E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Lors d’une même expérience aléatoire, deux événements $A$ et $B$ vérifient : $$P(A)=0,4 \quad;\quad P(B)=0,6\quad;\quad P\left(A\cap \conj{B}\right)=0,3$$
Alors :

a. $P(A\cap B)=0,1$
b. $P(A\cap B)=0,24$
c. $P(A\cup B)=1$
d. $P(A\cup B)=0,7$

$\quad$

Correction Question 1

$B$ et $\conj{B}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} &P(A)=P(A\cap B)+P\left(A\cap \conj{B}\right) \\
\ssi~&0,4=P(A\cap B)+0,3\\
\ssi~&P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-3x+4$ . L’abscisse du minimum de $f$ est :

a. $-\dfrac{3}{2}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $1$

$\quad$

Correction Question 2

$f$ est une fonction du second degré dont le coefficient principal est $a=1>0$.
La fonction possède donc un minimum dont l’abscisse est :
$\begin{align*} \alpha&=-\dfrac{b}{2a} \\
&=-\dfrac{-3}{2} \\
&=\dfrac{3}{2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que $u_5=26$ et $u_9=8$. La raison de $\left(u_n\right)$ vaut :

a. $-18$
b. $\dfrac{8}{26}$
c. $4,5$
d. $-4,5$

$\quad$

Correction Question 3

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a donc
$\begin{align*} u_9=u_5+4r&\ssi 8=26+4r\\
&\ssi -18=4r\\
&\ssi r=-4,5\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 4

On considère l’algorithme suivant, écrit en langage usuel :
$$\begin{array}{l}
\text{Suite(N)}\\
\hspace{1cm} \text{A}\leftarrow 10\\
\hspace{1cm} \text{Pour k de 1 à N}\\
\hspace{2cm} \text{A}\leftarrow \text{2*A-4}\\
\hspace{1cm} \text{Fin Pour}\\
\hspace{1cm} \text{Renvoyer A}\end{array}$$
Pour la valeur $N=4$ le résultat affiché sera :

a. $4$
b. $100$
c. $52$
d. $196$

$\quad$

Correction Question 4

Voici les différentes valeurs prises par les variables $\text{A}$ et $\text{k}$.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{k}&&1&2&3&4\\
\hline
\text{A}&10&16&28&52&100\\
\hline
\end{array}$$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère un rectangle $ABCD$ tel que $AB=3$ et $AD=2$.

Alors le produit scalaire $\vect{AC}.\vect{DB}$ vaut :

a. $0$
b. $5$
c. $6$
d. $-6$

$\quad$

Correction Question 5

$\begin{align*} \vect{AC}.\vect{DB}&=\left(\vect{AB}+\vect{BC}\right).\left(\vect{DA}+\vect{AB}\right) \\
&=\vect{AB}.\vect{DA}+\vect{AB}.\vect{AB}+\vect{BC}.\vect{DA}+\vect{BC}.\vect{AB} \\
&=0+AB^2-BC^2+0 \qquad (*)\\
&=9-4\\
&=5\end{align*}$

$(*)$ car $\vect{BC}$ et $\vect{DA}$ sont colinéaires de sens contraire.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2019, le nombre d’abonnés à une page de réseau social d’un musicien était de $6~000$.
On suppose que chaque année, il obtient $750$ abonnés supplémentaires.
On désigne par $u_n$ le nombre d’abonnés en 2019$+n$ pour tout entier naturel $n$.

Calculer le nombre d’abonnés en 2020 et 2021.
$\quad$
Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
$\quad$
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
$\quad$
En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
En quelle année le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019 ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En 2020, il y aura $6~000+750=6~750$ abonnés.
En 2021, il y aura $6~750+750=7~500$ abonnés.
$\quad$
D’après l’énoncé, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n+750$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite arithmétique de raison $750$ e de premier terme $u_0=6~000$.
$\quad$
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$u_n=6~000+750n$
$\quad$
On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
$\begin{align*} u_n \pg 3\times 6~000 &\ssi 6~000+750n\pg 18~000 \\
&\ssi 750n\pg 12~000 \\
&\ssi n \pg 16\end{align*}$
C’est donc en 2035 que le nombre d’abonnés aura triplé par rapport à l’année 2019.
$\quad$

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Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Soit la suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0= 400$ vérifiant la relation, pour tout entier naturel $n$, $$u_{n+1} = 0,9u_n + 60$$
Soit la suite géométrique $\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0= -200$ et de raison $0,9$.

Calculer $u_2$ et $v_2$.
$\quad$
Calculer la somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique ? La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?
$\quad$
Recopier et compléter la fonction Suite suivante écrite en Python qui permet de calculer la somme $S$ des $20$ premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{2cm} \text{U = } \ldots\ldots\ldots\\
\hspace{1cm} \text{return(}\ldots)\\
\hline
\end{array}$$
Le sujet original contenait une erreur dans le programme. Elle a été corrigée ici.
$\quad$
On admet que $u_n=v_n+600$. En déduire $u_{20}$.
$\quad$

$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On a
$\begin{align*}u_1&=0,9u_0+60\\
&=0,9\times 400+60\\
&=420\end{align*}$
et
$\begin{align*}u_2&=0,9u_1+60\\
&=0,9\times 420+60\\
&=438\end{align*}$
$\quad$
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,9$ et de premier terme $v_0=-200$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=-200\times 0,9^n$.
Ainsi :
$\begin{align*}v_2&=-200\times 0,9^2 \\
&=-162\end{align*}$
$\quad$
La somme des $20$ premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$ est :
$\begin{align*} S_{20}&=v_0+v_1+\ldots+v_{19} \\
&=-200\times \dfrac{1-0,9^{20}}{1-0,9} \\
&=-2~000\left(1-0,9^{20}\right)\end{align*}$
$\quad$
On a $u_1-u_0=20$ et $u_2-u_1=18$
$20\neq 18$ : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
On a $\dfrac{u_1}{u_0}=1,05$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,04$
Les quotients sont différents : La suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\quad$
On obtient le code suivant :
$$\begin{array}{|l|}
\hline
\text{def Suite( ) :}\\
\hspace{1cm} \text{U = 400}\\
\hspace{1cm} \text{S = 0}\\
\hspace{1cm} \text{for i in range(20) :} \hspace{2cm}\\
\hspace{2cm} \text{S = S + U } \\
\hspace{2cm} \text{U = 0,9 * U + 60} \\
\hspace{1cm} \text{return(S)}\\
\hline
\end{array}$$
$\quad$
On a donc :
$\begin{align*} u_{20}&=v_{20}+600 \\
&=-200\times 0,9^{20}+600\end{align*}$
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Partie A :

$\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.

$\left(V_n\right)$ est une suite définie par : $V_n = 50 ( 104 + 25 n)$ pour tout entier naturel $n$.

Déterminer une forme explicite de la suite $\left(U_n\right)$.
$\quad$
Calculer la somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$.
$\quad$
Comparer les termes $U_0$ et $V_0$ puis $U_{20}$ et $V_{20}$.
$\quad$
Déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$.
$\quad$

Partie B :

Un concessionnaire de voitures propose des voitures équipées d’un moteur diesel ou d’un moteur essence.
Durant sa première année d’existence en 1995, il a vendu $25~000$ véhicules avec un moteur diesel et $5~200$ véhicules avec un moteur essence.
Ses ventes de voitures avec un moteur diesel ont diminué de 6 % chaque année, alors que ses ventes de voitures avec un moteur essence ont augmenté de $1~250$ unités tous les ans.

En quelle année les ventes de voitures avec un moteur essence ont elles dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel ?

$\quad$

Correction Exercice

$\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0= 25~000$ et de raison $0,94$.
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $U_n=25~000\times 0,94^n$.
$\quad$
La somme des sept premiers termes de la suite $\left(U_n\right)$ est :
$\begin{align*} S&=U_0+U_1+\ldots+U_6 \\
&=25~000\times \dfrac{1-0,94^7}{1-0,94} \\
&=146~467,669~1\end{align*}$
$\quad$
On a $U_0=25~000$ et $V_0=5~200$
Donc $U_0>V_0$
$\quad$
$U_{20}=25~000\times 0,94^{20} \approx 7252,66$
$V_{20}=30~200$
Donc $U_{20}<V_{20}$
$\quad$
Voici les premières valeurs (arrondies) des suites $\left(U_n\right)$ et $\left(V_n\right)$.
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
n &U_n& V_n\\
\hline
0 &25~000& 5~200\\
\hline
1& 23~500& 6~450\\
\hline
2& 22~090& 7~700\\
\hline
3& 20~764,6& 8~950\\
\hline
4& 19~518,724& 10~200\\
\hline
5& 18~347,600~56& 11~450\\
\hline
6& 17~246,744~53& 12~700\\
\hline
7& 16~211,939~85& 13~950\\
\hline
8& 15~239,223~46& 15~200\\
\hline
9& 14~324,870~06& 16~450\\
\hline
\end{array}$$
Le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_n<V_n$ est donc $9$.
$\quad$

Partie B

Le nombre de voitures avec un moteur diesel diminue chaque année de $6\%$. Ce nombre est donc multiplié, chaque année, par $0,94$.
Ainsi la suite $\left(U_n\right)$ de la partie A représente le nombre de voitures avec un moteur diesel vendues l’année 1995$+n$.

Le nombre de véhicules avec un moteur essence vendu l’année 1995$+n$ est représenté par la suite $\left(W_n\right)$. Il s’agit d’une suite arithmétique de raison $1~250$ et de premier terme $5~200$.
Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a :
$\begin{align*} W_n&=5~200+1~250n\\
&=50(104+25n)\\
&=V_n\end{align*}$

D’après la question A.4. $U_n<V_n$ pour $n\pg 9$.
C’est donc à partir de l’année 2004 que les ventes de voitures avec un moteur essence ont dépassé les ventes de voitures avec un moteur diesel.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un artisan commence la pose d’un carrelage dans une grande
pièce.

Le carrelage choisi a une forme hexagonale.

L’artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis
procède en étapes successives de la façon suivante :

à l’étape $1$, il entoure le carreau central, à l’aide de $6$ carreaux et obtient une première forme.
à l’étape $2$ et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.

On note $u_n$ le nombre de carreaux ajoutés par l’artisan pour faire la $n$-ième étape $(n\pg 1)$.

Ainsi $u_1 = 6$ et $u_2 = 12$.

Quelle est la valeur de $u_3$ ?
$\quad$
On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
$\quad$
Combien l’artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l’étape $5$ ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu’il termine l’étape $5$ (en comptant le carreau central
initial) ?
$\quad$
On pose $S_n = u_1+u_2+\ldots+u_n$. Montrer que $S_n = 6(1 + 2 + 3 + \ldots + n)$ puis que $S_n = 3n^2 + 3n.$
$\quad$
Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l’artisan depuis le début, lorsqu’il termine la $n$ − ?è?? étape, est donc $3n^2 + 3n + 1$.
À la fin de sa semaine, l’artisan termine la pose du carrelage en collant son $2~977\ieme$ carreau. Combien a-t-il fait d’étapes ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

En comptant le nombre de carreaux ajoutés à l’étape $3$ on obtient $u_3=18$
$\quad$
La suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $6$ et de premier terme $u_1=6$
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a :
$\begin{align*}u_n&=6+6(n-1) \\
&=6n\end{align*}$
$\quad$
On a $u_5=6\times 5$ soit $u_5=30$.
L’artisan a donc ajouté $30$ carreaux pour faire l’étape $5$.
$\quad$
Le nombre de carreaux posés est alors :
$\begin{align*} N&=1+u_1+u_2+u_3+u_4+u_5 \\
&=1+6+12+18+24+30 \\
&=91\end{align*}$
$\quad$
Pour tout entier naturel $n$ non nul on a :
$\begin{align*} S_n&=u_1+u_2+\ldots +u_n \\
&=6+12+\ldots +6n\\
&=6\times 1+6\times 2+\ldots+6n\\
&=\boldsymbol{6(1+2+\ldots+n)} \\
&=6\times \dfrac{n(n+1)}{2} \\
&=3n(n+1)\\
&=\boldsymbol{3n^2+3n}\end{align*}$
$\quad$
On cherche la valeur de $n$ telle que :
$\begin{align*} 3n^2+3n+1=2~977&\ssi 3n^2+3n-2~976=0\\
&\ssi n^2+n-992=0\end{align*}$
Le discriminant du polynôme $P(x)=x^2+x-992$ est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times (-992)\\
&=3~969\\
&>0\end{align*}$
Ce polynôme possède donc deux racines réelles :
$\begin{align*}x_1&=\dfrac{-1-\sqrt{3~969}}{2} \\
&=-32\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*}x_2&=\dfrac{-1+\sqrt{3~969}}{2} \\
&=31\end{align*}$
Or $-32<1$ donc $n=31$
Il a donc fait $31$ étapes.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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