E3C – Séries technologiques – Automatismes – Janvier 2020

E3C – Automatismes

Séries technologiques

Une baisse de $10\%$ suivie d’une baisse de $20\%$ correspond à une baisse globale de $\ldots$
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est :
$\begin{align*} m&=\left(1-\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{20}{100}\right)\\
&=0,9\times 0,8\\
&=0,72\\
&=1-0,28\end{align*}$
Il s’agit donc d’une baisse globale de $28\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La forme décimale de $\frac{7}{4}\times 10^{-3}$ est
$\quad$

Correction Question 2

$\begin{align*} \dfrac{7}{4}\times 10^{-3}&=1,75\times 10^{-3} \\
&=0,001~75\\
\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
La fraction irréductible égale à $1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2$ est :
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^2&=1-\dfrac{4}{9} \\
&=\dfrac{5}{9}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Une série statistique est résumée à l’aide du diagramme en boîtes ci-dessous, utilisez-le pour répondre aux questions 4 et 5.

L’écart interquartile de cette série vaut
$\quad$

Correction Question 4

D’après le graphique, l’écart interquartile vaut $55-30=25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le pourcentage des valeurs de cette série comprises entre $30$ et $60$ est de :
$\quad$

Correction Question 5

D’après le graphique, le premier quartile est $Q_1=30$ et le maximum vaut $60$.
Ainsi $75\%$ des valeurs de cette série sont comprises entre $30$ et $60$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre l’équation $3x-10=x+2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 3x-10=x+2 &\ssi 3x-x=2+10\\
&\ssi 2x=12\\
&\ssi x=6\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer l’expression $(3x-2)^2$.
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (3x-2)^2&=(3x)^2-2\times 3x\times 2+2^2 \\
&=9x^2-12x+4\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Factoriser l’expression $x^3+5x$.
$\quad$

Correction Question 8

$x^3+5x=x\left(x^2+5\right)$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Tracer la droite d’équation $y=-2x+3$ dans le repère ci-dessous

$\quad$

Correction Question 9

Si $x=0$ alors $y=-2\times 0+3=3$. Le point $A$ de coordonnées $(0;3)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
Si $x=2,5$ alors $y=-2\times 2,5+3=-2$. Le point $B$ de coordonnées $(2,5;-2)$ appartient à la droite $\Delta$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dans un repère, on donne $A (5 ; 8)$ et $B (1 ; 0)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :
$\quad$

Correction Question 10

$A$ et $B$ ont des abscisses différentes.
Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est donc :
$\begin{align*} m&=\dfrac{8-0}{5-1} \\
&=\dfrac{8}{4}\\
&=2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

À quelle évolution globale correspond une hausse de $20\%$ suivi d’une baisse de $30\%$ ?
$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,2\times 0,7\\
&=0,84\\
&=1-0,16\end{align*}$
Il s’agit donc, au global, d’une baisse de $16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Convertir $3,52$ h en heure minute seconde.
$\quad$

Correction Question 2

$0,52$h $=0,52\times 60$ min $= 31,2$ min
$0,2$ min $=0,2\times 60$ s $=12$ s.
Ainsi $3,52$h $=3$h $31$min $12$s
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $(d)$ la droite d’équation réduite $y = -3x + 2$.
Le point $B\left(\dfrac{1}{3};1\right)$ appartient-il à la droite $(d)$ ?
$\quad$

Correction Question 3

$-3\times \dfrac{1}{3}+2=-1+2=1$ donc $B$ appartient à la droite $(d)$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer et réduite l’expression suivante :
$A(x)=(2x-1)^2+3x+2$
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} A(x)&=(2x-1)^2+3x+2 \\
&=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2+3x+2\\
&=4x^2-4x+1+3x+2\\
&=4x^2-x+3\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Soit $f$ la fonction définie par la représentation graphique ci-dessous :

Déterminer graphiquement l’ensemble des solutions de l’équation $f(x)=0$.
$\quad$

Correction Question 5

L’ensemble solution cherché est, graphiquement, $\left\{-3;0;2;4\right\}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation d’inconnue $x$ suivante : $-2x-4\pg x+2$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} -2x-4\pg x+2&\ssi -3x\pg 6\\
&\ssi x\pp -2 \text{ on divise par $-3$ qui est négatif}\end{align*}$
L’ensemble solution est donc $]-\infty;-2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quelle est la fraction irréductible égale à $\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}$?
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*}\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{12}&=\dfrac{9}{24}+\dfrac{10}{24} \\
&=\dfrac{19}{24}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère le calcul suivant : $0,003\times 1,5\times 10^8$.
Donner le résultat en écriture scientifique.
$\quad$

Correction Question 8

$\begin{align*}0,003\times 1,5\times 10^8&=3\times 10^{-3}\times 15\times 10^{-1}\times 10^8 \\
&=45\times 10^4 \\
&=4,5\times 10^5\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation d’inconnue $x$ suivante : $$3x^2+1=13$$
$\quad$

Correction Question 9

$\begin{align*}3x^2+1=13&\ssi 3x^2=12\\
&\ssi x^2=4\\
&\ssi x=2 \text{ ou } x=-2\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Les tailles des élèves d’une classe de terminale ont été représentées par l’histogramme ci‐dessous :

Trois élèves ont une taille inférieure à $160$ cm.
Déterminer le nombre d’élèves dans cette classe de terminale.
$\quad$

Correction Question 10

$6$ “petits rectangles” représentent donc $3$ élèves.
Donc $2$ “petits rectangles” représentent $1$ élève.
Il y a par conséquent $33$ élèves dans cette classe.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Soit $B=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}$.
Donner la valeur de $B$ sous la forme d’une fraction irréductible.
$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} B&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{3}\times \dfrac{4}{5}\\
&=\dfrac{5}{3}-\dfrac{28}{15}\\
&=\dfrac{25}{15}-\dfrac{28}{15}\\
&=-\dfrac{3}{15}\\
&=-\dfrac{1}{5}\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix est multiplié par $0,84$. Quel est le taux d’évolution de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 2

$0,84=1-0,16$.
Il s’agit donc d’une baisse de $16\%$. Le taux d’évolution est donc $-16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Un prix augmente de $20\%$ puis baisse de $30 \%$. Quelle est l’évolution globale de ce prix ?
$\quad$

Correction Question 3

Le coefficient multiplicateur est :
$\begin{align*} m&=\left(1+\dfrac{20}{100}\right)\left(1-\dfrac{30}{100}\right)\\
&=1,2\times 0,7\\
&=0,84\\
&=1-0,16\end{align*}$
Le prix a subi une baisse de $16\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Dans le repère ci-dessous, tracer la droite d’équation $y=3x-2$.
$\quad$

Correction Question 4

Son ordonnée à l’origine est $-2$ et son coefficient directeur est $3$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre l’équation $5x+1=4$.
$\quad$

Correction Question 5

$5x+1=4\ssi 5x=3\ssi x=\dfrac{3}{5}$
La solution de l’équation est $\dfrac{3}{5}$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Résoudre l’équation $3x^2=12$.
$\quad$

Correction Question 6

$3x^2=12\ssi x^2=4\ssi x=2$ ou $x=-2$
Les solutions de l’équation sont $-2$ et $2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Développer l’expression $A=(2x-1)^2-x^2$.
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} A&=(2x-1)^2-x^2\\
&=(2x)^2-2\times 2x\times 1+1^2-x^2\\
&=4x^2-4x+1-x^2\\
&=3x^2-4x+1\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

Voici la répartition des notes sur $5$ d’une classe de première :

L’effectif total de la classe est :
$\quad$

Correction Question 8

$4+8+7+5+1=25$
Il y a donc $25$ élèves dans la classe.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quel est le pourcentage de la classe qui a eu $4$ sur $5$ ?
$\quad$

Correction Question 8

$\dfrac{5}{25}=0,2$.
$20\%$ des élèves ont donc eu $4$ sur $5$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Quel est le pourcentage d’élèves de la classe qui ont eu la moyenne ?
$\quad$

Correction Question 8

$7+5+1=13$
$\dfrac{13}{25}=\dfrac{52}{100}$
$52\%$ des élèves ont eu la moyenne
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Séries technologiques

Le plan étant muni d’un repère, la droite d’équation $y = 2x-2,5$ passe par le point $A$ d’ordonnée $0$ et d’abscisse :
A. $-2,5$
B. $1,5$
C. $-1,25$
D. $\dfrac{5}{4}$
$\quad$

Correction Question 1

$2x-2,5=0\ssi 2x=2,5 \ssi x=1,25\ssi x=\dfrac{5}{4}$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Une diminution de $50 \%$ est compensée par une augmentation de :
A. $50 \%$
B. $100 \%$
C. $150 \%$
D. $200 \%$
$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*}\left(1-\dfrac{50}{100}\right)\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1&\ssi 0,5\left(1+\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1+\dfrac{x}{100}=2 \\
&\ssi x=100\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On considère une augmentation de $5 \%$, deux années consécutives. Le coefficient multiplicateur est :
A. $1,055$
B. $1,10$
C. $1,102~5$
D. $2,10$
$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*}\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&=1,05^2 \\
&=1,102~5\end{align*}$
Remarque : le carré d’un nombre se terminant par $5$ se termine par $25$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le prix d’un survêtement est passé de $40$ € à $30$ € entre juin 2019 et juillet 2019. Sachant que l’indice du prix de ce survêtement était $80$ en juin 2019, son indice en juillet 2019 est :
A. $70$
B. $75$
C. $90$
D. $60$
$\quad$

Correction Question 4

On a le tableau de proportionnalité suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Prix}&40&30\\
\hline
\text{indice}&80&x\\
\hline
\end{array}$$
$x=\dfrac{30\times 80}{40}=60$
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$$\quad$
Selon une enquête de l’INSEE sur la production de déchets non dangereux dans le commerce en 2016, $75 \%$ des déchets non dangereux du commerce ont été triés en 2016 et $3 \%$ des déchets triés du commerce en 2016 ont été mis en décharge.
En 2016, le pourcentage de déchets du commerce qui ont été triés et mis en décharge est :
A. $2,25 \%$
B. $78 \%$
C. $39 \%$
D. $25 \%$
$\quad$

Correction Question 5

$\dfrac{3}{100}\times \dfrac{75}{100}=\dfrac{2,25}{100}=2,25\%$
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Lors de deux évolution $CM=(1+t)^2. Alors :
A. $t=\sqrt{CM-1}$
B. $t=\sqrt{CM}-1$
C. $t=\sqrt{1-CM}$
D. $t=1-\sqrt{CM}$
$\quad$

Correction Question 6

On a donc $\sqrt{CM}=1+t$ soit $t=\sqrt{CM}-1$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Pour tout réel $x$, $(1-2x)^2$ est égal à :
A. $1-4x+2x^2$
B. $4x^2-4x+1$
C. $1-4x^2$
D. $1-2x^2$
$\quad$

Correction Question 7

$\begin{align*} (1-2x)^2&=1^2-2\times 1\times 2x+(2x)^2 \\
&=1-4x+4x^2\end{align*}$
Réponse B
$\quad$

[collapse]

$\quad$
L’ensemble des valeurs de $x$ pour lesquelles $-2x+6$ est négatif est :
A. $[3;+\infty[$
B. $]-\infty;3]$
C. $[-3;+\infty[$
D. $]-\infty;-3]$
$\quad$

Correction Question 8

$-2x+6\pp 0 \ssi -2x\pp -6 \ssi x\pg 3$
L’ensemble solution est donc $[3;+\infty[$.
Réponse A
$\quad$

[collapse]

$\quad$
On donne la courbe $\mathscr{C}$ d’une fonction $f$ définie sur $[-3 ; 2]$ :

L’équation $f(x) = 0$ admet :
A. une solution négative ;
B. deux solutions positives ;
C. deux solutions négatives ;
D. une solution positive et une solution négative.
$\quad$

Correction Question 9

La courbe $\mathscr{C}$ coupe $2$ l’axe des abscisses : une des abscisses est positive l’autre est négative.
Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Le diagramme en barres ci-dessous donne la production brute d’électricité, en Twh (térawatt-heure) selon son origine (source : INSEE).

Indiquer la seule proposition vraie :
A. La quantité d’électricité d’origine hydraulique a diminué entre 2011 et 2016.
B. La quantité d’électricité d’origine hydraulique était de $575$ Twh en 2006.
C. La quantité d’électricité d’origine nucléaire n’a pas cessé de diminuer entre 2001 et 2016.
D. La quantité d’électricité d’origine thermique était d’environ $40$ Twh en 1995.
$\quad$

Correction Question 10

Réponse D
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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Le prix d’un objet est passé de $30$ euros à $36$ euros.
Calculer le taux d’évolution en pourcentage ?
$\quad$

Correction Question 1

$\dfrac{36-30}{30}=0,2$.
Le taux d’évolution est donc égal à $20\%$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Par combien faut-il multiplier une quantité positive pour que celle-ci diminue de $15\%$ ?
$\quad$

Correction Question 2

Le coefficient multiplicateur est $1-\dfrac{15}{100}=0,85$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Après une augmentation du prix de $10\%$, un article est vendu $44$ euros.
Quel était le prix de départ?
$\quad$

Correction Question 3

On appelle $P$ le prix de départ. On a donc :
$\begin{align*} P\times \left(1+\dfrac{10}{100}\right)=44&\ssi 1,1P=44 \\
&\ssi P=\dfrac{44}{1,1}\\
&\ssi P=40\end{align*}$
Le prix de départ était de $40$ euros.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante : $2(x-3)-4=7x$.
$\quad$

Correction Question 4

$\begin{align*} 2(x-3)-4=7x&\ssi 2x-6-4=7x\\
&\ssi -10=5x\\
&\ssi x=-2\end{align*}$
La solution de l’équation est $-2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’équation suivante $(x+1)^2=7$.
$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} (x+1)^2=7 &\ssi x+1=\sqrt{7} \text{ ou } x+1=-\sqrt{7}\\
&\ssi x=\sqrt{7}-1 \text{ ou } x=-\sqrt{7}-1\end{align*}$
Les solutions de l’équation sont $\sqrt{7}-1$ et $-\sqrt{7}-1$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$
Résoudre dans $\R$ l’inéquation $2(x-1) \pp -3x+8$.
$\quad$

Correction Question 6

$\begin{align*} 2(x-1) \pp -3x+8 &\ssi 2x-2 \pp -3x+8 \\
&\ssi 5x\pp 10 \\
&\ssi x\pp 2\end{align*}$
L’ensemble solution est $]-\infty;2]$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la droite $\Delta$ représentée ci-dessous.

$\quad$

Correction Question 7

L’ordonnée à l’origine est $2$.
La droite passe par les points de coordonnées $(0;2)$ et $(1;-1)$.
Le coefficient directeur est donc :
$\begin{align*} a&=\dfrac{2-(-1)}{0-1}\\
&=-3\end{align*}$
Ainsi l’équation réduite de $\Delta$ est $y=-3x+2$.
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Étudier le signe de l’expression $(10x-7)(-x+3)$ sur $\R$.
$\quad$

Correction Question 8

$10x-7=0 \ssi 10x=7 \ssi x=0,7$ et $10x-7>0 \ssi 10x>7\ssi x>0,7$.
$-x+3=0 \ssi x=3$ et $-x+3>0 \ssi x<3$
On obtient donc le tableau de signes suivant :

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Pour les questions 9 et 10, on considère la situation suivante :
Entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020, une agence bancaire a étudié nombre de paiements effectués par $500$ de ses clients en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire. Elle a obtenu le diagramme en barres ci-dessous.

Combien de clients ont effectué $28$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 9

D’après le graphique, $20$ clients ont effectué $28$ paiements « sans contact ».
$\quad$

[collapse]

$\quad$
Combien de clients ont effectué au moins $30$ paiements en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire entre le 1$\ier$ et le 8 mars 2020 ?
$\quad$

Correction Question 10

$10+14+8=32$.
$32$ clients ont effectué au moins $30$ paiement en utilisant le mode « sans contact » de leur carte bancaire.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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