E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d’obstacles.
Au début du parcours, ce personnage est doté de $1~000$ pions noirs dans son sac et il n’a pas de pion blanc.
Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu.
Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.
Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s’arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés est supérieur ou égal au nombre de pions noirs du sac.

  1. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    On note $u_n$ le nombre de pions blancs obtenus au bout de $n$ minutes de jeu.
    Ainsi $u_0 = 0$.
    Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. Étude de l’évolution du nombre de pions blancs
    Lucas estime qu’au cours d’une partie, le nombre de ses pions noirs diminue de $2 \%$ par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner, ou s’il doit poursuivre son entrainement.
    On note $v_n$ le nombre de pions noirs restant à la $n$-ième minute.
    Ainsi $v_0 = 1~000$.
    a. Justifier que $v_1 = 980$.
    $\quad$
    b. Déterminer la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et en déduire, pour tout entier $n$, l’expression de $v$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ à l’aide d’un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous.
    Les termes de la suite $\left(v_n\right)$ ont été arrondis à l’unité.
    Lucas peut-il gagner la partie ?

    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_{n+1}=u_n+10$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $10$ et de premier terme $u_0=0$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=10n$.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_1&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)v_0 \\
    &=0,98\times 1~000\\
    &=0,980\end{align*}$
    $\quad$
    b. La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $v_0=1~000$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $v_n=1~000\times 0,98^n$.
    $\quad$
  3. On a donc $u_{45}=450$ et $v_{45}=419$
    Au bout de $45$ minutes, le nombre de pions blancs est bien supérieur au nombre de pions noirs.
    Lucas peut donc gagner la partie.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Les résultats seront arrondis à l’unité.
La quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant d’une ville de taille moyenne a été de $537$ kg en 2019 et la municipalité espère réduire ensuite cette production de $1,5 \%$ par an.
Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produit par habitant de cette ville durant l’année 2019$+n$, on a donc $d_0 = 537$.

  1. Montrer par un calcul que $d_1= 0,985 \times d_0$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $d_{n+1}$ en fonction de $d_n$ .
    $\quad$
  3. En déduire la nature de la suite $\left(d_n\right)$ puis une expression de $d_n$ en fonction de $n$ .
    $\quad$
  4. On souhaite savoir à partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national, à savoir $513$ kg. Pour cela, on considère l’algorithme suivant rédigé en langage Python.
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>\ldots:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=\ldots}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    a. Recopier et compléter l’algorithme afin de répondre au problème posé.
    $\quad$
    b. À partir de quelle année la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera-t-elle inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} d_1&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_0 \\
    &=0,985\times d_0\end{align*}$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} d_{n+1}&=\left(1-\dfrac{1,5}{100}\right)\times d_n \\
    &=0,985\times d_n\end{align*}$
    $\quad$
  3. La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,985$ et de premier terme $d_0=537$.
    $\quad$
    Pour tout entier naturel $n$ on a donc $d_n=537\times 0,985^n$.
    $\quad$
  4. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{ll}
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\textcolor{Emerald}{\textbf{année}}\textcolor{Maroon}{():}\\
    2&\hspace{1cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{0}}\\
    3&\hspace{1cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{d}\textcolor{Maroon}{>}\textcolor{Emerald}{\text{513}}\textcolor{Maroon}{:}\\
    5&\hspace{2cm}\text{n}\textcolor{Maroon}{=}\text{n}\textcolor{Maroon}{+}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\\
    6&\hspace{2cm}\text{d}\textcolor{Maroon}{=} \text{d}\textcolor{Maroon}{*}\textcolor{Emerald}{\text{537}}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\textcolor{Maroon}{(}\text{n}\textcolor{Maroon}{)}\end{array}$$
    $\quad$
    b. Voici les premiers termes de la suite $\left(d_n\right)$ arrondis au dixième.
    $d_0=537$, $d_1\approx 528,9$, $d_2\approx 521,0$, $d_3\approx 513,2$ et $d_4\approx 505,5$.
    C’est donc à partir de l’année 2023 que la production moyenne de déchets produite par chaque habitant sera inférieure à celle enregistrée en 2019 au niveau national.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les cinq questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte.
Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique telle que $u_4=3$ et $u_{10}=18$. On peut affirmer que :

a. $u_0=7$
b. $u_7=20,5$
c. $u_{12}=23$
d. $u_{14}=-28$

$\quad$

Correction Question 1

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r$.
On a
$\begin{align*} u_{10}=u_4+6r &\ssi 18=3+6r \\
&\ssi 6r=15\\
&\ssi r=2,5\end{align*}$
Donc
$\begin{align*} u_{12}&=u_{10}+2r\\
&=18+2\times 2,5\\
&=23\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

$2+3+4+\ldots+999+1~000$ est égal à :

a. $500~500$
b. $498~999$
c. $499~000$
d. $500~499$

$\quad$

Correction Question 2

On a
$\begin{align*} S&=2+3+4+\ldots +999+1~000 \\
&=1+2+3+\ldots + 1~000-1\\
&=\dfrac{1~000\times 1~001}{2}-1\\
&=500~499\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

$\left(v_n\right)$ est la suite géométrique de raison $0,3$ telle que $v_0=-3$. On conjecture que la suite $\left(v_n\right)$ a pour limite :

a. $0$
b. $+\infty$
c. $-\infty$
d. $-3$

$\quad$

Correction Question 3

On a $v_0=-3$, $v_1=-0,9$, $v_2=-0,27$ et $v_3=-0,081$
On peut donc conjecturer que $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n=0$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

$f$ est ka fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2(x+2)^2-3$. On peut affirmer qu’elle est :

a. décroissante sur $]-\infty;+\infty[$
b. décroissante sur $]-2;+\infty[$
c. croissante sur $]-\infty;2[$
d. décroissante sur $]-3;+\infty[$

$\quad$

Correction Question 4

$f$ est une fonction du second degré dont le sommet a pour abscisse $-2$.
Le coefficient principal est $a=-2<0$.
La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $]-2;+\infty[$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’ensemble des solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est

a. $]-\infty;2[\cup]3;+\infty[$
b. $]-\infty;-1[\cup]6;+\infty[$
c. $]2;3[$
c. $]-1;6[$

$\quad$

Correction Question 5

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*}\Delta&=(-5)^2-4\times \times 6\\
&=1\\
&>0\end{align*}$
Les racines du polynômes sont :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{5-\sqrt{1}}{2}\\
&=2\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{5+\sqrt{1}}{2}\\
&=3\end{align*}$
Le coefficient principal du polynôme est $a=1>0$.
Ainsi les solutions de l’inéquation $x^2-5x+6<0$ est $]2;3[$.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La famille A décide de diminuer de $2 \%$ par mois sa quantité de déchets produite par mois à partir du 1$\ier$ janvier 2020.

Au mois de décembre 2019, elle a produit $120$ kg de déchets.

  1. Justifier qu’au bout de $2$ mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.

On admet que la quantité de déchets produits chaque mois conserve la même évolution toute l’année.
On modélise l’évolution de la production de déchets de la famille A par la suite de terme général $a_n$, où $a_n$ représente la quantité, en kg, de déchets produits par la famille A $n$ mois après décembre 2019.
Ainsi, $a_0$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de décembre 2019, $a_1$ représente la quantité de déchets produits durant le mois de janvier 2020, etc.

  1. a. Déterminer la nature de la suite $\left(a_n\right)$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer 𝑎𝑛 en fonction de $n$.
    $\quad$
    c. Déterminer la quantité totale de déchets que produira la famille A durant l’année 2020.
    On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$
    On rappelle que :
    Soit $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ une suite géométrique de raison $q$, $q\neq 1$. La somme $S$ de termes consécutifs est égale à $S=u_1+u_2+\ldots+u_n=u_1\times \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
    $\quad$
    d. On donne le programme ci-dessous.
    $$\begin{array}{ll}
    \textcolor{Emerald}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{S(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{2}& \hspace{0.5cm}\text{U=}\textcolor{Green}{120}\\
    \textcolor{Emerald}{3}& \hspace{0.5cm}\text{S=}\textcolor{Green}{0}\\
    \textcolor{Emerald}{4}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{k }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range }}\text{(n):}\\
    \textcolor{Emerald}{5}& \hspace{1cm}\text{U=}\textcolor{Green}{0.98}\text{*U}\\
    \textcolor{Emerald}{6}& \hspace{1cm}\text{S=S+U}\\
    \textcolor{Emerald}{7}& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{(S)}\\
    \textcolor{Emerald}{8}&\end{array}$$
    Que représente le résultat renvoyé par la fonction si on entre l’instruction $\text{S(6)}$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le premier mois elle a produit $120\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=117,6$ kg de déchets.
    Le deuxième mois elle a produit $117,6\times \left(1-\dfrac{2}{100}\right)=115,248$ kg de déchets.
    Au bout de 2 mois, la famille A aura produit environ $115$ kg de déchets.
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} a_{n+1}&=\left(1-\dfrac{2}{100}\right)an\\
    &=0,98a_n\end{align*}$
    La suite $\left(a_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $a_0=120$.
    $\quad$
    b. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $a_n=120\times 0,98^n$.
    $\quad$
    c. On veut calculer :
    $\begin{align*} S&=a_1+a_2+\ldots+a_{12} \\
    &=a_1\times \dfrac{1-0,98^{13}}{1-0,98}\\
    &=117,6\times \dfrac{1-0,98^{13}}{0,02}\\
    &\approx 1~358\end{align*}$
    La famille produira donc environ $1~358$ kg de déchets durant l’année 2020.
    $\quad$
    d. Cette instruction fournit la quantité totale de déchets produits par la famille sur les $6$ premiers mois de l’année 2020.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Une banque propose un placement. Le compte est rémunéré et rapporte $5 \%$ par an. La banque prend des frais de gestion qui se montent à $12$ euros par an.

Ainsi, chaque année la somme sur le compte augmente de $5 \%$ puis la banque prélève $12$ euros.

Noémie place la somme de $1~000$ euros dans cette banque.

On appelle $u_n$ la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $n$ années, où $n$ désigne un entier naturel.

On a donc $u_0 = 1~000$ et pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = 1,05 u_n-12$.

  1. Avec un tableur on a calculé les premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ :

    a.
    Quelle formule a-t-on entrée dans la cellule $B3$ avant de l’étirer pour obtenir ces résultats ?
    $\quad$
    b. En utilisant les valeurs calculées de la suite, indiquer à Noémie combien de temps elle doit attendre pour que son placement lui rapporte $20 \%$.
    $\quad$

On pose $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n=u_n-240$.

  1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
  2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de l’entier $n$.
    $\quad$
  3. Calculer à partir de cette dernière formule la somme disponible sur le compte en banque de Noémie après $20$ ans de placement.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a pu saisir la formule $=B2*1.05-12$
    $\quad$
    b. $1~000\times \left(1+\dfrac{20}{100}\right)=1~200$.
    Elle doit donc attendre $5$ ans avant que son placement lui rapporte $20\%$.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n-240\ssi u_n=v_n+240$.
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}-240\\
    &=1,05u_n-12-240\\
    &=1,05u_n-242\\
    &=1,05\left(v_n+240\right)-242\\
    &=1,05v_n+242-242\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    Son premier terme est :
    $\begin{align*} v_0&=u_0-240\\
    &=1~000-240\\
    &=760\end{align*}$
    $\quad$
  3. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a $v_n=760\times 1,05^n$ et
    $\begin{align*} u_n&=v_n+240\\
    &=760\times 1,05^n+240\end{align*}$
    $\quad$
  4. On a :
    $\begin{align*} u_{20}&=760\times 1,05^{20}+240\\
    &\approx 2~256,51\end{align*}$
    À partir de cette dernière formule Noémie disposera après 20 ans de placement d’environ $2~256,51$ €.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.

Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la
lettre correspondante à la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des
recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.

Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question
sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnée par le tableau ci-dessous :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k&-5&0&10&20&50\\
\hline
P(X=k)&0,71&0,03&0,01&0,05&0,2\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de $X$ est :

a. $15$
b. $0,2$
c. $7,55$
d. $17$

$\quad$

Correction Question 1

L’espérance de $X$ est :

$\begin{align*} E(X)&=\small{-5\times 0,71+0\times 0,03+10\times 0,01+20\times 0,05+50\times 0,2} \\
&=7,55\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On se place dans un repère orthonormé.
Le cercle de centre A( -2 ; 4) et de rayon 9 a pour équation :

a. $(x+2)^2+(y-4)^2=81$
b. $(x-2)^2+(y+4)^2=81$
c. $(x+2)^2+(y-4)^2=9$
d. $(x-2)^2+(y+4)^2=9$

$\quad$

Correction Question 2

Une équation du cercle est $\left(x-(-2)\right)^2+(y-4)^2=9^2$ soit $(x+2)^2+(y-4)^2=81$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels.

On considère dans un repère la courbe représentative de $f$ tracée ci-dessous.

On appelle $\Delta$ son discriminant.

On peut affirmer que :

a. $a>0$ ou $c<0$
b. $c$ et $\Delta$ sont du même signe
c. $a<0$ et $c<0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Question 3

D’après le graphique $a<0$ (la fonction $f$ admet un maximum) et $\Delta>0$ (il y a deux racines)
Les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signes différents.
Or $ax_1x_2=c$ donc $c>0$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$.
Un algorithme permettant de calculer la somme $S=U_0+U_1+\ldots+U_{36}$ est :

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=0}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 37}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}
\hline
\text{U=-2}\\
\text{S=-2}\\
\text{Pour i de 1 à 36}\\
\hspace{0.5cm}\text{U$\leftarrow$2U-5}\\
\hspace{0.5cm}\text{S$\leftarrow$S+U}\\
\text{Fin Pour}\\
\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Si la variable $\text{U}$ est transformée avant la variable $\text{S}$ alors $\text{S}$ doit être initialisée à $-2$.
Dans l’algorithme c., quand $\text{i}=1$, la variable $S$ prend la valeur $u_0+u_0$ au lieu de $u_0+u_1$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

La suite $\left(U_n\right)$ définie par $U_0=-2$ et $U_{n+1}=2U_n-5$ est :

a. arithmétique mais pas géométrique
b. géométrique mais pas arithmétique
c. ni arithmétique, ni géométrique
d. à la fois arithmétique et géométrique

$\quad$

Correction Question 5

On $U_0=-2$
$\begin{align*} U_1&=2U_0-5\\
&=2\times (-2)-5 \\
&=-9\end{align*}$
$\begin{align*} U_2&=2U_1-5\\
&=2\times (-9)-5\\
&=-23\end{align*}$

Ainsi :

  • $U_1-U_0=-7$ et $U_2-U_1=-14$
    Ces différences ne sont pas égales : la suite n’est pas arithmétique
  • $\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{9}{2}$ et $\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{23}{9}$
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite n’est pas géométrique

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
Au printemps 2019, il achète $300$ colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
Il consulte les services spécialisés de la région et s’attend à perdre $8\%$ des colonies chaque hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il prévoit d’installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps, à partir de l’année suivante.

  1. On donne le programme suivant écrit en langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo( ) :}\\
    \hspace{1cm} \text{C = 300}\\
    \hspace{1cm} \text{N = 0}\\
    \hspace{1cm} \text{while C < 400 :}\\
    \hspace{1.5cm} \text{C = C*0.92+50}\\
    \hspace{1.5cm} \text{N = N+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return (N)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter en ajoutant des colonnes, le tableau ci-dessous qui
    reproduit l’avancement du programme pas à pas :
    Les valeurs seront arrondies à l’entier le plus proche.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c}
    \hline
    \text{C}&300&326&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\ldots\ldots&\phantom{\ldots\ldots}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Quelle est la valeur de $\text{N}$ renvoyée par le programme ?
    Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

Le nombre de colonies est modélisée par une suite. On note $C_n$ une estimation du nombre de colonies au printemps de l’année 2019 $+ 𝑛$ .

Ainsi $C_0= 300$ est le nombre de colonies au printemps 2019.

On admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $$C_{n+1}=0,92C_n+50$$

  1. La suite $\left(C_n\right)$ est-elle arithmétique? La suite $\left(C_n\right)$ est-elle géométrique?
    $\quad$
  2. On admet que $C_n=625-325\times 0,92^n$ pour tout entier naturel $n$.
    L’apiculteur pourra-t-il atteindre les $700$ colonies?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On obtient le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    \text{C}&300&326&350&372&392&411\\
    \hline
    \text{« C < 400 » ?}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{oui}&\text{non}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le programme renvoie la valeur $5$.
    Cela signifie que l’apiculteur doit attendre $5$ ans pour avoir au moins $400$ colonies d’abeilles.
    $\quad$
  2. On a $C_0=300$
    $\begin{align*} C_1&=0,92C_0+50\\
    &=0,92\times 300+50\\
    &=326\end{align*}$
    $\begin{align*} C_2&=0,92C_1+50\\
    &=0,92\times 326+50\\
    &=349,92\end{align*}$
    Ainsi $C_1-C_0=26$ et $C_2-C_1=23,92$.
    Ces différences ne sont pas égales : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{C_1}{C_0}\approx 1,087$ et $\dfrac{C_2}{C_1}\approx 1,073$.
    Ces quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(C_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $325\times 0,92^n>0$.
    Donc $C_n<625$.
    L’apiculteur ne pourra pas atteindre $700$ colonies.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=100$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n-\dfrac{13}{100}u_n$.
Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$?

a. géométrique de raison $1$
b. arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
c. géométrique de raison $^1$ et arithmétique de raison $-\dfrac{13}{100}$
d. géométrique de raison $0,87$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_{n+1}&=u_n-\dfrac{13}{100}u_n\\
&=0,87u_n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,87$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

On considère la variable aléatoire $X$ qui prend les valeurs $x_i$ pour $i$ entier naturel allant de $1$ à $5$. La loi de probabilité incomplète de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-dessous : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
X=x_i&-6& -3& 0& 3& x_5\\
\hline
P\left(X=x_i\right)& 0,2& 0,1& 0,2& 0,4& 0,1\\
\hline
\end{array}$$
L’espérance de la variable aléatoire $X$ est égale à $0,7$.
Quelle est la valeur $x_5$ prise par la variable aléatoire $X$?

a. $6$
b. $1$
c. $10$
d. $100$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} E(X)=0,7&\ssi -6\times 0,2-3\times 0,1+0+3\times 0,4+0,1x_5=0,7 \\
&\ssi-0,3+0,1x_5=0,7\\
&\ssi 0,1x_5=1 \\
&\ssi x_5=10\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $\left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{2x+3}{3x+7}$ et $f’$ sa fonction dérivée.

a. $f'(x)=\dfrac{2}{3}$
b. $f'(x)=\dfrac{23}{(3x+7)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{5}{(3x+7)^2}$
d. $f'(x)=\dfrac{5}{3x+7}$

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x\in \left]-\dfrac{7}{3};+\infty\right[$ on a
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2(3x+7)-3(2x+3)}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{6x+14-6x-9}{(3x+7)^2} \\
&=\dfrac{5}{(3x+7)^2}\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

De 2017 à 2018, le prix d’un article a augmenté de $10 \%$. En 2019, ce même article a retrouvé son prix de 2018. Quelle a été l’évolution du prix entre 2018 et 2019 ?

a. une baisse de $10 \%$
b. une baisse de plus de $10 \%$
c. on ne peut pas savoir
d. une baisse de moins de $10 \%$

$\quad$

Correction Question 4

On appelle $x$ le pourcentage de diminution appliqué au prix entre 2018 et 2019.
On a ainsi
$\begin{align*} \left(1+\dfrac{10}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 &\ssi 1,01\left(1-\dfrac{x}{100}\right)=1 \\
&\ssi 1-\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}\\
&\ssi -\dfrac{x}{100}=\dfrac{1}{1,01}-1\\
&\ssi x=-100\left(\dfrac{1}{1,01}-1\right)\end{align*}$
Ainsi $x\approx 0,99$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=4$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-5$. On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable $u$ soit celle de $u_5$ . Quel algorithme doit-on choisir ?

$\begin{array}{llll}
\textbf{a.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}
&\textbf{b.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u_n-5\\\hspace{0.5cm}n=n+1\\\hline\end{array}\\\\
\textbf{c.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\\text{For $k$ in range $(5)$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hline\end{array}
&\textbf{d.}&\begin{array}{|l|}\hline
u=4\\n=0\\\text{While $\pp 5$ :}\\
\hspace{0.5cm} u=3*u-5\\\hspace{0.7cm}n=n+1\\\hline\end{array}\end{array}$

$\quad$

Correction Question 5

Algorithme a : il faudrait avoir $u=3*u-5$
Algorithme b : $u_n$ n’a pas de sens en python
Algorithme d : dans $\text{While }\pp 5$ il manque une variable avant le $\pp$.

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

 

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
    $\quad$
  4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
    $\quad$
  5. Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
    Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
    &=1,037u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
    $\quad$
  3. On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
    &\approx 373\end{align*}$
    Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
    &=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
    Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
    $30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
    $0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
    Ma quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence

E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi $300$ m² des champs d’une région.
Chaque semaine, la surface envahie augmente de $5 \%$ par le développement des racines, auquel s’ajoutent $15$ m² suite à la dissémination des graines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en m$^2$, après $n$ semaines ; on a donc $u_0 = 300$ m$^2$.

  1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
    $\quad$
    b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie, n’est ni arithmétique ni géométrique.
    $\quad$
    On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$.
  2. On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n + 300$.
    a. Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q= 1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = 600 \times 1,05^n-300$.
    $\quad$
  3. Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines ? Justifier la réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. On a :
    $\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_0+15\\
    &=1,05\times 300+15\\
    &=330\end{align*}$
    et
    $\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_1+15\\
    &=1,05\times 330+15\\
    &=361,5\end{align*}$
    $\quad$
    b. On a $u_1-u_0=30$ et $u_2-u_1=31,5$.
    Les différences ne sont pas égales : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
    $\dfrac{u_1}{u_0}=1,1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,092$
    Les quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
    $\quad$
  2. a. On a :
    $\begin{align*} v_0&=u_0+300\\
    &=300+300\\
    &=600\end{align*}$
    Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+300\ssi u_n=v_n-300$
    $\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+300\\
    &=1,02u_n+15+300\\
    &=1,05\left(v_n-300\right)+315\\
    &=1,05v_n-315+315\\
    &=1,05v_n\end{align*}$
    La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=600\times 1,05^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} u_n&=v_n-300\\
    &=600\times 1,05^n-300\end{align*}$
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} u_8&=600\times 1,05^8-300 \\
    &\approx 586,47\end{align*}$
    Par conséquent $u_8<2\times u_0$.
    L’affirmation est donc fausse.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

Les sujets proviennent de la banque nationale de sujets sous licence