E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer votre réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.
Une urne contient $150$ jetons rouges et $50$ jetons bleus, tous indiscernables au toucher. $20 \%$ des jetons rouges sont gagnants et $40 \%$ des jetons bleus sont gagnants. Un joueur tire au hasard un jeton de l’urne.

Question 1

La probabilité que le jeton soit rouge et gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,45$
c. $0,15$
d. $0,95$

$\quad$

Correction Question 1

On note les événements :

  • $R$ : le jeton est rouge;
  • $G$ : le jeton est gagnant.

On a ainsi
$\begin{align*} P(R)&=\dfrac{150}{250}\\
&=0,75\end{align*}$
et $P_R(G)=0,2$
Par conséquent :
$\begin{align*} P(R\cap G)&=P(R)\times P_R(G)\\
&=0,75\times 0,2\\
&=0,15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 2

La probabilité que le jeton soit gagnant est :

a. $0,2$
b. $0,6$
c. $0,25$
d. $0,4$

$\quad$

Correction Question 2

On utilise les notations de la correction de la question 1.
$R$ et $\conj{R}$ forment un système complet d’événements fini.
D’après la formule des probabilités totales :
$\begin{align*} P(G)&=P(R\cap G)+P\left(\conj{R}\cap G\right) \\
&=0,15+\dfrac{50}{200}\times 0,4\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 3

Un joueur tire successivement et avec remise deux jetons de l’urne. La probabilité qu’il tire deux jetons rouges est :

a. $0,562~5$
b. $0,75$
c. $0,30$
d. $0,15$

$\quad$

Correction Question 3

La probabilité de tirer deux jetons rouges est :
$\begin{align*} p&=0,75^2 \\
&=0,562~5\end{align*}$

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

On note $X$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros d’un joueur. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Valeurs $a$ prises par $X$}&-5&0&10\\
\hline
P(X=a)&0,6&0,15&0,25\\
\hline
\end{array}$$

Question 4

La probabilité $P(X > 0)$ est égale à :

a. $0,15$
b. $0,6$
c. $10$
d. $0,25$

$\quad$

Correction Question 4

On a :
$\begin{align*} P(X>0)&=P(X=10)\\
&=0,25\end{align*}$

Réponse d

$\quad$

[collapse]

$\quad$

Question 5

Le gain algébrique moyen en euros que peut espérer un joueur est égale à :

a. $0$
b. $-0,5$
c. $\dfrac{5}{3}$
d. $5$

$\quad$

Correction Question 5

L’espérance mathématique de $X$ est :
$\begin{align*} E(X)&=-5\times P(X=-5)+0\times P(X=0)+10\times P(X=10)\\
&=-5\times 0,6+10\times 0,25\\
&=-0,5\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est muni d’un repère orthonormé $\Oij$.

On considère les points : $A(-1 ; -3)$, $B(1 ; 2)$ et $C(7 ; 1)$.

  1. Le triangle $ABC$ est-il isocèle en $B$ ?
    $\quad$
  2. Déterminer la valeur arrondie au dixième de degré de l’angle $\widehat{BAC}$.
    $\quad$
  3. On considère le point $H$ de coordonnées$ (2,6 ; -1,2)$.
    Le point $H$ est-il le projeté orthogonal du point B sur la droite $(AC)$ ?
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} BA&=\sqrt{(-1-1)^2+(-3-2)^2} \\
    &=\sqrt{4+25}\\
    &=\sqrt{29}\end{align*}$
    $\begin{align*} BC&=\sqrt{(7-1)^2+(1-2)^2}\\
    &=\sqrt{36+1}\\
    &=\sqrt{37}\end{align*}$
    Par conséquent $BA\neq BC$ : le triangle $ABC$ n’est pas isocèle en $B$.
    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$ et $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$
    Ainsi :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=2\times8+5\times 4\\
    &=36\end{align*}$
    $\quad$
    $\begin{align*}AC&=\sqrt{8^2+4^2}\\
    &=\sqrt{80}\end{align*}$
    On a également :
    $\begin{align*} \vect{AB}.\vect{AC}&=AB\times AC\times \cos \widehat{BAC}\\
    &=\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}\end{align*}$
    Par conséquent $\sqrt{29}\times \sqrt{80}\cos \widehat{BAC}=36$
    Donc $\cos \widehat{BAC}=\dfrac{36}{\sqrt{29}\times \sqrt{80}}$
    Ainsi $\widehat{BAC}\approx 41,6$°
    $\quad$
  3. $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$
    Montrons que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{AH}\begin{pmatrix}3,6\\1,8\end{pmatrix}$ sont colinéaires.
    $\begin{align*}\det\left(\vect{AC}.\vect{AH}\right)&=8\times 1,8-4\times 3,6\\
    &=14,4-14,4\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont colinéaires. Le point $H$ appartient donc à la droite $(AC)$.
    Montrons maintenant que les vecteurs $\vect{AC}\begin{pmatrix}8\\4\end{pmatrix}$ et $\vect{BH}\begin{pmatrix}1,6\\-3,2\end{pmatrix}$ sont orthogonaux.
    $\begin{align*} \vect{AC}.\vect{BH}&=8\times 1,6+4\times (-3,2)\\
    &=12,8-12,8\\
    &=0\end{align*}$
    Les deux vecteurs sont orthogonaux.
    Par conséquent $H$ est le projeté orthogonal du point $B$ sur la droite $(AC)$.
    $\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2002, Camille a acheté une voiture, son prix était alors de $10~500$ €. La valeur de cette voiture a baissé de $14 \%$ par an.

  1. La valeur de cette voiture est modélisée par une suite. On note $P_n$ la valeur de la voiture en l’année 2002$+𝑛$. On a donc $P_0 = 10~500$.
    a. Déterminer la nature de la suite $\left(P_n\right)$.
    $\quad$
    b. Quelle était la valeur de cette voiture en 2010 ?
    $\quad$
  2. Camille aimerait savoir à partir de quelle année la valeur de sa voiture est inférieure à $1~500$ €. Pour l’aider, on réalise le programme Python incomplet ci-dessous.
    a. Recopier et compléter sur votre copie les deux parties en pointillé du programme ci-dessous :
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P} \ldots\ldots\ldots\ldots :\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=}\ldots\ldots\ldots\ldots\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. a. Pour tout entier naturel $n$ on a :
    $\begin{align*} P_{n+1}&=\left(1-\dfrac{14}{100}\right)P_n\\
    &=0,86P_n\end{align*}$
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,86$ et de premier terme $P_0=10~500$.
    $\quad$
    b. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $P_n=10~500\times 0,86^n$
    $\begin{align*} P_8&=10~500\times 0,86^8\\
    &\approx 3~141,79\end{align*}$
    La voiture valait environ $3~141,79$ euros en 2010.µ
    $\quad$
  2. a.
    $$\begin{array}{|l|}
    \hline
    \text{def algo():}\\
    \hspace{1cm} \text{P=10500}\\
    \hspace{1cm} \text{n=2002}\\
    \hspace{1cm} \text{while P>=1500}:\hspace{2cm}\\
    \hspace{2cm} \text{P=0,86*P}\\
    \hspace{2cm} \text{n=n+1}\\
    \hspace{1cm} \text{return(n)}\\
    \hline
    \end{array}$$
    b. $0<0,86<1$ et $P_0>0$.
    La suite $\left(P_n\right)$ est donc décroissante.
    $P_{12}\approx 1~718,6$ et $P_{13}\approx 1~478,0$
    Ainsi le programme renvoie la valeur $2015$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Une entreprise fabrique un engrais biologique. Chaque jour, le volume d’engrais fabriqué est compris entre $5$ m$^3$ et $60$ m$^3$.

Le coût moyen quotidien de production de cet engrais, exprimé en centaines d’euros, est modélisé par la fonction $f$ définie sur l’intervalle $[5 ; 60]$ par : $$f(x)=\dfrac{x^2-15x+400}{x}$$
où $x$ est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m$^3$.

  1. Déterminer le coût moyen quotidien pour la production de $5$ m$^3$ d’engrais.
    $\quad$
  2. Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ € ($43$ centaines d’euros) ?
    $\quad$
  3. Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen de production est-il minimal ? Déterminer ce coût moyen minimal.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On a :
    $\begin{align*} f(5)&=\dfrac{5^2-15\times 5 +400}{5}\\
    &=70\end{align*}$
    Le coût moyen pour la fabrication de $5$ m$^3$ d’engrais est $7~000$ euros.
    $\quad$
  2. On veut déterminer sur $[5;60]$ les solutions de
    $\begin{align*} f(x)=43&\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}=43 \\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400}{x}-43=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-15x+400-43x}{x}=0\\
    &\ssi \dfrac{x^2-58x+400}{x}=0\end{align*}$
    Déterminons les racines de $x^2-58x+400$
    $\begin{align*}\Delta&=(-58)^2-4\times 1\times 400\\
    &=1~764\\
    &>0\end{align*}$
    Les racines sont donc :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{58-\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=8\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{58+\sqrt{1~764}}{2}\\
    &=50\end{align*}$
    Il faut donc fabriquer $8$ ou $50$ m$^3$ d’engrais pour avoir un coût moyen de production égal à $4~300$ euros.
    $\quad$
  3. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $[5;60]$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x$ appartenant à $[5;60]$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x-15)x-1\times \left(x^2-15x+400\right) }{x^2} \\
    &=\dfrac{2x^2-15x-x^2+15x-400}{x^2} \\
    &=\dfrac{x^2-400}{x^2}\end{align*}$
    Un carré étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ ne dépend que de celui de $x^2-400$.
    Or, sur $[5;60]$,
    $\begin{align*}x^2-400>0&\ssi x^2>400\\
    &\ssi x>\sqrt{400}\\
    &\ssi x>20\end{align*}$
    La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[5;20]$ et strictement croissante sur l’intervalle $[20;60]$.
    Il faut donc fabriquer $20$ m$^3$ d’engrais pour que le coût moyen de production soit minimal.
    $f(20)=25$.
    Ce coût minimal est alors $2~500$ euros.
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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