E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM) comportant cinq questions.
Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Les questions sont indépendantes.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre correspondante à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée mais il peut être nécessaire d’effectuer des recherches au brouillon pour aider à déterminer la réponse.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

Soit $a$, $b$, $c$ trois réels tels que $a\neq 0$ et soit $g$ la
fonction définie sur $\R$ par : $$g(x)=ax^2+bx+c$$
Soit $\Delta$ son discriminant.

La représentation graphique de la fonction $g$ dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Alors on peut affirmer que :

a. $a>0$ et $\Delta>0$
b. $a>0$ et $\Delta<0$
c. $a<0$ et $\Delta>0$
d. $a<0$ et $\Delta<0$

$\quad$

Correction Exercice

La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points. Donc $\Delta >0$.
D’après la représentation graphique de la fonction $g$, celle-ci possède un maximum. Donc $a<0$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 2

On considère la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1.
Le tableau des variations de $f$ est :

$\quad$

Correction Question 2

$g$ est positive sur $[1;5]$ et négative sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.
Par conséquent $f$ est croissante sur $[1;5]$ et décroissante sur $]-\infty;1]\cup[5;+\infty[$.

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

On considère à nouveau la fonction $f$ dont la fonction dérivée est la fonction $g$ considérée dans la question 1. On sait de plus que $f(3)=7$.
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d’abscisse $3$ a pour équation réduite :

a. $y=4$
b. $y=4x+3$
c. $y=4x+7$
d. $y=4x-5$

$\quad$

Correction Question 3

On a $f'(3)=g(3)=4$ et $f(3)=7$
Une équation de cette tangente est de la forme $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ soit $y=4(x-3)+7$ ou encore $y=4x-5$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$. Une équation cartésienne de la droite perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$ est :

a. $-2x+3y+11=0$
b. $3x-2y-9=0$
c. $x-3y-10=0$
d. $3x+2y+3=0$

$\quad$

Correction Question 4

$\vect{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$.
C’est donc un vecteur normal à la droite $d$ perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$.
Une équation cartésienne de $d$ est donc de la forme $-2x+3y+c=0$
Le point $C(1;-3)$ appartient à $d$ donc :
$-2-9+c=0 \ssi c=11$
Une équation cartésienne de $d$ est donc $-2x+3y+11=0$.

Réponse a

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Dans un repère orthonormé, on considère les points $A(5; -1)$, $B(3; 2)$ et $C(1; -3)$.
Une mesure, arrondie au degré, de l’angle $\widehat{ABC}$, est :

a. $11$
b. $25$
c. $55$
d. $88$

$\quad$

Correction Question 5

On a $\vect{BA}\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$ et $\vect{BC}\begin{pmatrix}-2\\-5\end{pmatrix}$

D’une part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=2\times (-2)+(-3)\times (-5)\\
&=11\end{align*}$

$\quad$

$\begin{align*} BA&=\sqrt{2^2+(-3)^2} \\
&=\sqrt{13}\end{align*}$
$\begin{align*} BC&=\sqrt{(-2)^2+(-5)^2} \\
&=\sqrt{29}\end{align*}$

D’autre part part,
$\begin{align*} \vect{BA}.\vect{BC}&=BA\times BC\times \cos \widehat{ABC} \\
&=\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} \end{align*}$

Donc $\sqrt{13}\times \sqrt{29}\times \cos \widehat{ABC} =11$
Ainsi $\cos \widehat{ABC}=\dfrac{11}{\sqrt{13}\times \sqrt{29}}$
Et $\widehat{ABC} \approx 55$°

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

En 2000, la production mondiale de plastique était de $187$ millions de tonnes. On suppose que depuis 2000, cette production augmente de $3,7 \%$ chaque année.

On modélise la production mondiale de plastique, en millions de tonnes, produite en l’année (2000 $+n$) par la suite de terme général $u_n$ où $n$ désigne le nombre d’année à partir de l’an
2000.
Ainsi, $u_0 = 187$.

  1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison.
    $\quad$
  2. Pour tout $n\in \N$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    $\quad$
  3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ .
    $\quad$
  4. Selon cette estimation, calculer la production mondiale de plastique en 2019. Arrondir au million de tonnes.
    $\quad$
  5. Des études montrent que $20 \%$ de la quantité totale de plastique se retrouve dans les océans, et que $70 \%$ de ces déchets finissent par couler.
    Montrer que la quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Pour tout entier naturel $n$ on :
    $\begin{align*} u_{n+1}&=\left(1+\dfrac{3,7}{100}\right)u_n \\
    &=1,037u_n\end{align*}$
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $1,037$ et de premier terme $u_0=187$
    $\quad$
  2. Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=187\times 1,037^n$.
    $\quad$
  3. On a $1<1,037$ et $u_0>0$.
    La suite $\left(u_n\right)$ est donc strictement croissante.
    $\quad$
  4. On a
    $\begin{align*} u_{19}&=187\times 1,037^{19} \\
    &\approx 373\end{align*}$
    Selon cette estimation, la production mondiale de plastique en 2019 est d’environ $373$ millions de tonnes.
    $\quad$
  5. On a :
    $\begin{align*}S_{19}&=u_0+u_1+\ldots u_{19} \\
    &=187\times \dfrac{1-1,037^{20}}{1-1,037}\end{align*}$
    Entre 2000 et 2019 la production mondiale globale de plastique était de $S_{19}\approx 5~398$ millions de tonnes.
    $30%$ des déchets se trouvant dans les océans flottent.
    $0,2\times 0,3\times S_{19}\approx 324$.
    Ma quantité totale, arrondie au million de tonnes, de déchets flottants sur l’océan dus à la production de plastique de 2000 à 2019 compris est de $324$ millions de tonnes.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Probabilités – 2020

Probabilités

E3C2 – 1ère

Un cafetier propose à ses clients des cookies au chocolat ou aux noisettes en s’approvisionnant dans trois boulangeries. Un client prend un cookie au hasard.

On note :

$C$ l’événement « le cookie est au chocolat »,
$N$ l’événement « le cookie est aux noisettes »,
$B_1$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 »,
$B_2$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 2 »
$B_3$ l’événement « le cookie provient de la boulangerie 3 ».

On suppose que :

  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 1 est de $0,49$ ;
  • la probabilité que le cookie provienne de la boulangerie 2 est de $0,36$ ;
  • $P_{B_2}(C)$ est la probabilité conditionnelle de $C$ sachant $B_2$ ;
  • La probabilité que le cookie soit aux noisettes sachant qu’il provient de la troisième boulangerie est de $0,3$.
    $\quad$

L’arbre pondéré ci-dessous correspond à la situation et donne une information supplémentaire : le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.

  1. Exprimer par une phrase l’information donnée par le nombre $0,6$ sur la branche de $B_1$ à $C$.
    $\quad$
  2. Recopier et compléter sur la copie l’arbre pondéré ci-dessus.
    $\quad$
  3. Définir par une phrase l’événement $B_1\cap C$ et calculer sa probabilité.
    $\quad$
  4. Montrer la probabilité $P(C)$ d’avoir un cookie au chocolat est égale à $0,543$.
    $\quad$
  5. Calculer la probabilité d’avoir un cookie provenant de la boulangerie 2 sachant qu’il est au chocolat. On donnera le résultat arrondi au millième.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. La probabilité que le cookie soit au chocolat sachant qu’il provient de la boulangerie est égale à $0,6$.
    $\quad$
  2. On obtient l’arbre pondéré suivant :

    $\quad$
  3. $B_1\cap C$ est l’événement « le cookie provient de la boulangerie 1 et est au chocolat».
    $\begin{align*} P\left(B_1\cap C\right)&=P\left(B_1\right)\times P_{B_1}(C)\\
    &=0,49\times 0,6\\
    &=0,294\end{align*}$
    $\quad$
  4. Les événements $B_1$, $B_2$ et $B_3$ forment un système complet d’événements fini.
    D’après la formule des probabilités totales on a :
    $\begin{align*} P(C)&=P\left(B_1\cap C\right)+P\left(B_2\cap C\right)+P\left(B_3\cap C\right) \\
    &=0,294+0,36\times 0,4+0,15\times 0,7\\
    &=0,543\end{align*}$
    $\quad$
  5. On veut calculer
    $\begin{align*} P_C\left(B_2\right)&=\dfrac{P\left(B_2\cap C\right)}{P(C)} \\
    &=\dfrac{0,36\times 0,4}{0,543}\\
    &\approx 0,265\end{align*}$
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

  1. Étudier le signe de la fonction $P$ définie sur $\R$ par $P(x) = x^2+4x+3$.
    $\quad$

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle $]-2; +\infty[$ par $$f(x) =\dfrac{x^2+x-1}{x+2}$$ et on note $C_d$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2; +\infty[$.

  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l’intervalle $]2; +\infty[$, $$f'(x)=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}$$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$.
    $\quad$
  2. Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]-2; +\infty[$ et construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$.
    $\quad$
  3. Donner le minimum de la fonction $f$ sur $]-2; +\infty[$ et la valeur pour laquelle il est atteint (on donnera les valeurs exactes).
    $\quad$
  4. Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d’abscisse $2$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $P$ est une fonction polynôme du second degré.
    $\begin{align*} \Delta&=4^2-4\times 1\times 3 \\
    &=4\\
    &>0\end{align*}$
    Elle possède donc deux racines réelles :
    $\begin{align*} x_1&=\dfrac{-4-\sqrt{4}}{2}\\
    &=-3\end{align*}$ $\quad$ et $\quad$ $\begin{align*} x_2&=\dfrac{-4+\sqrt{4}}{2}\\
    &=-1\end{align*}$
    Le coefficient principal est $a=1>0$.
    Ainsi :
    – $P(x)<0$ sur l’intervalle $]-3;-1[$
    – $P(x)>0$ sur $]-\infty;-3[\cup]-1;+\infty[$
    – $P(-3)=P(-1)=0$
    $\quad$
  2. La fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $]-2;+\infty[$ comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas.
    Pour tout réel $x>-2$ on a :
    $\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{(2x+1)(x+2)-1\times \left(x^2+x-1\right)}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{2x^2+4x+x+2-x^2-x+1}{(x+2)^2} \\
    &=\dfrac{x^2+4x+3}{(x+2)^2}\\
    &=\dfrac{P(x)}{(x+2)^2}\end{align*}$
    $\quad$
  3. Sur $]-2;+\infty[$ on a $(x+2)^2>0$.
    Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $P(x)$.
    On obtient donc le tableau de variations suivant :
    $\quad$
  4. D’après le tableau de variations précédent, le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=-1$ et il faut $-1$.
    $\quad$
  5. Une équation de la droite $T$ est de la forme $y=f'(2)(x-2)+f(2)$
    Or $f(2)=\dfrac{5}{4}$ et $f'(2)=\dfrac{15}{16}$
    Une équation de $T$ est donc $y=\dfrac{15}{16}(x-2)+\dfrac{5}{4}$ soit $y=\dfrac{15}{16}x-\dfrac{5}{8}$
    $\quad$

[collapse]

$\quad$

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