Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Nord – sujet 2 – 28 mars 2023

Amérique du Nord – 28 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

La fonction $f’$ semble être positive sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et négative sur $[0,3;2,5]$.
Par conséquent $f$ semble croissante sur $]-\infty;0,3]$ et sur $[2,5;+\infty[$ et décroissante sur $[0,3;2,5]$.
$\quad$
La fonction $f’$ semble strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et $[2;+\infty[$ et strictement décroissante sur $[-1;2]$.
La fonction $f$ semble être convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

a. D’après la limite des termes de plus haut degré, $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2-5x+6=\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$.
De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. Pour tout réel $x$ on a $f(x)=x^2\e^x-5x\e^x+6\e^x$.
$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to -\infty} x\e^x=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty} x^2\e^x=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=(2x-5)\e^x+\left(x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(2x-5+x^2-5x+6\right)\e^x \\
&=\left(x^2-3x+1\right)\e^x\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f'(x)$ est du même signe que $x^2-3x+1$.
Il s’agit d’un polynôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=5>0$.
Ses racines sont donc $\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ et $\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}$.
$\quad$
De plus son coefficient principal est $1>0$.
Par conséquent :
$\bullet~f'(x)<0$ sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ ;
$\bullet~f'(x)=0$ si $x\in \acco{\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}}$ ;
$\bullet~f'(x)>0$ sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $\left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right[$ et $\left]\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3-\sqrt{5}}{2};\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right[$ .
$\quad$
Une équation de $(\mathscr{T})$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=6$ et $f'(0)=1$.
Une équation de $(\mathscr{T})$ est donc $y=x+6$.
$\quad$
a. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
Par conséquent $f\dsec(x)$ est du signe de $(x+1)(x-2)$.
$x+1=0\ssi x=-1$ et $x+1>0\ssi x>-1$
$x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0 \ssi x>2$.
Par conséquent $f\dsec(x)<0 \ssi x\in ]-1;2[$.
La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$ et convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est concave sur $[-1;2]$. Sa courbe représentative est donc située sous ses tangentes sur cet intervalle.
Or $0$ appartient à $[-1;2]$.
Par conséquent $f(x)\pp x+6$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $a_{n+1}=(1-0,15)a_n+0,1b_n$ soit $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $b_{n+1}=0,15a_n+(1-0,1)b_n$ soit $b_{n+1}=0,15a_n+0,9b_n$.
Par conséquent
$\begin{align*} a_1&=0,85\times 1~700+0,1\times 1~300\\
&=1~575\end{align*}$
$\begin{align*} b_1&=0,15\times 1~700+0,9\times 1~300\\
&=1~425\end{align*}$
En 2024, le club A comptera $1~575$ membres et le club B $1~425$.
$\quad$
Durant l’étude aucun sportif ne quitte le groupe.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $a_n+b_n=3~000$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a $a_{n+1}=0,85a_n+0,1b_n$ et $a_n+b_n=3~000$.
Par conséquent :
$\begin{align*} a_{n+1}&=0,85a_n+0,1\left(3~000-a_n\right) \\
&=0,85a_n+300-0,1a_n \\
&=0,75a_n+300\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
Initialisation : $a_0=1~700$ et $a_1=1~575$. Donc $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$
donc
$900\pp 0,75a_{n+1}\pp 0,75a_n\pp 1~275$
Par conséquent $1~200 \pp 0,75a_{n+1}+300\pp 0,75a_n+300\pp 1~575$.
Donc $1~200\pp a_{n+2} \pp a_{n+1} \pp 1~575\pp 1~700$.
Ainsi $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$, $1~200\pp a_{n+1}\pp a_n\pp 1~700$.
$\quad$
b. La suite $\left(a_n\right)$ est décroissante et minorée par $1~200$ ; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=a_{n+1}-1~200 \\
&=0,75a_n+300-1~200\\
&=0,75a_n-900 \\
&=0,75\left(a_n-1~200\right) \\
&=0,75v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $v_0=a_0-1~200$ soit $v_0=500$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $v_n=500\times 0,75^n$.
$\quad$
c. Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} a_n&=v_n+1~200 \\
&=500\times 0,75^n+1~200\end{align*}$
$\quad$
a. $-1<0,75<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,75^n=0$. Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=1~200$.
$\quad$
b. Sur le long terme, le club A comptera ainsi $1~200$ membres.
$\quad$
a. On peut écrire
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def seuil() :}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{n = 0}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{A = 1700}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{while A >= 1280 :}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{n = n + 1}\\
\hspace{1.6cm} \texttt{A = 0.75 * A + 300}\\
\hspace{0.8cm} \texttt{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} a_n< 1~280 &\ssi 500\times 0,75^n+1200< 1~280 \\
&\ssi 500\times 0,75^n< 80 \\
&\ssi 0,75^n < 0,16\\
&\ssi n\ln(0,75)<\ln(0,16) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \qquad \text{(car $\ln(0,75)<0$)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,16)}{\ln(0,75)} \approx 6,4$.
Ainsi l’appel de la fonction $\texttt{seuil}$ renverra $7$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. $\vect{EF}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{FG}\begin{pmatrix} 4\\0\\-4\end{pmatrix}$
$\quad$
b. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même composante nulle.
Ainsi les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de la droite $(FG)$ est donc $$\begin{cases} x=-1+4t\\y=2\\z=1-4t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$
$\quad$
b. $-1+4t=2\ssi 4t=3\ssi t=\dfrac{3}{4}$
$4t-1=-2 \ssi -1+4t=2\ssi t=\dfrac{3}{4}$
Donc en prenant $t=\dfrac{3}{4}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(FG)$ on retrouve les coordonnées de point $H$.
De plus $\vect{EH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{EH}.\vect{FG}=-4+0+4=0$.
Les droites $(EH)$ et $(FG)$ sont perpendiculaires en $H$.
$H$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur la droite $(FG)$.
$\quad$
c. On a :
$\begin{align*} FG&=\sqrt{4^2+0+(-4)^2} \\
&=\sqrt{32} \\
&=4\sqrt{2}\end{align*}$
$\begin{align*} EH&=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2} \\
&=\sqrt{18} \\
&=3\sqrt{2}\end{align*}$
L’aire du triangle $EFG$ est donc égale à :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EH\times FG}{2} \\
&=\dfrac{4\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}}{2} \\
&=12 \text{ cm}^2\end{align*}$
$\quad$
a. $\vec{n}.\vect{EF}=-8+4+4=0$
$\vec{n}.\vect{FG}=8+0-8=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(EFG)$.
Il est donc normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est de la forme $2x+y+2z+d=0$.
$E(3;-2;-1)$ appartient à ce plan.
Ainsi $6-2-2+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(EFG)$ est donc $2x+y+2z-2=0$.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc $$\begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
d. On résout le système :
$\begin{align*} \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\2x+y+2z-2=0\end{cases}&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\6+4k+1+k+10+4k-2=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}x=3+2k\\y=1+k\\z=5+2k\\9k=-15\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases}k=-\dfrac{5}{3}\\[2mm]x=-\dfrac{1}{3}\\[2mm]y=-\dfrac{2}{3}\\[2mm]z=\dfrac{5}{3}\end{cases}\end{align*}$
Donc $K$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
a. $\vect{DK}\begin{pmatrix}-\dfrac{10}{3}\\[2mm]-\dfrac{5}{3}\\[2mm]-\dfrac{10}{3}\end{pmatrix}$
$\begin{align*} DK&=\sqrt{\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{10}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}} \\
&=\sqrt{25} \\
&=5 \text{ cm}\end{align*}$
$\quad$
b. Le volume du tétraèdre $DEFG$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times DK \\
&=\dfrac{1}{3}\times 12\times 5 \\
&=20\text{ cm}^3\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout réel $x>1$ on a $f(x)=0,05-\dfrac{\ln(x)}{x}\times \dfrac{x}{x-1}$.
D’après la limite des termes de plus haut degré $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{x}=1$.
Par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0,05$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $h$ est continue sur l’intervalle $[-2;4]$ et donc également sur l’intervalle $[1;3]$.
$h(1)=4>0$ et $h(3)=-1<0$.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $h(x)=0$ admet au moins une solution sur l’intervalle $[1;3]$.
Réponse c
$\quad$
$\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$. Il existe donc un entier naturel $N$ tel que, pour tout $n\pg N$, on ait $u_n\pg 1$.
Par conséquent, pour tout $n\pg N$ : $0\pp \dfrac{1}{u_n} \pp 1$ et $0\pp \dfrac{v_n}{u_n}\pp v_n$.
$\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{v_n}{u_n}=0$.
Réponse b
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ égale au gain algébrique du joueur.
$P(X=8)=\dfrac{1}{6}$ (s’il obtient $1$)
$P(X=-1)=\dfrac{1}{2}$ (s’il obtient un nombre pair)
$P(X=-4)=\dfrac{1}{3}$ (sinon)
L’espérance de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=8\times \dfrac{1}{6}-1\times \dfrac{1}{2}-4\times \dfrac{1}{3} \\
&=-\dfrac{1}{2}\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} P(X=0)=\dfrac{1}{125}&\ssi (1-p)^3=\dfrac{1}{125} \\
&\ssi 1-p=\dfrac{1}{5} \\
&\ssi p=\dfrac{4}{5}\end{align*}$
Réponse c
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1 5 points

Partie A

Le plan est muni d’un repère orthogonal.

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$. On note $f’$ sa fonction dérivée. On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$.

Dans cette partie, les résultats seront obtenus par lecture graphique de la courbe représentative de la fonction dérivée $f’$. Aucune justification n’est demandée.

Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$. On utilisera des valeurs approchées si besoin.
$\quad$
Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble être convexe.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ de la partie A est définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^{2}-5 x + 6\right) \e^{x}$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x)=\left(x^{2}-3 x+1\right) \e^{x}$.
$\quad$
En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
$\quad$
Déterminer l’équation réduite de la tangente $(\mathcal{T})$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d’abscisse $0$.
$\quad$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$. On note $f”$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$. On admet que, pour tout réel $x$, on a $f”(x) = (x+1)(x- 2) \e^{x}$.

a. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[-1~;~2]$, on a $f(x) \pp x + 6$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On étudie un groupe de $3~000$ sportifs qui pratiquent soit l’athlétisme dans le club A, soit le basketball dans le club B.

En 2023, le club A compte $1~700$ membres et le club B en compte $1~300$.

On décide de modéliser le nombre de membres du club A et du club B respectivement par deux suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$, où $n$ désigne le rang de l’année à partir de 2023.
L’année 2023 correspond au rang $0$. On a alors $a_{0}= 1~700$ et $b_{0} = 1~300$.

Pour notre étude, on fait les hypothèses suivantes :

durant l’étude, aucun sportif ne quitte le groupe ;
chaque année, $15\%$ des sportifs du club A quittent le club et adhèrent au club B ;
chaque année, $10\%$ des sportifs du club B quittent ce club et adhèrent au club $A$.

Calculer les nombres de membres de chaque club en 2024.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, déterminer une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$.
$\quad$
Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)$ vérifie la relation suivante pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1}= 0,75 a_{n} + 300$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $$1~200 \pp a_{n+1} \pp a_{n} \pp 1~700$$
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(a_{n}\right)$ converge.
$\quad$
Soit $\left(v_{n}\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=a_{n}- 1~200$.
a. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique.
$\quad$
b. Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire que pour tout entier naturel $n, a_{n}= 500 \times 0,75^{n}+ 1~200$.
$\quad$
a. Déterminer la limite de la suite $\left(a_{n}\right)$.
$\quad$
b. Interpréter le résultat de la question précédente dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
a. Recopier et compléter le programme Python ci-dessous afin qu’il renvoie la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle le nombre de membres du club A est strictement inférieur à $1~280$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\textbf{def }\text{seuil() :}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad \text{A = 1700}\\
\quad \textbf{while} \text{ … :}\\
\qquad \text{n = n + 1} \phantom{123456789}\\
\qquad \text{A = …}\\
\quad \textbf{return}\text{ …}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée lorsqu’on appelle la fonction $\text{seuil}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé d’unité $1$ cm, on considère les points $$D(3;1;5) \qquad E(3;-2;-1) \qquad F(-1;2;1) \qquad G(3;2;-3)$$

a. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{EF}$ et $\vect{FG}$.
$\quad$
b. Justifier que les points $E$, $F$ et $G$ ne sont pas alignés.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(FG)$.
$\quad$
b. On appelle $H$ le point de coordonnées $(2;2;-2)$.
Vérifier que $H$ est le projeté orthogonal de $E$ sur la droite $(FG)$ .
$\quad$
c. Montrer que l’aire du triangle $EFG$ est égale à $12$ cm$^{2}$.
$\quad$
a. Démontrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(EFG)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(EFG)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(EFG)$.
$\quad$
d. On note $K$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(EFG)$.
À l’aide des questions précédentes, calculer les coordonnées du point $K$.
$\quad$
a. Vérifier que la distance $DK$ est égale à $5$ cm.
$\quad$
b. En déduire le volume du tétraèdre $DEFG$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Les cinq questions sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]1~;+\infty[$ par $f(x)= 0,05-\dfrac{\ln x}{x- 1}$.
La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à :
a. $+\infty$
b. $0,05$
c. $-\infty$
d. $0$
$\quad$
On considère une fonction $h$ continue sur l’intervalle $[-2 ; 4]$ telle que : $$h(-1)=0, \qquad h(1) = 4, \qquad h(3) = -1$$
On peut affirmer que :
a. la fonction $h$ est croissante sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
b. la fonction $h$ est positive sur l’intervalle $[-1~;~1]$.
c. il existe au moins un nombre réel $a$ dans l’intervalle $[1;3]$ tel que $h(a) = 1$.
d. l’équation $h(x)=1$ admet exactement deux solutions dans l’intervalle $[-2;4]$.
$\quad$
On considère deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ à termes strictement positifs telles que $\lim\limits_{n \to+\infty} u_{n}=+\infty$ et $\left(v_{n}\right)$ converge vers $0$.
On peut affirmer que :
a. la suite $\left(\dfrac{1}{v_{n}}\right)$ converge.
b. la suite $\left(\dfrac{v_{n}}{u_{n}}\right)$ converge.
c. la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
d. $\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-u_{n}\right)^{n}=-\infty$
$\quad$
Pour participer à un jeu, un joueur doit payer $4$ €.
Il lance ensuite un dé équilibré à six faces :
$\bullet$ s’il obtient $1$, il remporte $12$ €;
$\bullet$ s’il obtient un nombre pair, il remporte $3$ €;
$\bullet$ sinon, il ne remporte rien.
En moyenne, le joueur :
a. gagne $3,50$ €.
b. perd $3$ €.
c. perd $1,50$ €.
d. perd $0,50$ €.
$\quad$
On considère la variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$.
On sait que $P(X = 0) = \dfrac{1}{125}$. On peut affirmer que :
a. $p = \dfrac{1}{5}$
b. $P(X = 1) =\dfrac{124}{125}$
c. $p = \dfrac{4}{5}$
d. $P(X= 1) =\dfrac{4}{5}$
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 2 – 24 mars 2023

Asie – 24 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

L’aire du triangle $FBG$ est égale à la moitié de l’aire du carré unité $BCGF$.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $EF=AB$ donc $FI=\dfrac{1}{2}$.
Le volume du tétraèdre $FIGB$ est donc :
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{FBG}\times FI \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}\\
&=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{AI}&=\vect{AE}+\vect{EI} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{EF} \\
&=\vect{AE}+\dfrac{1}{2}\vect{AB}\end{align*}$
Par conséquent $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2};0;1\right)$.
$\quad$
$\vect{BI}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\[2mm]0\\1\end{pmatrix}$, $\vect{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{DJ}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$
$\vect{DJ}.\vect{BI}=-1+0+1=0$
$\vect{DJ}.\vect{BG}=0-1+1=0$
Les vecteur $\vect{DJ}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires (ils n’ont pas la même composante nulle) du plan $(BIG)$.
Par conséquent $\vect{DJ}$ est un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est alors de la forme $2x-y+z+d=0$.
$B(1;0;0)$ appartient au plan $(BIG)$. Donc $2+0+0+d=0 \ssi d=-2$.
Une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est par conséquent $2x-y+z-2=0$.
$\quad$
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=1+t\end{cases} \qquad \forall t\in \R$$.
$\quad$
a. En prenant $t=-\dfrac{1}{6}$ dans la représentation paramétrique de $d$ on obtient $x=\dfrac{2}{3}$, $y=\dfrac{1}{6}$ et $z=\dfrac{5}{6}$.
De plus $2\times \dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6}-2=\dfrac{4}{3}+\dfrac{2}{3}-2=0$.
Le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$ appartient donc à la fois à la droite $d$ et au plan $(BIG)$.
La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Ainsi $L$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. $\vect{FL}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\[2mm]\dfrac{1}{6}\\[2mm]-\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$.
Par conséquent :
$\begin{align*} FL&=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{6}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{6}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{36}}\\
&=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
$\quad$
c. On appelle $\mathscr{A}$ l’aire du triangle $IGB$.
On a alors
$\begin{align*} V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times FL\\ &\ssi \dfrac{1}{12}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6} \\
&\ssi \mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{6}}{4}\end{align*}$
L’aire du triangle $IGB$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4}$ u.a.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

$\lim\limits_{x\to -\infty} \e^x=0$
$\lim\limits_{x\to -\infty} 2x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{2x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $g(x)=\e^{2x}\left(1-\e^{-x}+\e^{-2x}\right)$
Or, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{2x}=+\infty$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2\e^{2x}-\e^x \\
&=\e^{x}\left(2\e^x-1\right)\end{align*}$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
La signe de $g'(x)$ ne dépend donc que de celui de $2\e^x-1$.
$2\e^x-1=0 \ssi 2\e^x=1 \ssi \e^x=\dfrac{1}{2} \ssi x=-\ln(2)$
$2\e^x-1>0 \ssi 2\e^x>1 \ssi \e^x>\dfrac{1}{2} \ssi x>-\ln(2)$
On obtient alors le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
La fonction $g$ admet un minimum qui vaut $\dfrac{3}{4}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $g(x)\pg \dfrac{3}{4}>0$.
La fonction $g$ est strictement positive sur $\R$.
$\quad$
On pourrait écrire $\e^{2x}-\e^x+1>0 \ssi \begin{cases} X^2-X+1>0 \\X=\e^x\end{cases}$.
Le discriminant du polynôme du second degré $X^2-X+1$ est $\Delta=-3<0$.
Le coefficient principal de ce polynôme est $1>0$.
Par conséquent, pour tout réel $X$ on a $X^2-X+1>0$.
Donc $\e^{2x}-\e^x+1>0$ pour tout réel $x$.
$\quad$

Partie B

D’après la question A.5., pour tout tout réel $x$, on a $\e^{2x}-\e^x+1>0$.
La fonction $\ln$ est définie sur $\R_+^*$.
Par conséquent la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout réel $x$ on a alors :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\e^{2x}-\e^x}{\e^{2x}-\e^x+1} \\
&=\dfrac{g'(x)}{g(x)}\end{align*}$
$\quad$
Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=f'(0)x+f(0)$.
Or $f(0)=0$ et $f'(0)=1$.
Une équation de cette tangente est donc $y=x$.
$\quad$
$g'(x)>0 \ssi x>-\ln(2)$ d’après la question A.4
Pour tout réel $x$, on a $g(x)>0$.
Par conséquent $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
$f\left(-\ln(2)\right)=\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)<2$.
Pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(g(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.
Or $2\in \left]\ln\left(\dfrac{3}{4}\right);+\infty\right[$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$.
D’après la calculatrice $\alpha\approx 1,12$.
$\quad$

Partie C

D’après la question B.5. l’équation $f(x)=2$ admet bien au moins une solution. La conjecture 1 est vraie.

$-\ln(2)\approx -0,69<-0,5$. La fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln(2);+\infty\right[$. La conjecture 2 est fausse.

Une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$ est $y=x$. La conjecture 3 est fausse.

$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Le premier jour on dispose de $2$ g de polonium.
Par conséquent :
$\begin{align*} v_0&=2\times 3\times 10^{21} \\
&=6\times 10^{21}\end{align*}$
$\quad$
b. Chaque jour $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés. Il en reste donc $0,995u_n$.
Chaque jour, on ajoute $0,005$ g de polonium.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=0,995u_n+0,005\times 3\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
Initialisation : $v_0=6\times 10^{21}$ et $v_1=0,995v_0+1,5\times 10^{19}$ soit $v_1=5,985\times 10^{21}$.
On a bien $0\pp v_{1} \pp v_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} 0\pp v_{n+1} \pp v_n&\ssi 0\pp 0,995 v_{n+1} \pp 0,995 v_n \\
&\ssi 1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_{n+1}+1,5\times 10^{19}\pp 0,995v_n+1,5\times 10^{19}\end{align*}$
Par conséquent $0\pp v_{n+2}\pp v_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $0\pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$; elle converge donc.
$\quad$
a. Soit $b\in \N$. $u_n=v_n-3\times 10^{21} \ssi v_n=u_n+3\times 10^{21}$
$\begin{align*} u_{n+1}&=v_{n+1}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n+1,5\times 10^{19}-3\times 10^{21} \\
&=0,995v_n-2,985\times 10^{21}\\
&=0,995\left(u_n+3\times 10^{21}\right)-2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n+2,985\times 10^{21} -2,985\times 10^{21} \\
&=0,995u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,995$ et de premier terme $u_0=v_0-3\times 10^{21}=3\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3\times 10^{21}\times 0,995^n$.
Par conséquent
$\begin{align*} v_n&=u_n+3\times 10^{21} \\
&=3\times 10^{21}\times 0,995^n+3\times 10^{21}\\
&=3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,995<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,995^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=3\times 10^{21}$.
Cela signifie que sur le long terme il ne restera plus que $3\times 10^{21}$ noyaux atomiques.
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n\pp 4,5\times 10^{21} &\ssi 3\times 10^{21}\left(0,995^n+1\right)\pp 4,5\times 10^{21} \\
&\ssi 0,995^n+1 \pp 1,5 \\
&\ssi 0,995^n\pp 0,5 \\
&\ssi n\ln(0,995) \pp \ln(0,5) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)} \qquad \text{car }\ln(0,995)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,5)}{\ln(0,995)}\approx 138,3$.
C’est donc au bout de $139$ jours que le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5\times 10^{21}$.
$\quad$
a. On peut écrire $$\texttt{V = 0.995 * V + 1.5 * 10**19}$$ ou $$\texttt{V = 3 * 10**21 * (0.995**(k + 1))}$$
$\quad$
b. $52\times 7=364$.
Il faut donc saisir $\texttt{noyaux(364)}$ pour que la fonction renvoie les relevés quotidien du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $3$ et de premier terme $u_0=7$.
On a donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=7+3n$.
$7+3n=2023\ssi 3n=2016 \ssi n=672$.
Il y a donc $672+1=673$ termes.
Réponse B
$\quad$
La parité des deux termes consécutifs de la liste $\texttt{L}$ est différente.
Le premier et le dernier terme de cette liste sont impairs.
Il y a donc $\dfrac{673-1}{2}=336$ nombres pairs.
La probabilité de tirer un nombre pair est donc égale à $\dfrac{336}{673}$.
Réponse C
$\quad$
La probabilité cherchée est $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.
Réponse B
$\quad$
$\left(A,\conj{A}\right)$ est un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(B)&=P(A\cap B)+P\left(\conj{A}\cap B\right) \\
&=\dfrac{168}{673}+P\left(\conj{A}\right)P_{\conj{A}}(B) \\
&=\dfrac{34}{673}+\dfrac{673-168}{673}\times \dfrac{33}{505} \\
&=\dfrac{67}{673}\end{align*}$
Par conséquent
$\begin{align*} P_B(A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} \\
&=\dfrac{\dfrac{34}{673}}{~\dfrac{67}{673}~} \\
&=\dfrac{34}{67} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$
La probabilité qu’un nombre tiré de cette liste ne soit pas un multiple de $4$ est égale à $\dfrac{505}{673}$.
La probabilité qu’aucun des $10$ nombres choisis ne soit un multiple de $4$ est donc égale à $\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}$.
Réponse A
$\quad$
Remarque : On pouvait également également introduire une variable aléatoire $X$ égale à la quantité de nombres multiples de $4$ parmi les $10$ tirages effectués. Il faut alors prouver que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{168}{673}$. On demande donc de calculer $P(X=0)$.
$\quad$

Énoncé

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie.
Les candidates et les candidats sont invités à faire figurer sur leurs copies toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse.

Exercice 1 5 points

On considère deux cubes $ABCDEFGH$ et $BKLCFJMG$ positionnés comme sur la figure suivante:

Le point $I$ est le milieu de $[EF]$.
Dans toute la suite de l’exercice, on se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AB};\vect{AD};\vect{AE}\right)$.
Ainsi, par exemple, les points $F$, $G$ et $J$ ont pour coordonnées $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$ et $J(2;0;1)$.

Montrer que le volume du tétraèdre $FIGB$ est égal à $\dfrac{1}{12}$ d’unité de volume.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V = \dfrac{1}{3} \times \text{aire d’une base} \times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Déterminer les coordonnées du point $I$.
$\quad$
Montrer que le vecteur $\vect{DJ}$ un vecteur normal au plan $(BIG)$.
$\quad$
Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(BIG)$ est $2x-y+z-2 = 0$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, orthogonale à $(BIG)$ et passant par $F$.
$\quad$
a. La droite $d$ coupe le plan $(BIG)$ au point $L$.
Montrer que les coordonnées du point L sont $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{6};\dfrac{5}{6}\right)$.
$\quad$
b. Calculer la longueur $FL$.
$\quad$
c. Déduire des questions précédentes l’aire du triangle $IGB$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(\e^{2x} – \e^x + 1\right).$ On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative représentée ci-dessous.

Un élève formule les conjectures suivantes à partir de cette représentation graphique :

L’équation $f(x) = 2$ semble admettre au moins une solution.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ semble être croissante est $[-0,5;+\infty[$.
L’équation de la tangente au point d’abscisse $x = 0$ semble être: $y = 1,5x$.

$\quad$

Le but de cet exercice est de valider ou rejeter les conjectures concernant la fonction $f$.

Partie A : Étude d’une fonction auxiliaire

On définit sur $\R$ la fonction $g$ définie par $g(x) = \e^{2x}-\e^x + 1.$

Déterminer $\lim\limits_{x \to – \infty} g(x)$.
$\quad$
Montrer que $\lim\limits_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$.
$\quad$
Montrer que $g'(x) = \e^x\left(2\e^x-1\right)$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de la fonction $g$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s’il y en a, ainsi que les limites de $g$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
$\quad$
En déduire le signe de $g$ sur $\R$.
$\quad$
Sans en mener nécessairement les calculs, expliquer comment on pourrait établir le résultat de la question 5 en posant $X = \e^x$.
$\quad$

Partie B

Justifier que la fonction $f$ est bien définie sur $\R$.
$\quad$
La fonction dérivée de la fonction $f$ est notée $f’$. Justifier que $f'(x) = \dfrac{g'(x)}{g(x)}$ pour tout $x \in \R$.
$\quad$
Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse $0$.
$\quad$
Montrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left[-\ln (2)~;~ +\infty\right[$ et déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
$\quad$

Partie C

À l’aide des résultats de la partie B, indiquer, pour chaque conjecture de l’élève, si elle est vraie ou fausse. Justifier.

$\quad$

Exercice 3 5 points

Marie Sklodowska-Curie (1867-1934) est une physicienne (mais aussi chimiste et mathématicienne), polonaise naturalisée française.
Deux Prix Nobel lui ont été décernés: un en Physique (partagé avec son mari et Henri Becquerel) en 1903 et un en Chimie en 1911 pour la découverte de deux nouveaux éléments, le polonium (nom donné en hommage à ses origines) et le radium.

On décide d’étudier le rayonnement radioactif du polonium lors de la désintégration des noyaux atomiques au cours du temps.

Au début de l’expérience, on dispose d’un morceau de $2$ g de polonium.
On sait que $1$ g de polonium contient $3 \times 10^{21}$ noyaux atomiques.
On admet que, au bout de 24 heures, $0,5\%$ des noyaux se sont désintégrés et que, pour compenser cette disparition, on ajoute alors $0,005$ g de polonium.

On modélise la situation à l’aide d’une suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ ; on note $v_0$ le nombre de noyaux contenus dans le polonium au début de l’expérience. Pour $n \pg 1$, $v_n$ désigne le nombre de noyaux contenus dans le polonium au bout de $n$ jours écoulés.

a. Vérifier que $v_0 = 6\times 10^{21}$.
$\quad$
b. Expliquer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a $v_{n+1} = 0,995v_n + 1,5 \times 10^{19}$.
$\quad$
a. Démontrer, par récurrence sur $n$, que $0 \pp v_{n+1} \pp v_n$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ définie, pour tout entier naturel $n$, par: $u_n = v_n-3 \times 10^{21}$.
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n \in \N}$ est géométrique de raison $0,995$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $v_n = 3 \times 10^{21}\left(0,995^n + 1\right)$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Déterminer, par le calcul, au bout de combien de jours le nombre de noyaux de polonium sera inférieur à $4,5 \times 10^{21}$. Justifier la réponse.
$\quad$
On souhaite disposer de la liste des termes de la suite $\left(v_n\right)_{n \in \N}$.
Pour cela, on utilise une fonction appelée noyaux programmée en langage Python et retranscrite partiellement ci-après.
$$\begin{array}{|l|l|}
\hline
1 &\text{def noyaux (n) :}\\
2 &\qquad \text{V = 6 * 10 ** 21}\\
3&\qquad \text{L = [V]}\\
4&\qquad \text{for k in range (n):}\\
5&\qquad \qquad \text{V = …}\\
6&\qquad \qquad \text{L.append(V)}\\
7&\qquad \text{return L}\\
\hline\end{array}$$
a. À la lecture des questions précédentes, proposer deux solutions différentes pour compléter la ligne 5 de la fonction noyaux afin qu’elle réponde au problème.
$\quad$
b. Pour quelle valeur de l’entier $\text{n}$ la commande $\text{noyaux(n) }$renverra-t-elle les relevés quotidiens du nombre de noyaux contenus dans l’échantillon de polonium pendant $52$ semaines d’étude ?
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.

On considère $L$ une liste de nombres constituée de termes consécutifs d’une suite arithmétique de premier terme $7$ et de raison $3$, le dernier nombre de la liste est $2023$ soit : $L=[7,10,\ldots,2023]$.

Question 1 : Le nombre de termes de cette liste est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
2023&673&672&2016\\
\hline
\end{array}$$

Question 2 : On choisit au hasard un nombre dans cette liste.
La probabilité de tirer un nombre pair est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{1}{2}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{336}{673}&\dfrac{337}{673}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

On rappelle qu’on choisit au hasard un nombre dans cette liste.
On s’intéresse aux événements suivants :

Événements $A$ : « obtenir un multiple de $4$ »
Événement $B$ : « obtenir un nombre dont le chiffre des unités est $6$ »

Pour répondre aux questions suivantes on pourra utiliser l’arbre pondéré ci-dessous et on donne $P(A\cap B)=\dfrac{34}{673}$.

Question 3 : La probabilité d’obtenir un multiple de $4$ ayant $6$ comme chiffre des unités est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{168}{673}\times \dfrac{34}{673}&\dfrac{34}{673}&\dfrac{17}{84}&\dfrac{168}{34}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 4 : $P_B(A)$ est égale à :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\dfrac{36}{168}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{33}{168}&\dfrac{34}{67}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Question 5 : On choisit , au hasard, successivement, $10$ éléments de cette liste. Un élément peut être choisi plusieurs fois. La probabilité qu’aucun de ces $10$ nombres ne soit un multiple de $4$ est :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Réponse A}&\text{Réponse B}&\text{Réponse C}&\text{Réponse D} \\
\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{505}{673}\right)^{10}&\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}&1-\left(\dfrac{168}{673}\right)^{10}\\
\hline
\end{array}$$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – 21 mars 2023

Métropole – 21 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
$\begin{align*} p(A\cap G)&=p(A)\times p_A(G) \\
&=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{7}{10} \\
&=\dfrac{7}{25}\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
$(A,B)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &p(G)=p(A\cap G)+p(B\cap G) \\
&\ssi \dfrac{12}{25}=\dfrac{7}{25}+p(B)p_B(G) \\
&\ssi \dfrac{5}{25}=\dfrac{3}{5}p_B(G) \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{~~\dfrac{1}{5}~~}{\dfrac{3}{5}} \\
&\ssi p_B(G)=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
Réponse B
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{12}{25}$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\dfrac{12}{25}$.
Par conséquent
$\begin{align*} p(X=6)&=\dbinom{10}{6}\left(\dfrac{12}{25}\right)^6\times \left(\dfrac{13}{25}\right)^4 \\
&\approx 0,188\end{align*}$
Réponse C
$\quad$
D’après l’énoncé $p(X\pp n) \approx 0,207$.
En faisant des essais à la calculatrice avec les différentes valeurs proposées on trouve $n=3$.
Réponse B
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
$\begin{align*} p(X\pg 1)&=1-p(X=0) \\
&=1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10} \end{align*}$
Réponse D
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

Chaque mois le nombre d’insecte augmente de $60\%$.
Ainsi, pour tout $n\in \N$ on a $u_{n+1}=1,6u_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,6$ et de premier terme $u_0=0,1$.
Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=0,1\times 1,6^n$.
$\quad$
$1,6>1$ et $0,1>0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=+\infty$.
$\quad$
On veut résoudre :
$\begin{align*} u_n>0,4&\ssi 0,1\times 1,6^n >0,4 \\
&\ssi 1,6^n >4 \\
&\ssi n\ln(1,6)>\ln(4) \\
&\ssi n>\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \qquad \text{car }\ln(1,6)>0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(4)}{\ln(1,6)} \approx 2,95$
Le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$ est donc $3$.
$\quad$
D’après la question précédente, au bout de $3$ mois la population d’insecte a dépassé $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel ne sera donc pas préservé.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

On a
$\begin{align*} v_1&=1,6v_0-1,6v_0^2 \\
&=0,144\end{align*}$
Il y a donc $144~000$ insectes au bout d’un mois.
$\quad$
a.
$\begin{align*} f(x)=x&\ssi 1,6x-1,6x^2=x \\
&\ssi 0,6x-1,6x^2=0 \\
&\ssi x(0,6-1,6x)=0\\
&\ssi x=0 \text{ ou } 0,6-1,6x=0 \\
&\ssi x=0 \text{ ou } x=0,375\end{align*}$
$0$ et $0,375$ appartiennent bien à l’intervalle $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Les solutions de l’équation $f(x)=x$ sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$ sont donc $0$ et $0,375$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $-1,6$.
Son maximum est atteint en $\dfrac{-1,6}{2\times (-1,6)}=\dfrac{1}{2}$.
La fonction $f$ est donc croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
Initialisation : $v_0=0,1$ et $v_1=0,144$ donc $0\pp u_0\pp u_1\pp \dfrac{1}{2}$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$0\pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$
La fonction $f$ est croissante sur $\left[0;\dfrac{1}{2}\right]$.
Donc $f(0) \pp f\left(v_n\right) \pp f\left(v_{n+1}\right) \pp f\left(\dfrac{1}{2}\right)$
Soit $0\pp v_{n+1} \pp v_{n+2} \pp 0,4$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Pour tout $n\in \N$ on a $0\pp v_n\pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée ; elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
c. $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Par conséquent $\ell=0$ ou $\ell=0,375$ d’après la question 2.a.
La suite $\left(v_n\right)$ est croissante et $v_0=0,1$. Donc $\ell\pg 0,1$.
Ainsi $\ell=0,375$.
Il y aura donc, au plus, $375~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$.
L’équilibre du milieu naturel serait donc préservé.
$\quad$
a. La fonction $\texttt{seuil}$ renvoie le plus petit rang $n$ à partir duquel $v_n\pg 0,4$.
D’après la question précédente, la suite $\left(v_n\right)$ est croissante et majorée par $\ell$. Or $\ell<0,4$.
Si on saisit $\texttt{seuil(0.4)}$ la boucle $\texttt{while}$ ne s’arrête jamais.
$\quad$
b. On a $v_5\approx 0,338$ et $b_6\approx 0,358$.
Par conséquent $\texttt{seuil(0.35)}$ renvoie $6$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

a. Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est $\vec{n_1}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. $\vec{n_1}.\vec{n_2}=2-1-1=0$.
Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_1$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $\mathcal{P}_2$.
Les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$ est de la forme $x-y+z+d=0$.
Le point $B$ appartient à ce plan. Par conséquent $1-1+2+d=0\ssi d=-2$.
Une équation cartésienne de $\mathcal{P}_2$ est donc $x-y+z-2=0$.
$\quad$
b. Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
Soit $t\in \R$.
$2\times 0+(-2+t)-t+2=-2+t-t+2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_1$.
$0-(-2+t)+t-2=2-t+t-2=0$ : $\Delta$ est incluse dans $\mathcal{P}_2$.
Ainsi $\Delta$ est incluse dans deux plans perpendiculaires.
La droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. Soit $t\in \R$.
$\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-2+t-1\\t-1\end{pmatrix}$ soit $\vect{AM_t}\begin{pmatrix} -1\\-3+t\\t-1\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} AM_t&=\sqrt{(-1)^2+(-3+t)^2+(t-1)^2} \\
&=\sqrt{1+9-6t+t^2+t^2-2t+1} \\
&=\sqrt{2t^2-8t+11}\end{align*}$
$\quad$
b. La distance $AM_t$ est minimale si, et seulement si, $2t^2-8t+11$ est minimale (car la fonction racine carrée est strictement croissante sur $\R_+$).
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=2t^2-8t+11$.
Il s’agit d’une fonction polynôme du second degré dont le coefficient principal est $2>0$.
Elle admet donc un minimum en $\dfrac{-(-8)}{2\times 2}=2$.
Or $f(2)=3$
$H$ est le point de $\Delta$ tel que $AM_t$ est minimale.
Ainsi $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
a. Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ est $$\begin{cases} x=1+2k\\y=1+k\\z=1-k\end{cases} \qquad \forall k\in \R$$
$\quad$
b. On note $H’$ le point de coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
En prenant $k=-\dfrac{2}{3}$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}_1$ on retrouve les coordonnées du point $H’$. Donc $H’$ appartient à $\mathcal{D}_1$.
De plus $-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{5}{3}+2=-\dfrac{6}{3}+2=0$. Le point $H’$ appartient également à $\mathcal{P}_1$.
Ainsi $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Montrons dans un premier temps que $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
$\vect{AH_1}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$ et $\vect{H_2H}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\[2mm]-\dfrac{2}{3}\\[2mm] \dfrac{2}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi $\vect{AH_1}=\vect{H_2H}$ et $AH_1HH_2$ est un parallélogramme.
Par construction $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\mathcal{P}_1$. Donc $\vect{AH_1}$ est orthogonal à $\vect{H_1H}$ car les points $H_1$ et $H$ appartiennent au plan $\mathcal{P}_1$.
$AH_1HH_2$ est donc un rectangle.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a.$\lim\limits_{x\to -\infty} -x=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-x}=+\infty$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to -\infty} 1 +\e^{-x}=+\infty$.
Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
b. $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to -\infty} e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$.
Ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} 1 +\e^{-x}=1$.
Or $\lim\limits_{X\to 1} \ln(X)=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
La droite d’équation $y=0$ est donc une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
$\quad$
c. Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{\e^x}{\e^x}\times \dfrac{-\e^{-x}}{1+\e^{-x}} \\
&=\dfrac{-1}{\e^x+1}\end{align*}$
$\quad$
d. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$, par conséquent, pour tout $x\in \R$ on a $f'(x)<0$.
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Une équation de $T_0$ est de la forme $y=f'(0)x+f(0)$
Or $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ et $f(0)=\ln(2)$
Une équation de $T_0$ est donc $y=-\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
b. La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a $f\dsec(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$.
Par conséquent, pour tout réel $x$, on a $f\dsec(x)>0$.
La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. La fonction $f$ est convexe sur $\R$. La courbe représentative de la fonction $f$ est donc au-dessus de toutes ses tangentes, en particulier au-dessus de $T_0$.
Ainsi, pour tout réel $x$, on a $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
a. Soit $x\in \R$
$\begin{align*} f(x)-f(-x)&=\ln\left(1+\e^{-x}\right)-\ln\left(1+\e^{x}\right) \\
&=\ln\left(\dfrac{1+\e^{-x}}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\times \dfrac{\e^x+1}{1+\e^x}\right) \\
&=\ln\left(\e^{-x}\right) \\
&=-x\end{align*}$
$\quad$
b. Le coefficient directeur de la droite $\left(M_aN_a\right)$ est
$\begin{align*} m&=\dfrac{f(a)-f(-a)}{a-(-a)} \\
&=\dfrac{-a}{2a} \\
&=-\dfrac{1}{2} \\
&=f'(0)\end{align*}$
Par conséquent les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

Énoncé

Le candidat doit traiter les quatre exercices proposés.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Exercice 1 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse inexacte.

Un jeu vidéo possède une vaste communauté de joueurs en ligne. Avant de débuter une partie, le joueur doit choisir entre deux « mondes » : soit le monde A, soit le monde B.
On choisit au hasard un individu dans la communauté des joueurs.
Lorsqu’il joue une partie, on admet que :

la probabilité que le joueur choisisse le monde A est égale à $\dfrac{2}{5}$ ;
si le joueur choisit le monde A, la probabilité qu’il gagne la partie est de $\dfrac{7}{10}$ ;
la probabilité que le joueur gagne la partie est de $\dfrac{12}{25}$.

On considère les évènements suivants :

$A$ : « Le joueur choisit le monde $\mathrm{A}$ » ;
$B$ : « Le joueur choisit le monde B » ;
$G$ : « Le joueur gagne la partie ».

La probabilité que le joueur choisisse le monde A et gagne la partie est égale à :
a. $\dfrac{7}{10}$
b. $\dfrac{3}{25}$
c. $\dfrac{7}{25}$
d. $\dfrac{24}{125}$
$\quad$
La probabilité $P_B(G)$ de l’événement $G$ sachant que $B$ est réalisé est égale à :
a. $\dfrac{1}{5}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{7}{15}$
d. $\dfrac{5}{12}$
$\quad$

Dans la suite de l’exercice, un joueur effectue $10$ parties successives. On assimile cette situation à un tirage aléatoire avec remise. On rappelle que la probabilité de gagner une partie est de $\dfrac{12}{25}$.

La probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne exactement $6$ parties est égale à:
a. $0,859$
b. $0,671$
c. $0,188$
d. $0,187$
$\quad$
On considère un entier naturel $n$ pour lequel la probabilité, arrondie au millième, que le joueur gagne au plus $n$ parties est de $0,207$. Alors :
a. $n=2$
b. $n=3$
c. $n=4$
d. $n=5$
$\quad$
La probabilité que le joueur gagne au moins une partie est égale à :
a. $1-\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
b. $\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
c. $\left(\dfrac{12}{25}\right)^{10}$
d. $1-\left(\dfrac{13}{25}\right)^{10}$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude la population est de $100~000$ insectes.
Pour préserver l’équilibre du milieu naturel le nombre d’insectes ne doit pas dépasser $400~000$ .

Partie A : Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de $60 \%$ chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois. On a donc $u_0=0,1$.

Justifier que pour tout entier naturel $n$: $u_n=0,1 \times 1,6^n$.
$\quad$
Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$
En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel $u_n>0,4$.
$\quad$
Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$

Partie B : Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite $\left(v_n\right)$, définie par : $v_0=0,1$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=1,6 v_n-1,6 v_n^2$, où, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de $n$ mois.

Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
$\quad$
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$ par $f(x)=1,6 x-1,6 x^2$.
a. Résoudre l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $\left[0 ; \dfrac{1}{2}\right]$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n, 0 \pp v_n \pp v_{n+1} \pp \dfrac{1}{2}$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On note $\ell$ la valeur de sa limite. On admet que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
$\quad$
c. Déterminer la valeur de $\ell$. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
$\quad$
On donne ci-dessous la fonction $\text{seuil}$, écrite en langage Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def seuil(a) :} \\
\quad \text{v = 0.1} \\
\quad \text{n = 0} \\
\qquad \text{while v < a :} \\
\qquad \text{v = 1.6 * v – 1.6 * v * v} \\
\qquad \text{n = n + 1} \\
\quad \text{return n} \\
\hline
\end{array}$$
a. Qu’observe-t-on si on saisit $\text{seuil(0.4)}$ ?
$\quad$
b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de $\text{seuil(0.35)}$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

le plan $\mathcal{P}_1$ dont une équation cartésienne est $2 x+y-z+2=0$,
le plan $\mathcal{P}_2$ passant par le point $B(1 ; 1 ; 2)$ et dont un vecteur normal est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur $\vect{n_1}$ normal au plan $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si un vecteur normal à l’un des plans est orthogonal à un vecteur normal à l’autre plan.
Montrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires.
$\quad$
a. Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
b. On note $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=0 \\ y=-2+t,\quad t \in \mathbb{R} \text {. } \\ z=t\end{cases}$ Montrer que la droite $\Delta$ est l’intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$

On considère le point $A(1 ; 1 ; 1)$ et on admet que le point $A$ n’appartient ni à $\mathcal{P}_1$ ni à $\mathcal{P}_2$.
On note $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $\Delta$.

On rappelle que, d’après la question 2.b, la droite $\Delta$ est l’ensemble des points $M_t$ de coordonnées $(0 ;-2+t ; t)$, où $t$ désigne un nombre réel quelconque.
a. Montrer que, pour tout réel $t, A M_t=\sqrt{2 t^2-8 t+11}$.
$\quad$
b. En déduire que $AH=\sqrt{3}$.
$\quad$
On note $\mathcal{D}_1$ la droite orthogonale au plan $\mathcal{P}_1$ passant par le point $A$ et $H_1$ le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}_1$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathcal{D}_1$.
$\quad$
b. En déduire que le point $H_1$ a pour coordonnées $\left(-\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{5}{3}\right)$.
$\quad$
Soit $H_2$ le projeté orthogonal de $A$ sur le plan $\mathcal{P}_2$.
On admet que $H_2$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}\right)$. et que $H$ a pour coordonnées $(0;0;2)$.
Sur le schéma ci-dessous, les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont représentés, ainsi que les points $A$, $H_1$, $H_2$, $H$.
Montrer que $AH_1HH_2$ est un rectangle.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(1 + \e^{-x}\right)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $\Oij$.
La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous.

a. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $-\infty$.
$\quad$
b. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter graphiquement ce résultat.
$\quad$
c. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
Calculer $f'(x)$ puis montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f'(x)=\dfrac{-1}{1+\e^x}$.
$\quad$
d. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $\R$.
$\quad$
On note $T_0$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d’abscisse $0$.
a. Déterminer une équation de la tangente $T_0$.
$\quad$
b. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
c. En déduire que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)\pg -\dfrac{1}{2}x+\ln(2)$.
$\quad$
Pour tout nombre réel $a$ différent de $0$, on note $M_a$ et $N_a$ les points de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisses respectives $-a$ et $a$. On a donc : $M_a\left(-a;f(-a)\right)$ et $N_a\left(a;f(a)\right)$.
a. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f(x)-f(-x)=-x$.
$\quad$
b. En déduire que les droites $T_0$ et $\left(M_aN_a\right)$ sont parallèles.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 2 – 14 mars 2023

Polynésie – 14 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
Pour tout $n\in \N$, $\left(R_n,\conj{R_n}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(R_{n+1}\right)\\
&=p\left(R_n\cap R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\cap R_{n+1}\right) \\
&=p\left(R_n\right)p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)+p\left(\conj{R_n}\right)p_{\conj{R_n}}\left(R_{n+1}\right) \\
&=0,9p_n+0,3\left(1-p_n\right) \\
&=0,9p_n+0,3-0,3p_n \\
&=0,6p_n+0,3\end{align*}$
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $u_n=p_n-0,75 \ssi p_n=u_n+0,75$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,75 \\
&=0,6p_n+0,3-0,75 \\
&=0,6p_n-0,45 \\
&=0,6\left(u_n+0,75\right)-0,45 \\
&=0,6u_n+0,45-0,45 \\
&=0,6u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,6$ et de premier terme $u_0=p_0-0,75=-0,15$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_n=-0,15\times 0,6^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} p_n&=u_n+0,75 \\
&=0,75-0,15\times 0,6^n\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,6<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,6^n=0$.
Ainsi $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,75$.
La suite $\left(p_n\right)$ converge vers $0,75$.
$\quad$
d. Sur le long terme, l’athlète franchira la haie trois fois sur quatre.
$\quad$

Partie B

On répète $10$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,75$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,75$.
$\quad$
$P(X=10)=0,75^{10} \approx 0,056$
La probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies est environ égale à $0,056$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} P(X\pg 9)&=P(X=9)+P(X=10) \\
&=\dbinom{10}{9}0,75^9\times 0,25+0,75^{10} \\
&\approx 0,244\end{align*}$
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Un vecteur normal de $\mathcal{P}_1$ est $\vect{n_1}\begin{pmatrix}5\\2\\4\end{pmatrix}$.
Un vecteur normal de $\mathcal{P}_2$ est $\vect{n_2}\begin{pmatrix}10\\14\\3\end{pmatrix}$.
$\dfrac{10}{5}=2$ et $\dfrac{14}{2}=7$.
Les vecteurs $\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Montrons que la droite est incluse dans chacun des deux plans.
Soit $t\in \R$
$\begin{align*} &5(1+2t)+2(-t)+4(3-2t) \\
&=5+10t-2t+12-8t\\
&=17\end{align*}$
La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_1$
$\begin{align*}&10(1+2t)+14(-t)+3(3-2t) \\
&=10+20t-14t+9-6t\\
&=19\end{align*}$
La droite $\mathcal{D}$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}_2$
Les deux plans ne sont pas parallèles et contiennent tous les deux la droite $\mathcal{D}$.
$\mathcal{D}$ est donc la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. $5\times 1+2\times (-1)+4\times (-1)=-1\neq 17$ : $A$ n’apparient pas à $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} A\in \mathcal{D} &\ssi \begin{cases} 1+2t=1\\-t=-1\\3-2t=-1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} 2t=0\\t=1\\-2t=-4\end{cases}\\
&\ssi \begin{cases} t=0\\t=1\\t=2\end{cases} \end{align*}$
$t$ ne peut pas prendre plusieurs valeurs en même temps.
Donc $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
$\quad$
a. On a $\vect{AM}\begin{pmatrix} 2t\\-t+1\\4-2t\end{pmatrix}$
Par conséquent, pour tout $t\in \R$ on a :
$\begin{align*} f(t)&=AM^2& \\
&=(2t)^2+(-t+1)^2+(4-2t)^2 \\
&=4t^2+t^2-2t+1+16-16t+4t^2 \\
&=9t^2-18t+17\end{align*}$
$\quad$
b. $f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $9$. Elle atteint son minimum en $\dfrac{-(-18)}{2\times 9}=1$.
Les coordonnées du point $M$ quand $t=1$ sont $(3;-1;1)$.
$\quad$
On a $\vect{AH}\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}$
Un vecteur directeur de $\mathcal{D}$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vec{u}.\vect{AH}=4+0-4=0$.
Les deux vecteurs sont orthogonaux. Les droites $(AH)$ et $\mathcal{D}$ sont orthogonale.
Si on prend $t=1$ dans la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ on obtient les coordonnées du point $H$.
Ainsi $H$ appartient à la fois à $\mathcal{D}$ et à $(AH)$.
Les droites $\mathcal{D}$ et $(AH)$ sont perpendiculaires en $H$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

La fonction représentée par la courbe $C_1$ semble être strictement positive sur $]-\infty;4[$ et strictement négative sur $]4;+\infty[$.
La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement croissante sur $]-\infty;4[$ et strictement décroissante sur $]4;+\infty[$. La fonction précédente semble être sa dérivée.
La fonction représentée par la courbe $C_3$ semble être strictement positive et la fonction représentée par la courbe $C_2$ semble être strictement croissante.
Par conséquent $f$ est représentée par $C_2$, $f’$ est représentée par $C_3$ et $f\dsec$ est représentée par $C_1$.
$\quad$
D’après la question précédente, le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)$ et correspond donc à l’ordonnée du point de $C_3$ d’abscisse $4$.
Ainsi le coefficient directeur de la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$ est $f'(4)=3$.
$\quad$
Les points d’inflexion de courbe $C_1$ semble avoir comme abscisse $3$, $4$ et $5$.
$\quad$

Partie B

$\lim\limits_{x\to +\infty} -kx=-\infty$ car $k>0$.
Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-kx}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=4$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to -\infty} -kx=+\infty$ car $k>0$.
Or $\lim\limits_{X\to +\infty} \e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty} \e^{-kx}=+\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to -\infty} g(x)=0$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{-4\times (-k)\e^{-kx}}{\left(1+\e^{-kx}\right)^2}$.
Par conséquent $g'(0)=\dfrac{4k}{4}=4$.
$\quad$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $R$.
D’après le logiciel de calcul formel, le signe de $g\dsec(x)$ ne dépend donc que de $-\left(\e^{kx}-1\right)$
Or $\e^{kx}-1=0 \ssi \e^{kx}=1 \ssi kx=0 \ssi x=0$
Et $\e^{kx}-1>0 \ssi \e^{kx}>1 \ssi kx>0 \ssi x>0$
La fonction $g\dsec$ s’annule en changeant de signe en $0$.
La courbe représentative de $g$ admet donc un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Pour tout $n\in \N$ on a $-1\pp (-1)^n \pp 1$.
Par conséquent $-\dfrac{1}{n+1} \pp u_n \pp \dfrac{1}{n+1}$.
Or, pour tout $n\in \N$, $\dfrac{1}{n+1}\pp 1$.
Par conséquent $-1\pp u_n \pp 1$.
Affirmation 1 vraie
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=(-1)^n$ est bornée (d’après la question précédente) et pourtant ne converge pas puisque les termes prennent comme valeur $-1$ et $1$ de façon alternée.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
Considérons la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n\in \N$ par $u_n=-\dfrac{1}{n+1}$.
Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{-1}{n+2}+\dfrac{1}{n+1} \\
&=\dfrac{-n-1+n+2}{(n+1)(n+2)} \\
&=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \\
&>0\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+1}=0$.
Affirmation 3 fausse
$\quad$
Remarque : On pouvait prendre également comme contre-exemple n’importe quelle suite constante puisque l’énoncé ne spécifie pas que la suite doit être strictement croissante.
$\quad$
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout $x\in \R$ :
$ f'(x)=\dfrac{2x+2}{x^2+2x+2}$
$\begin{align*} f\dsec(x)&=\dfrac{2\left(x^2+2x+2\right)-(2x+2)^2}{\left(x^2+2x+2\right)^2} \\
&=\dfrac{2x^2+4x+4-4x^2-8x-4}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\\
&=\dfrac{-2x^2-4x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\end{align*}$
$-2x^2-4x=-2x(x+2)$
$-2x>0\ssi x<0$ et $x+2>0\ssi x>-2$.
Ainsi $f\dsec(-2,5)<0$ : la fonction $f$ n’est pas convexe sur $[-3;1]$.
Affirmation 4 fausse
$\quad$
Remarque : On pouvait également faire un tableau de signes pour déterminer le signe de $f\dsec(x)$.
$\quad$
La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie le maximum de la liste $\texttt{L}$.
$7$ est bien le maximum de la liste passée en argument.
Affirmation 5 vraie
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 5 points

Thèmes : probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans $90 \%$ des cas le jour suivant ;
si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70 \%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$ :

$R_n$ l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,
$p_n$ la probabilité de l’événement $R_n$. On considère que $p_0= 0,6$.

Soit $n$ un entier naturel, recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
$\quad$

$\quad$
Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
$$p_{n+1}=0,6p_n+0,3$$
$\quad$
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n=p_n-0,75$.
a. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
$\quad$
b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $p_n=0,75-0,15\times 0,6^n$.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
$\quad$
d. Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l’exercice.
$\quad$

Partie B

Après de nombreuses séances d’entraînement, l’entraineur estime maintenant que l’athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d’avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l’athlète à l’issue d’un $400$ mètres haies qui comporte $10$ haies.

Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
$\quad$
Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l’athlète franchisse les $10$ haies.
$\quad$
Calculer $P(X\pg 9)$, à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 5 points

Thème : Géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

le point $A(1 ; -1 ; -1)$ ;
le plan $\mathcal{P}_1$ d’équation : $5x + 2y + 4z = 17$ ;
le plan $\mathcal{P}_2$ d’équation : $10x + 14y + 3z = 19$ ;
la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique : $$\begin{cases} x=1+2t\\y=-t\\z=3-2t\end{cases} \qquad \text{où $t$ décrit $\R$}$$

Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d’intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
$\quad$
a. Vérifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
$\quad$
b. Justifier que $A$ n’appartient pas à $\mathcal{D}$.
$\quad$
Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 + 2t ; -t ; 3-2t)$.
On considère alors $f$ la fonction qui à tout réel $t$ associe $AM^2$, soit $f(t) = AM^2$.
a. Démontrer que pour tout réel $t$, on a : $f(t)=9t^2-18t+17$.
$\quad$
b. Démontrer que la distance $AM$ est minimale lorsque $M$ a pour
coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$.
$\quad$
On note $H$ le point de coordonnées $(3 ; -1 ; 1)$. Démontrer que la droite $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 5 points

Thème : étude de fonctions

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A.

Le plan est ramené à un repère orthogonal. On a représenté ci-dessous la courbe d’une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f’$ et de sa dérivée seconde $f\dsec$.

Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
$\quad$
Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_2$ au point d’abscisse $4$.
$\quad$
Donner, avec la précision permise par le graphique, l’abscisse de chaque point d’inflexion de la courbe $C_1$.
$\quad$

Partie B.

Soit un réel $k$ strictement positif. On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
$$g(x)=\dfrac{4}{1+\e^{-kx}}$$.

Déterminer les limites de $g$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .
$\quad$
Prouver que $g'(0)=k$.
$\quad$
En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel, prouver que la courbe de $g$ admet un point d’inflexion au point d’abscisse $0$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Exercice 4 5 points

Thème : suites, fonction logarithme, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Affirmation : La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}$ est bornée.
$\quad$
Affirmation : Toute suite bornée est convergente.
$\quad$
Affirmation : Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
$\quad$
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\ln\left(x^2+2x+2\right)$.
Affirmation : La fonction $f$ est convexe sur l’intervalle $[−3 ; 1]$.
$\quad$
On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre. On rappelle que $\texttt{len(L)}$ renvoie la longueur, c’est-à-dire le nombre d’éléments de la liste $\texttt{L}$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\texttt{def mystere(L) :}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{M = L[0]}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{#On initialise M avec le premier élément de la liste L}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{for i in range(len(L)) :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{if L[i] > M :}\\
\hspace{1.6cm}\texttt{M = L[i]}\\
\hspace{0.8cm}\texttt{return M}\\
\hline
\end{array}$$
Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([2,3,7,0,6,3,2,0,5]) }$ renvoie $\texttt{7}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Centres étrangers – sujet 1 – 13 mars 2023

Centre étrangers – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout $n\in \N$ on a:
$\begin{align*} u_n&=\dfrac{1+2^n}{3+5^n} \\
&=\dfrac{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)}{5^n\left(\dfrac{3}{5^n}+1\right)} \\
&=\left(\dfrac{2}{5}\right)^n \times \dfrac{\dfrac{1}{2^n}+1}{\dfrac{3}{5^n}+1}\end{align*}$
$-1<\dfrac{2}{5}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{2}{5}\right)^n=0$.
De plus $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{2^n}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{3}{5^n}=0$
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
Réponse c
$\quad$
$f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=2x\ln(x)+x^2\times \dfrac{1}{x} \\
&=2x\ln(x)+x \\
&=x\left(2\ln(x)+1\right)\end{align*}$
Réponse b
$\quad$
$h(x)\pp 0$ sur $]-\infty;1]$. Par conséquent, $H$ est décroissante sur $]-\infty;1]$ et donc sur $]-\infty;0]$.
Or $H(0)=0$.
Par conséquent, pour tout $x\pp 0$, $H(x)\pg H(0)$ soit $H(x)\pg 0$.
Réponse a
$\quad$
Il s’agit d’un algorithme de dichotomie qui est mis en place.
Dans la boucle while, il faut que l’écart soit supérieur à $0,001$ pour continuer cette boucle. On exclut donc la proposition c.
La fonction est croissante sur $[a;b]$. Par conséquent si $f(m)<0$ alors $a$ prend la valeur de $m$. On exclut la proposition a.
Il faut recalculer la variable $m$ à chaque tour de boucle : on exclut la proposition b.
Réponse d
$\quad$
On choisit $2$ boules vertes parmi les $3$ boules vertes de l’urne. La probabilité de tirer une boule bleue est égale à $\dfrac{7}{10}$ et celle de tirer une boule verte est égale à $\dfrac{3}{10}$.
On répète $3$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $\dfrac{7}{10}$.
La variable aléatoire égale au nombre de boules vertes tirées suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=\dfrac{7}{10}$.
La probabilité de tirer exactement deux boules vertes est égale à $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$.
Réponse d
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A

La trottinette est en bon état lors de sa mise en service.
Ainsi
$\begin{align*} p_1&=p\left(B_1\right) \\
&=p\left(B_0\right)p_{B_0}\left(B_1\right)\\
&=1\times 0,9\\
&=0,9\end{align*}$
$\quad$
$\left(B_1,\conj{B_1}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_2&=p\left(B_1\cap B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\cap B_2\right) \\
&=p\left(B_1\right)p_{B_1}\left(B_2\right)+p\left(\conj{B_1}\right)p_{\conj{B_1}}\left(B_1\right) \\
&=0,9\times 0,9+0,1\times 0,4 \\
&=0,81+0,04\\
&=0,85\end{align*}$
$\quad$
On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
$\left(B_n,\conj{B_n}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales.
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(B_n\cap B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\cap B_{n+1}\right) \\
&=p\left(B_n\right)p_{B_n}\left(B_{n+1}\right)+p\left(\conj{B_n}\right)p_{\conj{B_n}}\left(B_{n+1}\right) \\
&=0,9\times p_n+0,4\left(1-p_n\right) \\
&=0,9p_n+0,4-0,4p_n\\
&=0,5p_n+0,4\end{align*}$
$\quad$
a. Pour tout $n$ on pose $R(n):~p_n\pg 0,8$.
Initialisation : $p_0=1\pg 0,8$ donc $R(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $R(n)$ vraie.
$\begin{align*} p_n\pg 0,8& \ssi 0,5p_n\pg 0,4 \\
&\ssi 0,5p_n +0,4\pg 0,8 \\
&\ssi p_{n+1} \pg 0,8\end{align*}$
Donc $R(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété $R$ est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $p_n \pg 0,8$.
$\quad$
b. L’entreprise peut annoncer qu’au moins $80\%$ du parc de trottinette est bon état à tout moment.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$.
$\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-0,8 \\
&=0,5p_n+0,4-0,8 \\
&=0,5p_n-0,4 \\
&=0,5\left(p_n-0,8\right) \\
&=0,5u_n\end{align*}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=p_0-0,8=0,2$.
$\quad$
b. Pour tout $n\in \N$ on a donc $u_n=0,2\times 0,5^n$.
Ainsi $p_n=0,8+u_n=0,8+0,2\times 0,5^n$.
$\quad$
c. $0<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^n=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} p_n=0,8$.
$\quad$

Partie B

On répète $15$ fois de manière indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,8$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0,8$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=15)&=0,8^{15} \\
&\approx 0,035\end{align*}$
La probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état est égale à $0,8^{15} \approx 0,035$.
$\quad$
On veut calculer :
$\begin{align*} p(X\pg 10)&=1-p(X\pp 9) \\
&\approx 0,939\end{align*}$
La probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$ est environ égale à $0,939$.
$\quad$
Cela signifie qu’en moyenne, dans un lot de $15$ trottinettes, $12$ sont en bon état.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

$\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$ et $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
Donc $E$ a pour coordonnées $(0,0,8)$, $F$ a pour coordonnées $(4,0,4)$
Ainsi $I$, milieu de $[EF]$ a pour coordonnées $(2,0,6)$.
$J$ est le milieu de $[AE]$ donc $J$ a pour coordonnées $(0,0,4)$.
$\quad$
a. On a $\vect{IJ}\begin{pmatrix} -2\\0\\-2\end{pmatrix}$.
$G$ a pour coordonnées $(4,4,4)$ donc $\vect{IG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} 2\\4\\-2\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisqu’ils n’ont pas la même coordonnée nulle.
D’une part $\vec{n}.\vect{IJ}=2+0-2=0$
D’autre part $\vec{n}.\vect{IG}=-2+4-2=0$
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(IGJ)$.
$\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est alors de la forme $-x+y+z+d=0$.
$I(2,0,6)$ appartient à ce plan. Donc $-2+0+6+d=0 \ssi d=-4$.
Une équation cartésienne du plan $(IGJ)$ est donc $-x+y+z-4=0$.
$\quad$
$H$ a pour coordonnées $(0,4,8)$.
Une représentation paramétrique de la droite $d$ est $\begin{cases} x=-t\\y=4+t\\z=8+t\end{cases}, \quad \forall t\in \R$.
$\quad$
Montrons que le point $L’\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$ appartient à la droite et au plan.
$-\dfrac{8}{3}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{16}{3}-4= \dfrac{12}{3}-4 =0$. $L’$ appartient au plan $(IGJ)$.
Prenons $t=-\dfrac{8}{3}$ dans la représentation paramétrique de $d$.
On obtient alors $x=\dfrac{8}{3}$, $y=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$ et $z=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$.
$L’$ appartient alors également à $d$.
Ainsi $L’$ appartient à la fois à $d$ et au plan $(IGJ)$. La droite $d$ est normale au plan $(IGJ)$; elle n’est donc pas incluse dedans.
Par conséquent les coordonnées du point $L$ sont bien $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
La distance cherchée est $HL$.
$\vect{HL}\begin{pmatrix} \dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\\[2mm]-\dfrac{8}{3}\end{pmatrix}$.
Ainsi :
$\begin{align*} HL&=\sqrt{\left(\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{64}{3}} \\
&=\dfrac{8}{\sqrt{3}}\end{align*}$
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} \vect{IG}.\vect{IJ}&=-4+0+4 \\
&=0\end{align*}$
Les vecteurs $\vect{IJ}$ et $\vect{IG}$ sont orthogonaux et le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
On a :
$\begin{align*} IJ&=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{8}\end{align*}$
$\begin{align*} IG&=\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{24}\end{align*}$Le volume du tétraèdre $IGJH$ est :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{IGJ}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{IJ\times IG}{2}\times HL \\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{8}\times \sqrt{24}}{2}\times \dfrac{8}{\sqrt{3}} \\
&=\dfrac{32}{3}\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

La fonction $f$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que composée de fonctions dérivables.
Pour tout $t\pg 0$ on a :
$\begin{align*} f'(t)&=-(-t+1)\e^{-0,5t^2+t+2} \\
&=(t-1)\e^{-0,5t^2+t+2}\end{align*}$
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Par conséquent $f'(t)$ est du signe de $t-1$.
Or $t-1<0 \ssi t<1$ et $t-1=0 \ssi t=1$.
Ainsi la fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;1[$.
Affirmation 1 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$ d’après la question précédente.
$\lim\limits_{t\to +\infty} (-0,5t^2t+2) = \lim\limits_{t\to +\infty} -0,5t^2=-\infty$ (limite des termes de plus haut degré).
Or $\lim\limits_{X\to -\infty} \e^X=0$ donc $\lim\limits_{t\to +\infty} \e^{-0,5t^2+t+2}=0$ et $\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3$.
Or $\e^3 \approx 20,086$.
Ainsi, après $1$ heure, la population de bactéries va croître jusqu’à environ $20~086<21~000$ entités.
Affirmation 2 fausse
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[0;1]$.
$f(0)=\e^3-\e^2\approx 12,7>10$
$f(1)\approx 7,9<10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[0;1]$.
$\quad$
La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[1;+\infty[$.
$f(1)\approx 7,9<10$
$\lim\limits_{t\to +\infty} f(t)=\e^3>10$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(t)=10$ admet une unique solution sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
Finalement l’équation $f(t)=10$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
La population de bactéries aura un effectif de $10~000$ à deux reprises au cours du temps.
Affirmation 3 vraie.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 (QCM) 5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la proposition choisie. Aucune justification n’est demandée.

Pour chaque question, une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point.

Question 1 :
On considère la suite numérique $\left(u_n\right)$ définie pour tout $n$ entier naturel par $u_n=\dfrac{1+2^n}{3+5^n}$.
Cette suite :
a. diverge vers $+\infty$
b. converge vers $\dfrac{2}{5}$
c. converge vers $0$
d. converge vers $\dfrac{1}{3}$
$\quad$
Question 2 :
Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)= x^2\ln(x)$. L’expression de la fonction dérivée de $f$ est :
a. $f'(x)=2x\ln(x)$
b. $f'(x)=x\left(2\ln(x)+1\right)$
c. $f'(x)=2$
d. $f'(x)=x$
$\quad$
Question 3 :
On considère une fonction ℎ définie et continue sur $\R$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
On note $H$ la primitive de $h$ définie sur $\R$ qui s’annule en $0$.
Elle vérifie la propriété :
a. $H$ positive sur $]-\infty ; 0]$.
b. $H$ négative sur $]-\infty ; 1]$.
c. $H$ croissante sur $]-\infty ; 1]$.
d. $H$ croissante sur $\R$.
$\quad$
Question 4 :
Soit deux réels $a$ et $b$ avec $a < b$.
On considère une fonction $f$ définie, continue, strictement croissante sur l’intervalle $[a ; b]$ et qui s’annule en un réel $\alpha$.
Parmi les propositions suivantes, la fonction en langage Python qui permet de donner une valeur approchée de $\alpha$ à $0,001$ est :
$$\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\textbf{a.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{c.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) <= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array} \\
\begin{array}{l}
\textbf{b.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0,8cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}
&\phantom{1234}&
\begin{array}{l}
\textbf{d.}\\
\textcolor{blue}{\text{def }} \textbf{racine(a,b) :}\\
\hspace{0.8cm} \textcolor{blue}{\text{while }} \textcolor{violet}{\text{abs}}\text{(b − a) >= } \textcolor{brown}{ 0.001 } \text{:}\\
\hspace{1,6cm}\text{m = (a +b)/}\textcolor{brown}{\text{2}}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{if }} \text{f(m) <} \textcolor{brown}{\text{0}} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{a = m}\\
\hspace{1,6cm}\textcolor{blue}{\text{else }} \text{:}\\
\hspace{2,4cm}\text{b = m}\\
\hspace{0,8cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{m}\\
\end{array}\end{array}$$
$\quad$
Question 5 :
Une urne contient $10$ boules indiscernables au toucher dont $7$ sont bleues et les autres vertes. On effectue trois tirages successifs avec remise. La probabilité d’obtenir exactement deux boules vertes est :
a. $\left(\dfrac{7}{10}\right)^2\times \dfrac{3}{10}$
b. $\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
c. $\dbinom{10}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
d. $\dbinom{3}{2}\left(\dfrac{7}{10}\right)\left(\dfrac{3}{10}\right)^2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.
Dans une grande ville française, des trottinettes électriques sont mises à disposition des usagers. Une entreprise, chargée de l’entretien du parc de trottinettes, contrôle leur état chaque lundi.

$\quad$

Partie A

On estime que :

lorsqu’une trottinette est en bon état un lundi, la probabilité qu’elle soit encore en bon état le lundi suivant est $0,9$ ;
lorsqu’une trottinette est en mauvais état un lundi, la probabilité qu’elle soit en bon état le lundi suivant est $0,4$.

On s’intéresse à l’état d’une trottinette lors des phases de contrôle.
Soit $n$ un entier naturel. On note $B_n$ l’événement « la trottinette est en bon état $n$ semaines après sa mise en service » et $p_n$ la probabilité de $B_n$.
Lors de sa mise en service, la trottinette est en bon état. On a donc $p_0=1$.

Donner $p_1$ et montrer que $p_2 = 0,85$. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
$\quad$
Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-dessous :
$\quad$

$\quad$
En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1} = 0,5p_n + 0,4$.
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $p_n\pg 0,8$.
$\quad$
b. À partir de ce résultat, quelle communication l’entreprise peut-elle envisager pour valoriser la fiabilité du parc ?
$\quad$
a. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n=p_n-0,8$.
Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
$\quad$
b. En déduire l’expression de $u_n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
c. En déduire la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
$\quad$

Partie B
Dans cette partie, on modélise la situation de la façon suivante :

l’état d’une trottinette est indépendant de celui des autres ;
la probabilité qu’une trottinette soit en bon état est égale à $0,8$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à un lot de $15$ trottinettes, associe le nombre de trottinettes en bon état. Le nombre de trottinettes du parc étant très important, le prélèvement de $15$ trottinettes peut être assimilé à un tirage avec remise.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
$\quad$
Calculer la probabilité que les $15$ trottinettes soient en bon état.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’au moins $10$ trottinettes soient en bon état dans un lot de $15$.
$\quad$
On admet que $E(X) = 12$. Interpréter le résultat.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 6 points

On considère le prisme droit $ABFEDCGH$, de base $ABFE$, trapèze rectangle en $A$.
On associe à ce prisme le repère orthonormé $\left(A;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ tel que :
$\vec{i}=\dfrac{1}{4}\vect{AB}$ ; $\vec{j}=\dfrac{1}{4}\vect{AD}$ ; $\vec{k}=\dfrac{1}{8}\vect{AE}$.
De plus on a $\vect{BF}=\dfrac{1}{2}\vect{AE}$.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$.
On note $J$ le milieu du segment $[AE]$.

Donner les coordonnées des points $I$ et $J$.
$\quad$
Soit $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(IGJ)$.
$\quad$
b. Déterminer une équation cartésienne du plan $(IGJ)$.
$\quad$
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$, perpendiculaire au plan $(IGJ)$ et passant par $H$.
$\quad$
On note $L$ le projeté orthogonal du point $H$ sur le plan $(IGJ)$.
Montrer que les coordonnées de $L$ sont $\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{16}{3}\right)$.
$\quad$
Calculer la distance du point $H$ au plan $(IGJ)$.
$\quad$
Montrer que le triangle $IGJ$ est rectangle en $I$.
$\quad$
En déduire le volume du tétraèdre $IGJH$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule :
$$V=\dfrac{1}{3}\times (\textit{aire de la base}) \times \textit{hauteur}$$
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 3 points

Un biologiste a modélisé l’évolution d’une population de bactéries (en milliers d’entités) par la fonction $f$ définie sur $[0; +\infty[$ par $f(t) = \e^3-\e^{-0,5t^2+t+2}$ où $t$ désigne le temps en heures depuis le début de l’expérience.

À partir de cette modélisation, il propose les trois affirmations ci-dessous. Pour chacune d’elles, indiquer, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

Affirmation 1 : « La population augmente en permanence ».
$\quad$
Affirmation 2 : « À très long terme, la population dépassera $21~000$ bactéries ».
$\quad$
Affirmation 3 : « La population de bactéries aura un effectif de $10~000 $ à deux reprises au cours du temps ».
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 1 – 26 septembre 2022

Amérique du Sud – 26 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
a. On veut calculer :
$\begin{align*} P(D\cap A)&=P(D)\times P_D(A) \\
&=0,01\times 0,97 \\
&=0,009~7\end{align*}$
La probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active est égale à $0,009~7$.
$\quad$
b. La probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme d’active est :
$\begin{align*} P_A(D)&=\dfrac{P(A\cap D)}{P(A)} \\
&=\dfrac{0,009~7}{0,014~65} \\
&\approx 0,662\end{align*}$
$\quad$
$\left(D,\conj{D}\right)$ est un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} P(A)=P(A\cap D)+P\left(A\cap \conj{D}\right) &\ssi 0,014~65=0,009~7+P\left(\conj{D}\right)\times P_{\conj{D}}(A) \\
&\ssi 0,99\times P_{\conj{D}}(A)=0,004~95 \\
&\ssi P_{\conj{D}}(A)=\dfrac{0,004~95}{0,99} \\
&\ssi P_{\conj{D}}(A)=0,005\end{align*}$
$\quad$
La probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est :
$\begin{align*} p&=P\left(\left(\conj{A}\cap D\right)\cup\left(A\cap \conj{D}\right)\right) \\
&=P(\left(\conj{A}\cap D\right)+P\left(A\cap \conj{D}\right) \qquad \text{(incompatibilité)} \\
&=P(D)\times P_D\left(\conj{A}\right)+P\left(\conj{D}\right))\times P_{\conj{D}}(A) \\
&=0,01\times 0,03+0,99\times 0,005 \\
&=0,005~25 \\
&<0,01\end{align*}$

Partie B

On répète $5$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0,005~25$.
$\quad$
La probabilité qu’un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
$\begin{align*} P(X=1)&=\dbinom{5}{1}\times 0,005~25\times (1-0,005~25)^4 \\
&\approx 0,025~7\end{align*}$
$\quad$
La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement est :
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&=1-(1-0,005~2)^5 \\
&\approx 0,026~0\end{align*}$
$\quad$

Partie C

On répète $n$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,005~25$. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $n$ systèmes d’alarme prélevés.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,005~25$.

$\begin{align*} P(Y\pg 1)\pg 0,07&\ssi 1-P(Y=0)\pg 0,07 \\
&\ssi P(Y=0)\pp 0,93 \\
&\ssi (1-0,005~25)^n \pp 0,93 \\
&\ssi n\ln(0,994~75) \pp \ln(0,93) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,93)}{\ln(0,994~75)}\approx 13,79$

Il faut donc prélever au moins $14$ systèmes d’alarme pour que la probabilité d’avoir au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieur à $0,07$.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a.
$\begin{align*} u_1&=\dfrac{1}{5}\times 4^2 \\
&=\dfrac{16}{5} \end{align*}$
$\quad$
$\begin{align*} u_2&=\dfrac{1}{5}\times \left(\dfrac{16}{5}\right)^2 \\
&=\dfrac{256}{125} \end{align*}$
$\quad$
b. On peut écrire :
$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(p) :}\\
\quad \text{u = 4} \\
\quad \text{for i in range(1,p+1) :} \\
\qquad \text{u = u**2 / 5} \\
\quad \text{return u}\end{array}$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~~ 0<u_n\pp 4$.
Initialisation : $u_0=4$ donc $P(0)$ est vraie
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*} 0<u_n\pp 4 &\Rightarrow 0<u_n^2\pp 16 \\
&\Rightarrow 0<\dfrac{1}{5} u_n^2 \pp \dfrac{16}{5} \\
&\Rightarrow0<u_{n+1}\pp 4\end{align*}$
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $0<u_n\pp 4$.
$\quad$
b. Soit $n \in \N$
$\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=\dfrac{1}{5}u_n^2-u_n \\
&=\dfrac{u_n}{5}\left(u_n-5\right)\end{align*}$
Or $u_n>0$ et $u_n-5<0$ car $u_n\pp 4$
Par conséquent $u_{n+1}-u_n <0$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $0$.
Par conséquent la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. On appelle $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}x^2$. Elle est continue sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
La suite $\left(u_n\right)$ est convergente et, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
Ainsi $\ell =\dfrac{1}{5}\ell^2$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} \ell =\dfrac{1}{5}\ell^2 &\ssi 5\ell-\ell^2=0 \\
&\ssi \ell(5-\ell)=0 \\
&\ssi \ell=0 \text{ ou } \ell =5 \end{align*}$
Pour tout $n\in \N$ on a $0<u_n\pp 4$.
Par conséquent $\ell$ ne peut pas être égale à $5$.
Ainsi $\ell=0$.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$
$\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right) \\
&=\ln\left(\dfrac{1}{5}u_n^2\right) \\
&=\ln\left(u_n^2\right)-\ln(5) \\
&=2\ln\left(u_n\right)-\ln(5) \\
&=2v_n-\ln(5)\end{align*}$
$\quad$
b. Soit $n\in \N$
$\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-\ln(5) \\
&=2v_n-\ln(5)-\ln(5) \\
&=2\left(v_n-\ln(5)\right) \\
&=2w_n\end{align*}$
La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $2$ et de premier terme
$\begin{align*} w_0&=v_0-\ln(5)\\
&=ln(4)-\ln(5) \\
&=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\end{align*}$
$\quad$
c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, $w_n= \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n$.
Donc
$\begin{align*} v_n&=w_n+\ln(5) \\
&=\ln(5)+\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n \end{align*}$
$\quad$
$\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0$ et $1<2$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n=-\infty$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=-\infty$
Or $v_n=\ln\left(u_n\right)$.
Donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0^+$
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

On a
$\begin{align*} g(\e)&=1+\e^2\left(1-2\ln(\e)\right) \\
&=1+\e^2(1-2) \\
&=1-\e^2 \\
&\approx -6,39\end{align*}$
Donc $g(\e)<0$.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} 1-2\ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} x^2=+\infty$
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Par hypothèse la fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
Ainsi, pour tout $x>0$
$\begin{align*} g'(x)&=2x\left(1-2\ln(x)\right)+x^2\times \dfrac{-2}{x} \\
&=2x-4x\ln(x)-2x \\
&=-4x\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout $x>0$ on a $-4x<0$.
$\ln(x)=0 \ssi x=1$ et $\ln(x)>0 \ssi x>1$.
Ainsi $g'(x)=0 \ssi x=1$ et $g'(x)<0 \ssi 0<x<1$
La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$\quad$
c. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
$g(1)=2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;+\infty[$.
$\quad$
d. D’après la calculatrice $g(1,89) \approx 0,02>0$ et $g(1,90) \approx -0,02<0$.
Donc $1,89 <\alpha<1,90$.
$\quad$
La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[1;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.
Ainsi:
– pour tout $x\in [1;\alpha[$ on a $g(x)>0$;
– $g(\alpha)=0$;
– pour tout $x\in ]\alpha;+\infty[$ on a $g(x)<0$.
$\quad$

Partie B

Pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $\ln(x)\pg 0$ donc $g\dsec(x)\pp 0$.
La fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1;\alpha]$.
$\quad$
a. $g(1)=2$ et $g(\alpha)=0$.
L’équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme $y=ax+b$.
Or le coefficient directeur de cette droite est
$\begin{align*} a&=\dfrac{0-2}{\alpha-1} \\
&=\dfrac{-2}{\alpha-1}\end{align*}$
$\begin{align*} g(\alpha)=0&\ssi 0=\dfrac{-2}{\alpha-1}\times \alpha+b \\
&\ssi b=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}\end{align*}$
Ainsi l’équation réduite de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
$\quad$
b. La fonction $g$ est concave sur $[1;\alpha]$. Ainsi la courbe $\mathscr{C}$ est au-dessus de toutes ses cordes sur cet intervalle, en particulier de la droite $(AB)$.
Ainsi, pour tout $x\in [1;\alpha]$ on a $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. On a donc $H(0;3;2)$ et $G(5;3;2)$.
$\quad$
b. Ainsi $\vect{HG}\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}$
Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite $(GH)$ est $\begin{cases} x=5t\\y=3\\z=2\end{cases}$.
$\quad$
a. $M$ a donc pour coordonnées $(x;3;2)$ avec $x\in [0;5]$.
Par conséquent $\vect{HM}\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}$
$\vect{HM}=k\vect{HG}\ssi x=5k$.
Donc $M$ a pour coordonnées $(5k;3;2)$.
$\quad$
b. $\vect{AM}\begin{pmatrix} 5k\\3\\2\end{pmatrix}$ et $\vect{CM}\begin{pmatrix} 5k-5\\0\\2\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} \vect{AM}.\vect{CM}&=5k(5k-5)+0+4\\
&=25k^2-25k+4\end{align*}$
$\quad$
c. Le triangle $AMC$ est rectangle en $M$
si, et seulement si, $\vect{AM}.\vect{CM}=0$
si, et seulement si, $25k^2-25k+4=0$
Le discriminant de cette équation du second degré est $\delta=(-25)^2-4\times 4\times 25=225>0$
Les solutions de cette équation sont donc $k_1=\dfrac{25-\sqrt{225}}{50}=\dfrac{1}{5}$ et $k_2=\dfrac{25+\sqrt{225}}{50}=\dfrac{4}{5}$
Ainsi, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ est rectangle si, et seulement si, $k=\dfrac{1}{5}$ ou $k=\dfrac{4}{5}$.
$\quad$
a. On a $A(0;0;0)$, $C(5;3;0)$ et $D(0;3;0)$
Une équation cartésienne du plan $(ACD)$ est donc $z=0$.
$\quad$
b. D’après la question précédente, un vecteur normal au plan $(ACD)$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$.
On a $\vect{MK}\begin{pmatrix} 0\\0\\-2\end{pmatrix}$
Ainsi $\vec{n}$ et $\vect{MK}$ sont colinéaires et $\vect{MK}$ un vecteur normal au plan $(ACD)$.
De plus, la côte du point $K$ est $0$ donc $K$ appartient au plan $(ACD)$.
Par conséquent, $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
$\quad$
c. $AD=3$, $DC=5$. Donc l’aire du triangle $ACD$ est $\mathscr{A}=\dfrac{15}{2}$.
De plus $MK=2$.
Le volume, en unités de volume, du tétraèdre $MACD$ est donc :
$\begin{align*} V&=\dfrac{1}{3}\times MK\times \mathscr{A} \\
&=\dfrac{1}{3}\times 2\times \dfrac{15}{2} \\
&=5\end{align*}$
$\quad$
Le point $M$ de coordonnées $(1;3;2)$ correspond au point obtenu à l’aide $k=\dfrac{1}{5}$ à la question 2.a.
Par conséquent, le triangle $AMC$ est rectangle en $M$.
$\begin{align*} AM^2&=1+9+4 \\
&=14\end{align*}$
Donc $AM=\sqrt{14}$
$\begin{align*} MC^2&=(-4)^2+0+2 \\
&=20\end{align*}$
Donc $MC=\sqrt{20}$
L’aire du triangle $AMC$ rectangle en $M$ est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}’&=\dfrac{AM\times MC}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{14\times 20}}{2} \\
&=\sqrt{70}\end{align*}$
Le volume du tétraèdre $AMCD$ est
$\begin{align*} V=5&\ssi \dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}’\times DP =5\\
&\ssi \dfrac{1}{3}\times \sqrt{70}\times DP=5 \\
&\ssi DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}} \end{align*}$
Par conséquent $DP\approx 1,8$.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : Probabilités

PARTIE A

Le système d’alarme d’une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l’alarme s’active avec une probabilité de $0,97$.
La probabilité qu’un danger se présente est de $0,01$ et la probabilité que l’alarme s’active est de $0,014~65$.
On note $A$ l’évènement « l’alarme s’active » et $D$ l’événement « un danger se présente ».
On note $\conj{M}$ l’évènement contraire d’un évènement $M$ et $P(M)$ la probabilité de l’évènement $M$.

Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l’exercice.
$\quad$
a. Calculer la probabilité qu’un danger se présente et que l’alarme s’active.
$\quad$
b. En déduire la probabilité qu’un danger se présente sachant que l’alarme s’active.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
$\quad$
Montrer que la probabilité que l’alarme s’active sachant qu’aucun danger ne s’est présenté est $0,005$.
$\quad$
On considère qu’une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu’un danger se présente et qu’elle ne s’active pas ou bien lorsqu’aucun danger ne se présente et qu’elle s’active.
Montrer que la probabilité que l’alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à $0,01$.
$\quad$

PARTIE B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d’alarme. On prélève successivement et au hasard $5$ systèmes d’alarme dans la production de l’usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note $S$ l’évènement « l’alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que $P(S) = 0,005~25$.
On considère $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d’alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les $5$ systèmes d’alarme prélevés.
Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.

Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ et préciser ses paramètres.
$\quad$
Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
$\quad$
Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme ne fonctionne pas normalement.
$\quad$

PARTIE C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard $n$ systèmes d’alarme.
Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Déterminer le plus petit entier $n$ tel que la probabilité d’avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d’alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à $0,07$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : Suites

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 4$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{1}{5}u_n^2$.

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python. Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l’entier naturel $p$.
Elle renvoie la valeur du terme de rang $p$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{l}
\text{def suite_u(p) :}\\
\quad \text{u= …}\\
\quad \text{for i in range(1,…) :}\\
\qquad \text{u =…}\\
\quad \text{return u}\end{array}$$
$\quad$
a. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n \pp 4$.
$\quad$
b. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
$\quad$
c. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$ vérifie l’égalité $\ell=\dfrac{1}{5}\ell^2$.
$\quad$
b. En déduire la valeur de $\ell$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \ln\left(u_n\right)$ et $w_n = v_n-\ln(5)$.
a. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = 2v_n-\ln(5)$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $2$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$, donner l’expression de $w_n$ en fonction de $n$ et montrer que $v_n = \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)$
$\quad$
Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$ et retrouver $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Soit $g$ la fonction définie sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ par $$g(x)=1+x^2\left[1-2\ln(x)\right]$$

La fonction $g$ est dérivable sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan.

PARTIE A

Justifier que $g(\e)$ est strictement négatif.
$\quad$
Justifier que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $]0 ; +\infty[$, $g'(x)=-4x\ln(x)$.
$\quad$
b. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l’intervalle $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
c. Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet une unique solution, notée $\alpha$, sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
$\quad$
d. Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-2}$.
$\quad$
Déduire de ce qui précède le signe de la fonction $g$ sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$.
$\quad$

PARTIE B

On admet que, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g\dsec(x)= -4\left[\ln(x)+1\right]$.
Justifier que la fonction $g$ est concave sur l’intervalle $[1 ; \alpha]$.
$\quad$
Sur la figure ci-dessous, $A$ et $B$ sont les points de la courbe $\mathscr{C}$ d’abscisses respectives $1$ et $\alpha$.
$\quad$

$\quad$
a. Déterminer l’équation réduite de la droite $(AB)$.
$\quad$
b. En déduire que pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[1 ; \alpha]$, $g(x)\pg \dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans la figure ci-dessous, $ABCDEFGH$ est un parallélépipède rectangle tel que
$AB = 5$, $AD = 3$ et $AE = 2$.
L’espace est muni d’un repère orthonormé d’origine $A$ dans lequel les points $B$, $D$ et $E$ ont respectivement pour coordonnées $(5; 0; 0)$, $(0; 3; 0)$ et $(0; 0; 2)$.

a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points $H$ et $G$.
$\quad$
b. Donner une représentation paramétrique de la droite $(GH)$.
$\quad$
Soit $M$ un point du segment $[GH]$ tel que $\vect{HM}=k\vect{HG}$ avec $k$ un nombre réel de l’intervalle $[0; 1]$.
a. Justifier que les coordonnées de $M$ sont $(5k ; 3 ; 2)$.
$\quad$
b. En déduire que $\vect{AM}.\vect{CM}=25k^2-25k+4$
$\quad$
c. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles $AMC$ est un triangle rectangle en $M$.
$\quad$

Dans toute la suite de l’exercice, on considère que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 3; 2)$.
On admet que le triangle $AMC$ est rectangle en $M$ .
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac{1}{3}\times$ Aire de la base $\times h$ où $h$ est la hauteur relative à la base.

On considère le point $K$ de coordonnées $(1; 3; 0)$.
a. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ACD)$.
$\quad$
b. Justifier que le point $K$ est le projeté orthogonal du point $M$ sur le plan $(ACD)$.
$\quad$
c. En déduire le volume du tétraèdre $MACD$.
$\quad$
On note $P$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(AMC)$.
Calculer la distance $DP$ en donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Amérique du Sud – sujet 2 – 27 septembre 2022

Amérique du Sud – 27 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$

$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*}P\left(C_3\cap D\right)&=P\left(C_3\right)\times P_{C_3}(D) \\
&=0,2\times 0,04 \\
&=0,008\end{align*}$
La probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n° 3 et soit défectueux est égale à $0,008$.
$\quad$
$\left(C_1,C_2,C_3\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a
$\begin{align*} P(D)&=P\left(C_1\cap D\right)+P\left(C_2\cap D\right)+P\left(C_3\cap D\right) \\
&=P\left(C_1\right)\times P_{C_1}(D) +P\left(C_2\right)\times P_{C_2}(D) +0,008 \\
&=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008 \\
&=0,014~5\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} P_D\left(C_3\right)&=\dfrac{P\left(C_3\cap D\right)}{P(D)} \\
&=\dfrac{0,008}{0,014~5} \\
&\approx 0,551~7\end{align*}$
La probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n° 3 est environ égale à $0,551~7$.
$\quad$

Partie B

a. On veut calculer :
$\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{20}{3}0,014~5^3\times (1-0,014~5)^{17} \\
&\approx 0,002~7\end{align*}$
La probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à $0,002~7$.
$\quad$
b. On a
$\begin{align*} P(X=0)&=(1-0,014~5)^{20}\\
&\approx 0,746~7\end{align*}$
La probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale $0,746~7$.
$\quad$
$\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
&\approx 0,253~3\end{align*}$
La probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale $0,253~3$.
$\quad$
$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,014~5$.
$\begin{align*} P(X=0)\pg 0,85&\ssi (1-0,014~5)^n\pg 0,85 \\
&\ssi 0,985~5^n\pg 0,85 \\
&\ssi n\ln(0,985~5)\pg \ln(0,85) \\
&\ssi n\pp \dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)}\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,85)}{\ln(0,985~5)} \approx 11,13$.
La proposition de former des lots de $11$ composants au maximum est donc exact.
$\quad$

Partie C

$0,5\times 15+0,3\times 12+0,2\times 9=12,9$
Le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise est égale à $12,90$ euros.

$\quad$

Ex 2

Exercice 2

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

$g(1)=0$ et $g(\e)=2(\e-1)-\e$ soit $g(\e)=\e-2$.
$\quad$
Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0^-} x\ln(x)=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2$.
$\quad$
La fonction $g$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} g'(x)&=2-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right) \\
&=2-\ln(x)-1 \\
&=1-\ln(x)\end{align*}$
$g'(x)>0 \ssi 1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$
$g'(x)=0\ssi 1-\ln(x)=0 \ssi x=\e$
On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;\e]$.
$\lim\limits_{x\to 0^-} g(x)=-2<0$ et $g(\e)=\e-2>0$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $]0;\e]$.
Or $g(1)=0$. L’unique solution de l’équation appartenant à $]0;\e]$ est donc $1$.
$\quad$
La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[\e;+\infty$.
$g(\e)=\e-2>0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[\e;+\infty[$.
$\quad$
Finalement l’équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions $1$ et $\alpha$ où $\alpha\in[\e;+\infty[$.
D’après la calculatrice, $4,92<\alpha<4,93$.
$\quad$.
D’après le tableau de variations et la question précédente on obtient le tableau de signes suivant :
$\quad$$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

Pour tout $x>0$ on a $f(x)=x\left(3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$ et, par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty}3-\ln(x)-2\dfrac{\ln(x)}{x}=-\infty$.
Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*}f'(x)&=3-\left(\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}\right)-2\times \dfrac{1}{x} \\
&=3-\ln(x)-1-\dfrac{2}{x} \\
&=2-\ln(x)-\dfrac{2}{x} \\
&=2\times \dfrac{x-1}{x}-\ln(x) \\
&=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} \\
&=\dfrac{g(x)}{x}\end{align*}$
$\quad$
b. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f\dsec(x)>0 \ssi 2-x>0 \ssi x<2$
$f\dsec(x)=0 \ssi 2-x=0 \ssi x=2$
La fonction $f$ est donc convexe sur $]0;2]$ et concave sur $[2;+\infty[$.
$f(2)=6-4\ln(2)$
$\mathscr{C}_f$ admet donc un unique point d’inflexion de coordonnées $\left(2;6-4\ln(2)\right)$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Chaque année la population diminue de $10\%$. Il reste donc $90\%$ de cette population soit $0,9u_n$.
On réintroduit $100$ individus dans cette réserve à la fin de chaque année.
Ainsi, pour tout $n\in \N$, $u_{n+1}=0,9u_n+100$.
$\quad$
$u_1=1~900$ et $u_2=1~810$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n\in \N$ on pose $P(n):~1~000<u_{n+1}\pp u_n$.
Initialisation : $u_0=2~000$ et $u_1=1~900$. Donc $1~000<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$\begin{align*}1~000 <u_{n+1} \pp u_n &\ssi 900 <0,9u_{n+1} \pp 0,9u_n \\
&\ssi 1~000 <0,9u_{n+1}+100\pp 0,9u_n+100 \\
&\ssi 1~000< u_{n+2}\pp u_{n+1}\end{align*}$
La propriété $P(n+1)$ est donc vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$ on a $1~000<u_{n+1} \pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $1~000$. Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. Pour tout $n\in \N$ on a
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-1~000 \\
&=0,9u_n+100-1~000 \\
&=0,9u_n-900 \\
&=0,9\left(u_n-1~000\right) \\
&=0,9v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$.
$\quad$
b. $v_0=1~000$. Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $v_n=1~000\times 0,9^n$.
Or $v_n=u_n-1~000 \ssi u_n=v_n+1~000$.
Donc
$\begin{align*} u_n&=v_n+1~000 \\
&=1~000\times 0,9^n+1~000 \\
&=1~000\left(0,9^n+1\right)\end{align*}$
$\quad$
c. $-1<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$
Ainsi, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1~000$.
Sur le long terme, la population de cette espèce sera de $1~000$ individus dans cette réserve.
$\quad$
a.
$\begin{align*} u_n\pp 1~020&\ssi 1~000\left(1+0,9^n\right)\pp 1~020 \\
&\ssi 1+0,9^n \pp 1,02 \\
&\ssi 0,9^n \pp 0,02 \\
&\ssi n\ln(0,9)\pp \ln(0,02) \\
&\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)} \end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,02)}{\ln(0,9)}\approx 37,13$.
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\pp 1~020$ est donc $38$.
$\quad$
b. On peut écrire
$\begin{array}{|cl|}
\hline
1&\text{def population(S) :}\\
2& \text{ n=0}\\
3&\text{ u=2000}\\
4&\\
5&\text{ while u > 1020 :}\\
6&\text{ u = 0.9 * u + 100}\\
7&\text{ n = n + 1}\\
8&\text{ return n}\\
\hline
\end{array}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}$
$\dfrac{6}{2}\neq \dfrac{-2}{-6}$.
Les vecteurs $\vect{AB}$ et $\vect{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
$\quad$
b. D’une part $\vect{AB}.\vec{n}=6-8+2=0$
D’autre part $\vect{AC}.\vec{n}=2-8+6=0$
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
Par conséquent $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc de la forme $x+2y-z+d=0$.
$A(0;8;6)$ appartient au plan $(ABC)$. Ainsi $0+16-6+d=0 \ssi d=-10$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $x+2y-z-10=0$.
$\quad$
a. On a $\vect{DE}\begin{pmatrix}6\\6\\-6\end{pmatrix}$.
Une représentation paramétrique de la droite $(DE)$ est donc $\begin{cases} x=6t\\y=6t\\z=6-6t\end{cases} \quad t\in \R$.
$\quad$
b. $I$ a pour coordonnées $(4;4;2)$.
En prenant $t=\dfrac{4}{6}$ dans la représentation paramétrique précédente on obtient le point de coordonnées $(4;4;2)$.
Le point $I$ appartient bien à la droite $(DE)$.
$\quad$
a. $\vect{BC}\begin{pmatrix} -4\\0\\-4\end{pmatrix}$
Par conséquent $\vect{AC}.\vect{BC}\neq 0$, $\vect{AB}.\vect{BC}\neq 0$ et $\vect{AC}.\vect{AB}\neq 0$.
$\begin{align*} AC^2&=2^2+(-4)^2+(-6)^2 \\
&=4+16+36 \\
&=56\end{align*}$
$\begin{align*} AB^2&=6^2+(-4)^2+(-2)^2 \\
&=36+16+4 \\
&=56\end{align*}$
$\begin{align*} BC^2&=(-4)^2+0^2+(-4)^2 \\
&=32\end{align*}$.
Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $A$.
$\quad$
b. $\vect{AI}\begin{pmatrix} 4\\-4\\-4\end{pmatrix}$.
Donc
$\begin{align*} AI^2&=4^2+(-4)^2+(-4)^2 \\
&=16+16+16 \\
&=48\end{align*}$
L’aire du triangle $ABC$ est :
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{\sqrt{48}\times \sqrt{32}}{2} \\
&=8\sqrt{6} \text{u.a.}\end{align*}$
$\quad$
c.
$\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=12+16+12 \\
&=40\end{align*}$
$\quad$
d.
$\begin{align*}
\vect{AB}.\vect{AC}=40&\ssi AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}=40 \\
&\ssi 56\cos \widehat{BAC}=40 \\
&\ssi \cos \widehat{BAC}=\dfrac{5}{7}\end{align*}$
Par conséquent $\widehat{BAC}\approx 44,4$°.
$\quad$
$\vect{OH}\begin{pmatrix} \dfrac{5}{3}\\\dfrac{10}{3}\\-\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}$.
Par conséquent $\vect{OH}=\dfrac{5}{3}\vec{n}$.
$\vect{OH}$ est orthogonal au plan $(ABC)$.
$\begin{align*} \dfrac{5}{3}+2\times \dfrac{10}{3}+\dfrac{5}{3}-10&=\dfrac{30}{3}-10 \\
&=0\end{align*}$
Le point $H$ appartient donc au plan $(ABC)$.
Ainsi $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
La distance du point $O$ au plan $(ABC)$ est
$\begin{align*} OH&=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{150}{9}}\\
&=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}\end{align*}$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l’industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.

• La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1;
$30 \%$ des composants sont conçus sur la chaîne n°2;
les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.

À l’issue du processus de fabrication, il apparaît que $1 \%$ des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que $0,5 \%$ des pièces issues de la chaîne n°2 et $4 \%$ des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :

$C_1$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°1 »;
$C_2$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n°2 »;
$C_3$ l’évènement « le composant provient de la chaîne n° 3 »;
$D$ l’évènement « le composant est défectueux » et $\conj{D}$ son évènement contraire.

Dans tout l’exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à $10^{-4}$ si nécessaire.

PARTIE A

Représenter cette situation par un arbre pondéré.
$\quad$
Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.
$\quad$
Montrer que la probabilité de l’évènement $D$ est $P(D) = 0,014~5$.
$\quad$
Calculer la probabilité qu’un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

PARTIE B

L’entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de $n$ unités. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $n$ unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l’entreprise, on peut considérer que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,014~5$.

Dans cette question, les lots possèdent $20$ unités. On pose $n = 20$.
a. Calculer la probabilité pour qu’un lot possède exactement trois composants défectueux.
$\quad$
b. Calculer la probabilité pour qu’un lot ne possède aucun composant défectueux.
En déduire la probabilité qu’un lot possède au moins un composant défectueux.
$\quad$
Le directeur de l’entreprise souhaite que la probabilité de n’avoir aucun composant défectueux dans un lot de $n$ composants soit supérieure à $0,85$.
Il propose de former des lots de $11$ composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
$\quad$

PARTIE C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de $15$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°1, $12$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et $9$ euros s’ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d’un composant pour cette entreprise.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d’étudier la fonction $f$, définie sur $]0;+\infty[$, par : $$f(x)=3x-x\ln(x)-2\ln(x)$$

PARTIE A : Étude d’une fonction auxiliaire $\boldsymbol{g}$

Soit $g$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $$g(x) = 2(x-1)-x \ln(x)$$
On note $g’$ la fonction dérivée de $g$. On admet que $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$

Calculer $g(1)$ et $g(\e)$.
$\quad$
Déterminer $\lim\limits_{x\to 0} g(x)$ en justifiant votre démarche.
$\quad$
Montrer que, pour tout $x > 0$, $g'(x) = 1-\ln(x)$.
En déduire le tableau des variations de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
Montrer que l’équation $g(x) = 0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 ; +\infty[$ : $1$ et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l’intervalle $[\e ; +\infty[$.
On donnera un encadrement de $\alpha$ à $0,01$ près.
$\quad$
En déduire le tableau de signes de $g$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$

PARTIE B : Étude de la fonction $\boldsymbol{f}$

On considère dans cette partie la fonction $f$ , définie sur $]0 ; +\infty[$,par
$$f(x) = 3x-x \ln(x)-2\ln(x)$$
On note $f’$ la fonction dérivée de $f$.
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ de cette fonction $f$ est donnée dans le repère $\Oij$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty$.

Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.
$\quad$
a. Justifier que pour tout $x > 0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.
$\quad$
b. En déduire le tableau des variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$.
$\quad$
On admet que, pour tout $x > 0$, la dérivée seconde de $f$ , notée $f\dsec$, est définie par $f\dsec(x)=\dfrac{2-x}{x^2}$.
Étudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d’inflexion de $\mathscr{C}_f$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thème : Suites

La population d’une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de $10 \%$ chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l’évolution de l’effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l’effectif de la population de l’espèce par la suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente l’effectif de la population au début de l’année 2020$+n$.
On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_n > 0$.
Au début de l’année 2020, la population étudiée compte $2~000$ individus, ainsi $u_0 = 2~000$.

Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ vérifie la relation de récurrence :
$u_{n+1} = 0,9u_n +100$.
$\quad$
Calculer $u_1$ puis $u_2$.
$\quad$
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ : $1~000 < u_{n+1}\pp u_n$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.
$\quad$
On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1~000$.
a. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$.
$\quad$
b. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1~000(1+0,9^n
)$.
$\quad$
c. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.
$\quad$
On souhaite déterminer le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous d’un certain seuil $S$ (avec $S > 1~000$).
a. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n \pp 1~020$.
Justifier la réponse par un calcul.
$\quad$
b. Dans le programme Python ci-dessous, la variable $n$ désigne le nombre d’années écoulées depuis 2020, la variable $u$ désigne l’effectif de la population.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{def population(S) :}\\
2&\quad \text{n=0}\\
3&\quad \text{u=2000}\\
4&\\5&\quad \text{while …… :}\\
6& \qquad \text{u= …}\\
7& \qquad \text{n = …}\\
8& \quad \text{return …}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter ce programme afin qu’il retourne le nombre d’années nécessaires pour que l’effectif de la population passe en dessous du seuil $S$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : Géométrie dans l’espace

Dans l’espace muni d’un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points $$
A(0 ; 8 ; 6), B(6 ; 4 ; 4) \text{ et } C(2 ; 4 ; 0)$$

a. Justifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
$\quad$
b. Montrer que le vecteur $\vec{n}(1 ; 2 ; -1)$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
$\quad$
Soient $D$ et $E$ les points de coordonnées respectives $(0; 0; 6)$ et $(6; 6; 0)$.
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(DE)$.
$\quad$
b. Montrer que le milieu $I$ du segment $[BC]$ appartient à la droite $(DE)$.
$\quad$
On considère le triangle $ABC$.
a. Déterminer la nature du triangle $ABC$.
$\quad$
b. Calculer l’aire du triangle $ABC$ en unité d’aire.
$\quad$
c. Calculer $\vect{AB}.\vect{AC}$.
$\quad$
d. En déduire une mesure de l’angle $\widehat{BAC}$ arrondie à $0,1$ degré.
$\quad$
On considère le point $H$ de coordonnées $\left(\dfrac{5}{3};\dfrac{10}{3};-\dfrac{5}{3}\right)$.
Montrer que $H$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(ABC)$.
En déduire la distance du point $O$ au plan $(ABC)$.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 2 – 9 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 9 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$$\quad$
a. $\left(R,\conj{R}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p(E)&=p(R)\times p_R(E)+p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
&=0,4\alpha+0,7(1-\alpha) \\
&=0,7-0,3\alpha\end{align*}$
$\quad$
b.
$\begin{align*} p(E)=0,58&\ssi 0,7-0,3\alpha=0,58 \\
&\ssi -0,12=-0,3\alpha\\
&\ssi \alpha=0,4\end{align*}$
$\quad$
On a
$\begin{align*}
p_E\left(\conj{R}\right)&=\dfrac{p\left(E\cap \conj{R}\right)}{p(E)} \\
&=\dfrac{p\left(\conj{R}\right)\times P_{\conj{R}}(E)}{p(E)} \\
&=\dfrac{0,7(1-\alpha)}{0,58} \\
&=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,58} \\
&=\dfrac{21}{29}\\
&\approx 0,72
\end{align*}$
La probabilité que le client ayant loué un vélo électrique ait loué un vélo tout terrain est environ égale à $0,72$.
$\quad$
On a
$\begin{align*} p\left(\conj{R}\cap E\right)&=p\left(\conj{R}\right)\times p_{\conj{R}}(E) \\
&=0,7(1-\alpha)\\
&=0,7\times 0,6\\
&=0,42\end{align*}$
La probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique est égale à $0,42$.
$\quad$
a. $X(\Omega)=\acco{25,~35,~40,~50}$
$\begin{align*} p(X=25)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,4\times 0,4\\
&=0,24\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=35)&=p\left(\conj{R}\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,6\times 0,3\\
&=0,18\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=40)&=p\left(R\cap \conj{E}\right) \\
&= 0,4\times 0,4\\
&=0,16\end{align*}$
$\begin{align*} p(X=50)&=p\left(\conj{R}\cap E\right) \\
&= 0,6\times 0,7\\
&=0,42\end{align*}$
On obtient ainsi le tableau de loi de probabilité de $X$ suivant :
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x&25&35&40&50\\
\hline
p(X=x)&0,24&0,18&0,16&0,42\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=25\times 0,24+35\times 0,18+40\times 0,16+50\times 0,42 \\
&=39,7\end{align*}$
En moyenne, une location de vélo coûte $39,70$ euros.
$\quad$
a. On répète $30$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,58$.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=30$ et $p=0,58$.
$\quad$
b.
$\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{30}{20} 0,58^{20}\times 0,42^{10} \\
&\approx 0,095\end{align*}$
La probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui
louent un vélo électrique est environ égale à $0,095$.
$\quad$
c. On veut calculer $P(X\pg 15) \approx 0,858$.
La probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique est environ égale à $0,858$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Soit $n\in \N$
$\begin{align*} b_{n+1}&=a_{n+1}-2 \\
&=0,5a_n+1-2 \\
&=0,5a_n-1 \\
&=0,5\left(a_n-2\right) \\
&=0,5b_n\end{align*}$
La suite $\left(b_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
Réponse b
$\quad$
On a donc $u_1=5$, $v_1=3$, $u_2=14$ et $v_2=8$.
Donc $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$
Réponse c
$\quad$
La boucle du programme calcule tous les termes $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$.
Le programme renvoie donc $u_{10}$ et $v_{10}$.
Réponse d
$\quad$
La fonction $f’$ semble croissante sur l’intervalle $[-4;0]$.
Par conséquent la fonction $f$ semble convexe sur cet intervalle.
Réponse b
$\quad$
Le coefficient directeur de la droite $(BC)$ est
$\begin{align*} f\dsec(1)&=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\
&=5\end{align*}$
Réponse d
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$.
La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} F'(x)&=(2x-2)\e^x+\left(x^2-2x+3\right)\e^x \\
&=\left(2x-2+x^2-2x+3\right)\e^x \\
&=\left(x^2+1\right)\e^x\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
De plus $F(0)=3-2=1$.
Réponse b
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to 0} x\ln(x)=0$ donc $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=0$.
$\quad$
Pour tout réel $x>0$ on a $f(x)=x\left(1-\ln(x)\right)$.
Or $\lim\limits_{x\to +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} 1-\ln(x)=-\infty$ ainsi $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x>0$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=1-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
&=1-\ln(x)+1\\
&=-\ln(x)\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)=0\ssi -\ln(x)=0 \ssi x=1$
$f'(x)>0 \ssi -\ln(x)>0 \ssi x\in ]0;1[$.
La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]0;1]$ et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
$f(x)=x\ssi x-x\ln(x)=x \ssi -x\ln(x)=0 \ssi x=1$ (la valeur $0$ n’est pas solution puisque $f$ n’est pas définie en $0$).
$\quad$

Partie B

Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
Initialisation : $u_0=0,5$ et $u_1\approx 0,85$.
Par conséquent $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose que $P(n)$ est vraie.
$0,5\pp u_n \pp u_{n+1} \pp 1$.
La fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5;1]$.
Par conséquent $f(0,5) \pp f\left(u_n\right) \pp f\left(u_{n+1}\right) \pp p(1)$ c’est-à-dire $u_1\pp u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp 1$.
Or $u_1\approx 0,85$.
La propriété $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout $n\in \N$, $0,5\pp u_n\pp u_{n+1} \pp 1$.
$\quad$
a. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $1$. Elle converge donc vers un réel $\ell$.
$\quad$
b. La fonction $f$ est continue sur $]0;+\infty[$ et, pour tout $n\in \N$, on a $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.
Par conséquent $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=x$.
D’après la question A.4. l’unique solution de cette équation est $1$.
Ainsi $\ell=1$.
$\quad$

Partie C

La fonction $f_k$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout réel $x>0$ on a :
$\begin{align*} f_k'(x)&=k-\ln(x)-x\times \dfrac{1}{x} \\
&=-\ln(x)+k-1\end{align*}$
$f_k'(x)>0 \ssi -\ln(x)+k-1>0 \ssi \ln(x)<k-1 \ssi x<\e^{k-1}$
La fonction $f_k$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{k-1}\right]$ et strictement décroissante sur $\left[\e^{k-1};+\infty\right[$.
La fonction $f_k$ admet par conséquent un maximum en $x_k=\e^{k-1}$.
$\quad$
Soit $k\in \R$.
$\begin{align*} y_k=f_k\left(x_k\right)\\
&=k\e^{k-1}-\e^{k-1}\ln\left(\e^{k-1}\right) \\
&=k\e^{k-1}-(k-1)\e^{k-1} \\
&=\e^{k-1}\left(k-(k-1)\right) \\
&=\e^{k-1}\\
&=x_k\end{align*}$
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

a. Les coordonnées du vecteur $\vec{u}’$ sont $\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
$\quad$
b. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{u}’$ ne sont pas colinéaires (ils n’ont pas les mêmes coordonnées nulles). Les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont donc pas parallèles.
$\quad$
c. Une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est $\begin{cases} x=2+k\\y=4+2k\\z=0\end{cases}$.
$\quad$
$\vec{v}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{v}.\vec{u}’=0-1+1=0$.
$\vec{v}$ est donc orthogonal aux deux vecteurs, non colinéaires, $\vec{u}$ et $\vec{u}’$.
$\vec{v}$ est donc un vecteur directeur de la droite perpendiculaire à la fois à $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$.
Ainsi $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
$\quad$
a. $\vec{n}.\vec{u}=2-2+0=0$ et $\vec{n}.\vec{v}= 4+1-5=0$.
Ainsi $\vec{n}$ orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x-y-5z+d=0$.
Le point $A(2;4;0)$ appartient au plan $\mathscr{P}$.
Par conséquent $4-4-0+d=0 \ssi d=0$.
Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est donc $2x-y-5z=0$.
$\quad$
c. $M’$ est un point de $Delta$. Il appartient donc également au plan $\mathscr{P}$ qui contient cette droite.
$M’$ est un point de $\mathscr{D}’$.
$M’$ est donc le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ avec le plan $\mathscr{P}$.
$2\times 3-1-5=0$ : le point de coordonnées $(3;1;1)$ appartient donc au plan $\mathscr{P}$.
En prenant $t=-2$ dans la représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}’$ on obtient le point de coordonnées $(3;1;1)$.
Ainsi ce point est le point d’intersection de la droite $\mathscr{D}’$ et $\mathscr{P}$.
Ainsi $M’$ a pour coordonnées $(3;1;1)$.
$\quad$
a. $\vec{v}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ et $M’$ appartient à cette droite.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x= 3+2k’\\y=1-k’\\z=1+k’\end{cases} \qquad k’\in \R$.
$\quad$
b. En prenant $k’=-1$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
En prenant $k=-1$ dans la représentation paramétrique de $\mathscr{D}$ on obtient le point de coordonnées $(-1;2;0)$.
$M$ est le point d’intersection de ces deux droites. Donc $M$ a pour coordonnées $(1;2;0)$.
$\quad$
c. Les coordonnées de $\vect{MM’}$ sont $\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$.
Par conséquent
$\begin{align*} MM’&=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}\\
&=\sqrt{4+1+1} \\
&=\sqrt{6}\end{align*}$.
$\quad$
a. Un vecteur directeur de la droite $d$ est $\vec{r}\begin{pmatrix} 5\\5\\1\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vec{r}=10-5-5=0$. Par conséquent $\vec{n}$ est normal à la droite $d$.
Ainsi $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. Les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$ sont perpendiculaires en $M$.
Le point $A$ appartient à la droite $\mathscr{D}$ et le point $M’$ appartient à la droite $\Delta$.
Le triangle $AMM’$ est rectangle en $M$.
Les coordonnées de $\vect{AM}$ sont $\begin{pmatrix} -1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
Par conséquent
$\begin{align*} AM&=\sqrt{(-1)^2+(-2)^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Ainsi l’aire du triangle $AMM’$ est
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{AM\times MM’}{2} \\
&=\dfrac{\sqrt{30}}{2}\end{align*}$.
Le volume du tétraèdre $ANMM’$ est donc $V=\dfrac{\sqrt{30}}{3}\ell$.
$\quad$
c. La droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$. La distance d’un point de la droite $d$ à ce plan est donc toujours la même. Ainsi $\ell$ ne dépend pas du point $N$ choisi.
Par conséquent $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thème : probabilités

Dans le magasin d’Hugo, les clients peuvent louer deux types de vélos : vélos de route ou bien vélos tout terrain. Chaque type de vélo peut être loué dans sa version électrique ou non.
On choisit un client du magasin au hasard, et on admet que :

Si le client loue un vélo de route, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,4$ ;
Si le client loue un vélo tout terrain, la probabilité que ce soit un vélo électrique est de $0,7$ ;
La probabilité que le client loue un vélo électrique est de $0,58$.

On appelle $\alpha$ la probabilité que le client loue un vélo de route, avec $0\pp \alpha\pp 1$.

On considère les événements suivants :

$R$ : « le client loue un vélo de route » ;
$E$ : « le client loue un vélo électrique » ;
$\conj{R}$ et $\conj{E}$ , événements contraires de $R$ et $E$.

On modélise cette situation aléatoire à l’aide de l’arbre reproduit ci-dessous :

Si $F$ désigne un événement quelconque, on notera $p(F)$ la probabilité de $F$.

Recopier cet arbre sur la copie et le compléter.
$\quad$
a. Montrer que $p(E)=0,7-0,3\alpha$.
$\quad$
b. En déduire que : $\alpha = 0,4$.
$\quad$
On sait que le client a loué un vélo électrique. Déterminer la probabilité qu’il ait loué un vélo tout terrain. On donnera le résultat arrondi au centième.
$\quad$
Quelle est la probabilité que le client loue un vélo tout terrain électrique ?
$\quad$
Le prix de la location à la journée d’un vélo de route non électrique est de $25$ euros, celui d’un vélo tout terrain non électrique de $35$ euros. Pour chaque type de vélo, le choix de la version électrique augmente le prix de location à la journée de $15$ euros.
On appelle $X$ la variable aléatoire modélisant le prix de location d’un vélo à la journée.
a. Donner la loi de probabilité de $X$. On présentera les résultats sous forme d’un tableau.
$\quad$
b. Calculer l’espérance mathématique de $X$ et interpréter ce résultat.
$\quad$
Lorsqu’on choisit $30$ clients d’Hugo au hasard, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire associant à un échantillon de $30$ clients choisis au hasard le nombre de clients qui louent un vélo électrique.
On rappelle que la probabilité de l’événement $E$ est : $p(E) = 0,58$.
a. Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
$\quad$
b. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne exactement $20$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
$\quad$
c. Déterminer la probabilité qu’un échantillon contienne au moins $15$ clients qui louent un vélo électrique. On donnera le résultat arrondi au millième.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thèmes : suites, fonctions

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définie par $a_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,5a_n+1$ et $b_n=a_n-2$.
On peut affirmer que :
a. $\left(a_n\right)$ est arithmétique ;
b. $\left(b_n\right)$ est géométrique ;
c. $\left(a_n\right)$ est géométrique ;
d. $\left(b_n\right)$ est arithmétique.
$\quad$

Dans les questions 2. et 3., on considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ définies par :$$u_0=2,~v_0=1 \text{ et, pour tout entier naturel }n :\begin{cases} u_{n+1}=u_n+3v_n\\v_{n+1}=u_n+v_n\end{cases}$$

On peut affirmer que :
a. $\begin{cases} u_2=5\\v_2=3\end{cases}$;
b. $u_2^2-3v_2^2=-2^2$;
c. $\dfrac{u_2}{v_2}=1,75$;
d. $5u_1=3v_1$.
$\quad$
On considère le programme ci-dessous écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def valeurs() :}\\
\quad \text{u = 2}\\
\quad \text{v = 1}\\
\quad \text{for k in range(1,11) :}\\
\qquad \text{c = u}\\
\qquad \text{u = u+3*v}\\
\qquad \text{v = c+v}\\
\quad \text{return (u,v)}\\
\hline
\end{array}$$
Ce programme renvoie :
a. $u_{11}$ et $v_{11}$;
b. $u_{10}$ et $v_{11}$;
c. les valeurs de $u_n$ et $v_n$ pour $n$ allant de $1$ à $10$;
d. $u_{10}$ et $v_{10}$.
$\quad$

Pour les questions 4. et 5., on considère une fonction $f$ deux fois dérivable sur l’intervalle $[-4 ; 2]$. On note $f’$ la fonction dérivée de $f$ et $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}’$ de la fonction dérivée $f’$ dans un repère du plan. On donne de plus les points $A(-2; 0)$, $B(1; 0)$ et $C(0; 5)$.

La fonction $f$ est :
a. concave sur $[-2; 1]$;
b. convexe sur $[-4; 0]$;
c. convexe sur $[-2; 1]$;
d. convexe sur $[0; 2]$.
$\quad$
On admet que la droite $(BC)$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}’$ au point $B$.
On a :
a. $f'(1) < 0$;
b. $f'(1)= 5$;
c. $f\dsec(1) > 0$;
d. $f\dsec(1) = -5$.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\left(x^2+1\right)\e^x$.
La primitive $F$ de $f$ sur $\R$ telle que $F(0) = 1$ est définie par :
a. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x$;
b. $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)\e^x-2$;
c. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x+1$;
d. $F(x)=\left(\dfrac{1}{3}x^3+x\right)\e^x$;
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thèmes : fonction logarithme, suites

Les parties B et C sont indépendantes.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x) = x-x\ln(x)$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Partie A

Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0$.
$\quad$
Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Démontrer que, pour tout réel $x>0$, on a : $f'(x)=-\ln(x)$.
$\quad$
b. En déduire les variations de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$ et dresser son tableau de variation.
$\quad$
Résoudre l’équation $f(x) = x$ sur $]0; +\infty[$.
$\quad$

Partie B

Dans cette partie, on pourra utiliser avec profit certains résultats de la partie A.

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $$\begin{cases} u_0=0,5\\\text{pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=u_n-u_n\ln\left(u_n\right)\end{cases}$$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$.

On rappelle que la fonction $f$ est croissante sur l’intervalle $[0,5; 1]$.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $0,5\pp u_n\pp u_{n+1}\pp 1$.
$\quad$
a. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
b. On note $l$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Déterminer la valeur de $l$.
$\quad$

Partie C

Pour un nombre réel $k$ quelconque, on considère la fonction $f_k$ définie sur $]0; +\infty[$ par : $$f_k(x)=kx-x\ln(x)$$

Pour tout nombre réel $k$, montrer que $f_k$ admet un maximum $y_k$ atteint en $x_k=\e^{k-1}$.
$\quad$
Vérifier que, pour tout nombre réel $k$, on a : $x_k=y_k$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère :

la droite $\mathscr{D}$ passant par le point $A(2; 4; 0)$ et dont un vecteur directeur est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$;
la droite $\mathscr{D}’$ dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=3\\y=3+t\\z=3+t\end{cases} \quad, t\in \R$.

a. Donner les coordonnées d’un vecteur directeur $\vec{u’}$ de la droite $\mathscr{D}’$.
$\quad$
b. Montrer que les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ne sont pas parallèles.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$.

On admet dans la suite de cet exercice qu’il existe une unique droite $\Delta$ perpendiculaire aux droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. Cette droite $\Delta$ coupe chacune des droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$. On appellera $M$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}$, et $M’$ le point d’intersection de $\Delta$ et $\mathscr{D}’$.

On se propose de déterminer la distance $MM’$ appelée « distance entre les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}’$ ».

Montrer que le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\Delta$.
$\quad$
On note $\mathscr{P}$ le plan contenant les droites $\mathscr{D}$ et $\Delta$, c’est-à-dire le plan passant par le point $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. En déduire qu’une équation du plan $\mathscr{P}$ est : $2x-y-5z=0$.
$\quad$
c. On rappelle que $M’$ est le point d’intersection des droites $\Delta$ et $\mathscr{D}’$. Justifier que $M’$ est également le point d’intersection de $\mathscr{D}’$ et du plan $\mathscr{P}$.
En déduire que les coordonnées du point $M’$ sont $(3; 1; 1)$.
$\quad$
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
$\quad$
b. Justifier que le point $M$ a pour coordonnées $(1; 2; 0)$.
$\quad$
c. Calculer la distance $MM’$.
$\quad$
On considère la droite $d$ de représentation paramétrique $\begin{cases} x=5t\\y=2+5t\\z=1+t\end{cases} \quad$ avec $t\in \R$.
a. Montrer que la droite $d$ est parallèle au plan $\mathscr{P}$.
$\quad$
b. On note $\ell$ la distance d’un point $N$ de la droite $d$ au plan $\mathscr{P}$. Exprimer le volume du tétraèdre $ANMM’$ en fonction de $\ell$.
On rappelle que le volume d’un tétraèdre est donné par : $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ désigne l’aire d’une base et $h$ la hauteur relative à cette base.
$\quad$
c. Justifier que, si $N_1$ et $N_2$ sont deux points quelconques de la droite $d$, les tétraèdres $AN_1MM’$ et $AN_2MM’$ ont le même volume.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole, Antilles, Guyane – sujet 1 – 8 septembre 2022

Métropole Antilles/Guyane – 8 septembre 2022

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Pour tout réel $x$
$\begin{align*} g(x)&=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1} \\
&=\dfrac{2\e^x}{\e^x\left(1+\e^{-x}\right) }\\
&=\dfrac{2}{1+\e^{-x}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)=2$.
La droite d’équation $y=2$ est donc asymptote à la courbe représentative de la fonction $g$ en $+\infty$.
Réponse b
$\quad$
La fonction $f\dsec$ semble positive sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
Par conséquent $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$.
Réponse c
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-2 \\
&=\dfrac{1}{2}u_{n+1}+1-2 \\
&=\dfrac{1}{2}u_{n+1}-1 \\
&=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)\\
&=\dfrac{1}{2}v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
Réponse d
$\quad$
$0<\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n=0$. Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} 1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n=1$.
$\begin{align*}\dfrac{n}{n+1}&=\dfrac{n}{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}\\
&=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{n}}\end{align*}$
Or $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n}=0$.
Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n}{n+1}=1$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} 2-\dfrac{n}{n+1}=1$.
D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=1$.
Réponse b
$\quad$
On considère la fonction $F$ définie sur $]0;+\infty[$ par $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$.
La fonction $F$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Pour tout $x>0$ on a :
$\begin{align*} F'(x)&=\dfrac{1}{3}\times 3x^2\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)+\dfrac{1}{3}x^3\times \dfrac{1}{x}\\
&=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x^2 \\
&=x^2\ln(x)\end{align*}$
Ainsi $F$ est une primitive de la fonction $f$.
Réponse a
$\quad$
Soit $x\in \R$
$\begin{align*} 2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}&=\dfrac{2\e^{-x}+2+3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1} \\
&=\dfrac{5\e^{-x}-3}{\e^{-x}+1} \\
&=\dfrac{\e^{-x}\left(5-3\e^x\right)}{\e^{-x}\left(1+\e^x\right)} \\
&=\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}\end{align*}$
Réponse a
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

a. On a $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)=0,06$ et $p\left(\conj{M}\right)=1-0,7$ c’est-à-dire $p\left(\conj{M}\right)=0,3$.
Or
$\begin{align*} P_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)&=\dfrac{p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)}{p\left(\conj{M}\right)} \\
&=\dfrac{0,06}{0,3} \\
&=0,2\end{align*}$
$\quad$
b. On obtient l’arbre suivant :
$\quad$
$\quad$
c. On veut calculer
$\begin{align*} p\left(G\cap \conj{M}\right)&=p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(G) \\
&=0,3\times 0,8\\
&=0,24\end{align*}$
La probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » est égale à $0,24$.
$\quad$
d. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} p(G)&=p(G\cap M)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
&=p(M)\times p_M(G)+p\left(\conj{M}\cap G\right) \\
&=0,7\times 0,6+0,24 \\
&=0,66\end{align*}$
$\quad$
On veut calculer
$\begin{align*} p_G(M)&=\dfrac{p(G\cap M)}{p(G)} \\
&=\dfrac{0,7\times 0,6}{0,66} \\
&=\dfrac{7}{11} \\
&>\dfrac{1}{2}
\end{align*}$
L’affirmation est donc exacte.
$\quad$
a. On a $T(\Omega)=\acco{0,~5,~12,~17}$
$\begin{align*} p(T=0)&=p\left(\conj{G}\cap \conj{M}\right) \\
&=0,06\end{align*}$
$\begin{align*} p(T=5)&=p\left(G\cap \conj{M}\right) \\
&=0,24\end{align*}$
$\begin{align*} p(T=12)&=p\left(\conj{G}\cap M\right) \\
&=0,28\end{align*}$
$\begin{align*} p(T=17)&=p\left(G\cap M\right) \\
&=0,42\end{align*}$
Ainsi
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
t&0&5&12&17\\
\hline
p(T=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
\hline
\end{array}$
$\quad$
b. L’espérance mathématique de $T$ est donc
$\begin{align*} E(T)&=0\times 0,06+5\times 0,24+12\times 0,28+17\times 0,42 \\
&=11,7\end{align*}$
$\quad$
c. Un client dépense donc en moyenne $11,70$ €.
On appelle $N$ le nombre moyen de clients par journée.
$11,7N\pg 700 \ssi x\pg \dfrac{700}{11,7}$
Or $\dfrac{700}{11,7}\approx 59,83$.
Il faut donc, en moyenne, au moins $60$ clients par journée pour atteindre cet objectif.
$\quad$
On appelle $p$ le prix de la visite de la grotte. On appelle $T’$ la variable aléatoire qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites. On obtient alors la loi de probabilité suivante
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
t&0&x&12&12+x\\
\hline
p(T’=t)&0,06&0,24&0,28&0,42\\
\hline
\end{array}$
Son espérance est donc
$\begin{align*} E(T’)&=0,24x+12\times 0,28+0,42(12+x) \\
&=0,24x+3,36+5,04+0,42x \\
&=8,4+0,66x\end{align*}$
$\begin{align*} E(T’)=15&\ssi 8,4+0,66x=15 \\
&\ssi 0,66x=6,6 \\
&\ssi x=10\end{align*}$
Le prix de la visite de la grotte devrait donc être de $10$ euros pour atteindre l’objectif.
$\quad$
On appelle $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de clients ayant visité la grotte. On répète $100$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,66$.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,66$.
D’après la calculatrice :
$\begin{align*} P(X\pg 75)&=1-P(X\pp 74) \\
&\approx 0,034\end{align*}$
La probabilité qu’au moins les trois quarts des clients de l’hôtel aient visité la grotte est environ égale à $0,034$.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

Partie A

Par croissances comparées,$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$.
$\quad$
a. Pour tout réel $x\pg 1$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x-\ln(x)}{x^2} \\
&=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}\end{align*}$
$\quad$
b. Pour tout réel $x\pg 1$ on a $x^2\pg 1$
$1-\ln(x)=0\ssi \ln(x)=1\ssi x=\e$ donc $f'(x)=0 \ssi x=\e$
$1-\ln(x)>0 \ssi \ln(x)<1 \ssi x<\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [1;\e]$
$1-\ln(x)<0 \ssi \ln(x)>1 \ssi x>\e$ donc $f'(x)>0 \ssi x\in [\e;+\infty[$
$\quad$
c. On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Soit $k$ un réel, $0\pp k \pp \e^{-1}$. La fonction $f$ est continue et strictement croissante sur $[1;\e]$.
$f(1)=0\pp k$ et $f(\e)=\e^{-1}\pg k$.
D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[1;\e]$.
$\quad$
b. Soit $k$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{\e}$.
Pour tout réel $x\pg 1$ on a $fx)\pp \e^{-1}$.
Par conséquent l’équation $f(x)=k$ n’admet aucune solution sur $[1;+\infty[$.
$\quad$

Partie B

La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $g'(x)=\dfrac{1}{4}\e^{\frac{x}{4}}>0$ car la fonction exponentielle est strictement positive.
La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $\R$.
$\quad$
Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~u_n \pp u_{n+1} \pp \e$.
Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=\e^{\frac{1}{4}}\approx 1,28$
Par conséquent $u_0\pp u_1 \pp \e$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
$u_n \pp u_{n+1} \pp \e$. La fonction $g$ est strictement croissante sur $[1;\e]$. Par conséquent :
$g\left(u_{n+1}\right) \pp g\left(u_{n+1}\right) \pp g(\e)$ soit $u_{n+1} \pp u_{n+2} \pp \e^{-1}\pp \e$.
Donc $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\e$.
Par conséquent $\left(u_n\right)$ converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
$\e^{\frac{x}{4}}=x \ssi \dfrac{x}{4}=\ln(x) \ssi \dfrac{1}{4}=\dfrac{\ln(x)}{x} \ssi f(x)=\dfrac{1}{4}$
$\quad$
D’après la calculatrice une solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$ est environ égale à $1,43$ qui appartient bien à $[1;\e]$.
Ainsi $\ell \approx 1,43$.

Ex 4

Exercice 4

a. $\vect{DE}\begin{pmatrix} 12\\-15\\-6\end{pmatrix}$
Par conséquent $\dfrac{1}{3}\vect{DE}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Ainsi, une représentation paramétrique de $\Delta$ est $\begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
b. $\Delta$ et $\Delta’$ sont parallèles. Un vecteur directeur de de $\Delta$ est donc également un vecteur directeur de $\Delta’$.
Une représentation paramétrique de $\Delta’$ est donc $\begin{cases} x=4t\\y=-5t\\z=-2t\end{cases} \qquad t\in \R$.
$\quad$
c. $4t=1,36 \ssi t=0,34$
De plus $-5\times 0,34=-1,7$ et $-2\times 0,34=-0,68 \neq -0,7$.
Donc $F$ n’appartient pas à la droite $\Delta’$.
$\quad$
a. $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$.
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires (aucune coordonnée nulle pour le vecteur $\vect{AB}$). Les points $A$, $B$ et $C$ définissent donc bien un plan.
$\quad$
b. On note $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.
$\vec{n}.\vect{AB}=8-10+2=0$ et $\vec{n}.\vect{AC}=8+0-8=0$.
Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.
La droite $\Delta$ est par conséquent perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Une équation du plan $(ABC)$ est donc de la forme $4x-5y-2z+d=0$.
Le point $A(-1;-1;3)$ appartient au plan $(ABC)$.
Par conséquent $-4+5-6+d=0 \ssi d=5$.
Une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est donc $4x-5y-2z+5=0$.
$\quad$
a. Prenons $t=2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$.
Le point de coordonnées $(7;-4;5)$ appartient donc à la droite $\Delta$.
Donc $G(7;-4;4)$ appartient à la droite $\Delta$.
$\quad$
b. Les coordonnées du point $H$ sont solution du système
$\begin{align*} \begin{cases} 4x-5y-2z+5=0\\x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\-4+16t-30+25t-16+4t+5=0\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x=-1+4t\\y=6-5t\\z=8-2t\\45t=45\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} t=1\\x=3\\y=1\\z=6\end{cases} \end{align*}$.
Le point $H$ a donc pour coordonnées $(3;1;6)$.
$\quad$
c. La distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est par conséquent $HG$.
Or $\vect{HG}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} -4\\5\\2\end{pmatrix}$
Ainsi
$\begin{align*} HG&=\sqrt{(-4)^2+5^2+2^2} \\
&=\sqrt{16+25+4} \\
&=\sqrt{45} \\
&=\sqrt{9\times 5}\\
&=3\sqrt{5}\end{align*}$
$\quad$
a. $\vect{AB}.\vect{AC}=4+0-4=0$.
Le triangle $ABC$ est donc rectangle en $A$.
$\quad$
b. $AB=\sqrt{9}=3$ et $AC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
Le volume du tétraèdre $ABCG$ est donc
$\begin{align*} V&=\dfrac{\dfrac{AB\times AC}{2}\times HG}{3} \\
&=\dfrac{3\times \sqrt{5}\times 3\sqrt{5}}{3} \\
&=15\end{align*}$
$\quad$

Énoncé

Le sujet propose 4 exercices
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Exercice 1 7 points
Thèmes : fonctions, suites

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=\dfrac{2\e^x}{\e^x+1}$.
La courbe représentative de la fonction $g$ admet pour asymptote en $+\infty$ la droite d’équation :
a. $x=2$;
b. $y=2$;
c. $y=0$
d. $x=-1$.
$\quad$
On considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$.
On appelle $C$ sa représentation graphique.
$\quad$
On désigne par $f\dsec$ la dérivée seconde de $f$.
$\quad$
On a représenté sur le graphique ci-dessous la courbe de $f\dsec$, notée $C\dsec$.
$\quad$

$\quad$
a. $C$ admet un unique point d’inflexion;
b. $f$ est convexe sur l’intervalle $[-1;2]$;
c. $f$ est convexe sur $]-\infty;-1]$ et sur $[2;+\infty[$;
d. $f$ est convexe sur $\R$.
$\quad$
On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0= 0$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1$.
La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n=u_n-2$, est :
a. arithmétique de raison $-2$;
b. géométrique de raison $-2$;
c. arithmétique de raison $1$;
d. géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$, on a : $$1+\left(\dfrac{1}{4}\right)^n \pp u_n \pp 2-\dfrac{n}{n+1}$$
On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
a. converge vers $2$;
b. converge vers $1$;
c. diverge vers $+\infty$;
d. n’a pas de limite.
$\quad$
Soit $f$ la fonction définie sur $]0; +\infty[$ par $f(x)=x^2\ln(x)$.
Une primitive $F$ de $f$ sur $]0; +\infty[$ est définie par :
a. $F(x) =\dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-\dfrac{1}{3}\right)$;
b. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3\left(\ln(x)-1\right)$;
c. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2$;
d. $F(x) = \dfrac{1}{3}x^2\left(\ln(x)-1\right)$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ , l’expression $2+\dfrac{3\e^{-x}-5}{\e^{-x}+1}$ est égale à :
a. $\dfrac{5-3\e^x}{1+\e^x}$;
b. $\dfrac{5+3\e^x}{1-\e^x}$;
c. $\dfrac{5+3\e^x}{1+\e^x}$;
d. $\dfrac{5-3\e^x}{1-\e^x}$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points
Thème : probabilités

Un hôtel situé à proximité d’un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d’un musée et celle d’une grotte.

Une étude a montré que $70\%$ des clients de l’hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, $60\%$ visitent la grotte.
Cette étude montre aussi que $6\%$ des clients de l’hôtel ne font aucune visite.
On interroge au hasard un client de l’hôtel et on note :

$M$ l’événement : « le client visite le musée » ;
$G$ l’événement : « le client visite la grotte ».

On note $\conj{M}$ l’événement contraire de $M$, $\conj{G}$ l’événement contraire de $G$, et pour tout événement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.

Ainsi, d’après l’énoncé, on a : $p\left(\conj{M}\cap \conj{G}\right)= 0,06$

a. Vérifier que $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right) = 0,2$, où $p_{\conj{M}}\left(\conj{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu’il ne visite pas le musée.
$\quad$
b. L’arbre pondéré ci-dessous modélise la situation. Recopier et
compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité
associée.
$\quad$
$\quad$
c. Quelle est la probabilité de l’événement « le client visite la grotte et ne visite pas le musée » ?
$\quad$
d. Montrer que $p(G) = 0,66$.
$\quad$
Le responsable de l’hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée. Cette affirmation est-elle exacte ?
$\quad$
Les tarifs pour les visites sont les suivants :
$\bullet$ visite du musée : $12$ euros ;
$\bullet$ visite de la grotte : $5$ euros.
On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites.
a. Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d’un tableau.
$\quad$
b. Calculer l’espérance mathématique de $T$.
$\quad$
c. Pour des questions de rentabilité, le responsable de l’hôtel estime que le montant moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$ euros par jour. Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d’atteindre cet objectif.
$\quad$
Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l’espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l’hôtel pour ces visites passe à $15$ euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d’atteindre cet objectif ? (On admettra que l’augmentation du
prix d’entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
$\quad$
On choisit au hasard $100$ clients de l’hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu’au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l’occasion de leur séjour à l’hôtel ? On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points
Thèmes : fonctions logarithme et exponentielle, suites

Les parties A et B sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$, où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
$\quad$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ et on note $f’$ sa fonction dérivée.
a. Montrer que, pour tout nombre réel $x\pg 1$, $f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$.
$\quad$
b. Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
$\quad$

$\quad$
c. Dresser le tableau de variations complet de la fonction $f$.
$\quad$
Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
a. Montrer que, si $0\pp k\pp \dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur l’intervalle $[1 ;\e]$.
$\quad$
b. Si $k>\dfrac{1}{\e}$, l’équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l’intervalle $[1 ; +\infty[$ ?
Justifier.
$\quad$

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : $g(x)=\e^{\frac{x}{4}}$.
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=\e^{\frac{u_n}{4}} \text{ c’est à dire : } u_{n+1}=g\left(u_n\right)$$

Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
$\quad$
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n\pp u_{n+1} \pp \e$.
$\quad$
En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$, et on admet que $\ell$ est solution de l’équation : $$\e^{\frac{x}{4}}=x$$

En déduire que $\ell$ est solution de l’équation $f(x)=\dfrac{1}{4}$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
$\quad$
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 4 7 points
Thème : géométrie dans l’espace

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$, on considère les points
$A(-1 ; -1 ; 3)$, $B(1 ; 1 ; 2)$, $C(1 ; -1 ; 7)$.
On considère également la droite ∆ passant par les points $D(-1 ; 6 ; 8)$ et $E(11 ; -9 ; 2)$.

a. Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique :
$$\begin{cases}x = -1 + 4t\\y = 6-5t\\z = 8-2t\end{cases} \quad \text{avec }t\in \R$$
$\quad$
b. Préciser une représentation paramétrique de la droite $\Delta’$ parallèle à $\Delta$ et passant par l’origine $O$ du repère.
$\quad$
c. Le point $F(1,36 ; -1,7 ; -0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta’$ ?
$\quad$
a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan.
$\quad$
b. Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan $(ABC)$.
$\quad$
c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $4x-5y-2z+5=0$.
$\quad$
a. Montrer que le point $G(7; -4; 4)$ appartient à la droite $\Delta$.
$\quad$
b. Déterminer les coordonnées du point $H$, projeté orthogonal du point $G$ sur le plan $(ABC)$.
$\quad$
c. En déduire que la distance du point $G$ au plan $(ABC)$ est égale à $3\sqrt{5}$.
$\quad$
a. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
$\quad$
b. Calculer le volume $V$ du tétraèdre $ABCG$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule $V=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{B}\times h$ où $\mathscr{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.
$\quad$

$\quad$

Bac – Spécialité mathématiques – Asie – sujet 1 – 17 mai 2022

Centres étrangers – Asie – 17 mai 2022

Spécialité maths – Sujet 1- Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

a. Parmi les $5$ jetons, seuls $1$, $3$ et $5$ sont impairs.
Donc $P_B(G)=\dfrac{3}{5}$.
$\quad$
b. On obtient l’arbre pondéré suivant :
$\quad$
$\quad$
a. $P(B)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
$(B,~R)$ forme un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(G\cap B)+P(G\cap R)\\
&=P(B)\times P_B(G)+P(R)\times P_R(G)\\
&=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}\times 0,3 \\
&=0,4\end{align*}$
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P_G(B)&=\dfrac{P(G\cap B)}{P(G)} \\
&=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{5}}{0,4}\\
&=\dfrac{1}{2}\end{align*}$
La probabilité que le joueur ait obtenu une case blanche en lançant la roue sachant qu’il a gagner la partie est égale à $\dfrac{1}{2}$.
$\quad$
$P(G)=0,4$ et $P_B(G)=0,6$ donc $P(G)\neq P_B(G)$
Les événements $B$ et $G$ ne sont pas indépendants.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $10$ expériences de Bernoulli identiques.
$X$ est égale au nombre de parties gagnées.
$X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,4$.
$\quad$
b. On veut calculer
$\begin{align*} P(X=3)&=\dbinom{10}{3}0,4^3\times 0,6^7 \\
&\approx 0,215\end{align*}$
La probabilité que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées est environ égale à $0,215$.
$\quad$
c. On a
$\begin{align*} P(X\pg 4)&=1-P(X<4) \\
&=1-P(X\pp 3) \\
&\approx 0,618\end{align*}$
La probabilité de remporter au moins $4$ parties sur les $10$ jouées est environ égale à $0,618$.
$\quad$
a. On effectue de façon indépendante $n$ expériences de Bernoulli identiques.
On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
$Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,4$.
$\begin{align*} p_n&=P(Y\pg 1) \\
&=1-P(Y=0) \\
&=1-0,6^n \end{align*}$
$\quad$
b. $\quad$
$\begin{align*} p_n\pg 0,99&\ssi 1-0,6^n \pg 0,99 \\
&\ssi -0,6^n \pg -0,01 \\
&\ssi 0,6^n \pp 0,01 \\
&\ssi n\ln(0,6) \pp \ln(0,01) \\
&\ssi n \pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,6)} \qquad \text{car } \ln(0,6)<0\end{align*}$
Or $\dfrac{\ln(0,1)}{\ln(0,6)}\approx 9,02$
Le plus petit entier naturel $n$ pour lequel la probabilité de gagner au moins une partie est supérieur ou égale à $0,99$ est donc $10$.
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

$\quad$
$\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{1}{10}\right)\times u_0+0,25 \\
&=0,9\times 1+0,25\\
&=1,15\end{align*}$
Au bout d’une demi-heure il y avait donc $1,15$ mg de médicament dans le sang.
$\quad$
Toutes les $30$ minutes l’organisme élimine $10\%$ de la quantité de médicament présente dans le sang. Il reste donc $90\%$ de la quantité de médicament soit $0,9u_n$.
Il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
Donc $u_{n+1}=0,9u_n+0,25$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P(n):~u_n\pp u_{n+1} <5$.
Initialisation : $u_0=1$ et $u_1=1,15$ donc $u_0\pp u_1<5$ et $P(0)$ est vraie.
$\quad$
Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose $P(n)$ vraie.
$\begin{align*} u_n\pp u_{n+1} <5 &\ssi 0,9u_n\pp 0,9u_{n+1} < 4,5 \\
&\ssi 0,9u_n+0,25\pp 0,9u_{n+1}+0,25<4,75\end{align*}$
Donc $u_{n+1}\pp u_{n+2} <4,75<5$ et $P(n+1)$ est vraie.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} <5$.
$\quad$
b. La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $5$. Par conséquent elle converge vers un réel $\ell$.
$\quad$
a. On obtient le script suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad \text{u = 1}\\
\quad \text{n = 0}\\
\quad \text{while u < 1.8:}\\
\qquad \text{u = 0.9 * u + 0.25}\\
\qquad \text{n = n + 1}\\
\quad \text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. On a $u_7 \approx 1,78$ et $u_8\approx 1,85$.
Par conséquent le script renvoie la valeur $8$.
C’est donc au bout de $4$ heures que le médicament est réellement efficace.
$\quad$
a. Soit $n\in \N$. $v_n=2,5-u_n$ donc $u_n=2,5-v_n$.
$\begin{align*} v_{n+1}&=2,5-u_{n+1} \\
&=2,5-0,9u_n-0,25 \\
&=-0,9u_n+2,25 \\
&=-0,9\left(2,5-v_n\right)+2,25 \\
&=0,9v_n-2,25+2,25 \\
&=0,9v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=1,5$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=1,5\times 0,9^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} u_n&=2,5-v_n\\
&=2,5-1,5\times 0,9^n\end{align*}$
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a $1,5\times 0,9^n>0$ donc $u_n<2,5<3$.
Le traitement de présente donc aucun risque pour le patient.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

$f(3,75)\approx 1,791<1,8$.
Le médicament n’est donc pas réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min.
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(t)\pg 1,8 &\ssi 2,5-1,5\e^{-0,2t}\pg 1,8 \\
&\ssi -1,5\e^{-0,2t}\pg -0,7 \\
&\ssi \e^{-0,2t}\pp \dfrac{7}{15} \\
&\ssi -0,2t\pp \ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \\
&\ssi t\pg -5\ln\left(\dfrac{7}{15}\right) \end{align*}$
Le médicament est donc efficace au bout d’environ $3,810~7$ heures soit environ $3$ h $49$ min.
$\quad$
Selon le modèle de la partie A, le médicament était réellement efficace au bout de $4$ heures.
Le modèle continu est donc réellement efficace plus rapidement.
$\quad$

Ex 3

Exercice 3

On obtient la figure suivante :
$\quad$
On a $\vect{RP}\begin{pmatrix}-1\\0\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{RQ}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}$
Donc
$\begin{align*} RP&=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
et
$\begin{align*} RQ&=\sqrt{(-1)^2+2^2+0^2} \\
&=\sqrt{5}\end{align*}$
Donc $RP=RQ$.
Le triangle $RPQ$ est bien isocèle en $R$.
$\quad$
Les vecteurs $\vect{RP}$ et $\vect{RQ}$ ne sont clairement pas colinéaires (le coefficient $0$ ne se trouve à la même coordonnée). Les points $P$, $R$ et $Q$ définissent donc un plan.
$\quad$
a. D’une part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PR}&=2\times (-1)+1\times 0+(-1)\times (-2) \\
&=-2+0+2 \\
&=0\end{align*}$
D’autre part
$\begin{align*} \vec{u}.\vect{PQ}&=2\times (-1)+1\times 2+(-1)\times 0 \\
&=-2+2+0 \\
&=0\end{align*}$
Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(PQR)$.
$\vec{u}$ est par conséquent un vecteur normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. Ainsi une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est de la forme $2x+y-z+d=0$.
Or $P(0;0;1)$ appartient au plan $(PQR)$.
Par conséquent $0+0-1+d=0\ssi d=1$.
Une équation cartésienne du plan $(PQR)$ est $2x+y-z+1=0$.
$\quad$
c. Le vecteur $\vec{u}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$.
Une représentation paramétrique de la droite $(d)$ est donc : $$\begin{cases} x=2t\\y=t\\z=3-t\end{cases} \qquad t\in \R$$
$\quad$
d. En prenant $t=\dfrac{1}{3}$ dans la représentation paramétrique de la droite $(d)$ on obtient le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$.
$2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}+1=-\dfrac{3}{3}+1=0$ : le point de coordonnées $\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ appartient donc au plan $(PQR)$.
Le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est par conséquent le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. On a $\vect{EL}\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}\\[3pt]\dfrac{1}{3}\\[3pt]-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
Par conséquent :
$\begin{align*} EL&=\sqrt{\left(\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2} \\
&=\sqrt{\dfrac{6}{9}} \\
&=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\end{align*}$
La distance du point $E$ au plan $(PQR)$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{3}$.
$\quad$
Le triangle $EQR$ est, par construction, rectangle en $E$. Son aire est donc
$\begin{align*} \mathscr{A}&=\dfrac{EQ\times ER}{2} \\
&=\dfrac{2\times 1}{2} \\
&=1\end{align*}$
Ainsi, le volume du tétraèdre $EPQR$ est
$\begin{align*} \mathscr{V}&=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}\times EP \\
&=\dfrac{1}{3}\times 1\times 2 \\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$$\quad$
On a également $\mathscr{V}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times EL$ où $\mathscr{A}_{PQR}$ est l’aire du triangle $PQR$
Ainsi
$\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\times \mathscr{A}_{PQR}\times \dfrac{\sqrt{6}}{3} \ssi \mathscr{A}_{PQR}=\dfrac{6}{\sqrt{6}}$
Ainsi l’aire du triangle $PQR$ est égale à $\sqrt{6}$ unités d’aire.
$\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

Graphiquement $f(1)=3$ et $f'(1)$ est le coefficient directeur de la droite $(AB)$. Par conséquent $f'(1)=1$.
$\quad$
a. D’après l’énoncé, la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2ax}{ax^2+1}$.
$\quad$
b. $f(1)=3\ssi \ln(a+1)+b=3$.
$f'(1)=1 \ssi \dfrac{2a}{a+1}=1$
On résout donc le système
$\begin{align*} \begin{cases} \ln(a+1)+b=3\\\dfrac{2a}{a+1}=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} 2a=a+1 \\b=3-\ln(a+1)\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} a=1\\b=3-\ln(2)\end{cases}\end{align*}$
Par conséquent, pour tout réel $x$ on a $f(x)=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.
$\quad$

Partie B

Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f(-x)&=\ln\left((-x)^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=\ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2) \\
&=f(x)\end{align*}$
Par conséquent $f$ est paire.
$\quad$
$\lim\limits_{x\to +\infty} x^2+1=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to +\infty} \ln(X)=+\infty$ par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln\left(x^2+1\right)=+\infty$
Ainsi, $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ et par parité $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$.
$\quad$
D’après la question A.2. on a, pour tout réel $x$, $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
Pour tout réel $x$, on a $x^2+1>0$.
Donc $f'(x)$ est du signe de $2x$.
Par conséquent :
$\bullet~~f'(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
$\bullet~~f'(0)=0$;
$\bullet~~f'(x)>0$ sur $]0;\infty[$.On obtient donc le tableau de variations suivant :
$\quad$
D’après le tableau de variations, l’équation $f(x)=k$ admet deux solutions si, et seulement si, $k>3-\ln(2)$.
Remarque : Pour le montrer rigoureusement, il faut utiliser le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires).
$\quad$
$\quad$
$\begin{align*} f(x)=3+\ln(2)&\ssi \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)=3+\ln(2) \\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=2\ln(2)\\
&\ssi \ln\left(x^2+1\right)=\ln(4) \\
&\ssi x^2+1=4 \qquad \text{car la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$}\\
&\ssi x^2=3 \\
&\ssi x=\sqrt{3} \text{ ou } x=-\sqrt{3}\end{align*}$
L’équation $f(x)=3+\ln(2)$ admet donc deux solutions $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.
$\quad$

Partie C

Graphiquement $\mathscr{C}_f$ semble avoir deux points d’inflexion d’abscisse $-1$ et $1$.
$\quad$
Pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
La fonction $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x$ on a
$\begin{align*} f\dsec(x)&=2\times \dfrac{x^2+1-x\times 2x}{\left(x^2+1\right)^2} \\
&=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\end{align*}$
$\quad$
Ainsi $f\dsec(x)\pg 0 \ssi 1-x^2\pg 0 \ssi x\in [-1;1]$.
Le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est donc $[-1;1]$.
$\quad$

Énoncé

Exercice 1 7 points

Principaux domaines abordés : Probabilités conditionnelles et indépendance. Variables aléatoires

Lors d’une kermesse, un organisateur de jeux dispose, d’une part, d’une roue comportant quatre cases blanches et huit cases rouges et, d’autre part, d’un sac contenant cinq jetons portant les numéros $1$, $2$, $3$, $4$ et $5$.
Le jeu consiste à faire tourner la roue, chaque case ayant la même probabilité d’être obtenue, puis à extraire un ou deux jetons du sac selon la règle suivante :

si la case obtenue par la roue est blanche, alors le joueur extrait un jeton du sac;
si la case obtenue par la roue est rouge, alors le joueur extrait successivement et sans remise deux jetons du sac.

Le joueur gagne si le ou les jetons tirés portent tous un numéro impair.

Un joueur fait une partie et on note $B$ l’évènement « la case obtenue est blanche », $R$ l’évènement « la case obtenue est rouge » et $G$ l’évènement « le joueur gagne la partie ».
a. Donner la valeur de la probabilité conditionnelle $P_B (G)$.
$\quad$
b. On admettra que la probabilité de tirer successivement et sans remise deux jetons impairs est égale à $0,3$.
Recopier et compléter l’arbre de probabilité suivant :
$\quad$

$\quad$
a. Montrer que $P(G) = 0,4$.
$\quad$
b. Un joueur gagne la partie.
Quelle est la probabilité qu’il ait obtenu une case blanche en lançant la roue ?
$\quad$
Les évènements $B$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
$\quad$
Un même joueur fait dix parties. Les jetons tirés sont remis dans le sac après chaque partie.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.
a. Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
$\quad$
b. Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, que le joueur gagne exactement trois parties sur les dix parties jouées.
$\quad$
c. Calculer $P(X \pg 4)$ arrondie à $10^{-3}$ près.
Donner une interprétation du résultat obtenu.
$\quad$
Un joueur fait $n$ parties et on note $p_n$ la probabilité de l’évènement « le joueur gagne au moins une partie ».
a. Montrer que $p_n = 1-0,6n$.
$\quad$
b. Déterminer la plus petite valeur de l’entier n pour laquelle la probabilité de gagner au moins une partie est supérieure ou égale à $0,99$.
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 7 points

Principaux domaines abordés : Suites numériques. Algorithmique et programmation.

Un médicament est administré à un patient par voie intraveineuse.

Partie A : modèle discret de la quantité médicamenteuse

Après une première injection de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
On estime que, toutes les $30$ minutes, l’organisme du patient élimine $10 \%$ de la quantité de médicament présente dans le sang et qu’il reçoit une dose supplémentaire de $0,25$ mg de la substance médicamenteuse.
On étudie l’évolution de la quantité de médicament dans le sang avec le modèle suivant : pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité, en mg, de médicament dans le sang du patient au bout de $n$ périodes de trente minutes. On a donc $u_0 = 1$.

Calculer la quantité de médicament dans le sang au bout d’une demi-heure.
$\quad$
Justifier que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,9u_n +0,25$.
$\quad$
a. Montrer par récurrence sur $n$ que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pp u_{n+1} < 5$.
$\quad$
b. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
$\quad$
On estime que le médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.
a. Recopier et compléter le script écrit en langage Python suivant de manière à déterminer au bout de combien de périodes de trente minutes le médicament commence à être réellement efficace.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def efficace():}\\
\quad\text{u = 1}\\
\quad\text{n = 0}\\
\quad\text{while ……:}\\
\qquad\text{u = ……}\\
\qquad\text{n = n + 1}\\
\quad\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Quelle est la valeur renvoyée par ce script ? Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2,5-u_n$.
a. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
$\quad$
b. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2,5-1,5×0,9^n$.
$\quad$
c. Le médicament devient toxique lorsque sa quantité présente dans le sang du patient dépasse $3$ mg.
D’après le modèle choisi, le traitement présente-t-il un risque pour le patient ?
Justifier.
$\quad$

Partie B : modèle continu de la quantité médicamenteuse

Après une injection initiale de $1$ mg de médicament, le patient est placé sous perfusion.
Le débit de la substance médicamenteuse administrée au patient est de $0,5$ mg par heure.
La quantité de médicament dans le sang du patient, en fonction du temps, est modélisée par la fonction $f$ , définie sur $[0 ; +\infty[$, par $$f (t) = 2,5-1,5\e^{-0,2t}$$
où $t$ désigne la durée de la perfusion exprimée en heure.
On rappelle que ce médicament est réellement efficace lorsque sa quantité dans le sang du patient est supérieure ou égale à $1,8$ mg.

Le médicament est-il réellement efficace au bout de $3$ h $45$ min ?
$\quad$
Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps le médicament devient réellement efficace.
$\quad$
Comparer le résultat obtenu avec celui obtenu à la question 4. b. du modèle discret de la Partie A.
$\quad$

$\quad$

Exercice 3 7 points

Principaux domaines abordés : Manipulation des vecteurs, des droites et des plans de l’espace. Orthogonalité et distances dans l’espace. Représentations paramétriques et équations cartésiennes.

Le solide $ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère orthonormé $\left(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$ de l’espace dans lequel les coordonnées des points $B$, $D$ et $E$ sont : $$B(3 ; 0 ; 0),~D(0 ; 3 ; 0) \text{ et } E(0 ; 0 ; 3)$$

On considère les points $P(0; 0; 1)$, $Q(0; 2; 3)$ et $R(1; 0; 3)$.

Placer les points $P$, $Q$ et $R$ sur la figure en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
$\quad$
Montrer que le triangle $PQR$ est isocèle en $R$.
$\quad$
Justifier que les points $P$, $Q$ et $R$ définissent un plan.
$\quad$
On s’intéresse à présent à la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
a. Montrer que le vecteur $\vec{u} (2 ; 1 ; -1)$ est normal au plan $(PQR)$.
$\quad$
b. En déduire une équation cartésienne du plan $(PQR)$.
$\quad$
c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(PQR)$.
$\quad$
d. Montrer que le point $L\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{8}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $E$ sur le plan $(PQR)$.
$\quad$
e. Déterminer la distance entre le point $E$ et le plan $(PQR)$.
$\quad$
En choisissant le triangle $EQR$ comme base, montrer que le volume du tétraèdre $EPQR$ est $\dfrac{2}{3}$.
On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par la formule : $$V =\dfrac{1}{3}\times \text{aire d’une base}\times \text{hauteur correspondante}$$
$\quad$
Trouver, à l’aide des deux questions précédentes, l’aire du triangle $PQR$.
$\quad$

ANNEXE

$\quad$

Exercice 4 7 points

Principaux domaines abordés : Étude de fonctions. Fonction logarithme.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. On considère les points $A(1; 3)$ et $B(3; 5)$.
On donne ci-dessous $\mathscr{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente $(AB)$ à la courbe $\mathscr{C}_f$ au point $A$.

Les trois parties de l’exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.
$\quad$
La fonction $f$ est définie par l’expression $f (x) = \ln\left(ax^2+1\right)+b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.
a. Déterminer l’expression de $f'(x)$.
$\quad$
b. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l’aide des résultats précédents.
$\quad$

Partie B

On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $$f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$$

Montrer que $f$ est une fonction paire.
$\quad$
Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
$\quad$
Déterminer l’expression de $f'(x)$.
Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
$\quad$
À l’aide du tableau des variations de $f$ , donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l’équation $f (x) = k$ admet deux solutions.
$\quad$
Résoudre l’équation $f (x) = 3+\ln 2$.
$\quad$

Partie C
On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par $f(x) = \ln\left(x^2+1\right)+3-\ln(2)$.

Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.
$\quad$
Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f\dsec(x)=\dfrac{2\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}$.
$\quad$
En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.
$\quad$

$\quad$