E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.
Relevez sur votre copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.

Question 1

Quelle est la forme factorisée de $f(x)=0,5(x-2)^2-8$?

a. $0,5x^2-2x-6$
b. $0,5(x-6)(x+2)$
c. $0,5(x+10)(x-6)$
d. $0,5(x-10)(x+6)$

$\quad$

Correction Question 1

$\begin{align*} f(x)&=0,5(x-2)^2-8 \\
&=0,5\left[(x-2)^2-16\right]\\
&=0,5\left[(x-2)^2-4^2\right]\\
&=0,5\left[(x-2)-4\right]\left[(x-2)+4\right] \\
&=0,5(x-6)(x+2)\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

Question 2

$\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de raison $r = 0,5$ telle que $u_{10} = -4$. Quelle est la valeur du terme $u_2$ ?

a. $8$
b. $0$
c. $-10$
d. $-8$

$\quad$

Correction Question 2

On a $u_{10}=u_2+8r$
Donc $u_2=u_{10}-8r$ soit $u_2=-8$

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x\neq -2$ par : $f(x)=\dfrac{2x-1}{x+2}$.
Parmi les expressions suivantes, laquelle définit la dérivée $f’$ de la fonction $f$ sur $\R\backslash \lbrace -2\rbrace$ ?

a. $f'(x)=-\dfrac{5}{(x+2)^2}$
b. $f'(x)=\dfrac{5}{(x+2)^2}$
c. $f'(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}$
d. $f'(x)=2$

$\quad$

Correction Question 3

$f$ est dérivable sur $]-\infty;-2[\cup]-2;+\infty[$ en tant que quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s’annule pas.
Pour tout réel $x \neq -2$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\times(x+2)-1\times(2x-1)}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{2x+4-2x+1}{(x+2)^2} \\
&=\dfrac{5}{(x+2)^2}\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Laquelle de ces équations est une équation cartésienne de la droite $\Delta$ de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ et passant par le point $A(-1;3)$?

a. $2x-y+1=0$
b. $-x+2y-7=0$
c. $x+2y+1=0$
d. $-2x-y+1=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une équation de $\Delta$ est donc de la forme $2x+y+c=0$
Le point $A(-1;3)$ appartient à $\Delta$.
Donc $2\times (-1)+3+c=0 \ssi c=-1$.
Une équation de $\Delta$ est donc $2x+y-1=0$.
En multipliant les deux membres par $-1$ on obtient l’équation $-2x-y+1=0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 5

On se place dans un repère orthonormé $\Oij$. Parmi ces propositions, quelle est l’équation cartésienne du cercle de centre $A(2 ; 4)$ et de rayon $3$ ?

a. $(x-2)^2+(y-4)^2=3$
b. $(x+2)^2+(y+4)^2=9$
c. $x^2+y^2-4x-8y+11=0$
d. $x^2+y^2+11=0$

$\quad$

Correction Question 5

Une équation du cercle est :
$\begin{align*} &(x-2)^2+(y-4)^2=3^2 \\
\ssi~&x^2-4x+4+y^2-8y+16=9 \\
\ssi~&x^2-4x+y^2-8y+11=0\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Aujourd’hui les chardons (une plante vivace) ont envahi $300$ m² des champs d’une région.
Chaque semaine, la surface envahie augmente de $5 \%$ par le développement des racines, auquel s’ajoutent $15$ m² suite à la dissémination des graines.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la surface envahie par les chardons, en m$^2$, après $n$ semaines ; on a donc $u_0 = 300$ m$^2$.

a. Calculer $u_1$ et $u_2$.
$\quad$
b. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ ainsi définie, n’est ni arithmétique ni géométrique.
$\quad$
On admet dans la suite de l’exercice que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 1,05u_n + 15$.
On considère la suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$, par : $v_n = u_n + 300$.
a. Calculer $v_0$, puis montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $q= 1,05$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $u_n = 600 \times 1,05^n-300$.
$\quad$
Est-il correct d’affirmer que la surface envahie par les chardons aura doublé au bout de $8$ semaines ? Justifier la réponse.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On a :
$\begin{align*} u_1&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_0+15\\
&=1,05\times 300+15\\
&=330\end{align*}$
et
$\begin{align*} u_2&=\left(1+\dfrac{5}{100}\right)\times u_1+15\\
&=1,05\times 330+15\\
&=361,5\end{align*}$
$\quad$
b. On a $u_1-u_0=30$ et $u_2-u_1=31,5$.
Les différences ne sont pas égales : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas arithmétique.
$\dfrac{u_1}{u_0}=1,1$ et $\dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,092$
Les quotients ne sont pas égaux : la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\quad$
a. On a :
$\begin{align*} v_0&=u_0+300\\
&=300+300\\
&=600\end{align*}$
Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=u_n+300\ssi u_n=v_n-300$
$\begin{align*} v_{n+1}&=u_{n+1}+300\\
&=1,02u_n+15+300\\
&=1,05\left(v_n-300\right)+315\\
&=1,05v_n-315+315\\
&=1,05v_n\end{align*}$
La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,05$.
$\quad$
b. Pour tout entier naturel $n$ on a $v_n=600\times 1,05^n$.
Par conséquent :
$\begin{align*} u_n&=v_n-300\\
&=600\times 1,05^n-300\end{align*}$
$\quad$
On a :
$\begin{align*} u_8&=600\times 1,05^8-300 \\
&\approx 586,47\end{align*}$
Par conséquent $u_8<2\times u_0$.
L’affirmation est donc fausse.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

Dans la figure ci-dessous, on a tracé $C_f$, la courbe représentative d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ ainsi que les tangentes à $C_f$ aux points d’abscisses $-2$, $-1$ et $0$.

Recopier sur la copie en le complétant le tableau de valeurs ci-dessous.
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x&-1&0\\
\hline
f(x)&\phantom{123}&\phantom{123}\\
\hline
f'(x)&&\\
\hline
\end{array}$$
On admet que la fonction $f$ est définie sur $\R$ par : $$f(x)=x^3+3x^2+2x+1$$
a. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
$\quad$
b. Résoudre dans $\R$ l’équation : $f'(x)=0$.
$\quad$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
$\quad$
Le point $S(-4 ; -3)$ appartient-il à la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $x=-2$ ?
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

On obtient le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
x&-1&0\\
\hline
f(x)&\phantom{1}1\phantom{1}&\phantom{1}1\phantom{1}\\
\hline
f'(x)&-1&2\\
\hline
\end{array}$$
$C_f$ passe par le point de coordonnées $(-1;1)$ donc $f(-1)=1$.
$C_f$ passe par le point de coordonnées $(0;1)$ donc $f(0)=1$.
$f'(-1)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(-1)=-1$.
$f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse $-1$ donc $f'(0)=2$.
$\quad$
a. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que fonction polynôme.
Pour tout réel $x$ on a :
$\begin{align*} f'(x)&=3x^2+3\times 2x+2\\
&=3x^2+6x+2\end{align*}$
$\quad$
b. $f'(x)=0\ssi 3x^2+6x+2=0$
$\begin{align*} \Delta&=6^2-4\times 3\times 2\\
&=12\\
&>0\end{align*}$
L’équation $f'(x)=0$ possède donc deux solutions réelles :
$\begin{align*} x_1&=\dfrac{-6-\sqrt{12}}{6}\\
&=-\dfrac{3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-6+\sqrt{12}}{6}\\
&=\dfrac{-3+\sqrt{3}}{3}\end{align*}$.
$\quad$
Le coefficient principal du polynôme du second degré $3x^2+6x+2$ est $a=3>0$.
On obtient donc le tableau de variation suivant :

$\quad$
Une équation de la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$ est de la forme $y=f'(-2)\left(x-(-2)\right)+f(-2)$
Or $f(-2)=1$ et $f'(-2)=2$
Une équation de cette droite est donc $y=2(x+2)+1$ soit $y=2x+5$.
$\begin{align*} 2x_S+5&=2\times (-4)+5 \\
&=-3\\
&=y_S\end{align*}$
Le point $S$ appartient donc à la tangente à $C_f$ au point d’abscisse $-2$.
$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Une étude statistique menée lors des entraînements montre que, pour un tir au but, Karim marque avec une probabilité de $0,7$.
Karim effectue une série de $3$ tirs au but. Les deux issues possibles après chaque tir sont les événements :

$M$ : « Karim marque un but » ;
$R$ : « Karim rate le tir au but ».

On admet que les tirs au but de Karim sont indépendants.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre total de buts marqués à l’issue de cette série de tirs par Karim.
a. Réaliser un arbre pondéré permettant de décrire toutes les issues possibles.
$\quad$
b. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
$\quad$
c. Calculer l’espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$.
$\quad$
On propose à un spectateur le jeu suivant : il mise $15$ € avant la série de tirs au but de Karim ; chaque but marqué par Karim lui rapporte $6$ €, et chaque but manqué par Karim ne
lui rapporte rien.
On note $Y$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique du spectateur, c’est-à-dire la différence entre le gain total obtenu et la mise engagée.
a. Exprimer $Y$ en fonction de $X$.
$\quad$
b. Calculer l’espérance $E(Y)$ de la variable aléatoire $Y$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’énoncé.
$\quad$

$\quad$

Correction Exercice

a. On obtient l’arbre pondéré suivant

$\quad$
b. La variable aléatoire $X$ ne peut prendre que les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.
$\begin{align*}P(X=0)&=0,3^3 \\
&=0,027\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=1)&=3\times 0,7\times 0,3^2 \\
&=0,189\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=2)&=3\times 0,7^2\times 0,3 \\
&=0,441\end{align*}$
$\begin{align*}P(X=3)&=0,7^3 \\
&=0,343\end{align*}$
$\quad$
Remarque : On dit que la variable aléatoire $X$ suit uneloi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,7$.
$\quad$
c. L’espérance est :
$\begin{align*} E(X)&=\small{0\times P(X=0)+1\times P(X=1)+2\times P(X=2)+3\times P(X=3)}\\
&=1\times 0,189+2\times 0,441+3\times 0,343\\
&=2,1\end{align*}$
$\quad$
a. On a donc $Y=6X-15$
$\quad$
b. On sait que $E(aX+b)=aE(X)+b$.
Donc, ici :
$\begin{align*} E(Y)&=6E(X)-15\\
&=6\times 2,1-15\\
&=-2,4\end{align*}$
À chaque partie, le joueur perd donc en moyenne $2,4$ €.
$\quad$

[collapse]

$\quad$

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