. $(2x-3)\e^x$
b. $(-2x+7)\e^x$
c. $2\e^x$
d. $-5\e^x$

$\quad$

Correction Question 4

On utilise la formule de dérivation d’un produit avec $u(x)=2x-5$ et $v(x)=\e^x$

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^x+(2x-5)\e^x\\
&=(2+2x-5)\e^x\\
&=(2x-3)\e^x\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre $\dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}$ est égal à :

a. $-1$
b. $\e^{-15/2}$
c. $\dfrac{1}{\e^4}$
d. $\dfrac{3\e^{-5}}{2}$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \dfrac{\e^3\times \e^{-5}}{\e^2}&=\dfrac{\e^{3+(-5)}}{\e^2} \\
&=\dfrac{\e^{-2}}{\e^2}\\
&=\e^{-2-2}\\
&=\e^{-4}\\
&=\dfrac{1}{\e^4}\end{align*}$

Réponse c

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
$\quad$
Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
$\quad$
Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Pour tout entier naturel $n$ on :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
&=1,037u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
$\quad$
On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
On a
$\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
&\approx 373\end{align*}$
Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
&=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
$30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
$0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
La quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un service de vidéos à la demande réfléchit au lancement d’une nouvelle série mise en ligne chaque semaine et qui aurait comme sujet le quotidien de jeunes gens favorisés.

Le nombre de visionnages estimé la première semaine est de 120~ 000. Ce nombre augmenterait ensuite de $2\%$ chaque semaine.

Les dirigeants souhaiteraient obtenir au moins $400~000$ visionnages par semaine.

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de visionnages $n$ semaines après le début de la diffusion. On a donc $u_0 = 120~000$.

Calculer le nombre $u_1$ de visionnages une semaine après le début de la diffusion.
$\quad$
Justifier que pour tout entier naturel $n$ : $u_n=120~000\times 1,02^n$
$\quad$
À partir de combien de semaines le nombre de visionnages hebdomadaire sera-t-il supérieur à $150~000$ ?
$\quad$
Voici un algorithme écrit en langage Python :
$$\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }} \textcolor{BlueGreen}{\text{seuil}}\textcolor{Mahogany}{\text{():}}\\
\hspace{1cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{120000}}\\
\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{0}}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }} \text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{<}}\textcolor{BlueGreen}{\text{400000}}\\
\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\text{n}\textcolor{Mahogany}{\text{+}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1}}\\
\hspace{2cm}\text{u}\textcolor{Mahogany}{\text{=}}\textcolor{BlueGreen}{\text{1.02}}\textcolor{Mahogany}{\text{*}}\text{u}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}
\end{array}$$
Déterminer la valeur affichée par cet algorithme et interpréter le résultat précédent dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
On pose pour tout entier naturel $n$ : $S_n=u_0+\ldots+u_n$. Montrer que l’on a :
$$S_n=6~000~000\times \left(1,02^{n+1}-1\right)$$
Puis en déduire le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines (arrondir à l’unité).
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times u_0\\
&=1,02\times 120~000\\
&=122~400\end{align*}$
Il y a eu $122~400$ visionnages une semaine après le début de la diffusion.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=1,02u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=120~000$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=120~000\times 1,02^n$.
$\quad$
Voici les premières valeurs, arrondies à $10^{-2}$, prises par la suite $\left(u_n\right)$
$$\begin{array}{|c|c|}
\hline
n& u_n\\
\hline
0 &120~000\\
\hline
1 &122~400\\
\hline
2 &124~848\\
\hline
3 &127~344,96\\
\hline
4 &129~891,86\\
\hline
5 &132~489,70\\
\hline
6 &135~139,49\\
\hline
7 &137~842,28\\
\hline
8 &140~599,13\\
\hline
9 &143~411,11\\
\hline
10 &146~279,33\\
\hline
11 &149~204,92\\
\hline
12 &152~189,02\\
\hline
\end{array}$$
C’est donc après $12$ semaines que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $150~000$.
$\quad$
L’algorithme détermine le plus petit rang de la suite $\left(u_n\right)$ tel que $u_n\pg 400~000$.
On a $u_{60} \approx 393~732,70$ et $u_{61}\approx 401~598,17$
C’est donc à partir de la $61\ieme$ semaine que le nombre de visionnages hebdomadaire sera supérieur à $400~000$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} S_n&=u_0+u_1+\ldots+u_n\\
&=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{1-1,02}\\
&=120~000\times \dfrac{1-1,02^{n+1}}{-0,02}\\
&=6~000~000\left(1,102^{n+1}-1\right)\end{align*}$
On a
$\begin{align*} S_{52}&=6~000~000\left(1,02^{53}-1\right)\\
&\approx 11~138~008\end{align*}$
Le nombre total de visionnages au bout de $52$ semaines est environ égal à $11~138~008$.
$\quad$

[collapse]

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Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Soit la suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0= 400$ vérifiant la relation, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,9u_n + 60$$
Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= -200$ et de raison $0,9$.

Calculer $u_2$ et $v_2$.
$\quad$
Calculer la somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
$\quad$
Recopier et compléter la fonction Suite suivante écrite en Python qui permet de calculer la somme $S$ des $20$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{2cm} \text{U = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return(}\ldots)\\
\hline
\end{array}$$
Le sujet original contenait une erreur dans le programme. Elle a été corrigée ici.
$\quad$
On admet que $u_n=v_n+600$. En déduire $u_{20}$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*}u_1&=0,9u_0+60\\
&=0,9\times 400+60\\
&=420\end{align*}$
et
$\begin{align*}u_2&=0,9u_1+60\\
&=0,9\times 420+60\\
&=438\end{align*}$
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=-200$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-200\times 0,9^n$.
Ainsi :
$\begin{align*}v_2&=-200\times 0,9^2 \\
&=-162\end{align*}$
$\quad$
La somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :
$\begin{align*} S_{20}&=v_0+v_1+\ldots+v_{19} \\
&=-200\times \dfrac{1-0,9^{20}}{1-0,9} \\
&=-2~000\left(1-0,9^{20}\right)\end{align*}$
$\quad$
On a $u_1-u_0=20$ et $u_2-u_1=18$
$20\neq 18$ : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
On a $\dfrac{u_1}{u_0}=1,05$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,04$
Les quotients sont différents : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\quad$
On obtient le code suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = S + U } \\
\hspace{2cm} \text{U = 0,9 * U + 60} \\
\hspace{1cm} \text{return(S)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_{20}&=v_{20}+600 \\
&=-200\times 0,9^{20}+600\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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