E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2016, a été lancée une plateforme de streaming par abonnement.
Le tableau suivant donne le nombre d’abonnés (en million) au 31 décembre de chaque année de 2016 jusqu’en 2019. $$\begin{array}{|l|c|c|c|c|}
\hline
\text{Rang de l’année}&1&2&3&4\\
\hline
\text{31 décembre de l’année:}&2016&2017&2018&2019\\
\hline
\text{Nombre d’abonnés (en millions)}&12&13,7&15,8&18,2\\
\hline
\end{array}$$
Les responsables de cette plateforme étudient l’évolution du nombre d’abonnés afin d’adapter leurs investissements.

  1. Quelle a été en pourcentage l’évolution du nombre d’abonnés entre 2016 et 2017 ?
    $\quad$
  2. Expliquer pourquoi le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019, arrondi au centième, est de $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On considère que le nombre d’abonnés a augmenté de $15\%$ par an à partir de 2016. On décide de modéliser ce nombre d’abonnés (en millions) par une suite de premier terme $12$.
    Préciser la nature de cette suite et sa raison.
    $\quad$
  4. Quel sera selon ce modèle, le nombre d’abonnés au 31 décembre 2020 ?
    $\quad$
  5. Pour déterminer en quelle année, selon ce modèle, sera obtenu l’objectif de $40$ millions d’abonnés, on a défini en langage Python la fonction Seuil ci-dessous.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\ldots \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= $\ldots$}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$ afin que ce programme fournisse l’année où cet objectif sera atteint.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $\dfrac{13,7-12}{12}\approx 0,141~7$
    Le nombre d’abonnés a augmenté d’environ $14,17\%$ entre 2016 et 2017.
    $\quad$
  2. On a $12\left(1+\dfrac{14,89}{100}\right)^3\approx 18,2$.
    Le taux moyen d’évolution par an entre 2016 et 2019 est donc environ égal à $14,89\%$.
    $\quad$
  3. On appelle $u_n$ le nombre d’abonnés de l’année 2016$+n$. On a donc $u_1=12$.
    Pour tout entier naturel on a :
    $\begin{align*}u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)u_n \\
    &=1,15u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,15$ et de premier terme $u_1=12$.
    $\quad$
  4. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12\times 1,15^{n-1}$.
    En 2020 on a $n=5$.
    Par conséquent $u_5=12\times 1,15^4 \approx 20,99$.
    Selon ce modèle, il y aura $20,99$ millions d’abonnés au 31 décembre 2020.
    $\quad$
  5. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Seuil():}\\
    2&\hspace{0.5cm}\text{n=}\textcolor{Emerald}{2016}\\
    3&\hspace{0.5cm}\text{A=}\textcolor{Emerald}{12}\\
    4& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{while }}\text{A< } \textcolor{Emerald}{40 } \text{:}\\
    5& \hspace{1cm}\text{A= A*}\textcolor{Emerald}{1.15}\\
    6& \hspace{1cm}\text{n=n+}\textcolor{Emerald}{1}\\
    7& \hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

La bibliothèque municipale étant devenue trop petite, une commune a décidé d’ouvrir une médiathèque qui pourra contenir $100~000$ ouvrages au total. Pour l’ouverture prévue le 1$\ier$
janvier 2020, la médiathèque dispose du stock de $35~000$ ouvrages de l’ancienne bibliothèque, augmenté de $7~000$ ouvrages supplémentaires neufs offerts par la commune.

Partie A

Chaque année, le bibliothécaire est chargée de supprimer $5\%$ des ouvrages, trop vieux ou abîmés, et d’acheter $6~000$ ouvrages neufs.
On appelle $u_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+n$).
On donne $u_0 = 42$.

  1. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=u_n\times 0,95+6$.
    2. On propose ci-dessous un programme en
    langage Python :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def suite(n) :}\\
    \hspace{1cm}\text{u=42}\\
    \hspace{1cm}\text{for i in range(n) :}\\
    \hspace{2cm}\text{u=0.95*u+6}\\
    \hspace{1cm}\text{return u}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Expliquer ce que permet de déterminer ce programme.
    $\quad$

Partie B

La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que $4~000$ nouveaux ouvrages par an au lieu des $6~000$ prévus.
On appelle $v_n$ le nombre, en milliers, d’ouvrages disponibles le 1$\ier$ janvier de l’année (2020 $+ n$).

  1. On admet que $v_{n+1}=0,95\times v_n+4$ pour tout entier naturel $n\pg 0$ avec $v_0=42$.
    On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $w_n=v_n-80$.
    a. Montrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,95$ et préciser son premier terme $w_0$.
    $\quad$
    b. En déduire l’expression de $w_n$ puis de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  2. On donne ci-dessous un programme en langage Python.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def objet(A) :}\\
    \hspace{1cm}\text{v=42}\\
    \hspace{1cm}\text{n=0}\\
    \hspace{1cm}\text{while v<A :}\\
    \hspace{2cm}\text{v=0.95*v+4}\\
    \hspace{2cm}\text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm}\text{return n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’appel à la fonction $\text{objet(70)}$ renvoie $27$.
    Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

Partie A

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{5}{100}\right)u_n+6\\
    &=0,95u_n+6\end{align*}$
    $\quad$
  2. Ce programme permet de déterminer la valeur de $u_n$.
    $\quad$

Partie B

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} w_{n+1}&=v_{n+1}-80 \\
    &=0,95v_n+4-80\\
    &=0,95v_n-76\\
    &=0,95v_n-0,95\times 80\\
    &=0,95\left(v_n-80\right)\\
    &=0,95w_n\end{align*}$
    La suite $\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,95$ et de premier terme $w_0=v_0-80$ soit $w_0=-38$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $w_n=-38\times 0,95^n$.
    Par conséquent :
    $\begin{align*} v_n&=w_n+80 \\
    &=80-38\times 0,95^n\end{align*}$
    $\quad$
  2. Cela signifie que c’est à partir de 2047 que la bibliothèque possèdera plus de $70~000$ ouvrages.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le directeur d’une maternité en milieu rural a enregistré $900$ accouchements entre le 1$\ier$ janvier 2019 et le 31 décembre 2019.

Depuis déjà $10$ ans, il constate que le nombre d’accouchements baisse d’environ $4 \%$ chaque année par rapport à l’année précédente.

En supposant que cette diminution se poursuive avec ce même taux les prochaines années, il modélise le nombre d’accouchements de cette maternité pour l’année 2019 $+n$ à l’aide du $n$-ième terme d’une suite $\left(u_n\right)$. Il a ainsi $u_0 = 900$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison
    $\quad$.
  2. On considère la fonction $\text{Suite}$ définie ci-dessous en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    \textcolor{Aquamarine}{1}&\textcolor{blue}{\text{def }}\text{Suite(n):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{2}&\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{900}\\
    \textcolor{Aquamarine}{3}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in }}\textcolor{violet}{\text{range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
    \textcolor{Aquamarine}{4}&\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0.96}\text{*u}\\
    \textcolor{Aquamarine}{5}&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\\
    \hline\end{array}$$
    Quelle sera la valeur obtenue pour $\text{Suite(5)}$ ?
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Le directeur sait que la maternité devra fermer dès que le nombre d’accouchements deviendra inférieur à $600$.
    Avec ce modèle, la maternité sera-t-elle fermée en 2030 ? Justifier.
    $\quad$
  5. Selon ce modèle, en quelle année la maternité fermera-t-elle ses portes ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1-\dfrac{4}{100}\right)u_n \\
    &=0,96u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,96$. et de premier terme $u_0=900$.
    $\quad$
  2. L’appel $\text{Suite(5)}$ renvoie la valeur de $u_5$.
    Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    Donc $u_5=900\times 0,96^5 \approx 734$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=900\times 0,96^n$.
    $\quad$
  4. En 2030, on a $n=11$.
    $u_{11}=900\times 0,96^{11}\approx 574$
    Ainsi, $u_{11}<600$
    La maternité sera donc fermée en 2030.
    $\quad$
  5. $0<0,96<1$ et $u_0>0$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc décroissante.
    $u_9\approx  623$ et $u_{10}\approx 598$
    Ainsi la maternité fermera ses portes en 2029.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Pour tout entier naturel $n$, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=3\times \dfrac{10^n}{2^{n+1}}$.
La suite $\left(u_n\right)$ est une suite :

a.arithmétique de raison $3$.
b. géométrique de raison $3$.
c. arithmétique de raison $5$.
d. géométrique de raison $5$.

$\quad$

Correction Question 1

Pour tout entier naturel $n$ on a :
$\begin{align*} u_n&=3\times\dfrac{10^n}{2^{n+1}} \\
&=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{10^n}{2^n} \\
&=\dfrac{3}{2}\times 5^n\end{align*}$
La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $5$.

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé$\Oij$ du plan, on considère les points $A(-2; 1)$ et $B(2; 4)$.
La droite $\Delta$ passe par le point $C(-1; 1)$ et admet le vecteur $\vect{AB}$ pour vecteur normal.
La droite $\Delta$ admet pour équation cartésienne :

a. $3x-4y+7=0$
b. $4x+3y+1=0$
c. $3x-4y-1=0$
d. $4x+3y+7=0$

$\quad$

Correction Question 2

On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$. Une équation de la droite $\Delta$ est donc de la forme $4x+3y+c=0$.
Le point $C(-1;1)$ appartient à cette droite. Ainsi :
$-4+3+c=0 \ssi c=1$
Une équation de la droite $\Delta$ est donc $4x+3y+1=0$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, l’unique solution de l’équation $2\cos(x+\pi)+1=0$ est :

a. $\dfrac{\pi}{3}$
b. $-\dfrac{5\pi}{3}$
c. $\dfrac{\pi}{6}$
d. $\dfrac{2\pi}{3}$

$\quad$

Correction Question 3

$\begin{align*} 2\cos(x+\pi)+1=0&\ssi -2\cos(x)+1=0\\
&\ssi \cos(x)=\dfrac{1}{2}\end{align*}$

Donc, dans l’intervalle $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, la solution est $\dfrac{\pi}{3}$.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{\e^x}{1+\e^x}$.
La fonction dérivée $f’$ de la fonction $f$ est définie par :

a. $f'(x)=\dfrac{\e}{1+\e}$
b. $f'(x)=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$
c. $f'(x)=1$
d. $f'(x)=\dfrac{-\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}$

$\quad$

Correction Question 4

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{\e^x\left(1+\e^x\right)-\e^x\times \e^x}{\left(1+\e^x\right)^2} \\
&=\dfrac{\e^x}{\left(1+\e^x\right)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=-0,5(x+2)^2+4,5$.
On peut affirmer que :

a. Le tableau de variations de la fonction $f$ est donné ci-dessous:

b.
La courbe représentative de la fonction $f$ admet un sommet de coordonnées $(4,5; -2)$.
c. Le signe de $f(x)$ est donné ci-dessous :

d. La fonction $f$ admet un minimum en $-2$ égal à $4,5$

$\quad$

Correction Question 5

On a $f(x)=-0,5\left(x-(-2)\right)^2+4,5$
Le coefficient principal est $a=-0,5<0$. La fonction $f$ admet donc un maximum dont l’abscisse est $-2$. On exclut donc les réponses a.b., et d.

Réponse c

$\quad$

Remarque : On constate que $f(x)$ a été donné sous forme canonique.

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Le 1$\ier$ janvier 2019, le propriétaire d’un appartement a fixé à $650$ euros le montant des loyers mensuels pour l’année 2019. Chaque 1$\ier$ janvier, le propriétaire augmente de $1,52 \%$ le loyer mensuel.
On modélise l’évolution du montant des loyers mensuels par une suite $\left(u_n\right)$. L’arrondi à l’unité du terme $u_n$ représente le montant, en euros, du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier de l’année (2019 $+ n$), pour $n$ entier naturel. Ainsi $u_0 = 650$ euros.

  1. a. Calculer le montant du loyer mensuel fixé le 1$\ier$ janvier 2020.
    $\quad$
    b. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison et son premier terme.
    $\quad$
    c. Calculer le montant du loyer mensuel qui, selon ce modèle, sera fixé pour l’année 2027.
    $\quad$
  2. Pour calculer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2019 à 2019$+\text{A}$, on utilise la fonction ci-dessous, écrite en langage Python.
    $$\begin{array}{|cl|}
    \hline
    1& \textbf{def somme(A):}\\
    2& \hspace{1cm}\textbf{S=0}\\
    3& \hspace{1cm}\textbf{n=0}\\
    4& \hspace{1cm}\textbf{while n<=A:}\\
    5& \hspace{2cm}\textbf{S=S+7800*1.0152**n}\\
    6& \hspace{2cm}\textbf{n = n + 1}\\
    7& \hspace{1cm}\textbf{return S}\\
    \hline
    \end{array}$$
    L’exécution de ce programme pour quelques valeurs de $\text{A}$ donne les résultats ci-dessous :
    $$\begin{array}{l}
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{0}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{7800.0}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{1}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{15718.560000000001}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{2}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{23757.482112000005}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{3}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{31918.595840102407}\\
    \text{>>> somme}\textcolor{brown}{(}\textcolor{Emerald}{8}\textcolor{brown}{)}\\
    \textcolor{Emerald}{74623.04180934158}
    \end{array}$$
    a. Interpréter, dans le contexte de l’exercice, le résultat obtenu lors de l’appel $\text{somme(1)}$.
    $\quad$
    b. Déterminer la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 incluses. On arrondira le résultat à l’unité.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. $u_1=650\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right)=659,88$.
    Au 1$\ier$ janvier 2020, le loyer est de $660$ euros.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} u_{n+1}=u_n\times \left(1+\dfrac{1,52}{100}\right) \\
    &=1,0152u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,0152$ et de premier terme $u_0=650$.
    $\quad$
    c. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=650\times 1,0152^n$.
    En 2027, on a $n=8$.
    $u_8=650\times 1,0152^8\approx 733,38$
    En 2027, le loyer sera, selon ce modère, de $733$ euros.
    $\quad$
  2. a. Il s’agit de la somme totale des loyers perçus en 2019 et 2020.
    $\quad$
    b. En 2022, on a $n=3$ et en 2027 on a $n=8$.
    Ainsi la somme totale des loyers perçus par le propriétaire durant les années 2022 à 2027 est :
    $\begin{align*} S&=\text{somme(8)}-\text{somme(2)} \\
    &=74623.04180934158-23757.482112000005\\
    &\approx 50~866\end{align*}$

[collapse]

$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un journal hebdomadaire est sur le point d’être créé.
Une étude de marché aboutit à deux estimations différentes concernant le nombre de journaux vendus :

  • $1^{\text{re}}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression des ventes de $3 \%$ chaque semaine.
  • $2^{\e}$ estimation : $1~000$ journaux vendus lors du lancement, puis une progression régulière de $40$ journaux supplémentaires vendus chaque semaine.

On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ telles que, pour tout entier naturel $n\pg 1$, $u_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la première estimation et $v_n$ représente le nombre de journaux vendus la $n$-ième semaine selon la deuxième estimation. Ainsi, $u_1 = v_1 = 1~000$.

  1. On considère la feuille de calcul ci-dessous :

    Quelle formule, saisie en $B3$ et recopiée vers le bas, permet d’obtenir les termes de la suite $\left(u_n\right)$ ?
    $\quad$
  2. a. Donner la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis celle de la suite $\left(v_n\right)$. Justifier.
    $\quad$
    b. Montrer que pour tout entier naturel $n\pg 1$, $v_n = 960 + 40n$.
    $\quad$
    c. Écrire, pour tout entier naturel $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. On définit, pour tout entier $n\pg 1$, la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=v_n-u_n$. On donne ci-dessous un extrait de son tableau de valeurs :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
    \hline
    n& 1& 2&\hspace{1cm}& 19& 20& 21& 22\\
    \hline
    w_n& 0& 10&& 18& 6& -6& -20\\
    \hline
    \end{array}$$
    À partir de quelle semaine le nombre de journaux vendus d’après la première estimation devient-il supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a pu saisir $=B2*1,03$
    $\quad$
  2. a. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_{n+1}=1,03u_n$ et $v_{n+1}=v_n+40$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$ et la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique de raison $40$ et de premier terme $v_1=1~000$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc :
    $\begin{align*} u_n&=1~000+40(n-1) \\
    &=1~000+40n-40\\
    &=960+40n\end{align*}$
    $\quad$
    c. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $u_1=1~000$
    Pour tout entier naturel $n\pg 1$ on a donc $u_n=1~000\times 1,03^{n-1}$.
    $\quad$
  3. D’après le tableau, $w_n<0$ pour $n\pg 21$ et $w_n\pg 0$ sinon.
    C’est donc à partir de la $21\ieme$ semaine que le nombre de journaux vendus d’après la première estimation semble devenir supérieur au nombre de journaux vendus d’après la deuxième estimation.
    Remarque : Le tableau ne fournissant pas les valeurs de $w_n$ entre $n=3$ et $n=18$, il faudrait une étude plus précise de la suite $\left(w_n\right)$ ou le calcul des termes manquants pour établir avec certitude que ce rang est effectivement le premier.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Fanny est inscrite dans un club d’athlétisme. Elle pratique le penta bond (le penta bond est un enchaînement de cinq bonds après une course d’élan).
La première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m.
Chaque semaine, la longueur de son saut augmente de $0,1$ m.
Pour $n$ entier naturel non nul, on note $s_n$ la longueur, en mètres, de son saut la $n$-ième semaine d’entraînement.
Puisque lors de la première semaine d’entraînement, Fanny réalise un saut de $8$ m, on a $s_1 = 8$.

  1. Pour $n\pg 2$, on considère la fonction Python suivante.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def saut(n):}\\
    \hspace{1cm}\text{s=8}\\
    \hspace{1cm}\text{for k in range(2,n+1):}\\
    \hspace{2cm}\text{s=s+0.1}\\
    \hspace{1cm}\text{return s}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Quelle valeur $\text{s}$ est-elle renvoyée par la commande $\text{saut(4)}$ ?
    $\quad$
    b. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
    $\quad$
  2. Exprimer avec justification $s_n$ en fonction de $n$ pour $n$ entier naturel non nul.
    $\quad$
  3. Pour être qualifiée à une compétition, Fanny doit faire un saut d’au moins $12$ mètres.
    a. À partir de quelle semaine, Fanny réalisera-t-elle un tel saut ?
    $\quad$
    b. Justifier votre réponse.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. La variable $\text{s}$ prend successivement les valeurs suivantes : $8$; $8,1$; $8,2$; $8,3$.
    La commande $\text{saut(4)}$ renvoie donc la valeur $8,3$.
    $\quad$
    b. Cela signifie donc que Fanny réalise un saut de $8,3$ m lors de sa quatrième semaine d’entraînement.
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $s_{n+1}=s_n+0,1$.
    La suite $\left(s_n\right)$ est donc arithmétique de raison $0,1$ et de premier terme $s_1=8$.
    Par conséquent, pour tout entier $n$ non nul on a $s_n=8+0,1(n-1)$.
    $\quad$
  3. a. et b. On veut déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que :
    $\begin{align*} s_n\pg 12&\ssi 8+0,1(n-1)\pg 12 \\
    &\ssi 0,1(n-1)\pg 4 \\
    &\ssi n-1\pg 40 \\
    &\ssi n\pg 41\end{align*}$
    Elle réalisera donc un saut d’au moins $12$ mètres à partir de la $41\ieme$ semaine.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des affirmations proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère la droite $d$ dont une équation cartésienne dans un repère orthonormé est $2x-3y+4=0$.

a. Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}-6\\4\end{pmatrix}$
b. Un vecteur normal de $d$ est $\vec{n}\begin{pmatrix}-12\\18\end{pmatrix}$
c. Le point $C(-5;2)$ appartient à la droite $d$.
d. La droite $d$ coupe la droite d’équation $-x+3y-2=0$ au point $F(1;2)$.

$\quad$

Correction Question 1

Un vecteur directeur de $d$ est $\vec{v}\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}$. Ainsi $-2\vec{v}\begin{pmatrix}-6\\-4\end{pmatrix}$ est également un vecteur directeur de $d$. On exclut donc la réponde a.

Un vecteur normal de $d$ est $\vec{m}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$.
Ainsi $-6\vec{m}=\vec{n}$ est également un vecteur normal de $d$.

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormé le cercle $\mathcal{C}$ a pour équation $x^2-2x+y^2+y=3$ et la droite $D$ pour équation $y = 1$.

a. $\mathcal{C}$ et $D$ n’ont aucun point d’intersection.
b. $\mathcal{C}$ et $D$ ont un seul point d’intersection.
c. $\mathcal{C}$ et $D$ ont deux points d’intersection.
d. On ne peut pas savoir combien $\mathcal{C}$ et $D$ ont de points d’intersection.

$\quad$

Correction Question 2

On veut résoudre le système suivant :
$\begin{align*} \begin{cases} x^2-2x+y^2+y=3\\y=1\end{cases} &\ssi \begin{cases} x^2-2x+1+1=3\\y=1\end{cases} \\
&\ssi \begin{cases} x^2-2x-1=0\\y=1\end{cases} \end{align*}$
Le discriminant de $x^2-2x-1=0$ est :
$\begin{align*} \Delta&=(-2)^2-4\times 1\times (-1) \\
&=8\\
&>0\end{align*}$
L’équation possède donc deux solutions réelles et le système précédent également

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

La fonction $f$ est la fonction définie sur l’ensemble des réels par $f(x)=\cos(2x)$.

a. $f$ est paire.
b. $f$ est impaire.
c. $f$ n’est ni paire ni impaire.
d. $f$ a pour période $\dfrac{\pi}{2}$.

$\quad$

Correction Question 3

Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f(-x)&=\cos(-2x)\\
&=\cos(2x)\\
&=f(x)\end{align*}$
La fonction $f$ est donc paire.

Réponse a

$\quad$

[collapse]

$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=1$ et pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_n+\dfrac{2}{u_n}\right)$.
On définit en langage Python une fonction « Suite » pour calculer $u_n$ connaissant $n$.

$\begin{array}{|l|l|l|l|}
\hline
\textbf{a.}& \begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{0}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}
&
\textbf{b.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{n}\end{array}\\\hline
\textbf{c.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}&
\textbf{d.}&\begin{array}{l}
\textcolor{blue}{\text{def }}\text{suite(n):}\\
\hspace{0.5cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\\
\hspace{0.5cm} \textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range }}\text{(}\textcolor{Emerald}{1}\text{,n+}\textcolor{Emerald}{1}\text{):}\\
\hspace{1cm}\text{u=}\textcolor{Emerald}{1}\text{/}\textcolor{Emerald}{2}\text{*(u+}\textcolor{Emerald}{2}\text{/u)}\\
\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{return }}\text{u}\end{array}\\\hline\end{array}$

$\quad$

Correction Question 4

Le premier terme est $u_0=1$ : on exclut la réponse a.
La fonction doit renvoyer la valeur de $u_n$ : on exclut la réponse b.
Il manque les parenthèses pour le calcul de $\text{u}$ dans la réponse c.

Réponse d

$\quad$

Remarque : Dès le premier tour de boucle, le programme a provoque une erreur puisqu’on tente de diviser par $0$ !

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

L’équation $\e^x=1$:

a. n’a pas de solution.
b. a pour solution le nombre $1$.
c. a pour solution le nombre $0$.
d. a pour solution le nombre $\e$.

$\quad$

Correction Question 5

On a $e^0=1$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Un propriétaire propose à un commerçant deux types de contrat pour la location d’un local pendant $3$ ans.
1$\ier$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $5$ € par mois jusqu’à la fin du bail.
2$\ieme$ contrat : un loyer de $200$ € pour le premier mois puis une augmentation de $2\%$ par mois jusqu’à la fin du bail.

On modélise ces deux contrats par des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, de sorte que pour tout entier $n\pg 1$, le prix du loyer le $n$-ième mois avec le 1$\ier$ contrat est représenté par $u_n$ et le prix du loyer
le $n$-ième mois avec le 2$\ieme$ contrat est représenté par $v_n$.
On a ainsi $u_1=v_1=200$.

  1. Calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis le loyer du troisième mois.
    $\quad$
  2. Le commerçant a écrit un programme en langage Python qui lui permet de déterminer $u_n$ et $v_n$ pour une valeur donnée de $n$.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= $\ldots$}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= $\ldots$}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    a. Recopier et compléter les lignes $5$ et $6$ de ce programme.
    $\quad$
    b. Quels nombres obtiendra-t-on avec $n=4$ ?
    $\quad$
  3. Déterminer, pour tout entier $n\pg 1$, l’expression de $u_n$ et de $v_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  4. Quel contrat coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le deuxième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $200+5=205$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $200\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=204$€.
    Le troisième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $205+5=210$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $204\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=208,08$€.
    $\quad$
  2. a. On obtient le programme suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\text{u=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    2&\text{v=}\textcolor{Emerald}{200}\\
    3&\text{n=}\textcolor{blue}{\text{int}}\text{(}\textcolor{blue}{\text{input}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Saisir une valeur de n :”}}\text{))}\\
    4&\textcolor{blue}{\text{for }}\text{i }\textcolor{blue}{\text{in range}}\text{(}\textcolor{Emerald}{\text{1}}\text{,n):}\\
    5&\hspace{0,5cm} \text{u= }\textcolor{Emerad}{5}\text{+u}\\
    6&\hspace{0,5cm} \text{v= }\textcolor{Emerad}{1.02}\text{*v}\\
    7&\textcolor{blue}{\text{print}}\text{(}\textcolor{red}{\text{“Pour n =”}}\text{,n,}\textcolor{red}{\text{“on a”}}\text{,}\textcolor{red}{\text{“u =”}}\text{,u,}\textcolor{red}{\text{” et v =”}}\text{,v)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
    b. Le quatrième mois les loyers sont :
    – pour le 1$\ier$ contrat $210+5=215$ €.
    – pour le 2$\ieme$ contrat $208,08\times \left(1+\dfrac{2}{100}\right)=212,241~6$€.
    La variable $\text{u}$ contient donc la valeur $215$ et la variable $\text{v}$ la valeur $212,241~6$.
    $\quad$
  3. Pour tout entier naturel $n$ non nul on a donc $u_{n+1}=u_n+5$ et $v_{n+1}=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)v_n$ soit $v_{n+1}=1,02v_n$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est par conséquent arithmétique de raison $5$ et de premier terme $u_1=200$.
    La suite $\left(v_n\right)$ est par conséquent géométrique de raison $1,02$ et de premier terme $u_1=200$.
    Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=200+5(n-1)$ et $v_n=200\times 1,02^{n-1}$.
    $\quad$
  4. $3$ ans $=36$ mois.
    On a :
    $\begin{align*} u_{36}&=200+5\times 35\\
    &=375\end{align*}$
    Le 1$\ier$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_1&=36\times \dfrac{200+375}{2} \\
    &=10~350\end{align*}$
    Le 2$\ieme$ contrat coûtera au total :
    $\begin{align*} S_2&=200\times \dfrac{1-1,02^{36}}{1-1,02}\\
    &\approx 10~398,87\end{align*}$
    C’est donc le 1$\ier$ contrat qui coûtera le moins cher au total pour l’ensemble d’un bail de $3$ ans.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes.Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1;4]$.
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_f$ et la tangente à cette courbe au point $A$ de coordonnées $(2;2)$.

L’équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point $A$ est :

a. $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$
b. $y=2(x-2)+\dfrac{2}{3}$
c. $y=\dfrac{2}{3}(x+2)+2$
d. $y=\dfrac{3}{2}(x-2)+2$

$\quad$

Correction Question 1

Le coefficient directeur de la tangente est :
$\begin{align*} m&=\dfrac{4-2}{5-2}\\
&=\dfrac{2}{3}\end{align*}$
De plus $f(2)=2$
Une équation de la tangente est donc $y=\dfrac{2}{3}(x-2)+2$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Dans un repère orthonormal $(O;I,J)$, le point $A$, placé ci-dessous sur le cercle trigonométrique de centre $O$ d’origine $I$, est associé au nombre réel :

a. $\dfrac{11\pi}{6}$
b.
$\dfrac{2\pi}{3}$
c. $-\dfrac{2\pi}{3}$
d. $-\dfrac{3\pi}{4}$

$\quad$

Correction Question 2

L’abscisse du point $A$ semble être égale à $-0,5$ et son ordonnée est négative.
Or $\cos \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=-0,5$ et $\sin \left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)<0$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère une fonction du second degré $f$ définie sur $\R$ par $$f(x)=ax^2+bx$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels strictement positifs.
Quelle est la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé?

$\quad$

Correction Question 3

Le discriminant de cette fonction du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=b^2-4\times a\times 0\\
&=b^2\\
&>0\end{align*}$
L’équation $f(x)=0$ possède donc deux solutions réelles.
De plus, le coefficient principal est $a>0$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans le plan muni d’un repère orthonormé une droite $\mathcal{D}$ a pour équation $x-2y=1$.
Parmi les propositions suivantes, laquelle est correcte?

a. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$.
b. Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.
c. Le point de coordonnées $A(1;-2)$ appartient à la droite $\mathcal{D}$.
d. L’ordonnée à l’origine de la droite $\mathcal{D}$ est égale à $1$.

$\quad$

Correction Question 4

Le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de la droite $\mathcal{D}$.

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Un homme marche pendant $10$ jours. Le premier jour, il parcourt 12 km. Chaque jour, il parcourt $500$ m de moins que la veille. Durant ces dix jours, il aura parcouru au total :

a. $95$ km
b. $97,5$ km
c. $19$ km
d. $84$ km

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $u_n$ la distance parcourue le $n$-ième jour, en kilomètres.
On a ainsi $u_1=12$ et pour tout entier naturel $n$ compris entre $1$ et $9$ on a $u_{n+1}=u_n-0,5$.
La suite $\left(u_n\right)$ est donc arithmétique de raison $-0,5$ et de premier terme $u_1=12$.
Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=12-0,5(n-1)$
Ainsi $u_{10}=7,5$.
La distance totale parcourue est donc :
$\begin{align*} D&=10\times \dfrac{u_1+u_{10}}{2} \\
&=10\times \dfrac{12+7,5}{2}\\
&=97,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

[collapse]

$\quad$

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