E3C2-Spécialité maths – QCM – 2020

QCM

E3C2 – 1ère

Ce QCM comprend 5 questions indépendantes. Pour chacune d’elles, une seule des réponses proposées est exacte.
Indiquer pour chaque question sur la copie la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une absence de réponse n’apporte ni ne retire de point.

Question 1

L’inéquation $x^2+x+2>0$ :

a. n’a pas de solution
b. a une seule solution
c. a pour ensemble de solution l’intervalle $[1 ; 2]$
d. a pour solution l’ensemble des nombres réels

$\quad$

Correction Question 1

Le discriminant du polynôme du second degré est :
$\begin{align*} \Delta&=1^2-4\times 1\times 1\\
&=-3\\
&<0\end{align*}$

Le coefficient principal est $a=1>0$.
Par conséquent, tous les réels sont solution de l’inéquation $x^2+x+2>0$.

Réponse d

$\quad$

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$\quad$

Question 2

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs tels que $\norme{u}=3$, $\norme{v}=2$ et $\vec{u}.\vec{v}=-1$ alors $\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2$ est égal à :

a. $11$
b. $13$
c. $15$
d. $25$

$\quad$

Correction Question 2

On a :
$\begin{align*} \vec{u}.\vec{v}&=\dfrac{1}{2}\left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-\norme{u}^2-\norme{v}^2\right)\\
\ssi~& -1=\dfrac{1}{2} \left(\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-9-4\right)\\
\ssi~&-2=\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2-13\\
\ssi~&\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|^2=15\end{align*}$

Réponse c

$\quad$

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$\quad$

Question 3

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un univers tels que $P_A(B) = 0,2$ et $P(A) = 0,5$.
Alors la probabilité $P(A\cap B)$ est égale à :

a. $0,4$
b. $0,1$
c. $0,25$
d. $0,7$

$\quad$

Correction Question 3

On a :
$\begin{align*} P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}&\ssi 0,2=\dfrac{P(A\cap B)}{0,5} \\
&\ssi P(A\cap B)=0,1\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

$\quad$

Question 4

Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de terme initial $u_0=2$ et de raison $3$.
La somme $S$ définie par $S=u_0+u_1+\ldots+u_{12}$ est égale à :

a. $45$
b. $222$
c. $260$
d. $301$

Correction Question 4

Pour tout entier naturel $n$ on a donc $u_n=2+3n$

On a :
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+\ldots+u_{12} \\
&=(2+3\times 0)+(2+3\times 1)+\ldots +(2+3\times 12) \\
&=2\times 13+3(1+2+\ldots+12)\\
&=26+3\times \dfrac{12\times 13}{2} \\
&=260\end{align*}$

Réponse C

Remarque : Si en cours tu as vu la formule donnant la somme des termes d’une suite arithmétique, tu peux l’utiliser ici:
$\begin{align*} S&=u_0+u_1+ \ldots+u_{12}\\
&=13\times \dfrac{u_0+u_{12}}{2}\\
&=13\times \dfrac{2+38}{2}\\
&=260\end{align*}$

$\quad$

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$\quad$

Question 5

Soit $f$ la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par $f(x)=(2x-5)^3$.
Une expression de la dérivée de $f$ est :

a. $3(2x-5)^2$
b. $6(2x-5)^2$
c. $2(2x-5)^2$
d. $2^3$

$\quad$

Correction Question 5

On appelle $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^3$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a $f(x)=g(2x-5)$ et $g'(x)=3x^2$.
Donc $f$ est également dérivable sur $\R$ et, pour tout réel $x$, on a :
$\begin{align*} f'(x)&=2g'(2x-5)\\
&=2\times 3(2x-5)^2\\
&=6(2x-5)^2\end{align*}$

Réponse b

$\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Fonctions – 2020

Fonctions

E3C2 – 1ère

La courbe ci-dessous représente dans un repère du plan une fonction $f$ définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réels.
Les points $G (-2 ; 5)$ et $H (0 ; 1)$ appartiennent à la courbe représentative de la fonction $f$ et les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.

  1. Déterminer $f(0)$, $f(-2)$, $f'(0)$ et $f'(-2)$.
    $\quad$
  2. On admet que pour tout réel $x$, $f(x)$ peut s’écrire sous la forme :
    $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$ désignent des nombres réels.
    a. Donner une expression de $f'(x)$.
    $\quad$
    b. Déterminer les valeurs des réels $c$ et $d$.
    $\quad$
    c. Déterminer deux équations que vérifient les réels $a$ et $b$.
    $\quad$
    d. En déduire que $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. Le point $H(0;1)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(0)=1$.
    Le point $G(-2;5)$ appartient à la courbe.
    Donc $f(-2)=5$.
    Les tangentes à la courbe aux points $G$ et $H$ sont horizontales.
    Donc $f'(0)=0$ et $f'(-2)=0$.
    $\quad$
  2. a. Pour tout réel $x$ on a  $$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
    $\quad$
    b. On sait que $f'(0)=0$
    Or $f'(0)=c$ donc $c=0$
    $\quad$
    On sait que $f(0)=1$
    Or $f(0)=d$ donc $d=1$.
    Ainsi $f(x)=ax^3+bx^2+1$ et $f'(x)=3ax^2+2bx$.
    $\quad$
    c. $f(-2)=5$ et $f(-2)=-8a+4b+1$
    Donc $-8a+4b+1=5 \ssi -8a+4b=4 \ssi -2a+b=1$
    $f'(-2)=0$ et $f'(-2)=12a-4b$
    Donc $12a-4b=0\ssi 3a-b=0$
    Les réels $a$ et $b$ vérifient donc les équations
    $\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}$
    $\quad$
    d. On a
    $\begin{align*}\begin{cases} -2a+b=1\\3a-b=0\end{cases}&\ssi \begin{cases} b=3a\\-2a+3a=1\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} a=1\\b=3\end{cases}\end{align*}$
    Par conséquent, $f(x)=x^3+3x^2+1$.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2-Spécialité maths – Suites – 2020

Suites

E3C2 – 1ère

Dans une usine, un four cuit des céramiques à la température de $1~000$°C.
À la fin de la cuisson, on éteint le four et commence alors la phase de refroidissement.
Pour un nombre entier naturel $n$, on note $T_n$ la température en degré Celsius du four au bout de $n$ heures écoulées à partir de l’instant où il a été éteint. On a donc $T_0= 1~000$.
La température $T_n$ est calculée grâce à l’algorithme suivant :$$\begin{array}{|l|}
\hline
T  \leftarrow 1~000\\
\text{Pour $i$ allant de $1$ à $n$}\\
\hspace{0.5cm} T\leftarrow 0,82\times T+3,6\\
\text{Fin Pour}\\
\hline
\end{array}$$

  1. Quelle est la température du four après une heure de refroidissement ?
    $\quad$
  2. Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$.
    $\quad$
  3. Déterminer la température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement.
    $\quad$
  4. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à $70$°C. Afin de déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque, on définit une fonction « froid » en langage Python.
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\ldots :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T= }\ldots\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    Recopier et compléter les instructions $4$ et $5$.
    $\quad$
  5. Déterminer le nombre d’heures au bout duquel le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. $0,82\times 1~000+3,6=823,6$
    Ainsi $T_1=823,6$.
    La température du four après une heure de refroidissement est $823,6$°C.
    $\quad$
  2. D’après l’algorithme, pour tout entier naturel $n$, on a $T_{n+1}=0,82T_n+3,6$.
    $\quad$
  3. On a :
    $\begin{align*} T_2&=0,82T_1+3,6\\
    &=678,952\end{align*}$
    $\begin{align*} T_3&=0,82T_2+3,6\\
    &\approx 560\end{align*}$
    $\begin{align*} T_4&=0,82T_3+3,6\\
    &\approx 463\end{align*}$
    La température du four arrondie à l’unité après $4$ heures de refroidissement est $463$°C.
    $\quad$
  4. On obtient le code suivant :
    $$\begin{array}{|ll|}
    \hline
    1&\hspace{0.5cm}\textcolor{blue}{\text{def }}\text{froid() :}\\
    2&\hspace{1cm}\text{T=}\textcolor{Green}{1000}\\
    3&\hspace{1cm}\text{n=}\textcolor{Green}{0}\\
    4&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{while} }\text{ T>}\textcolor{Green}{70} :\hspace{1cm}\\
    5&\hspace{1.5cm}\text{T=}\textcolor{Green}{0.82}\times \text{T +}\textcolor{Green}{3.6}\\
    6&\hspace{1.5cm}\text{n=n+}\textcolor{Green}{1}\\
    7&\hspace{1cm}\textcolor{blue}{\text{return }} \text{n}\\
    \hline
    \end{array}$$
    $\quad$
  5. Voici les premières valeurs prises par $T_n$, arrondies au centième.
    $\begin{array}{|c|c|}
    \hline
    n& T_n\\ \hline
    0& 1000\\ \hline
    1& 823,6\\ \hline
    2& 678,95\\ \hline
    3& 560,34\\ \hline
    4& 463,08\\ \hline
    5& 383,33\\ \hline
    6& 317,93\\ \hline
    7& 264,30\\ \hline
    8& 220,33\\ \hline
    9& 184,27\\ \hline
    10& 154,70\\ \hline
    11& 130,45\\ \hline
    12& 110,57\\ \hline
    13& 94,27\\ \hline
    14& 80,90\\ \hline
    15& 69,94\\ \hline
    \end{array}$
    On peut donc ouvrir le four sans risque pour les céramiques au bout de $15$ heures.
    $\quad$

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$\quad$

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E3C2 – Spécialité maths – Géométrie repérée – 2020

Géométrie repérée

E3C2 – 1ère

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
On considère les points $A(-3 ; 1)$, $B(3 ; 5)$ et $C(7 ; 1)$ dans ce repère.
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$ et le rayon de ce cercle.
On rappelle que le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle.

  1. Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le plan puis construire le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  2. Vérifier que la droite $\Delta$ d’équation $3x+2y-6=0$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
    $\quad$
  3. Déterminer les coordonnées du point $B’$, milieu du segment $[AC]$.
    $\quad$
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$
  5. Calculer une valeur exacte du rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
    $\quad$

$\quad$

Correction Exercice

  1. On obtient le graphique suivant :

    $\quad$
  2. On a $\vect{AB}\begin{pmatrix}6\\4\end{pmatrix}$.
    C’est un vecteur normal à $\Delta$.
    Une équation cartésienne de $\Delta$ est donc de la forme $6x+4y+c=0$.
    On appelle $M(x;y)$ le milieu de $[AB]$.
    On a donc $\begin{cases} x=\dfrac{-3+3}{2}\\y=\dfrac{1+5}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x=0\\y=3\end{cases}$
    $M$ appartient à $\Delta$ donc
    $0+12+c=0\ssi c=-12$.
    Une équation cartésienne de $Delta$ est donc $6x+4y-12=0$ soit également, en divisant chaque terme par $2$, $3x+2y-6=0$.
    $\quad$
  3. Les coordonnées du point $B’$ sont :
    $\begin{cases} x_{B’}=\dfrac{-3+7}{2}\\y_{B’}=\dfrac{1+1}{2}\end{cases} \ssi \begin{cases} x_{B’}=2\\y_{B’}=1\end{cases}$.
    Ainsi $B'(2;1)$.
    $\quad$
  4. $A$ et $C$ ont la même ordonnée. Une équation de la médiatrice au segment $[AC]$ est donc de la forme $x=k$.
    Le point $B’$ appartient à cette médiatrice. Une équation de cette droite est donc $x=2$.
    Les coordonnées du point $I$ sont donc solution du système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 3x+2y-6=0\\x=2\end{cases} &\ssi \begin{cases} x=2 \\6+2y-6=0\end{cases} \\
    &\ssi \begin{cases} x=2\\y=0\end{cases}\end{align*}$
    $\quad$
  5. Le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est :
    $\begin{align*} R&=IA\\
    &=\sqrt{(-3-2)^2+(1-0)^2} \\
    &=\sqrt{(-5)^2+1^2}\\
    &=\sqrt{26}\end{align*}$
    $\quad$

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