Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 1 – 11 septembre 2023

Métropole – 11 septembre 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} f(x)&=x\e^{x^2-3} \\
    &=\dfrac{1}{2}\times 2x\e^{x^2-3} \end{align*}$
    Ainsi $f(x)$ est de la forme $\dfrac{1}{2}u'(x)\e^{u(x)}$ où $u(x)=x^2-3$.
    Une primitive de la fonction $f$ est donc la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
    Réponse d
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$ on a
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\e^{2(n+1)+1} \\
    &=\e^{2n+2+1} \\
    &=\e^2\e^{2n+1} \\
    &=\e^2u_n\end{align*}$
    $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\e^2$.
    Réponse c
    $\quad$
  3. On doit écrire $\text{u <= 10000}$.
    Réponse a
    $\quad$
  4. Pour tout $n\in \N$ on a :
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+60 \\
    &=1,2u_n+12+60 \\
    &=1,2u_n+72 \\
    &=1,2\left(u_n+60\right) \\
    &=1,2v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,2$.
    Réponse b
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$.
    Or $\dfrac{1}{2}\neq \dfrac{0}{3}$. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.
    $\quad$
    b. $\vect{CD}\begin{pmatrix} 2\\1\\-1\end{pmatrix}$
    D’une part $\vect{CD}.\vect{AB}=4-1-3=0$.
    D’autre part $\vect{CD}.\vect{AC}=2-2+0=0$.
    $\vect{CD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathscr{P}$. Il est donc orthogonal à ce plan.
    La droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    $C$ est donc le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    c. Une équation du plan $\mathscr{P}$ est donc de la forme $2x+y-z+d=0$.
    Le point $A$ appartient à ce plan. Ainsi $2+0-(-1)+d=0 \ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $2x+y-z-3=0$.
    $\quad$
  2. a.
    $\begin{align*} CD&=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\
    &=\sqrt{6}\end{align*}$
    $\quad$
    b. $C$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $\mathscr{P}$ c’est donc l’unique point de ce plan situé à la distance $\sqrt{6}$ de $D$.
    Il n’existe donc pas de point $M$ du plan $\mathscr{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$.
    $\quad$
  3. a. Soit $t\in \R$.
    $\begin{align*}2\times 0+(2+t)-(-1+t)+3&=2+t+1-t+3 \\
    &=0\end{align*}$
    Ainsi, le point $M(0:2+t;-1+t)$ appartient au plan $\mathscr{P}$ pour tout $t\in \R$.
    La droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathscr{P}$.
    $\quad$
    b. On appelle $N$ le point de $\Delta$ associé à la valeur $-2$. Ainsi $N(0;0;-3)$.
    $\vect{ND}\begin{pmatrix}4\\-1\\1\end{pmatrix}$.
    Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 0\\1\\1\end{pmatrix}$.
    Par conséquent $\vec{u}.\vect{ND}=0-1+1=0$.
    La droite $(ND)$ est donc perpendiculaire à la droite $\Delta$ en $N$.
    $N$ est le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
    $H$ est donc bien le point de $\Delta$ associé à la valeur $t=-2$.
    $\quad$
    c. Ainsi :
    $\begin{align*} HD&=\sqrt{4^2+(-1)^2+1^2} \\
    &=\sqrt{18}\\
    &=3\sqrt{2}\end{align*}$
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

Partie A

  1. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  2. a. $\left(A,\conj{A}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} p(T)&=p(A)p_A(T)+p\left(\conj{A}\right)p_{\conj{A}}(T)\\
    &=0,97x+0,043(1-x) \\
    &=0,043+0,927x\end{align*}$
    $\quad$
    b. On sait que $p(T)=0,2$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} 0,2=0,043+0,927x&\ssi 0,157=0,927x \\
    &\ssi x=\dfrac{157}{927}\end{align*}$.
    La probabilité que l’individu choisi soit allergique est donc environ égale à $0,169$.
    $\quad$
  3. On calcule :
    $\begin{align*} p_T(A)&=\dfrac{p(A\cap T)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{p(A)p_A(T)}{p(T)} \\
    &\approx \dfrac{0,169\times 0,97}{0,2}\\
    &\approx 0,820\end{align*}$
    L’affirmation est donc vraie.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète $150$ fois de façon indépendante la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,08$.
    Ainsi $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=150$ et $p=0,08$.
  2. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X=20)&=\dbinom{150}{20}0,08^{20}\times 0,92^{130} \\
    &\approx 0,008\end{align*}$
    La probabilité que $20$ personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,008$.
    $\quad$
  3. D’après la calculatrice :
    $\begin{align*} p(X\pg 15)&=1-p(X\pp 14) \\
    &\approx 0,220\end{align*}$
    La probabilité qu’au moins $10 \%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques est environ égale à $0,220$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

Partie A

  1. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} g'(x)&=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}+\dfrac{1}{x} \\
    &=\dfrac{-2x+2+x^2}{x^3}\end{align*}$
    Or $x^3>0$ sur $]0;+\infty[$.
    Ainsi $g'(x)$ est du signe de $x^2-2x+2$.
    $\quad$
  2. Le discriminant de $x^2-2x+2$ est $\Delta=-4<0$.
    Le signe de ce trinôme est celui de son coefficient principal qui est $1>0$.
    Ainsi, pour tout réel $x>0$, $x^2-2x+2>0$.
    Donc $g'(x)>0$ et la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
  3. La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
    $g(0,5)=\ln(0,5)= -\ln(2)<0$ et $g(1)=1>0$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5;1]$.
    $\quad$
  4. La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ et s’annule en $\alpha$.
    Ainsi, pour tout $x\in ]0;\alpha[$ on a $g(x)<g(\alpha)$ soit $g(x)<0$ et, pour tout $x>\alpha$ on a $g(x)>g(\alpha)$ doit $g(x)>0$.
    $\quad$

Partie B

  1. Pour tout réel $x>0$ on a :
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)+\e^x\left(-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
    &=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right) \\
    &=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)\end{align*}$
    $\quad$
  2. a. On a ainsi, pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x)=g(x)\e^x$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. $f\dsec(x)$ est donc du signe de $g(x)$.
    On obtient alors le tableau de signes suivant :
    $\quad$

    $\quad$
    b. La fonction $f\dsec$ ne s’annule qu’une fois en changeant de signe en $\alpha$.
    $\mathscr{C}_f$ possède donc une unique point d’inflexion $A$ d’abscisse $\alpha$.
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est donc concave sur $]0;+\alpha]$ et convexe sur $[\alpha;+\infty[$.
    $\quad$
  3. a. $\lim\limits_{x\to 0^+} \e^x=1$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=-\infty$
    $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln(x)=+\infty$
    Par conséquent $\lim\limits_{x\to v}f(x)=+\infty$
    $\quad$
    b.
    $g(\alpha)=0\ssi \ln(\alpha)=\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} f'(\alpha)&=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\ln(\alpha)\right) \\
    &=\e^{\alpha}\left(\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}-\dfrac{2}{\alpha}\right) \\
    &=\e^{\alpha}\left(-\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\alpha^2}\right) \\
    &=\dfrac{\alpha}{\alpha^2}(-\alpha+1)\end{align*}$
    c. On a $0,5<\alpha<1$ donc $1-\alpha>0$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ et $\alpha^2>0$.
    Ainsi $f'(\alpha)>0$.
    La fonction $f’$ admet un minimum en $\alpha$ et $f'(\alpha)>0$.
    Ainsi, pour tout réel $x>0$ on a $f'(x)>0$.
    $\quad$
    d. On en déduit donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$

 

Énoncé

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x\e^{x^2-3}$.
    Une des primitives $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est définie par :
    a. $F(x)=2x\e^{x^2-3}$ ;
    b. $F(x)=\left(2x^2+1\right)\e^{x^2-3}$ ;
    c. $F(x)=\dfrac{1}{2}x\e^{x^2-3}$ ;
    d. $F(x)=\dfrac{1}{2}\e^{x^2-3}$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_n=\e^{2n+1}$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est :
    a. arithmétique de raison $2$ ;
    b. géométrique de raison $\e$ ;
    c. géométrique de raison $\e^2$ ;
    d. convergente vers $\e$.
    $\quad$

Pour les questions 3. et 4., on considère la suite $\left(u_n\right)$ définie sur $\N$ par :
$\hspace{1cm} u_0 = 15$ et pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = 1,2u_n + 12$.

  1. La fonction Python suivante, dont la ligne 4 est incomplète, doit renvoyer la plus petite valeur de l’entier $n$ telle que $u_n > 10~000$.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def seuil() :}\\
    \quad \text{n=0}\\
    \quad \text{u=15}\\
    \quad \text{while …}\\
    \qquad \text{n=n+1}\\
    \qquad \text{u=1.2*u+12}\\
    \qquad \text{return(n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    À la ligne 4, on complète par :
    a. $\text{u <=10 000}$ ;
    b. $\text{u = 10 000}$ ;
    c. $\text{u > 10 000}$ ;
    d. $\text{n <= 10 000}$.
    $\quad$
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie sur $\N$ par : $v_n=u_n+60$. La suite $\left(v_n\right)$ est :
    a. une suite décroissante ;
    b. une suite géométrique de raison $1,2$ ;
    c. une suite arithmétique de raison $60$ ;
    d. une suite ni géométrique ni arithmétique.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère les points $A(1 ; 0 ;-1)$, $B(3 ;-1 ; 2)$, $C(2 ;-2 ;-1)$ et $D(4 ;-1 ;-2)$.
On note $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\begin{cases} x=0\\y=2+t\\z=-1+t\end{cases}$, avec $t\in \R$.

  1. a. Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan que l’on notera $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    b. Montrer que la droite $(CD)$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$. Sur le plan $\mathcal{P}$, que représente le point $C$ par rapport à $D$ ?
    $\quad$
    c. Montrer qu’une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $2x+y-z-3=0$.
    $\quad$
  2. a. Calculer la distance $CD$.
    $\quad$
    b. Existe-t-il un point $M$ du plan $\mathcal{P}$ différent de $C$ vérifiant $MD=\sqrt{6}$ ? Justifier la réponse.
    $\quad$
  3. a. Montrer que la droite $\Delta$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
    $\quad$
    Soit $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur la droite $\Delta$.
    b. Montrer que $H$ est le point de $\Delta$ associé à la valeur $t =-2$ dans la représentation paramétrique de $\Delta$ donnée ci-dessus.
    $\quad$
    c. En déduire la distance du point $D$ à la droite $\Delta$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     4 points

Les parties A et B sont indépendantes.
Les probabilités demandées seront données à $10^{-3}$ près.

Pour aider à la détection de certaines allergies, on peut procéder à un test sanguin dont le résultat est soit positif, soit négatif.

Dans une population, ce test donne les résultats suivants :

  • Si un individu est allergique, le test est positif dans $97 \%$ des cas ;
  • Si un individu n’est pas allergique, le test est négatif dans $95,7\%$ des cas.

Par ailleurs, $20 \%$ des individus de la population concernée présentent un test positif.

On choisit au hasard un individu dans la population, et on note :

  • $A$ l’événement « l’individu est allergique » ;
  • $T$ l’événement « l’individu présente un test positif ».

On notera $\conj{A}$ et $\conj{T}$ les événements contraires de $A$ et $T$.

On appelle par ailleurs $x$ la probabilité de l’événement $A$ : $x = p(A)$.

$\quad$

Partie A

  1. Reproduire et compléter l’arbre ci-dessous décrivant la situation, en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante.
    $\quad$

    $\quad$
  2. a. Démontrer l’égalité : $p(T)=0,927x+0,043$.
    $\quad$
    b. En déduire la probabilité que l’individu choisi soit allergique.
    $\quad$
  3. Justifier par un calcul l’affirmation suivante :
    « Si le test d’un individu choisi au hasard est positif, il y a plus de $80\%$ de chances que cet individu soit allergique ».
    $\quad$

Partie B :

On réalise une enquête sur les allergies dans une ville en interrogeant $150$ habitants choisis au hasard, et on admet que ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.
On sait que la probabilité qu’un habitant choisi au hasard dans cette ville soit allergique est égale à $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire qui à un échantillon de $150$ habitants choisis au hasard associe le nombre de personnes allergiques dans cet échantillon.

  1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Préciser ses paramètres.
    $\quad$
  2. Déterminer la probabilité que 20 personnes exactement parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
    $\quad$
  3. Déterminer la probabilité qu’au moins $10\%$ des personnes parmi les $150$ interrogées soient allergiques.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     7 points

PARTIE A

On définit sur l’intervalle $]0;+\infty[$ la fonction $g$ par : $g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)$ où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0; +\infty[$ et on note $g’$ sa fonction dérivée.

  1. Montrer que pour $x>0$, le signe de $g'(x)$ est celui du trinôme du second degré $\left(x^2-2x+2\right)$.
    $\quad$
  2. En déduire que la fonction $g$ est strictement croissante sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Montrer que l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur l’intervalle $[0,5 ; 1]$, que l’on notera $\alpha$.
    $\quad$
  4. On donne le tableau de signes de $g$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$ :
    $\quad$

    $\quad$
    Justifier ce tableau de signes à l’aide des résultats obtenus aux questions précédentes.
    $\quad$

PARTIE B
On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]0; +\infty[$ par : $f(x)=\e^x\ln(x)$.
On note $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé.

  1. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0; +\infty[$ , on note $f’$ sa fonction dérivée, $f\dsec$ sa fonction dérivée seconde et on admet que :
    pour tout nombre réel $x > 0,~f'(x)=\e^x\left(\dfrac{1}{x}+\ln(x)\right)$
    Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a : $f\dsec(x)=\e^x\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}+\ln(x)\right)$.
    $\quad$
  2. On pourra remarquer que pour tout réel $x>0$, $f\dsec(x) = \e^x\times g(x)$, où $g$ désigne la fonction étudiée dans la partie A.
    a. Dresser le tableau de signes de la fonction $f\dsec(x)$ sur $]0; +\infty[$. Justifier.
    $\quad$
    b. Justifier que la courbe $C_f$ admet un unique point d’inflexion $A$.
    $\quad$
    c. Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $]0; +\infty[$. Justifier.
    $\quad$
  3. a. Calculer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition.
    $\quad$
    b. Montrer que $f'(x)(\alpha) =\dfrac{\e^{\alpha}}{\alpha^2}(1-\alpha)$. On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $g(\alpha) = 0$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $f'(\alpha)> 0$ et en déduire le signe de $f'(x)$ pour $x$ appartenant à $]0; +\infty[$.
    $\quad$
    d. En déduire le tableau de variations complet de la fonction $f$ sur $]0; +\infty[$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Nouvelle Calédonie – sujet 2 – 29 août 2023

Nouvelle Calédonie – 29 août 2023

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

  1. Les points $F$ et $K$ appartiennent au plan $(EHG)$, ne sont pas confondus et le point $C$ n’appartient pas à ce plan.
    Ainsi $C$, $F$ et $K$ définissent bien un plan.
    $\quad$
  2. a. $K$ est le milieu de $[HG]$ et $HG=1$ donc $KG=0,5$.
    $[GF]$ et $[GC]$ sont des arêtes du cube. Donc $GF=GC=1$.
    $\quad$
    b. Le triangle $FGC$ est rectangle en $G$.
    L’aire du triangle $FGC$ est donc :
    $\begin{align*} A_{FGC}&=\dfrac{GF\times GC}{2} \\
    &=\dfrac{1}{2} \text{u.a.}\end{align*}$
    $\quad$
    c. Le volume du tétraèdre $FGCK$ est
    $\begin{align*} V_{FGCK}&=\dfrac{A_{FGC}\times KG}{3} \\
    &=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}}{3} \\
    &=\dfrac{1}{12} \text{u.v.}\end{align*}$
    $\quad$
  3. a. On a $C(1;1;0)$, $F(0;1;1)$ et $K(1;0,5;1)$.
    Donc $\vect{CF}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{CK}\begin{pmatrix}0\\-0,5\\1\end{pmatrix}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires car ils n’ont pas la même composante nulle (ou car, d’après la question 1, ils définissent un plan).
    $\vec{n}.\vect{CF}=-1+0+1=0$ et $\vec{n}.\vect{CK}=0-1+1=0$.
    $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(CFK)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
    b. Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est donc de la forme $x+2y+z+d=0$.
    $C(1;1;0)$ appartient à ce plan. Par conséquent $1+2+0+d=0\ssi d=-3$.
    Une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est par conséquent $x+2y+z-3=0$.
    $\quad$
  4. La droite $\Delta$ passe par $G(1;1;1)$ et admet comme vecteur directeur le vecteur $\vec{n}$.
    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donc $\begin{cases} x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \quad (t\in \R)$.
    $\quad$
  5. a. On note $L(x;y;z)$.
    Les coordonnées de $L$ sont solution du système
    $\begin{align*} \begin{cases} x+2y+z-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}&\ssi \begin{cases} 1+t+2+4t+1+t-3=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} 6t+1=0\\x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\\
    &\ssi \begin{cases} t=-\dfrac{1}{6}\\[3mm]x=\dfrac{5}{6}\\[3mm]y=\dfrac{2}{3}\\[3mm]\dfrac{5}{6}\end{cases}\end{align*}$
    Ainsi les coordonnées du point $L$ sont $\left(\dfrac{5}{6};\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{6}\right)$.
    $\quad$
    b. On a alors $\vect{LG}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{6}\\[3mm]\dfrac{1}{3}\\[3mm]\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$
    Donc :
    $\begin{align*} LG&=\sqrt{\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}} \\
    &=\sqrt{\dfrac{1}{6}} \\
    &=\dfrac{\sqrt{6}}{6}\end{align*}$
    $\quad$
  6. On a
    $\begin{align*}V_{FGCK}=\dfrac{1}{12}&\ssi \dfrac{A_{CFK}\times LG}{3}=\dfrac{1}{12} \\
    &\ssi A_{CFK}\times \dfrac{\sqrt{6}}{6}=\dfrac{1}{4} \\
    &\ssi A_{CFK}=\dfrac{\sqrt{6}}{4} \text{u.a.}\end{align*}$.
    L’aire du triangle $CFK$ est donc égale à $\dfrac{\sqrt{6}}{4} $ u.a.

Ex 2

Exercice 2

  1. Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=x\e^{-x} \\
    &=x\times \dfrac{1}{\e^x} \\
    &=\dfrac{x}{\e^x}\end{align*}$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est par conséquent une asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. D’après l’énoncé $f$ est dérivable sur $\R_+$.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=\e^{-x}-x\e^{-x} \\
    &=(1-x)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
  3. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $1-x$.
    Or $1-x=0 \ssi x=1$ et $1-x>0\ssi x<1$.
    On obtient alors le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    $\quad$
  4. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0;1]$.
    $f(0)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]0;1[$.
    $\quad$
    La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $[1;+\infty[$.
    $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$ et $f(1)=\e^{-1}\approx 0,3679$. Donc $\dfrac{367}{1~000}\in \left]0;\e^{-1}\right[$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet une unique solution sur $]1;+\infty[$.
    $\quad$
    Finalement, l’équation $f(x)=\dfrac{367}{1~000}$ admet exactement deux solutions sur $[0;+\infty[$.
    $\quad$
  5. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
    Le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend donc que de celui de $x-2$.
    $x-2=0\ssi x=2$ et $x-2>0\ssi x>2$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $[0;2]$ et convexe sur $[2;+\infty[$.
    $\quad$
  6. a. Une équation de la droite $T_a$ est :
    $\begin{align*}y=f'(a)(x-a)+f(a)&\ssi y=(1-a)\e^{-a}(x-a)+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x-a\e^{-a}+a^2\e^{-a}+a\e^{-a} \\
    &\ssi y=(1-a)\e^{-a}x+a^2\e^{-a}\end{align*}$
    $\quad$
    b. L’ordonnée à l’origine de $T_a$  est $a^2\e^{-a}$.
    Donc $g(a)=a^2\e^{-a}$.
    $\quad$
    c. On considère la fonction $g$ définie sur $[0;+\infty[$ par $g(x)=x^2\e^{-x}$.
    La fonction $g$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ en tant que produit de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x\pg 0$ on a
    $\begin{align*} g'(x)&=2x\e^{-x}-x^2\e^{-x} \\
    &=x(2-x)\e^{-x} \\
    &=-xf\dsec(x)\end{align*}$
    Ainsi, sur $[0;+\infty[$ $g'(x)$ et $f\dsec(x)$ sont de signes contraires.
    D’après la question 5., $g(a)$ est maximale quand $x=2$ c’est-à-dire quand $A$ est un point d’inflexion de $\mathcal{C}_f$.
    $\quad$

 

Ex 3

Exercice 3

  1. On a
    $\begin{align*} u_1&=\dfrac{-u_0-4}{u_0+3} \\
    &=-\dfrac{4}{3}\end{align*}$
    $\begin{align*} u_2&=\dfrac{-u_1-4}{u_1+3} \\
    &=-\dfrac{8}{5}\end{align*}$
    $\quad$
  2. On peut écrire $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}
    \quad \text{u = 0} \\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = (-u – 4)/(u + 3)}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Pour tout réel $x>-3$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{-(x+3)-(-x-4)}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{-x-3+x+4}{(x+3)^2} \\
    &=\dfrac{1}{(x+3)^2}\\
    &>0\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Pour tout $n\in \N$ on pose $P(n):~-2<u_{n+1} \pp u_n$.
    Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=-\dfrac{4}{3}$ donc $-2<u_1\pp u_0$ et $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    On a $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$.
    Par conséquent $f(-2)<f\left(u_{n+1}\right)\pp f\left(u_n\right)$
    Donc $-2<u_{n+2}\pp u_{n+1}$ et $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, $-2<u_{n+1}\pp u_n$.
    $\quad$
  5. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par $-2$.
    Elle converge donc.
    $\quad$
  6. a. On a $v_0=\dfrac{1}{2}$.
    $\quad$
    b. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{1}{u_{n+1}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4}{u_n+3}+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{-u_n-4+2u_n+6}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{1}{\dfrac{u_n+2}{u_n+3}}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+3}{u_n+2}-\dfrac{1}{u_n+2} \\
    &=\dfrac{u_n+2}{u_n+2}\\
    &=1\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. Ainsi, pour tout $n\in \N$, on a $v_n=\dfrac{1}{2}+n$.
    Or $v_n=\dfrac{1}{u_n+2}\ssi u_n+2=\dfrac{1}{v_n} \ssi u_n=\dfrac{1}{0,5+n}-2$.
    $\quad$
    d. $\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{1}{n+0,5}=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-2$.
    $\quad$

Ex 4

Exercice 4

  1. On a $P_A(F)=\dfrac{25}{75}$.
    Réponse b
    $\quad$
  2. On a
    $\begin{align*} P(A\cup F)&=\dfrac{75+80}{200} \\
    &=\dfrac{155}{200}  \\
    &=\dfrac{31}{40}\end{align*}$
    Réponse c
    $\quad$
  3. On appelle $B$ l’événement “le bus est en panne” et $T$ l’événement ‘le train est en panne”.
    On veut calculer :
    $\begin{align*}p_1&=P(B\cup T)\\
    &=P(B)+P(T)-P(B\cap T)\\
    &=b+t-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=b+t-bt\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$
  4. Albert peut se rendre à son travail si le train et le bus ne sont pas en panne. Donc
    $\begin{align*} p_2&=P\left(\conj{B\cap T}\right) \\
    &=1-P(B\cap T) \\
    &=1-P(B)P(T) \qquad \text{(indépendance)}\\
    &=1-bt\end{align*}$
    Réponse b
    $\quad$
  5. On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de FACE.
    On effectue $n$ expériences identiques de Bernoulli de paramètre $x$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $x$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} P(X\pg 1)&=1-P(X=0) \\
    &=1-(1-x)^n\end{align*}$
    Réponse d
    $\quad$

Énoncé

La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

Exercice 1     5 points

On considère le cube $ABCDEFGH$ d’arête $1$ représenté ci-dessous.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.
On se place dans le repère orthonormé $\left(A;\vect{AD},\vect{AB},\vect{AE}\right)$.

  1. Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.
    $\quad$
  2. a. Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$.
    $\quad$
    b. Calculer l’aire du triangle $FGC$.
    $\quad$
    c. Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.
    On rappelle que le volume $V$ d’un tétraèdre est donné par :
    $$V=\dfrac{1}{3}\mathcal{B}\times h$$
    où $\mathcal{B}$ est l’aire d’une base et $h$ la hauteur correspondante.
    $\quad$
  3. a. On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$.
    Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.
    $\quad$
    b. En déduire qu’une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est :
    $$x +2y + z-3 = 0$$
    $\quad$
  4. On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$.
    Démontrer qu’une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est :
    $$\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+t\end{cases}\quad (t\in \R)$$
    $\quad$
  5. Soit $L$ le point d’intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.
    a. Déterminer les coordonnées du point $L$.
    $\quad$
    b. En déduire que $LG = \dfrac{\sqrt{6}}{6}$.
    $\quad$
  6. En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l’aire du triangle $CFK$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2     5 points

On considère la fonction $f$ , définie sur $[0 ;+\infty[$ par : $$f(x) = x\e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
On note $f’$ sa dérivée et $f\dsec$ sa dérivée seconde.

  1. En remarquant que pour tout x dans $[0 ;+\infty[$, on a $f(x) =\dfrac{x}{\e^x}$ , démontrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ possède une asymptote en $+\infty$ dont on donnera une équation.
    $\quad$
  2. Démontrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f'(x) = (1-x)\e^{-x}$$
    $\quad$
  3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[0 ;+\infty[$, sur lequel on fera figurer les valeurs aux bornes ainsi que la valeur exacte de l’extremum.
    $\quad$
  4. Déterminer, sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$, le nombre de solutions de l’équation : $$f(x) = \dfrac{367}{1~000}$$
    $\quad$
  5. On admet que pour tout $x$ appartenant à $[0 ;+\infty[$ : $$f\dsec(x) = \e^{-x}(x-2)$$
    Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0 ;+\infty[$.
    $\quad$
  6. Soit $a$ un réel appartenant à $[0 ;+\infty[$ et $A$ le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d’abscisse $a$.
    On note $T_a$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ en $A$.
    On note $H_a$ le point d’intersection de la droite $T_a$ et de l’axe des ordonnées.
    On note $g(a)$ l’ordonnée de $H_a$.
    La situation est représentée sur la figure ci-dessous.
    $\quad$

    $\quad$
    a. Démontrer qu’une équation réduite de la tangente $T_a$ est :
    $$y=\left((1-a)\e^{-a}\right).x+a^2\e^{-a}$$
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $g(a)$.
    $\quad$
    c. Démontrer que $g(a)$ est maximum lorsque $A$ est un point d’inflexion de la courbe $C_f$.
    Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1} =\dfrac{-u_n-4}{u_n +3}$$
On admet que $u_n$ est défini pour tout entier naturel $n$.

  1. Calculer les valeurs exactes de $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
  2. On considère la fonction terme ci-dessous écrite de manière  incomplète en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def terme(n):}\\
    \quad \text{u = …}\\
    \quad \text{for i in range(n):}\\
    \qquad \text{u = …}\\
    \quad \text{return(u)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    On rappelle qu’en langage Python, « $\text{i in range(n)}$ » signifie que $\text{i}$ varie de $\text{0}$ à $\text{n-1}$.
    Recopier et compléter le cadre ci-dessus de sorte que, pour tout entier naturel $n$, l’instruction $\text{terme(n)}$ renvoie la valeur de $u_n$.
    $\quad$
  3. Soit la fonction $f$ définie sur $]-3 ;+\infty[$ par : $$f(x) = \dfrac{-x-4}{x+3}$$
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
    Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-3 ;+\infty[$.
    $\quad$
  4. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ :
    $$−2 < u_{n+1} \pp u_n$$
    $\quad$
  5. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
    $\quad$
  6. Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $$vn = \dfrac{1}{u_n+2}$$
    a. Donner $v_0$.
    $\quad$
    b. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $1$.
    $\quad$
    c. En déduire que pour tout entier naturel $n$ : $$u_n =\dfrac{1}{n+0,5}-2$$
    $\quad$
    d. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4     5 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n’enlève de point.

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 1. et 2.

Les $200$ adhérents d’un club sont des filles ou des garçons. Ces adhérents pratiquent l’aviron ou le basket selon la répartition figurant dans le tableau ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
&\text{Aviron}&\text{Basket}&\text{Total}\\
\hline
\text{Filles}& 25& 80& 105\\
\hline
\text{Garçon}& 50&45&95\\
\hline
\text{Total}& 75& 125& 200\\
\hline
\end{array}$$
On choisit un adhérent au hasard et on considère les évènements suivants :
$F$ : l’adhérent est une fille.  $\qquad A$ : l’adhérent pratique l’aviron.

  1. La probabilité de $F$ sachant $A$ est égale à :
    a. $\dfrac{25}{100_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{25}{75_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{25}{105_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{75}{105_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
  2. La probabilité de l’événement $A\cup F$ est égale à :
    a. $\dfrac{9}{10_{\phantom{1}}}$
    b. $\dfrac{1}{8_{\phantom{1}}}$
    c. $\dfrac{31}{40_{\phantom{1}}}$
    d. $\dfrac{5}{36_{\phantom{1}}}$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

L’énoncé ci-dessous est commun aux questions 3. et 4.

Pour se rendre à son travail, Albert peut utiliser au choix le bus ou le train.

La probabilité que le bus soit en panne est égale à $b$.
La probabilité que le train soit en panne est égale à $t$.
Les pannes de bus et de train surviennent de façon indépendante.

  1. La probabilité $p_1$, que le bus ou le train soient en panne est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
  2. La probabilité p2 que Albert puisse se rendre à son travail est égale à :
    a. $p_1 = bt$
    b. $p_1 = 1-bt$
    c. $p_1 = b+t$
    d. $p_1 = b + t-bt$
    $\quad$
    $$\begin{array}{c} \ast\\[-1cm]\ast\ast\end{array}$$

 

  1. On considère une pièce de monnaie pour laquelle la probabilité d’obtenir FACE est égale à $x$. On lance la pièce $n$ fois. Les lancers sont indépendants.
    La probabilité $p$ d’obtenir au moins une fois FACE sur les $n$ lancers est égale à :
    a. $p = x^n$
    b. $p = (1- x)^n$
    c. $p = 1-x^n$
    d. $p = 1-(1-x)^n$
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Polynésie – sujet 1 – 13 mars 2023

Polynésie – 13 mars 2023

Spécialité maths – Sujet 1 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Partie A

  1. On veut calculer:
    $\begin{align*} p(J\cap T)&=p(J)p_J(T) \\
    &=0,21\times (1-0,68)\\
    &=0,067~2\end{align*}$
    La probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels est égale à $0,067~2$.
    $\quad$
  2. $\left(J,\conj{J}\right)$ forme un système complet d’événements fini. D’après la formule des probabilités totales :
    $\begin{align*} p(T)&=p(J\cap T)+p\left(\conj{J}\cap T\right) \\
    &=0,067~2+p\left(\conj{J}\right)p_{\conj{J}}(T) \\
    &=0,067~2+(1-0,21)\times 0,2 \\
    &=0,225~2\end{align*}$
    $\quad$
  3. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(J)&=\dfrac{p(T\cap J)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,067~2}{0,225~2} \\
    &\approx 0,298\end{align*}$
    La probabilité que l’habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels ait moins de $35$ ans est environ égale à $0,30$.
    $\quad$

Partie B

  1. On répète de façon indépendante $120$ fois la même expérience de Bernoulli de paramètre $0,3$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=120$ et $p=0,3$.
    $\quad$
  2. On veut calculer $p(X\pg 50)= 1- p(X\pp 49) \approx 0,004$.
    La probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans est environ égale à $0,004$.
    $\quad$

 

Ex 2

Exercice 2

  1. a. $\vec{v}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$.
    $\quad$
    b. $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires car aucune des composantes de $\vec{u}$ n’est nulle alors que la troisième de $\vec{v}$ l’est.
    Par conséquent $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Une représentation paramétrique de la droite $d_1$ est $\begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases} \quad \forall t\in \R$.
    Résolvons le système :
    $\begin{align*} &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\2+t=2k-3\\3-t=k\\t=5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\7=2k-3\\k=-2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\t=5\\k=5\\k=-2\end{cases} \end{align*}$
    Les deux dernières lignes du système ne sont pas compatibles.
    Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont donc pas sécantes.
    $\quad$
    d. Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont ni sécantes, ni parallèles. Elles sont par conséquent non coplanaires.
    $\quad$
  2. a. D’une part $\vec{w}.\vec{u}=-1-2+3=0$
    D’autre part $\vec{w}.\vec{v}=-2+2+0=0$
    Le vecteur $\vec{w}$ est donc orthogonal aux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
    $\quad$
    b. Soit $M'(3;3;5)$.
    $5\times 3+4\times 3-5-22=15+12-5-22=0$. $M’$ appartient au plan $P$.
    Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
    On obtient $x=6-3=3$, $y=3$ et $z=5$. $M’$ appartient à $d_2$.
    Les droite $d_1$ et $d_2$ ne sont pas coplanaires. Par conséquent la droite $d_2$ n’est pas incluse dans le plan $P$.
    Ainsi l’intersection de la droite $d_2$ et du plan $P$ est le point $M(3;3;5)$.
    $\quad$
  3. a. Un vecteur directeur de $\Delta$ est $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$.
    D’après la question 2.a., les droites $\Delta$ et $d_1$ sont orthogonales.
    Montrons qu’elles sont sécantes.
    $\begin{align*} \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\x=2+t\\y=3-t\\z=t\end{cases}&\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\-r+3=2+t\\2r+3=3-t\\3r+5=t\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-r+3=2+3r+5\\2r+3=3-3r-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\t=3r+5\\-4r=4\\5r=-5\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\\r=-1\\t=2\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} r=-1\\t=2\\x=4\\y=1\\z=2\end{cases}\end{align*}$.
    Les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en $L(4;1;2)$.
    $\quad$
    b. La droite $\Delta$ est orthogonale à la droite $d_2$ d’après la question 2.a.
    Prenons $k=3$ dans la représentation paramétrique de $d_2$.
    On obtient $x=3$, $y=3$ et $z=5$. Le point de coordonnées $(3;3;5)$ appartient donc à la fois à la droite $d_2$ et, par construction, à la droite $\Delta$.
    Ainsi $\Delta$ et $d_2$ sont perpendiculaires au point de coordonnées $(3;3;5)$.
    $\quad$
    La droite $\Delta$ est donc perpendiculaires au deux droites $d_1$ et $d_2$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. La fonction $f$ est dérivable deux fois sur $\R$ en tant que somme de fonctions deux fois dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $f'(x)=\e^x-1$ et $f\dsec(x)=\e^x>0$.
    La fonction $f$ est convexe sur $\R$.
    Affirmation 1 vraie
    $\quad$
  2. Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, un de ses facteurs au moins est nul.
    $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0 \ssi 2\e^x-6=0$ ou $\e^x+2=0$.
    $2\e^x-6=0 \ssi 2\e^x=6\ssi \e^x=3\ssi x=\ln(3)$.
    La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$ donc $\e^x+2>2>0$.
    Ainsi l’équation $\left(2\e^x-6\right)\left(\e^x+2\right)=0$ possède une unique solution dans $\R$ qui est $\ln(3)$.
    Affirmation 2 vraie
    $\quad$
  3. Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}&=\dfrac{\e^{2x}\left(1-\e^{-2x}\right)}{\e^x\left(1-x\e^{-x}\right)} \\
    &=\e^x\times \dfrac{1-\e^{-2x}}{1-x\e^{-x}}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-2x}=0$, $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^x=+\infty$ et par croissances comparées $\lim\limits_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$.
    Donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=+\infty$.
    Affirmation 3 fausse
    $\quad$
  4. La fonction $F$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme et produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a :
    $\begin{align*} F'(x)&=2\e^{3x}+3(2x+1)\e^{3x} \\
    &=(2+6x+3)\e^{3x} \\
    &=(6x+5)\e^{3x} \\
    &=f(x)\end{align*}$
    $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$.
    $F(0)=1+4=5$.
    Affirmation 4 vraie
    $\quad$
  5. La fonction $\texttt{mystere}$ renvoie la moyenne des valeurs contenues dans la liste.
    La moyenne ici est égale à :
    $\dfrac{1+9+9+5+0+3+6+12+0+5}{10}=5$.
    Affirmation 5 fausse
    $\quad$

 

Ex 4

Exercice 4

  1. a. Pour tout $n\in \N$ on note $P(n):~u_n=2\times 0,9^n-3$.
    Initialisation : $u_0=-1$ et $2\times 0,9^0-3=-1$.
    Donc $P(0)$ est vraie.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n\in \N$. On suppose $P(n)$ vraie.
    $\begin{align*} u_{n+1}&=0,9u_n-0,3\\
    &=0,9\left(2\times 0,9^n-3\right)-0,3 \\
    &=2\times 0,9^{n+1}-2,7-0,3\\
    &=2\times 0,9^{n+1}-0,3\end{align*}$
    $P(n+1)$ est vraie.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Par conséquent, pour tout $n\in \N$, on a $u_n=2\times 0,9^n-3$.
    $\quad$
    b. Pour tout $n\in \N$ on a $u_n=-3+2\times 0,9^n>-3$ (on ajoute un nombre positif à $-3$).
    $\begin{align*}u_n+1&=2\times 0,9^n-2 \\
    &=2\left(0,9^n-1\right) \\
    &<0\end{align*}$
    Donc $-3<u_n\pp -1$.
    $\quad$
    c. Soit $n\in \N$.
    $\begin{align*} u_{n+1}-u_n&=2\times 0,9^{n+1}-3-2\times 0,9^n+3\\
    &=2\times 0,9^n(0,9-1) \\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
    d. $0<0,9<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,9^n=0$.
    Par conséquent $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=-3$.
    La suite $\left(u_n\right)$ converge vers $-3$.
    $\quad$
  2. a. La fonction $g$ est dérivable sur $]-3;-1]$ en tant que somme et composée de fonctions dérivables.
    Pour tout $x\in ]-3;-1]$
    $\begin{align*} g'(x)&=\dfrac{0,5}{0,5x+1,5}-1 \\
    &=\dfrac{0,5-0,5x-1,5}{0,5x+1,5} \\
    &=\dfrac{-0,5x-1}{0,5x+1,5} \\
    &=-\dfrac{0,5x+1}{0,5x+1,5}\end{align*}$
    Sur $]-3;-1]$ on a $0,5x+1,5>0$.
    $0,5x+1=0 \ssi 0,5x=-1 \ssi x=-2$
    $-(0,5x+1)>0 \ssi 0,5x+1<0 \ssi x<-2$
    La fonction $g$ est donc strictement croissante sur $]-3;-2]$ et strictement décroissante sur $[-2;-1]$.
    $g(-1)=0-(-1)=1$.
    $\lim\limits_{x\to -3^+} 0,5x+1,5=0^+$ et $\lim\limits_{X\to 0^+} \ln(X)=-\infty$.
    Donc $\lim\limits_{x\to -3^+} \ln(0,5x+1,5)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
    $\quad$
    b. $g(-2)=\ln(0,5)+2 \approx 1,3$.
    La fonction $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $]-3;-2]$.
    $g(-2)>0$ et $\lim\limits_{x\to -3^+} g(x)=-\infty$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-2]$.
    Pour tout $x\in ]-2;-1]$ on a $g(x)\pg -1$ car la fonction $g$ est décroissante sur cette intervalle et $g(-1)=1$.
    L’équation $g(x)=0$ n’admet donc pas de solution sur cet intervalle.
    Finalement l’équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $]-3;-1]$.
    D’après la calculatrice $\alpha\approx -2,8887$. Par conséquent $-2,889<\alpha <-2,888$.
    $\quad$
  3. a. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\ln\left(0,5u_{n+1}+1,5\right) -\ln\left(0,5u_{n}+1,5\right)\\
    &=\ln\left(0,9^{n+1}-1,5+1,5\right)-\ln\left(0,9^{n}-1,5+1,5\right) \\
    &=\ln\left(0,9^{n+1}\right)-\ln\left(0,9^{n}\right)\\
    &=(n+1)\ln(0,9)-n\ln(0,9)\\
    &=\ln(0,9)\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
    $\quad$
    b.
    $\begin{align*} u_n=v_n&\ssi u_n=\ln\left(0,5u_n+1,5\right) \\
    &\ssi \ln\left(0,5u_n+1,5\right) -u_n=0 \\
    &\ssi g\left(u_n\right)=0\end{align*}$
    $\quad$
    c. $v$ est une suite arithmétique de premier terme $0$ et de raison $\ln(0,9)$.
    Donc pour tout $n\in \N$, $v_n=n\ln(0,9)$.
    $u_n=v_n\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi g\left(v_n\right)=0 \ssi v_n=\alpha$.
    Par conséquent $n\ln(0,9)=\alpha \ssi n=\dfrac{\alpha}{\ln(0,9)}$
    Or $-2,889<\alpha <-2,888$ donc $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)}<n<\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)}$
    Mais $\dfrac{-2,889}{\ln(0,9)} \approx 27,42$ et $\dfrac{-2,888}{\ln(0,9)} \approx 27,41$.
    Il n’existe aucun entier naturel entre ces deux nombres.
    Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k=\alpha$.
    $\quad$
    d. Or $u_n=\alpha\ssi g\left(u_n\right)=0\ssi u_n=v_n$.
    Il n’existe donc aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k=u_k$.
    $\quad$

Énoncé

Exercice 1      4 points

Thème : probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les utilisateurs de vélo d’une ville sont classés en deux catégories disjointes :

  • ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
  • ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.

Un sondage donne les résultats suivants :

  • $21 \%$ des utilisateurs ont moins de 35 ans. Parmi eux, $68 \%$ utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l’utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
  • parmi les 35 ans ou plus, seuls $20 \%$ utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l’utilisent uniquement pour leurs loisirs.

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.
Dans tout l’exercice on considère les événements suivants :

  • $J$ : « la personne interrogée a moins de 35 ans » ;
  • $T$ : « la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels » ;
  • $\conj{J}$ et $\conj{T}$ sont les événements contraires de $J$ et $T$.

Partie A

  1. Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de 35 ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. On pourra s’appuyer sur un arbre pondéré.
    $\quad$
  2.  Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
    $\quad$
  3. On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels. Démontrer que la probabilité qu’il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
    $\quad$

Partie B

Dans cette partie, on s’intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels. On admet que $30 \%$ d’entre elles ont moins de 35 ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de 120 personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

$X$ représente le nombre de personnes de l’échantillon ayant moins de 35 ans.

Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

  1. Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
    $\quad$
  2. Calculer la probabilité qu’au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de 35 ans.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 2      5 points

Thème : géométrie dans l’espace

L’espace est muni d’un repère orthonormé $\Oijk$.

On considère :

  • $d_1$ la droite passant par le point $H(2; 3; 0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix} 1\\-1\\1\end{pmatrix}$;
  • $d_2$ la droite de représentation paramétrique :$$\begin{cases} x=2k-3\\y=k\\z=5\end{cases} \qquad \text{où $k$ décrit $\R$}$$

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d’une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

  1. a. Déterminer un vecteur directeur $\vec{v}$ de la droite $d_2$.
    $\quad$
    b. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.
    $\quad$
    c. Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$
    d. Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
    $\quad$
  2. a. Vérifier que le vecteur $\vec{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
    $\quad$
    b. On considère le plan $P$ passant par le point $H$ et dirigé par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$.
    On admet qu’une équation cartésienne de ce plan est :
    $$5x+4y-z-22 = 0.$$
    Démontrer que l’intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point $M(3; 3; 5)$.
    $\quad$
  3. Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vec{w}$ passant par le point $M$. Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par :
    $$\begin{cases} x=-r+3\\y=2r+3\\z=3r+5\end{cases} \qquad \text{où $r$ décrit $\R$}$$
    a. Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires en un point $L$ dont on déterminera les coordonnées.
    $\quad$
    b. Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3      5 points

Thème : fonction exponentielle, algorithmique

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

  1. Affirmation : La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\e^x-x$ est convexe.
    $\quad$
  2. Affirmation : L’équation $\left(2e^x-6\right)\left(\e^x + 2\right) = 0$ admet $\ln(3)$ comme unique solution dans $\R$.
    $\quad$
  3. Affirmation : $$\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^{2x}-1}{\e^x-x}=0$$
    $\quad$
  4. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=(6x+5)\e^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par : $F(x) = (2x + 1)\e^{3x}+4$.
    Affirmation : $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur $5$ quand $x = 0$.
    $\quad$
  5. On considère la fonction $\texttt{mystere}$ définie ci-dessous qui prend une liste $\texttt{L}$ de nombres en paramètre.
    On rappelle que $\texttt{len(L)}$ représente la longueur de la liste $\texttt{L}$.
    $$\begin{array}{|lll|}
    \hline
    \\
    \phantom{1234}&\texttt{def mystere(L) :}&\phantom{1234} \\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{S = 0}& \\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{for i in range(len(L)) :}&\\
    &\hspace{1.6cm} \texttt{S = S + L[i]}&\\
    &\hspace{0.8cm} \texttt{return S / len(L)}&\\
    \\
    \hline
    \end{array}$$
    Affirmation : L’exécution de $\texttt{mystere([1,9,9,5,0,3,6,12,0,5]) }$ renvoie $\texttt{50}$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 4      6 points

Thème : suites, fonctions

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $$u_{n+1}=0,9u_n-0,3$$

  1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout $n\in \N, u_n = 2 \times 0,9^n-3$.
    $\quad$
    b. En déduire que pour tout $n\in \N$, $-3 < u_n \pp -1$.
    $\quad$
    c. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.
    $\quad$
    d. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
    $\quad$
  2. On se propose d’étudier la fonction $g$ définie sur $]-3 ; -1]$ par :
    $$g(x) = \ln(0,5x + 1,5)-x$$.
    a. Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$).
    $\quad$

    $\quad$
    b. En déduire que l’équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l’on
    notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d’amplitude $10^-3$.
    $\quad$
  3. Dans la suite de l’exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $n\in\N$, par : $$v_n = \ln\left(0,5u_n + 1,5\right).$$
    a. En utilisant la formule donnée à la question 1. a., démontrer que $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $\ln(0,9)$.
    $\quad$
    b. Soit $n$ un entier naturel.
    Démontrer que $u_n=v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right)=0$.
    $\quad$
    c. Démontrer qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
    $\quad$
    d. En déduire qu’il n’existe aucun rang $k\in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
    $\quad$

$\quad$

 

Bac – Spécialité mathématiques – Métropole – sujet 2 – juin 2021

Métropole – juin 2021

Spécialité maths – Sujet 2 – Correction

L’énoncé de ce sujet de bac est disponible ici.

Ex 1

Exercice 1

Question 1 :  Si $t=5$ alors $\begin{cases} x=-4+3\times 5\\y=6-3\times 5\\z=8-6\times 5\end{cases} \ssi \begin{cases} x=11\\y=-9\\z=-22\end{cases}$
Réponse b
$\quad$

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}’$ est $\vec{u}\begin{pmatrix} 3\\-3\\-6\end{pmatrix}$.
Réponse c
$\quad$

Question 3 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ est $\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\4\end{pmatrix}$.
On constate que $\vect{AB}=-\dfrac{3}{2}\vect{u_3}$.
Les deux droites sont donc parallèles.
En prenant $t=2$ on constate que le point $B$ appartient à la droite $\mathcal{D}’$.
Les deux droites sont donc confondues.
Réponse d
$\quad$

Question 4 : Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\m\\-2\end{pmatrix}$
La droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$
$\ssi$ $\vec{n}$ et $\vect{AB}$ sont orthogonaux
$\ssi \vec{n}.\vect{AB}=0$\\
$\ssi -2+2m-8=0$
$\ssi 2m=10$
$\ssi m=5$
Réponse c
$\quad$

Ex 2

Exercice 2

  1. a. On obtient l’arbre pondéré suivant :
    $\quad$$\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(M\cap T)&=p(M)\times p_M(T)\\
    &=0,4\times 0,9\\
    &=0,36\end{align*}$
    La probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif est égal à $0,36$.
    $\quad$
    c. $\left(M,\conj{M}\right)$ forme un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*}
    p(T)&=p(M)\times p_M(T)+p\left(\conj{M}\right)\times p_{\conj{M}}(T)\\
    &=0,36+0,6\times 0,15\\
    &=0,45\end{align*}$
    La probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
    $\quad$
    d. On veut calculer :
    $\begin{align*} p_T(M)&=\dfrac{p(T\cap M)}{p(T)} \\
    &=\dfrac{0,36}{0,45} \\
    &=0,8\end{align*}$
    La probabilité que le chat soit porteur de la maladie sachant que le test est positif est égale à $0,8$.
    $\quad$
  2. a. On effectue $20$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    $X$ suit donc la loi binomiale de paramètre $n=20$ et $p=0,45$.
    $\quad$
    b. On veut calculer :
    $\begin{align*} p(X=5)&=\dbinom{20}{5}0,45^5\times 0,55^{15} \\
    &\approx 0,036\end{align*}$
    La probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif est environ égale à $0,036$.
    $\quad$
    c. On veut calculer $p(X\pp 8) \approx 0,414$ d’après la calculatrice.
    La probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif est environ égale à $0,414$.
    $\quad$
    d. $E(X)=np=9$.
    En moyenne, $9$ chats présentent un test positif dans un échantillon de $20$ chats.
    $\quad$
  3. a. On effectue $n$ tirages aléatoires, identiques et indépendants. À chaque tirage il n’y a que deux issues : $T$ et $\conj{T}$.
    La variable $Y$ donnant le nombre de chats présentant un test positif suit donc la loi binomiale de paramètre $n$ et $p=0,45$.
    Ainsi :
    $\begin{align*} p_n&=p(Y\pg 1) \\
    &=1-p(Y=0)\\
    &=1-0,55^n\end{align*}$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie le plus petit entier naturel $n$ tel que $p_n\pg 0,99$.
    $\quad$
    c.
    $\begin{align*}
    p_n\pg 0,99 &\ssi 1-0,55^n \pg 0,99 \\
    &\ssi -0,55^n \pg -0,01 \\
    &\ssi 0,55^n \pp 0,01 \\
    &\ssi n\ln(0,55) \pp \ln(0,01) \\
    &\ssi n\pg \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,55)}\end{align*}$
    Or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,55)}\approx7,7$
    Le programme renverra donc la valeur $8$.
    $\quad$

Ex 3

Exercice 3

  1. Il semblerait que $\dfrac{4}{u_n}=n+4$.
    $\quad$
  2. Initialisation : On a $u_0=1>0$.
    La propriété est donc vraie au rang $0$.
    $\quad$
    Hérédité : Soit $n$ un entier naturel. On suppose la propriété vraie au rang $n$.
    Ainsi $4u_n >0$ et $u_n+4>4>0$.
    Par conséquent $u_{n+1}>0$ en tant que quotient de nombres strictement positifs.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    $\quad$
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
    Pour tout $n\in \N$, on a $u_n >0$.
    $\quad$
  3. Pour tout $n\in \N$.
    $\begin{align*}
    u_{n+1}-u_n&=\dfrac{4u_n}{u_n+4}-u_n\\
    &=\dfrac{4u_n-\left(u_n^2+4u_n\right)}{u_n+4}\\
    &=\dfrac{-u_n^2}{u_n+4}\\
    &<0\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $\quad$
  4. La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante et minorée par $0$. Elle est par conséquent convergente.
    $\quad$
  5. Soit $n\in \N$
    $\begin{align*} v_{n+1}-v_n&=\dfrac{4}{~~\dfrac{4u_n}{u_n+4}~~}-\dfrac{4}{u_n} \\
    &=\dfrac{4\left(u_n+4\right)}{4u_n}-\dfrac{4}{u_n}\\
    &=\dfrac{u_n+4}{u_n}-\dfrac{4}{u_n}\\
    &=\dfrac{u_n}{u_n}\\
    &=1\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $1$ et de premier terme $v_0=4$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=4+n$.
    $\quad$
  6. Pour tout entier naturel $n$ on a donc
    $\begin{align*} v_n=\dfrac{4}{u_n}&\ssi 4+n=\dfrac{4}{u_n} \\
    &\ssi u_n=\dfrac{4}{4+n}\end{align*}$
    Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 4+n=0$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n=0$.
    $\quad$

 

 

Ex A

Exercice A

Partie I

  1. Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=1$.
    $\lim\limits_{x\to 0^+} \ln(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} x^2=0^+$ donc $\lim\limits_{x\to 0^+} \dfrac{\ln(x)}{x^2}=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$
    $\quad$
  2. Pour tout réel $x>0$ on a
    $\begin{align*} h'(x)&=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x^2-2x\ln(x)}{x^4} \\
    &=\dfrac{x-2x\ln(x)}{x^4} \\
    &=\dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Le signe de $h'(x)$ sur $]0;+\infty[$ ne dépend donc que de celui de $1-2\ln(x)$.
    Or $1-2\ln(x)=0 \ssi \ln(x)=\dfrac{1}{2} \ssi x=\e^{1/2}$
    Et $1-2\ln(x)>0 \ssi -2\ln(x)>-1\ssi \ln(x)<\dfrac{1}{2} \ssi x<\e^{1/2}$
    Ainsi $h'(x) >0$ sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$ et $h'(x)<0$ sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    La fonction $h$ est donc strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$ et strictement décroissante sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
  4. La fonction $h$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$.
    De plus $\lim\limits_{x\to 0^+} h(x)=-\infty$ et $h\left(\e^{1/2}\right)=1+\dfrac{1}{2\e}>0$
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $h(x)=0$ possède une solution sur l’intervalle $\left]0;\e^{1/2}\right[$.
    $\quad$
    La fonction $h$ est strictement décroissante sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)=0$.
    Par conséquent $h(x)>0$ sur $\left]\e^{1/2};+\infty\right[$.
    $\quad$
    Ainsi l’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ solution sur $]0;+\infty[$.
    $\quad$
    $h\left(\dfrac{1}{2}\right) \approx -1,8<0$ et $h(1)=1>0$
    Par conséquent $h\left(\dfrac{1}{2}\right)<h(\alpha)<h(1)$.
    La fonction $h$ est strictement croissante sur $\left]0;\e^{1/2}\right[$. Donc $\dfrac{1}{2} <\alpha <1$.
    $\quad$
  5. D’après les question 3. et 4. :
    $\bullet$ $h(x)<0$ sur $]0;\alpha[$;
    $\bullet$ $h(\alpha)=0$;
    $\bullet$ $h(x)>0$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Partie II

  1. Pour tout $x>0$ on a
    $\begin{align*} f_1(x)-f_2(x)&=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-\left(x-2-\dfrac{2\ln(x)}{x^2} \right)\\
    &=x-1-\dfrac{\ln(x)}{x^2}-x+2+\dfrac{2\ln(x)}{x^2} \\
    &=1+\dfrac{\ln(x)}{x^2}\\
    &=h(x)\end{align*}$
    $\quad$
  2. L’équation $h(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur $]0;+\infty[$.
    Les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ n’ont donc qu’un seul point d’intersection d’abscisse $\alpha$
    $h(\alpha)=0 \ssi \dfrac{\ln(\alpha}{\alpha^2}=-1$
    Ainsi $f_1(\alpha)=\alpha-1-\dfrac{\ln(\alpha}{\alpha^2}=\alpha$.
    Le point d’intersection des courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ a donc pour coordonnées $(\alpha;\alpha)$.
    D’après la question I.5., $\mathcal{C}_1$ est au-dessous de $\mathcal{C}_2$ sur $]0;+\alpha[$ et au-dessus de $\mathcal{C}_2$ sur $]\alpha;+\infty[$.
    $\quad$

Ex B

Partie I

  1. La fonction $f’$ semble strictement positive sur $]-\infty;-1[$ et strictement négative sur $]-1;+\infty[$
    La fonction $f$ semble donc strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ et strictement décroissante sur $[-1;+\infty[$.
    $\quad$
  2. La fonction $f’$semble changer de sens de variation en $0$. Elle semble décroissante sur $]-\infty;0]$ et croissante sur $[0;+\infty[$.
    La fonction $f$ semble donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$
    $\quad$

Partie II

  1. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f(x)&=(x+2)\e^{-x} \\
    &=x\e^{-x}+2\e^{-x} \\
    &=\dfrac{x}{\e^x}+2\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    Par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
    De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} \e^{-x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=0$.
    La droite d’équation $y=0$ est donc asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f'(x)&=1\times \e^{-x}+(x+2)\times \left(-\e^{-x}\right) \\
    &=(1-x-2)\e^{-x} \\
    &=(-x-1)\e^{-x}\end{align*}$
    $\quad$
    b. La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $-x-1$.
    Or $-x-1=0 \ssi x=-1$ et $-x-1>0 \ssi -x>1 \ssi x<-1$.
    On obtient ainsi le tableau de variations suivant :
    $\quad$
    c. La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[-2;-1]$.
    De plus $f(-2) = 0<2$ et $f(-1)=\e>2$.
    D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires), l’équation $f(x)=2$ possède une unique solution $\alpha$.
    D’après la calculatrice $\alpha \approx -1,6$.
    $\quad$
  3. $f’$ est dérivable sur $\R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\R$.
    Pour tout réel $x$ on a
    $\begin{align*} f\dsec(x)&=-\e^{-x}-(-x-1)\e^{-x} \\
    &=(-1+x+1)\e^{-x} \\
    &=x\e^{-x}\end{align*}$
    La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\R$, le signe de $f\dsec(x)$ ne dépend que de celui de $x$.
    Ainsi :
    $\bullet$ $f\dsec(x)<0$ sur $]-\infty;0[$;
    $\bullet$ $f\dsec(0)=0$;
    $\bullet$ $f\dsec(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
    La fonction $f$ est donc concave sur $]-\infty;0]$ et convexe sur $[0;+\infty[$.
    Le point $A$, d’abscisse $0$, est un point d’inflexion pour la courbe $\mathcal{C}$.
    $\quad$

 

Énoncé

Exercice 1     4 points

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.

L’espace est rapporté à un repère orthonormé $\Oijk$.
On considère :

  • La droite $\mathcal{D}$ passant par les points $A(1 ; 1 ;-2)$ et $B(-1 ; 3 ; 2)$.
  • La droite $\mathcal{D}’$ de représentation paramétrique : $\left\{\begin{array}{l}x=-4+3 t \\ y=6-3 t \\ z=8-6 t\end{array}\right. \quad \text { avec } t \in \R $.
  • Le plan $\mathcal{P}$ d’équation cartésienne $x+m y-2 z+8=0$ où $m$ est un nombre réel.

Question 1 : Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\mathcal{D}’$ ?
a. $M_{1}(-1 ; 3 ;-2)$
b. $M_{2}(11 ;-9 ;-22)$
c. $M_{3}(-7 ; 9 ; 2)$
d. $M_{4}(-2 ; 3 ; 4)$
$\quad$

Question 2 : Un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}’$ est:
a. $\vect{u_{1}}\begin{pmatrix}-4 \\ 6 \\ 8\end{pmatrix}$
b. $\vect{u_{2}}\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ 6\end{pmatrix}$
c. $\vect{u_{3}}\begin{pmatrix}3 \\ -3 \\ -6\end{pmatrix}$
d. $\vect{u_{4}}\begin{pmatrix}-1 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix}$
$\quad$

Question 3 : Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}’$ sont:
a. sécantes
b. strictement parallèles
c. non coplanaires
d. confondues
$\quad$

Question 4 : La valeur du réel $m$ pour laquelle la droite $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{P}$ est:
a. $m=-1$
b. $m=1$
c. $m=5$
d. $m=-2$
$\quad$

$\quad$

Exercice 2 6 points

Dans cet exercice, les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.
La leucose féline est une maladie touchant les chats; elle est provoquée par un virus. Dans un grand centre vétérinaire, on estime à $40 \%$ la proportion de chats porteurs de la maladie. On réalise un test de dépistage de la maladie parmi les chats présents dans ce centre vétérinaire. Ce test possède les caractéristiques suivantes.

  • Lorsque le chat est porteur de la maladie, son test est positif dans $90 \%$ des cas.
  • Lorsque le chat n’est pas porteur de la maladie, son test est négatif dans $85 \%$ des cas.

On choisit un chat au hasard dans le centre vétérinaire et on considère les événements suivants:

  • $M$ : « Le chat est porteur de la maladie » ;
  • $T$ : « Le test du chat est positif » ;
  • $\conj{M}$ et $\conj{T}$ désignent les événements contraires des événements $M$ et $T$ respectivement.
  1. a. Traduire la situation par un arbre pondéré.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité que le chat soit porteur de la maladie et que son test soit positif.
    $\quad$
    c. Montrer que la probabilité que le test du chat soit positif est égale à $0,45$.
    $\quad$
    d. On choisit un chat parmi ceux dont le test est positif. Calculer la probabilité qu’il soit porteur de la maladie.
    $\quad$
  2. On choisit dans le centre vétérinaire un échantillon de $20$ chats au hasard. On admet que l’on peut assimiler ce choix à un tirage avec remise.
    On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de chats présentant un test positif dans l’échantillon choisi.
    a. Déterminer, en justifiant, la loi suivie par la variable aléatoire $X$.
    $\quad$
    b. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon exactement $5$ chats présentant un test positif.
    $\quad$
    c. Calculer la probabilité qu’il y ait dans l’échantillon au plus $8$ chats présentant un test positif.
    $\quad$
    d. Déterminer l’espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  3. Dans cette question, on choisit un échantillon de $n$ chats dans le centre, qu’on assimile encore à un tirage avec remise. On note $p_{n}$ la probabilité qu’il y ait au moins un chat présentant un test positif dans cet échantillon.
    a. Montrer que $p_{n}=1-0,55^{n}$.
    $\quad$
    b. Décrire le rôle du programme ci-dessous écrit en langage Python, dans lequel la variable $\text{n}$ est un entier naturel et la variable $\text{P}$ un. nombre réel.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \hspace {1cm} \textbf{def seuil} ():\\
    \hspace {1.5 cm} \text{n = 0} \\
    \hspace {1.5 cm} \text{P = 0}\\
    \hspace {1.5 cm} \textbf {while }\text{P < 0.99:} \\
    \hspace {2 cm}\text{n = n + 1}\\
    \hspace {2 cm}\text{P = 1 – 0.55**n}\\
    \hspace {1.5 cm}\textbf{return }\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    c. Déterminer, en précisant la méthode employée, la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Exercice 3     5 points

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $: u_{0}=1$ et, pour tout entier naturel $n$,
$$u_{n+1}=\dfrac{4 u_{n}}{u_{n}+4}$$

  1. La copie d’écran ci-dessous présente les valeurs, calculées à l’aide d’un tableur, des termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ pour $n$ variant de $0$ à $12$, ainsi que celles du quotient $\dfrac{4}{u_{n}}$ (avec, pour les valeurs de $u_{n}$, affichage de deux chiffres pour les parties décimales).
    $$\begin{array}{|c|c|c|}
    \hline n & u_{n} & \dfrac{4}{u_{n}} \\
    \hline 0 & 1,00 & 4 \\
    \hline 1 & 0,80 & 5 \\
    \hline 2 & 0,67 & 6 \\
    \hline 3 & 0,57 & 7 \\
    \hline 4 & 0,50 & 8 \\
    \hline 5 & 0,44 & 9 \\
    \hline 6 & 0,40 & 10 \\
    \hline 7 & 0,36 & 11 \\
    \hline 8 & 0,33 & 12 \\
    \hline 9 & 0,31 & 13 \\
    \hline 10 & 0,29 & 14 \\
    \hline 11 & 0,27 & 15 \\
    \hline 12 & 0,25 & 16 \\
    \hline
    \end{array}$$
    À l’aide de ces valeurs, conjecturer l’expression de $\dfrac{4}{u_{n}}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
    Le but de cet exercice est de démontrer cette conjecture (question 5.), et d’en déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ (question 6.).
    $\quad$
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a $: u_{n}>0$.
    $\quad$
  3. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
    $\quad$
  4. Que peut-on conclure des questions 2. et 3. concernant la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
    $\quad$
  5. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=\dfrac{4}{u_{n}}$.
    Démontrer que $\left(v_{n}\right)$ est une suite arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme.
    En déduire, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $v_{n}$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  6. Déterminer, pour tout entier naturel $n$, l’expression de $u_{n}$ en fonction de $n$.
    En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    $\quad$

$\quad$

EXERCICE au choix du candidat     5 points

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l’exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

$\quad$

Exercice A

Principaux domaines abordés:

  • Fonction logarithme;
  • dérivation.

Partie I

On désigne par $h$ la fonction définie sur l’intervalle $] 0 ;+\infty[$ par :
$$h(x)=1+\dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$$
On admet que la fonction $h$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$ et on note $h’$ sa fonction dérivée.

  1. Déterminez les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$.
    $\quad$
  2. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de $] 0 ;+\infty[$, $h'(x)=\dfrac{1-2 \ln (x)}{x^{3}}$.
    $\quad$
  3. En déduire les variations de la fonction $h$ sur l’intervalle $]0 ;+\infty[$
    $\quad$
  4. Montrer que l’équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$ et vérifier que : $\dfrac{1}{2}<\alpha<1$.
    $\quad$
  5. Déterminer le signe de $h(x)$ pour $x$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$.
    $\quad$

 

Partie II

On désigne par $f_{1}$ et $f_{2}$ les fonctions définies sur $] 0 ;+\infty[$ par :
$$
f_{1}(x)=x-1-\dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \text { et } \quad f_{2}(x)=x-2-\dfrac{2 \ln (x)}{x^{2}}$$
On note $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les représentations graphiques respectives de $f_{1}$ et $f_{2}$ dans un repère $\Oij$.

  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$ appartenant à $] 0 ;+\infty[$, on a :
    $$f_{1}(x)-f_{2}(x)=h(x)$$
    $\quad$
  2. Déduire des résultats de la Partie I la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2} .$ On justifiera que leur unique point d’intersection a pour coordonnées $(\alpha ; \alpha)$.
    On rappelle que $\alpha$ est l’unique solution de l’équation $h(x)=0$.
    $\quad$

$\quad$

Exercice B

Principaux domaines abordés :

  • Fonction exponentielle;
  • dérivation;
  • convexité.

PARTIE I

On donne ci-dessous, dans le plan rapporté à un repère orthonormé, la courbe représentant la fonction dérivée $f’$ d’une fonction $f$ dérivable sur $\R$. À l’aide de cette courbe, conjecturer, en justifiant les réponses:

  1. Le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$
  2. La convexité de la fonction $f$ sur $\R$.
    $\quad$

$\quad$

PARTIE II

On admet que la fonction $f$ mentionnée dans la Partie I est définie sur $\R$ par : $$f(x)=(x+2) \e^{-x}$$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $\Oij$.
On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\R$, et on note $f’$ et $f\dsec$ les fonctions dérivées première et seconde de $f$ respectivement.

  1. Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $$
    f(x)=\dfrac{x}{\e^{x}}+2 \e^{-x}$$
    En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
    Justifier que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote que l’on précisera. On admet que $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=-\infty$.
    $\quad$
  2. a. Montrer que, pour tout nombre réel $x, f'(x)=(-x-1) \e^{-x}$.
    $\quad$
    b. Étudier les variations sur $\R$ de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations.
    $\quad$
    c. Montrer que l’équation $f(x)=2$ admet une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[-2 ;-1]$ dont on donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout nombre réel $x$, l’expression de $f\dsec(x)$ et étudier la convexité de la fonction $f$. Que représente pour la courbe $\mathcal{C}$ son point $A$ d’abscisse $0$ ?
    $\quad$

$\quad$