E3C – Séries technologiques – Suites – Janvier 2020

E3C – Suites

Séries technologiques

On trouve dans le tableau suivant les quantités de chocolat vendues en France en 2017 et 2018, exprimées en tonnes.

$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{Année}&2017&2018\\
\hline
\text{Tonnes de chocolat vendues}&378~850&333~029\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quel a été le pourcentage d’évolution de la quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 ? Arrondir le résultat à $1\%$ près.

On s’intéresse maintenant aux années à venir. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la quantité de chocolat vendue en France l’année 2018$+n$, exprimée en tonnes. Ainsi, on a $u_0 = 333~029$. On
suppose que le taux d’évolution annuel sera de $-12,1\%$ à partir de 2018.

  1. Calculer les valeurs de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison.
    $\quad$
  3. a. Compléter l’algorithme ci-dessous pour qu’à la fin de l’algorithme la variable 𝑛 contienne le plus grand entier $n$ tel que $u_n \pp 250~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow \ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’année à partir de laquelle la quantité de chocolat vendue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{333~029-378~850}{378~850}\approx -0,12$
    La quantité de chocolat vendue en France entre 2017 et 2018 a donc diminué d’environ $12\%$.
    $\quad$
  2. On a donc :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_0 \\
    &=0,879\times 333~029\\
    &=392~732,491\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} u_2&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_1 \\
    &=0,879\times 392~732,491\\
    &=257~311,859~6\end{align*}$
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{12,1}{100}\right)u_n \\
    &=0,879\times u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,879$ et de premier terme $u_0=333~029$.
    $\quad$
  4. a. On obtient l’algorithme suivant :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    n\leftarrow 0\\
    u\leftarrow 333~029\\
    \text{Tant que }u> 250~000\\
    \hspace{0.5cm} u\leftarrow 0,879 \times u\\
    \hspace{0.5cm} n\leftarrow n+1\\
    \text{Fin Tant que}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. On a :
    $u_0=333~029$, $u_1 \approx 392~732$, $u_2\approx 257~312$ et $u_3 \approx 229~177$
    C’est donc en 2021 que la quantité de chocolat venue en France passera en dessous de $250~000$ tonnes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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