E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un complexe cinématographique a ouvert ses portes en 2018 en périphérie d’une ville.
En 2018, le complexe a accueilli $180$ mille spectateurs. La gestionnaire du complexe prévoit une augmentation de $4 \%$ par an de la fréquentation du complexe.

Soit $n$ un entier naturel. On note $u_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, du complexe cinématographique pour l’année (2018 $+n$). On a donc $u_0 = 180$.

Étude de la suite $\left(u_n\right)$.
a. Calculer le nombre de spectateurs en 2019.
$\quad$
b. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
$\quad$
c. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
$\quad$
Un cinéma était déjà installé au centre-ville.
En 2018, il a accueilli $260~000$ spectateurs. Avec l’ouverture du complexe, le cinéma du centre-ville prévoit de perdre $10~000$ spectateurs par an.
Pour $n$, entier naturel, on note $v_n$ le nombre de spectateurs, en milliers, accueillis dans le
cinéma du centre-ville l’année (2018 $+n$). On a donc $v_0 = 260$.
a. Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
b. On donne le programme ci-dessous, écrit en Python.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def cinema() :}\\
\hspace{1cm}\text{n = 0}\\
\hspace{1cm}\text{u = 180}\\
\hspace{1cm}\text{v = 260}\\
\hspace{1cm}\text{while u < v :}\\
\hspace{2cm}\text{n = n + 1}\\
\hspace{2cm}\text{u = 1.04*u}\\
\hspace{2cm}\text{v = v – 10}\\
\hspace{1cm}\text{return n}\\
\hline
\end{array}$$
Quelle est la valeur renvoyée lors de l’exécution de la fonction $\text{cinema()}$ ?
L’interpréter dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_0\\
&=1,04\times 180\\
&=187,2\end{align*}$
En 2019 le cinéma a accueilli $187~200$ spectateurs.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{4}{100}\right)u_n\\
&=1,04u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $u_0=180$.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=180\times 1,04^n$.
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_{n+1}=v_n-10$.
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-10$ et de premier terme $v_0=260$.
$\quad$
b. La fonction $\text{cinema()}$ détermine le plus petite entier naturel $n$ tel que $u_n \pg v_n$.
Voici les premières valeurs prises, arrondies au millième si nécessaire, par les termes des deux suites.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 0& 1& 2& 3& 4& 5\\
\hline
u_n& 180& 187,2& 194,688& 202,476& 210,575& 218,998\\
\hline
~~v_n~~& ~~~~260~~~~& ~~~~250~~~~& ~~240~~& ~~230~~& ~~220~~& ~~210~~\\
\hline
\end{array}$
La fonction $\text{cinema()}$ renvoie donc la valeur $5$.
Cela signifie que c’est au bout de $5$ ans que la fréquentation du complexe sera supérieure pour la première fois à celle du cinéma de centre-ville.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $0,9$.
On a :

a. $u_{50}=47$
b. $u_{50}=100,9$
c. $u_{50}=-47$
d. $u_{50}=-100,9$

$\quad$

Correction Question 1

On a $u_{50}=2+50\times 0,9=47$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= 2$ et de raison $0,9$.
La somme des $37$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :

a. $2\times \dfrac{1-0,9^{38}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
b. $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
c. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$
d. $0,9\times \dfrac{1-2^{38}}{1-2}\phantom{\dfrac{\dfrac{1}{1}1}{\dfrac{1}{1}}}$

$\quad$

Correction Question 2

La somme est égale à : $2\times \dfrac{1-0,9^{37}}{1-0,9}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Un programme en langage Python qui retourne la somme des entiers de
$1$ à $100$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{b.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{while }}\text{s<}\textcolor{Mahogany}{100}\text{:}\\
\hspace{2cm}\text{s= }\textcolor{Mahogany}{2}\text{*s}\textcolor{Mahogany}{+1}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}\\\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{101}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}&\hspace{1cm}\textbf{d.}&\begin{array}{l} \textcolor{blue}{\text{def }}\text{Somme():}\\
\hspace{1cm} \text{s=}\textcolor{Mahogany}{0}\\
\hspace{1cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{purple}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Mahogany}{100}\text{):}\\
\hspace{2cm}\text{s= s+k}\\
\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return}}\text{(s)}\end{array}
\end{array}$

$\quad$

Correction Question 3

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 4

On a $x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ et $\cos x=0,8$, alors :

a. $\sin x=0,6$
b. $\sin x=-0,6$
c. $\sin x=-0,2$
d. $\sin x=0,2$

$\quad$

Correction Question 4

$x\in\left[-\dfrac{\pi}{2};0\right]$ donc $\sin x<0$

Pour tout réel $x$ on a $\cos^2x+\sin^2x=1$
Ainsi :
$0,8^2+\sin^2x=1 \ssi \sin^2x=0,36$
Donc $\sin x=0,6$ ou $\sin x=-0,6$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le nombre réel $\dfrac{13\pi}{4}$ est associé au même point du cercle trigonométrique que le réel :

a. $\dfrac{-14\pi}{4}$
b. $\dfrac{-3\pi}{4}$
c. $\dfrac{7\pi}{4}$
d. $\dfrac{19\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 5

$a$ et $b$ sont associé au même point du cercle trigonométrique si, et seulement si, il existe $k\in \Z$ tel que $a-b=2k\pi$.

$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-14\pi}{4}=\dfrac{27\pi}{4}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{-3\pi}{4}=4\pi \checkmark$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{7\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{2}$
$\dfrac{13\pi}{4}-\dfrac{19\pi}{4}=-\dfrac{3\pi}{2}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La population d’une ville A augmente chaque année de $2\%$. La ville A avait $4~600$ habitants en 2010.
La population d’une ville B augmente de $110$ habitants par année. La ville B avait $5~100$ habitants en 2010.

Pour tout entier $n$, on note $u_n$ le nombre d’habitants de la ville A et $v_n$ le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2010 $+n$.

Calculer le nombre d’habitants de la ville A et le nombre d’habitants de la ville B à la fin de l’année 2011.
$\quad$
Quelle est la nature des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ?
$\quad$
Donner l’expression de $u_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville A en 2020.
$\quad$
Donner l’expression de $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$ et calculer le nombre d’habitants de la ville B en 2020.
$\quad$
Reproduire et compléter sur la copie l’algorithme ci-dessous qui permet de déterminer au bout de combien d’années la population de la ville A dépasse celle de la ville B.
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while $\ldots$:}\\
\hspace{1cm}\text{u=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{v=$\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{n=$\ldots$}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2011, le nombre d’habitants de la ville A est :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_0\\
&=1,02\times 4~600\\
&=4~692\end{align*}$
et celui de la ville B est :
$\begin{align*} v_1&=v_0+110\\
&=5~100+110\\
&=5~210\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)u_n\\
&=1,02u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_0=4~600$.
$v_{n+1}=v_n+110$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique de raison $110$ et de premier terme $v_0=5~100$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=4~600\times 1,02^n$
En 2020, on a $n=10$
$u_{10}=4~600\times 1,02^{10} \approx 5~607$.
En 2020, la ville A compte $5~607$ habitants.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=5~100+110n$
$v_{10}=5~100+110\times 10=6~200$
En 2020, la ville B compte $6~200$ habitants.
$\quad$
On obtient l’algorithme suivant :
$$\begin{array}{l}
\text{def année ():}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=4600}\\
\hspace{0.5cm}\text{v=5100}\\
\hspace{0.5cm}\text{n=0}\\
\hspace{0.5cm}\text{while u<=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u=1.02*u}\\
\hspace{1cm}\text{v=v+110}\\
\hspace{1cm}\text{n=n+1}\\
\hspace{0.5cm}\text{return n}
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

$1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
$2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

On considère la feuille de calcul ci-dessous :

Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
$\quad$
b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
$\quad$
c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
\hline
w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
\hline
\end{array}$$
À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a pu saisir $=B2*1,03$
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
$\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
&=1~000+40n-40\\
&=960+40n\end{align*}$
$\quad$
c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
$\quad$
D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation semble devenir supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
Remarque : Le tableau ne fournissant pas les valeurs de $w_n$ entre $n=3$ et $n=18$, il faudrait une étude plus précise de la suite $\left(w_n\right)$ ou le calcul des termes manquants pour établir avec certitude que ce rang est effectivement le premier.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
$\quad$
Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
$\quad$
b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
$\quad$
Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Le deuxième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
Le troisième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
$\quad$
a. On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
b. Le quatrième mois les loyers sont :
– pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
– pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
$\quad$
$3$ ans $=36$ mois.
On a :
$\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
&=375\end{align*}$
Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
&=10~350\end{align*}$
Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
$\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
&\approx 10~398,87\end{align*}$
C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1;4]$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à cette courbe au point $A$ de coordonnées $(2;2)$.

L’équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est :

a. $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$
b. $y=2(x-2)+\dfrac{2}{3}$
c. $y=\dfrac{2}{3}(x+2)+2$
d. $y=\dfrac{3}{2}(x-2)+2$

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient directeur de la tangente est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{4-2}{5-2}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
De plus $f(2)=2$
Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$, le point $A$, placé ci-dessous sur le cercle trigonométrique de centre $O$ d’origine $I$, est associé au nombre réel :

a. $\dfrac{11\pi}{6}$
b. $\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{3\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 2

L’abscisse du point $A$ semble être égale à $-0,5$ et son ordonnée est négative.
Or $\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5$ et $\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)<0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère une fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=ax^2+bx$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs.
Quelle est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé?

$\quad$

Correction Question 3

Le discriminant de cette fonction du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=b^2-4\times a\times 0\\
&=b^2\\
&>0\end{align*}$
L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions réelles.
De plus, le coefficient principal est $a>0$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé une droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x-2y=1$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte?

a. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.
c. Le point de coordonnées $A(1;-2)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
d. L’ordonnée à l’origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à $1$.

$\quad$

Correction Question 4

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Un homme marche pendant $10$ jours. Le premier jour, il parcourt 12 km. Chaque jour, il parcourt $500$ m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total :

a. $95$ km
b. $97,5$ km
c. $19$ km
d. $84$ km

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $u_n$ la distance parcourue le $n$-ième jour, en kilomètres.
On a ainsi $u_1=12$ et pour tout entier naturel $n$ compris entre $1$ et $9$ on a $u_{n+1}=u_n-0,5$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-0,5$ et de premier terme $u_1=12$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12-0,5(n-1)$
Ainsi $u_{10}=7,5$.
La distance totale parcourue est donc :
$\begin{align*} D&=10\times \dfrac{u_1+u_{10}}{2} \\
&=10\times \dfrac{12+7,5}{2}\\
&=97,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une personne souhaite louer une maison à partir du 1$\ier $ janvier 2020 et a le choix entre deux formules de contrat :

Contrat n°1 : le loyer augmente chaque année de $200$ €.
Contrat n°2 : le loyer augmente chaque année de $5 \%$.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$u_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°1.
$v_n$ le loyer annuel de l’année 2020$+n$ pour le contrat n°2.

Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de $3~600$ €. On a donc $u_0 = v_0 = 3~600$.

Étude de la suite $\left(u_n\right)$
a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°1.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
$\quad$
Étude de la suite $\left(v_n\right)$
a. Déterminer le loyer annuel de l’année 2021 pour le contrat n°2.
$\quad$
b. Déterminer l’expression de $v_n$ en fonction de $n$ puis en déduire le loyer annuel de l’année 2030.
$\quad$
On considère le script suivant, écrit en langage Python :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{u = 3600}\\
\text{v = 3600}\\
\text{n = 0}\\
\text{while u>=v :}\\
\hspace{1cm}\text{u = u + 200}\\
\hspace{1cm}\text{v = 1.05*v}\\
\hspace{1cm}\text{n = n+1}\\
\hline
\end{array}$$
Après exécution, la variable $n$ contient la valeur $6$. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l’exercice.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. En 2021, le loyer sera de $3~600+200=3~800$ € pour le contrat n°1.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+200$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $200$ et de premier terme $u_0=3~600$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=3~600+200n$.
Ainsi en 2030, $n=10$
Donc
$\begin{align*}u_{10}&=3~600+200\times 10\\
&=5~600\end{align*}$
$\quad$
a. En 2021, le loyer sera de $3~600\times \left(1+\dfrac{5}{100}\right)=3~780$ € pour le contrat n°2.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)u_n \\
&= 1,05u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0=3~600$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=3~600\times 1,05^n$
En 2030, $n=10$
$\begin{align*} u_{10}&=3~600\times 1,05^{10}\\
&\approx 5~864,02\end{align*}$
Le loyer annuel sera environ égal à $5~864,02$ € en 2030.
$\quad$
Il faut donc $6$ ans pour que le loyer annuel du contrat n°2 soit supérieur à celui du contrat n°1.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Camille et Dominique ont été embauchés au même moment dans une entreprise et ont négocié leur contrat à des conditions différentes :

Camille a commencé en 2010 avec un salaire annuel de $14~400$ €, alors que le salaire de Dominique était, cette même année, de $13~200$ €.
Le salaire de Camille augmente de $600$ € par an alors que celui de Dominique augmente de $4 \%$ par an.

Quels étaient les salaires annuels de Camille et de Dominique en 2012 ?
$\quad$
On modélise les salaires de Camille et de Dominique à l’aide de suites.
a. On note $u_n$ le salaire de Camille en l’année 2010 $+n$. On a donc $u_0 = 14~400$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
b. Déterminer en quelle année le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
$\quad$
c. On note $v_n$ le salaire de Dominique en l’année 2010$+n$.
Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
$\quad$
d. Calculer le salaire de Dominique en 2020. On arrondira le résultat à l’euro.
$\quad$
On veut déterminer à partir de quelle année le salaire de Dominique dépassera celui de Camille. Pour cela, on dispose du programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python.
Recopier et compléter les quatre parties en pointillé du programme ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{A=14400}\\
\hspace{1cm}\text{B=13200}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while $\ldots\ldots\ldots$:}\\
\hspace{2cm}\text{A=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{2cm}\text{B=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{2cm}\text{n=$\ldots\ldots\ldots$}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Salaires en 2011
Camille : $14~400+600=15~000$ €
Dominique : $13~200\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=13~728$ €
Salaires en 2012
Camille : $15~000+600=15~600$ €
Dominique : $13~728\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)=14~277,12$ €
$\quad$
a. Pour tout entier naturel $n$ on a : $u_{n+1}=u_n+600$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $600$ et de premier terme $u_0=14~400$.
$\quad$
b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=14~400+600n$.
On veut donc résoudre dans $\N$:
$\begin{align*} u_n>20~000 &\ssi 14~400+600n>20~000 \\
&\ssi 600n>5~600 \\
&\ssi n>\dfrac{28}{3}\end{align*}$
Or $\dfrac{28}{3}\approx 9,3$.
Par conséquent $n\pg 10$.
C’est donc à partir de l’année $2020$ que le salaire de Camille dépassera $20~000$ €.
$\quad$
c. Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} v_{n+1}&=v_n\times \left(1+\dfrac{4}{100}\right)\\
&=1,04v_n\end{align*}$
$\quad$
d. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,04$ et de premier terme $v_0=13~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=13~200\times 1,04^n$.
On a :
$\begin{align*} v_{10}&=13~200\times 1,04^{10} \\
&\approx 19~539\end{align*}$
Le salaire annuel de Dominique en 2020 sera environ égal à $19~539$ €.
$\quad$
On obtient le programme suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def algo( ) :}\\
\hspace{1cm}\text{A=14400}\\
\hspace{1cm}\text{B=13200}\\
\hspace{1cm}\text{n=0}\\
\hspace{1cm}\text{while A>=B:}\\
\hspace{2cm}\text{A= A+600}\\
\hspace{2cm}\text{B= B*1.04}\\
\hspace{2cm}\text{n= n+1}\\
\hspace{1cm}\text{return(n)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une balle est lâchée d’une hauteur de $3$ mètres au-dessus du sol. Elle touche le sol et rebondit. À chaque rebond, la balle perd $25 \%$ de sa hauteur précédente.

On modélise la hauteur de la balle par une suite $\left(h_n\right)$ où $h_n$ désigne la hauteur maximale de la balle, en mètres, après le $n$-ième rebond. On a donc $h_0= 3$.

Calculer $h_1$ et $h_2$.
$\quad$
La suite $\left(h_n\right)$ est-elle arithmétique ? Justifier.
$\quad$
Donner la nature de la suite $\left(h_n\right)$ en précisant ses éléments caractéristiques.
$\quad$
Déterminer la hauteur, arrondie au cm, de la balle après $6$ rebonds.
$\quad$
La fonction « $\text{seuil}$ » est définie ci-dessous en langage Python.
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\textcolor{brown}{\ldots\ldots\ldots\ldots :}\\
5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=\ldots\ldots\ldots\ldots }\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emeral}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
Recopier et compléter les lignes $4$ et $5$ pour que cette fonction renvoie le nombre de rebonds à partir duquel la hauteur maximale de la balle sera inférieure ou égale à $10$ centimètres.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*} h_1&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_0 \\
&=0,75\times 3\\
&=2,25\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} h_2&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_1 \\
&=0,75\times 2,25\\
&=1,687~5\end{align*}$
$\quad$
On a $h_1-h_0=-0,75$ et $h_2-h_1=-0,562~5$
Ces valeurs sont différentes. La suite $\left(h_n\right)$ n’est donc pas arithmétique.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} h_{n+1}&=\left(1-\dfrac{25}{100}\right)h_n \\
&=0,75\times h_n\end{align*}$
La suite $\left(h_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,75$ et de premier terme $h_0=3$.
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $h_n=3\times 0,75^n$.
Ainsi :
$\begin{align*} h_6&=3\times 0,75^6 \\
&\approx 0,53\end{align*}$
Après $6$ rebonds la hauteur de la balle est environ égale à $0,53$m.
$\quad$
On a la fonction suivante :
$$\begin{array}{|ll|}
\hline
1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\text{seuil}}\textcolor{brown}{():}\\
2&\hspace{1cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{3}\\
3&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\textcolor{Emerald}{0}\\
4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{h}\textcolor{brown}{>}\textcolor{Emerald}{0.1}\text{ :}\\
5&\hspace{2cm}\text{h}\textcolor{brown}{=}\text{h}\textcolor{brown}{*}\textcolor{Emerald}{0.75}\\
6&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{brown}{=}\text{n}\textcolor{brown}{+}\textcolor{Emerald}{1}\\
7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie sur $R$ par : $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels. $\Delta$ désigne la quantité $b^2-4ac$.
Parmi les affirmations suivantes, laquelle est cohérente avec la représentation graphique, ci-dessous, de cette fonction ?

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a<0$ et $\Delta<0$
c. $a>0$ et $\Delta<0$
d. $a<0$ et $\Delta>0$

$\quad$

Correction Question 1

La fonction $f$ admet un minimum donc $a>0$.
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l’axe des abscisses en deux points donc $\Delta >0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Lors d’un jeu, on mise $1$ euro et on tire une carte au hasard parmi $30$ cartes numérotées de $1$ à $30$. On gagne $3$ euros si le nombre porté sur la carte est premier, sinon, on ne gagne rien. On détermine le gain algébrique en déduisant le montant de la mise de celui du gain.
On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique. Que vaut l’espérance $E(X)$de la variable aléatoire $X$ ?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $0$
d. $\dfrac{2}{3}$

$\quad$

Correction Question 2

Les nombres premiers compris entre $1$ et $30$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ $23$, $29$.
Ainsi :
$\begin{align*}P(X=2)&=\dfrac{10}{30} \\
&=\dfrac{1}{3}\end{align*}$
$\begin{align*} P(X=-1)&=1-\dfrac{1}{3}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
Par conséquent :
$\begin{align*} E(X)&=-1\times P(X=-1)+2P(X=2)\\
&=-\dfrac{2}{3}+2\times \dfrac{1}{3}\\
&=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Quelle est la valeur exacte de $\dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}$?

a. $\e^{11}$
b. $\e^{9}$
c. $\e^{7}$
d. $\e^{-7}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} \dfrac{\e^6\times \e^3}{\e^2}&=\dfrac{\e^{6+3}}{\e^2}\\
&=\dfrac{\e^9}{\e^2}\\
&=\e^{9-2}\\
&=\e^7\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $-5$ et telle que $u_1=2$. Quelle est, pour tout entier naturel $n$, l’expression du terme général $u_n$ de cette suite ?

a. $u_n=2-5n$
b. $u_n=-5+2n$
c. $u_n=7-5n$
d. $u_n=2\times (-5)^n$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} u_0&=u_1-(-5) \\
&=2+5\\
&=7\end{align*}$

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=7-5n$.

Réponse c

$\quad$

Autre méthode 1 : on évalue chacune des expressions fournies en prenant $n=1$. Seule la réponse c permet d’obtenir $u_1=2$

Autre méthode 2 :
$\begin{align*} u_n&=u_1+(n-1)\times (-5) \\
&=2-5n+5 \\
&=7-5n\end{align*}$

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Les équations cartésiennes ci-dessous sont celles de droites données du plan. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix} -1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à l’une de ces droites. Quelle est l’équation de cette droite ?

a. $2x+y+5=0$
b. $x+2y+3=0$
c. $-x+0,5y+2=0$
d. $-4x+8y=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation cartésienne dont $\vec{u}$ est un vecteur normal est de la forme $-x+2y+c=0$.
Donc $-4x+8y+d=0$ est également un équation cartésienne pour ce type de droite.

En prenant $d=0$ on obtient l’équation $-4x+8y=0$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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