Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet de secours – 7 juin 2024

Centres étrangers – 7 juin 2024

Spécialité maths – Sujet de secours – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=2\e^{2x}-6$.
Par conséquent :
$\begin{align*} f'(x)-2f(x)&=2\e^{2x}-6-2\left(\e^{2x}-6x+1\right) \\
&=-6+12x-2 \\
&=12x-8\\
&\neq -6x+1\end{align*}$
Affirmation 1 fausse
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*}u_n&=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\ldots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \\
&=\sum_{k=0}^n \left(\dfrac{3}{4}\right)^k \\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{3}{4}} \\
&=\dfrac{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{4}} \\
&=4\left(1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}\right)\end{align*}$
Or $-1<\dfrac{3}{4}<1$. Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n+1}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=4$.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
L’instruction $\text{suite(50)}$ renvoie la valeur de $u_{49}$ puisque la boucle $\text{for}$ de la ligne 3 permet à $\text{i}$ de prendre les valeurs de $0$ à $k-1$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}-2$.
La tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisse si, et seulement si, $f'(1)=0$.
$\begin{align*} f'(1)=0&\ssi a-2=0 \\
&\ssi a=2\end{align*}$
Affirmation 4 vraie
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(R_1,\conj{R_1}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P\left(R_2\right)&=P\left(R_1\cap R_2\right)+P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right) \\
&=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right)+P_{\conj{R_1}}\left(R_2\right) \\
&=0,85\times 0,6+0,15\times 0,4 \\
&=0,57\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P_{R_2}\left(\conj{R_1}\right)&=\dfrac{P\left(\conj{R_1}\cap R_2\right)}{P\left(R_2\right)} \\
&=\dfrac{0,15\times 0,4}{0,57} \\
&=\dfrac{2}{19}\end{align*}$
La probabilité que le joueur ait raté le premier service sachant qu’il a réussi le deuxième est égale à $\dfrac{2}{19}$.
$\quad$
a. $Z(\Omega)=\acco{0;1;2}$.
$\begin{align*} P(Z=0)&=P\left(\conj{R_1}\cap \conj{R_2}\right) \\
&=P\left(\conj{R_1}\right)P_{\conj{R_1}}\left(\conj{R_2}\right) \\
&=0,15\times 0,6 \\
&=0,09\end{align*} $
$\begin{align*} P(Z=2)&=P\left(R_1\cap R_2\right) \\
&=P\left(R_1\right)P_{R_1}\left(R_2\right) \\
&=0,85\times 0,6 \\
&=0,51\end{align*} $
$\left((Z=0),(Z=1),(Z=2)\right)$ forme un système complet d’événements fini. Par conséquent :
$\begin{align*}P(Z=1)&=1-P(Z=0)-P(Z=2) \\
&=1-0,09-0,51 \\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. On a donc :
$\begin{align*}E(Z)&=0\times P(Z=0)+1\times P(Z=1)+2\times P(Z=2) \\
&=0,4+2\times 0,51 \\
&=1,42\end{align*}$
En moyenne, lorsque le joueur réalise $100$ doubles services, il réussit $142$ services.
$\quad$

Partie B

a. D’après l’énoncé $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)=0,6$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)=0,6$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} x_{n+1}&=P\left(R_{n+1}\right) \\
&=P\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
&=P\left(R_n\right)P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+P\left(\conj{R_n}\right)P_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
&=0,6x_n+0,4\left(1-x_n\right) \\
&=0,6x_n+0,4-0,4x_n \\
&=0,2x_n+0,4\end{align*}$
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. On a
$\begin{align*} u_{n+1}&=x_{n+1}-0,5 \\
&=0,2x_n+0,4-0,5 \\
&=0,2x_n-0,1 \\
&=0,2\left(x_n-0,5\right) \\
&=0,2u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,2$ et de premier terme $u_0=0,85-0,5=0,35$.
$\quad$
b. D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,35\times 0,2^n$.
Or $x_n=u_n+0,5$ donc $x_n=0,5+0,35\times 0,2^n$.
$\quad$
$-1<0,2<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,2^n=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} x_n=0,5$.
$\quad$
c. Sur le long terme le joueur réussit un service sur deux.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A : appareil de la marque A

Il semblerait que la température maximale soit atteinte au bout de $200$ minutes.
$\quad$
Il semblerait que la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes.
$\quad$
$f$ semble être une fonction continue et positive sur $[0;600]$. Par conséquent $\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$ est la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0;600]$.
Il y a environ $121$ carrés (en assemblant les carrés incomplets entre eux) compris entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=0$ et $x=600$.
Chaque carré à une aire égale à $25\times 50=1~250$ °C.min.
Par conséquent
$\begin{align*}\ds \dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt&\approx \dfrac{121\times 1250}{600}\\
&\approx 252\end{align*}$
Durant les $600$ premières minutes, la température moyenne du foyer était environ égale à $252$ °C.
$\quad$

Partie 2 : étude d’une fonction

Par croissances comparées $\lim\limits_{t\to +\infty} t\e^{-0,01t}=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} g(t)=20$.
$\quad$
a. La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x\pg 0$ on a :
$\begin{align*} g'(t)&=10\e^{-0,01t}-0,01\times 10t\e^{-0,01t} \\
&=(10-0,1t)\e^{-0,01t}\end{align*}$
$\quad$
b. La fonction exponentielle est strictement positive. Par conséquent, pour tout réel $t\pg 0$, $g'(t)$ est du signe de $-0,1t+10$.
$\begin{align*} -0,1t+10>0&\ssi -0,1t>-10 \\
&\ssi t<100\end{align*}$
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $[0;100]$ et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

où $g(100)=1~000\e^{-1}+20$
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;100]$.
De plus $g(0)=20$ et $g(100)\approx 388$.
Ainsi $300\in [g(0);g(100)]$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[0;100]$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[100;+\infty[$.
De plus $g(100)\approx 388$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=20$.
Ainsi $300\in ]20;g(100)]$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=300$ admet une unique solution sur $[100;+\infty[$.
$\quad$
Par conséquent l’équation $g(x)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0;+\infty[$.
D’après la calculatrice ces solutions sont environ égales à $43$ et $193$.
$\quad$
On réalise une intégration par parties à l’aide des fonctions $u$ et $v$ définies sur $[0;600]$ par :
$$\begin{array}{lll} u(t)=t&\phantom{123}&u'(t)=1\\v(t)=-100\e^{-0,01t}&&v'(t)=\e^{-0,01t}\end{array}$$
$\begin{align*}\int_0^{600} g(t)\dt&=10\int_0^{600}t\e^{-0,01t}\dt+\int_0^{600} 20\dt \\
&=10\left(\left[-100t\e^{-0,01t}\right]_0^{600}-\int_0^{600} \left(-100\e^{-0,01t}\right)\dt\right)+20\times 600 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}+100\int_0^{600}\e^{-0,01t}\dt\right)+12~000 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}+100\left[-100\e^{-0,01t}\right]_0^{600}\right)+12~000 \\
&=10\left(-60~000\e^{-6}-10~000\e^{-6}+10~000\right)+12~000 \\
&=112~000-700~000\e^{-6}\end{align*}$
$\quad$

Partie 3 : évaluation

Appareil A
La température maximale semble environ égale à $350$ °C.
La température maximale est atteinte en $200$ minutes, donc en plus de $2$ heures.
La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à $252$°C.
La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $240$ minutes, c’est-à-dire $4$ heures.
$\quad$
L’appareil A obtient donc trois étoiles.
Appareil B

La température maximale semble environ égale à $388$ °C.
La température maximale est atteinte en $100$ minutes, donc en moins de $2$ heures.
La température moyenne durant les $10$ premières heures est environ égale à :
$\begin{align*} \dfrac{1}{600}\int_0^{600} g(t)\dt&=\dfrac{112~000-700~000\e^{-6}}{600} \\
&\approx 183 \text{°C}\end{align*}$
La température du foyer dépasse $300$°C pendant environ $193-43=150$ minutes, c’est-à-dire $2$ heures et demi.
$\quad$
L’appareil B obtient donc trois étoiles.

Ex 4

Exercice 4

On a $OA=200$
L’avion n°1 parcourt $200$ m pour relier le point $0$ au point $A$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(87+33)^2+(75-75)^2+(-116-44)^2}\\
&=\sqrt{40~000} \\
&=200\end{align*}$
L’avion n°2 parcourt également $200$ m pour relier le point $B$ au point $C$.
$\quad$
Ils volent tous les deux à la même vitesse et parcourent la même distance.
L’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
$quad$
On a $\vect{OA}\begin{pmatrix}0\\200\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}120\\0\\-160\end{pmatrix}$.
Ainsi une représentation paramétrique de $(OA)$ est $\begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$ et une représentation paramétrique de $(BC)$ est $\begin{cases} x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases} \quad k\in \R$.
Résolvons le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\x=-33+120k\\y=75\\z=44-160k\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\-33+120k=0\\75=200t\\44-160k=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=0\\y=200t\\z=0\\120k=33\\t=\dfrac{75}{200}\\[2mm]160k=44\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases}x=0\\y=75\\z=0\\k=0,275\\t=0,375\end{cases}\end{align*}$
Les droites $(OA)$ et $(BC)$ sont sécantes au point de coordonnées $(0;75;0)$.
Les trajectoires des deux avions se coupent.
$\quad$
Les deux avions atteignent le point d’intersection des deux trajectoires à des temps différents $0,375$ seconde pour l’avion n°1 et $0,275$ seconde pour l’avion B.
Mathématiquement les deux avions ne se percutent pas lors de ce passage.
Cependant, l’écart de $0,1$ seconde entre les deux temps est relativement court et ne laisse pas une marge importante de sécurité (chaque avion parcourt $20$ m durant en $0,1$ seconde).
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même
incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

Exercice 1 (4 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est juste ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation 1 : Soit $(E)$ l’équation différentielle : $y’-2y=-6x+1$
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^{2x}-6x+1$ est une solution de l’équation différentielle $(E)$.

$\quad$

Affirmation 2 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par

$$u_n=1+\dfrac{3}{4}+\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\cdots+\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$$

La suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $+\infty$.

$\quad$

Affirmation 3 : On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie dans l’affirmation 2.
L’instruction $\text{suite(50)}$ ci-dessous, écrite en langage Python, renvoie $u_{50}$.

def suite(k):

S = 0

for i in range(k):

S = S + (3 / 4)**k

return S

$\quad$

Affirmation 4 : Soit $a$ un réel et $f$ la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par $$ f(x)=a \ln (x)-2 x$$

Soit $C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère $\Oij$.
Il existe une valeur de $a$ pour laquelle la tangente à $C$ au point d’abscisse $1$ est parallèle à l’axe des abscisses.

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

Au cours d’une séance, un joueur de volley-ball s’entraîne à faire des services. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à $0,85$.

On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées :

si le joueur réussit un service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant est égale à $0,6$ ;
si le joueur ne réussit pas un service, alors la probabilité qu’il ne réussisse pas le suivant est égale à $0,6$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ l’évènement « le joueur réussit le $n$-ième service » et $\conj{R_n}$ l’évènement contraire.

Partie A :

On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Démontrer que la probabilité de l’événement $R_2$ est égale à $0,57$.
$\quad$
Sachant que le joueur a réussi le deuxième service, calculer la probabilité qu’il ait raté le premier.
$\quad$
Soit $Z$ la variable aléatoire égale au nombre de services réussis au cours des deux premiers services.
a. Déterminer la loi de probabilité de $Z$ (on pourra utiliser l’arbre pondéré de la question 1).
$\quad$
b. Calculer l’espérance mathématique $E(Z)$ de la variable aléatoire $Z$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie B :
On s’intéresse maintenant au cas général.
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $x_n$ la probabilité de l’évènement $R_n$.

a. Donner les probabilités conditionnelles $P_{R_n}\left(R_{n+1}\right)$ et $P_{\conj{R_n}}\left(\conj{R_{n+1}}\right)$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : $x_{n+1}=0,2 x_n+0,4$.
$\quad$
Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n=x_n-0,5$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $x_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(x_n\right)$.
$\quad$
c. Interpréter cette limite dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (7 points)

Un organisme certificateur est missionné pour évaluer deux appareils de chauffage, l’un d’une marque A et l’autre d’une marque B.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1 : appareil de la marque A

À l’aide d’une sonde, on a mesuré la température à l’intérieur du foyer d’un appareil de la marque A.
On a représenté, ci-dessous, la courbe de la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer en fonction du temps écoulé, exprimé en minutes, depuis l’allumage du foyer.

Par lecture graphique :

Donner le temps au bout duquel la température maximale est atteinte à l’intérieur du foyer.
$\quad$
Donner une valeur approchée, en minutes, de la durée pendant laquelle la température à l’intérieur du foyer dépasse $300$ °C.
$\quad$
On note $f$ la fonction représentée sur le graphique.
Estimer la valeur de $\dfrac{1}{600}\int_0^{600} f(t)\dt$. Interpréter le résultat.
$\quad$

Partie 2: étude d’une fonction

Soit la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left[0 ;+\infty\right[$ par $g(t)=10 t \e^{-0,01 t}+20$

Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
$\quad$
a. Montrer que pour tout $t \in\left[0 ;+\infty\right[$ , $g'(t)=(-0,1 t+10) \e^{-0,01 t}$.
$\quad$
b. Étudier les variations de la fonction $g$ sur $[0 ;+\infty[$ et construire son tableau de variations.
$\quad$
Démontrer que l’équation $g(t)=300$ admet exactement deux solutions distinctes sur $[0 ;+\infty[$. En donner des valeurs approchées à l’unité.
$\quad$
À l’aide d’une intégration par parties, calculer $\ds \int_0^{600} g(t) \dt$.
$\quad$

Partie 3 : évaluation

Pour un appareil de la marque B, la température en degrés Celsius à l’intérieur du foyer $t$ minutes après l’allumage est modélisée sur $[0 ; 600]$ par la fonction $g$.

L’organisme certificateur attribue une étoile par critère validé parmi les quatre suivants :

Critère 1 : la température maximale est supérieure à $320$ °C.
Critère 2 : la température maximale est atteinte en moins de $2$ heures.
Critère 3 : la température moyenne durant les $10$ premières heures après l’allumage dépasse $250$ °C.
Critère 4 : la température à l’intérieur du foyer ne doit pas dépasser $300$ °C pendant plus de $5$ heures.

Chaque appareil obtient-il exactement trois étoiles ? Justifier votre réponse.

$\quad$

Exercice 4 (7 points)

On modélise un passage de spectacle de voltige aérienne en duo de la manière suivante :

on se place dans un repère orthonormé $\Oijk$, une unité représentant un mètre ;
l’avion n°1 doit relier le point $O$ au point $A(0 ; 200 ; 0)$ selon une trajectoire rectiligne, à la vitesse constante de $200$ m/s;
l’avion n°2 doit, quant à lui, relier le point $B(-33 ; 75 ; 44)$ au point $C(87 ; 75 ;-116)$ également selon une trajectoire rectiligne, et à la vitesse constante de $200$ m/s;
au même instant, l’avion n°1 est au point $O$ et l’avion n°2 est au point $B$.

Justifier que l’avion n°2 mettra autant de temps à parcourir le segment $[BC]$ que l’avion n°1 à parcourir le segment $[OA]$.
$\quad$
Montrer que les trajectoires des deux avions se coupent.
$\quad$
Les deux avions risquent-ils de se percuter lors de ce passage ?
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 22 mai 2024

Amérique du Nord – 22 mai 2024

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R) \\
&=0,2286\times 0,0808 \\
&\approx 0,0185\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf et hybride rechargeable est environ égale à $0,0185$.
$\quad$
$\left(N,\conj{N}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*}P(R)&=P(N\cap R)+P\left(\conj{N}\cap R\right) \\
&=P(N)\times P_N(R)+P\left(\conj{N}\right)\times P_{\conj{N}}(R)\\
&=0,2286\times 0,0808+0,7714\times 0,0127 \\
&\approx 0,0283\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit hybride rechargeable est environ égale à $0,0283$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_R(N)&=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)} \\
&\approx \dfrac{0,2286\times 0,0808}{0,0283} \\
&\approx 0,6527\end{align*}$
La probabilité que le véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable est environ égale à $0,6527$.
$\quad$

Partie B

On effectue $500$ tirages aléatoires. Le probabilité que le véhicule soit neuf est environ égale à $0,65$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=500$ et $p=0,65$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X=325)&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times (1-0,65)^{500-325} \\
&=\dbinom{500}{325}0,65^{325}\times 0,35^{175} \\
&\approx 0,0374\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs est environ égale à $0,0374$.
$\quad$
On a, d’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X\pg 325)&=1-P(X\pp 324) \\
&\approx 0,5206\end{align*}$
La probabilité pour qu’au moins $325$ véhicules soient neuf parmi les $500$ véhicules hybrides rechargeables est environ égale à $0,5206$.
$\quad$

Partie C

On appelle $Y$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $n$ véhicules choisis.
On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,65$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,65$.
Donc :
$\begin{align*} p_n&=P(Y=0)\\
&=(1-0,65)^n \\
&=0,35^n\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} q_n\pg 0,9999 &\ssi P(Y\pg 1)\pg 0,9999 \\
&\ssi 1-p_n\pg 0,9999 \\
&\ssi p_n \pp 0,0001 \\
&\ssi 0,35^n \pp 0,0001 \\
&\ssi n\ln(0,35) \pp \ln(0,0001) \qquad \text{croissance de la fonction } \ln \\
&\ssi n \pp \dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)} \qquad \ln(0,35)<0 \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,0001)}{\ln(0,35)}\approx 8,77$.
La plus petite valeur de $n$ telle que $q_n\pg 0,9999$ est donc $9$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a $F(3;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $M(1,5;1;0)$
$\quad$
a. On a $\vect{FH}\begin{pmatrix} -3\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vect{FM}\begin{pmatrix}-1,5\\1\\-1\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Par conséquent :
$\vec{n}.\vect{FH}=-6+6+0=0$
$\vec{n}.\vect{FM}=-3+6-3=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à $2$ vecteurs non colinéaires du plan $(HMF)$.
$\vec{n}$ est ainsi un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc de la forme $2x+6y+3z+d=0$.
$F(3;0;1)$ appartient à ce plan.
Donc $6+0+3+d=0 \ssi d=-9$.
Une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est donc $2x+6y+3z-9=0$.
$\quad$
c. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\15\\-3\end{pmatrix}$
Or $\dfrac{5}{2}\neq \dfrac{-3}{3}$.
Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}$ ne sont donc pas colinéaires et les plans $\mathcal{P}$ et $(HMF)$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
On a $D(0;1;0)$ et $G(3;1;1)$ donc $\vect{DG}\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DG)$ est donc $\begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
On recherche l’ensemble solution du système :
$\begin{align*} \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\2x+6y+3z-9=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\6t+6+3t-9=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\9t=3\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=3t\\y=1\\z=t\\t=\dfrac{1}{3}\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=1\\y=1\\z=\dfrac{1}{3}\\[3mm]t=\dfrac{1}{3}\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent $N$ a pour coordonnées $\left(1;1;\dfrac{1}{3}\right)$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*}2\times 3+6\times \dfrac{1}{4}+3\times \dfrac{1}{2}-9&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\
&=0
\end{align*}$
Le point $R$ appartient à $(HMF)$.
$\quad$
$\vect{GR}\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{3}{4}\\[3mm]-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$ or $\dfrac{0}{2}\neq \dfrac{-\dfrac{3}{4}}{6}$
$\vec{n}$ et $\vect{GR}$ ne sont pas colinéaires.
$\vect{GR}$ n’est donc pas orthogonal au plan $(HMF)$.
$R$ n’est pas le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$.$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $g$ est dérivable sur $[0;1]$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x\in [0;1]$ on a $g'(x)=2-2x$.
Or $2-2x=0\ssi x=1$ et $2-2x>0 \ssi 2>2x\ssi 1>x$.
$g$ est strictement croissante sur $[0;1]$.
$g(0)=0$ et $g(1)=1$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_1&=g\left(\dfrac{1}{2}\right) \\
&=\dfrac{3}{4}\end{align*}$
$\begin{align*} u_2&=g\left(\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{15}{16}\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0<u_n<u_{n+1}<1$.
Initialisation : $u_0=\dfrac{1}{2}$ et $u_1=\dfrac{3}{4}$.
Or $0<\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{4}<1$. $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose $P(n)$ vraie.
Ainsi $0<u_n<u_{n+1}<1$.
La fonction $g$ est strictement croissante sur $[0;1]$ donc $g(0)<g\left(u_n\right)<g\left(u_{n+1}\right)<g(1)$.
Ainsi $0<u_{n+1}<u_{n+2}<1$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante et majorée par $1$. D’après le théorème de la limite monotone elle converge.
$\quad$
La fonction $g$ est continue sur $[0;1]$ et pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=g\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} x=g(x)&\ssi x=2x-x^2 \\
&\ssi x-x^2=0 \\
&\ssi x(x-1)=0\end{align*}$
Cette équation possède exactement deux solutions $0$ et $1$.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0>0$. Par conséquent $\ell =1$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*}v_{n+1}&=\ln\left(1-u_{n+1}\right) \\
&=\ln\left(1-2u_n+u_n^2\right) \\
&=\ln\left(\left(1-u_n\right)^2\right) \\
&=2\ln\left(1-u_n\right) \\
&=2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\ln(2)$.
$\quad$
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $v_n=-\ln(2)\times 2^n$.
$\quad$
Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} -\ln(2)\times 2^n=\ln\left(1-u_n\right) &\ssi 1-u_n=\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \\
&\ssi u_n=1-\exp\left(-\ln(2)\times 2^n\right) \end{align*}$
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} 2^n=+\infty$ car $2>1$.
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty}-\ln(2)\times 2^n=-\infty$.
Or $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=1$.
$\quad$
On peut écrire :

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95 : n = n + 1 u = 2 * u - u**2 return n

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def seuil():
   n = 0
   u = 0.5
   while u < 0.95 :
      n = n + 1
      u = 2 * u - u**2
   return n

$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On veut résoudre l’équation :
$\begin{align*} f(x)=0&\ssi a\ln(x)=0 \\
&\ssi \ln(x)=0 \qquad \text{car } a>0\\
&\ssi x=1\end{align*}$
Le point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l’axe des abscisses a donc pour coordonnées $(1;0)$.
$\quad$
La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=a\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1\right )\\
&=a\left(\ln(x)+1-1\right) \\
&=a\ln(x)\\
&=f(x)\end{align*}$
$F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
$f$ est une fonction continue et positive sur $[1;+\infty[$. De plus $x_0\pg 1$.
Par conséquent l’aire du domaine grisé est :
$\begin{align*} \int_1^{x_0}f(x)\dx&=\Big[F(x)\Big]_1^{x_0} \\
&=F\left(x_0\right)-F(1) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0\right)-a\left(-1\right) \\
&=a\left(x_0\ln\left(x_0\right)-x_0+1\right)\end{align*}$
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit d’une fonction dérivable sur cet intervalle par une constante.
Pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)=\dfrac{a}{x}$
Une équation de $T$ est $y=f’\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.
$f’\left(x_0\right)=\dfrac{a}{x_0}$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{a}{x_0}\left(x-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)$.
Son ordonnée à l’origine est donc $\dfrac{a}{x_0}\times \left(-x_0\right)+a\ln\left(x_0\right)=-a+a\ln\left(x_0\right)$.
Ainsi $A$ a pour coordonnées $\left(0;-a+a\ln\left(x_0\right)\right)$.
$B$ a pour coordonnées $\left(0;f\left(x_0\right)\right)$ soit $\left(0;a\ln\left(x_0\right)\right)$.
Par conséquent :
$\begin{align*} AB&=a\ln\left(x_0\right)-\left(-a+a\ln\left(x_0\right)\right) \\
&=a\end{align*}$
$AB$ est donc constante et vaut $a$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 (5 points)

Les données publiées le 1$^\text{er}$ mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

$22,86 \%$ des véhicules étaient des véhicules neufs ;
$8,08 \%$ des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables ;
$1,27 \%$ des véhicules d’occasion (c’est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l’exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A
Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.
On note :

$N$ l’événement « le véhicule est neuf » ;
$R$ l’événement « le véhicule est hybride rechargeable » ;
$\conj{N}$ et $\conj{R}$ les événements contraires des événements contraires de $N$ et $R$.

Représenter la situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.
$\quad$
Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est $0,0283$.
$\quad$
Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu’il est hybride rechargeable.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on choisit 500 véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022. Dans la suite, on admettra que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.
On assimile le choix de ces $500$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les $500$ véhicules choisis.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser la valeur de ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’exactement $325$ de ces véhicules soient neufs.
$\quad$
Déterminer la probabilité $p(X\pg 325)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

Partie C
On choisit désormais $n$ véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu’un tel véhicule soit neuf est égale à $0,65$.

On assimile le choix de ces $n$ véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

Donner l’expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_n$ que tous ces véhicules soient d’occasion.
$\quad$
2. On note $q_n$ la probabilité qu’au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $q_n \pg 0,9999$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 (5 points)

On considère le pavé droit $ABCDEFGH$ tel que $AB = 3$ et $AD=AE=1$ représenté ci-dessous.

On considère le point $I$ du segment $[AB]$ tel que $\vect {AB}=3\vect{AI}$ et on appelle $M$ le milieu du segment $[CD]$.

On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect {AI};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.

Sans justifier, donner les coordonnées des points $F$, $H$ et $M$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\6\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(HMF)$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(HMF)$ est :
$$2x+6y+3z-9=0$$
$\quad$
c. Le plan $\mathcal{P}$ dont une équation cartésienne est $5x-15y-3z+7=0$ est-il parallèle au plan $(HMF)$ ? Justifier la réponse.$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DG)$.
$\quad$
On appelle $N$ le point d’intersection de la droite $(DG)$ avec le plan $(HMF)$.
Déterminer les coordonnées du point $N$.
$\quad$
Le point $R$ de coordonnées $\left(3;\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)$ est-il le projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(HMF)$? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 (5 points)

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par $g(x) = 2x-x^2$.

Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0; 1]$ et préciser les valeurs de $g(0)$ et de $g(1)$.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $\begin{cases} u_0=\dfrac{1}{2}\\[3mm] u_{n+1}=g\left(u_n\right)\end{cases}$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0<u_n<u_{n+1}<1$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=\ln\left(1-u_n\right)$.

Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $2$ et préciser son premier terme.
$\quad$
En déduire une expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ et retrouver la limite déterminée à la question 5.
$\quad$
Recopier et compléter le script Python ci-dessous afin que celui-ci renvoie le rang $n$ à partir duquel la suite dépasse $0,95$.

Python

def seuil(): n = 0 u = 0.5 while u < 0.95: n = ... u = ... return n

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def seuil():
  n = 0
  u = 0.5
  while u < 0.95:
     n = ...
     u = ...
  return n

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 (5 points)

Soit $a$ un réel strictement positif.
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $f(x)=a\ln(x)$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Soit $x_0$ un réel strictement supérieur à $1$.

Déterminer l’abscisse du point d’intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l’axe des abscisses.
$\quad$
Vérifier que la fonction $F$ définie par $F(x) = a\left(x\ln(x)-x\right)$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
En déduire l’aire du domaine grisé en fonction de $a$ et de $x_0$.
$\quad$

On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point $M$ d’abscisse $x_0$.
On appelle $A$ le point d’intersection de la tangente $T$ avec l’axe des ordonnées et $B$ le projeté orthogonal de $M$ sur l’axe des ordonnées.

Démontrer que la longueur $AB$ est égale à une constante (c’est-à-dire à un nombre qui ne dépend pas de $x_0$) que l’on déterminera. Le candidat prendra soin d’expliciter sa démarche.
$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2023

Amérique du Sud – 26 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

$\lim\limits_{x\to 0^+} 1+x^2=1$ et, par croissances comparées , $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2\ln(x)=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to 0^+} f(x)=1$.
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 2-\ln(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2x-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x-4x\ln(x)-2x \\
&=-4x\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $-4x<0$.
$\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$
On obtient le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
De plus $f(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[1;+\infty[$.
$f(\e)=1-\e^2<0$
Ainsi $f(\e)<0<f(1)$ soit $f(\e)<f(\alpha)<f(1)$
La fonction $f$ est décroissante sur $[1;+\infty[$ par conséquent $1<\alpha<\e$.
$\quad$
L’appel $\text{dichotomie(1)}$ fournit un encadrement de $\alpha$ à, au plus, $10^{-1}$ près.
D’après la question 4., $1<\alpha<\e$ et $\e\approx 2,72$.
Par conséquent les propositions C et D sont fausses.
$f(1,85)\approx 0,2>0$ : par conséquent, lors du premier tour de la boucle $\text{while}$, la variable $\text{a}$ prend la valeur $1,85$. et ne pourra plus prendre de valeur inférieur.
La proposition B : $ \text{(1.85, 1.9031250000000002)}$ est la bonne.
$\quad$
Autre méthode : On veut un encadrement à $10^{-1}$ près. La différence entre les deux bornes de l’intervalle doit donc être inférieure à $10^{-1}$. On exclut donc les propositions A et C.
L’intervalle obtenu à l’aide de l’algorithme de dichotomie est inclus dans l’intervalle fourni initialement. On exclut donc également la proposition D.
Il ne reste donc que la proposition B.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times \left(1+x^2\right)-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{x}+x-2x\ln(x)}{\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{1+x^2-2x^2\ln(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \\
&=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2} \end{align*}$
$\quad$
$g'(x)$ est donc du signe de $f(x)$.
D’après la partie A :
$\bullet ~f(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet ~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet ~f(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
Ainsi $g$ est strictement croissante sur $]0;+\alpha[$ et strictement décroissante sur $]\alpha;+\infty[$.
Elle admet donc un maximum en $\alpha$.
$\quad$
On a $g'(1)=\dfrac{f(1)}{4}=\dfrac{1}{2}$ et $g(1)=0$
Une équation de $T_1$ est donc $y=\dfrac{1}{2}(x-1)$
On a $g'(\alpha)=0$ et $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
Une équation de $T_{\alpha}$ est donc $y=\dfrac{1}{2\alpha^2}$
L’abscisse du point d’intersection de ces deux droites est solution de l’équation $\dfrac{1}{2}(x-1)=\dfrac{1}{2\alpha^2}\ssi x-1=\dfrac{1}{\alpha^2} \ssi x=1+\dfrac{1}{\alpha^2}$.
Ainsi le point d’intersection des deux droites a pour coordonnées $\left(1+\dfrac{1}{\alpha^2};\dfrac{1}{2\alpha^2}\right)$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. La fréquence des accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{293~898}{18~221~965} &\approx 0,0161\\
&\approx 1,6\%\end{align*}$$
$\quad$
b. La fréquence des accouchements donnant naissance à au moins trois enfants sur la période 1998-2020 est :
$$\begin{align*} \dfrac{4~921}{18~221~965} &\approx 0,000~27\\
&\approx 0,027\% \\
&<0,1\%\end{align*}$$
$\quad$
a. On effectue $20$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0,016$.
$\begin{align*}P(X=1)&=\dbinom{20}{1} 0,016\times (1-0,016)^{19} \\
&\approx 0,236\end{align*}$
La probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double est environ égale à $0,236$.
$\quad$
b. On effectue $n$ expériences indépendantes de Bernoulli de paramètre $0,016$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,016$.
$\begin{align*} P(X\pg 1)\pg 0,99& \ssi 1-P(X=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(X=0)\pp 0,01 \\
&\ssi 0,984^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,984) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,984)} \approx 285,5$
La plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1)\pg 0,99$ est $286$.
Cela signifie qu’il faut que la maternité réalise $286$ accouchements en une journée pour que la probabilité qu’il y ait au moins un accouchement double soit supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$
a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
b. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P\left(F_1\cap F_2\right)&=P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)+P\left(\conj{M}\cap F_1\cap F_2\right) \\
&=0,3\times 0,49\times 1+0,7\times 0,49\times 0,49 \\
&=0,315~07\end{align*}$
$\quad$
c. On veut calculer :
$\begin{align*} P_{F_1\cap F_2}(M)&=\dfrac{P\left(M\cap F_1\cap F_2\right)}{P\left(F_1\cap F_2\right)} \\
&=\dfrac{0,3\times 0,49\times 1}{0,315~07} \\
&\approx 0,467\end{align*}$
La probabilité que les nouveaux nés soient monozygotes sachant que ce sont des jumelles est environ égale à $0,467$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. On a $\vect{CK}\begin{pmatrix}-4\\12\\3\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} CK&=\sqrt{(-4)^2+12^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $C$ appartient bien à la sphère $S$.
$\quad$
b. $\vect{AC}\begin{pmatrix}4\\-12\\-16\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}4\\-12\\10\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}=16+144-160=0$.
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{AC}=12-12+0=0$ et $\vec{n}.\vect{BC}=12-12+0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $3x+y+d=0$.
Le point $A(0;4;16)$ appartient au plan $(ABC)$ donc $4+d=0\ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $3x+y-4=0$.
$\quad$
a. On note $D’$ le point de coordonnées $(12;0;0)$
$\vect{D’K}\begin{pmatrix}-12\\4\\3\end{pmatrix}$ donc
$\begin{align*} D’K&=\sqrt{(-12)^2+4^2+3^2} \\
&=\sqrt{169} \\
&=13\end{align*}$
Le point $D'(12;0;0)$ appartient donc à la fois à l’axe des abscisses et à la sphère $S$ et $12>0$
Ainsi $D$ a pour coordonnées $(12;0;0)$.
$\quad$
b. $\vec{n}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
Ainsi, une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
$$\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\end{cases} \quad t\in \R$$
$\quad$
c. On recherche les coordonnées du point d’intersection de $\Delta$ avec le plan $(ABC)$. On résout pour cela le système suivant :
$\begin{align*}\begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\3x+y-4=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\36+9t+t-4=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=12+3t\\y=t\\z=0\\t=-3,2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2,4\\y=-3,2\\z=0\end{cases}\end{align*}$
On note $H(2,4;-3,2;0)$.
On a alors $\vect{HD}\begin{pmatrix}9,6\\3,2\\0\end{pmatrix}$.
Ainsi, la distance du point $D$ au plan $(ABC)$ est égale à :
$\begin{align*} DH&=\sqrt{9,6^2+3,2^2} \\
&=\sqrt{102,4} \\
&=\dfrac{16\sqrt{10}}{5}\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} AC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+(-16)^2}\\
&=\sqrt{416}\\
&=4\sqrt{26}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{4^2+(-12)^2+10^2}\\
&=\sqrt{260}\\
&=2\sqrt{65}\end{align*}$
$\quad$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{B}&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=\dfrac{AC\times BC}{2} \\
&=52\sqrt{10} \end{align*}$
$\quad$
Le volume du tétraèdre est alors égal à :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times 52\sqrt{10}\times \dfrac{16\sqrt{10}}{5}\\
&=\dfrac{1~664}{3} \\
&\approx 555 \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x$ on a $f(x)=-2x^2+2x$
$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-2<0$.
Le maximum est alors atteint en $\dfrac{-2}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{2}$.
$f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{1}{2}\right]$ et par conséquent, en particulier sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
$u_1=0,6\times 0,7=0,42$.
Pour tout $n\in \N$, on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1}$.
Initialisation : $u_0=0,3$ et $u_1=0,42$ donc $u_0\pp u_1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $0\pp u_n\pp u_{n+1}\pp \dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Par conséquent $f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2}$.
$P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\dfrac{1}{2}$. Elle converge donc. vers un réel $\ell$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue sur $\R$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Ainsi $\ell$ est solution de l’équation :
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 2x-2x^2=x \\
&\ssi x-2x^2=0 \\
&\ssi x(1-2x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et $u_0=0,3$. Par conséquent $\ell\pg 0,3$.
Ainsi $\ell=\dfrac{1}{2}$.
La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

Partie B

a. Si $b=0$ alors, pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}-P_n=P_n\ssi P_{n+1}=2P_n$
La suite $\left(P_n\right)$ est alors géométrique de raison $2$.
$\quad$
b. $2>1$ et $P_0=3>0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=+\infty$.
$\quad$
a. $v_0=0,1\times 3=0,3$.
Pour tout $n\in \N$ on a $P_{n+1}=P_n+P_n\left(1-0,2P_n\right)$. Ainsi :
$\begin{align*}
v_{n+1}&=0,1P_{n+1} \\
&=0,1P_n+0,1P_n\left(1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(1+1-0,2P_n\right) \\
&=0,1P_n\left(2-0,2P_n\right) \\
&=2\times 0,1P_n\left(1-0,1P_n\right) \\
&=2v_n\left(1-v_n\right)\end{align*}$
$\quad$
b. Ainsi $\left(v_n\right)$ est égale à la suite $\left(u_n\right)$ de la partie A.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0,5$. Or, pour tout $n\in \N$, $P_n=10v_n$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} P_n=5$.
La population se stabilisera donc autour de $5~000$ individus.
$\quad$

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées

Exercice 1 5 points

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x) = 1+x^2-2x^2\ln(x)$.

On admet que $f$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.

Justifier que $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$ et, en remarquant que $f(x)=1+x^2\left(1-2\ln(x)\right)$, justifier $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0; +\infty[$, $f'(x)=-4x\ln(x)$.
$\quad$
Étudier le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$.
$\quad$
Démontrer que l’équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et que $a\in [1 ; \e]$.

On admet, dans la suite de l’exercice, que l’équation $f(x) = 0$ n’admet pas de solution sur l’intervalle $]0 ; 1]$.

On donne la fonction ci-dessous écrite en Python. L’instruction $\text{from lycee import *}$ permet d’accéder à la fonction $\ln$.
$$\begin{array}{l}
\text{from lycee import *}\\
\\
\text{def f(x) :}\\
\quad \text{return 1 + x**2 – 2 * x**2 * ln(x)} \\
\\
\text{def dichotomie(p) :} \\
\quad \text{a = 1}\\
\quad \text{b = 2.7}\\
\quad \text{while b – a > 10**(-p) :}\\
\qquad \text{if f(a) * f((a + b) / 2) < 0 :}\\
\quad \qquad \text{b = (a + b) / 2 }\\
\qquad \text{else :} \\
\quad \qquad \text{a = (a + b) / 2}\\
\quad \text{return (a,b)} \end{array}$$On écrit dans la console d’exécution :
$\text{>>> dichotomie(1)}$
$\quad$
Parmi les quatre propositions ci-dessous, recopier celle affichée par l’instruction précédente ? Justifier votre réponse (on pourra procéder par élimination).
Proposition A : $\quad(1.75, 1.9031250000000002)$
Proposition B : $\quad(1.85, 1.9031250000000002)$
Proposition C : $\quad(2.75, 2.9031250000000002)$
Proposition D : $\quad(2.85, 2.9031250000000002)$
$\quad$

Partie B

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$, par $g(x) = \dfrac{\ln(x)}{1+x^2}$.

On admet que $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

On note $C_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le plan rapporté à un repère $\Oij$.

Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ; +\infty$[, $g'(x)=\dfrac{f(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$.
$\quad$
Démontrer que la fonction $g$ admet un maximum en $x=\alpha$.
$\quad$

On admet que $g(\alpha)=\dfrac{1}{2\alpha^2}$.

On note $T_1$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $1$ et on note $T_{\alpha}$ la tangente à $C_g$ au point d’abscisse $\alpha$.
Déterminer, en fonction de $\alpha$, les coordonnées du point d’intersection des droites $T_1$ et $T_{\alpha}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Entre 1998 et 2020, en France, $18~221~965$ accouchements ont été recensés, parmi lesquels $293~898$ ont donné naissance à des jumeaux et $4~ 921$ ont donné naissance à au moins trois enfants.
a. Avec une précision de $0,1\%$, calculer parmi tous les accouchements recensés, le pourcentage d’accouchements donnant naissance à des jumeaux sur la période 1998-2020.
$\quad$
b. Vérifier que le pourcentage d’accouchements qui ont donné naissance à au moins trois enfants est inférieur à $0,1\%$. On considère alors que ce pourcentage est négligeable.
$\quad$

On appelle accouchement ordinaire, un accouchement donnant naissance à un seul enfant.
On appelle accouchement double, un accouchement donnant naissance à exactement deux enfants.

On considère dans la suite de l’exercice qu’un accouchement est soit ordinaire, soit double.
La probabilité d’un accouchement ordinaire est égale à $0,984$ et celle d’un accouchement double est alors égale à $0,016$.

Les probabilités calculées dans la suite seront arrondies au millième.

On admet qu’un jour donné dans une maternité, on réalise $n$ accouchements.
On considère que ces $n$ accouchements sont indépendants les uns des autres.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d’accouchements doubles pratiqués ce jour.
a. Dans le cas où $n = 20$, préciser la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et calculer la probabilité qu’on réalise exactement un accouchement double.
$\quad$
b. Par la méthode de votre choix que vous expliciterez, déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $P(X\pg 1) \pg 0,99$.
Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Dans cette maternité, parmi les naissances doubles, on estime qu’il y a $30\%$ de jumeaux monozygotes (appelés « vrais jumeaux » qui sont obligatoirement de même sexe : deux garçons ou deux filles) et donc $70\%$ de jumeaux dizygotes (appelés « faux jumeaux », qui peuvent être de sexes différents : deux garçons, deux filles ou un garçon et une fille).
Dans le cas de naissances doubles, on admet que, comme pour les naissances ordinaires, la probabilité d’être une fille à la naissance est égale à $0,49$ et que celle d’être un garçon à la naissance est égale à $0,51$.
Dans le cas d’une naissance double de jumeaux dizygotes, on admet aussi que le sexe du second nouveau-né des jumeaux est indépendant du sexe du premier nouveau-né.
$\quad$
On choisit au hasard un accouchement double réalisé dans cette maternité et on considère les évènements suivants :
$\bullet \quad M$ : « les jumeaux sont monozygotes » ;
$\bullet \quad F_1$ : « le premier nouveau-né est une fille » ;
$\bullet \quad F_2$ : « le second nouveau-né est une fille ».
$\quad$
On notera $P(A)$ la probabilité de l’évènement $A$ et $\conj{A}$ l’évènement contraire de $A$.
a. Recopier puis compléter l’arbre pondéré ci-dessous.
$\quad$
b. Montrer que la probabilité que les deux nouveau-nés soient des filles est $0,315~07$.
$\quad$
c. Les deux nouveau-nés sont des jumelles. Calculer la probabilité qu’elles soient monozygotes.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $A(0 ; 4 ; 16)$, $B(0 ; 4 ;-10)$, $C(4 ;-8 ; 0)$ et $K(0 ; 4 ; 3)$.

On définit la sphère $S$ de centre $K$ et de rayon $13$ comme l’ensemble des points $M$ tels que $KM = 13$.

a. Vérifier que le point $C$ appartient à la sphère $S$.
$\quad$
b. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
$\quad$
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
On admet que la sphère $S$ coupe l’axe des abscisses en deux points, l’un ayant une abscisse positive et l’autre une abscisse négative. On note $D$ celui qui a une abscisse positive.
a. Montrer que le point $D$ a pour coordonnées $(12 ; 0 ; 0 )$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer la distance du point $D$ au plan $(ABC)$.
$\quad$
Calculer une valeur approchée, à l’unité de volume près, du volume du tétraèdre $ABCD$.
On rappelle la formule du volume $\mathcal{V}$ d’un tétraèdre :
$$\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur associée.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

PARTIE A

Le but de la partie A est d’étudier le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 0,3$ et par la relation de récurrence, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=2u_n\left(1-u_n\right)$$
Cette relation de récurrence s’écrit $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$ , où $f$ est la fonction définie sur $\R$ par : $$f(x)=2x(1-x)$$

Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left[0 ;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
On admet que pour tout entier naturel $n$, $0\pp u_n\pp \dfrac{1}{2}$
Calculer $u_1$ puis effectuer un raisonnement par récurrence pour démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\pp u_{n+1}$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
Justifier que la limite de la suite $\left(u_n\right)$ est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$

PARTIE B

Le but de cette partie est d’étudier un modèle d’évolution d’une population.
En 2022, cette population compte $3~000$ individus.

On note $P_n$ l’effectif en milliers de la population l’année 2022 $+n$. Ainsi $P_0 = 3$.
Selon un modèle inspiré du modèle de Verhulst, mathématicien belge du 19$^{\text{e}}$ siècle, on considère que, pour tout entier naturel $n$ :
$$ P_{n+1}-P_n=P_n\left(1-b\times P_n\right)~, \text{où $b$ est un réel strictement positif}$$
Le réel $b$ est un facteur de freinage qui permet de tenir compte du caractère limité des ressources du milieu dans lequel évoluent ces individus.

Dans cette question $b=0$.
a. Justifier que la suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
$\quad$
b. Déterminer la limite de $P_n$.
$\quad$
Dans cette question $b = 0,2$.
a. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=0,1\times P_n$.
Calculer $v_0$ puis montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=2v_n\left(1-v_n\right)$.
$\quad$
b. Dans ce modèle, justifier que la population se stabilisera autour d’une valeur que l’on précisera.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 septembre 2023

Métropole – 11 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(x)&=x\e^{x^2-3} \\
&=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2-3} \end{align*}$
Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2-3$.
Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
Réponse d
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{2(n+1)+1} \\
&=\e^{2n+2+1} \\
&=\e^2\e^{2n+1} \\
&=\e^2u_n\end{align*}$
$\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\e^2$.
Réponse c
$\quad$
On doit écrire $\text{u <= 10000}$.
Réponse a
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+60 \\
&=1,2u_n+12+60 \\
&=1,2u_n+72 \\
&=1,2\left(u_n+60\right) \\
&=1,2v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,2$.
Réponse b
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Or $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vect{CD}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$
D’une part $\vect{CD}.\vect{AB}=4-1-3=0$.
D’autre part $\vect{CD}.\vect{AC}=2-2+0=0$.
$\vect{CD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc orthogonal à ce plan.
La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
$C$ est donc le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
Le point $A$ appartient à ce plan. Ainsi $2+0-(-1)+d=0 \ssi d=-3$.
Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} CD&=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$
$\quad$
b. $C$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$ c’est donc l’unique point de ce plan situé à la distance $\sqrt{6}$ de $D$.
Il n’existe donc pas de point $M$ du plan $\mathscr{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\begin{align*}2\times 0+(2+t)-(-1+t)+3&=2+t+1-t+3 \\
&=0\end{align*}$
Ainsi, le point $M(0:2+t;-1+t)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ pour tout $t\in \R$.
La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. On appelle $N$ le point de $\Delta$ associé à la valeur $-2$. Ainsi $N(0;0;-3)$.
$\vect{ND}\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vect{ND}=0-1+1=0$.
La droite $(ND)$ est donc perpendiculaire à la droite $\Delta$ en $N$.
$N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
$H$ est donc bien le point de $\Delta$ associé à la valeur $t=-2$.
$\quad$
c. Ainsi :
$\begin{align*} HD&=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2} \\
&=\sqrt{18}\\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(T)&=p(A)p_A(T)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(T)\\
&=0,97x+0,043(1-x) \\
&=0,043+0,927x\end{align*}$
$\quad$
b. On sait que $p(T)=0,2$.
Par conséquent :
$\begin{align*} 0,2=0,043+0,927x&\ssi 0,157=0,927x \\
&\ssi x=\dfrac{157}{927}\end{align*}$.
La probabilité que l’individu choisi soit allergique est donc environ égale à $0,169$.
$\quad$
On calcule :
$\begin{align*} p_T(A)&=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)} \\
&=\dfrac{p(A)p_A(T)}{p(T)} \\
&\approx \dfrac{0,169\times 0,97}{0,2}\\
&\approx 0,820\end{align*}$
L’affirmation est donc vraie.
$\quad$

Partie B

On répète $150$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,08$.
Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,08$.
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{150}{20}0,08^{20}\times 0,92^{130} \\
&\approx 0,008\end{align*}$
La probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,008$.
$\quad$
D’après la calculatrice :
$\begin{align*} p(X\pg 15)&=1-p(X\pp 14) \\
&\approx 0,220\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10 \%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,220$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x} \\
&=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}\end{align*}$
Or $x^3>0$ sur $]0;+\infty[$.
Ainsi $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$.
$\quad$
Le discriminant de $x^2-2x+2$ est $\Delta=-4<0$.
Le signe de ce trinôme est celui de son coefficient principal qui est $1>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x^2-2x+2>0$.
Donc $g'(x)>0$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
$g(0,5)=\ln(0,5)= -\ln(2)<0$ et $g(1)=1>0$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5;1]$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
Ainsi, pour tout $x\in ]0;\alpha[$ on a $g(x)<g(\alpha)$ soit $g(x)<0$ et, pour tout $x>\alpha$ on a $g(x)>g(\alpha)$ doit $g(x)>0$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)+\e^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
&=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
a. On a ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x)=g(x)\e^x$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. $f\dsec(x)$ est donc du signe de $g(x)$.
On obtient alors le tableau de signes suivant :
$\quad$

$\quad$
b. La fonction $f\dsec$ ne s’annule qu’une fois en changeant de signe en $\alpha$.
$\mathscr{C}_f$ possède donc une unique point d’inflexion $A$ d’abscisse $\alpha$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\alpha]$ et convexe sur $[\alpha;+\infty[$.
$\quad$
a. $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=-\infty$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
Par conséquent $\lim\limits_{x\to v}f(x)=+\infty$
$\quad$
b.
$g(\alpha)=0\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}$
Ainsi :
$\begin{align*} f'(\alpha)&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\ln(\alpha)\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right) \\
&=\e^{\alpha}\left(-\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \\
&=\dfrac{\alpha}{\alpha^2}(-\alpha+1)\end{align*}$
c. On a $0,5<\alpha<1$ donc $1-\alpha>0$.
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et $\alpha^2>0$.
Ainsi $f'(\alpha)>0$.
La fonction $f’$ admet un minimum en $\alpha$ et $f'(\alpha)>0$.
Ainsi, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
$\quad$
d. On en déduit donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2-3}$.
Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x)=2x\e^{x^2-3}$ ;
b. $F(x)=\left(2x^2+1\right)\e^{x^2-3}$ ;
c. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2-3}$ ;
d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\e^{2n+1}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est :
a. arithmétique de raison $2$ ;
b. géométrique de raison $\e$ ;
c. géométrique de raison $\e^2$ ;
d. convergente vers $\e$.
$\quad$

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
$\hspace{1cm} u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,2u_n + 12$.

La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que $u_n > 10~000$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil() :}\\
\quad \text{n=0}\\
\quad \text{u=15}\\
\quad \text{while …}\\
\qquad \text{n=n+1}\\
\qquad \text{u=1.2*u+12}\\
\qquad \text{return(n}\\
\hline
\end{array}$$
À la ligne 4, on complète par :
a. $\text{u <=10 000}$ ;
b. $\text{u = 10 000}$ ;
c. $\text{u > 10 000}$ ;
d. $\text{n <= 10 000}$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+60$. La suite $\left(v_n\right)$ est :
a. une suite décroissante ;
b. une suite géométrique de raison $1,2$ ;
c. une suite arithmétique de raison $60$ ;
d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1 ; 0 ;-1)$, $B(3 ;-1 ; 2)$, $C(2 ;-2 ;-1)$ et $D(4 ;-1 ;-2)$.
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{cases}$, avec $t\in \R$.

a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
$\quad$
b. Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
$\quad$
c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3=0$.
$\quad$
a. Calculer la distance $CD$.
$\quad$
b. Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
$\quad$
a. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
$\quad$
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
b. Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t =-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
$\quad$
c. En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 4 points

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

Si un individu est allergique, le test est positif dans $97 \%$ des cas ;
Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7\%$ des cas.

Par ailleurs, $20 \%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

$A$ l’événement « l’individu est allergique » ;
$T$ l’événement « l’individu présente un test positif ».

On notera $\conj{A}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’événement $A$ : $x = p(A)$.

$\quad$

Partie A

Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
$\quad$

$\quad$
a. Démontrer l’égalité : $p(T)=0,927x+0,043$.
$\quad$
b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
$\quad$
Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
« Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
$\quad$

Partie B :

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
$\quad$
Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$
Déterminer la probabilité qu’au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points

PARTIE A

On définit sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la fonction $g$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

Montrer que pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2-2x+2\right)$.
$\quad$
En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5 ; 1]$, que l’on notera $\alpha$.
$\quad$
On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$ :
$\quad$

$\quad$
Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
$\quad$

PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=\e^x\ln(x)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ , on note $f’$ sa fonction dérivée, $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
pour tout nombre réel $x > 0,~f'(x)=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)$
Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f\dsec(x)=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
$\quad$
On pourra remarquer que pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x) = \e^x\times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
a. Dresser le tableau de signes de la fonction $f\dsec(x)$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
b. Justifier que la courbe $C_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
$\quad$
c. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.
$\quad$
a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
$\quad$
b. Montrer que $f'(x)(\alpha) =\dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(\alpha) = 0$.
$\quad$
c. Démontrer que $f'(\alpha)> 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.
$\quad$
d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 1 – 28 août 2023

Nouvelle Calédonie – 28 août 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient, une fois l’arbre totalement complété :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P\left(V\cap \conj{L}\right)&=P(V)\times P_V\left(\conj{L}\right) \\
&=0,6\times 0,8\\
&=0,48\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE est égale à $0,48$.
$\quad$
$\left(V,\conj{V}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(L)=P(L\cap V)+P\left(L\cap \conj{V}\right) &\ssi 0,42=P(V)P_V(L)+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi 0,42=0,6\times 0,2+P\left(L\cap \conj{V}\right)\\
&\ssi P\left(L\cap \conj{V}\right)=0,3\end{align*}$
La probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
On a ainsi :
$\begin{align*} P_{\conj{V}}(L)&=\dfrac{P\left(L\cap \conj{V}\right)}{P\left(\conj{V}\right)} \\
&=\dfrac{0,3}{0,4}\\
&=0,75\end{align*}$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} P_L(V)&=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)} \\
&=\dfrac{P(V)P_V(L)}{0,42}\\
&=\dfrac{0,6\times 0,2}{0,42}\\
&=\dfrac{2}{7} \\
&\approx 0,29\end{align*}$
La probabilité que le client ait choisi un bateau à voile sachant qu’il a pris l’option PILOTE est environ égale à $0,29$.
$\quad$

Partie B

On a donc, d’après l’énoncé, $P_{\conj{L}}(A)=0,12$ et $P_L(A)=0,005$.
Ainsi, d’une part,
$\begin{align*} P(L\cap A)&=P(L)P_L(A) \\
&=0,42\times 0,005\\
&=0,0021\end{align*}$
et d’autre part,
$\begin{align*} P\left(\conj{L}\cap A\right)&=P\left(\conj{L}\right)P_{\conj{L}}(A)\\
&=0,58\times 0,12\\
&=0,069~6\end{align*}$
$\quad$
$\left(L,\conj{L}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a alors :
$\begin{align*}P(A)&=P(L\cap A)+P\left(\conj{L}\cap A\right)\\
&=0,0021+0,069~6\\
&=0,071~7\end{align*}$
Ainsi, pour $1~000$ bateaux loués, il peut s’attendre à $1~000\times 0,071~7=71,7\approx 72$ avaries.
$\quad$

Partie C

$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=40$ et $p=0,42$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X\pg 15)&=1- P(X\pp 14) \\
&\approx 0,768\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE est environ égale à $0,768$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} u_1&=5u_0-4\times 0-3\\
&=15-3\\
&=12\end{align*}$
$\quad$
b. On a également :
$\begin{align*} u_2&=5u_1-4\times 1-3\\
&=60-4-3\\
&=53\end{align*}$
$\quad$
c. D’après la calculatrice, il semblerait que la suite $\left(u_n\right)$ soit strictement croissante et que $\lim\limits_{n\to +\infty}u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n\pg n+1$.
Initialisation : $u_0=3$ et $0+1=1$ donc $u_0\pg 0+1$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose la propriété $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_{n+1}&=5u_n-4n-3\\
&\pg 5(n+1)-4n-3\\
&\pg 5n+5-4n-3\\
&\pg n+2\\
&\pg (n+1)+1\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout $n\in \N$ on a $u_n\pg n+1$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{n\to +\infty} n+1=+\infty$ et, pour tout $n\in \N$, $u_n\pg n+1$.
D’après le théorème de comparaison, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*}v_{n+1}&=u_{n+1}-(n+1)-1 \\
&=5u_n-4n-3-n-2\\
&=5u_n-5n-5\\
&=5\left(u_n-n-1\right)\\
&=5v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$ et de premier terme $v_0=u_0-0-1=2$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=2\times 5^n$
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a alors
$\begin{align*} u_n&=v_n+n+1\\
&=2\times 5^n+n+1\end{align*}$
$\quad$
d. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 5^n+(n+1)+1-2\times 5^n-n-1\\
&=2\times 5^n(5-1)+1 \\
&=8\times 5^n+1\\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
$\quad$
a. On peut écrire :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 10**7:}\\
\qquad \text{u = 5 * u – 4 * n – 3}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante et, $u_9=3~906~260<10^7$ alors que $u_{10}=19~531~261\pg 10^7$.
Ainsi la fonction renvoie la valeur $10$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=1+x\e^x$ est dérivable en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} F'(x)&=\e^x+x\e^x \\
&=(1+x)\e^x \\
&=f(x)\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
Réponse a
$\quad$
On résout le système
$\begin{align*} \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\r+s=-1\\r-s=-2\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=2+r\\y=1+r\\z=-r\\2r=-3-1\\2s=1\end{cases}\end{align*}$
Le système possède donc une unique solution. Les droites sont par conséquent sécantes.
Réponse a
$\quad$
Un vecteur normal au plan $(P)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur directeur de $(\Delta)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{u}=2-1-1=0$
Donc $(\Delta)$ est parallèle au plan $(P)$.
De plus le point de coordonnées $(2;4;1)$ appartient au plan $(P)$, car $2\times 2-4+1-1=0$, et à la droite $(\Delta)$.
La droite $(\Delta)$ est donc incluse dans le plan $(P)$
Réponse b
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\left(P_1\right)$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}$ et un vecteur normal au plan $\left(P_2\right)$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires. Les deux plans ne sont pas parallèles (on exclut donc les réponses b et d).
$\vect{n_1}.\vect{n_2}=2-2+1=1\neq 0$. Les plans ne sont pas perpendiculaires.
Réponse c
$\quad$
$\vect{EF}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{EG}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}$
Ainsi :
$\begin{align*} EF&=\sqrt{1^2+2^2+2^2}\\
&=3\end{align*}$
$\begin{align*} EG&=\sqrt{(-3)^2+4^2} \\
&=5\end{align*}$
D’une part $\vect{EF}.\vect{EG}=-3+0+8=5$
D’autre part $\vect{EF}.\vect{EG}=EF\times EG\times \cos \widehat{FEG} = 15\cos \widehat{FEG}$.
Donc $\cos \widehat{FEG}=\dfrac{5}{15}$ et $\widehat{FEG} \approx 71$ °
Réponse d
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2\ln(x)=0$. Or $\lim\limits_{x\to 0} 5x^2+2x=0$
Donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x^2\left(5+\dfrac{2}{x}-2\ln(x)\right)$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=5\times 2x+2-2\times 2x\ln(x)-2x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=10x+2-4x\ln(x)-2x \\
&=8x+2-4x\ln(x)\end{align*}$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f’$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f\dsec(x)&=8-4\ln(x)-4x\times \dfrac{1}{x} \\
&=8-4\ln(x)-4 \\
&=4-4\ln(x)\\
&=4\left(1-\ln(x)\right)\end{align*}$
$\quad$
b. $f\dsec(x) >0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x\in ]0;\e]$.
$f$ est par conséquent convexe sur $]0;\e]$ et la courbe $\mathcal{C}_f$ est donc au-dessus de ses tangentes sur $]0;\e]$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Sur $]0;\e]$ on a $f'(x)>2$. L’équation $f'(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur $]0;\e]$.
La fonction $f’$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]\e;+\infty[$.
De plus $f'(\e)=4\e+2$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x)=-\infty$. Or $0\in ]-\infty;4\e+2[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $]\e;+\infty[$.
Par conséquent, l’équation $f'(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
D’après la calculatrice $7,87< \alpha < 7,88$.$\quad$
b. Ainsi :
$\bullet$ $f'(x)>0$ sur $]0;\alpha[$ ;
$\bullet$ $f'(\alpha)=0$ ;
$\bullet$ $f'(x)<0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
a. On a
$\begin{align*} f'(\alpha)=0&\ssi 8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha) =0\\
&\ssi 4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2 \\
&\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\end{align*}$
Ainsi :
$\begin{align*} f(\alpha)&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\ln(\alpha)\\
&=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha} \\
&=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha\\
&=\alpha^2+\alpha\end{align*}$
$\quad$
b. $7,87 < \alpha<7,88$ donc, du fait de la stricte croissance de la fonction carré sur $\R_+$, on a $7,87^2 <\alpha^2<7,88^2$
Par conséquent $7,87^2+7,87<f(\alpha)<7,88^2+7,88$.
Donc $69,806~9<f(\alpha)<69,974~4$.
L’encadrement à $10^{-2}$ de $\alpha$ ne permet pas d’obtenir un encadrement à $10^{-1}$ de $f(\alpha)$
Graphiquement $69,9<f(\alpha)<70,0$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Une entreprise de location de bateaux de tourisme propose à ses clients deux types de bateaux : bateau à voile et bateau à moteur.

Par ailleurs, un client peut prendre l’option PILOTE. Dans ce cas, le bateau, qu’il soit à voile ou à moteur, est loué avec un pilote.

On sait que :

$60 \%$ des clients choisissent un bateau à voile; parmi eux, 20 % prennent l’option PILOTE.
$42 \%$ des clients prennent l’option PILOTE.

On choisit un hasard un client et on considère les événements :

$V$ : « le client un bateau à voile » ;
$L$ : « le client prend l’option PILOTE ».

Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Traduire la situation par un arbre pondéré que l’on complètera au fur et à mesure.
$\quad$
Calculer la probabilité que le client choisisse un bateau à voile et qu’il ne prenne pas l’option PILOTE.
$\quad$
Démontrer que la probabilité que le client choisisse un bateau à moteur et qu’il prenne l’option PILOTE est égale à $0,30$.
$\quad$
En déduire $P_{ \conj{V}}(L)$, probabilité de $L$ sachant que $V$ n’est pas réalisé.
$\quad$
Un client a pris l’option PILOTE.
Quelle est la probabilité qu’il ait choisi un bateau à voile? Arrondir à $0,01$ près.
$\quad$

Partie B
Lorsqu’un client ne prend pas l’option PILOTE, la probabilité que son bateau subisse une avarie est égale à $0,12$. Cette probabilité n’est que de $0,005$ si le client prend l’option PILOTE.
On considère un client. On note A l’événement : « son bateau subit une avarie ».

Déterminer $P(L\cap A)$ et $P\left(\conj{L}\cap A\right)$.
$\quad$
L’entreprise loue $1~000$ bateaux. À combien d’avaries peut-on s’attendre ?
$\quad$

Partie C
On rappelle que la probabilité qu’un client donné prenne l’option PILOTE est égale à $0,42$.
On considère un échantillon aléatoire de $40$ clients. On note $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients de l’échantillon prenant l’option PILOTE.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
Donner sans justification ses paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, qu’au moins $15$ clients prennent l’option PILOTE.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par : $$u_{n+1} = 5u_n-4n-3$$

a. Démontrer que $u_1 = 12$.
$\quad$
b. Déterminer $u_2$ en détaillant le calcul.
$\quad$
c. À l’aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$u_n \pg n+1$$
$\quad$
b. En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$v_n = u_n-n-1$$
a. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
Donner sa raison et son premier terme $v_0$.
$\quad$
b. En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n = 2\times 5^n +n +1$$
$\quad$
d. En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python et destinée à renvoyer le plus petit entier naturel $n$ tel que un $u_n \pg 10^7$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def suite() :}\\
\quad \text{u = 3}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while ……… :} \phantom{123456}\\
\qquad \text{u = ………}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier le programme et compléter les deux instructions manquantes.
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par cette fonction?
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = (x+1) \e^x$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $\R$ est définie par :
a. $F(x) = 1+ x\ e^x$
b. $F(x) = (1+x) \e^x$
c. $F(x) = (2+ x) \e^x$
d. $F(x) = \left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\e^x$
$\quad$
$$\begin{array}{c}\ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ dont des représentations paramétriques sont respectivement :
$$\left(d_1\right)~ \begin{cases} x=2+r\\y=1+r\\z=-r\end{cases} \quad (r\in\R) \quad ;\quad \left(d_2\right) ~\begin{cases} x=1-s\\y=-1+s\\z=2-s\end{cases} \quad (s\in \R)$$
Les droites $\left(d_1\right)$ et $\left(d_2\right)$ sont :
a. sécantes.
b. strictement parallèles.
c. confondues.
d. non coplanaires.
$\quad$
On considère le plan $(P)$ dont une équation cartésienne est : $2x- y +z-1 = 0$.
On considère la droite $(\Delta)$ dont une représentation paramétrique est :$$\begin{cases} x=2+u\\y=4+u\\z=1-u\end{cases} \quad (u\in \R)$$
La droite $(\Delta)$ est :
a. sécante et non orthogonale au plan $(P)$.
b. incluse dans le plan $(P)$.
c. strictement parallèle au plan $(P)$.
d. orthogonale au plan $(P)$.
$\quad$
On considère le plan $\left(P_1\right)$ dont une équation cartésienne est $x-2y+z+1 = 0$, ainsi que le plan $\left(P_2\right)$
dont une équation cartésienne est $2x + y+z-6 = 0.$
Les plans $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ sont :
a. sécants et perpendiculaires.
b. confondus.
c. sécants et non perpendiculaires.
d. strictement parallèles.
$\quad$
On considère les points $E(1 ; 2 ; 1)$, $F(2 ; 4 ; 3)$ et $G(-2 ; 2 ; 5)$.
On peut affirmer que la mesure $\alpha$ de l’angle $\widehat{FEG}$ vérifie :
a. $\alpha = 90$°
b. $\alpha >90$°
c. $\alpha=0$°
d. $\alpha\approx 71$°
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ par : $$f (x) = 5x^2+2x-2x^2\ln(x)$$
On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sut l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

a. Démontrer : que la limite de la fonction $f$ en $0$ est égale à $0$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
Déterminer $f′(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. Démontrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]0 ;+\infty[$ :
$$f\dsec(x) = 4\left(1-\ln(x)\right)$$
$\quad$
b. En déduire le plus grand intervalle sur lequel la courbe $\mathcal{C}_f$, est au-dessus de ses tangentes.
$\quad$
c. Dresser le tableau des variations de la fonction $f’$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
(On admettra que $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}} f'(x) = 2$ et que $\lim\limits_{x\to +\infty} f'(x) = -\infty$.)
$\quad$
a. Montrer que l’équation $f'(x) = 0$ admet dans l’intervalle $]0 ;+\infty[$ une unique solution $\alpha$ dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
b. En déduire le signe de $f'(x)$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$ ainsi que le tableau des variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$.
$\quad$
a. En utilisant l’égalité $f'(\alpha) = 0$, démontrer que : $$\ln(\alpha) = \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}$$
En déduire que $f(\alpha) = \alpha^2+\alpha$.
$\quad$
b. En déduire un encadrement d’amplitude $10^{-1}$ du maximum de la fonction $f$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 2 – 29 mars 2023

La Réunion – 29 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
$\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(S)=P(S\cap R)+P\left(S\cap \conj{R}\right)&\ssi 0,82=P(R)P_R(S)+P\left(\conj{R}\right)P_{\conj{R}}(S) \\
&\ssi 0,82=0,2\times 0,9+0,8x \\
&\ssi 0,64=0,8x \\
&\ssi x=0,8\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P_S(R)&=\dfrac{P(S\cap R)}{P(S)} \\
&=\dfrac{P(R)P_R(S)}{P(S)} \\
&=\dfrac{0,2\times 0,9}{0,82} \\
&=\dfrac{9}{41} \\
&\approx 0,22\end{align*}$
La probabilité que le client ait acheté un matelas RESSORTS sachant qu’il a été satisfait de son achat est environ égal à $0,22$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,82$.
$\quad$
b. La probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat est $$P(X\pp 3)\approx 0,222$$
$\quad$
a. On répète $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,82$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $n$ clients.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,82$.
Ainsi,
$\begin{align*} p_n&=P(Y=n) \\
&=0,82^n\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} p_n<0,01 &\ssi 0,82^n <0,01 \\
&\ssi n\ln(0,82) < \ln(0,01) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\qquad \text{(car $\ln(0,82)<0$)}\end{align*} $
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,82)}\approx 23,2$.
Ainsi $p_n<0,01$ si, et seulement si, $n\pg 24$.
La probabilité que tous les clients soient satisfaits de leur achat est inférieure à $1\%$ dès qu’il y a au moins $24$ clients.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

On a
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5} \\
&=\dfrac{48+2}{13 }\\
&=\dfrac{50}{13}\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{6(x+5)-(6x+2)}{(x+5)^2} \\
&=\dfrac{28}{(x+5)^2}\\
&>0\end{align*}$
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
$\quad$
$f(2)=\dfrac{14}{7}=2$.
La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0;+\infty[$, pour tout $x>2$ on a $f(x)>f(2)$ soit $f(x)>2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a $P(n):~u_n>2$.
Initialisation : $u_0=8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
Donc $u_n>2$. D’après la question 2.a, $f\left(u_n\right) > 2$ soit $u_{n+1}>2$.
Par conséquent $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n+5}$.
D’après la question précédente, pour tout $n\in \N$, $u_n>2$.
Ainsi $2-u_n<0$, $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$.
Donc $u_{n+1}-u_n<0$ et la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $2$; elle converge donc .
a. $v_0=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac{2}{3}$
$\quad$
b. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+1} \\
&=\dfrac{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}-2}{\dfrac{6u_n+2}{u_n+5}+1} \\
&=\dfrac{~\dfrac{6u_n+2-2u_n-10}{u_n+5}~}{\dfrac{6u_n+2+u_n+5}{u_n+5}} \\
&=\dfrac{4u_n-8}{7u_n+7} \\
&=\dfrac{4}{7}\times \dfrac{u_n-2}{u_n+1}\\
&=\dfrac{4}{7}v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{2}{3}$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{4}{7}\right)^n$.
$-1<\dfrac{4}{7}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}&\ssi v_n\left(u_n+1\right)=u_n-2 \\
&\ssi u_nv_n+v_n=u_n-2\\
&\ssi u_nv_n-u_n=-2-v_n\\
&\ssi u_n\left(v_n-1\right)=-2-v_n \\
&\ssi u_n=\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}\end{align*}$
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{-2-v_n}{v_n-1}=2$.
$\quad$
On a $u_{13}\approx 2,0014>2,001$ et $u_{14}\approx 2,000~8<2,001$.
La commande $\texttt{seuil(2.001)}$ renverra donc la valeur $14$.
Il s’agit du rang à partir duquel tous les termes de la suite prendront des valeurs inférieures ou égales à $2,001$.

Ex 3

Exercice 3

Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est $$\begin{cases} x=1\\y=1+2t\\z=-t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
Un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}1\\4\\2\end{pmatrix}$.
$\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi $(d)$ et $\mathscr{P}$ sont sécants.
$1-4+2+1=4-4=0$ : le point de coordonnées $(1;-1;1)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $t=-1$ dans la représentation paramétrique de $(d)$ on obtient le point de coordonnées $(1;-1;1)$.
Ainsi la droite $(d)$ et le plan $\mathscr{P}$ sont sécants en un point $B$ de coordonnées $(1;-1;1)$.
$\quad$
a. $\vect{AC}\begin{pmatrix} 0\\-2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AB}\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\end{pmatrix}$.
$\dfrac{-2}{-2}=1$ et $\dfrac{-1}{1}=-1$ donc $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. $\vec{n}.\vect{AC}=0+0+0=0$ et $\vec{n}.\vect{AB}=0+0+0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+d=0$.
$A(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+d=0 \ssi d=-1$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est $x-1=0$.
$\quad$
a.
$\begin{align*} AB&=\sqrt{0^2+(-2)^2+1^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
$\begin{align*} AC&=\sqrt{0^2+(-2)^2+(-1)^2}\\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi $AB=AC$ et le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. $H$ est le milieu de $[BC]$. Il a donc pour coordonnées $\left(\dfrac{1+1}{2};\dfrac{-1-1}{2};\dfrac{1-1}{2}\right)$ soit $(1;-1;0)$.
Donc $\vect{AH}\begin{pmatrix} 0\\-2\\0\end{pmatrix}$
Donc :
$\begin{align*} AH&=\sqrt{0^2+(-2)^1+0} \\
&=2\end{align*}$
$\vect{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$
On a donc également $BC=2$.
Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ donc $[AH]$ est à la fois une médiane, une médiatrice, une hauteur et une bissectrice du triangle.
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AH\times BC}{2} \\
&=2\text{ u.a.}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{BD}\begin{pmatrix} -1\\0\\0\end{pmatrix}$
Ainsi $\vec{n}=-\vect{BD}$.
$\vect{BD}$ est donc normal au plan $(ABC)$.
Par conséquent $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} BD&=\sqrt{1^2+0^2+0^2}\\
&=1\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times BD\\
&=\dfrac{2}{3} \text{ u.v.}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2\e^x+2x\e^x \\
&=2(x+1)\e^x\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $x+1$.
Or $x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$.
De plus $f(-1)=-2\e^{-1} \approx -0,736$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;-1]$
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0>-\dfrac{73}{100}$ et $f(-1)<-\dfrac{73}{100}$
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $]-\infty;-1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-1;+\infty[$
$f(-1)<-\dfrac{73}{100}$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ (produit de deux fonctions tendant vers $+\infty$).
D’après le théorème de la bijection, l’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède une unique solution sur $[-1;+\infty[$.
$\quad$
L’équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ possède donc exactement deux solutions sur $\R$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} x+1=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0^+$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=-\infty$.
Réponse a
$\quad$
La fonction $h$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h'(x)&=4\e^{2x}+2(4x-16)\e^{2x} \\
&=(4+8x-32)\e^{2x} \\
&=(8x-28)\e^{2x} \\
&=4(2x-7)\e^{2x}\end{align*}$
La fonction $h’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} h\dsec(x)&=4\left(2\e^{2x}+2(2x-7)\e^{2x}\right) \\
&=8(1+2x-7)\e^{2x} \\
&=8(2x-6)\e^{2x}\end{align*}$
$h\dsec(x)>0 \ssi 2x-6>0 \ssi x>3$ et $\dsec(x)=0 \ssi 2x-6=0\ssi x=3$.
La fonction $h\dsec$ s’annule en changeant de signe en $3$.
Le point d’abscisse $3$ est donc un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr{C}_h$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a $k'(x)=\dfrac{3}{x}-1$
Une équation de $T$ est $y=k'(\e)(x-\e)+k(\e)$.
Par conséquent $k'(\e)=\dfrac{3-\e}{\e}$ et $k(\e)=3-\e$.
Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{3-\e}{\e}(x-\e)+3-\e$
Soit $y=\dfrac{3-\e}{\e}x$
Réponse b
$\quad$
$\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0 \ssi \begin{cases} X^2+10X+21=0 \\X=\ln(x)\end{cases}$
Le discriminant de l’équation $X^2+10X+21=0$ est $\Delta=16$.
Elle possède donc deux solutions $\dfrac{-10-\sqrt{16}}{2}=-7$ et $\dfrac{-10+\sqrt{16}}{2}=-3$.
$\ln(x)=-7 \ssi x=\e^{-7}$
$\ln(x)=-3\ssi x=\e^{-3}$.
Par conséquent $\e^{-7}$ et $\e^{-3}$ sont les solutions de l’équation $\left(\ln(x)\right)^2+10\ln(x)+21=0$.
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.
On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

$20\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS. Parmi eux, $90\%$ sont satisfaits de leur achat.
$82\%$ des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

$R$ : : « le client achète un matelas RESSORTS »,
$S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\conj{R}}(S)$, où $P_{\conj{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n’est pas réalisé.

Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.
$\quad$
$\quad$
Démontrer que $x = 0,8$.
$\quad$
On choisit un client satisfait de son achat.
Quelle est la probabilité qu’il ait acheté un matelas RESSORTS ?
On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

Partie B

On choisit $5$ clients au hasard. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces $5$ clients.
a. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
Soit $n$ un entier naturel non nul.
On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
a. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
$\quad$
b. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$.
Interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n +1} = \dfrac{6u_n+2}{u_n +5}$$

Calculer $u_1$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{6x+2 }{x+5}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
a. Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
$\quad$
b. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n > 2$.
$\quad$
On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$u_{n+1}-u_n = \dfrac{\left(2-u_n\right)\left(u_n+1\right)}{u_n +5}$$
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par: $$v_n = \dfrac{u_n-2}{u_n+1}$$
a. Calculer $v_0$.
$\quad$
b. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{4}{7}$.
$\quad$
c. Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
$\quad$
On considère la fonction Python $\text{seuil}$ ci-dessous, où $\text{A}$ est un nombre réel strictement plus grand que $2$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil (A) :}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{u = 8}\\
\quad \text{while u > A :}\\
\qquad \text{u = (6*u + 2) / (u + 5)}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande $\text{seuil (2.001)}$ puis interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

On se place dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère le point $A(1;1;0)$ et le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.
On considère le plan $\mathcal{P}$ d’équation : $x+4y+2z+1 = 0$.

On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vec{u}$.
Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
$\quad$
Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point $B$ dont les coordonnées sont $(1;-1;1)$.
$\quad$
On considère le point $C(1;-1;-1)$.
a. Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
a. Justifier que le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.
$\quad$
b. Soit $H$ le milieu du segment $[BC]$.
Calculer la longueur $AH$ puis l’aire du triangle $ABC$.
$\quad$
Soit $D$ le point de coordonnées $(0;-1;1)$.
a. Montrer que la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
b. Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide $ABCD$.
$\quad$
On rappelle que le volume $V$ d’une pyramide est donné par: $$V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h$$
où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.
Le nombre de solutions sur $\R$ de l’équation $f(x) = -\dfrac{73}{100}$ est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$
On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $$g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}$$
La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à :
a. $-\infty$
b. $+\infty$
c. $0$
d. elle n’existe pas.
$\quad$
On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par: $$h(x) = (4x-16)\e^{2x}$$
On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.
On peut affirmer que:
a. $h$ est convexe sur $\R$.
b. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3$.
c. $h$ est concave sur $\R$.
d. $\mathcal{C}_h$ possède un point d’inflexion en $x = 3,5$.
$\quad$
On considère la fonction $k$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $$k(x) = 3 \ln (x)-x$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé.
On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $x = \e$.
Une équation de $T$ est:
a. $y = (3-\e)x$
b. $y = \left(\dfrac{3-\e}{\e}\right)x$
c. $y = \left(\dfrac{3}{\e}- 1\right)x + 1$
d. $y = (\e-1)x + 1$
$\quad$
On considère l’équation $\left(\ln (x)\right)^2+10\ln(x)+21 = 0$, avec $x \in ]0;+\infty[$.
Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. une infinité.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – La Réunion – sujet 1 – 28 mars 2023

La Réunion – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(A)&=P\left(\left(D_1\cap A\right)\cup\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right)\right) \\
&=P\left(D_1\cap A\right)+P\left(\conj{D_1}\cap D_2\cap A\right) \qquad \text{(incompatibilité)}\\
&=P\left(D_1\right) P_{D_1}(A)+P\left(\conj{D_1}\right)P_{\conj{D_1}}\left(D_2\right)P_{\conj{D_1}\cap D_2}(A) \\
&=0,4\times 0,3+0,6\times 0,7\times 0,2 \\
&=0,204\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*}P_A\left(D_1\right) &=\dfrac{P\left(A\cap D_1\right)}{P(A)} \\
&=\dfrac{P\left(D_1\right)P_{D_1}(A)}{P(A)} \\
&=\dfrac{0,4\times 0,3}{0,204} \\
&=\dfrac{10}{17} \\
&\approx 0,588\end{align*}$
La probabilité que la personne ait décroché au premier appel sachant qu’elle a acheté le produit est environ égale à$0,588$.
$\quad$

Partie B

a. $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,204$.
$\quad$
b. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=6)&=\dbinom{30}{6}0,204^6\times (1-0,204)^{24} \\
&\approx 0,179\end{align*}$
La probabilité qu’exactement $6$ personnes de l’échantillon achètent le produit est environ égale à $0,179$.
$\quad$
c. L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=30\times 0,204 \\
&=6,12\end{align*}$
Cela signifie donc, qu’en moyenne, sur un échantillon de $30$ personnes $6,12$ achètent le produit.
$\quad$
On effectue $n$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $p=0,204$.
On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes de l’échantillon qui achètent le produit.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,204$.
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,99 &\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,99 \\
&\ssi P(Y=0) \pp 0,01 \\
&\ssi (1-0,204)^n \pp 0,01\\
&\ssi 0,796^n\pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,796) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \qquad \text{(car $\ln(0,796)<0$)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,796)} \approx 20,2$
Il faut donc l’échantillon contienne au moins $21$ personnes.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

$\lim\limits_{x\to 0} 3x+1=1$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$
Par conséquent, $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
$\quad$
Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)\right)$.
$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} 3+\dfrac{1}{x}-2\ln(x)=-\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. $f$ est derivable sur $\R_+^*$ par hypothèse. Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3-2\ln(x)-2x\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-2\ln(x)-2 \\
&=1-2\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
$1-2\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\begin{align*} m&=f\left(\e^{1/2}\right) \\
&=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\times \dfrac{1}{2} \\
&=2\e^{1/2}+1\end{align*}$
$\quad$
a. La fonction $f$ est strictement croissante sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right]$ et $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=1$.
Ainsi, pour tout $x\in \left]0;\e^{1/2}\right]$ on a $f(x)>1$.
L’équation $f(x)=0$ n’admet donc aucune solution sur cet intervalle.
$\quad$
La fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur l’intervalle $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$f\left(\e^{1/2}\right)=2\e^{1/2}+1>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[\e^{1/2};+\infty\right[$.
$\quad$
Finalement, l’équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$.
$\quad$
b. D’après le tableau de variations de la fonction $f$ et la question précédente :
$\bullet~f(x)>0$ si $x\in ]0;\alpha[$ ;
$\bullet~f(\alpha)=0$ ;
$\bullet~f(x)<0$ si $x\in ]\alpha;+\infty[$.
$\quad$
$F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$.
$f$ est donc la dérivée de $F$ sur cet intervalle.
Or $f(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};\alpha\right[$.
La fonction $F$ est donc strictement croissante sur cet intervalle.
L’affirmation est fausse.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a $f\dsec(x)=-\dfrac{2}{x}<0$.
La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\infty[$.
La courbe $\mathscr{C}_f$ est donc située sous ses tangentes.
$\quad$
b. Une équation de $\mathscr{T}$ est $y=f'(1)(x-1)+f(1)$.
Or $f'(1)=1$ et $f(1)=4$.
Une équation de $\mathscr{T}$ est donc $y=x-1+4$ soit $y=x+3$.
$\quad$
c. D’après la question 5.a. on a donc en particulier :
$\begin{align*} f(x)\pp x+3 &\ssi 3x+1-2x\ln(x) \pp x+3 \\
&\ssi -2x\ln(x) \pp -2x+2 \\
&\ssi \ln(x)\pg 1-\dfrac{1}{x}\end{align*}$

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Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$